1

FUNGSI TRIGONOMETRI

LIMIT FUNGSI

Limit Fungsi. Limit fungsi f(x) merupakan nilai hampiran dari f(x) untuk nilai x mendekati nilai tertentu misal x=a. Bentuk umum : Lim f(x) x->aJika diketahui dua buah fungsi f(x) dan g(x) masing-masing memiliki sebuah nilai limit, maka jumlah, selisih, perkalian, dan pembagian dari kedua fungsi tersebut juga mempunyai sebuah nilai limit. Di bawah ini sifat-sifat limit fungsi aljabar :

1. Limit penjumlahan fungsi merupakan penjumlahan limit masing-masing fungsi.

lim (f(x) +g(x)) = lim f(x) + lim g(x)2. Limit selisih fungsi merupakan

selisih limit masing-masing fungsi.lim (f(x) – g(x)) = lim f(x) – lim g(x)

3. Limit perkalian fungsi merupakan perkalian limit masing-masing fungsi.

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)4. Limit pembagian fungsi

merupakan pembagian limit masing-masing fungsi.

lim )(

)(

xg

xf =

Operasi limit pada bentuk-bentuk tak tentu seperti , , 0 x ∞, 1∞, ∞0, dan ∞ - ∞ harus

mengikuti prosedur pengerjaan sesuai dengan ketentuan L’Hospital

1. Bentuk tak tentu

lim = lim

2. Bentuk tak tentu

lim = lim

3. Bentuk tak tentu 0x∞ 1∞, ∞0, dan ∞ - ∞ terlebih dulu harus dikembalikan ke bentuk 1 dan 2

1

Contoh 1 : (Bentuk )

limit = limit = 12

x->2 x->2

Contoh 2 : (Bentuk )

lim - x = lim

x->∞ x->∞

= lim

x->∞

= lim = 3

x->∞

Latihan :

1. Limit

x->0

2. Limit

x-> 1

3. Limit

x-> 0

4.

x->0

5.

x-> 0

6.

x ->∞

Beberapa cara yang dapat ditempuh untuk menyelesaikan soal limit yaitu : penyederhanaan, pengalihan ke bentuk sekawan, penurunan ataupun dengan cara khusus. Dibawah ini rumus dasar limit trigonometri untuk x mendekati 0.

1

Contoh :

Lim x cosec 2x = lim

x->0 x->0

= lim ½ ingat : lim = 1

x->0 x->0 = ½

Latihan :

1. Limit

=

x->12. Limit

=

x->23. Limit

=

x->04. Limit

=

x->0

5. Limit =

x->0

6. Limit =

x->0

7. Limit

=x-> ∞

8. Limit =

x->∞

1. Limit

=

2. Limit

=

3. Limit

=

4. Limit

=

5. Limit

=

6. Limit

=

1

DIFERENSIAL

Diferensial. Diferensial merepresentasikan persamaan kemiringan grafik fungsi f(x). Hitung diferensial mempunyai keterkaitan dengan perhitungan limit (kaidah L’ Hospital). Bentuk umum diferensial :

y' = = f’(x)

Di bawah ini merupakan diferensiasi berbagai fungsi dasar yang penting untuk diingat.

1. y = cos x y’ = - sin x2. y = tg x y’ = sec2 x3. y = ctg x y’ = -cosec2 x4. y = sec x y’ = sec x. tg x5. y = cosec x y’ = -cosec x cotg x6. y = sinh x y’ = cosh x7. y = cos x y’ = -sin x

8. y = xn y’ = nxn-1

9. y = ex y’ = ex

10. y = ekx y’ = kekx

11. y = ln x y’ = 1/x12. y = alog x y’ = 1/(x ln a)13. y = ax y’ = ax ln a14. y = sin x y’ = cos x

1

Ada beberapa ketentuan yang harus diperhatikan dalam operasi diferensiasi1. Jika sebuah fungsi dikalikan dengan konstanta maka turunannya dikalikan

juga dengan konstanta itu.

2. Diferensiasi jumlah atau selisih aljabar dari beberapa fungsi sama dengan penjumlahan atau selisih diferensiasi masing-masing fungsi.

3. Diferensiasi perkalian dua buah fungsi adalah sama dengan perkalian turunan fungsi yang pertama dikalikan fungsi kedua ditambah dengan turunan fungsi kedua dikalikan dengan fungsi pertama

4. Diferensiasi pembagian dua buah fungsi adalah sama dengan perkalian penyebut dan turunan pembilang dikurangi perkalian pembilang dan turunan penyebut dibagi kuadrat penyebut.

Contoh 1 : (perkalian)y = x3 sin x tentukan y’……….Jawab :f(x) = x3 dan g(x) = sin x sehingga f’(x) = 3x2 dan g’(x) = cos x makay’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x)y’ = 3x2.sin x + x3 cos x

Contoh 2 : (pembagian)

y = tentukan y’=…………

Jawab :f(x) = sin x f’(x) = cos x g(x) = cos x g’(x) = -sin x

y’ =

= = sec2 x

Latihan :

1. y = ex sin x tentukan y’…2. y = 4x3 sin x tentukan y’….3. y = ex cos x tentukan y’....4. y = cos x sin x tentukan y’....

5. y = tentukan y’....

1

6. y = tentukan y’....

Diferensiasi berantai. Untuk fungsi komposisi (fungsi di dalam fungsi yang lain) maka harus diturunkan satu persatu secara berurutan. Ini dinamakan Diferensiasi berantai. Aturan turunan berantai :

Contoh : y = sin (3x + 5) tentukan y’? Jawab : Misal u = 3x +5 u’ = 3 Jadi y’ = u’.y’= 3 cos (3x +5)

Latihan :Tentukan turunan fungsi (y’) dibawah ini :

1. y = sin (4x + 3)2. y = (2x-5)4

3. y = sin3 x

4. y = tg 5x5. y = e2x-3

6. y = 4 cos(7x+2) Fungsi implisit. Dalam fungsi implisit tidak dapat dipisahkan y dan x pada dua ruas yang berbeda. Sebagai contoh adalah fungsi 2x + tg(y+1) = 5. Untuk mendiferensiasikan fungsi tersebut harus diingat bahwa y adalah fungsi x.Contoh :

Tentukan dari x2 + y2 = 25 (persamaan lingkaran bejari-jari 5)

Jawab :Dengan tetap mengingat bahwa y adalah fungsi x maka

2x + 2y = 0

2y = -2x

=

Latihan :

Tentukan dari :

1. x2 + y2 -2x – 6y + 5 = 02. x2 + 2xy +3y2 = 0

3. x3 +y3 +3xy2 = 04. (x+y)2 = 0

Persamaan Parametrik. Biasanya fungsi f(x) dinyatakan sebagai y = f(x). Tetapi dapat pula baik y maupun x merupakan fungsi variabel lain misal t. Sehingga y=f(t) dan x=f(t). Ini dinamakan persamaan parametrik. Untuk mendapatkan turunan persamaan parametrik mirip dengan menggunakan turunan berantai.Contoh:

1

y = cos 2t dan x = sin t tentukan dan

Jawab :

= = -2 sin 2t. = -4 sin t

= = . = -4

Latihan :

Tentukan dan dari :

1. y = 3 sin t - sin3 tx = cos3 t

2. y = 3(t-sin t)x = 3(1-cos t)

Aplikasi Diferensiasi. Setelah mempelajari tentang konsep diferensiasi maka diferensiasi fungsi dapat diaplikasikan dalam banyak hal di antaranya:

1. Menentukan harga limit dengan ketentuan L’Hospital2. Menentukan gradien garis singggung (m) pada titik pada grafik y = f(x)

m = y’(x) = f’(x)3. Menentukan titik ekstrim grafik fungsi y = f(x)

Ekstrim maksimumsyarat : y’ = 0 dan y’’< 0

Ekstrim minimumsyarat : y’ = 0 dan y’’>0

4. Menentukan titik belok grafik fungsi y = f(x)syarat : y” = 0

5. Menentukan fungsi naik atau fungsi turun dari grafik fungsi y = f(x) Fungsi naik

syarat : y’ > 0 Fungsi turun

syarat : y’ < 06. Menentukan kecepatan dan percepatan

Kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak Percepatan merupakan turunan pertama fungsi kecepatan

Contoh :Diketahui sebuah fungsi gerak vertikal ke atas h = 20t – 5t2. Dengan h menyatakan tinggi (m) dan t menyatakan waktu (sekon). Tentukan :

a. kecepatan pada saat t = 3 sb. tinggi maksimum

Jawab :

1

a. v = = 20 -10.t v(3) = 20 -10.3 = -10 m/s

b. syarat h maksimum : h’ = 0 20-10t = 0 t = 2 s hmaks = 20(2) – 5(2)2 = 320 m

Latihan :

1. Jika f(x) = 6x3 + 5x2 + x +8 tentukan f’(0)2. Tentukan gradien fungsi di bawah ini di pusat

koordinat :

y =

y = (X-3)2

3. Tentukan titik ekstrim fungsi y = x3 -3x +1 dan tentukan jenisnya?

4. Jika f(x) = 5x2 + -1/2 maka tentukan f’(x)?

5. Tentukan persamaan garis normal y = di titik

(2,3) dan persamaan garis singgung di x= 1?6. Tentukan persamaan garis singgung y = 2x2 – 2x +3

di titik (1,3)

7. Tentukan persamaan gradien grafik y = di

titik (1,0)

INTEGRAL

Integral Baku. Integrasi merupakan kebalikan dari diferensiasi. Bentuk umum :Y =

dinamakan integral tak tentu dari fungsi f(x). Dinamakan tak tentu karena tidak memiliki bata-batas pengintegrasian tertentu. Dibawah ini merupakan ringkasan rumus integral baku yang sering digunakan :

1

=

= ln x + c

= ex + c

= + c

= + c

= -cos x + c

= sin x + c

= tg x + c

= -cotg x + c

= cosh x +c

= sinh x + c

= arc sin x + c

= - arc cos x + c

= arc tg x + c

= - arc cotg x + c

= arc sinh x + c

= arc cosh x + c

= arc tgh x + c

Latihan :

1. =

2. =

3. dx =

4. =

5. =

6. =

Integral Substitusi. Pada permasalahan integral terkadang ditemukan turunan fungsi yang satu merupakan fungsi yang lain. Ini dinamakan integral substitusi. Bentuk umum :

dan .

Contoh 1: (pembagian)

= = ln ( x2 + 3x – 5) + c

Dari contoh tersebut diketahui bahwa pembilang merupakan turunan penyebut. Inilah yang disebut bentuk integral substitusi pembagian.

Latihan :

1. = 3. =

1

2. = 4. =

Contoh 2 : (perkalian)

= = + c

Dari contoh tersebut diketahui bahwa fungsi yang satu merupakan turunan fungsi yang lain. Inilah yang disebut bentuk integral substitusi perkalian.

Latihan :

1. =

2. =

3. =

4. =

Integral Parsial. Jika integral perkalian fungsi tetapi masing-masing fungsi bukan merupakan diferensial fungsi yang lain maka proses integral dilakukan perbagian. Ini dinamakan integral parsial. Bentuk umum :

= uv - Contoh :

= ............

dipilih u = ln x sehingga du = 1/x dx dan dv = x2 dx sehingga v = =

= ln x. - = + c

Latihan :

1. =

2. =

3. =

4. =

Integrasi dengan Pecahan Parsial. Integral yang melibatkan pembagian fungsi yang kompleks dapat dikerjakan dengan mengubah kebentuk pecahan parsial yang lebih sederhana. Ketentuan yang harus diingat dalam pecahan parsial :

1. Derajat pembilang harus lebih rendah dari penyebut.2. Faktorkan penyebut karena dari sini akan ditentukan bentuk pecahan

parsial.

Faktor (ax + b) pecahan parsial

1

Faktor (ax + b)2 pecahan parsial

Faktor (ax + b)3 pecahan parsial

Faktor (ax2+bx+c)pecahan parsial

Contoh :

= ............

= = +

selanjutnya dengan menyamakan ruas kiri dan kanan diperoleh A= -2 dan B = 3 maka diperoleh :

= +

= -

= ln (x-2) – ln (x-1) + c

Latihan :

1. =

2. dx =

3. =

4. =

Integrasi fungsi trigonometri. Integral dari fungsi trigonometri terkadang melibatkan identitas fungsi trigonometri.

sin2 x + cos 2 x =1cos 2x = cos2 x – sin2 xcos 2x = 2 cos2 x -1cos 2x = 1 – 2 sin2 x

1 + tg2 x = sec2 x1 + ctg2 x = cosec2 x

sec x = cosec x =

Contoh :

= =

Latihan :1. =

2. =

3. =

4. =

1

Apabila integrasi trigonometri melibatkan perkalian fungsi trigonometri maka hubungan identitas trigonometri di bawah ini harus diperhatikan.

2 sin A cos B = sin (A+B) + cos (A-B) 2 cos A sin B = sin (A+B) – cos (A-B) 2 cos A cos B = cos(A+B) + cos (A-B) 2 sin A sin B = cos (A-B)-cos (A+B)

Contoh : = 1/2

= 1/2

= 1/2 +c

Latihan :

1. =

2. =

3. =

4. =

5.

=

6.

=

7.

8.

=

9.

=

10.

=

11. =

12. =

13. =

14.

=

PENERAPAN INTEGRAL

Integral Tertentu. Integral yang telah dibahas sejauh ini merupakan integral tak tentu. Dikatakan demikian karena tidak memiliki batas integrasi. Integral dengan

1

batas atas dan batas bawah dinamakan integtral tertentu. Bentuk umum : .

Huruf a dan b menyatakan batas atas dan batas bawah integrasi.

Luas Kurva. Luas kurva dapat dihitung dengan metode integrasi tertentu (berbatas) asal diketahui fungsi dari kurva yang bersangkutan serta nilai batas atas dan batas bawah. Langkah menghitung integral berbatas :

Prosedur penghitungan integral berbatas:1) Intrgrasikan fungsi dan tuliskan hasilnya alam notasi

kurung siku dengan batas integral di ujung kanan2) Substitusikan batas atas 3) Asubstitusikan batas bawah4) Kurangkan hasil pertama dengan hsil kedua

Contoh :

= 4 = 2 (e-e-2) = 5,166

Latihan :

1.

=

2. =

3. =

4.

=

5. =

6.

=

Luas kurva yang dibatasi f(x) yang berada di bawah sumbu x =0 yang dihitung dengan metode integral berbatas akan bertanda minus. Ini akan rancu bila ada sebagian luasan yang berada di bawah sumbu dan diatas sumbu x=0.

Contoh :Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 -6x +5 ,sumbu x mulai dari x=1 dan x=3?

Jawab :

Luas = = = = -5 1/3

satuan

1

Tanda minus meyatakan bahwa luas daerah yang dihitung berada di bawah sumbu x = 0. Silahkan Anda coba dengan membalik batas integrasi....

Latihan :

1. Hitunglah luas grafik yang dibatasi kurva y=sin x dengan batas x = 0 rad dan x = ∏ rad?

2. Hitunglah luas kurva yang dibatasi kurva y= sin x dengan batas x = ∏ rad dan x = 2∏ rad?

3. Hitunglah luas kurva yang dibatasi kurva y= sin x dengan batas x = 0 rad dan x = 2∏ rad?

Persamaan Parametrik. Persamaan parametrik merupakan persamaan dimana baik y maupun x merupakan fungsi variabel lain yang dinamakan parameter. Langkah pengintegrasian persamaan parametrik adalah :

Prosedur Integrasi :1) Nyatakan x dan y dalam

persamaan parametrik2) Ubah variable yang

bersesuaian3) Sisipkan batas-atas

parameter

Contoh :Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva dengan persamaan parametrik x = at2

y = 2at t = 1 dan t=2?Jawab :

x = at2 ; ; dx = 2at dt

Luas = = = = =

Latihan :

1. Jika x = a sin t dan y = b co t tentukan luas daerah dibawah kurva tersebut antara t = 0 dan t = phi?

2. Jika x = t –sin t dan y = 1 – cos t tentukan luas dibawah kurva di antara t = 0 dan t = phi?

Nilai rerata (mean). Untuk menghitung nilai rerata fungsi f(x) di antara x = a dan x = b dapat dilakukan dengan membagi luasan daerah tersebut dengan selisih b dan a.Contoh :

1

Tentukan mean dari y = 3x2 + 4x + 1 di antara x=-1 dan x=2?Jawab :

Mean = = = 6

Harga RMS. Harga RMS menyatakan akar dari kuadrat y rata-rata di antara batas-batas tertentu. Dalam bahasa Inggris dinyatakan sebagai harga Root Mean Square.

Contoh : Tentukan rms dari y = x2+3 di antara x=3 dan x=3?Jawab :

(rms)2 = = = 59,2

jadi rms =

Latihan :

1) Tentukan mean dari y = 3 sin 5t + 2 cos 3t di antara t = 0 dan t = phi?

2) Tentukan harga rms dari y =- 400 sin 200∏t di antara t =0 dan t = 0.01

Volume Benda Putar. Jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y = f(x) sumbu x dan x = a dan x = b diputarkan penuh terhadap sumbu x maka akan diperoleh volume benda putar terhadap sumbu x. Demikian pula jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y = f(x) sumbu x dan x = a dan x = b diputarkan penuh terhadap sumbu y maka akan diperoleh volume benda putar terhadap sumbu y.

Rumus untuk menghitung volume benda putar (sumbu x):

V = .

Rumus untuk menghitung volume benda putar (sumbu y):

V =

Contoh :Carilah volume benda putar yang dibatasi y = 5 cos 2x sumbu x dan ordinat pada x=0 dan x = ¼ phi diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu x?

Jawab :

V = = 25∏ = 25∏ =

1

Latihan :

1) Diketahui persamaan parametrik kurva adalah x=3t2;y=3t-t2. Hitunglah volume benda putar terhadap sumbu x yang dibatasi oleh kurva, sumbu x dan ordinat yang berkaitan dengan t=0 dan t=2?

2) Carilah volume benda yang terjadi bila bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y=x2+5 sumbu x dan ordinat pada x=1 dan x=3 diputar satu putaran penuh terhadap sumbu y?

Sentroid. Posisi sentroid merupakan posi koordinat kartesius (x,y) yang menggambarkan titik berat luasan benda yang dibatasi sumbu x, kurva serta ordinat yang berkaitan dengan x= a dan x= b. Rumus untuk menghitung koordinat sentroid:

Pusat Gravitasi. Analog dengan sentroid untuk mencari pusat gravitasi suatu benda yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y = f(x) sumbu x dan ordinat pada x=a dan x=b diputar mengelilingi sumbu x dengan rumus :

x = ; y = 0.

Contoh :Tentukan pusat gravitasi dari benda yang trentuk jika bidang yang dibatasi oleh kurva x2+y2 = 16, sumbu x dan ordinat pada x=1 dan x=3 diputar poros sumbu x?

Jawab:

= = = 44

x = y = ½

1

= = 23 1/3

x = jadi koordinat pusat gravitasi (1,89;0)

Panjang kurva. Jika diketahui sebuah fungsi f(x) maka dapat dihitung panjang kurva mulai dari ordinat x =a sampai dengan ordinat x=b. Rumus untuk menghitung panjang kurva :

s = .

Contoh :Tentukan panjang kurva y2 = x3 di antara x = 0. dan x =4 ?

Jawab :

1 + = 1 +

s = = 9,07 satuan

Persamaan Parametrik. Untuk menghitung panjang kurva persamaan parametrik maka dapat dihitung dengan rumusan :

s =

Latihan :1) Tentukan posisi sentroid dari gambar yang dibatasi oleh y = e2x sumbu x,

sumbu y dan ordinat pada x = 2?2) Tentukan posisi sentroid dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = 5 sin 2x

sumbu x dan ordinat pada x = 0 dan x = phi/6?3) Tentukan pusat gravitasi benda yang terbentuk oleh kurva y=sin x sumbu x

dan ordinat pada sumbu x=0 dan x = phi radian diputar dengan poros sumbu x?

4) Tentukan panjang kurva y = 10 cosh di antara x= -1 dan x=2?

5) Tentukan panjang kurva persamaan parametrik x = 2cos3 t , y=2 sin3 t di antara titik-titik yang besesuaian pada t = 0 dan t = phi/2?