funkcií viacerých Predná²ka 6 - upjs.skumv.science.upjs.sk/analyza/texty/predmety/MAN3b/DPVP_slide.pdf · 6.1 Predná²ka 6 Diferenciálny po£et funkcií viacerých premenných

Diferenciálny po£etfunkcií viacerých

premenných

Parciálnaderivácia funkcieviac premenných

Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov

Taylorov vzorec

Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných

6.1

Predná²ka 6

Diferenciálny po£et funkcií viacerých

premennýchText:

ÚMV/MAN3a/10 Matematická analýza II pre informatikov a fyzikov28. apríla 2017

Jozef Kise©ákPF UPJ�


premenných



Taylorov vzorec


6.2

Agenda

1 Parciálna derivácia funkcie viac premenných

2 Diferencovate©nos´ funkcie a jej diferenciál

3 Derivácie a diferenciály vy²²ích rádov

4 Taylorov vzorec

5 Lokálne extrémy funkcie viac premenných

6 Viazané a globálne extrémy funkcie viac premenných


premenných



Taylorov vzorec


6.3

Agenda

1 Parciálna derivácia funkcie viac premenných

2 Diferencovate©nos´ funkcie a jej diferenciál

3 Derivácie a diferenciály vy²²ích rádov

4 Taylorov vzorec

5 Lokálne extrémy funkcie viac premenných

6 Viazané a globálne extrémy funkcie viac premenných


premenných



Taylorov vzorec


6.4

Parciálna derivácia funkcie viac

premenných

Pri ²túdiu funkcií jednej premennej hral k©ú£ovú rolu pojemderivácie. Pripome¬me si, ako bola de�novaná a aký malageometrický význam. Derivácia funkcie f : R→ R v bode x0de�novaná nasledovne:

f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0.

Obr.: Derivácia funkcie jednej premennej.


premenných



Taylorov vzorec


6.5

Geometricky £íslo f ′(x0) = tanϕt predstavuje smernicu doty£niceku grafu funkcie y = f (x) v bode T = (x0, f (x0)).

U funkcií dvoch a viac premenných môºeme vy²etrovaóbdobný podiel prírastkov, av²ak k uvaºovanému bodu samoºno blíºi´ z nekone£ne ve©a smerov1.

Najrpv sa budeme pribliºova´ po rovnobeºke s niektorousúradnicovou osou (odpovedajúcej nezávislej premennej).

Teda k bodu a = (x0, y0) (v prípade funkcie dvochpremenných) sa budeme blíºi´ v smere súradnicových osí x a y .

Takto sa dostaneme k pojmu parciálna derivácia funkcie viacpremenných v danom bode a.

Pri �parciálnom� (£iasto£nom) derivovaní sa vlastne na jednu zpremenných x , y pozeráme ako na kon²tantu a pod©a druhejderivujeme.

Ak sa budeme blíºi´ k bodu a v smere ©ubov©ného danéhovektora ~u, dostaneme sa k pojmu derivácia funkcie v bode vsmere vektora ~u (smerová derivácia)2.

1To sme uº videli v predchádzajúcich £astiach pri pojme limita.2Je to prirodzené zov²eobecnenie pojmu parciálna derivácia funkcie v bode.


premenných



Taylorov vzorec


6.6

Uvaºujme funkciu z = f (x , y) s de�ni£ným oborom D(f ), grafom Ga bod a = (x0, y0) ∈ D(f ). Predpokladajme, ºe body tvaru (x , y0)pre x blízke x0 patria de�ni£nému oboru3. Nech ρ je rovina danárovnicou y = y0. Potom prienikom G ∩ ρ je (v rozumnom prípade)krivka γ, ktorá je grafom parciálnej funkciu g(x) = f (x , y0).Derivácia tejto pomocnej funkcie, ktorá je zúºením funkcie f naúse£ku, je vlastne derivácia funkcie jednej premennej.

De�nícia 1.1

Nech funkcia f : z = f (x , y) je de�novaná v bode (x0, y0). Ak máfunkcia g(x) = f (x , y0) deriváciu v bode x0, nazveme ju parciálnaderivácia funkcie f pod©a premennej x v bode (x0, y0) a ozna£ujeme

fx(x0, y0), prípadne f ′x (x0, y0) alebo∂f

∂x(x0, y0). To jest

fx(x0, y0) = limx→x0

g(x)− g(x0)

x − x0= lim

x→x0

f (x , y0)− f (x0, y0)

x − x0.

3Potrebujeme zaru£i´, ºe v D(f ) má leºa´ malá úse£ka so stredom v a

rovnobeºná s osou x . To bude napríklad splnené, ak a ∈ D(f )◦.


premenných



Taylorov vzorec


6.7

Poznámka 1.1 (Geometrická interpretácia parc. derivácie)

Parciálna derivácia fx(x0, y0) udáva smernicu doty£nice t ku krivkeγ bode T = (x0, y0, f (x0, y0)) a je rovná hodnote tanα.

Obr.: Parciálna derivácia funkcie dvoch premenných.


premenných



Taylorov vzorec


6.8

Poznámka 1.2

Obdobne sa de�nuje parciálna derivácia funkcie f pod©a premennejy v bode (x0, y0):

fy (x0, y0) = limy→y0

f (x0, y)− f (x0, y0)

y − y0.

Pre de�níciu parciálnej derivácie funkcie f v bode a pod©apremennej xi , i = 1, 2, . . . , n predpokladáme bu¤, ºe a ∈ D(f )◦,alebo, ºe a ∈ D(f )d a f je de�novaná na mnoºineIi = {x ∈ O(a) : xj = aj , kde j 6= i , j = 1, 2, . . . , n}.

De�nícia 1.2

Nech funkcia f : z = f (x) je de�novaná v bode a a i ∈ {1, . . . , n}.

Ak existuje vlastná limita (ϕ′i (ai ) =) limxi→ai

ϕi (xi )− ϕi (ai )

xi − ai=

limxi→ai

f (a1, . . . , ai−1, xi , ai+1, . . . , an)− f (a1, . . . , an)

xi − ai,

tak ju nazývame parciálna derivácia funkcie f pod©a premennej xi v

bode a, ozna£ujeme∂f (a)

∂xi, resp.

[∂f (x)

∂xi

]x=a

, f ′xi (a),

i = 1, 2, . . . , n.


premenných



Taylorov vzorec


6.9

Poznámka 1.3

Parciálnou deriváciou funkcie f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) pod©apremennej xi rozumieme takú funkciu g(x) = g(x1, x2, . . . , xn),ktorej D(g) je mnoºina bodov, v ktorých existuje fxi a ktorýchhodnota sa v kaºdom bode jej de�ni£ného oboru rovnáparciálnej derivácii funkcie f pod©a xi v tom bode.

Treba si dobre uvedomi´, ºe parciálna derivácia funkcie f npremenných pod©a premennej xi je opä´ funkcia n premenných,

ozna£ujeme ju∂f (x)

∂xi, resp. f ′xi (x), i = 1, 2, . . . , n.

Ak po£ítame napr. parciálnu deriváciu funkcie f pod©apremennej xi , i ∈ {1, 2, . . . , n}, tak funkciu f povaºujeme zafunkciu len premennej xi a ostatné jej premenné povaºujeme zakon²tanty.

Ke¤ºe parciálna derivácia je de�novaná ako �oby£ajná�derivácia (parciálnej) funkcie jednej premmenej, platia prevýpo£et parciálnych derivácií obvyklé pravidlá - sú£tu, rozdielu,sú£inu a podielu.


premenných



Taylorov vzorec


6.10

Pre funkciu jednej premennej z existencie derivácie funkcie v danombode vyplýva jej spojitos´ v tomto bode. U funkcií viac premennýchtoto tvrdenie neplatí.

Úloha 1.1

Uvaºujme funkciu

f (x , y) =

2xy

x2 + y2, (x , y) 6= (0, 0)

0, (x , y) = (0, 0).

Ukáºte, ºe f má parciálnu deriváciu pod©a premennej x aj y v bode(0, 0). �alej ukáºte, ºe f nie je v bode (0, 0) spojitá.

Poznámka 1.4

Je to spôsobené tým, ºe parciálne derivácie charakterizujú, dávajúinformáciu, popisujú správanie sa funkcie len v smerochrovnobeºných so súradnicovými osami, v ostatných smeroch sa danáfunkcia môºe správa´ �ve©mi divoko�.


premenných



Taylorov vzorec


6.11

Úloha 1.2

Vypo£ítajte parciálne derivácie v bode (0, 0) funkcie f danejvzáhom

f (x , y) =

{1, x = 0 ∨ y = 0

0, inak.

Je funkcia v bode (0, 0) spojitá?

Poznámka 1.5

Uvedomme si, ºe parciálne derivácie funkcie dávajú informáciu len osprávaní sa funkcie v smeroch rovnobeºných so súradnicovýmiosami.O správaní sa funkcie v iných smeroch nevieme zatia© poveda´ ni£(na to nám poslúºi pojem derivácia funkcie v smere).

Pokra£ujme ¤alej v úvahe pre funkciu dvoch premenných. Rovnicevy²²ie spomínaných doty£níc sú nasledovné:

z − f (a) = fx(a) (x − x0), y = y0,

z − f (a) = fy (a) (y − y0), x = x0.


premenných



Taylorov vzorec


6.12

Ich parametrické rovnice pre t ∈ R sú:

x = t

y = y0

z = f (a)− ∂f (a)

∂xx0 +

∂f (a)

∂xt,

x = x0,

y = t,

z = f (a)− ∂f (a)

∂yy0 +

∂f (a)

∂yt.

(1)

Smerovými vektormi týchto doty£níc sú vektory(1, 0,

∂f (a)

∂x

)a(

0, 1,∂f (a)

∂y

). Tie sú lineárne nezávislé a teda uvedené doty£nice

ur£ujú dotykovú rovinu ku grafu G funkcie f v bode T . Ichvektorový sú£in predstavuje normálový vektor

~n =

(1, 0,

∂f (a)

∂x

)×(0, 1,

∂f (a)

∂y

)=

(−∂f (a)

∂x,−∂f (a)

∂y, 1)

danej dotykovej roviny.


premenných



Taylorov vzorec


6.13

Ke¤ºe bod T = (x0, y0, f (x0, y0)) patrí do danej roviny, dostávametak nasledujúcu rovnicu dotykovej roviny ku grafu G funkcie f vbode T

z − f (a) =∂f (a)

∂x(x − x0) +

∂f (a)

∂y(y − y0).

Otázkou ale ostáva, kedy dotyková rovina ku grafu funkcie v bodeexistuje?

Poznámka 1.6 (Fyzikálny význam parciálnych derivácií)

Ak funkcia f vyjadruje závislos´ nejakej veli£iny z od veli£ín x , y , tj.

z = f (x , y), tak∂f (a1, a2)

∂xcharakterizuje, udáva rýchlos´ akou sa

menia hodnoty veli£iny z vzh©adom na zmenu hodnôt veli£iny x zapredpokladu, ºe hodnoty veli£iny y sa nemenia (y = a2) v bode

(a1, a2). Analogický význam má aj∂f (a1, a2)

∂y.


premenných



Taylorov vzorec


6.14

Diferencovate©nos´ funkcie a jej diferenciál

Kedy vieme danú funkciu v okolí nejakého bodu (lokálne)aproximova´ lineárnou funkciou? Potrebujeme zavies´ uºito£nýpojem diferencovate©nosti funkcie viac premenných v bode a pojemtotálneho diferenciálu funkcie v bode. Ako to bolo v prípade funkciejednej premennej?

Obr.: Diferenciál funkcie jednej premennej.

Cie©om bolo nájs´ £íslo A ∈ R : f (x0 + h)− f (x0).

= Ah, kde |h| jemalé reálne £íslo, pritom chybou je ω(h) = f (x0 + h)− f (x0)− Ah

a má pre ¬u plati´ limh→0

ω(h)

h= 0.


premenných



Taylorov vzorec


6.15

So zavedením týchto pojmov okamºite vznikajú otázky: Kedy jedaná funkcia diferencovate©ná v bode? Sta£i k tomu iba existenciaparciálnych derivácií ako u funkcií jednej premennej?

U funkcie viac premenných má diferenciál podstatne vä£²ívýznam.

Jeho geometricky význam je síce podobný (náhrada grafufunkcie dotykovou rovinou), ale jeho súvislos´ s parciálnymideriváciami je ove©a zloºitej²ia.

Uvaºujme najprv funkciu dvoch premenných f de�novanú na okolíbodu (x0, y0). Vezmime £ísla (prírastky nezávislých premenných)h, k : 0 < |h|, |k| � 1 a posu¬me sa do bodu (x0 + h, y0 + k)4.Prírastok závislej premennej f (x0 + h, y0 + k)− f (x0, y0) je dobrede�novaný. Teraz chceme funkciu f nahradi´ lineárnou funkciou (jejgrafom je rovina). Takºe chceme nájs´ £ísla

A,B ∈ R : f (x0 + h, y0 + k)− f (x0, y0).

= Ah + B k

(v dostato£nej blízkosti bodu (x0, y0)).

4Z bodu (x0, y0) sa posunieme o hodnotu h horizontálne a o hodnotu kvertikálne.


premenných



Taylorov vzorec


6.16

Chyba, ktorej sa dopú²áme je

ω(h, k) := f (x0 + h, y0 + k)− f (x0, y0)− Ah − B k.

Opä´ chceme, aby pre dostato£ne malé h, k nadobúdala hodnotyblízke nule. Takºe je rozumné poºadova´, aby sa limita ω podelenávzdialenosóu bodov (x0 + h, y0 + k) a (x0, y0) rovnala nule preh, k → 0.

Obr.: Prírastky v 2D, pri£om h < 0, k > 0.


premenných



Taylorov vzorec


6.17

Poºadujeme teda aby lim(h,k)→(0,0)

ω(h, k)√h2 + k2

= 0.

De�nícia 2.1

Nech funkcia f je de�novaná na nejakom O(x0, y0). Hovoríme, ºefunkcia f je diferencovate©ná v bode (x0, y0), ak existujú k1, k2 ∈ Ra funkcia ω(x , y) spojitá v bode (x0, y0) s hodnotou ω(x0, y0) = 0také, ºe pre kaºdý bod (x , y) z O(x0, y0) platí

f (x , y)−f (x0, y0) = k1(x−x0)+k2(y−y0)+ω(x , y)√

(x − x0)2 + (y − y0)2.

Poznámka 2.1

Prakticky to znamená, ºe na overenie diferencovate©nosti funkcie fz de�nície treba spo£íta´ limitua (s �nájdenými� kon²tantami k1, k2):

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y)− f (x0, y0)− k1(x − x0)− k2(y − y0)√(x − x0)2 + (y − y0)2

(2)

a ukáza´, ºe je nulová.

a

lim(x,y)→(x0,y0)

ω(x, y)√(x − x0)

2 + (y − y0)2


premenných



Taylorov vzorec


6.18

V²imnime si teraz kon²tanty k1 a k2. Predpokladajme, ºe je funkciaf diferencovate©ná v bode (x0, y0). Teda platí (2) a ²peciálne prex − x0 = h, y − y0 = k a vo©bu k = 0 dostaneme

limh→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)− k1 h

|h|= 0.

Ke¤ºe je výrazh

|h|pre h 6= 0 ohrani£ený, platí

limh→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)− k1 h

|h||h|h

= 0,

a teda nutne limh→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h= k1. To v²ak znamená,

ºe existuje parciálna derivácia∂f (x0, y0)

∂xa je rovná k1. Podobne

platí∂f (x0, y0)

∂y= k2.


premenných



Taylorov vzorec


6.19

Geometrický význam diferenciálu. Uº vieme, ºez diferencovate©nosti vyplýva existencia parciálnych derivácií;to znamená, ºe máme 2 priamky t1, t2 - doty£nice v bodeM0 = (x0, y0, f (x0, y0)) ku krivkám, ktoré sú priese²£nice grafuG a rovín idúcich cez bod M0 rovnobeºne so súr. osami;rovina τ ur£ená priamkami t1, t2 je práve dotykovou rovinou kugrafu G funkcie f v bode M0;

Obr.: Geometrický význam diferenciálu.


premenných



Taylorov vzorec


6.20

Pozrime sa na predchádzajúci obrázok, pri£om pracujeme v 1.oktante.

rovina ρ 3 M0 je vodorovnátrojuholník M0K1N1 je pravouhlý, teda

|−−−→K1N1| = |

−−−→M0K1| tan^(

−−−→M0K1,

−−−→M0N1) = h

∂f (x0, y0)

∂x

teda−−−→M0N1 =

(h, 0, h

∂f (x0, y0)

∂x

)trojuholník M0K1N1 je tieº pravouhlý

teda podobne−−−→M0N2 =

(0, k , k

∂f (x0, y0)

∂y

)celkovo:

−−→M0N =

−−−→M0N1 +

−−−→M0N2 = (h, k , h fx(x0, y0) + k fy (x0, y0)),

kde h fx(x0, y0) + k fy (x0, y0) := df(x0,y0)(h, k)

av²ak z−−→M0N = (h, k , |

−→KN|) máme |

−→KN| = df(x0,y0)(h, k)


premenných



Taylorov vzorec


6.21

Z týchto úvah vidíme, ºe f (x0 + h, y0 + k)− f (x0, y0) = |−−→KM| =

|−→KN|+ |

−−→NM| = df(x0,y0)(h, k) + |

−−→NM|. Zrejme teda

|−−→NM| = ω(h, k) a |

−→KN| = df(x0,y0)(h, k)

(nelineárna resp. lineárna £as´ prírastku) vyjadrujú spolu skuto£nýprírastok ∆f (x0, y0) = f (x0 + h, y0 + k)− f (x0, y0). Podobnezavedieme pojem diferencovate©nosti pre funkcie troch a viacpremenných.

De�nícia 2.2

Nech funkcia f je de�novaná na O(a), a = (a1, a2, . . . , an).Hovoríme, ºe funkcia f je diferencovate©ná v bode a, ak existujúk1, k2, . . . , kn ∈ R a funkcia ω(x) spojitá v bode a s hodnotouω(a) = 0 také, ºe pre kaºdý bod x = (x1, x2, . . . , xn) z O(a) platí

f (x)− f (a) =n∑

i=1

ki (xi − ai ) + ω(x)ρ(x, a).


premenných



Taylorov vzorec


6.22

Výraz (rozdiel) f (x)− f (a) nazývame diferenciou, resp.prírastkom funkcie f v bode a, ozna£ujeme ho 4f (a, x).

Výrazn∑

i=1

ki (xi − ai ) nazývame totálny diferenciál funkcie f v

bode a, ozna£ujeme ho df (a, x) (príp. dfa(x)).

Je dôleºité si uvedomi´, ºe diferenciál funkcie f v bode a jeopä´ lineárnou funkciou výrazov xi − ai , resp. prírastkovnezávislých premenných xi alebo presnej²ie lineárnou funkciounezávislých premenných x1, x2, . . . , xn.

Pozor pre funkciu viac premenných neplatí tvrdenie: �f jediferencovate©ná v bode a práve vtedy, ke¤ má v²etky parciálnederivácie v bode a.�


premenných



Taylorov vzorec


6.23

Videli sme, ºe Lagrangeova veta o strednej hodnote, resp. oprírastku funkcie jednej premennej mala ve©ký význam pri skúmanívlastností tejto funkcie. Dokáºeme, ºe podobná veta platí i prefunkcie viac premenných, pri£om �body strednej hodnoty� budú leºańa hranách n−rozmerného kvádra ur£eného danými dvoma bodmi.

Veta 2.1 (Lagrangeova veta o prírastku funkcie)

Nech funkcia f je de�novaná na O(a), a = (a1, a2, . . . , an) a nechna tom okolí má parciálne derivácie (pod©a kaºdej svojejpremennej). Nech bod b = (b1, b2, . . . , bn) je ©ubovolný bod zO(a). Potom existujú body P1,P2, . . . ,Pn v O(a) také, ºeρ(Pi , a) < ρ(b, a), i = 1, 2, . . . , n a platí

f (b)− f (a) =n∑

i=1

∂f (Pi )

∂xi(bi − ai ).

Lagrangeova veta má aj nasledujúci dôsledok, ktorý predstavuje istúanalógiu odpovedajúceho dôsledku pre funkcie jednej premennej.

Dôsledok 2.1

Nech funkcia f má na oblasti M ⊂ En v²etky parciálne derivácierovné nule. Potom funkcia f je kon²tantná na tejto oblasti.


premenných



Taylorov vzorec


6.24

My uº vieme, ºe z existencie parciálnych derivácii funkcie v bode anevyplýva spojitos´ danej funkcie v tomto bode. Je potrebné pridańejaký predpoklad.

Veta 2.2

Ak funkcia f má ohrani£ené v²etky parciálne derivácie na otvorenejmnoºine M, potom je na nej spojitá.

Dôsledok 2.2

Ak má funkcia f parciálne derivácie v O(a) a sú v bode a spojité,potom existuje okolie bodu a, na ktorom je f spojitá.

Veta 2.3 (Nutná podmienka diferencovate©nosti funkcie v bode)

Ak funkcia f je diferencovate©ná v bode a, potom je v ¬om spojitá.


premenných



Taylorov vzorec


6.25

Úloha 2.1

Je funkcia z úlohy 1.2 v²ade diferencovate©ná?

Veta 2.4 (Nutná podmienka diferencovate©nosti funkcie v bode)

Ak funkcia f je diferencovate©ná v bode a, potom má v²etky

parciálne derivácie v bode a, pri£om∂f (a)

∂xi= ki , i = 1, 2, . . . , n

(kon²tanty ki sú tie z de�nície diferencovate©nosti funkcie v bode).

Predchádzajúca veta hovorí, ºe diferencovate©nos´ funkcie v bodezaru£uje existenciu jej v²etkých parciálnych derivácií v tom bode.Pozor! Opa£né tvrdenie neplatí, tj. neplatí: �ak funkcia f má v²etkyparciálne derivácie v bode, potom je v tom bode diferencovate©ná.�Sta£í uvaºova´ funkciu z úlohy 1.1.


premenných



Taylorov vzorec


6.26

Platí v²ak nasledujúce tvrdenie.

Veta 2.5 (Posta£ujúca podmienka diferencovate©nosti funkcie v bode)

Nech funkcia f má na nejakom okolí bodu a parciálne deriváciepod©a kaºdej svojej premennej a sú spojité v bode a. Potom funkciaf je diferencovate©ná v bode a.

Príklad 2.1

Overme, ºe funkcia f : z = arctanx

ymá v bode (−1, 1) totálny

diferenciál, a nájdime ho.Zrejme je D(f ) = {(x , y) ∈ R2 : y 6= 0}. Na D(f ) platí

∂f

∂x=

y

x2 + y2,∂f

∂y=

x

x2 + y2,

pri£om derivácie sú tam spojité. Totálny diferenciál teda existuje a

ke¤ºe∂f

∂x(−1, 1) =

∂f

∂y(−1, 1) =

12máme

df(−1,1)(h, k) =h + k

2=

x + 1 + y − 12

.


premenných



Taylorov vzorec


6.27

Pozor predchádzajúca podmienka nie je nutnou podmienkou.Existuje funkcia, ktorá je v bode diferencovate©ná, nemá v tombode spojité parciálne derivácie.

Príklad 2.2

Nech φ(t) =

t2 sin1t, t 6= 0,

0, t = 0.Potom sa dá ukáza´, ºe funkcia

Φ(x , y) = φ(x) + φ(y) nemá v bode (0, 0) spojité parciálnederivácie, ale je v ¬om diferencovate©ná.

Pre poriadok si uve¤me zhrnutie (ºiadna z implikácií sa nedáobráti´):

df existuje ⇒ f je spojitádf existuje ⇒ fx a fy existujúfx a fy existujú potom df nemusí existova´f je spojitá fx a fy existujú potom df nemusí existova´fx a fy sú spojité ⇒ df existujedf existuje potom fx a fy nemusia by´ spojité

Tabu©ka: Zhrnutie


premenných



Taylorov vzorec


6.28

Poznámka 2.2 (Vzáh diferencie a diferenciálu funkcie v bode)

Ak funkcia f je diferencovate©ná v bode a, tak pre ©ubovo©ný bod

x ∈ O(a) platí f (x)− f (a) =n∑

i=1

∂f (a)

∂xi(xi − ai ) + ω(x)ρ(x, a).

Ke¤ºe limx→a

ω(x) = 0, tak pre v²etky body x �blízke� bodu a môºeme

výraz ω(x)ρ(x, a) zanedba´. Pre takéto body x je

f (x)− f (a).

=n∑

i=1

∂f (a)

∂xi(xi − ai ), resp. 4f (a, x)

.= df (a, x). Tento

vzáh sa pouºíva na pribliºný výpo£et funk£ných hodnôt.

Príklad 2.3

Vypo£ítajme pribliºne hodnotu 3√

0.982 + 0.053. Ozna£mef (x , y) = 3

√x2 + y3, máme ur£i´ f (0.98, 0.05). Zvo©me

(x0, y0) = (1, 0) a (x − 1, y − 0) = (h, k) = (−0.02, 0.05). Zrejmef (0.98, 0.05)

.= f (1, 0) + df(1,0)(−0.02, 0.05) a

∂f

∂x(1, 0) =

25,∂f

∂y(1, 0) = 0.

Teda f (0.98, 0.05).

= 1− 0.4× 0.02 + 0× 0.05 = 0.992.


premenných



Taylorov vzorec


6.29

Rovnako ako u funkcie jednej premennej potrebujeme aj u funkciíviac premenných ur£i´ parciálne derivácie zloºených funkcií.Rozlí²ime nasledujúce dva prípady:I) Uvaºujme funkciu F (x) = f (ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕm(x)), teda

zloºená funkcia F je funkciou len jednej premennej. Platítvrdenie.

Veta 2.6

Nech funkcie ti = ϕi (x), i = 1, 2, . . . ,m majú deriváciu v bodea ∈ E1. Nech funkcia y = f (t1, t2, . . . , tm) je diferencovate©ná vbode b = (ϕ1(a), ϕ2(a), . . . , ϕm(a)) ∈ Em. Potom zloºená funkciaF (x) = f (ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕm(x)) má deriváciu v bode a, pri£om

platí F ′(a) =m∑i=1

∂f (b)

∂ti· ϕ′i (a).

Poznámka 2.3

Deriváciu zloºenej funkcie F (x) môºeme zapísa´ v tvare

F ′(x) =∂f (t1, . . . , tm)

∂t1· ϕ′

1(x) + · · ·+ ∂f (t1, . . . , tm)

∂tm· ϕ′m(x),

pri£om do parciálnych derivácií∂f (t1, . . . , tm)

∂titreba dosadi´ ϕi (x)

namiesto ti , i = 1, 2, . . . ,m.


premenných



Taylorov vzorec


6.30

II) Uvaºujme teraz zloºenú funkciuF (x) = f (ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕm(x)), teda zloºená funkcia F jefunkciou viac premenných. Platí nasledujúca veta.

Veta 2.7

Nech funkcie ti = ϕi (x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2, . . . ,m majú parciálnederivácie pod©a kaºdej svojej premennej v bodea = (a1, a2, . . . , an) ∈ En. Nech funkcia y = f (t1, t2, . . . , tm) jediferencovate©ná v bode b = (ϕ1(a), ϕ2(a), . . . , ϕm(a)) ∈ Em.Potom zloºená funkcia F (x1, x2, . . . , xn) =f (ϕ1(x1, x2, . . . , xn), ϕ2(x1, x2, . . . , xn), . . . , ϕm(x1, x2, . . . , xn)) máparciálne derivácie pod©a kaºdej svojej premennej v bode

a = (a1, a2, . . . , an), pri£om platí∂F (a)

∂xk=

m∑i=1

∂f (b)

∂ti· ∂ϕi (a)

∂xk,

k = 1, 2, . . . , n.


premenných



Taylorov vzorec


6.31

Poznámka 2.4

Parciálne derivácie prvého rádu zloºenej funkcieF (x) = f (ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕm(x)), x ∈ En pod©a kaºdej jejpremennej môºeme stru£ne zapísa´ v tvare

∂F

∂x1=

∂f

∂t1· ∂ϕ1

∂x1+∂f

∂t2· ∂ϕ2

∂x1+ · · ·+ ∂f

∂tm· ∂ϕm

∂x1,

∂F

∂x2=

∂f

∂t1· ∂ϕ1

∂x2+∂f

∂t2· ∂ϕ2

∂x2+ · · ·+ ∂f

∂tm· ∂ϕm

∂x2,

...

∂F

∂xn=

∂f

∂t1· ∂ϕ1

∂xn+∂f

∂t2· ∂ϕ2

∂xn+ · · ·+ ∂f

∂tm· ∂ϕm

∂xn,

pri£om do parciálnych derivácií∂f

∂titreba dosadi´ ϕi (x1, x2, . . . , xn)

namiesto ti , i = 1, 2, . . . ,m.


premenných



Taylorov vzorec


6.32

Poloºme si teraz otázku: Kedy uvedená zloºená funkcia jediferencovate©ná v bode a ∈ En?

Veta 2.8

Nech funkcie ti = ϕi (x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2, . . . ,m súdiferencovate©né v bode a = (a1, a2, . . . , an) ∈ En. Nech funkciay = f (t1, t2, . . . , tm) je diferencovate©ná v bodeb = (ϕ1(a), . . . , ϕm(a)) ∈ Em. Potom zloºená funkciaF (x1, x2, . . . , xn) = f (ϕ1(x1, x2, . . . , xn), . . . , ϕm(x1, x2, . . . , xn)) jediferencovate©ná v bode a = (a1, a2, . . . , an) a pre jej diferenciál v

bode a platí dF (a, x) =n∑

k=1

(xk − ak)m∑i=1

∂f (b)

∂ti· ∂ϕi (a)

∂xk.

Pri funkcii jednej premennej sme mali zavedené algebraické operácies funkciami majúcimi deriváciu v bode. V prípade funkcie viacpremenných si algebraické operácie zavedieme len prediferencovate©né funkcie v bode.


premenných



Taylorov vzorec


6.33

Veta 2.9

Nech funkcie f1, f2 sú diferencovate©né v bode a = (a1, a2, . . . , an)a nech c1, c2 ∈ R. Potom aj funkcie c1f1 + c2f2, f1 · f2 súdiferencovate©né v bode a, ak naviac f2(a) 6= 0, je diferencovate©ná

v bode a aj funkciaf1f2. Pre diferenciály týchto funkcií platí

a) d(c1f1 + c2f2)(a, x) = c1df1(a, x) + c2df2(a, x);

b) d(f1 · f2)(a, x) = df1(a, x)f2(a) + f1(a)df2(a, x);

c) d

(f1f2

)(a, x) =

df1(a, x)f2(a)− f1(a)df2(a, x)

f 22

(a).

Uº vieme, ºe parciálne derivácie dávajú informáciu o správaní safunkcie v smeroch rovnobeºných so súradnicovými osami.Informáciu o tom ako sa funkcia správa v iných smeroch nám dávatzv. derivácia funkcie v smere � smerová derivácia. Ide o prirodzenézov²eobecnenie pojmu parciálnej derivácie funkcie.


premenných



Taylorov vzorec


6.34

Túto deriváciu funkcie f v danom bode a v smere vektora ~uzískame pomocou �²peciálnej� parciálnej funkcie, ktorej de�ni£nýoborom bude zúºenie de�ni£ného oboru funkcie f na �priamku�idúcu daným bodom a a majúcu smer daného vektora ~u. Toznamená, ºe budeme vlastne vy²etrova´ funkciu ϕ(t) = f (a + t · ~u),ktorá uº je len funkciou jednej premennej.

De�nícia 2.3

Nech funkcia f je de�novaná na nejakom okolí bodu a ∈ En a nech~u je jednotkový vektor v priestore En. Hovoríme, ºe funkcia f má vbode a deriváciu v smere jednotkového vektora ~u, ak existuje

vlastná limita limt→0+

f (a + t · ~u)− f (a)

t, ozna£ujeme ju

df (a)

d~u.

Uvedomme si, ºe platí

df (a)

d~u= lim

t→0+

f (a + t · ~u)− f (a)

t= lim

t→0+

ϕ(t)− ϕ(0)

t= ϕ′+(0),

pri£om ϕ(t) = f (a + t · ~u).


premenných



Taylorov vzorec


6.35

Podstatná je �jednotková� ve©kos´ vektora ~u, tj. skuto£nos´, ºe|~u| = 15. Uvaºujme ~v = c · ~u, kde c ∈ R+.Potom máme

df (a)

d~v= lim

t→0+

f (a + t · ~v)− f (a)

t= lim

t→0+

(f (a + t · c · ~u)− f (a)) · ct · c

=

∣∣∣∣ c · t = st → 0+ ⇒ s → 0+

∣∣∣∣ = c lims→0+

f (a + s · ~u)− f (a)

s= c · df (a)

d~u.

Hodnota derivácie funkcie v danom bode a v smere©ubovo©ného vektora ~v závisí od jeho ve©kosti.

To nie je ºiadúce, lebo my chceme hodnoty smerových deriváciíporovnáva´.

K tomu je nutné uvaºova´ vºdy jednotkový vektor ~u.

Poznámka 2.5

Parciálne derivácie funkcie y = f (x1, x2, . . . , xn) sú vlastne smerovéderivácie tejto funkcie v danom bode v smere súradnicových osí(presnej²ie v smere príslu²ných jednotkových vektorov).

5Ak ~u = (u1, u2, . . . , un), tak |~u| =√

u21+ u2

2+ · · ·+ u2n = 1.


premenných



Taylorov vzorec


6.36

Naozaj, zrejme pre y = f (x1, x2) máme, ºe

df (a)

d~i= lim

t→0+

f (a + t ·~i)− f (a)

t= lim

t→0+

f (a1 + t, a2)− f (a1, a2)

t=

=∂f (a)

∂x, kde a = (a1, a2),~i = (1, 0). Podobne

df (a)

d~j=∂f (a)

∂y,

kde~j = (0, 1). Uvaºujme ¤alej jednotkový vektor ~u = (u1, u2, u3) v©ubovo©nom smere (tj. |~u| = 1). Tento ©ubovo©ný jednotkový vektorvieme vyjadri´ aj inak. Platí

~u ·~i = |~u| · |~i| · cosα = cosα, ~u ·~i = u1 a teda u1 = cosα, kdeα je uhol, ktorý zviera vektor ~u s vektorom~i (resp. s osou x);

podobne u2 = cosβ, kde β je uhol, ktorý zviera vektor ~u svektorom~j (resp. s osou y);

podobne u3 = cos γ, kde γ je uhol, ktorý zviera vektor ~u svektorom ~k (resp. s osou z).

Teda jednotkový vektor ~u v ©ubovo©nom smere vieme napísa´ vtvare ~u = (cosα, cosβ, cos γ).


premenných



Taylorov vzorec


6.37

Uvaºujme teraz funkciu y = f (x1, x2, x3), ktorá je diferencovate©náv bode a = (a1, a2, a3). Pozrime sa na deriváciu funkcie f v bode av smere ©ubovo©ného jednotkového vektora ~u. Ozna£me si

ϕ(t) = f (a + t · ~u) = f (a1 + t cosα, a2 + t cosβ, a3 + t cos γ).

Vieme, ºedf (a)

d~u= ϕ′+(0). Na druhej strane, funkcia ϕ je zloºenou

funkciou tvaru ϕ(t) = f (x1, x2, x3), kde x1 = a1 + t cosα,x2 = a2 + t cosβ, x3 = a3 + t cos γ. Pre jej deriváciu platí, ºe

ϕ′(t) =∂f (x1, x2, x3)

∂x1cosα+

∂f (x1, x2, x3)

∂x2cosβ+

∂f (x1, x2, x3)

∂x3cos γ,

pri£om x1 = a1 + t cosα, x2 = a2 + t cosβ, x3 = a3 + t cos γ. Teda

df (a)

d~u= ϕ′+(0) =

∂f (a)

∂x1cosα +

∂f (a)

∂x2cosβ +

∂f (a)

∂x3cos γ.


premenných



Taylorov vzorec


6.38

Pravá strana predchádzajúcej rovnosti je vlastne skalárny sú£indvoch vektorov, presnej²ie vektora(

∂f (a)

∂x1,∂f (a)

∂x2,∂f (a)

∂x3

)=~i

∂f (a)

∂x1+~j

∂f (a)

∂x2+ ~k

∂f (a)

∂x3

a vektora

~u = (cosα, cosβ, cos γ) =~i cosα +~j cosβ + ~kγ.

Vektor(∂f (a)

∂x1,∂f (a)

∂x2,∂f (a)

∂x3

)nazývame gradientom funkcie f v

bode a, ozna£ujeme ho gradf (a), resp. ∇f (a). Následne môºemepísa´ formulu

df (a)

d~u= gradf (a) · ~u,

ktorá hovorí (ak je f diferencovate©ná), ºe derivácia funkcie f vbode a v smere jednotkového vektora ~u sa rovná skalárnemu sú£inugradientu funkcie f v bode a a vektora ~u.


premenných



Taylorov vzorec


6.39

Úloha 2.2

Ukáºte, ºe funkcia

f : R2 → R, (x , y) 7→

0, (x , y) = (0, 0)x3

x2 + y2, (x , y) 6= (0, 0)

nie je diferencovate©ná v bode (0, 0), ale má v ¬om deriváciu vkaºdom smere.

Otázka: Kedy je derivácia funkcie f v bode a najvä£²ia? V ktoromsmere? Ak δ je uhol, ktorý zviera jednotkový vektor ~u s vektoromgradf (a), potom

df (a)

d~u= gradf (a) · ~u = |gradf (a)| · |~u| · cos δ = |gradf (a)| · cos δ.

Vidíme, ºe hodnotadf (a)

d~uje najvä£²ia, ke¤ cos δ = 1, tj. vtedy,

ke¤ vektor ~u a vektor gradf (a) zvierajú uhol δ = 0. Takºe gradientfunkcie v bode �ukazuje� v smere najvä£²ieho rastu. Taktieº siuvedomme, ºe vektor −gradf (a) udáva smer najvä£²ieho poklesufunkcie f v bode a.


premenných



Taylorov vzorec


6.40

Poznámka 2.6

Predstavme si lyºiara stojaceho na ²ikmom svahu (ktorý je grafomfunkcie f (x , y)) tak, ºe smer lyºí je kolmý k vrstevniciam a ²pi£kymieria hore. Potom je ve©kost gradientu rovná tangensu uhla, ktorýzvierajú lyºe s vodorovnou rovinou. Kolmý priemet lyºí dovodorovnej roviny má rovnaký smer a orientáciu (ur£enú ²pi£kami)ako gradient.


premenných



Taylorov vzorec


6.41

Derivácie a diferenciály vy²²ích rádov

Uvaºujme funkciu y = f (x1, x2, . . . , xn) a predpokladajme, ºe

má na mnoºine M ⊆ D(f ) parciálne derivácie prvého rádu∂f

∂xi,

i = 1, . . . , n.

Kaºdá z týchto funkcií (derivácií) je opä´ funkciou npremenných de�novanou na mnoºine M.

Môºe sa sta´, ºe existujú ich parciálne derivácie prvého rádu nanejakej mnoºine M1 ⊆ M.

Ak tieto parciálne derivácie existujú, budeme im hovori´parciálne derivácie druhého rádu funkcie f a budeme ich

ozna£ova´∂

∂xj

(∂f

∂xi

)alebo stru£nej²ie

∂2f

∂xj∂xi,

i , j = 1, 2, . . . , n.

Ak bude xi = xj , tak budeme ozna£ova´ príslu²nú druhú

parciálnu deriváciu funkcie f pod©a xi znakom∂2f

∂x2i.

Funkcia f má n2 parciálnych derivácií druhého rádu.


premenných



Taylorov vzorec


6.42

Príklad 3.1

Uvaºujme funkciu f (x , y) = x3y2 + y3x4. V²imnime si, ºe∂2f

∂y∂x=

∂2f

∂x∂yna celom priestore E2.

Tento príklad ukazuje, ºe pre danú funkciu sa parciálne deriváciedruhého rádu rovnajú. Hovoríme tomu, ºe parciálne derivácie súzámenné. Sú druhé parciálne derivácie ©ubovo©nej funkcie zámenné?Ak nie, za akých podmienok, predpokladov uº budú zámenné?Odpove¤ na prvú otázku je záporná.

Úloha 3.1

Uvaºujme funkciu f (x , y) =xyx2 − y2

x2 + y2, (x , y) 6= (0, 0)

0, (x , y) = (0, 0),.

Ukáºte, ºe∂2f (0, 0)

∂y∂x6= ∂2f (0, 0)

∂x∂y.

Teda, ºe parciálne derivácie druhéhorádu funkcie f v bode (0, 0) nie súzámenné!


premenných



Taylorov vzorec


6.43

Za dos´ rozumných predpokladov, ktoré sú v beºných prípadochsplnené, rovnos´ platí. Uvedieme si nieko©ko tvrdení. Najprv siuvedieme vetu, ktorá zah¯¬a informáciu o hladkosti práve týchderivácií, ktoré chceme zamie¬a´ (uvedieme ju len pre rád 2).

Veta 3.1

Nech v O(a) existujú parciálne derivácie∂2f

∂xj∂xi,

∂2f

∂xi∂xji , j ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j a sú v bode spojité. Potom sú v bode azámenné.

Predchádzajúca veta má jednu nevýhodu. Aby sme overili jejpredpoklady, musíme spo£íta´ fxjxi a fxixj a zisti´, £i sú spojité. Aleto uº zárove¬ vidíme, ak sú aj rovnaké. Takºe jej pouºitie nie jeve©mi efektívne. To odstra¬uje silnej²ia verzia.

Veta 3.2

Nech funkcia y = f (x1, x2, . . . , xn) je taká, ºe parciálne derivácie∂f

∂xi,∂f

∂xj, i , j ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j sú diferencovate©né v bode a.

Potom platí, ºe∂2f (a)

∂xi∂xj=∂2f (a)

∂xj∂xi, tj. tieto parciálne derivácie

druhého rádu funkcie f v bode a sú zámenné.

Vzh©adom na skuto£nos´, ºe overovanie diferencovate©nosti funkciev bode nie je príli² jednoduché, uvádzame aj nasledujúce tvrdenie.


premenných



Taylorov vzorec


6.44

Veta 3.3 (Schwarzova veta)

Nech parciálne derivácie∂f

∂xi,∂f

∂xj, i , j ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j existujú

v O(a) a∂2f

∂xi∂xjexistuje v O∗(a) a existuje limitaa

limx→a

∂2f

∂xi∂xj= K , K ∈ R.

Potom v bode a existuje aj∂2f

∂xj∂xia platí, ºe

∂2f (a)

∂xi∂xj=∂2f (a)

∂xj∂xi.

aNa to sta£í aby fxi xj bola v a spojitá.

Vä£²inou pracujeme s rozumnými funkciami a ©ahko sa overiapredpoklady nasledujúceho dôsledku.

Dôsledok 3.1

Ak sú v²etky parciálne derivácie druhého rádu funkcie f spojité vbode a, potom sú v²etky v tomto bode zámenné.


premenných



Taylorov vzorec


6.45

Podobne ako to bolo pri parciálnych deriváciách druhého rádu. Akparciálne derivácie rádu k − 1 funkcie f majú parciálne derivácie,nazývame tieto parciálne derivácie parciálnymi deriváciami k-tého

rádu funkcie f , ozna£ujeme ich∂k f

∂xi1∂xi2 . . . ∂xik, kde

i1, i2, . . . , ik ∈ {1, 2, . . . , n}. Budeme hovori´, ºe dve parciálne

derivácie k-tého rádu funkcie f∂k f

∂xi1∂xi2 . . . ∂xik,

∂k f

∂xj1∂xj2 . . . ∂xjksa

lí²ia len poradím derivovania, ak k-tica (j1, j2, . . . , jk) vznikne lenpremiestením zloºiek k-tice (i1, i2, . . . , ik).

Poznámka 3.1

Vo v²eobecnosti sa parciálne derivácie k-tého rádu funkcie f , ktorésa lí²ia len poradím derivovania, nemusia rovna´.

Platí v²ak veta, ktorá hovorí kedy parciálne derivácie k-tého rádufunkcie f sú zámenné, tj. kedy parciálne derivácie k-tého rádufunkcie f lí²iace sa len poradím derivovania sa sebe rovnajú.


premenných



Taylorov vzorec


6.46

Veta 3.4

Ak sú v²etky parciálne derivácie k-tého rádu funkcie f spojité vbode a, potom sú v²etky parciálne derivácie aº do k-tého rádufunkcie f zámenné v tomto bode a.

Napr. ak∂3f

∂x1∂x2∂x3,

∂3f

∂x3∂x2∂x1sú spojité v bode a, potom platí,

ºe∂3f (a)

∂x1∂x2∂x3=

∂3f (a)

∂x3∂x2∂x1.

Uvaºujme teraz zloºenú funkciu F (x) = f (ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕm(x)),kde hlavná zloºka y = f (t1, t2, . . . , tm) je de�novaná na mnoºineEm a ved©aj²ie zloºky ti = ϕi (x), i = 1, 2, . . . ,m sú de�nované na

mnoºine En.


premenných



Taylorov vzorec


6.47

Predpokladajme, ºe

funkcie ti = ϕi (x), i = 1, 2, . . . ,m majú parciálne derivácieprvého rádu, ktoré sú diferencovate©né v bodea = (a1, a2, . . . , an);

funkcia y = f (t) má parciálne derivácie prvého rádu, ktoré súdiferencovate©né v bode b = (ϕ1(a), ϕ2(a), . . . , ϕm(a)).

Potom

existujú parciálne derivácie prvého rádu zloºenej funkcie F ;

majú tvar∂F

∂xi=

∂f

∂t1· ∂ϕ1

∂xi+ · · ·+ ∂f

∂tm· ∂ϕm

∂xi, i = 1, 2, . . . , n;

navy²e sú funkcie∂F

∂xi, i = 1, 2, . . . , n diferencovate©né v bode

a, ke¤ºe

diferencovate©nos´∂ϕk

∂xiv bode a implikuje diferencovate©nos´

ϕk v bode a;

diferencovate©nos´∂f

∂tiv bode b implikuje diferencovate©nos´

fi (ϕ(x)) v bode a;sú£in a sú£et diferencovate©ných funkcií v bode a jediferencovate©ná funkcia v bode a.


premenných



Taylorov vzorec


6.48

To znamená, ºe funkcie∂F

∂xi, i = 1, 2, . . . , n majú parciálne derivácie

pod©a v²etkých premenných v bode a. Teda existujú parciálnederivácie druhého rádu zloºenej funkcie F v bode a.

Poznámka 3.2

Tieto parciálne derivácie druhého rádu dostaneme tak, ºe nájdemeparciálne derivácie prvých parciálnych derivácií funkcie F .To sa dá prirodzene zov²eobecni´ na prípady vy²²ích rádov.

Pre jednoduchos´ uvedieme formuly (vzorce) pre parciálne deriváciedruhého rádu zloºenej funkcie dvoch premenných. Uvaºujmezloºenú funkciu F (x , y) = f (ϕ(x , y), ψ(x , y)), tj. F (x , y) = f (u, v),kde u = ϕ(x , y), v = ψ(x , y). Platí

∂F

∂x=∂f

∂u

∂ϕ

∂x+∂f

∂v

∂ψ

∂x,

∂F

∂y=∂f

∂u

∂ϕ

∂y+∂f

∂v

∂ψ

∂y;

∂2F

∂x2=∂2f

∂u2

(∂ϕ

∂x

)2

+ 2∂2f

∂v∂u

∂ψ

∂x

∂ϕ

∂x+∂2f

∂v2

(∂ψ

∂x

)2

+

∂f

∂u

∂2ϕ

∂x2+∂f

∂v

∂2ψ

∂x2;


premenných



Taylorov vzorec


6.49

∂2F

∂y2=∂2f

∂u2

(∂ϕ

∂y

)2

+ 2∂2f

∂v∂u

∂ψ

∂y

∂ϕ

∂y+∂2f

∂v2

(∂ψ

∂y

)2

+

∂f

∂u

∂2ϕ

∂y2+∂f

∂v

∂2ψ

∂y2;

∂2F

∂y∂x=

∂2F

∂x∂y=∂2f

∂u2∂ϕ

∂y

∂ϕ

∂x+

∂2f

∂v∂u

(∂ψ

∂y

∂ϕ

∂x+∂ϕ

∂y

∂ψ

∂x

)+

∂f

∂u

∂2ϕ

∂y∂x+∂f

∂v

∂2ψ

∂y∂x+∂2f

∂v2∂ψ

∂y

∂ψ

∂x,

ke¤ºe∂F

∂x,∂F

∂ysú diferencovate©né, a teda platí

∂2F

∂y∂x=

∂2F

∂x∂y.

Poznámka 3.3

Ak∂f

∂u,∂f

∂vsú diferencovate©né na mnoºine M ⊂ E2 a

∂ϕ

∂x,∂ϕ

∂y,

∂ψ

∂x,∂ψ

∂ysú diferencovate©né na mnoºine P ⊂ E2, pri£om

∀ (x , y) ∈ P je bod (ϕ(x , y), ψ(x , y)) ∈ M, tak uvedené vzorcepredstavujú parciálne derivácie druhého rádu zloºenej funkcie F na

celej mnoºine P, pri£om v deriváciách∂2f

∂u2,∂2f

∂v2,∂2f

∂v∂utreba

poloºi´ u = ϕ(x , y), v = ψ(x , y).


premenných



Taylorov vzorec


6.50

Vidíme, ºe tieto vzorce sú uº pomerne komplikované. Pre derivácievy²²ích rádov zloºitos´ rastie. Odvádza´ ich nemá zmysel. Dôleºitéje vedie´ princíp, predov²etkým treba pozna´ ²truktúru jednotlivýchfunkcií vyskytujúcich sa v procese získavania uvedených parciálnychderivácií danej zloºenej funkcie F . Ukáºeme si to na príkladoch.Pozrime sa e²te na pojem diferenciálu k-tého rádu funkcie f v bode.Diferenciálom k-tého rádu funkcie jednej premennej v bode a jemocninová (polynomická) funkcia stup¬a najviac k prírastku x − a,tj.

dk f (a, x) = f (k)(a)(x − a)k ,

pri£om existencia k-tého diferenciálu funkcie v bode a jeekvivalentná s existenciou k-tej derivácie funkcie v bode a. Situáciau funkcie viac premenných je o dos´ komplikovanej²ia6.

6Existencia parciálnych derivácií nie je ekvivalentná s diferencovate©nosóufunkcie a navy²e parciálne derivácie vy²²ích rádov nemusia by´ zámenné.


premenných



Taylorov vzorec


6.51

Spojitos´ parciálnych derivácií istého rádu funkcie f v bode a jevhodným predpokladom pre nasledujúcu de�níciu i ¤al²ie úvahy.Kvôli preh©adnosti za£nime na²u úvahu pre funkciu dvochpremenných z = f (x , y), ktorá je de�novaná na nejakom okolí bodua = (a1, a2).

De�nícia 3.1

Nech funkcia f : E2 → E1 má v bode a = (a1, a2) spojité v²etky

parciálne derivácie k-tého rádu. Diferenciálom k-tého rádu funkcie fv bode a (pre bod x = (x , y)) rozumieme polynomickú funkciu(polynóm) dvoch premenných x , y stup¬a najviac k tvaru

dk f (a, x) =k∑

j=0

(k

j

)∂k f (a)

∂xk−j∂y j(x − a1)k−j(y − a2)j .

Na ukáºku napí²me nieko©ko diferenciálov k-tého rádu pre hodnotyk = 1, k = 2 a k = 3, pri£om pouºijeme pomôcku vychádzajúcu zrozvoja mocniny dvoj£lena (a + b)k .


premenných



Taylorov vzorec


6.52

df (a, x) =∂f (a)∂x

(x − a1) +∂f (a)∂y

(y − a2) =[(x − a1)

∂

∂x+ (y − a2)

∂

∂y

]f (a);

d2f (a, x) =∂2f (a)∂x2

(x − a1)2 + 2

∂2f (a)∂x∂y

(x − a1)(y − a2) +

∂2f (a)∂y2

(y − a2)2 =

[(x − a1)

∂

∂x+ (y − a2)

∂

∂y

]2

f (a);

d3f (a, x) =∂3f (a)∂x3

(x−a1)3+3∂3f (a)∂x2∂y

(x−a1)2(y−a2)+3∂3f (a)∂x∂y2

(x−

a1)(y−a2)2+∂3f (a)∂y3

(y−a2)3 =

[(x − a1)

∂

∂x+ (y − a2)

∂

∂y

]3

f (a).

Poznámka 3.4

Formálne diferenciál k-tého rádu funkcie f v bode a môºemezapísa´ aj v tvare

dk f (a, x) =

[(x − a1)

∂

∂x+ (y − a2)

∂

∂y

]kf (a).


premenných



Taylorov vzorec


6.53

Príklad 3.2

Ur£me (totálny) diferenciál druhého rádu funkcie f : z = x2y3 vbode (1,−2). Platí

fx = 2xy3, fy = 3x2y2, fxx = 2y3, fxy = 6xy2, fyy = 6x2y .

Po dosadení mámed2f(1,−2)(x , y) = −16(x − 1)2 + 48(x − 1)(y + 2)− 12(y + 2)2.

Podobne môºeme de�nova´ diferenciál k-tého rádu funkcie v bodea = (a1, a2, . . . , an) pre funkciu n premenných y = f (x1, x2, . . . , xn),ktorá je de�novaná na nejakom okolí bodu a = (a1, a2, . . . , an).

De�nícia 3.2

Nech funkcia f : En → E1 má v bode a = (a1, a2, . . . , an) spojité

v²etky parciálne derivácie k-tého rádu. Diferenciálom k-tého rádufunkcie f v bode a (pre bod x = (x1, x2, . . . , xn)) nazývamepolynomickú funkciu (polynóm) n premenných stup¬a najviac k ,ktorú môºeme formálne zapísa´ v tvare dk f (a, x) =[

(x1 − a1)∂

∂x1+ (x2 − a2)

∂

∂x2+ · · ·+ (xn − an)

∂

∂xn

]kf (a).


premenných



Taylorov vzorec


6.54

Taylorov vzorec

Vieme aproximova´ danú funkciu viac premenných na nejakom okolídaného bodu polynómom (polynomickou funkciou) viacpremenných? Kvôli tomu si zavedieme pojmy Taylorov polynóm aTaylorov rad. Pre funkciu jednej premennej sme mali nasledujúcezávery.

Taylorovým polynómom stup¬a n funkcie f v bode a jepolynóm tvaru

Tn(f , a; x) = f (a) +f ′(a)

1!(x − a) + · · ·+ f (n)(a)

n!(x − a)n,

pri£om má vlastnos´, ºe T (k)n (a) = T (k)

n (f , a; a) = f (k)(a),k = 0, 1, . . . , n.

Taylorov polynóm sme pouºívali k pribliºnému výpo£tufunk£ných hodnôt funkcie f na okolí daného bodu a.

Vyslovili sme aj Taylorovu vetu. Tá charakterizovala7 zvy²okn-tého Taylorovho polynómu funkcie f v bode a.

7Tj. stanovila ve©kos´ chyby, ktorej sa dopustíme ak na nejakom okolí bodu anahradíme (aproximujeme) funkciu f jej Taylorovým polynómom v bode a.


premenných



Taylorov vzorec


6.55

Podobne je tomu aj u funkcií viac premenných. Taylorovýmpolynómom funkcie viac premenných f : En → E

1 je polynóm viacpremenných, ktorý má s funkciou f v danom bode a ∈ En rovnakúfunk£nú hodnotu a rovnakú hodnotu v²etkých parciálnych deriváciíaº do k-tého rádu, pri£om k je stupe¬ tohto polynómu (resp.stupe¬ Taylorovho polynómu). Vyslovme nasledujúcu vetu.

Veta 4.1 (Taylorova veta)

Nech funkcia y = f (x1, x2, . . . , xn) má v nejakom okolí bodua = (a1, a2, . . . , an) spojité parciálne derivácie rádu (k + 1). Potompre kaºdý bod x ∈ O(a) existuje £íslo θ ∈ (0, 1) také, ºe platí

f (x) = f (a) +df (a, x)

1!+ · · ·+ dk f (a, x)

k!+

dk+1f (a + c, x + c)

(k + 1)!,

kde c = θ(x− a) a a + c je medzi a a x.


premenných



Taylorov vzorec


6.56

De�nícia 4.1

Výraz

f (a) +df (a, x)

1!+

d2f (a, x)

2!+ · · ·+ dk f (a, x)

k!

z predchádzajúcej vety nazývame k-tým Taylorovým polynómomfunkcie f v bode a, ozna£ujeme ho Tk(f , a; x) alebo skráteneTk(x). Ak bod a = (0, 0, . . . , 0), tak uvedený polynóm nazývameMaclaurinov polynóm. Výraz

1(k + 1)!

dk+1f (a + θ(x− a), x + θ(x− a))

sa nazýva (Lagrangeov) zvy²ok k-tého Taylorovho polynómu funkcief v bode a, ozna£ujeme ho Rk(x).

Vzh©adom na uvedené ozna£enie, z Taylorovej vety máme tzv.Taylorov vzorec, tj. identitu f (x) = Tk(x) + Rk(x), x ∈ O(a).Podobne ako u funkcií jednej premennej uvaºujme funkciu, ktorámá diferenciál v bode a ©ubovo©ného rádu.


premenných



Taylorov vzorec


6.57

Potom môºeme zavies´ nekone£ný rad

T (f , a; x) =∞∑k=0

1k!

dk f (a, x),

ktorý nazývame Taylorov rad funkcie viac premenných f v bode a.

Príklad 4.1

Uvaºujme funkciu f (x , y) = ex+y a bod a = (0, 0). Dá sajednoducho ukáza´ (DÚ), ºe

T (f , a; x) =∞∑k=0

(x + y)k

k!.

Taylorov rad T (f , a; x) zobrazenia f konverguje v bode x k hodnotef (x) práve vtedy, ke¤ konverguje postupnos´ zvy²kov Rk(x)(prislúchajúci danej postupnosti Taylorových polynómov) k nule.


premenných



Taylorov vzorec


6.58

Pod©a toho vieme ukáza´, ºe Taylorovým radom danej funkcief (x , y) = ex+y v bode a = (0, 0) (jeho sú£tom) je funkcia, pomocou

ktorej vznikol, tj. platí, ºe ex+y =∞∑k=0

(x + y)k

k!pre ©ubovo©ný bod

x = (x , y) ∈ E2 (oborom konvergencie tohto radu je E2).

Príklad 4.2

Nájdite Taylorov polynóm druhého rádu funkcie f : z = x3y + x2y2

v bode (1,−2) a vyjadrite zvy²ok R2. Zrejme platí

f (x , y) = f (1,−2) + df(1,−2)(h, k) +12df(1,−2)(h, k) + R2(x , y),

kde h = x − 1, k = y + 2. �ahko sa ukáºe, ºe

f (1,−2) = 2, fx(1,−2) = 2, fy (1,−2) = −3, fxx(1,−2) = −4,

fxy (1,−2) = −5, fyy (1,−2) = 2.

TedaT2(x , y) = 2+2(x−1)−3(y+2)−2(x−1)2−5(x−1)(y+2)+(y+2)2.


premenných



Taylorov vzorec


6.59

Navy²e R2(x , y) = {θ(y + 2)− 2}(x − 1)3 + {3θ(x − 1) + 2θ(y +2)− 1}(x − 1)2(y + 2) + 2{1 + θ(x − 1)}(x − 1)(y + 2)2, pri£om

|R2(x , y)| ≤ δ3(8δ + 5), pre |x − 1| ≤ δ, |y + 2| ≤ δ, 0 < δ � 1.


premenných



Taylorov vzorec


6.60

Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Vy²etrovanie extrémov funkcií je jednou z najdôleºitej²ích £astídiferenciálneho po£tu.

V kaºdodennom ºivote sa stretávame s rie²ením extremálnychúloh.

V ekonómii ide napríklad o minimalizáciu nákladov amaximalizáciu výnosov, zisku.

Vo fyzike je dôleºitá oblas´ tzv. (energetických) funkcionálov,konkrétne ich maximalizácia (minimalizácia), prípadne �iba�h©adanie ich stacionárnych bodov.

Optimalizácia hrá dôleºitú úlohu aj v informatike.

Uº sme de�novali maximálnu (najvä£²iu) a minimálnu (najmen²iu)hodnotu funkcie viac premenných na mnoºine M ⊆ D(f ). Tietohodnoty nazývame absolútne, resp. globálne extrémy funkcie f namnoºine M. Weierstrassova veta o maxime a minime, za istýchpredpokladov, zaru£uje existenciu týchto globálnych extrémov,av²ak nedáva návod ako ich nájs´ � to bude tieº jedným z na²ich¤al²ích cie©ov.


premenných



Taylorov vzorec


6.61

Najprv sa v²ak sa pozrime na lokálne extrémy funkcie viacpremenných. De�nícia lokálnych extrémov je podobná ako u funkciejednej reálnej premennej. Predpokladajme v celej tejto kapitole, ºebod a ∈ En je vnútorným bodom de�ni£ného oboru uvaºovanejfunkcie !!!

De�nícia 5.1

Hovoríme, ºe funkcia y = f (x) má v bode a ∈ D(f ) ⊂ En lokálnemaximum (minimum), ak existuje také okolie O(a) bodu a, ºe prekaºdý bod x ∈ O(a) platí f (x) ≤ f (a) (f (x) ≥ f (a)). Hovoríme, ºefunkcia y = f (x) má v bode a ∈ D(f ) ⊂ En ostré lokálne maximum(minimum), ak existuje také okolie O(a) bodu a, ºe pre kaºdý bodx ∈ O∗(a) platí f (x) < f (a) (f (x) > f (a)). Pre (ostré) lokálnemaximá a minimá budeme pouºíva´ spolo£ný názov (ostré) lokálneextrémy.


premenných



Taylorov vzorec


6.62

Príklad 5.1

Funkcia f (x , y) =√x2 + y2 +

12má v bode (0, 0) ostré

lokálne minimum, lebo f (0, 0) =12a pre kaºdý bod

(x , y) 6= (0, 0) je f (x , y) =√x2 + y2 +

12>

12

= f (0, 0). f

nemá parciálne derivácie v bode (0, 0).

Funkcia

f (x , y) =

{x2 + y2, (x , y) 6= (0, 0)

1, (x , y) = (0, 0)

má v bode (0, 0) ostré lokálne maximum, lebo f (0, 0) = 1 a∀ (x , y) 6= (0, 0) �dostato£ne� blízkoa bodu (0, 0) jef (x , y) = x2 + y2 < 1 = f (0, 0). f nie je spojitá v bode (0, 0).

aTj. pre kaºdý bod (x , y) 6= (0, 0) z nejakého �malého� okolia bodu (0, 0).


premenných



Taylorov vzorec


6.63

Funkcia f (x , y) = 4 + xy nemá v bode a = (0, 0) lokálnyextrém, lebo v ©ubovo©nom okolí bodu (0, 0) budú existova´body x1, x2 také, ºe f (x1) > 4 = f (0, 0) a f (x2) < 4 = f (0, 0).Presnej²ie, pre ©ubovo©né δ > 0 existuje bod

x1 =

(δ

2,δ

2

)∈ Oδ(a) taký, ºe f (x1) =

δ2

4+ 4 > 4 = f (0, 0),

tj. v bode a nemôºe by´ lokálne maximum funkcie f a taktieº

existuje bod x2 =

(−δ2,δ

2

)∈ Oδ(a) taký, ºe

f (x2) = 4− δ2

4< 4 = f (0, 0), tj. v bode a nemôºe by´ lokálne

minimum funkcie f . Teda funkcia f nemá v bode a lokálnyextrém.

Tieto príklady ilustrujú skuto£nos´, ºe funkcia môºe ma´ lokálnyextrém aj v bode, v ktorom nemá parciálne derivácie, resp. nie jespojitá.Pozrime sa teraz na nutné a posta£ujúce podmienky pre existenciulokálneho extrému v prípade, ke¤ má uvaºovaná funkcia v danombode parciálne derivácie prvého rádu.


premenných



Taylorov vzorec


6.64

Nasledujúca veta, ktorá stanovuje nutnú podmienku existencielokálneho extrému, je v niektorej literatúre citovaná ako Fermatovaveta.

Veta 5.1 (Nutná podmienka existencie lokálneho extrému)

Nech funkcia y = f (x1, x2, . . . , xn) má v bode a = (a1, a2, . . . , an)lokálny extrém a nech má v tomto bode v²etky parciálne derivácie

prvého rádu. Potom∂f (a)

∂xi= 0, i = 1, 2, . . . , n.

De�nícia 5.2

Bod a ∈ En sa nazýva stacionárny bod funkcie y = f (x1, x2, . . . , xn),ak funkcia f má v tomto bode v²etky parciálne derivácie prvého

rádu rovné nule, tj.∂f (a)

∂xi= 0, i = 1, 2, . . . , n.

Poznámka 5.1

V stacionárnom bode funkcia nemusí ma´ lokálny extrém,predchádzajúca veta dáva iba nutnú podmienku existencie lokálnehoextrému, vi¤ nasledujúce príklady.


premenných



Taylorov vzorec


6.65

Príklad 5.2

Funkcia f (x , y) = x2 + y2 + 1 má v bode (0, 0) lokálny extréma bod (0, 0) je jej stacionárnym bodom.

Funkcia f (x , y) = 4 + xy nemá v bode (0, 0) lokálny extrém abod (0, 0) je jej stacionárnym bodom.

Predchádzajúca veta hovorí, ºe funkcia f môºe ma´ (ale nemusí)lokálny extrém len v stacionárnych bodoch tejto funkcie alebopotom v bodoch, v ktorých neexistuje niektorá z parciálnychderivácií prvého rádu.

Obr.: Stacionárne body - (ne)ostré lokálne maximá a sedlový bod.


premenných



Taylorov vzorec


6.66

Poznámka 5.2

Z de�nície stacionárneho bodu vyplýva, ºe sa v tomto bodediferenciál funkcie (ak existuje) rovná nule.

Teda graf funkcie dvoch premenných z = f (x , y) má v tomtobode dotykovú rovinu rovnobeºnú s rovinou ρxy .

Stacionárny bod funkie f , v ktorom funkcia nemá lokálnyextrém sa nazýva sedlový bod funkcie f , resp. skrátene sedlo.

Uº vieme, v ktorých bodoch funkcia f môºe ma´ lokálny extrém.

Veta 5.2 (Posta£ujúca podmienka existencie lokálneho extrému)

Nech funkcia f má v bode a spojité parciálne derivácie druhéhorádu a nech bod a je jej stacionárnym bodom. Potom platí:

a) ak pre kaºdý bod x 6= a priestoru En je d2f (a, x) > 0, takfunkcia f má v bode a (ostré) lokálne minimum;

b) ak pre kaºdý bod x 6= a priestoru En je d2f (a, x) < 0, takfunkcia f má v bode a (ostré) lokálne maximum;

c) ak existujú body x1, x2 priestoru En také, ºed2f (a, x1) · d2f (a, x2) < 0, tak funkcia f nemá v bode alokálny extrém.


premenných



Taylorov vzorec


6.67

Druhý diferenciál funkcie f v bode a je polynomická funkcia(polynóm) druhého stup¬a. Aby sme nemuseli vºdy ur£ova´, £i jekladný, záporný alebo mení znamienko, uvedieme si jednoduch²ietvrdenie. Najprv pre funkcie dvoch premenných.

Veta 5.3

Nech funkcia z = f (x , y) má v bode a spojité parciálne deriváciedruhého rádu a nech bod a je jej stacionárnym bodom. Potom platí:

1. Ak hodnota D =∂2f (a)

∂x2· ∂

2f (a)

∂y2−(∂2f (a)

∂x ∂y

)2

> 0, potom

funkcia f má v bode a (ostrý) lokálny extrém a to:

a) ak∂2f (a)∂x2

> 0 je to (ostré) lokálne minimum;

b) ak∂2f (a)∂x2

< 0 je to (ostré) lokálne maximum.

2. Ak hodnota D < 0, potom funkcia f nemá v bode a lokálnyextrém.


premenných



Taylorov vzorec


6.68

V²imnime si, ºe predchádzajúca veta hovorí, ºe ak tzv. Hessovamatica

H(x , y) =

(fxx fxyfyx fyy

)(x , y)

je pozitívne de�nitná v bode a, tak tam f má lokálne maximum, akje je negatívne de�nitná v bode a, tak tam f má lokálne minimum,a ak je inde�nitná v bode a, tak tam nemá lokálny extrém (je tosedlo).

Poznámka 5.3

Veta ni£ nehovorí o tom, £o sa deje, ke¤ D = 0 prevy²etrovaný stacionárny bod danej funkcie.

V tomto prípade o existencii lokálneho extrému neviemepoveda´ ni£, lokálny extrém v tomto stacionárnom bode môºe,ale nemusí existova´.

Musíme pouºi´ inú úvahu, napr. de�níciu lokálneho extrému apomocou nej rozhodnú´ o existencii lokálneho extrému.


premenných



Taylorov vzorec


6.69

Uvaºujme funkciu f (x , y) = x4 + y4. Jej jediným stacionárnymbodom je bod a = (0, 0). Hodnota D = 0, lebo∂2f (a)

∂x2=∂2f (a)

∂y2=∂2f (a)

∂x∂y= 0, ale funkcia f má v bode

(0, 0) ostré lokálne minimum, lebo pre kaºdý bod(x , y) 6= (0, 0) je f (x , y) = x4 + y4 > 0 = f (0, 0).

Uvaºujme funkciu f (x , y) = x3. Jej jedným stacionárnymbodom je opä´ bod a = (0, 0) (táto funkcia má nekone£ne ve©astacionárnych bodov, sú to body priamky x = 0). Hodnota

D = 0, lebo∂2f (a)

∂x2=∂2f (a)

∂y2=∂2f (a)

∂x∂y= 0, ale funkcia f

nemá v bode (0, 0) lokálny extrém, dokáºte!

Poznámka 5.4

Pozor! Aj v prípade, ke¤ ∀x 6= a je d2f (a, x) ≥ 0(resp. d2f (a, x) ≤ 0), tak vo svojom stacionárnom bode a funkcia fmôºe, ale nemusí ma´ lokálny extrém.

Predchádzajúcu posta£ujúcu podmienku existencie lokálnehoextrému vieme zov²eobecni´ aj pre funkcie viac premenných(n ≥ 3). Dá sa ukáza´, ºe platí nasledujúce tvrdenie.


premenných



Taylorov vzorec


6.70

Veta 5.4 (Sylvestrovo kritérium)

Nech funkcia y = f (x1, x2, . . . , xn) má v bode a spojité parciálnederivácie druhého rádu a nech bod a je jej stacionárnym bodom.

Symetrická Hessova matica Hij =∂2f (a)

∂xi∂xj, i , j = 1, 2, . . . , n je

a) kladne de�nitná (f má v bode a (ostré) lokálne minimum) ⇔v²etky jej (rohové) hlavné minory sú kladné, tj. ak

H11 > 0,

∣∣∣∣ H11 H12

H21 H22

∣∣∣∣ > 0, . . . ,

∣∣∣∣∣∣∣∣∣H11 H12 . . . H1n

H21 H22 . . . H2n

......

...Hn1 Hn2 . . . Hnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0;

b) záporne de�nitná (f má v bode a (ostré) lokálne maximum) ⇔v²etky jej (rohové) hlavné minory striedajú znamienka v tomtozmysle

H11 < 0,

∣∣∣∣ H11 H12

H21 H22

∣∣∣∣ > 0, . . . , (−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣H11 H12 . . . H1n

H21 H22 . . . H2n

......

...Hn1 Hn2 . . . Hnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0;

c) inde�nitná (f má v bode a sedlo) ⇔ v²etky jej (rohové) hlavnéminory sú nenulové a striedajú znamienka inak ako v a), b).


premenných



Taylorov vzorec


6.71

Pri h©adaní lokálnych extrémov danej funkcie postupujeme takto:

najprv nájdeme v²etkých kandidátov na lokálny extrém, tj.v²etky stacionárne body a body, v ktorých niektorá parciálnaderivácia prvého rádu neexistuje;

kaºdý z týchto bodov vy²etríme, tj. zistíme, £i v ¬om má danáfunkcia lokálne extrém alebo nie;

pri stacionárnych bodoch môºeme pouºi´ predchádzajúceposta£ujúce podmienky;

pri bodoch kde neexistuje derivácia je nutné pouºi´ inú úvahu.


premenných



Taylorov vzorec


6.72

Viazané a globálne extrémy funkcie viac

premenných

Pri praktických aplikáciách sa £asto h©adá maximálna(minimálna) hodnota funkcie nie na celom jej de�ni£nomobore, ale len na nejakej jeho £asti (napr. na nejakej krivkealebo na priestorovej ploche).

Môºe to by´ v prípade, ºe maximalizujeme funkciu za nejakýchdodato£ných podmienok.

Daná podmienka sa chápe ako väzba premenných - preto ide otzv. viazané extrémy.

Je to aj dôleºité pri h©adaní globálnych extrémov.

Uvaºujme nasledujúcu úlohu: Nech je daná funkcia dvochpremenných z = f (x , y) de�novaná na mnoºine M ⊂ E2 a nechP ⊂ M je mnoºina takých bodov z mnoºiny M, ktorých súradnicevyhovujú rovnici g(x , y) = 0 (príp. g(x , y) = c), tj.P = {(x , y) ∈ M : g(x , y) = 0}.


premenných



Taylorov vzorec


6.73

Na²ou úlohou je nájs´ lokálne extrémne hodnoty funkcie f namnoºine P.

Teda máme nájs´ lokálne extrémy parciálnej funkcie, ktorá jeur£ená funkciou f na mnoºine P.

Takýmto (lokálnym) extrémom hovoríme viazané (lokálne)extrémy funkcie f . Podmienku g(x , y) = 0, ktorá ur£ujemnoºinu P, nazývame väzba.

Obr.: Ú£elová funkcia f a väzba g .


premenných



Taylorov vzorec


6.74

Ako nájs´ viazané lokálne extrémy? Ako postupova´ pri h©adaníviazaných lokálnych extrémov danej funkcie z = f (x , y) pri väzbeg(x , y) = 0?

Ak sa z väzby dá jednozna£ne vyjadri´ jedna premennápomocou druhej, tj. g(x , y) = 0⇔

x = ϕ(y), y ∈ I , resp. y = ψ(x), x ∈ J,

tak ©ahko nájdeme vyjadrenie parciálnej funkcie F ur£enejfunkciou f na danej väzbe. Bude ma´ tvar F (y) = f (ϕ(y), y),y ∈ I , resp. F (x) = f (x , ψ(x)), x ∈ J. Následne h©adáme(vo©né) lokálne extrémy tejto funkcie (uº len jednej premennej).Ak sa z väzby g(x , y) = 0 nedá jednozna£ne vyjadri´ (resp.nevieme vyjadri´) jedna z premenných, tak úloha nájs´ viazanýlokálny extrém je zloºitej²ia. Moºno pouºi´ tzv. Lagrangeovumetódu multiplikátorov:

Je zaloºená na my²lienke, ºe v bode maxima f nemôºe rás´ vsmere bodov z okolia, kde g = 0.Predstavme si teraz, ºe krá£ame po krivke danej väzbou.Chceme �narazi´� na body, v ktorých f nemení hodnoty.Bu¤ je krivka daná väzbou vrstevnicou funkcie f , vtedy sú f , grovnobeºné, alebo sme dosiahli takú hladinu funkcie f , ºe sa jejhodnoty nemenia v ºiadnom smere.


premenných



Taylorov vzorec


6.75

Teda h©adáme také body x , y , aby platili rovnice

g(x , y) = 0, ∇f (x , y) = −λ∇g(x , y)

pre nejakú hodnotu λ ∈ R. Túto kon²tantu (parameter) λnazývame Lagrangeov multiplikátor. Aby sme zahrnuli obe ronvicedo jednej zave¤me si pomocnú funkciu

L(x , y) = f (x , y) + λ g(x , y),

ktorú nazývame Lagrangeova funkcia.Funkcia L je ur£ite de�novaná na mnoºine P.Pre kaºdý bod (x , y) ∈ P je g(x , y) = 0, preto pre kaºdýtakýto bod je L(x , y) = f (x , y).Nech funkcia L má v bode a ∈ P lokálne maximum.Zrejme L(a) = f (a) a vieme, ºe existuje O(a) : ∀ x ∈ O(a) jeL(x) ≤ L(a), tj. f (x) + λg(x) ≤ f (a) + λg(a) = f (a), lebog(a) = 0, ke¤ºe a ∈ P.Takºe f (x) ≤ f (a) pre x ∈ P ∩O(a), tj. v bode a má funkcia flokálne maximum vzh©adom na mnoºinu P.V bode a má teda lokálne maximum parciálna funkcia ur£enáfunkciou f na mnoºine (väzbe) P, teda v bode a má funkcia fviazané lokálne maximum pri väzbe g(x) = 0.


premenných



Taylorov vzorec


6.76

Veta 6.1

Nech funkcia L má v bode a ∈ P (kde P je mnoºina ur£ená väzboug(x , y) = 0) lokálny extrém (vo©ný lokálny extrém), potom funkciaf má v tomto bode a viazaný lokálny extrém pri väzbe g(x , y) = 0.

Poznámka 6.1

Treba si uvedomi´, ºe obrátená veta neplatí, tj. neplatí, ºe �akfunkcia f má v bode a viazaný lokálny extrém pri väzbeg(x , y) = 0, tak funkcia L má v tomto bode a ∈ P lokálny extrém.�

Príklad 6.1

Uvaºujme funkciu f (x , y) = 2xy s väzbou x − y = 0. Je evidentné,ºe funkcia f má v bode (0, 0) viazané lokálne minimum pri väzbex − y = 0. Na druhej strane, v²ak funkcia L(x , y) = 2xy + λ(x − y)nemá v bode (0, 0) leºiacom na priamke x − y = 0 lokálny extrém(bod (0, 0) s hodnotou λ = 0 je jediným kandidátom na lokálnyextrém tejto funkcie L s vlastnosóu, ºe má leºa´ na priamkex − y = 0, av²ak je zrejmé, ºe funkcia L s parametrom λ = 0, tj.funkcia L(x , y) = 2xy nemá lokálny extrém v bode (0, 0), detailyDÚ).


premenných



Taylorov vzorec


6.77

Poznámka 6.2

Pozor, ak funkcia L nemá v bode a ∈ P lokálny extrém, potom oviazanom (lokálnom) extréme funkcie f v tomto bode a pri danejväzbe nevieme poveda´ ni£.Teda táto metóda, v niektorých prípadoch (my sa pokusíme imvyhnú´), nezaru£uje nájdenie v²etkých viazaných lokálnychextrémov.

Pozrime sa e²te ako budeme vlastne h©ada´ (vo©né) lokálne extrémyfunkcie L leºiace na mnoºine P. Predpokladajme, ºe f , g ∈ C 2(P).Funkcia L môºe ma´ lokálny extrém leºiaci na mnoºine P len vstacionárnych bodoch tejto funkcie, ktoré leºia na mnoºine P, tj. vbodoch, ktorých súradnice vyhovujú rovniciam (podmienkam)

∂L(x , y)

∂x=∂f (x , y)

∂x+ λ

∂g(x , y)

∂x= 0,

∂L(x , y)

∂y=∂f (x , y)

∂y+ λ

∂g(x , y)

∂y= 0,

g(x , y) = 0.


premenných



Taylorov vzorec


6.78

Dostávame sústavu troch rovníc o troch neznámych x , y , λ.

Ak trojica x0, y0, λ0 je rie²ením tejto sústavy, tak bod(x0, y0) ∈ P je kandidátom na to, ºe v ¬om funkcia f môºema´ viazaný (lokálny) extrém pri väzbe g(x , y) = 0 (lokálnyextrém vzh©adom na mnoºinu P).

O tom, £i v tomto nájdenom stacionárnom bode leºiacom vmnoºine P má funkcia L (pri nájdenej hodnote λ = λ0) lokálnyextrém uº vieme rozhodnú´.

Pri h©adaní lokálnych extrémov funkcie y = f (x1, x2, . . . , xn) namnoºine P ⊂ D(f ) ⊂ En, pri£om mnoºina P je ur£ená väzbami(rovnicami) gi (x1, x2, . . . , xn) = 0, i = 1, 2, . . . ,m, m ∈ N, m < n,sa situácia výpo£tovo komplikuje, ale princíp ostáva rovnaký.


premenných



Taylorov vzorec


6.79

Ak sa z väzby dá jednozna£ne vyjadri´ jedna premenná alebonieko©ko premenných ako funkcie ostatných premenných, poich dosadení do pôvodnej funkcie f , úloha sa redukuje na vo©néextrémy.

Ak sa z väzieb nedá jednozna£ne vyjadri´ jedna alebo nieko©kopremenných pomôºeme si Lagrangeovou funkciou

L(x1, x2, . . . , xn) = f (x1, x2, . . . , xn) + λ1g1(x1, . . . , xn)+

+λ2g2(x1, . . . , xn) + · · ·+ λmgm(x1, . . . , xn),

kde λi ∈ E1, i = 1, 2, . . . ,m. Ak nájdeme (vo©ný) lokálnyextrém funkcie L, ktorý leºí na mnoºine P, potom v tomtobode má funkcia f viazaný lokálny extrém pri daných väzbách(lokálny extrém vzh©adom na mnoºinu P).


premenných



Taylorov vzorec


6.80

V tejto £asti vyuºijeme poznatky prezentované v predchádzajúcichdvoch £astiach, a to na h©adanie maxima a minima, resp. najvä£²eja najmen²ej hodnoty funkcie viac premenných na nejakej mnoºineM ⊆ D(f ). Globálne maximum a globálne minimum funkcie f namnoºine M nazývame globálne (absolútne) extrémy funkcie f namnoºine M. Pre funkcie viac premenných je situácia analogická akov prípade jednej premennej. V na²om prípade existenciu globálnychextrémov spojitej funkcie f na uzavretej, ohrani£enej mnoºine Mzaru£uje Weierstrassova veta o maxime a minime, av²ak ni£ námtáto veta nehovorí o tom ako ich nájs´. Praktický návod ako nájs´globálne extrémy dáva nasledujúca veta.

Veta 6.2

Nech funkcia f je spojitá na uzavretej, ohrani£enej mnoºineM ⊂ En. Potom funkcia f nadobúda globálny (absolútny) extrémna mnoºine M bu¤ v bode lokálneho extrému leºiaceho vo vnútrimnoºiny M alebo v niektorom hrani£nom bode mnoºiny M.


premenných



Taylorov vzorec


6.81

Pri h©adaní extrémov budeme postupova´ nasledovne:

Nájdeme v²etky tzv. �podozrivé� body (podozrivé z toho, ºe byv nich funkcia f mohla ma´ globálny extrém na danej mnoºineM).Pod©a predchádzajúcej vety sú to tieto body:

body leºiace vo vnútri mnoºiny M, v ktorých funkcia f môºema´ lokálny extrém;body leºiace na hranici mnoºiny M, v ktorých funkcia f môºema´ viazaný extrém vzh©adom na hranicu mnoºiny M (viazanýextrém na hranici mnoºiny M);

Vypo£ítame funk£né hodnoty funkcie f vo v²etkých�podozrivých� bodoch a najvä£²ia (najmen²ia) hodnota z nichje globálne maximum (globálne minimum) funkcie f namnoºine M.


premenných



Taylorov vzorec


6.82

Nieko©ko jednoduchých úloh:1 Ur£te najmen²iu vzdialenos´ bodu B = (1, 10) od paraboly

y2 = 4x pomocou diferenciálneho po£tu funkcie viacpremenných.[d =

√45]

2 Pomocou diferenciálneho po£tu funkcie viac premenných naploche z = 3 + xy nájdite bod, ktorý je najbliº²ie k po£iatkusúradnicovej sústavy.[A1 = (−

√2,√2, 1),A2 = (

√2,−√2, 1); d =

√5]

3 Aké sú rozmery pravouhlého otvoreného bazénu, ktorý má pridanom objeme V najmen²í povrch?

[a =3√2V , b =

3√2V , c =

12

3√2V ]

Documents

funkcií viacerých Predná²ka 6 - upjs.skumv.science.upjs.sk/analyza/texty/predmety/MAN3b/DPVP_slide.pdf · 6.1 Predná²ka 6 Diferenciálny po£et funkcií viacerých premenných