Funkcije više varijabli.pdf

7/21/2019 Funkcije više varijabli.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/funkcije-vise-varijablipdf 1/14

15.11.2015. Funkcije više varijabli

http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node3.html 1/14

Next: Neprekidnost i limes Up: Diferencijalni račun Previous: Diferencijalni račun Contents Index

Subsections

Skupovi uOsnovni pojmoviOtvoreni i zatvoreni skupovi

Spojnica, konveksan skup, područjePojam funkcije više varijabliGrafičko predočavanje funkcija više varijabliPitanjaRiješeni zadaci

Funkcije više varijabli

Skupovi u

Osnovni pojmovi

Podsjetimo se

Domena funkcije igra važnu ulogu u proučavanju funkcije. Kad se radilo o funkciji jedne varijable, ograničili smo sena intervale i segmente. Domene funkcija više varijabli su skupovi u Razmotrimo zato skupove u

kak o bismo odredili adekvatne analogone intervalima odnosno segmentima u

Neka su i dvije točke u Njihova udaljenost je dana formulom

Za i to se svodi na poznate formule za udaljenost točaka u ravnini i prostoru. Na pr., ako je i onda je

http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node4.html




http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-















ili ako je i onda je

Otvoreni i zatvoreni skupovi

Definicija 1 Neka je i neka je Skup

zove se otvoreni krug radiusa sa središtem u točki

Neka je i neka je Skup

zove se otvorena kugla radiusa sa središtem u točki

Slično, ako je i onda otvorenom kuglom u sa središtem u i radiusom zovemo skup

Skup zovemo otvorenim skupom, ako se oko svake njegove točke kao središta može opisati otvorena





kugla, koja je sadržana u skupu .

Primjer 1.1 Otvorena kugla je otvoren skup.

Rješenje. Točke tog skupa su dane nejednadžbom

Ako je onda je

Tvrdimo da je

Figure 1.1: Otvorena kugla je otvorenskup.

Zaista, neka je proizvoljna točka iz Tada je, zbog svojstva udaljenosti (nejednakost trokuta),

Tako je Zbog proizvoljnosti slijedi i prema tome

je otvoren skup.

Definicija 2 Skup zovemo zatvorenim skupom, ako je njegov komplement otvoren.

Definicija 3 Neka je Skup

zovemo zatvorenom kuglom u

Primjer 1.2 Zatvorena kugla je zatvoren skup.





Rješenje. Točke komplementa su dane nejednadžbom

tj.

Ako je onda je

Tvrdimo da je Zaista, neka je proizvoljna točka iz

Tada je, zbog svojstva udaljenosti,

Tako je Zbog proizvoljnosti elementa slijedi

i prema tome je zatvoren skup.

Figure 1.2: Zatvorena kugla je zatvoren skup.

Zatvoreni krug smo dobili tako da smo otvorenom krugu dodali njegov rub, kružnicu. Ako se otvorenom skupu dodasamo dio ruba, onda se dobije skup koji nije niti otvoren niti zatvoren.

Spojnica, konveksan skup, područje

Neka su i dvije točke u Spojnica točaka i je skup točaka

na pravcu kroz i a između i Radi jednostavnosti razmotrimo na koji način se mogu opisati točke na

spojnici u ravnini. Neka je Iz slike

Figure 1.3: Spojnica točaka i





se vidi da za koordinate točke na spojnici vrijedi

za

Odatle1.1

odnosno

Slično, u prostoru, točke

leže na spojnici točaka i Općenito, u imamo da točke

leže na spojnici točaka i

Skup zovemo konveksnim, ako sadrži spojnicu svake dvije svoje točke.

Primjer 1.3 Trokut u ravnini s vrhovima je konveksan skup.

Rješenje. Očito je

Neka je i To znači

Točka na spojnici je

http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/footnode.html#foot12339





Za takav je

Dakle je konveksan skup.

Primjer 1.4 Skup nije konveksan skup, jer točke i pripadaju

skupu, dok točka koja se nalazi na spojnici (za ), ne pripada skupu (v. sl. 1.4).

Figure 1.4: Skup koji nije konveksan.

Definicija 4 Otvoren skup je povezan, ako se bilo koje dvije njegove točke mogu spojiti s konačno

mnogo spojnica. Otvoren i povezan skup se zove područje.

Figure 1.5: Područje.

http://-/?-





Primjer 1.5 Skup je otvoren i povezan. Prema tome skup je područje.

Figure 1.6: Skupovi: a) otvoren,

povezan, ali ne konveksan, b)otvoren, ali ne povezan, c) otvoren,konveksan, d) zatvoreno područje, e)

niti otvoren, niti zatvoren, niti povezan, f) konveksan, niti otvoren

niti zatvoren.

Pojam funkcije više varijabli

Definicija 5 Neka je Funkcija se zove realna funkcija od realnih varijabli.

Funkcije od dvije, tri, varijabli zovemo realnim funkcijama od više realnih varijabli, ili kraće funkcijama

više varijabli.

Ako je funkcija zadana formulom, onda se skup svih -torki, za koje dana formula prima realne vrijednosti, zoveprirodna domena.

Ako je funkcija zadana samo formulom, smatrat ćemo da je domena funkcije prirodna domena.

Kao i kod funkcija jedne realne varijable, imamo pojmove kao što su slika funkcije, slika elementa, restrikcijafunkcije, proširenje funkcije.

Tako je slika funkcije skup

za neki

Pri tom je slika ili preciznije f-slika elementa ako je





Za funkciju kažemo da je restrikcija funkcije ako je i ako je

za svaki

Za funkciju kažemo da je proširenje funkcije ako je i ako je

za svaki

Primjer 1.6 Evo nekoliko funkcija više varijabli zadanih formulom

Primjer 1.7 Naći prirodnu domenu funkcije

Rješenje.

i

Dakle prirodna domena funkcije je osjenčani dio ravnine na slici





Grafičko predočavanje funkcija više varijabli

Grafičko prikazivanje funkcija više varijabli je ograničeno time što nemamo metode za crtanje skupova u ako je

Definicija 6 Neka je i neka je Grafom funkcije zovemo skup

Budući da je -torka realnih brojeva, a realni broj, elementi grafa su -orke, dakle

Tako je graf funkcije od dvije varijable

graf funkcije od tri varijable

Dakle, ako je dana funkcija od dvije varijable, onda njezin graf možemo prikazati u prostoru tako da elementedomene nanosimo u ravninu a vrijednosti funkcije na os Pri tom, da bismo lakše skicirali graf, siječemo graf

koordinatnim ili nekim drugim ravninama.

Primjer 1.8 Nacrtati graf funkcije

Rješenje. Nađimo presjeke s koordinatnim ravninama

Dakle to je eliptički paraboloid, koji postaje kružni ili rotacijski, ako je

Drugi način crtanja grafa funkcija od dvije varijable jeste crtanje nivokrivulja. Nivokrivulja je skup točaka u domeniu kojima funkcija ima istu vrijednost. Primjer su izohipse, izobare, . Izohipsa 200 je krivulja koja povezuje točke





u kojima funkcija `nadmorska visina' ima vrijednost 200. Ovaj način omogućava crtanje funkcija od dvije varijable uravnini.

Primjer 1.9 Nacrtati graf funkcije

Rješenje. Nađimo neke nivokrivulje

Dakle

Šatirano je na taj način da je područje to svjetlije što je na većoj visini. Kako ova ploha izgleda u prostoru vidi se naslici 4.

Kad se radi o funkcijama od tri varijable, onda skup točaka u kojima funkcija ima istu vrijednost predstavlja neku plohu. Takva ploha se zove nivoploha. To omogućava prikazivanje funkcija od tri varijable u prostoru.

Primjer 1.10 Nacrtajmo nivoplohe funkcije

Rješenje.

http://-/?-





Ova slika predstavlja samo onaj dio nivoploha koji se nalazi iznad ravnine Zbog toga što u formuli varijable

dolaze na kvadrat, nivoplohe su simetrične u odnosu na koordinatne ravnine Prema tome s

donje strane ravnine plohe se simetrično nastavljaju. Gornja nivoploha (za ) se sastoji od dva dijela, koji

u presjeku s ravninom kroz os daju hiperbolu, pa se zato zove dvokrilni kružni hiperboloid. Srednja nivoploha jestožac, koji se dodiruje vrhom s drugim stošcem ispod ravnine Treća nivoploha je jednokrilni kružni

hiperboloid.

Pitanja

1.

Što su elementi skupova ?

2.Kako se definira udaljenost dvije točke u ?

3.Što je spojnica dviju točaka u ?

4. Napišite koordinate proizvoljne točke na spojnici točaka i

5.Definirajte otvorenu i zatvorenu kuglu u

6.Definirajte otvoreni skup, zatvoreni skup, konveksan skup, područje.

7.

Što znači kad se kaže da je realna funkcija od više realnih varijabli?

8.Što je prirodna domena funkcije više varijabli?

9.Što je graf funkcije više varijabli?

10.Kako se mogu grafički prikazivati funkcije više varijabli?

11.Što je nivokrivulja, a što nivoploha?

12. Napišite jednadžbe sljedećih ploha i skicirajte ih: kružni (rotacijski) paraboloid, eliptički paraboloid,

hiperbolički paraboloid, jednokrilni hiperboloid, dvokrilni hiperboloid.

Riješeni zadaci

1.





Skup je otvoren skup.

Rješenje. Uočimo najprije da je ekvivalentno s a s

Neka je proizvoljan element iz Neka je

Očito je Tvrdimo da je Zaista, neka je proizvoljna točka iz

Tada je

Tako je a Zbog proizvoljnosti elementa slijedi i prema

tome je otvoren skup.

2.Otvoren krug u ravnini, radiusa je konveksan skup. Rješenje. Postavimo Kartezijev koordinatni sustav

tako da središte kruga bude u ishodištu. Neka su i dvije točke u Tada

postoje i takvi da je

Neka je pri tom

Figure 1.7: Krug je konveksan skup.

Koordinate točke na spojnici su





Nađimo udaljenost te točke od središta kruga.

Dakle, je doista konveksan skup.

3. Naći prirodnu domenu funkcije

Rješenje.

Figure: Prirodna domena funkcije

4. Nacrtati graf funkcije




Rješenje. Nađimo presjeke s koordinatnim ravninama

Ova ploha se zove hiperbolički paraboloid.

Next: Neprekidnost i limes Up: Diferencijalni račun Previous: Diferencijalni račun Contents IndexSalih Suljagic2000-03-11











Documents

Funkcije više varijabli.pdf