Embed Size (px)
Citation preview
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Žarko ZečevićElektrotehnički fakultetUniverzitet Crne Gore
Mapa kursa
Modelovanje
2
Klasifikacija sistemaDiferencijalne jednačineFunkcija prenosa• Polovi, nule, pojačanje• Strukturni blok
dijagrami• Graf toka signalaModel u prostoru stanja• Kanonične forme• Linearizacija• Rješavanje jednačina
stanja
Kontrolabilnost i opservabilnostStabilnost sistema• Raus• NikvistPerformanse SAU-a• Stacionarno stanje• Prelazni proces• Kompleksni domenFrekvencijske karakteristike• Bodeovi dijagrami
Specifikacije sistemaKompenzatori• Pojačavač• Integralni kompenzator• Diferencijalni
kompenzator• Diferencijalno -
integralni kompenzatorPID regulatorFizičke realizacijeDiskretizacija kontinualnih regulatora
DizajnAnaliza
Predavanje 9
Ishodi učenja:Nakon savladavanja gradiva sa ovog predavanja studenti će moći da:
Definišu frekvencijski odziv sistema i nađu odziv sistema ustacionarnom stanju na sinusoidalni signal
Skiciraju asimptotske Bodeove dijagrame sistema
Definišu osnove karakteristične veličine u frekvencijskom domenu iprepoznaju njihovu vezu sa karakterističnim veličinama ukompleksnom i vremenskom domenu
3
Frekvencijska karakteristika sistema
Odziv sistema na sinusoidalni ulaz
Posmatrajmo LTI sistem na čiji je ulaz doveden signal x(t)=cos(ω0t).
Odziv sistema se sastoji iz dvije komponente: prelaznog procesa i odziva ustacionarnom stanju. Ukoliko je sistem stabilan, i ukoliko ulazni signalima polove u lijevoj poluravni, odziv sistema će u stacionarnom stanjukonvergirati ka nuli. Ukoliko je sistem stabilan, a ulazni signal ima pol ukoordinatnom početku (step funkcija), odziv sistema u stacionarnomstanju će konvergirati ka nekoj konačnoj vrijednosti, koja se može odreditiprimjenom Laplasove granične teoreme.
Konačno, ako je sistem stabilan, a ulazni signal ima kompleksne polove naimaginarnoj osi (primjer: prostoperiodična funkcija), odziv sistema ustacionarnom stanju će takođe biti prostoperiodičan i ne može se odreditiprimjenom granične teoreme.
4
LTI0( ) cos( )x t t ( ) ( ) ( )tr ssy t y t y t
Odziv sistema na sinusoidalni ulaz
Odziv LTI sistema, čiji je impulsni odziv jednak g(t), na sinusoidalnisignal cosω0t se može izračunati primjenom teoreme o konvoluciji:
gdje je g(t) impulsni odziv sistema. Prva komponenta odziva predstavljaodziv sistema u stacionarnom stanju, dok druga komponenta predstavljatranzijent koji iščezava pod uslovom da je sistem stabilan.
Može se pokazati da je odziv sistema u stacionarnom stanju jednak:
gdje su A(ω0) i φ(ω0) moduo (amplituda) i argument (faza) frekvencijskekarakteristike sistema G(jω0) na učestanosti ω0.
5
0
0 0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )cos ( )
( )cos ( ) ( )cos ( ) ( ) ( ).
t t
t
ss tr
y t g t u t d g t t d
g t t d g t t d y t y t
0 0 0( ) ( )cos ( ) ,ssy t A t
( ) ( )Fg t G j
0 0 0( ) ( ) ( )G j A
Odziv sistema na sinusoidalni ulaz
Dokaz:
Kako se kosinusna funkcija može zapisati na sljedeći način:
odziv LTI sistema u stacionarnom stanju će biti jednak:
6
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0
( ) ( )0
0 0
0 0
0 0
( ) ( )0 0
(0
1( ) ( )cos ( ) ( )
2
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 21 1
( ) ( )2 21
( )2
j t j tss
j t j j t j j t j t
j t j j j t j j
j t j j
y t g t t d g t e e d
e g t e d e g t e d e G j e G j
e A e e A e
A e e
0 0 0 0 0 0 0) ( ) ( ( ) ( ( )0
0 0 0
1( )( )
2( )cos ( )
j t j j j t j j t je e A e e
A t
0 0
0
1cos
2j t j tt e e
*0 0( ) ( )G j G j
stabilan sistem
stabilan sistem
stabilan sistem
Odziv sistema na sinusoidalni ulaz
7
Polovi u lijevoj poluravni
Pol u koordinatnom početku
Polovi na imaginarnoj osi (±jω0)
y(∞) = 0
y(∞) = const
y(∞) = A(ω0)sin(ω0t+φ(ω0))
Zavisi od G(j0)
Zavisi od G(jω0)
Na izlazu se pojavljuje sinusni signal iste frekvencije, ali fazno pomjeren i pojačan/oslabljen
0 0 0( ) ( ) ( )G j A
Frekvencijski odziv
Dakle, odziv stabilnog sistema u stacionarnom stanju na prostoperiodičnisignal frekvencije ω0 je signal iste frekvencije, koji je skaliran (pojačan ilioslabljen) vrijednošću frekvencijske karakteristike na učestanosti ω0 ifazno pomjeren za vrijednost fazne karakteristike sistema na učestanostiω0.
Karakteristika sistema G(jω) se često zove i frekvencijski odziv sistema,jer ona sadrži informacije od odzivu sistema u stacionarnom stanju naprostoperiodičnu funkciju određene učestanosti. Frekvencijski odziv semože dobiti eksperimentalno, dovođenjem sinusoidalnih signala različitihfrekvencija na ulaz sistema i upoređivanjem amplitude i faznogpomjeraja izlaza u odnosu na primijenjeni ulazni signal.
Frekvencijski odziv predstavlja Furijeovu transformaciju impulsnogodziva sistema. Takođe, on se može dobiti iz funkcije prenosa, zamjenomkompleksne promjenljive s sa jω:
8
0
( ) ( ) ili ( ) ( ) .j t
s jG j G s G j g t e dt
donja granica integrala ide od 0, jer je sistem kauzalan
Frekvencijski odziv
Frekvencijska karakteristika G(jω) se može prikazati na više načina.Nikvistova kriva, koja se koristi za ispitivanje stabilnosti spregnutogsistema, u stvari predstavlja frekvencijsku karakteristiku sistema uotvorenoj sprezi, nacrtanu u kompleksnoj ravni, gdje se na apscisi nanosiRe{G(jω)}, a na ordinati Im{G(jω)}.
Frekvencijski odziv se najčešće prikazuje tako što se skiciraju dvijeodvojene karakteristike u zavisnosti od frekvencije: amplituda (moduo) ifaza (argument). Bodeovi dijagrami su jedna varijacija ovakvog prikaza,kod kojih se amplituda izražava u decibelima (dB), pri čemu se koristilogaritamska frekvencijska skala.
Nikolsovi dijagrami su još jedan način prikazivanja frekvencijskekarakteristike. Na njima je prikazana zavisnost amplitudskekarakteristike od fazne karakteristike. Nikolsovi dijagrami su korisniukoliko na osnovu funkcije povratnog prenosa želimo da očitamo bitnekarakteristike spregnutog sistema.
9
Bodeovi dijagrami
Neka je funkcija prenosa zadata u obliku:
Odnosno, neka sistem ima pojačanje K (Bodeovo pojačanje), astatizamm-og reda, k prostih nula, i prostih polova, 2z kompleksnih nula i 2lkompleksnih polova. Amplitudska karakteristika sistema je:
10
2
2
2
2
( ) 21 1
1( ) .
( ) 21 1
z
k zk nz nz
m
l
i li nl nl
j j j
aG s K
j j j j
a
2
2
2
2
( ) 21 1
1( ) .
( ) 21 1
z
k zk nz nz
m
l
i li nl nl
j j j
aA K
j j jj
a
moduo
a b a b
aa
b b
Bodeovakanoničnaforma
Bodeovi dijagrami
Fazna karakteristika je jednaka:
Ukupna faza predstavlja zbir/razliku faza elementarnih komponentifunkcija prenosa, što je čini pogodnom za skiciranje. Da bi ista osobinavažila i za amplitudsku karakteristiku, ona se izražava u decibelima(dB):
11
2 2
2 2
( ) arg 90 arg 1
( ) 2 ( ) 2arg 1 arg 1 arg 1 .
kk
z l
z i lnz nz i nl nl
jK m
a
j j j j j
a
arg argument
arg arg arg
arg arg arg
a b a b
aa b
b
( ) 20 log ( ),dBA A
log log log
log log log
a b a ba
a bb
1
20 log 3dB2
20 log100 20dB( )
20( ) 10 .dBA
A
Bodeovi dijagrami
Bodeovi dijagrami se crtaju na logaritamskoj frekvencijskoj skali. Nalogaritamskoj skali frekvencije koje su udaljene deset puta jedna oddruge se nalaze na istom rastojanju.
Prednost korišćenja logaritamske skale je ta što se na njoj funkcija log10ωcrta kao prava linija. Na primjer 5log10ω na logaritamskoj skali je istošto i 5ω na linearnoj skali. Na ovaj način se omogućava jednostavnijeskiciranje amplitudske karaktersitike.
U nastavku će biti pokazano kako izgledaju Bodeovi dijagramielementarnih funkcija prenosa, pri čemu će neki od njih bitiaproksimativno nacrtani, dok će na kraju biti objašnjeno kako seskiciraju dijagrami složenijih funkcija prenosa.
12
0.1 1 10 100
dekada
0.2 0.3 2 3 50.5
dekadafrekvencija 0 se nalog skali nalazi u -∞
Pojačanje
Čisto pojačanje ima ravnuamplitudsku karakteristiku. Ako jepojačanje pozitivno, faza jejednaka 0◦, odnosno -180◦, ukolikoje pojačanje negativno.
13
)( ()G s K G j K
1 1( ) 0jG
1 120 log 10 10dB,( ) ( ) 0A
2( ) 10jG
2 220 log 10 10( ) (dB, ) 180A
3( ) 1/ 2jG
3 3
120 log( ) ( ),
206dBA
120 log K dB220 log K dB
320 log K dB
1 3
2
10
Im(s)
Re(s)
1 10K
2 10K 3 1/ 2K
Integrator
Na učestanosti ω = 0.1 rad/s pojačanje isnosi:
Na učestanosti ω = 1 rad/s pojačanje je jednako:
14
)( ()1 1
G s G js j
120 log 2 g) 0 o( lA
j
1( ) arg arg 90
j
j
20 log 0.(0.1 0) 1 2 dB.A
20 log 1(1) 0dB.A
Astatizam obara amplitudsku karak.za 20 dB/dec na svim frekvencijama:kad se frekvencija poveća 10 puta,pojačanje opadne za 20 dB.
20 dB/dec
Diferencijator
15
Na učestanosti ω = 0.1 rad/spojačanje isnosi:
Na učestanosti ω = 1 rad/s pojačanje je jednako:
)( ()G s s G j j
20 log l) g( 20 oA j
( ) arg 90j
20 log 0.1(0.1 d) 20 B.A
20 log 1 B( d) .1 0A
Diferencijator podiže ampl. karak. za20 dB/dec na svim frekvencijama:kad se frekvencija poveća 10 puta,pojačanje se poveća za 20 dB.
20 dB/dec
Sistem prvog reda (pol)
16
1(
1)
1(
1)G s G j
s j
a a
2
2
120 lo( g
1
)A
a
( ) arg 1 arg 1
arctan , za 0
arctan ,za 0
ja
aa
aa
0, za
20 log , z)
(
a
a
Aa
a
Realn
a karak
teristika
Asimptotska karakteristika 0a
0a
20 dB/dec
45 /dec
45 /dec
Sistem prvog reda (pol)
17
Na logaritamskoj skali -arctanω/ase može aproksimirati na sljedećinačin:
Aproksimacija je najgrublja naprelomnim učestanostima:
0 , 0.1
arctan 45log , 0.1 100.1
90 , 10
a
a aa a
a
2
2
120 log 3
1
) dB,(Aa
a
a
0.1(0.1 ) arctan 5.71 ,
aa
a
10(10 ) arctan 84.29 .
aa
a
0a
0a
20 dB/dec
45 /dec
45 /dec
3dB
5.71
5.71
realnaasimptotska
realna
asimptotska
Realn
a karak
teristika
Asimptotska karakteristika
Sistem prvog reda (nula)
18
)( () 1 1s j
G s G ja a
2
220 lo( ) g 1A
a
( ) arg 1
arctan , za 0
arctan ,za 0
ja
aa
aa
0, za
20 log , za( )
a
Aa
a
20 dB/dec
45 /dec
45 /dec
0a
0a
Sistem prvog reda (nula)
19
Na logaritamskoj skali arctanω/amože aproksimirati na sljedećinačin:
Aproksimacija je najgrublja naprelomnim učestanostima:
0 , 0.1
arctan 45log , 0.1 100.1
90 , 10
a
a aa a
a
2
220 log 1) 3dB,(
aA a
a
0.1(0.1 ) arctan 5.71 ,
aa
a
10(10 ) arctan 84.29 .
aa
a
0a
0a
3dB
5.71
5.71
realna
asimptotska
realna
asimptotska
Sistem drugog reda (polovi)
20
2
2
2
2
1
2 1
1(
(
2 1
)
)
n n
n n
G ss
s
G j
j
Za ζ = 1 ili ζ = -1 sistem imadvostruki realni pol, pa se ovajslučaj svodi na zbirfrekvencijskih karakteristikaprvog reda, što rezultiradvostrukim nagibima fazne iamplitudske karakteristike.Greške u aproksimaciji su dvaputa veće u odnosu na sistemprvog reda.
1
1
40 dB/dec
90 /dec
90 /dec
6dB
11.42
11.42
Sistem drugog reda (polovi)
21
Kada je ζ ≠ 1 greška uaproksimaciji je veća, pa seasimptotske karakteristikemogu korigovati na osnovugrafika prikazanih desno. Kodprigušenih sistema (ζ<1)javljaju se rezonantni pikovi,čije pojačanje raste kako ζopada ka nuli. Upravo ovirezonantni vrhovi su uzrokvelikih preskoka, jer onipojačavaju frekvencijskekomponente signala narezonantnoj učestanosti.
0.1 0.2
1.5
0.5
0.1
0.2 1.5 0.5 0
0
Sistem drugog reda (nule)
22
2
2
2
2
2 1
( )
(
2 1
)n n
n n
sG s s
G j j
Za ζ=1 ili ζ=-1 sistem imadvostruku realnu nulu.Konkretno, za ζ=1 funkcijaprenosa ima oblik:
pa se ovaj slučaj svodi na zbirfrekvencijskih karakteristikaprvog reda, što rezultiradvostrukim nagibima fazne iamplitudske karakteristike.
22
2( ) 2 1 1 ,
n n n
G j j j
1
1
40 dB/dec
90 /dec
90 /dec
6dB
11.42
11.42
Sistem drugog reda (nule)
23
Kada je ζ ≠ 1 greška uaproksimaciji je veća, pa seasimptotske karakteristikemogu korigovati na osnovugrafika prikazanih desno. Zaζ<1 javljaju se antirezonantnipikovi, čije pojačanje rastekako ζ opada ka nuli.Antirezonantni vrhovi su uzrok“podbačaja” u odzivu (eng.undershoot), jer oni prigušujufrekvencijske komponentesignala koje se nalaze naantirezonantnoj učestanosti injenoj okolini.
0.1
0.2 1.5
0.5
0.1 0.2
1.5 0.5
0
0
Primjer 1 – računanje odziva
Naći odziv integratora u stacionarnom stanju na signal x(t)=2sin(2t).
24
Kako je integrator po definiciji sistemna granici stabilnosti, njegov odziv ustacionarnom stanju se ne može upotpunosti odrediti posmatranjemBodeovih dijagrama. Jedna komponentaizlaznog signala će biti jednaka ulaznomsignalu koji pojačan (ili oslabljen) ifazno pomjeren za vrijednost pojačanja ifaze integratora na frekvenciji ulaznogsignala:
Amplituda integratora na 2 rad/s je:
dok je faza konstanta na svakojfrekvenciji i iznosi -90◦.
2 / 2 /2 s( ) (in )2 .rad s rad sss t A ty
20 log 20 log 2 6dB,(2)A
>> -20*log10(2)
ans = -6.0206
> K=10^(-6/20)
K =
0.5012
Primjer 1 – računanje odziva
25
>> 10^(-6/20) % pretvaranje dB
ans = 0.5012
>> s=tf('s'); W=1/s;
>> t1=0:0.01:10;
>> x=sin(2*t1);
>> lsim(W,x,t1)
>> syms t s w
>> ilaplace(laplace(2*sin(2*t))*1/s)
>> ans = 1 - cos(2*t)
>>
simplify(ifourier(fourier(2*sin(2*t))*1/(
j*w)))
>> ans = -cos(2*x)
Dakle, amplituda sinusnog signala će bitioslabljena za 6dB, odnosno 2 puta, ifazno pomjerena za -90◦:
U ovom specijalnom slučaju odzivmožemo jednostavno proračunati i uvremenskom domenu:
Može se uočiti da kompletan odziv,pored komponente koju smo dobili prekoBodeovog dijagrama, sadrži i jedinicu.Ova dodatna komponenta predstavlja„prelazni proces“, odnosno odziv sistema,koji ne iščezava, jer se sistem nalazi nagranici stabilnosti.
12 sin 2 90 ) sin 2 90 )
2cos(2 .
( ) (
)
(ss t t
t
y t
0
( ) (2 sin 2 ) 1 cos 2 .( )t
t t ty
Primjer 2 – računanje odziva
Naći odziv sistema u stacionarnom stanju na signal x(t)=2sin(2t).
26
1(
1)G ss
Kako je sistem stabilan, njegov odziv ustacionarnom stanju se može upotpunosti odrediti na osnovu Bodeovihdijagrama. Amplituda sistema naučestanosti 2 rad/s je:
dok je faza jednaka:
Odziv sistema je:
20 log 20 log 2 6dB,(2)A
45 log 45 log 200.1
(2) 58.55 .
12sin 2 58.55 ) sin 2 58.5 ).( ) ( (
2ss t t ty
Ako bi posmatrali realnu karakteristiku, pojačanje i fazni pomjeraj bi bili jednaki:
2 2 2(2) 0.45
1
2i
1 1
1 A
(2) atan atan 2 63.43 .
1
Primjer 2 – računanje odziva
27
>> s=tf('s');
>> W=1/s;
>> t1=0:0.01:10;
>> x=sin(2*t1);
>> lsim(W,x,t1)
>> syms t s
>> ilaplace(laplace(2*sin(2*t))*1/(s+1))
>> ans = (4*exp(-t))/5 - (4*cos(2*t))/5
+ (2*sin(2*t))/5
Kompletan odziv se može dobitiprimjenom Laplasove transformacije:
Može se uočiti da kompletan odziv sadržikomponentu prelaznog procesa kojaiščezava, jer je sistem stabilan. Ustacionarnom stanju ostaje samosinusoidalna komponenta koja sejednostavno može proračunati na osnovuBodeovih dijagrama.
2 2
1
4 2 4sin 2 cos 2
5 5 5
4 2 4 4sin 2 tan
5 5 5 24
+
( )
0.8944 63s .43in 2 .5
t
t
t
t e t t
e t
e t
y
Prelazni proces, pol sistema -1
( )ssy t
Prelazni process traje oko 4s, jer sistem ima pol -1.
Dijagrami sistema većeg reda
Ukoliko imamo složeni sistem koji predstavlja serijsku vezu prethodnoopisanih elementarnih funkcija prenosa, Bodeovi dijagrami se moguskicirati sabiranjem amplitudskih i faznih karakterstika svihpojedinačnih elemenata. Skiciranju dijagrama se može jednostavnijepristupiti tako što će se formirati tabele u kojima će biti definisani nagibiamplitudskih i faznih karakteristika elementarnih funkcija prenosa, narazličitim opsezima frekvencija.
Jednostavnosti radi, razmotrimo konkretnu funkciju prenosa sistema:
Najprije sistem treba zapisati u obliku Bodeove kanonične forme:
28
2
4( 5 .
( )( 6)
1 )
sG s
s s
2
120 4 .36 ( 1)( 1
6
( ))
s
G ss
s
Dijagrami sistema većeg reda
Sistem ima jednu nulu sn=-4, jednostruki pol sp1 = -1 i dvostruki pol sp2 = -6.Nula podiže amplitudsku karakteristiku za 20dB/dec, dok polovi -1 i -6respektivno obaraju karakteristiku za 20dB/dec i 40 dB/dec. Pomenuti nagibisu dati u Tabeli 1, u kojoj su prelomne frekvencije poređane u rastućemporetku. U Tabeli 2 su prikazani nagibi rezultujuće amplitudske karakteristikena različitim opsezima. Na opsegu 0-1 rad/s nema polova i nula, pa jerezultujući nagib jednak nuli. Na frekvenciji 1 rad/s pol počinje da spuštakarakterisiku za 20 dB/dec, pa se ovaj nagib sabira sa prethodnim nagibom,davajući nagib -20 dB/dec. Na isti način se računaju nagibi na ostalimopsezima.
29
Pol 1 -20dB/dec
Nula 4 +20dB/dec
Pol 6 -40dB/dec
0 – 1 0dB/dec (const. 0 dB)
1 – 4 -20 dB/dec
4 – 6 0 dB/dec
6 – ∞ -40 dB/dec
Tabela 1 Tabela 2
Dijagrami sistema većeg reda
Što se tiče fazne karakteristike, jednostruki pol u tački a obara fazu za 45◦/decna opsegu od 0.1a do 10a, dok nula u tački a podiže karakteristiku za 45◦/decna istom opsegu. Van opsega (0.1a, 10a) polovi i nule ne unose nagib. Ukolikoje pol ili nula n-tostruk, onda se nagibi povećavaju n puta. U Tabeli 3 su datinagibi nula i polova na odgovarajućim opsezima, dok su u Tabeli 3 dati nagibirezultujuće fazne karakteristike na različitim opsezima.
30
Pol 1 0.1-10 -45◦/dec
Nula 4 0.4-40 +45◦/dec
Pol 6 0.6-60 -90◦/dec
Tabela 3
0 – 0.1 0◦/dec (const. 0◦)
0.1 – 0.4 - 45◦/dec
0.4 – 0.6 0◦/dec
0.6 – 10 -90◦/dec
10 - 40 -45◦/dec
40 - 60 -90◦/dec
60 - ∞ 0◦/dec
Tabela 4
Treba voditi računa da na učestanostimavećim od 10a faza više nema nagib. Toznači da prilikom formiranja rezultujućefazne karakteristike nagib koji je dodat uokviru opsega 0.1a-10a, nakonučestanosti 10a treba oduzeti.
Dijagrami sistema većeg reda
Na slici ispod su prikazani rezultujući Bodeovi dijagrami.
31
1( ) 5.1A
2( ) 20 log 5.1A
3 2( ) (4)20 log 4 5.1
A A
4 3( ) 40 log (6)6
A A
1( ) 45 log0.1
3
0.6( ) 45 log 45 log
0.6 0.1
Dijagrami sistema većeg reda
Na prethodnom slajdu su prikazani asimptotski Bodeovi dijagrami,nacrtani na osnovu Tabela 2 i 4, kao i realna karakteristika. Kako jepojačanje sistema jednako 20/26, amplitudska karakteristika jetranslirana za -5.10dB. Upoređujući realnu i asimptotsku karakteristiku,uočava se da je greška u crtanju najveća na učestanosti 6 rad/s, jer nanjoj postoji dvostruki pol. Kod fazne karakteristike se mogu odreditiasimptote za ω=0 i ω=∞. Realna fazna karakteristika je jednaka:
odnosno φ(0) = 0◦ i φ(∞) = -180◦, što korespondira sa nacrtanimdijagramima. Treba napomenuti da, ukoliko sistem ima astatizam n-togreda i ukoliko se karakteristika crta počevši od frekvencije 0.1 rad/s,početna tačka amplitudske karakterisike iznosi n×20dB (+ translacijauslijed Bodeovog pojačanja), dok je početna faza jednaka -n×90◦.
32
arctan arcta( ) n 2arctan ,4 6
Primjer 1 – Bodeovi dijagrami
Nacrtati asimptotske Bodeove dijagrame sistema
33
1
436 i
( 1)()
6)(
sG s
s s s
2
2
( 0.8)3 .( 0.2)( 0
(5)
).
sG s
s s
Primjer 2 – Bodeovi dijagrami
Na slici su prikazani blok dijagrami nekog minimalno faznog sistema (i nule i polovi muleže u lijevoj poluravni s ravni). Odrediti funkciju prenosa, propusni opseg, kao ipojačanje i fazu sistema na učestanosti 0.3 rad/s.
34
Sa amplitudske kar. se vidi da sistemima polove u tačkama 1 i 3, i nulu nafrekvenciji 4. Pojačanje sistema je27.6042 dB, odnosno 24 na linearnojskali. Funkcija prenosa sistema je:
Jednačina prave između frekvencija 1i 3 je -20logω+27.6. Propusni opsegse dobija na sljedeći način:
-20logωB+27.6=27.6-3→ωB=1.41 rad/s.
Pojačanje sistema na učestanosti 0.3rad/s je 27.6dB, dok se faza dobija izjednačine:
/ 4 124 .
( 1)(( )
/ 3 1)
sG s
s s
-45log(ω/0.1)=45log(0.3/0.1)=-21.47◦.
Napomena: jednačina faze na sljedećem opsegu frekvencija je -90log(ω/0.3)-21.47◦.
Karakteristične veličine
Propusni opseg (ωB) sistema se definiše kao ona učestanost na kojoj
pojačanje sistema opadne 2 puta u odnosu na pojačanje na nultojfrekvenciji (ili za 3dB). Drugim riječima, snaga frekvencijskihkomponenti signala čija je frekvencija veća od ωB slabi za 50% više uodnosu na komponente signala na nižim učestanostima. Idealan slučaj bibio kada bi pojačanje bilo konstantno na učestanostima manjim od ωB,odnosno 0 (ili ∞ dB) na učestanostima većim od ωB.
Sistemi sa većim propusnim opsegom su brži, imaju kraće vrijemesmirenja i vrijeme uspona (polovi se nalaze lijevlje i visočije u s ravni).Sa te strane gledano, u praksi je poželjniji SAU sa većim propusnimopsegom, ukoliko želimo da on isprati brze promjene referentnog signala(signali koji se brže mijenjaju imaju širi amplitudski spektar od signalakoji se sporije mijenjaju u vremenu). Sa druge strane, mjerni šumovi sunajčešće slučajni i zauzimaju širok spektar frekvencija. To znači da susistemi sa većim propusnim opsegom manje robusni na šumove, pa sa testrane gledano, poželjniji su sistemi sa manjim propusnim opsegom.
35
Karakteristične veličine
Rezonantni vrh (Mr) se definiše kao maksimalna vrijednost amplitudskekarakteristike sistema. Učestanost ωr na kojoj se javlja rezonantni vrh sezove rezonantna učestanost. Rezonantni vrhovi su posljedicakompleksnih polova i njihova amplituda raste za opadanjem faktorarelativnog prigušenja. Što je rezonantni vrh veći, to će biti veći preskoku vremenskom domenu. Rezonatni vrh je takođe mjera relativnestabilnosti u frekvencijskom domenu: veći rezonantni vrh impliciramanju vrijednost faktora relativnog prugušenja. Odnosno, za konstantnoωn, polovi će biti bliži imaginarnoj osi, a time sistem manje stabilan.
Selektivnost se mjeri veličinom nagiba amplitudske karakteristike uokoloni učestanosti ωB (u dB/dec). Selektivnost izražava sposobnostsistema da filtrira ulazni signal u okolini učestanosti propusnog opsega.Što je selektivnost veća, to će frekvencijske komponente ulaznog signalau okolini propusnog opsega biti jače i brže prigušene.
36
Karakteristične veličine
Fazno kašnjenje predstavlja odnos fazne karakterisitke sistama iodgovarajuće frekvencije:
Fazno kašnjenje ima dimenziju vremena i nosi informaciju o tome kolikosinusoidalni signal na izlazu sistema kasni u odnosu na ulazni signal:
Grupno kašnjenje se definiše kao izvod fazne karaktersitike po frekvenciji:
Ukoliko imamo amplitudsko modulisani signal a(t)cosω0t na ulazu sistema iukoliko je grupno kašnjenje kostantno u okolini frekvencije ω0 (linearna faza)izlazni signal će biti približno jednak:
37
00
0
( )( ) .d
j
0 0 0 0 0 0( ) ( )cos ( ) ( )cos ( ) .ss dy t A j t j A j t
( )( ) .g
d j
d
0 0 0( ) ( ) ( )cos ( ) .ss g dy t a t A j t
Karakteristične veličine
38
B
[ ]A dB
3 [ ]A dB
M [ ]r dB
r
selektivnost [dB/dec]
Veza sa vremenskim karakteristikama
Za sistem drugog reda može se izvesti veza između karakterističnih veličina ufrekvencijskom, kompleksnom i vremenskom domenu. Ove veze se moguprimijeniti i za sisteme većeg reda ukoliko se dodatni polovi nalaze daleko oddominantnih, kompleksnih polova.
Rezonantni vrh, rezonantna frekvencija, kao i veza između propusnog opsega,položaja kompleksnih polova i vremena smirenja su dati relacijama:
Napomena: pojačanje sistema je jedinično. Za bilo koju drugu vrijednostpojačanja K pomenute veličine se ne mijenjaju, sem rezonantnog vrha koji seskalira sa K.
39
2
2
1, 1 2 ,
2 1r r nM
2 4 2(1 2 ) 4 4 2 iB n 2 4 24
(1 2 ) 4 4 2.B
sT
2
2 2( ) .
2n
n n
G ss s
R(s) Y(s)
-
( )E s2
( 2 )n
ns s
Primjer - propusni opseg
Za SAU prikazan na slici odrediti faktor relativnog prugušenja i prirodnu neprigušenuučestanost, tako da preskok i propusni opseg budu jednaki 10% i 6 rad/s. Simuliratiodziv sistema na referentni signal sa slike.
40
Iz uslova da preskok bude jednak 10%dobija se da je ζ = 0.5912.
Da bi bio propusni opseg bio 6 rad/s,prirodnu neprigušenu učestanost trebaizabrati na osnovu jednačine:
Očekivano vrijeme smirenja je:
2 4 2
5.17 rad/s.(1 2 ) 4 4 2
Bn
41.30 .s
n
T s
Kako vrijeme smirenja nije manje od 1s, sistem neće moći u potpunosti da ispratireferentni signal. To znači da za zadati preskok treba povećati propusni opseg.
R(s) Y(s)
-
( )E s2
( 2 )n
ns s
1s
1s
Primjer - propusni opseg
41
>> syms s k z
>> zeta=eval(solve(exp(-z*pi/sqrt(1-z^2))-0.1))
>> wn=6/sqrt(1-2*zeta(1)^2+sqrt(4*zeta(1)^4-4*zeta(1)^2+2))
>> t=0:0.01:10
>> r=0.2*heaviside(t)+0.8*heaviside(t-1)-heaviside(t-3)...
+0.4*heaviside(t-4)-0.3*heaviside(t-6)-0.1*heaviside(t-9)
>> s=tf('s');
>> G=wn^2/(s^2+2*zeta(1)*wn*s+wn^2)
>> lsim(G,r,t)
Primjer - prenos signala
U ovom primjeru je prikazan odzivsistema, čiji su Bodeovi dijagramiprikazani na slajdu 31, na ulazni signal
U pitanju je amplitudsko modulisanisignal, te da bi izlazu dobili samozakašnjelu verziju signala (bezizobličenja), frekvenciju nosioca trebaodabrati tako da u njegovoj okoliniamplitudska karakterisitika bude ravna,a fazna karakteristika linearna(konstantno grupno kašnjenje).Simulirana su tri slučaja: kada je ω0 0.2,2 i 20 rad/s. Može se uočiti da se jedinou prvom slučaju na izlazu pojavljujevjerna verzija ulaznog signala.
42
0( ) cos( )cos( ).mx t t t
