g8-Trabajo Monografico - Trans. Integrales

8/17/2019 g8-Trabajo Monografico - Trans. Integrales

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AÑO DE LA DIVERSIFICACION PRODUCTIVA Y DELFORTALECIMIENTO PARA LA EDUCACION

8

UniversidadNacional de Callao

Ciencia y Tecnología rumbo al tercer milenio

Profesor: CASTRO VIDAL RAUL PEDRO

Integrantes: ARANA-TAPIA-WILDER ODON 1313210064 LEZAMA-VEGA-DANNY JESUS 1213210244 LLIUYACC-LEON-EDWARD 1313220623

e!"#$3%&'()%''*+e, PALOMINO-FLORES-PEDRO MIGUEL 1313220463 PEREZ-CAMARGO-MICEL .ENITO 0/21/3

GRUPO


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Universidad Nacional del Callao Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Transformadas Integrales

INDICE1. TRANSFR!A"AS INTE#RA$ES%%%%%%%%%%%%%%%%%..%%&

&. TRANSFR!A"A "E $A'$ACE%%%%%%%%%%%%%%..%%%..%%&

&.1"e(inición%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%.......&

&.&Teore)as Funda)entales%%%%%%%%%%%%%%%..%%%...%.....*

&.* Teore)as "e Integración y "erivación%%%%%%%%%%%%%%...%.+

&.+Trans(or)ada "e $a,lace Inversa%%%%%%%%%%%%%%%%%..%-

&.- 'role)as Resueltos Trans(or)ada "e $a,lace%%%%%%.%% %%%.-

*. TRANSFR!A"A "E FURIER%%%%%%%%%%%%%%%%%.%%%%/

*.1 Integral "e Fourier%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%..%%..%./

*.& Trans(or)ada "e Fourier%%%%%%%%%%%%%%%%%%...%%%../

*.* 'ro,iedades "e $a Trans(or)ada "e Fourier%%%%%%%%%%..%.%10

*.+ Trans(or)ada de Fourier de las Funciones Escalón i),ulso

2 "elta de "irac %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%...%.....1&

*.- "i(erenciación "e $as Trans(or)adas Seno 2 Coseno%%%%%%%.%..1&

*.3 'role)as Resueltos "e $a Trans(or)ada "e Fourier%%%%%......%%.1*

+. A'$ICACINES "E $A TRANSFR!A"A "E $A'$ACE EN $AIN#ENIERIA........................................................................................................14

L( 1


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-. A'$ICACINES "E $A TRANSFR!A"A "E FURIER EN $AIN#ENIERIA%.....................................................................................................&0

3. 5I5$I#RAFIA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%. &1

Transformadas Integrales

IntroducciónEste docu)ento ,resenta reve)ente los ,rinci,ios de la teoría de las transformadasintegrales en es,ecial de la transformada de Laplace y la de Fourier . $atrans(or)ación de $a,lace es de a),lia a,licación en el ca),o de la electrónica y lteoría de circuitos. 'or otra ,arte la trans(or)ada de Fourier es de a),lia a,licaciónen el an6lisis de se7ales así co)o en di(erentes ca),os de la (ísica 8teoría de ladi(racción )ec6nica cu6ntica etc.9. $as trans(or)adas integrales se ,resentan en(or)a de a,untes es:ue)6ticos y sin de)ostraciones.

1 Transformadas integrales

Definición 1.1 8Trans(or)ada integral9 La transformada I

integral respecto el núcleo k (s,x) en el intervalo (a,b) de la función F(x) se define de la forma

F ( s)= I [f (t )]=∫a

b

f (t ) K (s , x)dx

L( 2


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Donde es la variable transformada.

El o,erador de trans(or)ación I es lineal así co)o la o,eración de trans(or)ación

inversa I −1

.

2 Transformada de Laplace

2.1 Definición

Definición 2.1 8ransformada de Laplace) La transformada de Laplace de unafunción se define f(t) por

F ( s)= L [ f (t )]=∫0

∞

f (t )e−st dx

Algunos e;e),los son<

L [ eat ]= 1s−a si s=a

L [ t n ]= n !s

n+1 si s=0 n ≥1 L [ J 0( t )]= 1

√ 1+s,

L {sin at }= a

s

2

−a2 ; si s! L {cosat }=

s

s

2

+a2 ;si s>0 ;

L {sinh at }= as2−a2 ; si s

|a| L {coshat }= s

s2−a2

;sis>|a|;

Definición 2.2 8Función de orden e>,onencial9 $a (unción (8t9 es de orden e>,onencial

si ∃a>0 tal :ue eat |f ( x )| est6 acotada ∀ t >T . "e otra )anera ∃ M >0

tal :ue ∀ t >T . se cu),le |f ( x )|≤ M eat

.

f"t#$ o(eat )

Ta)ién se escrie.

Teorema 2.% 8Teore)a de e>istencia9 Sea f" continua a tro?os en [0,T ] y de

orden e>,onencial. Entonces e>iste la trans(or)ada de $a,lace L f (t ) ,ara sa.

L( 3


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L[ df (t )dx ]=SL [ f (t ) ]−f (0)En general ,ara n≥1 se tiene

L [ f (n )

(t )]=Sn

L [ f ( t ) ]−Sn−1

f (0

)−Sn−2

f

' ( 0)

−…−S f

( n−2)

(0

)− f (n−1 )

(0

) Teorema 2.- 8Trans(or)ada de derivadas ,arciales9 sea u ( x , t ) una (unción de dos

variales y Lt [u ( x , t )] la trans(or)ada de $a,lace res,ecto a t. Entonces

Lt [ u ( x , t ) t ]=S Lt [ u( x , t )]−u ( x ,0 ) Lt [ u ( x , t ) x ]= x Lt [ u( x ,t )]

En general

Lt [ n+

u ( x , t )

xn

t ]=

n

xn (S Lt [ u ( x , t ) ]−∑

i=0

−1

S (−1 )−i

iu ( x ,t )

t i )¿t =0

Teorema 2.1! 8teore)a de integración9 si ∃ L [ f ( t ) ] entonces se cu),le

L[∫0

t

f (T )dT ]= L[ f (t )]SDefinición 2.11 8'roducto de convolución9 El ,roducto de convolución de dos

(uncionesf

y"

se de(ine

(f ∗") ( x )=∫0

t

f ( t −# ) " (# ) d#

Este ,roducto es asociativo distriutivo res,ecto la su)a y con)utativo.

Teorema 2.12 8teore)a de convolución9 sea f ( s)= L[ f (t )] y $ ( s )= L[" (t )]

entonces

L [ ( f ∗" ) ]= L[∫0

t

f ( t −# ) " (# ) d#]= F (s)$(s )

2.' Transformada de Laplace inversa

Teorema 2.1% 8teore)a de $erc9 sea f y " continuas ,or ,artes a)as de

orden e>,onencial. Si ∃ s0 tal :ue L [ f ( t ) ]= L [ " (t ) ]∀ s> s0 entonces f ( t )="(t )

L(


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e>ce,to :ui?6s en los ,untos de discontinuidad. Es decir la trans(or)ada inversa [email protected]>isten diversos )étodos ,ara allar la trans(or)ada inversa de una (unción<

• "esco),osición en (racciones si),les< A,licale a (unciones racionales,olinó)icas. Se desco),one la (unción en (racciones si),les cuya

trans(or)ada inversa es conocida 8e>,onenciales (unciones trigono)étricasetc.9.

• Teore)a de convolución< A,licale cuando la (unción es ,roducto de dostrans(or)adas<

L−1[ F (s)$(s)]=∫

0

t

f ( t −# ) " (# ) d#

• Segundo teore)a de traslación< Si θ(t −a) es la (unción escalón

tene)os

L−1

[e−as

F (s ) ]=θ( t −a) f (t −a)

Teorema 2.1' 8For)ula de la trans(or)ada inversa de $a,lace9 A través de latrans(or)ada de Fourier :ue vere)os )6s adelante ,ode)os encontrar la siguiente(ór)ula ,ara encontrar la trans(or)ada inversa de $a,lace<

L−1 [ F ( s) ]= 1

2%i ∫c−i ∞

c+i ∞

e xs

L[ f ( x )]ds

2.( ro/lemas de 0esueltos Transformada de Laplace

ro/lema 1Resolver<

L {T 3 e−T sen&T }=(−1)3 d3

d S3 ( 1s2−1 ) ∫s ' s+1

❑

❑

olución

(−1 ) d

3

d S3 ( 1(s+1 )2−1 ) $ (−1 ) d

3

d S3 ( 1S2−2S ) $

S2−2S

¿¿(¿2¿¿)=¿−1(2S+2)

¿

(−1 ) d2

d S2¿

L( 6


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$

S2−2S¿¿

(¿4¿¿)=¿

( S2+2S )2

(−2 )−(−2 s−2)2( S2+2S )(2 S+2)

¿(−1 )

d

dS¿

S2−2S¿¿

(¿4¿¿)

( S2+2S )2

(2 )−2(2 s+2)2 ( S2+2 S )¿

d

dS

¿

$

S2−2 S¿¿

(¿4¿¿)

(S2+2S )2 [2 (S2+2S )−2(2 s+2)2 ]

¿d

dS

¿

S2+2S¿¿

(¿3¿¿)−6 S2−12 S−8

¿ddS

¿

$

S2−2S¿¿¿

( S2+2S )3(−12S−12 )−(−6S2−12S−8 )3 (2 s+2)2(2 s+2)

¿

S

2

+2 S¿¿¿

( S2+2S )2 [ (−12S−12 )−3 (−6S2−12S−8 )(2 s+2)]¿

$

S2

+2 S¿¿¿

36 S3+108 S2+108S+36

¿

ro/lema 2

tenga la ecuación :ue es solución de la siguiente ecuación di(erencial ,or el )étodode la Trans(or)ada de $a,lace aciendo uso de talas y ,ro,iedades.

d2

" (t )

d t 2 +4 " (t )=sen(4 t ) con< g809 0 y gD8091-

olución

A,licando trans(or)ada directa de $a,lace

L(


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L { (2 " ( t )+4 " ( t ) } L {sen(4 t )}

L { (2 " ( t ) } G L {4 " ( t ) } L {sen (4 t ) }

{S2 $ ( s)−S" (0 )−")(0) } G + {$(s) { 4

( s2−42) }S

2$ ( s)−0−

1

5+4$(s) { 4(s2−42) }

$ ( s ) 8 s2

G+9 −1

5 { 4(s2−42) }

$ ( s ) 8 s2

G+9 { 4

(s2−42) } G1- 20

+ (s2

+4

2

)5 ( s2+42 ) s2

+36

5 ( s2+42 )

$ ( s ) (s2+62 )

5 (s2+22 ) (s2+42 ) '$ (s )

1/5 ( s2+62 )( s2+22) ( s2+42 )

A,licando trans(or)ada inversa de $a,lace

L−1 {$(s)} L

−1{ 1/5 ( s2+62 )

( s2+22 ) ( s2+42 ) }

s+0¿

s+0

¿(¿¿2+42 )(¿¿2+22 )¿

¿1 /5 ((s+0)2+62 )

¿ L−1¿

ro/lema %la siguiente ecuación integrodi(erencial

d*dT +6 * (T )+9∫

0

T

* (T ) dT =1 ; * (0 )=0

olución A,licando directa)ente la trans(or)da de $a,lace de la derivada<

S *s− * (0 )+6 * s+9 *sS =

1

S

L( /


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Factori?ando nos :ueda

*s(S+6+ 9S )=1S *s= S

S(S2+6 S+9)=

1

(S+3)2

A,licando trans(or)ada inversa tene)os< * (T )= L−1[

1

(S+3 )2]

'or lo tanto< * (T )=Te−3T

ro/lema ' "eter)ine la corriente I8T9 de un circuito H$RCH en serie cuando $ 0.00-enrios R 1Ω y C 0.0& (aradios.

+ (T )=100[1−u(T −1)] I8090olución"e las leyes de irco((<

L dI

dT + I +

1

- ∫0

T

I (T ) dT =100 [1−u(T −1)]

Ree),la?ando los datos se tiene<0.05

dI dT + I +

1

0.02∫0

T

I (T ) dT =100[1−u(T −1)]

A,licando directa)ente la trans(or)ada de $a,lace de la derivada<

0.05 (S I S− I (0 ) )+ I S+50 I S

S =100 [

1

S−

eS

S ]

SI S+200 I S+10000 I S

S =20000[

1

S−

eS

S ]

I S(S

2

+200S+10000S )=

20000 [1S− e

S

S ]

I S((S+100)2

S )=20000(1−eS

S ),erando tene)os

L(


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I S= 20000S

(S+100)2 (1−eS

S )= 20000(S+100)2−20000e

−S

(S+100)2

I (T )=20000T e−100T −20000T e−100T e−S

'or lo tanto< I (T )=20000T e−100T −20000(T −1)e−100 (T −1 )u(T −1)

034LE56 (Si ( es una (unción continua a tra)os ,ara t J 0 y de orden e>,onencial ,ara t J Tentonces de)ostrar<lims' ∞

L{f (t )}( s)=0

oluciónCo)o la (unción ( es continua a tra)os en K0 T entonces es acotada en este intervalo

y ,or tanto !1 = 0 tal :ue L(8t9L M!1 e0 t

5t K0 T y co)o (8t9 es de orden

e>,onencial ,ara t J T entonces L(8t9L M!& e0 t

donde !& y son constantes con !& J

0.

Sea ! )6>!1!&O y sea )6>0T OP ,or lo tanto L(8t9L M!1 e.t

5t J 0.

LF8s9L ¿ F (s)∨¿|∫0

∞

e−st

dt | M ∫0

∞

e−st ∨ F (s)∨dt M ∫

0

∞

e−st

M e. t

, dt

! ∫0

∞

e−(s−. )t

dt a1

−(s−. ) e

−(s−. )t

∫0

∞

❑

M

−(s−. ) 80Q19 M

(s−. )

7 lim

s ' ∞¿ F (s)∨¿

Mlims '∞

M

(s−. )=0

7 lims ' ∞| F ( s)|=0

L( 10


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% Transformada de 7ourier

%.1 Integral de 7ourier

E>tendiendo las series de Fourier a intervalos in(initos se ,uede deducir el siguiente

Teorema %.1 8Teore)a integral de Fourier9 Sea f ( x ) suave ,or ,artes y

asoluta)ente integrale en el e;e real. Entonces se cu),le<+¿ x¿

¿−¿ x¿

∫−∞

∞

f ( x ) cos.

[¿(t − x)dt ]d. f ¿1

2¿

'ara (unciones ,ares se tiene

f ( x )=f (− x )=2

% ∫0

∞

cos.xd. ∫0

∞

f ( t ) cos.tdt

'ara (unciones i),ares se tiene

f ( x )=−f (− x )=2

%

∫0

∞

sen.xd. ∫0

∞

f ( t ) sen.tdt

Este teore)a se ,uede escriir de otra )anera )6s si)ilar a las series de Fourier / (. )cos.x

(¿+0 (. ) sen.x)d.

f ( x )=∫0

∞

¿

/ (. )=1

% ∫−∞

∞

f ( t )cos.xdt , 0 (. )=1

% ∫−∞

∞

f (t )sen.xdt

tra )anera )6s @til de escriir el teore)a Integral de Fourier es<

L( 11


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f ( t )eit dt

∫−∞

∞

¿

¿¿

f ( x )= 12% ∫−∞

∞

¿

%.2 Transformada de 7ourier

A ,artir del teore)a integral de Fourier se ,uede de(inir la trans(or)ada de Fourier<

Definición %.2 8Trans(or)ada de Fourier9 Sea f ( x) continua suave y

asoluta)ente integrale en (−∞ , ∞) . $a trans(or)ada de Fourier

F [ f ( x )]1 F (. )1 1√ 2% ∫−∞

∞

f (t )e i.t dt

Entonces ∀ x

F −1 [ f ( . ) ]= F ( x )= 1

√ 2% ∫−∞

∞

f (. )e−i.t d.

"e igual )anera ,ode)os de(inir

Definición %.% 8Trans(or)ada de Fourier en seno9 Sea f ( x) continua suave y

asoluta)ente integrale en (0,∞) e>tendida i),ar a 8 −∞, ∞ ¿ . $a trans(or)adade Fourier en seno es

F s [ f ( x ) ] 1 F s (. ) 1 1

√ 2 % ∫0

∞

f (t )sen.tdt

Entonces ∀ x tene)os

F s−1 [ f (. ) ]= F ( x )=√ 2% ∫0

∞

F s(. )sen.td.

Definición %.' 8Trans(or)ada de Fourier en coseno9 Sea f ( x) continua suave y

asoluta)ente integrale en (0,∞) e>tendida ,ar a (−∞ , ∞) . $a trans(or)ada de

Fourier en coseno es

F - [ f ( x ) ]1 F - (. )1 1

√ 2% ∫0

∞

f (t )cos.tdt

Entonces ∀ x tene)os

L( 12


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F - −1 [ f ( ) ]1 f ( x )1√ 2% ∫0

∞

F - ( )costd

%.% ropiedades de la transformada de 7ourier

$os siguientes teore)as e>,resan las ,ro,iedades )6s @tiles de la trans(or)ada deFourier.

Teorema %.( 8Teore)a de linealidad9 'ara todo ,ar de (unciones cuyas trans(or)adasde Fourier e>istan y entonces

FK8(8>9 Gg8>9 aFK(8>9G FK(8>9.

Teorema %.) 8Teore)a de traslación9 'ara toda (unción cuya trans(or)ada de Fourier9 :; entonces

FK(8tQc9 e. c

FK(8t9.

Teorema %.* 8Teore)a de escala9 'ara toda (unción cuya trans(or)ada de Fouriere>iste F889FK(8t9 si 9 :; entonces<

FK(8ct91

c F

.

c¿

9.

Teorema %., 8Teore)a de di(erenciación9 Sea (8>9 continua y suave ,or ,artes en todo

(8>9 ' 0 si L>L '∞ sean (8>9 y (8>9 asoluta)ente integrales ,ara todo >

.Entonces.

FK(8>9Qi 8FK(8>9.

En general si las derivadas sucesivas cu),len las condiciones tene)os.

FK f (n)( x ) (−ia)

n

FK(8>9.

Si uu8>y9 es una (unción de varias variales entonces ,ode)os generali?ar elresultado anterior<

FKn+! u( x , * )

xn

*! (−ia)

n

1

FK(8>9.

Definición %.- 8'roducto de convolución9 Sean un ,ar de (unciones (8>9 y g8>9 . El,roducto de convolución se de(ine )ediante la integral.

L( 13


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8(g98>91

22% ∫−∞

∞

f ( x−#) f (#) d # .

Teorema %.1! 8Teore)a de convolución9 Sea un ,ar de (unciones tal :ue su ,roductode convolución e>iste. Entonces se cu),le

FK8(g98>9FK(8>9FKg8>9.

lo :ue es lo )is)o

F −1

KF889#889 8(g98>9 1

22% ∫−∞

∞

f ( x−#) f (#) d # .

Teorema %.11 8Teore)a de 'arseval9 'ara toda (unción tal :ue e>iste su trans(or)adade Fourier F889F8(8>99 se cu),le

¿ F ( )∨¿2dx

¿ f ( x )∨¿2dx=∫−∞

∞

¿

∫−∞

∞

¿

%.' Transformada de 7ourier de las funciones escalón8impulso + delta de Dirac.

A ,artir de la se)e;an?a entre la de(inición de la (unción delta de "irac

∫−∞

∞

3 ( x−a) (8>9d>(8a9.

y el teore)a integral de Fourier ,ode)os encontrar una re,resentación ,ara la delta de"irac

3 (t − x) 1

2 % ∫−∞

∞

eia(t − x)

d>.

tra re,resentación ,osile es el lí)ite de una sucesión de ca),anas gaussianas.

3 (t −#) t '0

+¿ 1

2√ 4t% e

( x−#)44t

lim¿¿

L( 14


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tra re,resentación de la delta es el lí)ite la (unción i),ulso

5∈

& a−#Qa9<

0 xa

se encuentra :ue el resultado no e>iste ,ero se ,uede de(inir a ,artir del lí)ite

FK 8>Qa9< lim

6 0

F K 8>Qa< 9 e

− 6x

ieia .

22% .

%.( Diferenciación de las transformadas de seno +coseno

'ara las trans(or)adas de Fourier e>isten teore)as de di(erenciación an6logos a losgenerales.Teore)a<*.1& 8"i(erenciación )ediante la trans(or)ada de Fourier en coseno9

Sea (8>9 y (8>9 :ue se anulan en > ' ∞ . Entonces se cu),le

L( 1


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F s K(8>9 −. 2 F c 8 . 9Q

2

% (809.

Teorema %.1% 8"i(erenciación )ediante la trans(or)ada de Fourier enseno sea (8> y (

8>99:ue se anulen en > '∞

entonces se cu),le F s K(8>9 √ 2% f (0 )−. 2 F s 8 9

%.) ro/lemas resueltos de transformada de 7ourier

ro/lema 1

Balle la re,resentación de la integral de Fourier de la (unción−¿ x∨¿

f ( x )= x e¿ si

x∈(−∞ ,∞) y estudie su convergencia en <

olución Se tiene :ue (8>9 es una (unción i),ar. E>a)ine)os si se cu),len las condiciones dee>istencia de integral de Fourier.En ,ri)er lugar

∫−∞

∞

| x e−| x||dx=2∫0

∞

x e− x

dx

¿

[ x e

− x

| +∫

0

∞

e− x

dx0

∞

]¿2 (1 )=2 Ade)6s ( es continua y di(erenciale ∀ x

$os coe(icientes de Fourier de ( son< / (7 )=0 *a8ue f esunafunci9ni!5a:

u e−¿ u∨¿

sin (7u ) du= 47

(1+72)2

0 (7 )=∫−∞

∞

¿

Entonces ,ara todo > la integral de Fourier converge a<

x e− x=

4

% ∫0

∞7

(1+72)2 sen(7x)d7

ro/lema 2

L( 16


18/27


Encontrar la serie de Fourier ,ara la (unción de onda cuadrada de ,eríodo T<

olución

$a e>,resión ,ara (8t9 en−T 2


19/27


Coe(iciente an<

an= 2

T ∫−T 2

T

2

f ( t ) cos (n 70t )dt

an=2

T [∫−T 2

0

−1cos ( n 70 t ) dt +∫0

T 2

1cos (n 70t ) dt ]¿ 2

T [ −1n 70 sen ( n 70 t )¿−T 20 + 1n 70 sen (n 70 t )¿0−T 2 ]=0

Coe(icientes n<

bn=

2

T ∫−T 2

T

2

f ( t ) sen(n7 0t )dt

bn=2

T [∫−T 2

0

−1 sen (n 70t ) dt +∫0

T 2

1 sen ( n 70 t ) dt ]¿ 2

T [ 1n 70 cos (n 70 t )¿−T 20 − 1n 70 cos (n 70 t )¿0−T 2 ]

¿ 2

n% [ (1−cos (n% ) )−(cos ( n% )−1)]

¿ 2

n% [1−(−1 )n ] 5a:an


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f a (t )= 1

2a∫

t −a

t +a

f (= )

Ta)ién es ,eriódica con ,eriodo T.

olución"ee)os de)ostrar :ue f a 8tGT9 f a 8t9

f a 8tGT9 ¿ 1

2a ∫t −a+T

t +a+T

f (= ) d (= )

se cu),le :ue <

∫t +.

t + 6

f ( t )dt ∫.

6

f (t ) dt

entonces tene)os :ue <

f a 8tGT91

2a ∫t −a+T

t +a+T

f (= ) d (= )

1

2a ∫t −a

a+T

f (= )d(= ) f a 8t9

ro/lema '

Utili?ando el teore)a de 'ARSERA$ ,ara ,ara ,roar :ue

2n−1¿¿¿2¿1

¿

∑n=1

∞

¿

%

2

8

Se trata de la (unción ( 8t9 dada ,or<

F8t9 −1 ,−

t 2


21/27


(8t9

2n−1¿¿¿1¿

sen(2n−1)t

¿4

% ∑n=1

∞

¿

,or el teore)a de 'ARSERA$ se tiene

1

T ∑n−T / 2

t / 2f 2(t )dt 1

a02

4 G

a¿¿n¿¿¿

12∑n=1

∞

¿

G bn2

9

1

T ∫−T /2

0

f 2(t ) dt G

1

T ∫

0

T /2

f 2(t ) dt

1

2∑n=1

∞16

(2n−1)2 %

1

T ∫−T /2

0

f 2(t ) dt G 1

T

∫0

t

2

d (t ) 8

% 2∑

n=1

∞1

(2n−1)2'

1

T KT 2+

T 2

8

% 2∑

n=1

∞1

(2n−1)2

'or lo tanto<

∑n=1

∞1

(2n−1 )2

% 2

8

ro/lema (Una arra )et6lica de 100 c) de longitud tiene los e>tre)os >0 y >100 )antenidos a0VC. Inicial)ente la )itad de la arra est-a a 30VC )ientras :ue la otra )itad est6 a+0VC asu)iendo una in(usiilidad de 013 unidades cgs y :ue la su,er(icie de la arraest6 aislada encuentre la te),eratura en toda ,arte al tie),o t.olución$a ecuación de conducción del calor es<

L( 20


22/27


>

t =0.16

2>

x2

"onde U8>t9 es la te),eratura en el sitio > al tie),o t. las condiciones de (rontera son

30 0W > W-0U80t9 0 U8100t9 0

U8>09

+0 -0W > W100

Asu)iendo U XT

?T @ =0.16 ? A T o T @ 0.16T

= ? A ?

Baciendo iguales a la cte. − B2

entonces.

T @ +0.16 B2T =0, ? @ @ + B2 ? =0

2 así otene)os la solución> ( x , t )=e−0.16 B

2t ( /cosBx+0senBx )

"elas condiciones /=0, B=n% /100

> ( x , t )=b1 e−16(10−6) % 2 t sen

%x100

+b2 e−64 (10−6 )% 2 t sen

2 %x100

+…

'ara t0P

b1 sen %x100

+b2 sen 2 %x100

+¿> ( x ,0 )

Así tene)os

bn= 2

100∫0

100

> ( x ,0 ) sen n%x100

dx

¿ 2

100∫0

50

(60)sen n%x100

dx+ 2

100∫50

100

(40) sen n%x100

dx

¿120

n% (1−cos n% 2 )+80

n% (cos n% 2 −cosn% )

así b

1

=200

% ,b

2

=40

% ,…,

entonces<

> ( x , t )=200

% e

−16(10−6)% 2 t sen

%x100

+40

% e

−64(10−6)% 2 t sen

2%x100

+…

$a cual se ,uede )ostrar :ue es una solución @nica.

L( 21


23/27

=>)? @>)???

B


'. 6plicaciones De La Transformada DeLaplace En La Ingenier9a

• El ca),o de a,licación de los siste)as de control una erra)ienta :ue se utili?aen el dise7o de control cl6sico es ,recisa)ente $a trans(or)ada de $a,lace• En el estudio de los ,rocesos es necesario considerar modelos din:micos es

decir )odelos de co),orta)iento variale res,ecto al tie),o.• Esto trae co)o consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al

tiempo ,ara re,resentar )ate)6tica)ente el co),orta)iento de un ,roceso.• El co),orta)iento din6)ico de los ,rocesos en la naturale?a ,uede

re,resentarse de )anera a,ro>i)ada ,or el siguiente modelo general decomportamiento din:mico lineal<

• $a trans(or)ada de $a,lace es una erra)ienta )ate)6tica )uy @til ,ara elan6lisis de siste)as din6)icos lineales.

• "e eco la trans(or)ada de $a,lace ,er)ite resolver ecuaciones di(erencialeslineales )ediante la trans(or)ación en ecuaciones algeraicas con lo cual se(acilita su estudio.

'.1 6plicación El roceso De istemas De Control

• 'ara ,oder dise7ar un siste)a de control auto)6tico se re:uiere – Conocer el ,roceso :ue se desea controlar es decir conocer la ecuación

di(erencial :ue descrie su co),orta)iento utili?ando las leyes (ísicas:uí)icas yo eléctricas.

– A esta ecuación di(erencial se le lla)a )odelo del ,roceso. – Una ve? :ue se tiene el )odelo se ,uede dise7ar el controlador.

• UENIN DE UN 6UT35


24/27


2

2 )()()()(

dt

t z d m

dt

t dz bt kz t f

ma F

=−−

=∑

f(t): fuerza de entrada

@>)? e,%"@"Be)' e ,"%" e% e% ,,)eB"

[ ]

k bsms s F

s Z

k bsms s Z s F

s Z ms sbsZ skZ s F

dt

t z d m

dt

t dz bt kz t f

++

=

++=

=−−

=−−

2

2

2

2

2

1

)(

)(

)()(

)()()()(

cero)a!ua"nca"e##condconendo(con#dera

t$r%nocadaa&a'"acedeadatran#for%"aA'"cando

)()()()(

S(,e,e% "()'BH%

• NIVEL EN UN TANQUE

L( 23


25/27


dt

t dh At h

Rt q

t q

t h R

dt

t dh At qt q

i

o

oi

)()(

1)(

)(

)(

)()()(

=−

=

=−

11

1

)(

)(

)1

)(()(

)()(1

)(

&a'"acedeadatran#for%"aA'"cando

)()(1)(

+

=

+

=

+=

=−

=−

ARs

R

R

As sQ

s H

R As s H sQi

s AsH s H R

sQi

dt t dh At h

Rt q

i

i

Rol de la trans(or)ada de $a,lace< convierte lasecuaciones di(erenciales a ecuaciones algeraicas

(. 6plicaciones De La Transformada De7ourier

(.1 Transformadas De 7ourier En e=ales eriódicasL( 24


26/27


Considere a continuación una se7al ,eriódica "T 0(t ) de ,eriodo T 0 .

Re,resentando a "T 0(t ) en tér)inos de la serie de Fourier e>,onencial

co),le;a tene)os<

"T 0 (t )= ∑n=−∞

∞

- n e C 2%n f 0 t

"onde - n es el coe(iciente de Fourier co),le;o de(inido ,orP

- n= 1

T 0∫−T 02

T 02

"T 0

(t ) e− C2%n f 0 dt

2 f 0 es la (recuencia de(inida co)o el reci,roco del ,eriodo T 0 P es decir

f 0= 1

T 0

Sea g(t) una (unción si)ilar a un ,ulso :ue es igual a "T 0 (t ) sore un ,eriodo

y cero en cual:uier otro ladoP es decir

" (t )={"T 0(t ),∧−T 0

2


27/27


"onde $(n f 0) es la trans(or)ada de Fourier de g(t) evaluada a la (recuencia

n f 0 . Consecuente)ente ,ode)os reescriir la (ór)ula ,ara la reconstrucción

de la se7al ,eriódica "T 0 (t ) co)o

"T 0 (t )=f 0 ∑n=−∞

∞

$(n f 0)e C2%n f 0 t

de )odo e:uivalente de acuerdo con la ecuación anterior

∑!=−∞

∞

" (t −! T 0 )=f 0 ∑n=−∞

∞

$(n f 0)e C2%n f 0 t

Esta ecuación es una (or)a de la (ór)ula de 'oisson.Se ,uede oservar :ue la (unción g(t) la cual constituye un ,eriodo de la se7al

,eriódica "T 0 (t ) tiene un es,ectro continuo de(inido ,or la se7al !(f). 'or otro

lado la ,ro,ia se7al ,eriódica "T 0 (t ) tiene un es,ectro discreto. 'or tanto se

,uede concluir :ue la periodicidad en el dominio del tiempo tiene el efectode cambiar la descripción o espectro en el dominio de la frecuencia de la

señal en una forma discreta definida en múltiplos enteros de la frecuencia

fundamental.

) . 4i/liograf9a

• DENNIS G+ ZILL Y MICAEL R+ CULLENECUACIONESDIFERENCIALES SEPTIMA EDICION 200

• NAGLE+STAF+SNIDER ECUACIONES DIFERENCIALES CUARTA EDICIN MEKICO 200

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g8-Trabajo Monografico - Trans. Integrales