GA_AnaIrene_HastaCap2

8/3/2019 GA_AnaIrene_HastaCap2

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U na in troducc i6n a la g eom e tr ia

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Ana Irene Ramirez Galarza,estudio la carrera de matematicas enla Facultad de Ciencias de la UNAMy la Maestria en Ciencias (Matema-ticas) en el Centro de Investigaci6n yEstudios Avanzados del IPN.Ha escrito mas de diez li-bros de texto. tanto de posgrado co-mo de licenciatura y bachillerato,ademas de diversos articulos de in-vestigaci6n y divulgacion,

Su campo de interes es lageometna diferencial y consideraque los primeros cursos de geo-metria son fundamentales para de-sarrollar las ideas geometricas en elestudiante.


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ANA IRENE RAMiREZ GALARZA

GEOMETRiAANALiTICA

FACULTAD DE CIENClAS, UNAM


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Geometrfa analitica2"edici6n, 20041"reimpresion, 2009Diserio de portada: Laura Uribe

D. R. Universidad Nacional Aut6noma de MexicoFacultad de CienciasCircuito exterior sin. Ciudad UniversitariaMexico 04510, D. [email protected]

ISBN 10: 970-32-1578-5ISBN 13:978-970-32-1578-2Impreso y hecho en Mexico
mailto:[email protected]:[email protected]


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Introducci6nEste libro tiene un doble proposito. Por un lado, pretende mostrar la utili-dad y la belleza del area de las matematicas Hamada Geometrfa; por otro, sepropone facilitar el desarrollo de los cursos de Geometrfa Analitica de niveluniversitario presentando un programa concreto para un curso de 2 semestresy una forma de desarrollarlo.

Para cumplir el primer proposito hemos tenido en mente ideas centrales enGeometria, como la de grupo de transformaciones y sus invariantes asociadosintroducida por Felix Klein y en la cual subyace el concepto de simetria; 0la de dimension de un espacio geometrico debida a Bernhard Riemann. Parailustrar esas ideas utilizamos ejemplos concretos, sencillos pero interesantes,que seran 1a mejor referenda para fijar los conceptos y los resultados y parageneralizaciones futuras.

El segundo proposito nos ha hecho incluir muchos dibujos y consignar lamayor parte de los calculos, ademas de proponer suficientes ejercicios y pre-guntas que muestran los rumbas a seguir. La mayor parte del material esindispensable en los cursos de Calculo de Varias Variables, Ecuaciones Dife-renciales, Algebra Lineal y Geometria Diferencial. Solo algunos incisos delfinal de ciertos capitulos eontienen material que puede omitirse aunque tienenel valor de mostrar aplicaeiones de los resultados expuestos.

El metoda de estudio que utilizaremos es el analftico, cuyo creador es ReneDescartes. Consiste en asignar coordenadas a los puntos, ecuaciones a loslugares geometricos y funciones a las transformaciones, 1 0 eual tiene la ventajade permitir el uso de las herramientas del Algebra y el Calculo.

En los primeros cursos de Geometria, los dibujos juegan un papel esen-cial: un dibujo correcto, que no es 1 0 mismo que perfecto, es fuente de ideasy muchas veces da la clave para resolver e1 problema. El meta do analiticopermite traducir facilmente esas ideas en una demostracion.

Sin embargo, no eludiremos utilizar conocimientos adquiridos mediante el


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metodo sintetico debido a Euclides, y que consiste en deducir logicamente losresultados de un conjunto de postulados. Mas aun, enfatizaremos el caracteresencialmente integrador de la Geometria al mencionar, y si es posible utilizar,conocimientos de otras areas, como el Calculo Diferencia1 0 la Ffsica.

Al presentar muchos ejemplos, dibujos y calculos hemos pretendido ponerel ejemplo, pues e1dominio de cualquier conocimiento nuevo solo.se logra can lapractica. Par ello sera indispensable que ellector vaya realizando los calculos ylos dibujos por su cuenta; cornprobara que la "lectura" de los dibujos facilita lacomprension de los conceptos y viceversa, ya que en la medida que un conceptose entiende mejor es mas facil lograr un dibujo correcto.

Hemos tenido presente la dificultad para visualizar formas geometricas enel espacio tridimensional debida a los muchos a nos de estudio en el plano,por eso desde el principia introducimos regiones tridimensionales y, en co-laboracion can el Mat. Juan Pablo Romero Mendez, e1aboramos el videointeractivo U n pa s eo pa r e l e sp tic io tr id im e nsio na l accesible desde la paginawww.matematicas.unam.mx

Para el lector interesado en profundizar 0 amp liar el panorama aquf ex-puesto, hemos incluido bibliografia suficiente y asequible pues, como e1 titulo10 indica, el material del libro es s610 el principia de uno de los campos masvast os y ricos de las maternaticas.

Finalmente, queremos hacer notar que la introduccion y e1 usa de unminima de concept os y resultados del Algebra Lineal simplifica la obtenei6nde los resultados, mostrando as! el contenido esencialmente geometrico deesta rama de las matematicas que esta presente en muchas de las materiasde cualquier carrera cientifica.

Los comentarios, dudas y sugerencias seran bienvenidos en la direccionsiguiente: Departamento de Matematicas, cubiculo 204

Facultad de Ciencias, U.N.A.M. Circuito Exterior, C.U.Mexico, D.F., C.P. 04510.

e-mail: [email protected]
http://www.matematicas.unam.mx/mailto:[email protected]:[email protected]://www.matematicas.unam.mx/


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Agradecirnientos

A los estudiantes participativos; ellos hicieron posible este libro.

Al Dr. Hugo Alberto Rincon Mejia; su profesionalismo y bonhomia modi-ficaron sustancialmente el contenido.

Fueron muy valiosos los comentarios a la primera version de los colegassiguientes: Dr. Juan Manuel Lozano Mejia, Dr. Oscar Alfredo Palmas Velasco,Dr. Javier Paez Cardenas, Dr. Jose Antonio Zapata Ramirez, Mat. PabloRosenblueth Laguette, Mat. Guillermo Ruiz Galvan, Dr. Guillermo SienraLoera, M. en 1 . Leda Espeziale San Vicente, Mat. Renata Leriche Vazquez,Profr. Alfonso Escoto, Mat. Noel Jaramillo Arce, y de los alumnos Marianadel Castillo Borja, Juan Jose Lopez Badillo, Zdenek Palecek y Max OrtegaDelvecchio.

Al Dr. Andres Pedroza y al Mat. Juan Pablo Romero; BU cuidado ypaciencia en la elaboracion de los dibujos son parte fundamental del libra.


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IV

SUGERENCIAS PARA EL usa DE ESTE LIBROHemos intentado que este sea un libro cuya lectura cuidadosa, junto con la

resolucion de los ejercicios planteados, permita allector dominar por si mismoe1 material, Con ese fin, hemos decidido incluir temas que tal vez ya fueronmencionados en el bachillerato.

Un planteamiento fundamental de este libra es que el estudiante debe irfamiliarizandose desde el principio con figuras y coordenadas en el espacio;el tratamiento sirnultaneo y cuidadoso de figuras en el plano y en el espaciopermite observar analogies y ver en que radican las diferencias. Esa es laintencion del primer capitulo.

Tambien hay que dedi carle tiempo a otros des puntas que diffcilmente sonfamiliares para un estudiante de primer ana de facultad: JR,2y I R 3 como espaciosvectoriales can sus productos escalar, vectorial y triple producto escalar; y alos grupos de transformaciones y sus invariantes.

Para un curso de dos semestres, sugerimos llegar en el primero hastaCorneas (inclusive), y comenzar el segundo semestre retomando estas curvaspara generar las superficies cuadricas: primero los cilindros, despues las super-ficies de revolucion y, finalmente, e1 parabo1oide hiperbolico, Tanto en e1 casode las corneas como en e1 de las superficies cuadricas, basamos e1 estudio enlas ecuaciones canonicas, y dejamos para el ultimo capitulo la demostracionde que los terrninos mixtos pueden eliminarse con una rotacion adecuada.

En el primer semestre debe lograrse el manejo par el alumno del lenguajevectorial y de su significado geometrico: es indispensable en Calculo de VariasVariables y en el resto de los cursos de Geometria.

E! segundo semestre debe enfatizar la visualizacion de superficies y su ubi-cacion en el espacio coordenado, ademas de lograr la comprension de los con-ceptos de subespacio invariante de una transformaci6n lineal y el de grupo detransformaciones. En la seccion de transformaeiones es fundamental resolvertodos los ejercicios.

Algunas secciones, marcadas con un asterisco, utilizan concept os de Calculoque no pueden considerarse un requisito. El proposito ha sido mostrar sucontenido geornetrico y su utilidad al abreviar los calculos.

Es importante reca1car que no necesariamente todo el material incluido ene1 texta debe estar sujeto a evaluaci6n, eso debe fijarse de acuerdo al curso yprograma especificos.


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Contenido

1 Conceptos basicos1.1 Plano y espacio cartesianos . . . . . . . . . . . . '.'1.2 Subconjuntos del plano y del espacio cartesianos1.3 Sirnetrias .1.4 Funciones y sus graficas

1191825

2 F'unciones trlgonometricas y coordenadas polares2.1 Razones trigonometricas

y algunas relaciones . . .2.2 Resoluci6n de triangulos2.3 Funciones e identidades

trigonometricas . . . .. 472.4 Funciones trigonometricas

35

3542

inversas .2.5 Coordenadas polares .2.6 Curvas en coordenadas polares .2.7 Curvas parametricas .2.8 Coordenadas esfericas

y cilfndricas . . . . . . . . . . . . . . . .2.9 Un comentario sobre series de Fourier (*)

5 96164687379

3 Espacios vectoriales basicos3.1 Fuerzas; funciones;

plano y espacio cartesianos .3.2 Subespacios vectoriales3.3 Base y dimensi6n . . . . .

81

8298106

v


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vi3.4 Determinantes

y sus propiedades . . . . . .Productos: escalar, vectorialy triple escalar .

.1193.5 126

4 Rectas, planes, semi planos y serniespacios 1374.1 Rectas y semiplanos de lR2 . . 1374.2 Rectas en lR3 . . . . . . . . . . . 1454.3 Planas y semiespacios en I R 3 . . . 1504.4 Sistemas de ecuaciones lineales. . 1564.5 Sistemas de desigualdades lineales . 1664.6 Apendice: Rectas y puntas

notables de un triangulo 1735 Conicas

5.1 Definicion, trazado ynomenclatura . . . .

175

5 .2 Ecuaciones canonicas . . . . . . . . . . . . .5.3 Corneas can ejes paralelos a los coordenados

175 181.188

5.4 Discriminante, simetrfas,extension y asintctasExcentricidad.

1925.5

Secciones de un cono . . . . .5.6 Propiedad focal de las c6nicas5.7 Algunos resultados

sobre la circunferencia ....

.204 210.214

5.8 Conicas en coordenadas polares. Orbitas de los planetas(*) . 2196 Superficies Cuadricas

6.1 Cilinclros......6.2 Superficies de revolucion .....6.3 Las posibles superficies cuadricas6.4 Sirnetrfas y extensi6n .5.5 Cuadricas COIl ejes paralelos a los coordenados6.6 Superficies regladas . . . . . . . . .6.7 Plano tangente a una cuadrica (*) .6.8 Algunas propiedades de la esfera. .

225.226.230.241.250.257 259.265.270


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vii7 Transformaciones lineales

y transformaciones rigidas7.1 Definicion y ejemplos detransformaciones lineales

7.2 Matrices

275.275

7.3y transforrnaciones linealesSubespacios invariantesbajo transformaciones linealesT'ransformaciones rigidas . . .Eliminacion de terminos mixtosNurneros Complejos yT'ransformaciones Conformes(*)

.282

7 . 47.57.6

.292

.303

.309

.324Epilogo 329Bibliografia 331


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1Conceptos basicosPara introducir al lector al estudio de la Geometrfa Analitica es necesarioestablecer un lenguaje y una notaci6n especifioos: muchos de los conceptos sehan introducido en niveles escolares anteriores y 1 0 iinico que pretendemos eneste primer capitulo es hacer una revision de e110steniendo siempre presente lacorrespondencia entre el concepto geornetrico y su expresi6n en coordenadas.

1.1 Plano y espacio cartesianosComo 10 mencionamos en la introduccion, las coordenadas son basicas para eltipo de estudio que vamos a emprender. Por eso conviene recordar como seasigna coordenadas cartesian as a un punto del plano 0 del espacio euclidianos,y t.ambien como se localiza un punto en el plano 0 el espacio cartesiano siconocemos sus coordenadas.

En el caso del plano se toma un par de rectas perpendiculares, que porcuestiones tipograficas 0 de comodidad suelen dibujarse una horizontal y otravertical. Consideramos a ambas rectas como rectas numericas, es decir, esta-mos ya utilizando la correspondencia biunivoca entre el conjunto de los punt osde una recta y el conjunto de los numeros reales, que en adelante denotare-mos con IR . Entonces, al punta de interseccion Ie hacemos corresponder elorigen de ambas rectas numericas mientras que como punto correspondiente a1 elegimos un punta en el rayo derecho de la recta horizontal y un punto enel rayo superior de la recta vertical. Un plano en el que se han introducidocoordenadas cartesianas se denomina plano cartesian a y se denota como lR2 .

Es import ante recalcar que la unidad utilizada en ambos ejes debe serla misma; cuanda eso no ocurra, debe hacerse la observacion correspondiente,pues las graficas se alteran y eso puede dar lugar a confusiones (vea el Ejercicio7) .

A la recta horizontalla denominamos e je d e la s a bsc isa s 0 e je X , y a la recta1


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2vertical la llamamos e je d e la s o rd e n a d a s a e je Y (aqui conviene aclarar queen maternaticas leemos "eje ye" para no tener que decir "i griega"). Tenemosentonces la situacion ilustrada en la Figura 1.1.

Y

1

1 X

Figura 1.1: Sistema derecho en el plano cartesiano ]R2

Como al ubicar el numero 1 en el rayo derecho del eje X el res to de losnumeros reales positivos queda tarnbien localizado en ese mismo rayo, 5e lellama s em i e j e X posi t ivo (se excluye al origen), y al rayo rest ante se le 1lamasemieje X nega t i vo . Lo mismo ocurre para los dos rayos (sin el origen) deleje Y. Par tanto, los puntos en el rayo derecho del eje X deben satisfacerla condicion x > 0, rnientras que los puntas del rayo izquierdo satisfacen lacondici6n x < 0; analogamente, los puntas del rayo superior del eje Y debensatisfacer la condicion y > 0, y los del rayo inferior satisfacen la condiciony < O .

En este libra la unidad utilizada en ambos ejes sent la misma a menos que seavise 1 0 contrario. Ellector debera preguntarse siempre cuales son las unidadesutilizadas en las graficas, porque la informacion visual puede ser engafiosa.

Desde luego, habra casas en que el sistema coordenado ya este introducidoy desde nuestra posicion los ejes no se vean como una recta horizontal y otravertical, pero 1 0 que sf debe ocurrir es que al girar el semieje positivo de lasabscisas un Angulo de 900 en sentido contrario a las manecillas del reloj, estealcance al semieje positive de las ordenadas (vease la Figura 1.1). Tambienpuede usarse ejes no perpendiculares, en cuyo caso los calculos se complican; elmaterial de los capitulos 3 y 7 perrnitira al lector utilizar ese tipo de sistemasde referencia.


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3Es importante observar que ningun movimiento ngido del plano puede

hacer coincidir un sistema derecho como el ilustrado en la Figura 1.1, con unsistema izquierdo, como e1dibujado en la Figura 1.2. Desde luego, esta discri-minacion es arbitraria, pero asi como la mayoria de los objetos que utilizamosestan disefiados para ser utilizados par personas diestras, tarnbien ocurre quelas ecuaciones mencionadas en los libros 0 en las clases estan referidas a sis-temas derechos.

~ yFigura 1.2: Sistema coordenado izquierdo, no utilizado.

Para asignarle coordenadas cartesianas al punto P ilustrado en la Figura1.3, trazamos paralelas a cada uno de los ejes par dicho punta y nos fijamosen los puntas A y B de interseccion con el otro eje (vease la Figura 1.3). Alnumero a correspondiente en el eje X ala interseccion A le l1amamos prim eracoordenada 0 abscisa de P, y al numero b correspondiente en el eje Y al puntode interseccion B le llamamos segunda coordenada U ordenada de P, mientrasque al par ordenado (a, b) le llamamos coordenadas de P.

yP (a , b)B --..------- ----~b

a:

(c , d )p ; J - - - - . . dc A X

Figura 1.3: Coordenadas cartesianas de un punto en el plano.


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4Reciprocamente, si contamos con las coordenadas (c, d ) de un punto del

plano cartesiano, la manera de localizar el punta Q que determinan es trazaruna perpendicular al eje X por el punta correspondiente a la abscisa c y otraperpendicular al eje Y por el punta asociado a la ordenada d . El punto deinterseccion de ambas perpendiculares es el punta Q buscado.

Las cuatro regiones obtenidas al excluir los ejes se denorninan cuadran-tes. Cada uno de los cuadrantes puede caracterizarse por los signos de lascoordenadas de sus puntas, como 1 0 ilustra la Figura 1.4.

YII t(-,+)1 I(+,+)

( - , - ) ( + , - )------------~--------~XIII IV

Figura 1.4: Cuadrantes del plano y signos de las coordenadas.El cuadrante can el juego de signos (+, + - ) se denomina primer cuadrante,

el cuadrante con el juego de signos (-, +) se denomina segundo cuadrante, elcorrespondiente al juego de signos (-, -) es el tercer cuadrante, y el cuadrantecan signos (+, -) se denomina cuarto cuadrante.

Conviene notar que los puntas del plano cartesiano pertenecientes al eje Xse caracterizan porque su ordenada es cero y , en consecuencia,

y = 0 es la ecuacion del eje X.Analogamente, los puntos del eje Y se caracterizan porque su abscisa es ceray par tanto,

x =0 es la ecuaci6n del eje Y.Vayamos ahara al espacia euclidiano. Para introducir en el coordenadas

cartesianas, basta tomar tres planes concurrentes y perpendiculares dos a dos,como sucede can las dos paredes y el suelo que forman una esquina de cualquierhabitaci6n; la ilustraci6n que suele presentarse en los textos a en el pizarr6nes la Figura 1.5, pero 1 0 realmente importante es que los tres planos se cortenen un punta y que sean perpendiculares dos ados.


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5Las tres rectas determinadas tomando los planos por pares seran los ejes

coordenados y tambien en este caso deberemos respetar la convenci6n uni-versalmente establecida en cuanto a la relacion que guardan los tres semiejespositives (vease la Figura 1.5).

z+

Figura 1.5: Sistema coordenado derecho en e1espacio cartesiano.Si nos ubicamos frente a una de las esquinas de la habitaci6n en la que nos

encontramos, el suelo corresponde al pla n o XY, donde el e je X corresponde ala recta de la izquierda y la parte que vemos pertenece al s emie j e X pos i t ivo;el e je Y corresponde a la recta de la derecha y la parte que vemos perteneceal sem ie je Y po si tivo ; finalmente, la recta frente a nosotros corresponde al e jeZ y la parte que vemos pertenece al s em i e j e Z pos i t ivo . La caracteristica quedefine a este sistema coordenado como un sistem a d er e c ho es el hecho de que alcolocar nuestra mana derecha con los dedos pulgar, fndice y medio estiradoscomo 1 0 muestra la figura, el dedo indice apunta hacia la parte positiva deleje X, el media apunta hacia la parte positiva del eje Y y e1 pulgar hacia laparte positiva del eje Z. El espacio provisto de un sistema coordenado comoel descrito se denomina e spa c io c ar te sia no y se denota par IR3.

Tambien en este caso la diferencia entre un sistema derecho y un sistemaIzquierdo es esencial, tanto como la que existe entre nuestras rnanos derecha eizquierda. Las ecuaciones de lugares geometricos que aparecen en los textos 0artfculos especializados estan referidas siempre a sistemas derechos.

Los pianos XY, YZ y ZX se denominan pia no s c o ord en ad os y dividen alespacio en a c t a n t e s . El unico que suele distinguirse llamandolo pr im e r a c ta n tees e1mostrado en 1a Figura 1.5; la caracterfstica de sus puntos es tener las trescoordenadas positivas,

Para determinar las coordenadas cartesianas de un punta P en el espacio


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6procedemos asi: primero trazamos por P una perpendicular al plano XY yotra perpendicular al eje Z; despues, por el pie H de la perpendicular al planoXY trazarnos perpendiculares a los ejes X y Y para repetir la construccionrealizada en el easo del plano, la eual nos perrnitio determinar las eoordenadasde cualquier punta en el plano. Entonces las eoordenadas del punta P sedeterminan as! (vease la Figura 1.6): la primera coordenada es el mimero xasociado al pie R de la perpendicular de H al eje X, la segunda coordenada esel numero y asociado al pie S de Ia perpendicular de H al eje Y, y la terceraeoordenada es el numero z eorrespondiente al pie T de Ia perpendicular desdeP al eje Z. La terna orden ada (x , y, z ) esta forrnada per las eoordenadascartesianas del punta P. Nos gustaria que ellector notara que las coordenadaspueden determinarse trazando directamente perpendiculares a cada uno de losejes X, Y, Z y tomando como coordenadas los mimeros x, y y z correspondientesa los pies de las perpendiculares al eje X, al eje Y y al eje Z; tanto est aforma como la descrita anteriorrnente constituyen dos form as de generalizar ladeterminacion de coordenadas heeha en el caso del plano .

z.& .

T z ( a , b , c ).Qp

c A. .DB S . . . . .

YR x H. X

Figura 1.6: Coordenadas cartesianas de un punta en el espacio.

Redprocamente, dada una terna ordenada de mimeros reales (a , b , c), elpunta Q con esas coordenadas se localiza mediante los puntas A en el eje X) Ben el eje Y y C en el eje Z de coordenadas a, bye, respectivamente, haciendo


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7la construccion siguiente: primero loca1izamos en el plano XY el punta Dde coordenadas (a ) b, 0 ) y) luego, sabre la perpendicular al plano XY par Dsubimos 0 bajamos segun 1 0 indique el signo de c (vease 1 3 0 Figura 1.6). Hayotras formas de localizar el punto Q; el lector las encontrara en los ejercicios.

Cada uno de los planos coordenados puede caraeterizarse por el hecho deque la coordenada fait ante se anula; asi, para los puntos del plano XY 1 3 0tercera coordenada es cero y par tanto

z =0 es 1 3 0 ecuacion del plano XY;para los puntas del plano Y Z 1 3 0 primera coordenada es cera y en consecuencia

x = es 1 3 0 ecuaci6n del plano Y Z;finalmente, para los puntas del plano X Z oeurre que la segunda coordenadaes cero, par 1 0 eual

y =0 es la ecuacion del plano X Z.Seguramente el lector notara que 1 3 0 misma ecuaci6n corresponde a lugares

geornetricos distintos segun debarnos localizarlos en el plano a en el espacio;ella se debe a que una ecuaci6n como x = 0 solo condiciona a la primeracoordenada obligandola a ser cera, en tanto que "las') restantes pueden tomarcualquier valor. "Las" restantes son una sola, y , en el caso de J R 2 , y dos, y yZ, en el caso de lR3.

Las Figuras 1.7{a) y 1.7(b), muestran los lugares geornetricos correspon-dientes a 1 3 0 ecuacion y = 2 en el caso del plano y el espacio, respectivamente.

La observacion sabre cuantas y cuales variables aparecen en una ecua-cion debe ser bien comprendida, y muestra la importancia de saber de ante-mana en dan de nos interesa Iocaiizar el lugar geometrico correspondiente auna ecuacion. En nuestro caso s610 trataremos can el plano a e1 espacio earte-sianos, pero no es dificil encontrar situaciones en que se requiera mas de tresvariables para describir un fen6meno que nos interesa; en tales casos puede serdiffcil visualizer el lugar geometrico correspondiente, pero siempre podremosrecurrir al rnetodo analitico para hacer el estudio y 130generalizaci6n sera massencilla mientras mejor manejemos los casos del plano y el espacio.


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8recta y =2 plano y = 2

paralela al eje X paralelo al plano X Zy i z 1 / /r //(. . . ;, I .~! X // 2 y(a) X (b)

Figura 1.7: Una misma ecuaci6n tiene lugares geometricos distintos en lR2 yen JR3.

EJERCICIOS1. Localizar en dos graficas distintas los puntas dados en los dos incisessiguientes:i) P(l,l), Q(l,-l), R(-l,-l), 8(-1,1).ii) P{l,l,l), Q(l,l,-l), R{-l,l,l), 5(-1,1,-1)1'(-1,-1,1), U(-l,-l,-l), V(l,-l,l), W(l,-l,-l).

2. ~A cual eje coordenado pertenece un punto de 1R2 cuya segunda COO[-denada sea O? i.,A emil eje coordenado pertenece un punta de J R 2 cuyaprimera coordenada sea cero?

3. ~Que caracterfstica deben satisfacer las coordenadas de un punto de 1R3para que pertenezca a uno de los pIanos coordenados?

4. Despues de dibujar los tres ejes X) Y, Z correspondientes a un sistemaderecho en el que el plano XY sea horizontal y la parte positiva deleje Z apunte hacia arriba, determine que caracterlstica deben tener lascoordenadas de un punta para satisfacer la condicion estableeida en eadauno de los incises siguientes:

i) Estar arriba del plano XV.ii) Estar en el plano XV.iii) Estar abajo del plano XV.iv) Estar atras del plano Y Z.


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9v} Estar a la izquierda del plano X Z.

5. Sean (z, y, z ) las coordenadas de un punto P del espacio cartesiano. Paraun sistema coordenado como el de la figura 1.5, id6nde se ubica el puntosi x > O? iY donde se ubica P si y < O?

6. Verifique que los planos siguientes tienen como interseccion al punta(a , b, c): el plano paralelo a XY por el punto (0,0, c), el plano paralelo aY Z por el punto (a , 0, 0), y el plano paralelo a X Z por el punto (0, b,O).

7. Truce la grafica de la funcion y = x en sistemas coordenados tales que:i) la unidad en ambos ejes mida 1 0 mismo;ii) la unidad en el eje X mida el doble de la unidad en el eje Y.

1.2 Subconjuntos del planoespacio cartesianos

y del

La materia de Geometria Analitica se consider a basica porque incluye temasnecesarios en Calculo, Geometrfa, Algebra lineal, Ffsica, Probabilidad, etc. Enesos cursos es necesario manejar subconjuntos del plano y el espacio cartesianos(a veces seran necesarias mas de tres variables, esto es, mas de tres dimensiones,como en Flsica), y muchas veces sera necesario considerar la region definidacomo una union, una interseccion, un complemento, etc.

Conviene entonces ejemplificar como visualizar ese tipo de regiones y ,tambien, recordar la notacion y algunos hechos de Teena de Conjuntos.Podemos hacer ambas cosas a la vez mediante algunos ejemplos y ejercicios.Pero primero recordemos las definiciones y la notacion correspondientes a losterminos que hemos mencionado.

Si A denota un conjunto, sus elementos deb en estar bien. caracterizados yentonces siempre podremos decidir si un elemento a pertenece 0no al conjunto;si a tiene la car acteristica 0 caracterfsticas determinantes de A, escribimos

a E A, que se lee a e su i e n 0 e s e lem en io d e A ,y si a no reune las caracterfsticas determinantes de A, escribimos

a r t . A, que se lee a no esta en 0 no es e l e r n e n t o de A.


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1 0Cuando todos los elementos de un conjunto A son tambien elementos de

otro conjunto B, se dice que A es subconjunto del conjunto By la notaci6n esA c B. Notese que A c A.La igualdad de dos conjuntos A y B ocurre cuando cada conjunto es sub-

conjunto del otro, es decir,A = B si y solo S I A c B y B c A

La union del conjunto A con el conjunto B es el conjunto cuyos elementospertenecen a, al menos, uno de los conjuntos A y B; la notacion es

AU B = {x I x E A 6 x E B},donde las dos Haves indican que se trata de un conjunto, la barra se lee "talque" y la conjunci6n "6" significa que basta una de las dos condiciones paraconsiderar que el elemento pertenece a la uni6n.

La uiierseccuni de los conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementospertenecen tanto a A como a B; 1a notaci6n es

AnB = {x I x E Ay x E B},donde la conjunci6n "y" significa que ambos condiciones deben ser satisfechaspor e1 elemento para considerar que pertenece a la interseccion.

Si A y B no tienen elementos en com un se dice que son conjuntos ajenos 0que su interseccion es e1 conjunto uac i o 0 . El conjunto vacio debe considerarsesubconjunto de cualquier otro conjunto.

El complemento de un conjunto A es e1 conjunto de los elementos (en eluniverso bajo consideraci6n) que no reiinen las caracteristicas distintivas de A;la notaci6n es A ={x I x ~ A},aunque, en contraste con las notaciones correspondientes a union e intersecci6n,la asignada al complemento puede variar de un libro a otro.

Por ultimo, la diferencia de A con B es el conjunto de aquellos elementosde A que no pertenecen a B; se le llama tambien el complemento de B relativoa A y la notaci6n es

A - B ={x I x E A y x f J . B}.Es claro que podrfamos abundar mucho sabre el tema de Teoria de Con-juntos, pero el hacerlo nos desviarfa de nuestro interes principal, la Geometria;


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11por tanto, nos limitaremos a proponer en forma de ejercicios algunos de losresultados mas utilizados en este libro. La mismo ocurre con las propiedadesde los mimeros reales, en especial las referentes a desigualdades; los conceptosreferentes a este tema los discutiremos sobre la marcha, en ejemplos especificoscomo los siguientes.Ejemplo 1. 8i A = {(x, y ) 1 xy < O} y B = {(x, y ) 1 y2 > 4}, dibuje en graficasseparadas las regiones del plano cartesiano correspondientes a

(i) Au B; (ii) An B, (iii) A-; (iv) B~; (v) B - A.Soluci6n. Lo primero que necesitamos es determinar las regiones de lR? quecorresponden a A y a B; entonces sera sencillo ubicar los complementos decada uno, la union de ambos, B U interseccion y 1a diferencia indicada en v).

La forma de caracterizar los elementos de A es analizar la desigualdadxy < 0: para que el producto de dos numeros rea1es sea negativo, esto es,estrictamente menor que cera, es necesario que uno sea positivo y e1 otronegativo, es decir, los juegos de signos permitidos son (+, -) Y (-, +), corres-pondientes a los puntos de los cuadrantes II y IV. En consecuencia su dibujoes e1 de la Figura 1.8(a), donde los ejes estan excluidos porque la desigualdades estricta.

En cuanto a B, sus elementos estan caracterizados porque el cuadrado de B Uordenada es mayor que 4, 10cual obJiga a y a ser mayor que 2 0menor que -2,perc deja en libertad a la abscisa de tomar cualquier valor; por ejemplo, parala ordenada 3, que satisface la condicion de que su cuadrado es mayor que 4,podemos tomar cualquier abscisa, 0, I, -2, 15, etc., y los puntos asf formados,(0,3), (1,3), (-2,3), (15,3), etc., ubicados todos en la recta horizontal y =3, pertenecen al conjunto B. Lo mismo ocurre con los demas valores de ycorrespondientes a puntos en el eje Y arriba del asociado a y =2, 0 los cortes-pondientes a puntos del rayo del eje Y cuyo extremo superior corresponde a-2; cada punta determina toda una recta horizontal cuyos puntos pertenecena B puesto que el cuadrado de su ordenada es mayor que 4. En resumen, Bconsta de dos serniplanos: el que tiene como borde inferior la recta horizontaly =2 Yla excluye, porque la desigualdad es estricta, y e1que tiene como bordesuperior a la recta horizontal y = -2 pero tambien la excluye (vease la Figura1.8(b)) .

Una vez identificadas las regiones correspondientes a los conjuntos A y B,


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12para identificar la correspondiente a la union basta tamar en cuenta todos lospuntos que pertenecen a alguna de las dos regiones, 1 0 eual da lugar a laFigura 1.8(c).

En terrninos de conjuntos escribimos:Au B = {(x, y) I xy < 0 0 y2 > 4};

La region correspondiente a la interseccion consta s610 de los puntas quepertenecen a ambas regioues, obteniendose la Figura 1.8(d) cuyo conjuntocorrespondiente es:

A n B = {(x, y) I xy < 0 Y y2 > 4}El complemento de A consta de todos aquellos puntos del plano cartesiano

que no pertenecen a A, esto es, los puntos de los cuadrantes I y III can los ejesincluidos, como 1 0 muestra la Figura 1.8(e), cuyo conjuuto correspondiente es

A- = { ( x , y ) I xy ?: O } .EI complemento de B consta de todos los puntas del plano que no estan

en B, esto es, los que se ubican en la banda horizontal entre 2 y -2 con losbordes incluidos, como 1 0 muestra la Figura 1.8 (f); para todos esos puntas elcuadrado de la ordenada es menor 0 igual que 4, es decir,

B- = { (x, y) \ y 2 : s 4}.Finalmente, la diferencia de B con A es el conjunto de los puntos en B que

no pertenecen a A, 1 0 cual elimina de los cuadrantes II y IV los puntos arribade la recta horizontal y =2 y los puntas debajo de la recta horizontal y = -2,como 10 muestra la Figura 1.8(g); el conjunto correspondiente es

B - A = {(x, y) I xy ?: 0 Y y2 > 4}.Observaci6n.

Conviene tamar nota de que si una condici6n no involucra alguna de lascoordenadas, esa es libre de tomar cualquier valor; en terminos geometricoseso significa que hay rectas completas, paralelas al eje de la coordenada libre,que pertenecen al conjunto en cuestion.


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13!+, X- - - - - - - - - - - _ e _ - - - 1 - - - - - . . . , . . .- - - - - - . .+I~~;l ."!

x

(a ) A (b) B

yt - - - - - - - - - - - - -- 1 -l x- - - - . . .. . h . : . - - - - - - - - l - - - . . . - - - - ' - - - . . . . _ ~~' - " - - - - - - - - - - - - 1

y

x

(c) AU B (d) An B

y

x

(f) B- (g) B - AFigura 1.8: Regiones del plano cartesiano del Ejemplo 1.


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14Ejemplo 2. Dibujar en graficas separadas las regiones del espacio carte-

siano indicadas en los incisos siguientesi) An B;

ii) B - A-;iii) An B-;

donde A = {(x, y, z ) I l z l > 2} y B = {(x, y, z ) I x2 + y2 :; 1}.Solucion. Empecemos por identificar y dibujar separadamente las regiones deI R 3 correspondientes a los conjuntos A y B, para despues identificar sus com-plementos y la union, interseccion 0 diferencia entre los conjuntos mencionadosen los incisos i)-iii).

En general, para cada grafica debemos ernpezar par dibujar los tres rayospositives de forma que nos ofrezcan una buena perspectiva del primer octante;los ejes deb en determinar un sistema derecho (recuerdese la discusion inicial);despues hay que reducir la condicion definitoria de cada conjunto a terrninosque nos resulten mas facilrnente identificables.

En el caso del conjunto A, identifiquemos en el eje Z los puntos que satis-facen la condicion de que su valor absoluto es mayor que 2; eso ocurre para lospuntos del eje arriba del punta correspondiente a 2, es decir, los ubicados enel rayo superior que empieza en ese punta pero 1 0 excluye, y tambien cumplencon la condicion los punt os del rayo inferior cuyo extremo corresponde a -2,aunque dicho extrema queda excluido porque la desigualdad es estricta.

De acuerdo can la observacion hecha durante el desarrollo del ejemplo I,como la condici6n no men cion a las coordenadas x y y , est as son librcs de tamarcualquier valor, por 1 0 que cada punto del eje Z cuyo numero asociado tengavalor absoluto mayor que 2, como 5, deter min a un numero infinito de puntas(x , y , 5) que pertenecen al conjunto A. ASl como el conjunto de los puntosz =0 es el plano XY, el conjunto de los puntas (x , y , 5) es el plano paralelo alXY que corta al eje Z en el punta eorrespondiente a 5, y como esto oeurre concada uno de los valores de z correspondientes a puntos del rayo cuyo extremoinferior es 2, resulta que todos los puntos del espacio que estan arriba del planoz = 2 pertenecen al conjunto. Lo mismo sucede con los puntas del espacio queestan debajo del plano z = -2. E1 croquis de la region aparece en la Figura1.9(a).


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15Para dibujar la region correspondiente a B, primero loealizamos en el plano

XY el subeonjunto que satisfaee la condici6n x2 + y2 ::; 1. Cuando se tienela igualdad, la eondici6n es x2 + y2 = 1, que segun sabemos corresponde auna circunferencia can centro en el origen y de radio 1; cada punta interior deldisco bordeado por la circunferencia pertenece a una circunferencia de radio Tmenor que 1, Y por tanto satisface la ecuacion x2 + y2 =r2 , pero como T es unnumero positivo y menor que uno, su cuadrado satisface la desigualdad r2 < 1,1 0 eual significa que las eoordenadas de un punto interior del cfrculo satisfacenla desigualdad x2 + y2 < 1y, par tanto, el punto pertenece al conjunto B.

Como la variable z no figura en la condici6n, es claro que para cada puntodel circulo x2 + y2 S 1, toda la recta paralela al eje Z que pasa par esepunta pertenece al eonjunto, esto es, todos los puntos en el interior del eilindroilustrado en Ia Figura 1.9(b) pertenecen al conjunto B.

El conjunto A nB consta de los puntos del espacio que pertenecen tantoa A como a B, es decir, debe estar arriba del plano z =2 0 debajo del planoz =-2, y ademas deben pertenecer al cilindro cuyo eje es el eje Z y de radio1; por tanto, la interseccion consta de dos pedazos infinitos de cilindro, como1 0 muestra la Figura 1.9(c).

El conjunto B - A- consta de los puntos de B que no estan en A-, es decir,que estan en A; en consecuencia se trata precisamente del rnismo conjunto delinciso anterior.

Par ultimo, el conjunto A nB- consta de los puntas de A que pertenecentambien a B-, esto es, deben estar arriba del plano z = 2 0 debajo del planoz = -2 y fuera del cilindro correspondiente a B; la Figura 1.9(d) ilustra esaregion.Observaci6n.

Acabamos de descomponer una desigualdad del tipo a S b en una igualdady una desigualdad estricta, 1 0 eual es valido porque tanto los elementos quesatisfacen la igualdad como los que satisfacen la desigualdad estricta satisfacenla condici6n correspondiente a menor 0 igual; vale la pena notar que el conjuntodeterminado par la igualdad es s610 una curva, mientras que el conjunto corres-pondiente a la desigualdad estricta cs toda una regi6n del plano. Mas adelante,cuando en el capitulo de espacios vectoriales lleguemos a precisar el conceptode dimension, que es uno de los concept os geometricos mas importantes, estoultimo tendra un significado mas clare.


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(a)

z=2

z =-2

(c)

(b )

(d )Figura 1.9: Regiones del espacio cartesiano del ejemplo 2.


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EJERCICIOSDibuje separadamente las graficas de los subconjuntos del plano carte-siano dados a continuacion.

A={(x,y) Ix+ y>O }, B = {(x,y) I x2 < I} ,c= {(x, y) I xy s a}, D = {(x, y) I x' + y2 2 : I}.

Escriba las expresiones correspondientes a los subconjuntos del planocartesiano dados como los complementos de los subconjuntos del incisoanterior, A-, B-, C- y D-, y dibuje sus graficas separadamente.

!. Dibuje separadarnente las graficas de los subconjuntos siguientes delplano cartesiano formados a partir de los subconjuntos definidos en losdos ejercicios anteriores:

i) A-B.Ii) BUe.iii) cr.o.I V ) D-A-.

3. Dibuje separadamsnte las graficas de los subconjuntos del espacio carte-siano dados a continuaci6n.

i) R={(x,y,z) ly>3},Ii ) S={(x,y,z)lz2>4},iii) T = (x , y, z) I xz 2 : O},iv) U = {(x,y,z) I y - z sO}.

4. Escriba las expresioncs correspondientes a R-, S-, T- y U-, comple-mentos de los subconjuntos R, S, T y U del ejercicio anterior, y dibujesus graficas separadarnente.

5. Forme nuevos subconjuntos del espacio cartesiano a partir de los sub-conjuntos dados en los ejercicios anteriores, escriba la expresion corres-pondiente y dibuje las grafices separadamente,


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1 8

1.3 SimetriasUna de las propiedades geornetricas mas importantes de una figura, la prirneraapreciada par el hombre, es la de ser simetrica respecto a un punta, a unarecta 0, si la figura se ubica en el espacio, a un plano. Como estos conceptosinvolucran distintos tipos de distancias, conviene que establezcamos como va-mos a medir las distancias de un punta a otro, de un punta a una recta 0 deun punta a un plano. Ellector puede hacer referencia a la Figura 1.10.

pP.

' .i P pi (b )a) ////L.---.----1----1

p

pi (c )Figura 1.10: Puntos simetricos a P respecto a (a) un punto 0, (b) una recta L Y

(c ) un plano P.La distancia de un punta P a oiro punta Q es simplemente la medida

del segmento de recta entre P y Q. Estamos suponiendo iinicamente quesabernos medir longitudes; en los ejercicios pediremos allector recapacitar enlas propiedades de esta distancia entre puntos del espacio.La distomcia de un punta P a una recta C es la longitud del segmento deperpendicular de P a L; es interesante hacer notar que ese segmento es el de


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19minima longitud entre todos los segmentos determinados par el punta dado yuno de los puntas de la recta.La distancia de un punta P a un plano P es la longitud del segmento deperpendicular del punto al plano; tambien en este caso ese segmento es el deminima longitud entre todos los segmentos determinados par el punta dado yuno de los puntas del plano.

Veremos primero la definicion de cada una de las simetrias mencionadas enforma puramente geornetrica, sin referirnos a coordenadas, y despues veremosque cuando la figura se ubica en el plano 0 el espacio coordenados, los casosespeciales de simetrias respecto al origen, los ejes coordenados 0 los planoscoordenados tienen caracterizaciones muy sencillas.Definicion, Una figura A es simeirica respecto a un punta 0 sipara cada

punta PEA, el punta pi tal que P, 0, pi son coline ales y 0 es el punta mediodel segmento Pl" pertenece tambien a A (Fig. 1.10 (a)). Se dice entonces queLa figum A tiene simetria central y que 0 es un centro de sune tr ia de A.

Note que una recta tiene simetrfa central respecto a un punta en ella, perono respecto a un punta fuera de ella.Definicion. Una figura A es simetrica respecto a una recta E si para cada

punto PEA, el punta pi tal que es la perpendicular par el punta media deP 'P ' pertenecc tambien a A (Fig. 1.10 (b)). Se dice entonces que la figura Aiiene simeiria axial y que E es un eje de simetria de A.

Note que un plano tiene simetrfa axial respecto a una recta en el a perpen-dicular a el, pero no respecto a las demas.Definicion. Una figura A es simeirica respecto a un plano Psi para cada

punta PEA, el punta P' tal que P es perpendicular al segmento P pi en BUpunto medio pertenece tambien a A (Fig. 1.10 (c)). Se dice entonces que Pes un plano de simeiria de A.

El cuerpo humane tiene un plano de simetria, pero no un centro ni un ejede simetria.

La pagina siguiente muestra ejemplos de todos estos tipos de simetrias: ellector queda invitado a rnirar su entorno y decidir que tipo de simetrias tienenlos objetos que 1 0 rodean.


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2 0

SIMET IA-3s -28 +Ls 0 +8 +2s +38

(~ (~y ' ~

4 J t_ _ . . . . . . . . . , ~

IIIII..-L-----I--

Figura 1.11: Figuras con algvin tipo de simetrfa.


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2 1Las simetrias de las figuras permiten reducir el estudio a solo una parte de

la figura; de ahi la conveniencia de conocer las simetrias que posee una figura.Nosotros tendremos figuras geometricas dadas por ecuaciones; por ello esimportante poder decidir si una figura dada tiene 0 no alguna de las simetriaspropuestas a partir de dichas ecuaciones.

Tomaremos el caso sencillo de que el punto respeeto al eual pretendemosque exista simetria sea e1origen, y en el caso de simetria respecto a una rectao un plano supondremos que se trata de un eje 0 un plano coordenado.

La justificacion de hacer esta simplificacion es geometrica: cuando el puntarespecto al cual se pretende que existe simetria central no es el origen, unatraslacion lleva ese punto al origen, y una traslacion seguida de una rotacionapropiada llevan cualquier recta a uno de los ejes eoordenados, a un plano auno de los planos coordenados. Las traslaciones y las rotaciones son trans-formaciones rigidas, y las propiedades invariantes bajo ellas son el verdaderoobjeto de nuestro estudio, segun 1 0 mencionamos en la intrcduccion.

Veamos entonces las definiciones. Escribiremos y ejemplificaremos separa-damente los casos del plano y el espacio cartesianos para mayor claridad, peroallector le sugerimas que observe como se corresponden.

yPll( -X y ).------------------- - -- -- - -- -- -- -- -- -- -- -- - - - - - - - - - - . ,,,

P(x, y )

x--------~-------_.t

IP n ( -x, - y ) - - - - - - - - - I --------- ------ - - .P'(x, -y)Figura 1.12: Simetrias respecto a.lorigen y los ejes en IR?

Definicion. Una figura A C J R . ? es sim e tr ic a r espe c to a l o r i g e n si siempreque un punta P(x, y ) pertenece a la figura, el punta pili (-x, -y ) tambien


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22pertenece al conjunto A (vease la Figura l.12).

Definicion. Una figura A C ]R2 es simetrica respecio al eje X si siem-pre que un punta P(x, y) pertenece a la figura, el punta P'(x, -y ) tambienpertenece a A (vease la Figura 1.12).

Definicion. Una figura A C ]R2 es simeirica respecto al eje Y si siem-pre que un punta P(x, y ) pertenece a la figura, el punta p / / ( -x, y ) tambienpertenece a A (vease la Figura 1.12).

Es muy sencillo comprobar que S 1 una figura tiene dos de las simetriasanteriores tambien tiene la tercera; 1 0 dejaremos como ejercicio para el lector.

Vayamos ahora a las definiciones en el caso del espacio cartesiano.Definicion. Una figura A c IR?es simeirica r espec i o al origen si siempre

que un punta Q(x, y, z ) pertenece a la figura, el punta Qo ( - x , -y, -z ) tarnbienpertenece al conjunto A (vease la Figura 1.13).

Definicion. Una figura A C I R . 3 es simeirica respecio al eje X si siempreque un punta Q(x , y , z ) pertenece a la figura, el punta Qx(x, -v, -z ) tambienpertenece a A (vease la Figura 1.13).

Definicion. Una figura A C IR . 3 es simeiric respecto al eje Y si siempreque un punta Q(x, y , z) pertenece a la figura, el punta Qy( -x, y , -z) tambienpertenece a A (vease la Figura 1.13).

Definicion. Una figura A C lR3 es simeirica respecto at eje Z si siempreque un punta P(x, y , z) pertenece a la figura, el punta Qz( -x, -v, z ) tarnbienpertenece a A (vease la Figura 1.13).

Definicion. Una figura A C lR3 es simeirica respecio al plano XY sisi.empre que un punta P(x,y,z) perteneco a la figura, el punta PXy(x,y , -z)tarnbien pertenece a A (vease la Figura 1.13).

Definicion. Una figura A C lR3 es simeirica respecto al plano YZ sisiempre que un punta P(x , y, z ) pertenece a la figura, e1 punto P yz ( -x, y, z )tambien pertenece a A (vease la Figura 1.13).


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23Definicion. Una figura A c IR?es sunetrica re spe c to a l pla n o ZX si

siempre que un punto P(x, y, z ) pertenece a la figura, el punto Pzx(x, -y, z)tambien pertenece a A (vease la Figura 1.13).

Vale la pen a observar que en la definicion de simetria respecto al origenhay tres cambios de signo, en la de simetria respecto a un eje hay dos cambiosde signo (de las variables ajenas al eje), y en la de simetria respecto a unplano hay s610 un cambio de signa (de la variable ajena al plano). Can estaobservacion, debera ser sencillo resolver los ejercicios 4 y 5 siguientes.

z QyZQz . . . .

y,,,,,,,,I""I'/' ./

// Q oX .'Qx

cp:,,,,,,,,,,,,,,

" Qy,,QXY

Figura 1.13; Simetrfas respecto al origen, los ejes y los pianos coordenados en D : l3


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EJERCICIOS1. Determine, sin ilustrar la figura, cuales simetrfas posee cada uno de lossubconjuntos del plano cuyos puntas P(x , y) satisfacen una de las condi-ciones siguientes.

(a ) X"" Y i(b) x"" y2 ;(c) x2 + y2 = 1;(d ) x = y3 ;(e) x2 + y4 = 1.

2. Verifique, a partir de la definicion, que la distancia de un punta a otrotiene las propiedades siguientes:(a) la distancia de P a Q es mayor 0 igual que cero, y esto ultimo ocurre

si y 8610 si P = Q , es decir, el valor de una distancia es siernpremayor 0 igual que cero.(b) la distancia de P a Q es igual a la distancia de Q a P.(c) la distancia de PaR es menor 0 igual que la suma de las distancias

de P a Q y de Q a R. Esta propiedad se denomina desigualdad delt r i r i ngu lo .

3. Complete las figuras siguientes a fin de que posean la simetria indicada.i,Se obtiene el mismo dibujo?

co

Respecto a O , Respecto a C


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2 54. l.Cmiles simetr ias poseen las figuras siguientes? l.Y las de la Figura 1.11(considere cada letra por separado)?

Circun ferenda Rectangulo Triangulo isosceles5. Determine, sin ilustrar la figura, cuales sirnetr ias posee cada uno de lossubconjuntos del espacio cuyos puntos P(x , y, z ) satisfacen Lacondici6ndel inciso.

(a) x = ;(b) x =y2;(c ) x2 + y2 + Z2 = 1;(d ) y =z3(e) x2 + y4 + z6 = 1.

6. Demuestre que si una figura en el plano cartesiano tiene dos de lassimetrtas, tambien tiene la tercera. l.Que ocurre en el caso del espa-cio cartesiano?

1.4 Funciones y sus graficasLa relacion entre una funcion y su grafica es muy estrecha y muy iitil; por eso,uno de nuestros propositos principa1es es lograr que el estudiante visua1ice, in-cluso sin necesidad de hacer un dibujo 0pedfrselo a una computadora, la formade la grafica de una funcion real de una 0 varias variables. Las estrategias paravisualizar la grafica de una funcion son multiples e iran definiendose a medidaque analicemos ejemplos tipicos concretos; de hecho, tambien pretendemos queel estudiante conozca a profundidad algunos de esos ejemplos tipicos de suerteque se conviertan en puntos de referencia que den informacion inrnediata sabreel comportamiento de funciones con las que deba trabajar.


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2 6Para definir e1 concepto de funcion de un conjunto en otro existen dos

caminos; el primero es formal e involucra un concepto import ante , el de pro-ducto cartesiano de dos conjuntos dados, mientras que el segundo es practiceaunque cuestionable, porque involucra otro concepto equivalente a aquel quese pretende definir.

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de las pare-jas ordenadas cuyo primer elemento pertenece a A y cuyo segundo elementopertenece a B, es decir,

A x B = {(a, b) I a E A, b E B}.Este concepto se utiliza constantemente, no s610 en maternaticas. Por

ejemplo, e1orden de los apellidos de una persona no es arbitrario, sino que, ennuestro pais, se escribe en primer lugar e1apellido paterno y en segundo 1ugare1materno.

Dos elementos (aI, b d , ( a 2 ' b2 ) del producto cartesiano de A y B son igua1ess610si las coordenadas correspondientes son iguales, es decir, al = a 2 Y bi =b 2 .Cualquier subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos A y Bse denomina una relaci6n de A en B; podemos construir muchos ejemplos apartir de relaciones de la vida real. 8i H es el conjunto de los habitantes de unaciudad y C es el conjunto de las colonias de esa ciudad, es natural considerarla relaci6n h vive en c, donde h es un habitante y c es una colonia de la ciudad:

D = {(h,c) E H x C I h vive en C}.Otra relacion es la que se establece entre el conjunto P de las profesiones

ofrecidas en un centro de estudios y el conjunto E de los estudiantes cuandose analiza cual 0 cuales carreras fueron elegidas par cada estudiante:

P = {(e,p) E E x P I e estudia PlEn el primer ejemplo, a cada h E H le corresponde un uruco c E C,

en tanto que en el segundo ejemplo a cada e E E pueden corresponderlevarios elementos pEP; la primera situaci6n se denomina funcion y tiene lacaracterizaci6n siguiente en terminos del producto cartesiano.

Una Junci6n del conjunto A al conjunto B es una relaci6n de A en B talque cada elemento a E A aparece en un unico par ordenado de la relaci6n, esdecir, si denotamos ala funcion con J la condicion que debe satisfacer es


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27Desde luego, e1 tipo de funciones que nos interesa estudiar en este libro es

el que se maneja en calculo de una variable, que asignan a un numero real dadootro mimero real, unico, mediante una regia de correspondencia bien definida,como las siguientes

f(x) = 3x + 2 , g(x) = x\ h(x) = 1/x,y tambien las dependientes de varias variables, como

que a un par ordenado (x , y) le asocian un mimero real bien definido.La definicion de funcion en terminos del producto cartesiano coincide conla de grafica de la regla de correspondencia f : A --t B,

Q(f) = { ( a , f ( a ) ) I f ( a ) esta bien definida}.Es muy frecuente leer en los libros de calculo expresiones como "funcion real

de variable real" cuya notacion suele ser f : J R --t J R , 1 0 cual no comprometea la regla de correspondencia a estar definida para todos los mimeros reales.En tales cases deb era examinarse cuidadosamente cual es el subconjunto denumeros reales para los cuales tiene sentido la regia de correspondencia.

El dominio de una funci6n de J R en J R , Dmn(f), es el subconjunto de lRpara los cuales ests definida la regla de correspondencia. En el CMO de lasfunciones l, g , h y F antes mencionadas tenernos

Dom( f ) = J R , Dom ( g ) = J R , Dom(h ) = J R - { O } , Dom (F ) = m ?La imagen de una funci6n de J R en J R , Im(f), es el subconjunto de J R

cuyos elementos son valores de la regia de correspondencia; en el caso de lasfunciones I , g , h y F, las imagenes son

Im(J ) = J R , Im ( g ) = J R + U { O } , Im(h ) = J R + U J R - , Im (F ) = l R + U { O } .El procedimiento mas rudimentario para construir la grafica de una funci6nf : lR"--t J R es tabular, es decir, dar algunos valores de la variable x, calcular

los valores f ( x ) correspondientes segun la regla y localizar los puntos de ]R 2de la forma ( x , f ( x )) ; la grafica se completa, si es 81caso, uniendo Sos puntascon una curva lisa. Tanto la decision de si la grafica es una curva lisa como


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28la de tomar una unidad conveniente en los ejes (la misma a menos de que seavise 1 0 contrario), dependen del comportamiento de la funcion; eso es partede 1 0 que debe aprenderse en este curso y se facilitara con el manejo por partedel estudiante de un buen mimero de casos tipicos.

Cuando la funci6n se aplica en puntos de lR? y los valores obtenidos sonelementos de J R , como ocurre con la funcion F(x, y ) =x2 + y 2 , la grafica g(F)es un subconjunto de lR}

Dado que los ejes y planes coordenados juegan un papel relevante en eltrabajo, suele ser conveniente encontrar los puntas x del dominio en los cualesse anula la funci6n. Eso no siempre es sencillo, pues en el caso de una funcionpolinomial eso significa encontrar las rakes del polinomio, pero cuando seaactible encontrar dichos puntos sera muy util marcarlos.

En el curso de Calculo Diferencial (vea [Ha 1] a [Pi]) se ve c6mo encon-trar los maximos y minimos relativos de una funcion; esos puntas tarnbiencolaboran a formarnos una idea del comportamiento de la funcion.

Las graficas de la Figura l.14 fueron obtenidas de las tablas queconsignamos a continuacion.

( x , y ) F(x, y )x f ( x ) x g(x ) x h ( x ) (0,0) 0-1 -1 -2 16 -2 -1/2 (1,0) 1-2/3 0 -1 1 - 1 - 1 ( 0 , 1 ) 1

0 2 0 0 1 1 (1,1) 22/3 4 1 1 2 1/2 (-1,-1) 21 5 2 1 6 3 1 / 3 (1,-1) 2

(-1,1) 2

En el caso de la funci6n h{x) , es interesante notar que a la imposibilidadalgebraica de definir 1a funcion en cera corresponde el hecho geometrico deque segun par donde nos aproximemos a cero, los valores correspondientes soncada vez menores (par 1a izquierda), 0 cada vez mayores (por la derecha).

Las funciones se c1asifican segun varies criterios: algunos de los mas impor-tantes aparecen a continuaci6n.


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f ( x ) /5

x1/ 1

h ( x )3

I~3 X_ ~-"\ 3

\ II 3

29g(x )

1 6

1_~~I_\\...:o .jL-fl-+-1-_____.. X

2 2

Figura 1.14: Graficas de las funcionesf(x) = 3x + 2, g(x) =x4 , h(x) =L] , F(x, y) = x2 + y2 ,


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30Una funcion f : A --7 B se denomina inyectiva si no hay dos puntos distintos

del dominio con el mismo valor, esto es,

Una funcion se denomina suprayectiva si cubre to do el contradominio, esdecir,

para todo s B existe a E A tal que f ( a ) =b.Una manera sencilla de examinar la inyectividad y suprayectividad de una

funcion f : IR -+ IR si se conoce su grafica, es trazar paralelas al eje X; si lafuncion es inyectiva, cualquier recta paralela al eje X corta a la grafica a 1 0mas en un punto, en tanto que si la funcion es suprayectiva, cualquier rectaparalela al eje X corta a la grafica al menos en un punto. Debe considerarsecuidadosamente las expresiones "a 10 mas" y "al menos": si 1a funcion esinyectiva, puede ocurrir que una recta paralela al eje X no corte a la grafica,pero no puede ocurrir que la corte en dos puntos, en tanto que si la funcion essuprayectiva, puede oeurrir que una recta paralela al eje X corte varias vecesala grafica, pero no puede oeurrir que no 1a corte (vease la Figura 1.15).

- - - - - - - ~ - ! - - eX es inyec-tiva pero noes suprayec-tiva. yl - - - - - - - - - - - - - - II

I-'" /- f - - - - - -- - -- - - - -- - - - - -x3 -4x2 +4xes suprayec-tiva pero noes inyectiva.

- -- - - . - - -- ---IX__.-/ X~ _ _ - - - _ _ _ _ 1 - n

Figura 1.15: Amilisis grafico de la inyectividad y la suprayectividad de una funclon,Una funcion f :A --7 B se llama biyectiva si Dom(f) =Ayes inyectiva y

supr ayect iva.Desde el punto de vista del analisis grafico, la biyectividad de una funcionequivale a que cuolquier recta parale1a al eje X corte a la grafica una y solo

una vez.


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31Un caso especial de funciones no inyectivas son las llamadas pe r i 6 d i c a s ,

pero como las funciones trigonometricas son de ese tipo y a ellas dedicaremosun capitulo completo, las dejaremos par el momento.

Examinemos algunas de las funciones mas usuales respecto a estaspropiedades; esas funeiones nos mostraran comportamientos tipicos de muchasotras funciones, por 10eual conviene tenerlas presentes.Ejemplo 1. Funeiones monomiales

Una fu n c i6 n m o n o m ia l I : IR -), lR esta dada porfn (x)=xn, can nE{1,2,3, ... }=N.

Si n = 1, fdx) = x es la funci6n identidad; es tanto inyectiva (porqueh(x) = f l ( Y ) implica x = V ) , como suprayeetiva (porque cada x E IR esimagen de sf mismo para esta funcion) y, en consecuencia, es biyectiva.Si n =2, h(x) =x2 es una funcion no inyectiva (porque 1 2 ( 1 ) =1 2 ( -1) =

1 ) ni suprayectiva (porque ningun numero negative pertenece a la imagen deesta funcion}.

Es inmediato eomprobar que los puntos (0 , 0 ) y (1 , 1 ) pertenecen ala graficade todas las funciones i . y que el punta (-1, -1) pertenece a la grafica si ys610 si n es impar, en tanto que el punta (-1,1) pertenece ala grafica si y s610si n es par.

Cuando n es impar, la grafica de [ es sim e ir ic a r e spe cto a l o riqe n, es decir,si un punta P de coordenadas (x , y ) pertenece ala grafica, entonces el puntoQ de coordenadas (-x, -y) pertenece tambien a la grafica; en cambio, cuandon es par, la grafica es sim e ir ic a r e spe c to a l e je Y, es deeir, e1 punto P decoordenadas (z, y) pertenece ala grafica si y s610 si e1punta R de coordenadas(-x, y ) pertenece tambien ala grafica,

El comportamiento de estas funciones da lugar a la definicion de funcionpar y funcion impar; u na Ju nc i6 n f : IR -), IR es pa rsi f(-x) = f(x), en tantoque u n a Ju n c ia n e s im pa r si f ( -x) = - f(x). Segiin el analisis anterior, lasfunciones pares son simetricas respecto al eje Y y las impares son simetricasrespecto al origen.

La Figura 1.16 ilustra las graficas de varias de estas funciones.


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32\ y r I y =X2\ ! Y =XlI

X

III

y =X~IFigura 1.16: Graficas de funciones monomiales fn(x) = z",

Ejemplo 2. Funciones exponencialesUna Ju n c i6 n e xpo n e n c ia l d e ba se a > 0 tiene la forma f(x) = a ", dondea E 1 F t esta fijo. Cuando x =0 el valor es 1 sin importer la base, de tal forma

que el punto (0, 1) pertenece a la grafica de cualquiera de estas funciones.

1

y10 i - -

I

y

e

1

! .: X_ _ _ _ _ _ _ _ . , .1

Figura 1.17: Gnificas de las funciones exponenciales de base e y 10.Si a> 1 y x < 0, la grafica de la funcion se acerca al eje X tanto como se

quiera al decrecer x y la recta tangente en cada punta tiende a ser horizontal


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33cuando x tiende a -00(se dice que la grafica e s ceiniotica al eje X), y paravalores positivos de x, la grafica "sube" tanto como se quiera al crecer z. LaFigura 1.17 muestra los cases en que a = e , 10. Cada una de estas funcioneses inyectiva pero no suprayectiva.

Dejamos como ejercicio para el estudiante la discusion de las funcionesexponenciales cuando la base es 0 < a < 1 (Ej ercicio 1).Ejemplo 3. Funcion parte entera

La [uncion parte eniera, [.J: J R -> JR , se define asf: [xJ = n si n es el maximoentero menor 0 igual que x. La grafica de esta funcion esta formada por lossegment os paralelos al eje X de altura n y longitud 1 que contienen al extremoizquierdo pero no al derecho, como 10 muestra la Figura 1.18.

La funcion parte entera no es inyectiva porque f(2.1) = 1(2.5) = 2, nisuprayectiva porque f s610 toma valores enteros. Ademas, como la funcionno es continua, pues present a discontinuidades en todos los enteros, la graficano es una curva continua. Es un caso particular de las llamadas f u n c i o n e se s c a l o n a da s , que son constantes por pedazos.

X

----- .......e----_..X

Figura 1.18: Grafica de la funci6n parte entera,Ejemplo 4. Funcion valor absoluto.

La funcion va lo r a bso lu to , 1 . 1 : J R - - - + JR , se define por casos:[ z ] = { x-x si x : 2 0si x SO .

La funci6n valor absoluto no es inyectiva, porque 1 2 1 = 1 - 2 1 = 2 , ytampoco es suprayectiva porque ningun real negativo pertenece a la imagende est a funci6n.


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34y

xFigura 1.19: Grafica de la funci6n valor absolute.

Ejemplo 5. La funci6n F : J R 2 -+ J R definida por

no toma valores negativos, por 1 0 que no es suprayectiva, y como toma el mismovalor, r2 , para cualquier punta de la circunferencia can centro en (0,0) y radior, tampoco es inyectiva. La grafica aparece en la Figura 1.14: cada plano parencima de y paralelo al plano XY corta a la grafica en una circunferencia.

EJERCICIOS1. Analice en euanto a inyectividad, suprayectividad y biyectividad las fun-ciones siguientes, y dibuje sus graficas.

(a) o:(x) = x + L; (b) /3(x) = X2 - 2i (e ) ,(x) = x3 i(d) p(x ) =x3 - X i u(x ) = aX cuando a =2, a = 1/2 y a = 1/10.

2 . Anatiee Ia inyectividad y suprayectividad de las funciones !(x ) , g (x ) yh (x } de la Figura 1.14 utilizando paralelas al eje X.3. Generalice la teeniea usada en el Ejercieio 2 para analizar graficamente

Ia inyectividad y suprayectividad de una funci6n F : IR ? -t J R .4. Analice la inyectividad y suprayectividad de las funciones siguientes de

1R , 2 en J R .(a ) F(x,y) =X+Yi , (b ) G(x,y) =Xi (c ) H (x,y ) =X2_y2 .

5. Analice las simetrfas de las graficas de las funciones de los ejercicios 1 y4.


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2Funciones t.rigonomctr icas ycoordenadas polares

Las funciones trigonometricas generalizan a las razones trigonometricas, lascuales figuran ya en el libro II de los Elementos de Euclides y han tenido desdeentonces multiples aplicaciones.

Las razones trigonometricas se definen en los triangulos rectangulos, esdecir, aquellos en los cuales uno de los angulcs mide 900 Cierto que estostriangulos son especiales, pero cualquier triangulo puede descomponerse en dostriangulos rectangulos utilizando una altura adecuada. Debido a este hecho,la trigonometria es importante no s610 en Geometrfa Euclidiana, sino tambienen las Geometrfas Elfptica e Hiperbolica (veanse [Bn], [Ce], [cx], [Ev], [Grl,[H -C ], [R-Se] 0 [Re]).Comenzaremos revisando la definicion de cada raz6n trigonometrica ydespues estudiaremos cuidadosamente los conceptos involucrados en las fun-ciones trigonornetricas. Finalmente, mostraremos la utilidad de las funcionestrigonometricas al trabajar con curvas dadas en forma polar y al poder es-tablecer coordenadas esfericas y cilindricas en e1 espacio.

2 . 1 Razones tr igonometrtcasy algunas relaciones

En un triangulo rectangulo Ilamamos hipotenusa al lado opuesto al angulorecto y catetos a los otros dos lados. 81 fijamos uno de los angulos agudos,por ejemplo el angulo 1 ; del triangulo rectangulo H[J ilustrado en la Figura2.1, al cateto que delimit a ese angulo, HI, se le llama cateio adyacente y alotro cateto, JH, se le llama c a te to o pu esto . En las definiciones de las razonestrigonornetricas deb era entenderse por "cateto opuesto" la longitud de dicho

35


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36cateto, y 10 analogo ocurrira cuando se diza "cateto adyacente" 0 "hipotenusa":

J J 'cateto hipotenusaopuesto

H H ' cateto adyacente I

Figura 2.1: Cateto adyacente y cateto opuesto al angulo 1 > .Entonces, el sena del cingula es el eociente del eateto opuesto (CO) entre

la hipotenusa (H) , el coseno del angulo es el cociente del cateto adyacente(CA) entre la hipotenusa, y la tangente del angula es e1 cociente del catetoopuesto entre el cateto adyacente; en simbclos,

COsen=~,

C Acos =~,

COtan = C A .

Las razones reciprocas tarnbien reciben nombres especiales: la reciprocadel sene de se denomina cosecante de y es el cociente de la hipotenusaentre e1cateto opuesto, la raz6n reciproca del coseno se denomina secante y esel cociente de la hipotenusa entre el eateto adyacente, y la raz6n reciproca dela tangente se denomina cotangente y es e1eociente del cateto adyacente entreel cateto opuesto; en simbolos

Hcsc = CO ' Hsec = C A ' CAcot 1; = CO .Se acostumbra eseribir "sen " y no "sen ()" para no sobrecargar el uso delos parentesis,ObservacionesI.La justificaci6n de referirse al angulo sin mencionar el triangulo rectangulodel cual proviene es muy sencilla: si en la Figura 2.1 consider amos el triangulode lados punteados H ' I JI obtenido al modificar todos los lados por un mismofactor, las razones trigonometricas son las mismas, pues el factor aparece


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37tanto en el numeraclor como en el denominador correspondientes a los ladosdel triangulo grande. Y, ademas, si es un angulo agudo de un triangulorectangulo, ese triangulo sera proporcional (0 semejante) a cualquier otrotriangulo rectangulo que 1 0 contenga, puesto que el tercer angulo medira 90-1>en todos los casos por ser el angulo complementario.II. En este momento de la exposicion, los angulos se miden en grados.

Un ejercicio sencillo pero de cierto interes practice es calcular las ra-zones trigonometricas de los angulos de 30, 450 y 60. Consideremos losdos triangulos ilustrados en la Figura 2.2 y tomemos en cuenta el Teoremade Pit agoras (vease el inciso siguiente). E1 primer triangulo es rectangulo eisosceles y sus catetos miden ambos 1unidad, par 10 cual su hipotenusa midev '2 y sus dos angulos agudos miden 450 cada uno; el segundo es equilatero ycada uno de sus lados mide 2 unidades, por 10 que al trazar una de sus al-turas resultan dos triangulos rectangulos cuyos catetos miden 1 y V 3 y cuyahipotenusa mide 2, en tanto que los angulos agudos miden 30 y 60.

1----- 1----1Figura 2.2: Triangulos para el calculo de las razonestrigonometricas de algunos angulos especiales.

El lector puede sustituir estas medidas para completar la Tabla 2.1.Si en lugar de fijarnos en e1 angulo utilizamos el otro angulo agudo,

900 - < / 1 , llarnado ringulo complementario, es inmediato obtener las relacionessiguientes (vease la Figura 2.1):

cos (90 - < / 1 )sen (900 - )tan (900 - )

= sen ,= cos c p ,= cot 0 ,

(2 .1)


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38

angulo sen cos tan esc sec cot30 1/2 ';345 1/';2 ';260 ' ; 3

Tabla 2.1: Calculo de las razones trigonometricas de algunos angulos.

es decir, dados dos angulos complementarios el seno de uno es e1 coseno delotro y la tangente de uno es la cotangente del otro.

Otras relaciones interesantes y que se utilizaran muchas veces resultancuando debemos obtener el seno a el coseno de un angulo que esta dado comola suma de otros dos (la Figura 2.3 ilustra el caso en que a + ( J es un anguloagudo).

Consideremos los triangulos rectangulos:LOHILOKL601

para el angulo a + (3,para el angulo a,para el angulo (3,

donde 0 L es el lade final del angulo a y e1 lade inicial del angulo (3, y donde1L es perpendicular a la prolongaci6n de 0L.

Entonces, si aplicamos la definicion de coseno en el LO H I y trazamos J Lparalela a H K tenemos

OH OK~JLcos (o + ( 3 ) = 01 = 01 ' (2.2)y utilizando el LOKL,

OKcos C t' = OL' y par tanto, OK =OLcos a.Tambien podemos expresar JL en terrninos de o, pues como I L es perpen-

dicular a OL, "y =90 - C t y , par la relaci6n (2.1),JLsen a: =cos "y = IL' yentonces JL =IL sen Q.


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398i sustituimos OK y JL en (2.2) obtenemos

( / 3 ) - 0L cos a-I L sen acos a+ - 01 'y los eocientes OL/OI y I L/OI pueden expresarse en terminos de (3 si nosfijarnos en el 60LI:

cos / 3 =OL/OI, sen f J = IL/OI.I

oFigura 2.3: Coseno y sene de un angulo que es surna de otros dos.

Lo anterior da lugar a la primera de las relaciones buscadas,cos (a + (3) =cos Q: cos (3 - sen Q: sen f J (2.3)

La relacion correspondiente al seno de la surna de dos angulos puede obte-nerse de manera analoga y tiene la forma siguiente:

sen (a+ f J ) =co s a : : sen / 3 + sen a cos / 3 . (2.4)De estas dos relaciones puede obtenerse la correspondiente a la tangente

de la surna de dos angulos,( f J ) tan / 3 + tan atan a + = -___;-----::c1 - tan a tan f J (2.5)

Obtuvimos las identidades anteriores a partir de una figura para la euala+ / 3 : : : ; 90, pero puede construirse una figura para el caso 90 :::;a+ / 3 : : : ; 1800


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40y dejamos allector como ejercicio la demostraci6n correspondiente. Mas aun,euando hayamos introducido la nocion de produeto esealar podremos hacer ladernostracion en general.

Hablemos ahora de las medidas de los angulos, En la escuela elementalnos ensefiaron a medir los angulos can un transportador cuyas divisiones mar-cadas corresponden a grados, entendiendose por gmdo la medida de un anguloque abarca 1/360 de la circunferencia. Pero una calculadora de bolsillo delas llamadas cientificas, que puede proporcionarnos el valor del sene y dernasfunciones trigonometricas de un angulo, admite tambien medidas del anguloen una unidad llamada radian, cuya definicion consignamos a continuacion (noutilizaremos la unidad llamada mil que satisface 1600 mil =900).

Figura 2.4: Un radian es la medida de un angulo que abarca un area de longitudigual al radio.

Un radian es la medida de un angulo que abarca un areo de circunferenciade longitud igual al radio. Esta definicion es independiente de la circunferenciaque se tome, pues la longitud de cualquier circunferencia se obtiene multipli-cando par 27r la longitud del radio, es decir, cualquier circunfereneia abarcaun angulo que mide 27r radianes [vease la Figura 2.4).

Como en una circunferencia hay 3600y 27rradianes, podemos establecer larelacion

3600 = 27r radianes.Se aeostumbra suprirnir la palabra "radianes" y escribimos, pOI' ejemplo,

Entonees, el sentido de la expresion "sen 2" es "seno del angulo que mide 2radianes" , y la de "tan 7r/4" es "tangente del angulo que mide 1f/ 4 radianes" ,


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41y as! es como toma las medidas de los angulos una calculadora cientifica en elmodo rad.N6tese que la medida del angulo total de una circunferencia no es unnumero entero de radianes, ni un niimero racional de radianes porque 7r esun mimero irracional. Por ella, al medir los angulos en radianes es preferibleutilizar numeros reales, en lugar del sistema acostumbrado pero poco practicede grades, minutos y segundos.

Ademas, de ahora en adelante distinguiremos entre angulos positives 0negatives, correspondiendo al hecho ffsico de que debe distinguirse entre girosen uno u otro senti do. Como todavfa existen relojes de manecillas y casitodos ellos giran de la misma manera, llamarnos c in g ula po sit iva a uno quecorresponde a un giro de sentido opuesto al de las manecillas de un reloj, entanto que un angulo negativo es el descrito en el misrno sentido que el de lasmanecil1as de un reloj.

En much as situaciones practices se describen angulos de mas de un girocompleto, en uno u otro sentido: por tanto, tendra sentido hablar de anguloscuya medida x sea cualquier numero real. Y podra determinarse el seno, elcoseno, etc. de cada uno de estos angulos,

EJERCICIOS1. LCuintos grados hay en un radian? ~Cuantos radianes hay en un grade?2. Obtenga la formula para el seno de la suma de dos angulos, Lo mismo

para el coseno de la Burna de dos angulos.3. Utilice las formulas (2.3)-(2.5) para obtener las formulas correspondien-

tes a las razonos trigonornetricas de un angulo que rnida el doble de unangulo x: cos 2x, sen 2x, tan 2x.

4. Obtenga la formula para el seno de un angulo que mida la mitad de otrongulo. Y 10 analogo para el coseno.

5. Utilice las formulas (2.3)-(2.5) para obtener, a partir de los valores en latabla 2.1, los siguientes:

6. Complete la tabla 2.1.7. Para IT /2 < Q + (3 < IT defina cos(a + (3) = - coso y demuestre la validezde la formula 2.3 utilizando la Figura 2.5.


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42

ooS(O' + j3 ) =os 8Figura 2.5: Obtenci6n de la formula (2.3) cuando 7r /2 < a: + ( 3 < 7r.

2.2 Resoluci6n de tr iangulosMencionamos en la intrcduccion la gran aplicabilidad de las funcionestrigonometricas, pero ciertamente tarnbien las razones trigonometricasmostraron su utilidad desde la antigiiedad.

No pretendemos hacer aquf una exposicion exhaustiva de tales aplicaciones;nos concretaremos solo a demostrar la ley de los senos y la de los cosenos y asefialar como se utilizan para determiner los elementos fait antes de un triangulocuando se conocen algunos de ellos, Supondremos conocidos los dos resultadosclasicos siguientes.

Teorema de Piuiqotas. En un triangulo rectangulo, la surna de los cuadra-dos de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Teorema de Tales. La Burna de los angulos de cualquier triangulo es iguala 180.

Dado un triangulo cualquiera, denotaremos par A, Bye sus vertices, por0:, ! 3 y ,los angulos correspondientes (y tambien sus medidas), y par a, b yelos respectivos lados opuestos (y sus medidas), como en la figura siguiente.

Note que los angulos se describen positivamente y tambien que el orden de


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43c

'-_ _ __1 \

b a

A c BFigura 2.6: Elementos de un triangulo,

los lados eorresponde a un reeorrido positive (el area encerrada por el trianguloqueda a la izquierda cuando se reeorre el triangulo de A a B) de B a C y de C aA). La orientaci6n 0 sentido de reeorrido es muy importante en matematicas,

Al trazar la altura desde un vertice cualquiera, por ejemplo C, se deter-minan dos triangulos rectangulos con angulo recto en H , el pie de la altura(vease la Figura 2.7). Para ellos tenemos

h hsen 0: = b y sen j 3 = ;;y , en consecuencia, b sen 0: =a sen (3 1 0 eual da lugar a la Hamada Ley d e lo ssenos: a b c

sen 0: sen (3 sen "('donde l~ ultima igualdad resulta de aplicar el mismo razonamiento cuando seeonsidera cualquiera de las otras dos alturas.

El Teorema de Pitagoras se utiliza para demostrar la llamacIa Le y d e lo sc o s e n o s , que canst a de las tres igualdades siguientes:

a 2 =b2 + c2 - 2b c e o s 0:,b2 = c2 + a 2 - 2 c a c o s (3 ,c2 = a 2 + b2 - 2a bco s "(.Demostremos la primera de las relaeiones (las otras son totalmente

analogas) refiriendonos a la Figura 2.7.


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44Si aplicamos el Teorema de Pitagoras a los triangulos rectangulos AHC y

CH B y llamamos x a la longi tud del segmento AH y h a la altura desde C,obtenemosx2 + h2 =b2 Y h2 + (c _ X)2 =a2 .

Al desarrollar el binomio de la ultima igualdad y sustituir la expresi6n parah2 obtenida de la primera, result a

b2 _ x2 + c2 - 2 xc + x2 = a2.Los terminos en x2 se cancelan y considerando el triangulo rectangulo AH C

obtenemos x = b cos C t' 10 cual da lugar a la igualdad deseadaa2 = b 2 + c2 - 2 bc cos 0:.

C

b h a

( 3 rIA x---- H B

Figura 2.7: Trazamos alturas para demostrar las Jeyes de los senos y de los cosenos.

Definamos ahora que se entiende por resolucum de un tridngulo: el objetivoes determinar todos los lados y angulos de un triangulo si se conocen al menostres de esos elementos.

El problema puede no tener soluci6n, como si pretendemos que los ladesmid an 1, 3 y 5, 0 si desconocemos el Teorema de Tales y proponemos tresangulos cuya surna no sea 1800, a puede tener muchas soluciones, como cuandolas unicas condiciones son que los angulos midan 30, 60 y 90.

La irnposibilidad en el primer caso se debe a que en cualquier triangulo debecumplirse no 1 3 6 1 0 el Teorema de Tales, sino tambien la desigualdad siguientepara cualquiera de los lados.


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45Desigualdad del truinqulo. En cualquier triangulo, la longitud de un lade

es menor 0 igual que la sum a de las longitudes de los otros dos; en simbolos:a : S b + c, b : S c + aye : S b + a.

En el ejemplo propuesto ocurre 5 1 : . 1 + 3.La comprobaci6n de la desigualdad del triangulo es inmediata de la Figura

2.7 y de la igualdad siguiente :

c =AB = AH + H B =b cos a+ a cos (3 ::; b + aporque el coseno de cualquier angulo es menor que 1, pues es el cociente deun cateto entre la hipotenusa. Tal vez el lector prefiera una demostraci6n masgeometries y par reducci6n al absurdo: si un lado es mayor que Ia suma de losotros dos, no podemos construir un triangulo con esos lados porque al trazar,con centro en los extremos del lade que viola la desigualdad, circunferenciasde radios correspondientes a los otros dos lados, dichas circunferencias no secart an (trace la figura correspondiente). l.Cwindo se da la igualdad?

La multiplicidad de las soluciones del tercer ejemplo be debe a que hay unainfinidad de tridngulos semejantes, es decir, con lados proporcionales, cuyosangulos miden 30, 60 y 900

En consecuencia, uno de los datos debe ser un lado y si se prescriben treslados, entonces debe verificarse la validez de la desigualdad del triangulo.

Pretendemos que ellector sea capaz, utilizando las relaciones, leyes e iden-tidades consignadas hasta ahara, de comprobar las afirmaciones siguientes,y tambien de proporcionar un metcdo de construcci6n para cada una de lassoluciones posibles.l. Dadas tres longitudes a, bye para las cuales se cumple la desigualdaddel triangulo, hay una unica soluci6n con la orientaci6n convenida.

2. Dados dos lados y el angulo comprendido, la soluci6n es unica.3. Dados dos lados y el angulo opuesto a uno de elias, puede haber dos, unao ninguna soluci6n dependiendo de la relaci6n entre los datos:

4. Dados dos angulos y uno de los lades, la soluci6n es (mica.


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46Como ejemplo, haremos la demostraci6n de la afirmaci6n 3, que utiliza

la ley de los senos. Pero primero pedimos al lector que intente dibujar untriangulo can c =1, a =4 y ' Y =600.

Si en cualquier punta de la circunferencia can centro en B y radio 4 colo-camas un rayo que forme un lingula de 600 can el radio correspondiente, eserayo no corta allado c. La imposibilidad se explica can la ley de los senos:

a csen a sen I

que implica, tomando en cuenta sen 0 :: ::; 1csen 'Y : : ; - ,a

porque sen a ::;1.

1Figura 2.8: No existe un triangulo tal que c=I, a = 4 y ( = 600 .

Cuando se da la igualdad, sen a =1la soluci6n es unica, y cuando se da ladesigualdad estricta hay siempre dos soluciones porque hay dos posibilidadespara a debido a la identidad sen a = sen (1800 - a). Una vez elegido a, elangulo (3 se obtiene de restar a 1800 la surna 0: + ' Y , Yel lado b tiene longitud

b =a sen (3.sen a


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47

EJERCICIOS1. Demuestre que con s610 dos datos hay siempre un mimero infinito de

trilingulos.(Sugerencia: considere todos los cases posibles.)2. Demuestre la afirmaci6n 1 y de, un metodo de construcci6n del trisingulo.3. Demuestre la afirmaci6n 2 y de un metodo de construcci6n del triangulo,4. Demuestre la afirrnacion 4 y de un metodo de construcci6n del triangulo.5. De ejemplos de problemas practices en cuya solucion se resuelva unt riangulo.6. De ejemplos de problemas practicos que requieran la resolucion de algun

triangulo, como la determinacion de la altura de un edificio conocido elangulo de elevaci6n desde un punta distante c unidades de su base.

7. Construya una figura que perrnita demostrar el Teorema de Pitagoras,8. Construya una figura que permit a demostrar el Teorema de Tales.9. Demuestre la Desigualdad del triangulo.

2.3 Funciones e identidadest.rigonometr icas

La figura de la pagina siguiente se denomina circulo trigonometrico, pues canbase en ella definiremos las funciones trigonometricas element ales: seno, cosenoy tangente. Consta de una circunferencia de radio 1can centro en el origen, yde un rayo que parte del origen y forma un angulo 0: con la parte positiva deleje de las X. El rayo corta al circulo unit aria en un punta P , cuya proyecci6nH en el eje X determina e1 triangulo rectangulo 0 H P.

La hipotenusa del triangulo OH P mide 1, puesto que es el radio del circulo,y por ello la abscisa y la ordenada de P son cos a y sen 0:, respectivamente,segun es inmediato de las definiciones de las razones trigonometricas, ya queel denominador es 1. Y tambien es inmediata una relacion trigonometticafundamental, consecuencia del Teorema de Pit agoras:

(2.6)


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48y

P( cos 0 : , sen 0 : )x_ .

Figura 2.9: Determinacion de las funciones trigonometricas mediante el cfrculotrigonometrico.Hemos denotado al angulo por x porque su medida (en radianes) puede ser

cualquier numero real, pero es muy importante tener presente que en el circulotrigonometrico la variable x corresponde al lingula (a su medida en radianes)y no a la abscisa de un punto. Con esta observacion en mente, establecemoslas definiciones de las primeras dos funciones trigonometricas.

Definicion. Si x es la medida en radianes de un angulo, el coseno de xes la abscisa del punta P en e1circulo trigonornetrico correspondiente al radioque forma un angulo de medida x con la parte positiva del eje de las abscisas(vease la Figura 2.9).

Definicion. Si x es la medida en radianes de un angulo, el se n o d e x esla ordenada del punto P en el circulo trigonornetrico correspondiente al radioque forma un angulo de medida x con la parte positiva del eje de las abscises(vease la Figura 2.9).observacionesI. Las funciones coseno y sene pueden tomar valores negativos, pero la relacion(2.6) implica que los valores no pueden ser menores que -1 ni mayores que l.Esta observacion tarnbien merece consignarse:

-1 ::;cos x ::;1, - 1S sen x ::;1 (2.7)Ysi recordamos los signos correspondientes a puntos en los distintos cuadrantes,podremos decir inmediatamente si el seno 0 el coseno tienen uno u otro signadependiendo del cuadrante donde se ubique P.


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49II. Si dos angulos difieren por giros completos, positivos 0 negativos, los valoresdel sene y del coseno son identicos, 1 0 eual escribimos asi:

cos (x + 2 k 1 r ) =cos x ; sen (x + 2k7f) = sen x (2 .8)Si para una funcion f existe algun valor p i- 0 de la variable tal que

f(x) =(x+p) para todo x en el dominio de la funcion, entonces f se denominaJuncian peri6dica. Si la funcion no es constante, es facil demostrar que existe unperiodo positivo minima al cual se Ie denomina el periodo. Entonces, el cosenoy e1 seno son funciones periodicas con e1 periodo 21r, pues ningiin mimeropositive menor que 21rsatisface 2.8 para todo x E lR .

Si queremos dibujar las graficas de estas funciones, es conveniente comenzarpor la grafica de la funcion seno; a partir de ella sera inmediato trazar la graficade la funcion coseno si tomamos en cuenta las identidades (2.9) siguientes.

Cuando en lugar del angulo x tomamos el angulo x + rr /2 (dibuje el circulotrigonometrico y localice ambos angulos), las coordenadas del punta pi corres-pondiente a este nuevo angulo son, por un lado, (cos (x + 1r/2), sen (x + n /2)),y por otro, (-sen x , cos x ), 1 0 cual result a de la congruencia de los triangulosOH ' pi Y OH P , donde H ' es el pie de la perpendicular de pi al eje Y . Obte-nemos asi las relaciones:

cos (x + 1r/2) = -sen x , sen (x + 1r/2) =cos x , (2.9)que son un caso particular de (2.3)-(2.4) i conviene leer la segunda de estasrelaciones asi: para obtener e1valor de cos x, basta conocer el valor de sen (x+1r/2). Entonces, para obtener la grafica de la funcion coseno, basta trasladarla grafica de la Iuncion seno 7f/2 unidades a la izquierda (veanse la graficascorrespondientes) .

Para trazar la grafica de la funci6n seno, dibujamos el cireulotrigonometrico a la izquierda y otro sistema coordenado a su derecha; porla relaci6n (2.7) sabemos que los puntas de la grafica quedan en la banda de-terminada par las reetas y = -1 y y = 1. Los puntas de la grafica resultanal tomar, sabre el punta correspondiente a x en el eje horizontal, una alturaigual a la ordenada del punta P en el circulo trigonometrico tal que el radioOP forma un angulo x con la parte posit iva del eje de las abseisas (vease laFigura 2.10).

Observe que en e1 cireulo trigonometrico x denota Ia medida del angulo,


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50mientras que en e1 sistema coordenado dellado derecho S 1 juega e1 pape1 acos-tumbrado de abscisa.Par 1a re1aci6n (2.9) , para obtener la grafica de 1a funci6n coseno bastadesplazar ?r /2 unidades a la izquierda la grafica de la funcion seno sobre el ejeX (vease la Figura 2.11).

sen x

3.!Y9 = a 2 2nl O L l I I ~1~W;12Y13 !~7___ __..__. __ .___l- . _'If" 2

Figura 2.10: Obtencion de la grafica de la funci6n sen z.

-Jr!2 o

cos x

3rr!2

Figura 2.11: Grafica de la funci6n cosx.Note que, debido a tratarse de funciones periodicas, basta tomar el trozo

de graf ica correspondiente a l intervalo [ x , z + 2 7 T ) para poder obtener e1 restocon solo repetir ese trozo, donde el corchete izquierdo indica que el extremaS1 se incluye, mientras que e1 parentesis derecho indica que el extrema no seincluye.

Definamos ahora la funcion tangente.Definicion. Si x es la medida en radianes de un angulo, 1a funcion tan-

gente es el cociente de la funcion seno entre la funcion coseno, es decir, tan x


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51es el cociente de sen x dividido entre cos x.

La tangente no esta definida pasa todos aquellos angulos en los que elcoseno se anula, es decir, si nos referimos a la Figura 2.11,

Dom ( t a n ) = IR - {(2k + l)rr/21 k

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