Gabarito IME 2015 Comentado 1º Fase

Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015

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MATEMTICA / FSICA / QUMICA

01 B 21 E

02 A 22 A

03 B 23 B

04 A 24 C

05 A 25 *

06 D 26 D

07 D 27 B

08 C 28 *

09 A 29 C

10 E 30 A

11 D 31 D

12 C 32 E

13 C 33 *

14 D 34 C

15 C 35 B

16 * 36 D

17 D 37 E

18 B 38 A

19 B 39 A

20 A 40 C



GABARITO COMENTADO

Questo 01 Letra: B

Os lados a, b e c de um tringulo esto em PA nesta ordem, sendo opostos aos ngulos

internos ,A B e C , respectivamente. Determine o valor da expresso:

cos

2

cos2

A C

A C

a) 2.

b) 2.

c) 2 2.

d) 3.

e) 4.

Soluo: Pela lei dos senos temos:

2

22

2

sen Aa

R

sen B sen C sen Bsen AR b

a b c R

sen Cc

R

Como os lados esto em P.A. e o termo do meio b temos:

22

a cb b a c

Logo.

22 2 2

2 180

2

sen B sen Csen A

R R R

sen A C sen A sen C

sen A C sen A sen C



Transformando a soma dos senos em produto e usando a formula de arco dobro:

2

. .2 2 cos 2 cos2 2 2 2

2cos cos2 2

cos2

2

cos2

sen A C sen A sen C

A C A C A C A Csen sen

A C A C

A C

A C

Questo 02 Letra: A

Sejam x e y nmeros reais no nulos tais que:

1 1

log log

1 1

log log

ex y

ey x

y x a

bx y

O valor de

2

2

a b e

a b

x

y :

a) 1

b)

e

c)

a e

b

d) a b

e)

e

a b

Soluo: log log log logex y x yy x a y e x a

111 1

1 1log log log log

log loge x ye yx

y x

b y x b y e x bx y

Somando as duas igualdades, temos: 2 22 log log a bx xy a b y a b y x

Subtraindo a segunda da primeira, temos: 2 22 log log e e a by ye x a b x a b x y

Assim,

2 2

2 21

a b e a b e

a b a b

x x x

y y y.



Questo 03 Letra: B

A funo :f definida por:

8 3sen sen3( ) ln

8 4sen 2sen2 cos

x xf x

x x x

Marque a opo verdadeira:

a) f no tem razes reais b) f uma funo mpar

c) f uma funo par

d) 1f x

e) f sobrejetora

Soluo:

Pelas frmulas de prostaferese, temos 2sen2 cos sen3 senx x x x . Substituindo na

expresso de f x , temos:

8 3sen sen3 8 3sen sen3 8 3sen sen3ln ln ln

8 4sen 2sen2 cos 8 4sen sen3 sen 8 3sen sen3

x x x x x xf x

x x x x x x x x

Vamos calcular f x :

1

8 3sen sen 3 8 3sen sen3ln ln

8 3sen sen 3 8 3sen sen3

8 3sen sen3 8 3sen sen3ln ln

8 3sen sen3 8 3sen sen3

x x x xf x

x x x x

x x x xf x

x x x x

Portanto, f uma funo mpar.

Questo 04 Letra: A

A soma dos termos de uma progresso aritmtica 244. O primeiro termo, a razo e o

nmero de termos formam, nessa ordem, outra progresso aritmtica de razo 1. Determine a razo da primeira progresso aritmtica.

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

Soluo:

Temos que 1, ,a r n esto em P.A., logo 1 2 e 1a n r n . Substituindo na formula do termo geral da P.A. teremos:

1

2

1

.2 1 1

1

n

n

n

a a n r

a n n n

a n n



Ento a soma dos termos ficar:

1

2

2

2

3

2

2 1

2

3

2

3244

2

3 488 0

n

n

n

n

a a nS

n n n nS

n nS

n n

n n

Testando os divisores de 488 vemos que 8n soluo e, aplicando o algoritmo de Briott-Ruffini vemos que esta a nica soluo.

Ento 8 1 7r .

Questo 05 Letra: A

Determine o produto dos valores mximo e mnimo de y que satisfazem s inequaes dadas

para algum valor de x.

22 12 10 5 10 2x x y x

a) 3,2 b) 1,6 c) 0 d) 1,6

e) 3,2

Soluo: I.

2

2 22

2 12 10 5

5 5 2 86 5 3 9 5 3 ,

2 2 5 5

x x y

x x y x y y x

Como 2

3 0x temos que

8

y 1,65

.

II.

2 22 12 10 10 2 2 10 0 0 5.x x x x x x

III. 5 10 2 5 10 2.0 2.y x y y

Portanto, o produto pedido .2 (1,6) 3,2 .



Questo 06 Letra: D

Qual o resto da diviso do polinmio x26 x25 6x24 + 5x4 16x3 + 3x2 pelo polinmio x3 3x2 x +3? a) x2 + x 2 b) 6x2 4x +3 c) 3x 9 d) 6x2 17x 3 e) 6x + 1

Soluo:

Como o divisor do 3 grau, ento o resto no mximo do 2 grau. Sejam o polinmio

26 25 24 4 3 2P x x x 6x 5x 16x 3x e o resto da diviso 2r x ax bx c .

O divisor 3 2 2x 3x x 3 x x 3 1 x 3 x 1 x 1 x 3 .

Pelo teorema do resto, temos:

26 25 24 4 3 2

25 3

r 1 a b c P 1 14

r 1 a b c P 1 20

r 3 9a 3b c P 3 3 3 6 3 5 3 16 3 3 3

3 3 1 2 3 15 16 1 0

Assim, devemos resolver o sistema linear

a b c 14

a b c 20 a 6 b 17 c 3

9a 3b c 0

.

Portanto, o resto da diviso 2r x 6x 17x 3 .

Questo 07 Letra: D

Quantos restos diferentes so possveis da diviso de n2 por 11, sendo n um nmero natural? a) 3

b) 4 c) 5

d) 6 e) 7



Soluo: Olhando mdulo 11, n s pode assumir valores congruentes a 0 at 10, logo seus quadrados sero dados por:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

n 0 n 0

n 1 n 1

n 2 n 4

n 3 n 9

n 4 n 5

n 5 n 3

n 6 n 3

n 7 n 5

n 8 n 9

n 9 n 4

n 10 n 1

Logo 2n s pode ser congruente a 0,1,3,4,5 ou 9, ento temos 6 valores.

Questo 08 Letra: C

O nmero de solues da equao cos(8x) = sen(2x) + tg2(x) + cotg2(x) no intervalo [0,2) : a) 0

b) 1 c) 2

d) 4 e) 8

Soluo: Pela desigualdade das mdias temos:

2 22 2

2 2

tg x ctg x .tg x ctg x2

tg x ctg x 2

Sabendo ainda que :

1 sen2x

Somando as duas inequaes temos:

2 21 2 sen2x tg x ctg x

1 2 cos8x

1 cos8x

cos8x 1

Que ocorrer para 2 2sen2x 1 e tg x ctg x 2 .

A ltima equao a igualdade dada na desigualdade das mdias, logo s ocorrer quando:

2 2tg x ctg x 1

Logo, as solues de 2 2tg x ctg x 2 so 3 5 7

; ; ;4 4 4 4

.

Dessas solues, as nicas que satisfazem sen2x 1 e cos8x 1 so 3 7

e4 4

.

Temos ento 2 solues.



Questo 09 Letra: A

Dada a matriz A, a soma do mdulo dos valores de x que tornam o determinante da matriz A nulo :

2

1 2 0 0

1 1 2

1 4 0 0

1 1 2

x

x xA

x

x x

a) 7

b) 8 c) 9 d) 10

e) 11

Soluo: Aplicando a regra de Howell/Chi, temos:

3

2

2

2 1 2

1 2x 0 01 2x x 1 2

x 1 x 1 2det A 4 x 0 01 x 4 0 0

1 2x 1 x 2x 1 1 x 2

x 1 24 x 1 x 4 x 3x x x 4 x 3 0

1 x 2

x 0 x 3 x 4

Portanto, a soma dos mdulos dos valores que tornam o determinante nulo |0|+|3|+|4|=7.

Questo 10 Letra: E

Sejam a circunferncia que passa pelos pontos (6, 7), (4, 1) e (8, 5) e t a reta tangente , que passa por (0, 1) e o ponto de tangncia tem ordenada 5. A menor distncia do ponto P (1, 4) reta t :

a) 3 2 b) 4

c) 2 3

d) 3

e) 4 10 / 5

Soluo:

Primeiramente note que os vetores 8 6,5 7 2, 2AC e 8 4,5 1 4,4BC tem

produto escalar .. 2, 2 4,4 0AC BC , logo o tringulo retngulo de hipotenusa AB, logo seu centro o ponto mdio de AB e a medida de seu raio a metade da medida de AB:



2 26 4 1 76 4 1 7

, 5,4 e 102 2 2

C r

Cuja equao 2 2

5 4 10x y .

Vamos descobrir os pontos de ordenada 5 (a,5) que esto nessa circunferncia:

2 2

5

5 5 4 10

5 9

5 3

8 ou 2

a

a

a

a a

Os possveis pontos so 2,5 e 8,5 . A reta que contm os pontos 8,5 e 0, 1 no tangente circunferncia dada, pois a distncia do centro at esta reta menor do que o

raio. Logo a reta t a que passa por 2,5 e 0, 1 e dada por: 3 1 0x y . Logo, a distncia pedida :

2 2

3 1 4 1 8 4 10

5103 1

d

Questo 11 Letra: D

O lugar geomtrico no plano complexo de w = z + 1/z, sendo z nmero complexo tal que z

= k e k >1, e um(a):

a) segmento de reta b) circunferncia

c) hiprbole d) elipse e) parbola

Soluo:

Fazendo z a bi , temos:

2 2 2

2 2

2

2 2

1

; ,:

1 11 1

w a bia bi

a biw a bi k a b

a b

a biw a bi

k

w a b ik k

Fazendo :

2 2

1 11 1a x e y b

k k.

Temos:

2 22

2 2

2 2

1 11 1

x yk

k k

, e como 1k :



2 2

2 21

1 1

x y

k kk k

Portanto, o lugar geomtrico uma Elipse.

Questo 12 Letra: C

O time de futebol X ir participar de um campeonato no qual no so permitidos empates. Em 80% dos jogos, X o favorito. A probabilidade de X ser o vencedor quando ele o favorito 0,9. Quando X no o favorito, a probabilidade de ele ser o vencedor 0,02. Em um determinado jogo de X contra o Y, o time X foi o vencedor. Qual a probabilidade de X ter sido favorito neste jogo? a) 0,80 b) 0,98

c) 180/181 d) 179/181 e) 170/181

Soluo:

A rvore acima representa a situao descrita no enunciado. Como X venceu, o espao

amostral fica reduzido. Assim, a probabilidade de X ser favorito dado que X venceu

0,72 180

P0,724 181

.

Questo 13 Letra: C

Seja um trapzio retngulo de bases a e b com diagonais perpendiculares. Determine a rea

do trapzio.

a) 2

ab

b)

2

2

a b

c)

2

a bab

d)

2

2

a bab

e)

2

2

a ba b



Soluo:

Pela semelhana: ABD ADC temos: a h

h abh b

Logo a rea dada por:

2

a b abS

.

Questo 14 Letra: D

Em um prisma oblquo ABCDEFABCDEF, cuja base ABCDEF um hexgono regular de a, a face EFFE est inclinada 45o em relao base, e a projeo ortogonal da aresta FE sobre a base ABCDEF coincide com a aresta BC. O volume do prisma :

a) 33 3

2a

b) 39

4a

c) 35 3

3a

d) 39

2a

e) 35

2a



Soluo:

Como a projeo de ' 'F E coincide com BC, o tringulo 'FBF retngulo em B e

' 3FB F B a pois o' 45F FB .

Logo a altura do prisma 3a e seu volume 2

23 9. .6 3 .4 2

aV a a

Questo 15 Letra: C

Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e um octaedro inscrito no tetraedro, com seus vrtices posicionados nos pontos mdios das arestas do tetraedro. Obtenha a rea da seo

do octaedro formada pelo plano horizontal paralelo base do tetraedro BCD, distando desta base de um quarto da altura do tetraedro.

a) 23

192a

b) 23

96a

c) 23 3

32a

d) 23 3

64a

e) 29 3

64a



Soluo:

Seja AG a altura do tetraedro. O ponto M , mdio da altura AG , pertence face do octaedro.

Portanto, o ponto O , centro do octaedro, dista da base BCD do tetraedro um quarto da

altura AG (figura 1).

Como os vrtices do octaedro esto sobre os pontos mdios das arestas do tetraedro, ento

a aresta do octaedro metade da aresta do tetraedro, ou seja, 2

a.

A seo do octaedro obtida pelo plano paralelo a uma de suas faces passando pelo seu centro. Assim, essa seo obtida ligando-se os pontos mdios das arestas indicadas na

figura 2. A figura obtida um hexgono cujo lado metade da aresta do octaedro, ou seja,

4

a. A rea desse hexgono dada por

2

2

.

33 346

4 32hex

a

aS .

Questo 16 ANULADA

Um corpo puntiforme de massa mA parte de ponto A, percorrendo a rampa circular representada na figura acima, sem atrito, colide com outro corpo puntiforme de massa mB, que se encontrava inicialmente em repouso no ponto B. Sabendo que este choque



perfeitamente inelstico e que o corpo resultante deste choque atinge o ponto C, ponto mais alto da rampa, com a menor velocidade possvel mantendo o contato com a rampa, a velocidade inicial do corpo no ponto A, em m/s

Dados:

Raio da rampa circular: 2m; acelerao da gravidade g: 10 m/s2; massa mA: 1 kg;

massa mB: 1 kg.

a) 10 b) 20

c) 4 15

d) 10 5

e) 8 5

Soluo:

Dados: 2 A BR 2m; g 10m s ; m 1kg; m 1kg

1) Movimento do ponto mais baixo da trajetria at o ponto C Da condio de velocidade mnima no ponto mais alto da trajetria, temos que a fora normal igual a zero (corpo na iminncia de perder contato com a pista); portanto, a nica fora

que atua sobre o corpo o peso, e esta faz o papel de fora centrpeta.

centrpeta

P F m m

g 2

2v v gRR

Conservao da Energia:

CB Cantes depois potencialcintica cintica

mE E E E E

2

Bmv

2

2

Cv

m2

2 2 2 2B C B B

gh

v v 2gh v gR 2.g.2R v 5gR

2) Choque inelstico entre A e B Da Conservao da Quantidade de Movimento temos:

antes depois A A A B B

A B A

Q Q m v m m v choque inelstico

1.v 1 1 v v 2 5gR

3) Movimento do bloco A antes do choque

Da Conservao da Energia temos:

A A Bantes depois potencial cintica cintica

E E E E E m m

gh A2

ov m

2

A

A A A

A A A A

2

A

2 2 2o 2 2 2 2A

o A o o

2 2 2 2

o o o o

v

2

v vgR 2gR v v 2gR v 2 5gR 2gR v 20gR

2 2

v 18gR v 18.10.2 v 360 v 6 10m s



Questo 17 Letra: D

A figura acima mostra uma onda transversal na forma de um pulso ondulatrio em uma corda esticada. A onda est se propagando no sentido positivo do eixo x com velocidade igual a 0,5 m/s. Se o deslocamento y, em metros para uma coordenada x, em metros, no

instante t = 0 dado por

21

( )4

y xx

O deslocamento y, em centmetros, para x = 3 metros e t = 2 segundos

a) 5,50 b) 6,25

c) 8,50 d) 12,50 e) 15,25

Soluo:

Como o pulso se propaga no sentido positivo e com velocidade constante, seu deslocamento

y x,t dado por y x vt , pois o deslocamento no sentido positivo. Logo,

2 2 2

1 1 1y x y x,t y x,t

x 4 x vt 4 x 0,5t 4

Para x 3m e t 2s temos:

2 2 2

2

1 1 1y 3,2 d d

2 43 0,5.2 4 3 1 4

1 1 100d m d .10 cm d cm d 12,5cm

8 8 8



Questo 18 Letra: B

Uma chapa rgida e homognea encontra-se em equilbrio. Com base nas dimenses apresentadas na figura, o valor da razo x/a

a) 10,5975 b) 11,5975

c) 12,4025 d) 15,2975 e) 13,5975

Soluo:

Analisando a figura, notamos que podemos eliminar as quadriculas que apresentam o

mesmo torque em mdulo mas com sinais opostos (x, y e z); portanto, como 0M teremos:

. .10 3 5

2

q a Q a

. .a a.3 2 .a . 8,597511,5975

x a

x a



Questo 19 Letra: B

A figura acima mostra um circuito eltrico composto por resistncias e fontes de tenso.

Diante do exposto, a potncia dissipada, em W, no resistor de 10 do circuito

a) 3,42 b) 6,78

c) 9,61 d) 12,05 e) 22,35

Soluo:

1 2 1 2

1 2 1 2

2

10 5 2 1

5 10 10 2 2

1,0A

I I I I

I I I I

I

5 1 5V

15T7

Th

Th

V



22

15 5 14A

15 17107

14P = Ri 1017

6,78W

i

P

Questo 20 Letra: A

A figura acima apresenta um pndulo simples constitudo por um corpo de massa 4g e carga

+ 50 C e um fio inextensvel de 1m. Esse sistema se encontra sob a ao de um campo

eltrico E de 128 kN/C, indicado na figura. Considerando que o pndulo oscile com amplitude pequena e que o campo gravitacional seja

desprezvel, o perodo de oscilao, em segundos,

a)

20

b)

10

c)

5

d) 2

5

e) 4

5

Soluo:

Dados:

3

6 5

3

m 4g 4.10 kg

q 50 C 50.10 C 5.10 C

l 1m

E 128kN C 128.10 N C

Como o campo gravitacional desprezvel, o peso e a acelerao da gravidade so igualmente desprezveis. Logo,



resultante eltrica

qEF F ma qE a

m

Para pequenas oscilaes, o perodo dado por:

3

5 3

l l mlT 2 T 2 T 2

qEa qE

m

4.10 .1 1 2T 2 T 2 T T s

1600 40 205.10 .128.10

Questo 21 Letra: E

Uma partcula eletricamente carregada est presa a um carrinho que se move com velocidade de mdulo constante por uma trajetria no plano XY definida pela parbola

y = x2 9x + 3

Sabe-se que, em XY, um campo magntico uniforme paralelo ao vetor (3B, B) provoca fora sobre a partcula. O ponto onde a partcula submetida ao maior mdulo de fora magntica

a) ( 6, 93) b) ( 3, 39) c) (1, 5) d) (2, 2) e) (3, 15) Soluo:

Como o campo magntico paralelo ao vetor 3B,B , ento o coeficiente angular da reta paralela ao campo magntico dado por:

y Bm m

x 3B

1m

3

A direo da velocidade a mesma da reta tangente trajetria. Logo, podemos calcular o

seu coeficiente angular derivando a equao da trajetria.

2y x 9x 3 y' 2x 9

Como a velocidade da partcula constante, a fora magntica ser mxima quando os vetores campo magntico e velocidade forem perpendiculares. Aplicando a condio de

perpendicularidade temos:

1

m.m' 1 m' 1 m' 33

Substituindo na derivada temos:

y' 2x 9 3 2x 9 2x 6 x 3

Substituindo na equao da trajetria temos:

2 2y x 9x 3 y 3 9.3 3 y 15



Questo 22 Letra: A

Duas fontes puntiformes idnticas esto localizadas nos pontos A e B. As fontes emitem onde

coerentes e em fase entre si. Se a distncia d entre as fontes igual a um mltiplo inteiro positivo N do comprimento de onda, o nmero de mximos de interferncia que podem ser observados no eixo x direita do ponto B

a) N 1 b) N c) 2N 1 d) 2N

e) infinitos

Soluo: Sabendo que os mximos de interferncia correspondem a uma diferena de percurso tico

mltiplo do comprimento de onda, temos 2 2N x x m , onde x o valor da

coordenada em que se observa a m-sima interferncia construtiva. Logo,

2 2

N m 2m x .

O caso limite em que x 0 confere m N e, medida que x tende a infinito, vemos que a

equao acima s satisfeita para valores de m bem prximos, mas nunca iguais, a zero.

Logo, N m 0 e observamos assim, N 1 mximos de interferncia.

Questo 23 Letra: B

Um varal de roupas constitudo por um fio de comprimento 10,0 m e massa 2,5 kg, suspenso nas extremidades por duas hastes uniformes de 200 N de peso, com articulao nas bases, inclinadas de 45 em relao s bases e de iguais comprimentos. Um vento forte



faz com que o fio vibre com pequena amplitude em seu quinto harmnico, sem alterar a posio das hastes. A frequncia, em Hz, neste fio

Observao: a vibrao no fio no provoca vibrao nas hastes

a) 3 b) 5

c) 10 d) 20

e) 80

Soluo: Da condio de equilbrio temos:

peso traol

M 0 M M P. .cos45 T.l2

.sen45

1 2200. .

2 2

2T.

2 T 100N

A velocidade de propagao da onda na corda dada por:

T T Tl 100.10v v v v v 400 v 20m s

m m 2,5

l

E as frequncias dos harmnicos so dadas por:

n n

nv 5.20f f

2l 2.10

nf 5Hz

Questo 24 Letra: C

A figura acima mostra um conjunto massa-mola conectado a uma roldana por meio de um cabo. Na extremidade do cabo h um recipiente na forma de um tronco de cone de

10 cm x 20 cm x 30 cm de dimenses (dimetro da base superior x dimetro da base inferior x altura) e com peso desprezvel. O cabo inextensvel e tambm tem peso desprezvel. No

h atrito entre o cabo e a roldana. No estado inicial, o carro encontra-se em uma posio tal



que o alongamento na mola nulo e o cabo no se encontra tracionado. A partir de um instante, o recipiente comea a ser completado lentamente com um fluido com massa especfica de 3000 kg/m3. Sabendo que o coeficiente de rigidez da mola 3300 N/m e a

acelerao da gravidade 10 m/s2, o alongamento da mola no instante em que o recipiente se encontrar totalmente cheio, em cm, igual a

a) 0,5 b) 1,5 c) 5,0

d) 10,0 e) 15,0

Soluo: Como o preenchimento do recipiente lento, ento a condio final de equilbrio dada por:

fluido elstica

mg KxVg

P F Vg Kx xmK

V

Calculando o volume do tronco de cone temos:

2 2

tronco tronco

2 2

tronco tronco

3 6 3

tronco tronco tronco

r 5cm; R 10cm; h 30cm

1 1V V V' V R H r h'

3 3

H h' h2h' h' 30 h' 30cm

H 2h' semelhana

1 1H 60cm V .10 .60 .5 .30 V 2000 250

3 3

V 1750 cm V 1750 .10 m V 5 3175 .10 m

Calculando o alongamento temos:

5 3

3 12

Vg 3000.175 .10 .10 175 .10x x x m

K 3300 11

175 .10 175 .10x .10 cm x cm x 5cm

11 11



Questo 25 Letra: Anulada

A figura acima mostra um sistema posicionado no vcuo formado por um recipiente contendo um gs ideal de massa molecular M e calor especfico c em duas situaes distintas. Esse recipiente fechado por um mbolo preso a uma mola de constante elstica k, ambos de

massa desprezvel. Inicialmente (Situao 1), o sistema encontra-se em uma temperatura T0, o mbolo est a uma altura h0 em relao base do recipiente e a mola comprimida de

x0 em relao ao seu comprimento relaxado. Se uma quantidade de calor Q for fornecida ao gs (Situao 2), fazendo com que o mbolo

se desloque para uma altura h e a mola passe a estar comprimida de x, a grandeza que varia linearmente com Q

a) x + h b) x h c) (x + h)2

d) (x h)2 e) xh

Soluo: Temos:

2 2

0

2 2

0

2 2

0 0

1 1

2 2

1

2

1 1

2VV V

W Kx Kx

U Q W U Q K x x

UU nc T T T T Q K x x

nc nc

Por outro lado:

00 0 0 0 0 0 0

KxP V Ah PV Kxh

A

KxP V Ah P V Kx h

A



Temos ento:

0 0 0 0 0 0 0 0

2 20 0 00

2 2 0 00 0

0 0

2 200 0

0 0

1 1

2

1

2

1 1.

2 2

V

V

VV

b ca

P V PV P V Kx h Kxh Kx hPV

T T T T TQ K x x

nc

xh x hQ K x x T nc

x h

T ncQ xh Kx T nc Kx

x h

Alm disso, da figura, temos Y. 2. .Q axh b x c

Q somente teria variao linear se Y fosse proporcional a Z, ou seja, se h fosse proporcional a x, o que no verdade, j que W constante.

Questo 26 Letra: D

A figura acima representa uma lmina de espessura e densidade constantes na forma de um

semicrculo de raio a. A lmina est suspensa por um fio no ponto A e o seu centro de massa

est a uma distncia de

4a

3 da reta que contm o segmento DB. Uma das metades da lmina

retirada aps um corte feito ao longo do segmento AC. Para a metade que permanece suspensa pelo ponto A nessa nova situao de equilbrio, a tangente do ngulo que a direo

do segmento de reta AC passa a fazer com a vertical

a)

3

4 3

b)

4

3 4

c)

3

d)

4

3 4

e)

4

4



Soluo:

Pela simetria da figura, observamos que o centro de massa de cada um dos quadrantes se

encontra em um ponto que as divide simetricamente. Conforme o dado inicial da distncia, localizamos o centro de massa de cada uma, onde

4 443 3

4 3 4 3 4

3 3

a ad

tg tg tg tga a aa d

a

Questo 27 Letra: B

A Figura 1 apresenta um sistema composto por um trilho fixo em U e uma barra mvel que

se desloca na vertival com velocidade suspensa por um balo de massa desprezvel. O

trilho e a barra so condutores eltricos e parmenecem sempre em contato sem atrito. Este

conjunto est em uma regio sujeita a uma densidade de fluxo magntico B que forma com a horizontal uma ngulo , como ilustrado na Figura 2. Diante do exposto, o valor da corrente induzida no sistema, em ampres, no estado

estacionrio :



Dados:

massa da barra: 1 kg; acelerao da gravidade g: 10 m/s2; ngulo q entre a horizontal e o vetor B: 60; massa especfica do ar: 1,2 kg/m3; volume constante do balo: 0,5 m3; comprimento da barra entre os trilhos: 0,2 m; densidade de fluxo magntico B: 4 T.

Observao:

despreze a massa do balo com o hlio e o atrito entre a barra e os trilhos. a) 5,7

b) 10,0 c) 23,0

d) 30,0 e) 40,0

Soluo:

Constatamos que h 3 foras atuando sobre a barra (o peso do balo desprezvel), sendo que estas a mantm em equilbrio cintico.

0 cos 0balo barra ar balomagntica

E P F V g mg Bil

Substituindo os dados do enunciado temos:

1,2.0,5.10 1.10 4. .0,2.0,5 0 10,0i i A


Em um laboratrio localizado em um planeta desconhecido, um grupo de pesquisadores observa o deslizamento de um bloco em um plano inclinado. Nota-se que o bloco parte do repouso e atinge o final da rampa em 10 segundos e com velocidade de 4 m/s. Neste mesmo

ambiente, encontra-se instalado um manmetro do tipo tubo em U que tem por objetivo medir o diferencial de presso entre dois reservatrios que se localizam em cada ponta do

tubo. Sabe-se que o fluido manomtrico feito atravs da mistura da mesma quantidade em massa de dois leos miscveis distintos. Levando em conta os dados abaixo, pode-se afirmar que o coeficiente de atrito (dinmico) entre o bloco e o plano inclinado na situao

fsica descrita :



Dados:

altura mxima do plano em relao horizontal: 6 m; comprimento da rampa: 10 m; diferena entre as presses nos reservatrios: 0,18 kPa; cota de desnvel do fluido manomtrico: 30 cm; massas especficas dos leos: 0,3 g/cm3, 0,9 g/cm3.

Observao:

considere que a massa, em kg, da mistura dos leos igual a soma das massas, em kg, das massas de cada leo.

a) 0,25 b) 0,45

c) 0,50 d) 0,70

e) 0,75 Soluo:

Funo horria da velocidade:

20

v v at 4 0 a.10 10a 4 a 0,4m s

Funo horria da posio:

2 2

0

at 0,4.10S v t S 0.10 S 20m

2 2

Isso contradiz o dado do enunciado de que o comprimento da rampa 10m, portanto, a questo deve ser anulada.

OBS.: Se considerarmos a rampa com 20m teremos, calculando g:

miste = 0,45

0,3 0,9

A B

m mP hg P

m m

Portanto: 34. . .0,45 10 0,3 1803

g g .

Pela conservao da energia:

m4. .123

m

2.4 .2

m4. . .0,8 203

6416 8

3

30,375

8



Questo 29 Letra: C

A figura acima apresenta um circuito eltrico e um sistema de balana. O circuito composto por uma Fonte em U, cinco resistores, um capacitor, um quadrado formado por um fio

homogneo, duas chaves e um eletrom interligados por fios de resistncia desprezvel. O sistema de balana composto por um bloco e um balde de massa desprezvel que est sendo preenchido por gua atravs de um dispositivo. Sabe-se que, imediatamente aps o

carregamento do capacitor, a chave Cha se abrir e a chave Chb se fechar, fazendo com que o capacitor alimente o eletrom, de modo que este acione um dispositivo que interromper

o fluxo de gua para o balde. O valor do capacitor para que o sistema balde e bloco fique em equilbrio e a energia dissipada no fio a partir do momento em que o capacitor esteja completamente carregado at o vigsimo segundo so, respectivamente

Dados:

U = 100 V; resistncia total do fio: 32 k; fluxo de gua: 200 ml/s; massa especfica da gua = 1 g/cm3; massa do bloco: 0,8 kg.

Observaes:

despreze a massa do balde; considere o capacitor carregado em um tempo correspondente a cinco vezes a

constante de tempo.

a) 6 F e 10 J b) 8 F e 10 J c) 8 F e 20 J d) 10 F e 10 J e) 10 F e 20 J



Soluo:

3

3

3 3

3

100 2510 A

416 10

258 10 10 100 50V

4

0,8 10= 4s

200

AB AB

i

V V

Vt

t

Curto na fonte:

6

3

3 97 100k

45 8 10 8,0

5 100 10

ABR

t RC C C F



At o vigsimo segundo, temos:

1

22 3 3

1

20 4 16s

252 2 16 10 10 16

4

20J

t

Ri t

Questo 30 Letra: A

Um capacitor de placas paralelas carregado gera um campo eltrico constante em seu interior. Num instante inicial, uma partcula de massa m e carga +Q, localizada no interior

do capacitor, liberada com velocidade nula. Neste mesmo instante, o capacitor comea a girar com velocidade angular constante em torno do eixo z. Enquanto estiver no interior do capacitor e antes de colidir com uma das placas, a trajetria da carga ser uma Observao:

desconsidere as aes dos campos magntico e gravitacional.

a) superposio de um movimento circular uniforme com um movimento uniforme no eixo Y. b) superposio de um movimento circular uniforme com um movimento uniforme no eixo X.

c) elipse, no se constituindo uma circunferncia. d) circunferncia.

e) parbola. Soluo:

Da 2 Lei de Newton temos:

resultante eltrica

qF ma F ma qE ma a E

m

Do movimento da partcula temos

'' . .cos

'' . .

qx E t

m

qy E sen t

m

, onde as derivadas de 2 ordem representam as aceleraes nos eixos.



Integrando temos:

1

2

' .'' . .cos

'' . . ' cos

qEqx sen t Cx E t

mm

q qEy E sen t y t C

m m

, onde as derivadas representam as

velocidades no eixos. Aplicando as condies iniciais

' 0 0

' 0 0

x

y, temos que:

' .

' cos

qEx sen t

m

qE qEy t

m m

Integrando novamente temos:

'

12

'

22

.cos' .

' cos '

qEqEx t Cx sen t

m m

qE qE qE qEy t y sen t t C

m m mm

, que so as equaes de

movimento da partcula. Note que, para fins de identificao, podemos desprezar as constantes, pois as mesmas

representam apenas o ponto no qual a partcula comea o movimento. Logo,

2

2

.cos

'

qEx t

m

qE qEy sen t t

mm

Agora, note tambm que:

2 2 2 22 2 2

2 2 2 4.cos .

qE qE q Et sen t x y R

m m m

, o que d um movimento

circular uniforme.

Alm disso, temos tambm que:

0

.qE

y t S S vtm

, o que d um movimento retilneo uniforme.



Questo 31 Letra: D

A eritromicina uma substncia antibacteriana do grupo dos macroldeos muito utilizada no tratamento de diversas infeces. Dada a estrutura da eritromicina abaixo, assinale a alternativa que corresponde s funes orgnicas presentes.

a) lcool, nitrila, amida, cido carboxlico. b) lcool, cetona, ter, aldedo, amina.

c) Amina, ter, ster, cido carboxlico, lcool. d) ter, ster, cetona, amina, lcool.

e) Aldedo, ster, cetona, amida, ter. Soluo:



Questo 32 Letra: E

Um volume V1 de uma soluo aquosa de HC 6 mol/L contm inicialmente uma massa m0

de ons Fe+3. So realizadas n extraes utilizando, em cada uma delas, o mesmo volume V2

de ter etlico, o qual um solvente seletivo para FeC3. Sabendo que o coeficiente de

partio do ferro entre o ter e a soluo aquosa de HC vale K, qual das expresses abaixo

equivalente massa de ons Fe+3 remanescente na fase aquosa ao final do processo?

Suponha que a extrao do soluto no altera o volume da soluo de HC.

a)

10

2 1

6n

KVm

KV V

b)

10

2 1

n

KVm

V KV

c)

10

2 1

6n

KVm

V V

d)

10

2 16

n

Vm

V KV

e)

10

2 1

n

Vm

KV V

Soluo:

Seja n1 o nmero de mols de Fe+3 na soluo aquosa e n1 o nmero de mols de Fe+3 na soluo de ter na primeira extrao.

Seja ni o nmero de mols de Fe+3 na soluo aquosa e ni o nmero de mols de Fe+3 na soluo de ter na i-sima extrao.

Ou seja, o nmero de mols de Fe+3 na soluo aquosa uma PG de razo .

A expresso do termo geral da PG ser:

20 1

1 1

0 1 1 11 0

1 1 2 1

11

' e '

/

/

/

/

Vn

V

n Vn n

V k

nk n n

V V

n

n Vk

n

21

1

1 1

1

1

1

1

2

' e '

/

/

/

/

i i

i

i

ii

i

i i

i

nk n n

n

n

Vn

V

n Vn n

k V

V

Vk

Vn

1

2 1

V

kV V

10

2 1

i

i

Vn n

kV V



Como n=m/MM, teremos:


Um pesquisador verificou, em uma determinada posio geogrfica, por meio da anlise de

amostras de gua do mar extradas do local, que a massa especfica mdia da gua do mar era 1,05 g/mL, a concentrao mdia de espcies dissolvidas era 0,80 mol/L e a temperatura mdia era de 290 K. O mesmo pesquisador, com o objetivo de colher gua doce em seu

estudo, planeja envolver, com uma membrana semipermevel ideal, uma das extremidades abertas de um longo tubo, a qual ser imersa na gua do mar. A que profundidade mnima,

em metros, o tubo deveria ser imerso? a) 1930,0. b) 183,4.

c) 73,7. d) 19,4.

e) 9,7. Dados:

Soluo:

Durante a insero do tubo na altura h:

Na base do tubo temos:

Patm + Pgua doce + = Patm + Pgua salgada, onde = Presso osmtica Ento: = Pgua salgada - Pgua doce = dgua salgada.g.h - dgua doce.g.h

= g.h(dgua salgada - dgua doce) M.R.T = g.h(dgua salgada - dgua doce)

Considerando dgua doce = 1,00 g/mL: 0,8.103 . 8,3 . 290=10.h.(1,05 1,00).103

h =3667,8 m

10

2 1

n

n

Vm m

kV V



Observao: Se considerarmos o tubo vazio ao ser imerso at a profundidade h, teramos a situao

(absurda):

= Pgua salgada M.R.T = dgua salgada.g.h

0,8.103 . 8,3 . 290=1,05.103. 10.h h = 183,4 m

Questo 34 Letra: C

Considere os compostos abaixo enumerados.

I. Acetona; II. Neopentano; III. Fluoreto de ltio;

IV. Etanamida; V. Pentano.

Assinale a alternativa que apresenta a sequncia correta, conforme a ordem crescente de ponto de ebulio.

a) III, I, IV, II, V. b) V, II, I, IV, III.

c) II, V, I, IV, III. d) II, V, IV, I, III. e) V, II, III, IV, I.

Soluo:

I-

II-

III-

IV-

V-

II e V so alcanos ismeros e apolares. A cadeia mais ramificada a de menor ponto de ebulio, por ser a de menor superfcie de contato desses dois ismeros. IV a mais polar que I por fazer ligaes de hidrognio, que a acetona no faz.

III a de mais alto ponto de ebulio e de fuso por ser um agregado inico.



Questo 35 Letra: B

Dados os elementos abaixo, 35 40 107

17 20 47; ;

marque a alternativa correta, considerando-se as condies de 1 atm e 25C.

a) encontrado livre na natureza na forma de gs monoatmico.

b) combina-se com formando um composto solvel em gua.

c) combina-se com formando um composto solvel em gua.

d) combina-se com formando um composto gasoso.

e) um mau condutor de eletricidade. Soluo:

20: 1s22s22p63s23p64s2 o metal alcalinoterroso clcio. Nos compostos inicos tem Nox = +2.

e formam CaCl2, sal solvel, porque os haletos so solveis, exceto os de prata, chumbo e mercrio

Questo 36 Letra: D

Uma certa reao qumica a presso e temperatura constantes apresenta uma pequena

variao da Energia Livre (G), de valor prximo de zero, uma variao positiva da entropia

(S) e uma variao negativa da entalpia (H). Considerando-se apenas estes dados, pode-

se afirmar que a reao

a) espontnea, a temperatura aproximadamente igual a G/H e ela nunca atinge o equilbrio.

b) no espontnea, a temperatura aproximadamente igual a H/S e no h variao na composio do meio reacional.

c) no espontnea, a temperatura aproximadamente igual a G/H e h uma pequena

variao na composio do meio reacional.

d) espontnea, a temperatura aproximadamente igual a H/S e h variao na composio do meio reacional.

e) espontnea, a temperatura aproximadamente igual a G/H e o equilbrio atingido. Soluo:

Dados do problema: S>0 Reao exotrmica: H 0, porque T >0, necessariamente. Como H < 0 e S > 0, essa condio s se cumpre se |G| > |H| e G



No entanto, para T H/S (alternativa D), preciso desprezar G, o que incoerente, porque no se desprezou H, de valor menor que G.

Questo 37 Letra: E

Um istopo radioativo X transforma-se em um elemento estvel Y aps reaes de

desintegrao radioativa com emisso de radiao , radiao negativa e radiao . Assinale a alternativa correta.

a) A diferena entre os nmeros de massa de X e de Y ser igual diferena entre o dobro

do nmero de partculas emitidas e o nmero de partculas emitidas.

b) A emisso da radiao altera o nmero atmico de X. c) A diferena entre os nmeros atmicos de X e de Y ser igual ao qudruplo do nmero

de partculas emitidas.

d) X e Y so istonos. e) A diferena entre os nmeros de nutrons de X e de Y ser igual soma do dobro do

nmero de partculas emitidas com o nmero de partculas emitidas. Soluo: Considere as reaes do decaimento:

4 4

2 2

4 0 4

2 1 1

4 0 4

1 0 1

A A

Z Z

A A

Z Z

A A

Z Z

X B

B Y

Y Y

Seja n o nmero de nutrons:

( 4) ( 1) 3

( ) ( 3) 3

x

Y

x Y

n A Z

n A Z A Z

n n A Z A Z

Houve uma emisso e uma . O dobro de emisso mais uma emisso igual a 3 tambm.

Questo 38 Letra: A

Assinale a alternativa correta.

a) A hidrlise total de um nucleotdeo resulta em uma base nitrogenada heterocclica, um monossacardeo e um on fosfato.

b) As bases nitrogenadas encontradas nos nucleotdeos do DNA so: adenina, uracila, citosina e guanina.

c) Watson e Crick descobriram que o RNA possui uma estrutura de dupla hlice, estando as

hlices ligadas entre si por ligaes de hidrognio entre pares de bases nitrogenadas. d) O pareamento de bases nitrogenadas em um cido nucleico especfico: uma adenina se

liga somente a outra adenina, uma citosina a outra citosina e assim por diante. e) A replicao do RNA a responsvel pela transmisso do cdigo gentico.



Soluo: a) Verdadeira: os nucleotdeos so formados por cido fosfrico, monossacardeo (desoxi-d-ribose) e bases nitrogenadas. As bases podem ser pirimidnicas e purnicas.

Pirimidina Purina

Esquema da reao de hidrlise:

b) Falsa: A uracila s encontrada no RNA; c) Falsa: A estrutura de dupla hlice se refere ao DNA;

d) Falsa: Adenina se liga timina, e citosina se liga guanina; e) Falsa: DNA sofre replicao.

Questo 39 Letra: A

Considere as etapas sequenciais de mistura/filtrao do processo no contnuo a seguir.

No Misturador 1, antes da adio de 100 mL de uma soluo aquosa de sulfato de amnio

20 g/L, encontram-se 100 mL de uma soluo aquosa composta por massas iguais de nitrato de prata, nitrato cprico e nitrato de chumbo (II), de concentrao total 60 g/L.

Ao Misturador 2, que contm o material passante do Filtro 1, adicionam-se 100 mL de uma soluo aquosa de carbonato de sdio 40 g/L e uma pequena quantidade de uma soluo de

hidrxido de sdio objetivando o adequado ajuste do pH de precipitao para, em seguida, proceder a filtrao.



Sobre os produtos de filtrao, pode se dizer que: a) o precipitado retido no Filtro 2 uma mistura heterognea.

b) o precipitado retido no Filtro 1, conhecido como galena, um slido inico resultante da reao:

Pb(NO3)2(aq) + (NH4)2S(aq) PbS(s) + 2NH4NO3(aq)

c) no misturador 2 observam-se os seguintes equilbrios inicos:

2Ag+(aq) + CO32(aq) Ag2CO3(s)

2Cu+(aq) + CO32(aq) Cu2CO3(s)

d) o chumbo no estado slido pode ser obtido espontaneamente atravs do slido retido no Filtro 1, conforme a reao comum s baterias de chumbo:

2PbSO4(s) + 2H2O(l) PbO2(s) + Pb(s) + 2SO42(aq) + 4H+(aq)

e) o precipitado retido no Filtro 2 um slido molecular, metaestvel, com baixo ponto de

fuso e com excelentes propriedades de conduo trmica e eltrica.

Soluo:

Misturador 1: Solues de AgNO3(aq), Cu(NO3)2(aq) e Pb(NO3)2(aq). Com adio de (NH4)2SO4 ocorrer a reao de precipitao:

Pb+2(aq) + (NH4)2SO4(aq) 2NH4+(aq) + PbSO4(s) Misturador 2: Adio de Na2CO3(aq). Ocorrero as seguintes reaes de precipitao:

2Ag+(aq) + Na2CO3(aq) Ag2CO3(s) + 2Na+(aq) Cu+2(aq) + Na2CO3(aq) CuCO3(s) + 2Na+(aq)

O material slido retido no filtro 2 ser constitudo por Ag2CO3 (slido esbranquiado) e

CuCO3 (slido esverdeado), sendo uma mistura heterognea.

Questo 40 Letra: C

Considere a rota sinttica descrita na sequncia abaixo, onde cada etapa ocorre em temperatura e presso adequadas:

1 Etapa: o composto A (C7H6O) sofre oxidao em soluo bsica de permanganato de potssio. O produto gerado, aps neutralizado, o cido benzoico;

2 Etapa: o cido benzoico reage com etanol em soluo cida, produzindo o composto B e

gua; 3 Etapa: o composto B sofre forte reduo com hidreto de ltio-alumnio em ter, gerando

dois produtos que, depois de neutralizados, formam ento o composto C e o etanol.

Considerando as etapas supracitadas, so feitas as seguintes afirmaes:

I) o composto A e o composto C so ismeros. II) o composto B um ster. III) o composto B o acetato de benzila.



Com base na anlise das afirmaes acima, assinale a opo correta. a) Todas as afirmaes so falsas. b) Apenas as afirmaes I e II so verdadeiras.

c) Existe apenas uma afirmao verdadeira. d) Apenas as afirmaes II e III so verdadeiras.

e) Todas as afirmaes so verdadeiras. Soluo:

1 etapa:

A: Benzaldedo cido benzoico 2 etapa:

B: Benzoato de etila 3 etapa:

C: cido benzico

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Gabarito IME 2015 Comentado 1º Fase