Gama z a c Laranjeiras

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  • LIMITAES DE USO DO COEFICIENTE GAMA Z (1)

    Ivo Carrijo e colegas

    Voc pergunta em sua mensagem abaixo se vlido usar o coeficiente gama z:

    a) em modelo variando as sees dos pilares ao longo da altura do edifcio;

    b) em modelo variando o fck ao longo da altura do edifcio;

    c) em modelo com o pavimento trreo com p-direito duplo.

    Essas trs perguntas podem ser sintetizadas em uma s, se perguntarmos se vlido

    usar gama z em estruturas de edifcios em que a rigidez dos pilares, definida por

    Ec.I/h, varia de um andar para o outro, sendo Ec o mdulo de elasticidade, funo de

    fck; I, a inrcia bruta da seo e h, a distncia entre pisos.

    Sua pergunta pertinente e importante vez que a nossa Norma ABNT NBR 6118 em

    vigor no estabelece tais restries para a aplicao do gama z, e que este coeficiente,

    por outro lado, encontra irrestrita aplicao nos programas de clculo, salvo engano,

    desde que o edifcio tenha pelo menos 4 andares.

    O Prof. Augusto Vasconcelos, coautor, juntamente com o Prof. Mrio Franco, da

    proposta do coeficiente gama z, em seu artigo publicado na Revista IBRACON,

    janeiro/maro 1998, p.16-23, intitulado Origem dos parmetros de estabilidade e

    z, reconhece que subsiste essa dvida sobre a validade do uso do coeficiente gama z nesses casos. Diz textualmente o Prof. Vasconcelos:

    Restam ainda algumas dvidas sobre a validade do uso do coeficiente z como amplificador de momentos no caso de ps-direitos muito diferentes entre pavimentos

    sucessivos e nos casos de variaes bruscas muito acentuadas de momentos de

    inrcia. Nestes casos, a validade de cada linha elstica ser afim da linha elstica

    anterior precisa ser comprovada. Tambm em casos em que a resultante das aes

    horizontais no passa pelo centro de toro (da estrutura) devem ser objeto de anlise

    adicional, pois, nestes casos, cada coluna possui uma linha elstica diferente.

    Vou trocar em midos esse esclarecimento do Prof. Vasconcelos, j que esto em uma

    linguagem especializada o calculs e, por isso, um tanto hermtica para nossos colegas ainda estudantes.

    O uso do gama z nos projetos de edifcios

    O gama z tem dois usos distintos no projeto de estruturas de edifcios, conforme

    preconizados pelos seus autores e pela nossa Norma ABNT NBR 6118.

    1) O primeiro uso do gama z de natureza qualitativa, permitindo seu valor

    identificar se a anlise dos esforos globais de 2 ordem pode ser desprezada ou no.

  • 2) O segundo uso, bem mais importante e mais consequente que o primeiro, de

    natureza quantitativa, pelo qual o gama z passa a ser um fator de majorao dos

    esforos solicitantes de 1 ordem gerados pelas foras horizontais, para obteno dos

    esforos finais (1 ordem + 2 ordem), limitado esse uso a gama z de valor at 1,3.

    As hipteses bsicas do gama z

    A primeira hiptese bsica que a avaliao do gama z pressupe a anlise linear da

    estrutura com as aes sob as combinaes do estado limite ltimo. A rigidez dos

    pilares e vigas adotada com valores reduzidos em relao da seo bruta, conforme

    recomendados na Norma ABNT NBR 6118, para se ter em conta a no linearidade

    fsica da estrutura, e se mantm com esses mesmos valores em todas as iteraes de

    clculo dos esforos de segunda ordem.

    A segunda hiptese bsica do clculo do gama z a de considerar que as linhas

    elsticas que representam os deslocamentos laterais dos diversos pisos do edifcio,

    obtidos na anlise de 1 ordem e nas subsequentes iteraes da anlise dos esforos de

    2 ordem so todas geometricamente afins entre si. Isso significa que a deformada do

    edifcio obtida em uma etapa de anlise substituda ou transformada em outra, na

    anlise seguinte, mantendo, porm, as condies de afinidade.

    Uma substituio ou transformao afim na geometria consiste de uma

    transformao angular ( ) seguida, eventualmente, por uma translao ( ):

    .

    Fisicamente, como no nosso caso, uma substituio ou transformao de uma linha

    elstica por outra afim aquela que:

    (a) preserva a colinearidade entre seus pontos, isto , trs pontos que se encontram em

    uma deformada continuam a ser colineares aps a transformao;

    (b) preserva as relaes entre as distncias entre as deformadas ao nvel de um mesmo

    piso, isto , por exemplo, para um mesmo ponto em trs deformadas sucessivas p1, p2,

    p3, tem-se: |p3-p2| / |p2-p1| = constante.

    Essa hiptese de afinidade fica inteiramente satisfeita quando cada pilar tem a mesma

    rigidez em todos os andares, isto , inrcia constante, fck constante e altura (medida

    pela distncia entre pisos) constante. A figura abaixo ilustra deformadas afins de um

    edifcio de 17 andares, figura extrada de um artigo sobre o gama z, de autoria do Prof.

    Vasconcelos, publicado na revista alem Beton und Stahlbetonbau, maio 1998, p.130.

  • O parmetro gama z

    Essas duas hipteses permitem escrever que a relao existente entre cada efeito de 2

    ordem obtido em uma etapa de iterao (i) e o seu anterior (i-1) constituem uma razo

    constante (r):

    r= M2/M1 = M3/M2 = ... = Mi/Mi-1

    Sendo a solicitao final M2 (efeito de 1 ordem + de 2 ordem) igual a:

    M2= M1 + M2 + M3 + ... + Mi

    E fazendo Mi = r. Mi-1, a equao acima torna-se o desenvolvimento em srie:

    M2= M1. (1 + r + r + r + ... + ri-1

    )

    O limite dessa soma entre parntesis na equao acima para i tendendo para o infinito :

    lim iM2= M1.1/(1-r)

    Substituindo r por M2/M1, tem-se:

    M2 = M1. 1/(1-M2/M1)

  • Donde o parmetro de avaliao qualitativo gama z:

    z = 1/(1-M2/M1)

    E, extensivamente, o coeficiente amplificador dos esforos de 1 ordem para obteno

    dos esforos finais M2 = M1. z

    Quando os pilares no tm rigidez constante em todos os pisos, restam dvidas,

    segundo o prprio Prof. Vasconcelos, quanto validade da utilizao do gama z pelas

    razes acima expostas. Ou, mais explicitamente, respondendo s perguntas do Ivo

    Carrijo, restam dvidas quanto utilizao do gama z como fator amplificador dos

    momentos de 1 ordem para obteno dos esforos finais, quando a estrutura tem

    pilares com inrcia, fck e ps direitos variveis com a altura do edifcio.

    Interrompo essa mensagem aqui, por j estar muito longa, e continuarei na prxima

    com esclarecimentos sobre a segunda dvida levantada pelo Prof. Vasconcelos sobre

    os casos em que a resultante das aes horizontais no passa pelo centro de toro (que) devem ser objeto de anlise adicional, pois, nestes casos, cada coluna possui

    uma linha elstica diferente.

    Abraos,

    Antonio C R Laranjeiras

    Salvador, BA

    29/09/2013

    Enviada em: quarta-feira, 25 de setembro de 2013 13:27

    Assunto: [comunidadeTQS] Limitaes de uso do coeficiente gama z

    Boa tarde pessoal,

    Lendo algumas teses, a prpria NBR 6118, sobre o coeficiente gama z, fiquei com

    dvida quanto a sua correta utilizao.

    Estou fazendo um trabalho de comparao de um edifcio variando a sua tipologia

    estrutural, uma por vez sempre em relao ao edifcio convencional, e estas variaes

    so:

    1 - modelo convencional

    2 - modelo variando as sees dos pilares ao longo da altura do edifcio

    3 - modelo variando o fck ao longo da altura do edifcio

    4 - modelo com o pavimento trreo com p-direito duplo

  • O edifcio convencional apresenta sees de pilares e fck iguais do trreo at a

    cobertura, tem mais de 4 pavimento e p-direito iguais.

    Um trecho da literatura sobre o assunto:

    "O coeficiente gama z vlido para estruturas reticuladas de no mnimo quatro

    andares. Em que se comenta que, abaixo de quatro andares, ainda no se sabe

    qual o coeficiente redutor da rigidez de pilares que deve ser utilizado para a

    considerao da no-linearidade fsica de forma aproximada.

    Outro motivo que o clculo do gama z pressupe estruturas com pavimentos

    tipos idnticos e regularidade dos elementos estruturais de um piso ao outro,

    regularidade essa que menos comum em edifcios com at quatro pavimentos."

    Portanto a dvida : valido utilizar o coeficiente gama z para as variaes sugeridas

    no modelo?

    Att.

    Ivo Carrijo

  • Identidade principal

    De: "Nelson Covas" Para: Enviada em: quarta-feira, 17 de outubro de 2007 10:07Assunto: [comunidadeTQS] GamaZ

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    24/01/2008

    Prezado Edward e Colegas Em primeiro lugar, desculpe-me pela demora na resposta. Estvamos executando alguns exemplos para elucidar sua questo mas estamos com dificuldades para terminar o trabalho devido a compromissos j assumidos. A sua questo muito oportuna e vou tecer abaixo algumas consideraes sobre o Gamaz. O Gamaz, coeficiente para medir a importncia dos esforos de segunda ordem global , simplesmente, genial. Alm de medir esta importncia, ele tambm um parmetro amplificador para a obteno dos esforos finais na estrutura, considerando a primeira e segunda ordem. Teoricamente as dedues do Gamaz foram realizadas para edifcios regulares, mesmo pavimento tipo, mesmo p-direito, mesma inrcia dos pilares, mesmas dimenses de vigas e mesmas condies de engastamento. Na prtica, na realizada usual de projetos, quase nenhuma das condies acima encontrada. Entretanto, diversos trabalhos acadmicos que fizeram comparaes para estimar os efeitos de segunda ordem entre o Gamaz e o PDelta chegaram a excelentes resultados globais para o Gamaz. Muitas polmicas j foram criadas sobre o Gamaz. Algumas delas: - Os deslocamentos devido a cargas