ΘΘΕΕΜΜΑΑ 33οο

(α) Στο παιχνίδι “τρίλιζα” ο παίκτης Ι τοποθετεί ένα πετραδάκι σε ένα πλέγμα από 9

σημεία , κατόπιν ο ΙI τοποθετεί ένα πετραδάκι, κ.ο.κ. Κερδίζει όποιος

πετύχει πρώτος να τοποθετήσει τρία πετραδάκια σε ευθεία, κάθετη ή διαγώνια

γραμμή. Ο Ι κάνει την πρώτη κίνηση, αλλά επείγοντες λόγο τον αναγκάζουν να δώσει

οδηγίες σε έναν αντικαταστάτη του για τις δύο επόμενες κινήσεις, πριν να δει την

κίνηση του ΙI (θα επιστρέψει αφού ο ΙI κάνει και την Τρίτη του κίνηση).

Μοντελοποιήστε το πρόβλημα επιλογής των οδηγιών που θα δώσει ο Ι στον

αντικαταστάτη του σαν παιχνίδι: Δείξτε ότι η οδηγία μπορεί να παρασταθεί σαν μία

διατεταγμένη n–άδα. Ποιος ο αριθμός n; Πόσες οδηγίες διαθέτει ο Ι; (γίνονται δεκτοί

αριθμοί με μορφή γινομένων, αθροισμάτων, δυνάμεων κ.τ.λ.).

(β) Δύο παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι: “Ο ΙI τοποθετεί ένα αντικείμενο σε μία από τις

n–θέσεις έτσι, ώστε το αντικείμενο της j–θέσης αξίζει . Ο παίκτης Ι μία από τις

n–θέσεις και αν μεν η θέση αυτή είναι κενή τότε παίρνει 0, ενώ αν έχει αντικείμενο

τότε παίρνει την αξία του”. Βρέστε την τιμή και τις βέλτιστες στρατηγικές του

παιχνιδιού αυτού (

jα

υπόδειξη: εξετάστε αν υπάρχουν εξισωτικές στρατηγικές).

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

(α) Ο Ι πρέπει να δώσει οδηγίες για

όλα τα σύνολα πληροφόρησης που

βρίσκονται στα επίπεδα Α και Β.

Δεδομένου ότι το παιχνίδι είναι

τέλειας πληροφόρησης έχουμε 8

σύνολα πληροφόρησης στο επίπεδο

Α (όσα και οι κορυφές) και

σύνολα πληροφόρησης στο επίπεδο

Β (όσα και οι κορυφές). Βέβαια

μπορούν να γίνουν απλοποιήσεις

λόγω συμμετρίας του παιχνιδιού.

Πάντως .

8 7 6⋅ ⋅

n 8 8 7 6= + ⋅ ⋅

ΙΙ

ΙΙ

8 κινήσεις

Όσον αφορά τώρα τον αριθμό των στρατηγικών, αυτές είναι (από τόσες

στρατηγικές θα επιλέξει ο Ι τη στρατηγική του).

8 8 7 67 5 ⋅ ⋅⋅

7 κινήσεις

6 κινήσεις

5 κινήσεις

Ι Ι Ι

Ι Ι Ι

Επίπεδο Β

Επίπεδο Α

ΙΙ ΙΙ

ΙΙ ΙΙ ΙΙ

(β) Ο πίνακας του παιχνιδιού είναι:

1

1

n 1

n

αα

Aα

α−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

O

O

δηλαδή διαγώνιος.

Εξετάζουμε αν υπάρχουν εξισωτικές στρατηγικές για τον Ι. Αν ( )1 2 nx x , x , , x= …

μια τέτοια θα πρέπει να ισχύει 1 1 2 2 n nx α x α x α= = , επομένως: =

1 1

12 1

2

223 2

3

x xαx xα

ααx x

α

=

=

= = 1

3 2

αα α

11 1

3

1n 1

n

αx x

α

αx xα

=

=

Άρα n

1 1 1i 1

i 1 2 3 n 1

α α α 11 x 1 x xα α α α S=

⎛ ⎞= = + + + + ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ 1 , όπου

n

i 1 i

1Sα=

= ∑

Δεδομένου ότι S το 0> ( )1x 0,1∈ και επομένως γίνεται δεκτό. Επίσης

11j 1

j

ααx xα

= =j 1

1α α

(j

1 0,1α SS

= ∈ ) για κάθε j 2,3, , n= … .

Ομοίως και οι στρατηγικές του ΙI.

Άρα η τιμή του παιχνιδιού είναι 1 11υ x αS

= = .

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 44οο

(α) Έστω πίνακας m nA ×∈ και ας υποθέσουμε ότι τα σημεία και είναι

σαγματικά σημεία, με και

0 0i jα1 1i jα

0i i≠ 1 1j0j ≠ . Να δείξετε ότι:

i) , 0 0 1 1i j i jα α=

ii) τα σημεία και είναι επίσης σαγματικά. 0 1i jα

1 0i jα

(β) Δύο παίκτες παίζουν χαρτιά. Ο Ι έχει 3 χαρτιά (έναν άσσο Α και δύο ρηγάδες Κ).

Ξεσκαρτάρει ένα από τα 3 και στη συνέχεια ανακοινώνει στον ΙI είτε “Δύο Ρηγάδες”

είτε “Άσσος–Ρήγας” (ο “Άσσος–Ρήγας” είναι καλύτερο χέρι απ’ τους “Δύο Ρηγάδες”).

Ο ΙI μπορεί είτε να πάει “πάσο” είτε να πει “τα βλέπω”. Οι πληρωμές καθορίζονται

ως εξής:

• Αν ο Ι ανακοινώσει την αλήθεια και ο ΙI πάει πάσο, τότε ο Ι θα κερδίσει 1

μονάδα ωφελείας από τον ΙI .

• Αν ο Ι ανακοινώσει καλύτερο χαρτί από την αλήθεια και ο ΙI πάει πάσο, τότε

ο Ι θα κερδίσει 2 μονάδες ωφελείας από τον ΙI .

• Αν ο Ι ανακοινώσει χειρότερο χαρτί από την αλήθεια και ο ΙI πάει πάσο, τότε

ο ΙI θα κερδίσει 2 μονάδες ωφελείας από τον Ι .

• Αν ο Ι ανακοινώσει καλύτερο χαρτί από την αλήθεια και ο ΙI πάει πάσο, τότε

ο Ι θα κερδίσει 2 μονάδες ωφελείας από τον ΙI .

• Τέλος αν ο ΙI πει “τα βλέπω” τότε οι παραπάνω πληρωμές διπλασιάζονται και

αντιστρέφονται, δηλαδή αυτός που κέρδιζε πριν τώρα χάνει.

Να δώσετε τον πίνακα αυτού του παιχνιδιού, να βρείτε την τιμή του και τις βέλτιστες

στρατηγικές των 2 παικτών.

ΛΛΥΥΣΣΗΗ:: (α) Αφού είναι σαγματικό σημείο θα ισχύει:

0 0i jα0j 1j

0i 1i 1 0 0 0 0 1i j i j i jα α α≤ ≤ (1)

Ομοίως είναι σαγματικό σημείο επομένως: 1 1i jα

0 1 1 1 1 0i j i j i jα α α≤ ≤ (2)

Από τις (1) και (2) έπεται 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0i j i j i j i j i jα α α α α≤ ≤ ≤ ≤ το πρώτο μέλος και το

τελευταίο είναι ίσα, άρα που είναι και η τιμή υ. 0 0 1 1i j i jα α=

Από την πιο πάνω πολλαπλή ισότητα, τελικά, έχουμε ότι 1 0 0 1i j i jυ α α= = και είναι

ελάχιστα γραμμής–μέγιστα στήλης, επομένως σαγματικά σημεία.

(β) Ο Ι έχει 4 στρατηγικές: ( ) ( ) ( ) ( )KK, AK , KK, KK , AK, AK , AK, KK όπου η πρώτη

θέση δηλώνει το χέρι που κρατά μετά το ξεσκαρτάρισμα και η δεύτερη θέση δηλώνει

το χέρι που ανακοινώνει στον IΙ ότι έχει. Δεδομένου ότι ο ΙI δεν γνωρίζει παρά μόνο

τη δήλωση

Άρα ο πίνακας είναι:

που κάνει ο Ι, ο ΙI έχει τέσσερις στρατηγικές. Σχηματικά:

ΙI I

τ β π

(ΑK, KΚ)

–2 –2 4 1 –4 1 –2 2

Ι

ΙI ΙI

(ΚK, ΚK)(AΚ, ΑK)(ΚK, ΑK)

τ β π τ β π τ β π

( )π,π ( )π, τβ ( )τβ,π ( )τβ, τβ

( )KK, AK 2 2 –4 –4 ( )AK, AK 1 1 –2 –2 ( )KK, KK 1 –2 1 –2 ( )AK, KK –2 4 –2 4

→ Πρώτα απλοποιεί ο ΙI (η 2η κυριαρχείται από τη 4η στήλη και η 1η από την 3η)

→ Μετά απλοποιεί (η 1η και η 2η γραμμή κυριαρχούνται από την 3η γραμμή)

Οπότε μένει ο1

1

x

y

1 2A

2 4−

−

− ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

,

ο Ιy

x ⎛ με: από τον οποίο έχου

( ) ( ) ( ) 2x 2 1 x 2x 4 x 3x 1 x x 23

− − = − + − = − = = 1 6 3⇒ x⇒⇒

( ) ( ) 23

y 2 1 y 2y 4 y y− − = − + − ⇒ =

Άρα

1 y

( )2 2υ 2 1 03 3= − − = και ( )* 2 1x 0,0, ,3 3= , ( )* 2 1y 0,0, ,3 3= .

Με λόγια: ο Ι λέει πάντα στον ΙI ότι έχει δύο ρηγάδες και ξεσκαρτάρει “Άσσο” με

πιθανότητα 2 και ιθανότητα 3 ήγα” με π “Ρ 1 , ενώ ο ΙI α3 ν ακούσει “Άσσο–Ρήγα” λέει

πάντα “τα βλέπω” και αν ακούσει “Δύο Ρηγάδες” με πιθανότητα 2 πάει “πάσο” και

πιθανότητα

3

1 λέει “τα βλέπω”. 3

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 11οο

Δύο παίκτες προτάσσουν 1 ή 2 δάκτυλα ταυτόχρονα. Μετά την επιλογή τους, ένας

τυχαίος μηχανισμός αποφασίζει τον τρόπο επιλογής του νικητή. Με πιθανότητα p

“κερδίζει ο Ι εάν το άθροισμα είναι άρτιο και ο ΙI εάν το άθροισμα είναι περιττό” και

με πιθανότητα 1 p− “κερδίζει ο ΙI εάν το άθροισμα είναι άρτιο και ο Ι εάν το

άθροισμα είναι περιττό”. Ο νικητής παίρνει μία χρηματική μονάδα από τον χαμένο.

Να δώσετε το δέντρο του παιχνιδιού, τον πίνακα πληρωμών των παικτών, την τιμή

του παιχνιδιού και τις βέλτιστες στρατηγικές των παικτών για κάθε [ ]p 0,1∈ .

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

2 1 2 1

2 1

–1 1

IΙ ΙI

Βρίσκουμε τις μέσες αμοιβές των παικτών μετά τις επιλογές τους (πριν την απόφαση

της φύσης για τον τρόπο πληρωμής). Και έχουμε το παιχνίδι: y 1 y

x

1 x−

1 21 2p 1 1 2p2 1 2p 2p 1

−

− −− −

I \ II

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x 2p 1 1 x 1 2p x 1 2p 1 x 2p 1 2x 1 2p 1 2x 1 1 2p− + − − = − + − − ⇔ − − = − −

Άρα:

• αν 1p2

= κάθε [ ]x 0,1∈ είναι βέλτιστο (ομοίως κάθε [ ]y 0,1∈ βέλτιστο)

με τιμή ( ) ( )( ) ( )1 1υ x 2 1 1 x 1 2 x 0 1 x 0 02 2= − + − − = ⋅ + − ⋅ = .

• αν 1p2

≠ τότε 12x 1 0 x2

− = ⇔ = είναι βέλτιστο (ομοίως 1y2

= βέλτιστο)

με τιμή ( ) ( )1 1υ 2p 1 1 2p 02 2= − + − = .

−1 pp

Ι

−1 pp−1 pp−1 p p

1 –1 –1 1

1 – 2p 1 – 2p 2p –1 2p –1

1 –1

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 22οο ((ππααιιχχννίίδδιι CChhiicckkeenn))

Δύο παίκτες τοποθετούν τα αυτοκίνητά τους το ένα απέναντι στο άλλο (σε κάποια

απόσταση) και στη συνέχεια επιταχύνουν. Επομένως η σύγκρουση είναι αναπόφευκτη

εκτός και αν κάποιος υποχωρήσει (Chickens out). Οι πληρωμές σε αυτό το παιχνίδι 2

παικτών μη 0–αθροίσματος καθορίζονται ως εξής:

• Αν και οι δύο υποχωρήσουν, ο καθένας παίρνει 1.

• Αν υποχωρήσει μόνο ο ένας, τότε αυτός με τα “σιδερένια νεύρα” παίρνει 2,

ενώ αυτός που υποχώρησε παίρνει –1.

• Αν και οι δύο αποδειχθούν με “σιδερένια νεύρα”, τότε και οι δύο

καταστρέφονται (πληρωμή –2 για τον καθένα).

Να βρείτε όλα τα Σ.Σ.Ι.

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

)

Ορίζουμε τους συμβολισμούς: “Υ = υποχωρώ”, “ΔY = δεν υποχωρώ”.

Ο πίνακας του παιχνιδιού είναι:

( ) ( )( ) (

y 1 y

Y ΔY1,1 1,2Y

2, 1 2, 2ΔY

−

−x

1 x− − − −

I \ II

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )IIH x, y xy 2x 1 y 1 x y 2 1 x 1 y 1 2x y 4x 2= + − − − − − − = − + −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )IH x, y xy x 1 y 2 1 x y 2 1 x 1 y 1 2y x 4y 2= − − + − − − − = − + −

( )II

11 αν x 21BR x [0,1] αν x 211 αν x 2

⎧ <⎪⎪= =⎨⎪

>⎪⎩

y

x

1

1

12

( )I

11 αν y 21BR y [0,1] αν y 210 αν y 2

⎧ <⎪⎪= =⎨⎪

>⎪⎩

Άρα Σ.Σ.Ι. είναι τα:

( )x 1,0= , (y 0,1= ) με πληρωμή ( )1, 2− ,

( )1 12 2x ,= , ( 1 1

2 2y ,= ) με πληρωμή ( )0,0 ,

( )x 0,1= , (y 1,0= ) με πληρωμή ( )2, 1− .

12

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 33οο

Σε μία χώρα που βρίσκεται σε ρευστές σχέσεις με τους γείτονές της, μία εταιρία

παροχής επενδυτικών συμβουλών αξιολογεί, όπως στον πίνακα που ακολουθεί, τις

αναμενόμενες αποδόσεις τριών βασικών επενδύσεων (ομόλογα, χρυσός, μετοχές)

κάτω από τρία διαφορετικά περιβάλλοντα (πόλεμος, ένταση, επίλυση προβλημάτων).

Πως πρέπει να μοιράσετε το κεφάλαιό σας ανάμεσα στις τρεις διαφορετικές

επενδύσεις, εάν αποφασίσετε να ακολουθήσετε να ακολουθήσετε τις συμβουλές της

εταιρίας και επιθυμείτε να εξασφαλίσετε την καλύτερη δυνατή απόδοση απέναντι

στις χειρότερες δυνατές συνθήκες; Ποια είναι η απόδοση αυτή;

Πόλεμος Ένταση Επίλυση προβλημάτων

Ομόλογα 0 2 3 Χρυσός 10 0 –1 Μετοχές –2 1 5

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

Δεν γίνονται απλοποιήσεις και u 0= , u 2= .

Παρατηρούμε ότι η ( )1 12 2x , ,= 0 δίνει σαν πληρωμή 5 αν “πόλεμος”, 1 αν

“ένταση”, 1 αν “επίλυση προβλημάτων”. Επομένως ο παίκτης Ι διαθέτει στρατηγική

που του εξασφαλίζει πληρωμή τουλάχιστον 1 και άρα . Δηλαδή για την επίλυση

μέσω Simplex

v 1≥

δεν χρειάζεται να προσθέσουμε κάποια σταθερά.

Ο πιλότος επιλέγεται με κριτήριο οι

πράξεις στο επόμενο βήμα να είναι

όσο το δυνατόν ευκολότερες γίνεται.

Παρατηρήστε ότι η μένει σε

επίπεδο 0 ως μη βασική μεταβλητή

στην βέλτιστη λύση.

3y′

1y′ 2y′ 3y′ 4y′ 5y′ 6y′

4y′ 0 2 3 1 0 0 1 5y′ 10 0 –1 0 1 0 1

6y′ –2 1 5 0 0 1 1 –1 –1 –1 0 0 0 0 4y′ 0 2 3 1 0 0 1

1y′ 1 0 110− 0 1

10 0 110

6y′ 0 1 4810 0 2

10 1 1210

0 –1 1110− 0 1

10 0 110

2y′ 0 1 32 1

2 0 0 12

1y′ 1 0 110− 0 1

10 0 110

6y′ 0 0 3310 1

2− 210 1 7

10

0 0 410 1

2 110 0 6

10

Συμπεραίνουμε ότι 10υ 1,6666

= = …, ( ) ( ) ( )*1 2 3

10 51 1 1y υ y , y , y , ,0 , ,06 10 2 6 6′ ′ ′= ⋅ = =

επίσης ( ) ( )* 10 51 1 1x , ,0 ,6 2 10 6 6= = ,0 .

Δηλαδή η λύση είναι να τοποθετήσετε τα 56

του κεφαλαίου σας σε ομόλογα και το

16

σε χρυσό (καθόλου μετοχές) με αναμενόμενη απόδοση, κάτω από τις χειρότερες

δυνατές συνθήκες (που αυτές είναι πόλεμος με πιθανότητα 16

και ένταση με

πιθανότητα 56

) ίση με ( )10 . 1,6666

= …

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 11οο ((ππααιιχχννίίδδιι κκααττάάκκττηησσηηςς ττηηςς ΑΑγγοορράάςς))

Δύο εταιρίες που παράγουν ένα όμοιο προϊόν σκοπεύουν να οργανώσουν

διαφημιστική καμπάνια για την ερχόμενη περίοδο των εορτών. Διαθέτουν δύο

επιλογές: Ή “να το διαφημίσουν στην πρωινή τηλεοπτική ζώνη” ή “να το

διαφημίσουν στην βραδινή τηλεοπτική ζώνη”. Αν μία εταιρία είναι μόνη της στη

συγκεκριμένη τηλεοπτική ζώνη που επέλεξε, τότε κερδίζει τις μονάδες ωφελείας της

τηλεοπτικής ζώνης, οι οποίες είναι π για την πρωινή και β για τη βραδινή ζώνη

. Αν οι εταιρίες συμπέσουν τότε η πληρωμή και των δύο είναι 0. Σας

ζητείτε:

( )0 π β< <

(α) να βρείτε όλα τα Σ.Σ.Ι.,

(β) να δείξετε ότι από τα Σ.Σ.Ι. που βρήκατε, το λιγότερο επιθυμητό είναι αυτό που

δίνεται σε γνήσια μικτές στρατηγικές,

(γ) υποθέστε ότι στο παιχνίδι μπαίνει και τρίτη εταιρία και ότι οι κανόνες του

παιχνιδιού δεν αλλάζουν (μία εταιρία κερδίζει τις μονάδες ωφελείας μιας ζώνης

μόνο αν διαφημίσει μόνη της, διαφορετικά η πληρωμή της είναι 0). Εξετάστε αν

οι στρατηγικές ( )1 1x ,2 2= , ( )1 1y ,2 2= , ( )1 1z ,2 2= των παικτών είναι σε

κατάσταση στρατηγικής ισορροπίας τότε.

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

))

(α) Έχουμε τον πίνακα

( ) (( ) (

y 1 y

x

1 x−

π β0,0 π,βπβ,π 0,0β

−

I \ II

επομένως

( ) ( ) ( ) ( )IH x, y πx 1 y β 1 x y π π β y x βy= − + − = − + +⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )IIH x, y βx 1 y π 1 x y π π β x y βx= − + − = − + +⎡ ⎤⎣ ⎦

οπότε

( )I

πx 1 αν y π βπBR y x any αν y π βπx 0 αν y π β

⎧ = <⎪ +⎪= = =⎨ +⎪

= >⎪ +⎩

και ( )II

πy 1 αν x π βπBR x y any αν x π βπy 0 αν x π β

⎧ = <⎪ +⎪= = =⎨ +⎪

= >⎪ +⎩

(σημειώνουμε ότι π 1 π β2π β < ⇔ <+ αληθές)

y

x

1

1

ππ β+

επομένως έχουμε τρία Σ.Σ.Ι., τα

i) ( )*x 0,1= , ( )*y 1,0=

ii) ( )* βπx ,π β π β= + + , ( )* βπy ,π β π β= + +

iii) ( )*x 1,0= , ( )*y 0,1=

(β) Σε μικτές στρατηγικές (στο (ii)) οι πληρωμές των δύο παικτών είναι:

Για τον Ι: ( )( ) ( )( ) ( )πβ π ββ βπ πβ ππ β π β π β π β+

+ =+ + + + ( ) 2π β+πβπ β= +

Για τον IΙ: ( )( ) ( )( )β βπ ππ βπ β π β π β π β π β+ =+ + + + +πβ

Στο χειρότερο Σ.Σ.Ι. (σε καθαρές στρατηγικές) για τον Ι (ομοίως για τον ΙI), η

πληρωμή του είναι π και 2π π πβπ β> ⇔ ++πβ πβ> 2π 0⇔ > αληθές. Επομένως

το λιγότερο επιθυμητό Σ.Σ.Ι. είναι αυτό το οποίο δίνεται σε γνήσια μικτές

στρατηγικές.

ππ β +

(γ) Αν μπει και τρίτος παίκτης, το παιχνίδι σε κανονική μορφή είναι το:

Έστω ότι οι ΙI, IΙI παίζουν ( )1 1y ,2 2= , ( )1 1z ,2 2= αντίστοιχα. Τότε ο Ι παίζει

1π π41β β4

→

→. Οπότε:

Η (1 1x ,2 2= ) θα του εξασφαλίσει 1 1 1 1 π βπ β2 4 2 4 8

+⋅ + ⋅ = . Αντίθετα η ( )x 0,1=

θα του εξασφαλίσει 1 β4

. Προφανώς 1 β πβ 2β β π β π4 8

+> ⇔ > + ⇔ > (αληθές).

Άρα η ( )1 1x ,2 2= , ( )1 1y ,2 2= , ( )1 1z ,2 2= δεν είναι Σ.Σ.Ι.

( ) ( )( ) ( )

1 12 2π β

π 0,0,0 0,0,β0,β,0 π,0,0β

•

II \ III 1

212

( ) ( )( ) ( )

1 12 2π β

π β,0,0 0,π,00,0,π 0,0,0β

•

II \ III

Ι

β π

1212

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 22οο ((ππααιιχχννίίδδιι ΕΕππιιθθεεώώρρηησσηηςς))

)

Ένας “επιθεωρητής” (παίκτης Ι) φυλάει ένα πέρασμα από το οποίο γνωρίζει ότι ένας

λαθρέμπορος θα επιχειρήσει να περάσει κάποια από τις επόμενες n–περιόδους. Ο

επιθεωρητής μπορεί να επιθεωρήσει μία ακριβώς περίοδο από τις n. Αν τότε ο

λαθρέμπορος επιχειρήσει να περάσει τότε, συλλαμβάνεται (πληρωμή ). Αν ο

λαθρέμπορος επιχειρήσει να περάσει σε περίοδο κατά την οποία ο επιθεωρητής δεν

επιθεωρεί, τότε επιτυγχάνει (πληρωμή

( 1, 1+ −

( )1, 1− + ). Στην αρχή κάθε περιόδου, εφ’ όσον

κανείς από τους παίκτες μέχρι τότε δεν έχει επιχειρήσει, αποφασίζουν αν θα δράσουν,

ταυτόχρονα και ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον. Μετά τις κινήσεις τους και οι δύο

πληροφορούνται γι’ αυτές (π.χ. αν ο επιθεωρητής επιθεώρησε, αλλά ο λαθρέμπορος

δεν επιχείρησε να περάσει, τότε την αρχή της επόμενης περιόδου ο λαθρέμπορος

γνωρίζει ότι μπορεί να δράσει ατιμώρητος). Έστω t = {ο αριθμός περιόδων που

απομένουν μέχρι τη λήξη} και έστω το παιχνίδι κατά το οποίο κανείς δεν έχει

επιχειρήσει μέχρι τώρα και απομένουν t περίοδοι μέχρι τη λήξη. Εάν θεωρήσουμε

ότι ο λαθρέμπορος

tΓ

υποχρεώνεται να επιχειρήσει, τότε είναι προφανές ότι

. ( )0val Γ 1=

(α) Βρείτε την τιμή και τις βέλτιστες στρατηγικές του (δηλαδή εκτός από την

παρούσα περίοδο, απομένει 1 για τη λήξη),

1Γ

(β) Επαναλάβετε για το , 2Γ

(γ) Γενικεύστε με επαγωγή για να βρείτε την τιμή και τις βέλτιστες στρατηγικές των

παικτών για το με n (η επαγωγή να δειχθεί). [nΓ ∈ Υπόδειξη: Λύστε τα ,

κλπ για να καταλάβετε].

3Γ

4Γ

ΛΛΥΥΣΣΗΗ:: (α) : 1Γ

ε δε 1 1δε 1 1

−−

I \ II ε

άρα για ( )1 1υ : val Γ 0= = ( )(1) 1 1x ,2 2= , ( )(1) 1 1y ,2 2= .

(β) : 2Γ

1

ε δ1 1ε1 Γδε

−−

I \ II ε

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−

Δηλαδή οπότε x

1 x− ⎝ ⎠

y 1 y

2

1 1Γ

1 0

−

( )( )y 1 y y 1x y

31 x x x

− − = −⎧ ⎫⎪ ⎪⇒ = =⎨ ⎬− − + = −⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Άρα ( )2 21υ : val Γ3

= = − για ( )(2) 1 2x ,3 3= , ( )(2) 1 2y ,3 3= .

(γ) Έστω ότι ( )

( )n 1

1 n 1υ

n 1 1−

− −=

− + και ( )(n 1) 1 n 1x ,n n

− −= , ((n 1) 1 n 1y ,n n− −= ) . Τότε

x

1 x− ⎜⎝ ⎠

y 1 y

n

1 1Γ 2 n1 n

−

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟− ⎟−

και για την τιμή του παιχνιδιού έχουμε:

( ) ( )2 n 2 n 2 n1 x x x 1 x 3x x 1n n− −

− − + = − − − ⇒ + = + ⇒n−

( ) 13nx 2x nx n 2 n 2x n 1 2 xn 1

⇒ + − = + − ⇒ + = ⇒ =+

ομοίως 1yn 1

=+

.

Άρα n1 n 1υ (1) ( 1)

n 1 n 1 n 1n−

= + − =+ + +

για ( )(n) 1 nx ,n 1 n 1= + + , ( )(n) 1 ny ,n 1 n 1= + +

και η επαγωγή έχει ολοκληρωθεί (προφανώς για n 1, 2= ισχύει από τα δύο πρώτα

ερωτήματα).

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 33οο

Κάθε ένας από n παίκτες διαθέτει μία σκουπιδοσακούλα την οποία μπορεί να

πετάξει στην αυλή όποιου παίκτη επιθυμεί. Δώστε το παιχνίδι σε συμμαχική μορφή

(χαρακτηριστική συνάρτηση) και βρείτε τον πυρήνα του καθώς και την τιμή Shapley.

(υποθέτουμε ότι n ) 3≥

ΛΛΥΥΣΣΗΗ:: ( )υ 0∅ = , { }( )υ i n 1= − (όπου n : | N |= ) γενικά ( )υ S (n s)= − − όπου s :

για S και τέλος .

| S |=

,≠ ∅ N ( )υ N n= −

Παρατηρούμε ότι

( ) ( ) ( )υ S υ N S (n s) ( s) n υ N+ − = − − + − = − =

επομένως το παιχνίδι είναι σταθερού αθροίσματος.

Η υ είναι υπερπροσθετική:

Εάν τότε S T∩ = ∅

→ έστω S είτε T αυτή ισχύει τετριμμένα. = ∅ = ∅

→ έστω S, (και άρα S,T ≠ ∅ T N≠ λόγω της S T∩ = ∅ ) τότε:

• Αν S, είναι συμπληρωματικά (δηλαδή ) θα έχουμε: T S T N∪ =

N

υ S T n=

⎛ ⎞∪ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ και

( )( )

υ S n sυ T s

= − +⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬= −⎪ ⎪⎩ ⎭

και επομένως ( ) ( ) ( )υ S T n υ S υ T∪ = − = + .

• Αν S, όχι συμπληρωματικά (δηλαδή S TT N∪ ⊂≠ ) θα έχουμε:

( )υ S T n s t∪ = − + + και ( )( )υ S n sυ T n t

= − +⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬= − +⎪ ⎪⎩ ⎭

και επομένως ( ) ( ) (υ S T n s t 2n s t υ S υ T∪ = − + + > − + + = + ) .

Η περίπτωση αυτή δείχνει ότι το παιχνίδι είναι ουσιώδες.

Άρα ο πυρήνας του θα είναι κενός (από γνωστό θεώρημα).

Τέλος αφού όλοι οι παίκτες είναι συμμετρικοί η τιμή Shapley θα είναι

( )φ 1, 1, , 1= − − −… .

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 44οο

Δύο παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι 0–αθροίσματος “Ο ΙI επιλέγει έναν αριθμό από

τους { }1, 2,3, 4 και ο Ι προσπαθεί να τον μαντέψει”. Αν ο Ι τον βρει, τότε κερδίζει 1.

Αν ο Ι μαντέψει αριθμό μεγαλύτερο απ’ αυτόν που επέλεξε ο ΙI, τότε κερδίζει 12 .

Τέλος, αν ο Ι μαντέψει αριθμό μικρότερο απ’ αυτόν που επέλεξε ο ΙI, τότε η πληρωμή

του είναι 0. Βρείτε την τιμή και τις βέλτιστες στρατηγικές των παικτών στο παιχνίδι

αυτό.

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

Ο πίνακας του παιχνιδιού είναι:

2

3

4

x1x

x

x

1 2 3 41 1 0 0 02 1/ 2 1 0 03 1/ 2 1/ 2 1 04 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1

I \ II

Είναι τριγωνικό και επομένως θα έχει λύση μέσω εξισωτικών στρατηγικών

3 4 2 344 3 2 1

x x x x xxx x x x2 2 2

4+ + += + = + = +

άρα

43

34 4 4 42

34 2 4 4 41

xx2

xx x x xx2 2 2 4 4

xx x x x xx2 2 2 2 4 8 8

=

= − = − =

= − − = − − = 4x

Αλλά 4 4 41 2 3 4 4 4

x x x 1 8x x x x 1 x 1 x1 1 18 4 2 112 4 8

+ + + = ⇒ + + + = ⇒ = =+ + + 5

Δηλαδή ( )* 81 2 4x , , ,15 15 15 15= και 48υ x 15= = .

Φυσικά ομοίως βρίσκουμε ( )* 8 4 2 1x , , ,15 15 15 15= .

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 55οο

Θεωρήστε ένα απλό ουσιώδες παιχνίδι σε συμμαχική μορφή. Θα λέμε ότι ο παίκτης i

διαθέτει δικαίωμα veto αν ισχύει { }( )υ N i 0− = (δηλαδή οποιαδήποτε συμμαχία δεν

περιλαμβάνει τον i,χάνει). Να δείξετε ότι:

(α) εάν δεν υπάρχει παίκτης με δικαίωμα veto τότε ο πυρήνας είναι κενός

[Υπόδειξη: Αν ο i δεν είναι παίκτης με veto, τότε για x C∈ ποια η τιμή του ;] ix

(β) εάν υπάρχει παίκτης με δικαίωμα veto, τότε ο πυρήνας δεν είναι κενός.

(γ) χρησιμοποιώντας τα (α) και (β) χαρακτηρίστε τον πυρήνα εάν υπάρχουν παίκτες

με δικαίωμα veto.

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

Έστω I οποιοσδήποτε παίκτης χωρίς δικαίωμα veto. Τότε αν x C∈ θα ισχύει

{ }( )jj i

x υ N i≠

≥ −∑

Εφόσον το παιχνίδι είναι απλό έχουμε ότι { }( )υ N i 0− = ή 1 και λόγω ότι παίκτης i

δεν έχει δικαίωμα veto, δηλαδή { }( )υ N i 0− = , προκύπτει ότι { }( )υ N i− = 1

1

. Οπότε

j jj i j i

x 1 x≠ ≠

≥ ⇒ =∑ ∑

Αφού όμως n

jj 1

x=

1=∑ συμπεραίνουμε ότι ix 0= .

Δηλαδή οποιοσδήποτε παίκτης δεν έχει veto, έχει ix 0= για κάθε x C∈ .

(α) Αν κανένας παίκτης δεν έχει δικαίωμα veto, τότε, αν x C∈ θα είναι x 0=

(από τα παραπάνω), αλλά θα πρέπει n

1ii 1

x=

=∑ . Δηλαδή 0 1= ΑΤΟΠΟ. Άρα

. C = ∅

(β) Έστω ο i παίκτης έχει δικαίωμα veto. Τότε

{ }( ) { }( ) ( )10

ο i εχει veto

υ i υ N i υ N==

+ − ≤ (υπερπροσθετική)

Αρκεί επομένως να πάρω ( )ix

x 0, ,0, 1,0, ,0= … … και τότε x C∈ .

(γ) Άρα αρκεί να έχω j jj VP j VP

C x : x 1, x 0∈ ∉

⎧ ⎫= =⎨ ⎬⎩ ⎭

∑ ∑ = .

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 33οο

Δύο παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι 0–αθροίσματος: “Ο Ι διαλέγει ή 0 ή 1 και

ανακοινώνει την επιλογή του. Ο ΙI, αφού ασκήσει την επιλογή του ο Ι, διαλέγει ή 0 ή

1, αλλά κρατά την επιλογή του κρυφή. Τέλος, ο Ι επιλέγει ξανά ή 0 ή 1. Αν S

συμβολίζει το άθροισμα των επιλογών των παικτών, τότε ο ΙI θα πληρώσει στον Ι το

ποσό α αν { }S 0,3∈ , το ποσό β αν S 1= και το ποσό γ αν S ”. Δίνεται ότι

. Να βρείτε την τιμή και τις βέλτιστες στρατηγικές των παικτών στο

παιχνίδι αυτό. Για ποιες τιμές των παραμέτρων το παιχνίδι αυτό είναι τίμιο; (τίμιο

βεβαίως σημαίνει

2=

β γ α< <

υ 0= ).

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

α´ τρόπος:

1 0

1 0 1 0

1 0

γ γ α β β β γ α

IΙ ΙI

Ι Ι

Χωρίζουμε το παιχνίδι σε δύο παιχνίδια με βάση την πρώτη επιλογή του Ι, αυτά είναι

τα και όπως φαίνονται σχηματικά παραπάνω. 1Γ 2Γ

1Γ : Έχουμε τον εξής πίνακα:

x

1 x−

0 10 α β β

u β1 β γ β

α γu γ

⎫=⎬

⎭

=

I \ II

εφόσον u u≠ δεν έχουμε Σ.Σ.Ι. σε καθαρές στρατηγικές, γι’ αυτό λύση με μεικτές

στρατηγικές:

( ) ( ) ( ) γ βxα 1 x β xβ 1 x γ α 2β γ x γ β xα 2β γ

−+ − = + − ⇒ − + = − ⇒ =

− +

1 0 1 0 1 0

Ι

2Γ 1Γ

Άρα ( ) ( ) ( ) 2

1 1

γ β α α β β αγ βυ υ Γα 2β γ α 2β γ

− + − −= = =

− + − +.

2Γ : Έχουμε τον εξής πίνακα: 0 1β γ0 β

u γ1 γα

γ αu γ

⎫γ ⎬

⎭

=

I \ II

=

εφόσον u u γ= = έχουμε Σ.Σ.Ι. σε καθαρές στρατηγικές, συγκεκριμένα ( )*x 0,1= ,

(*y 1,0= ) και ( )2 2υ υ Γ γ= = .

Άρα ο Ι θα συγκρίνει τις τιμές 1 2υ ,υ και θα επιλέξει το αντίστοιχο υποπαιχνίδι το

οποίο του δίδει μεγαλύτερη τιμή. Θα δείξουμε ότι 1 2υ υ≤ .

2

1 2αγ βυ υ γ αγα 2β γ

−≤ ⇔ ≤ ⇔

− +2β αγ− ≤ ( )222βγ γ β γ 0− + ⇔ − ≥ ΑΛΗΘΕΣ

(και μάλιστα η ανισότητα είναι γνήσια αφού β γ≠ )

Άρα ο Ι στο πρώτο στάδιο επιλέγει 1 και στη συνέχεια ξανά 1, ενώ ο ΙI επιλέγει 0 και

το αποτέλεσμα είναι . υ γ=

Το παιχνίδι είναι τίμιο για . γ 0, α 0, β 0= > <

β´ τρόπος:

Εάν δεν το χωρίσουμε σε δύο υποπαιχνίδια, τότε έχουμε τον πίνακα:

00 01 10 11α α β β00 _ ββ β γ γ01_ β

u γβ γ β γ1_ 0 β1_1 γγ α α

α α γ αu γ

⎫⎪⎪

γ

⎬⎪⎪⎭

=

I \ II

=

Οπότε u u γ= = έχουμε Σ.Σ.Ι. κ.τ.λ. (ακριβώς όμοια συμπεράσματα).

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 44οο ((ππααιιχχννίίδδιι κκααττάάκκττηησσηηςς ττηηςς ΑΑγγοορράάςς))

Δύο εταιρίες που παράγουν ένα όμοιο προϊόν σκοπεύουν να οργανώσουν

διαφημιστική καμπάνια για την ερχόμενη περίοδο των εορτών. Διαθέτουν δύο

επιλογές: Ή “να το διαφημίσουν στην πρωινή τηλεοπτική ζώνη” ή “να το

διαφημίσουν στην βραδινή τηλεοπτική ζώνη”. Αν μία εταιρία είναι μόνη της στη

συγκεκριμένη τηλεοπτική ζώνη που επέλεξε, τότε κερδίζει τις μονάδες ωφελείας της

τηλεοπτικής ζώνης, οι οποίες είναι π για την πρωινή και β για τη βραδινή ζώνη

. Αν οι εταιρίες συμπέσουν τότε η πληρωμή και των δύο είναι 0. Σας

ζητείτε:

( )0 π β< <

(α) να βρείτε όλα τα Σ.Σ.Ι.,

(β) να δείξετε ότι από τα Σ.Σ.Ι. που βρήκατε, το λιγότερο επιθυμητό είναι αυτό που

δίνεται σε γνήσια μικτές στρατηγικές,

(γ) υποθέστε ότι στο παιχνίδι μπαίνει και τρίτη εταιρία και ότι οι κανόνες του

παιχνιδιού δεν αλλάζουν (μία εταιρία κερδίζει τις μονάδες ωφελείας μιας ζώνης

μόνο αν διαφημίσει μόνη της, διαφορετικά η πληρωμή της είναι 0). Εξετάστε αν

οι στρατηγικές ( )1 1x ,2 2= , ( )1 1y ,2 2= , ( )1 1z ,2 2= των παικτών είναι σε

κατάσταση στρατηγικής ισορροπίας τότε.

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

))

(α) Έχουμε τον πίνακα

( ) (( ) (

y 1 y

x

1 x−

π β0,0 π,βπβ,π 0,0β

−

I \ II

επομένως

( ) ( ) ( ) ( )IH x, y πx 1 y β 1 x y π π β y x βy= − + − = − + +⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )IIH x, y βx 1 y π 1 x y π π β x y βx= − + − = − + +⎡ ⎤⎣ ⎦

οπότε

( )I

πx 1 αν y π βπBR y x any αν y π βπx 0 αν y π β

⎧ = <⎪ +⎪= = =⎨ +⎪

= >⎪ +⎩

και ( )II

πy 1 αν x π βπBR x y any αν x π βπy 0 αν x π β

⎧ = <⎪ +⎪= = =⎨ +⎪

= >⎪ +⎩

(σημειώνουμε ότι π 1 π β2π β < ⇔ <+ αληθές)

y

x

1

1

ππ β+

επομένως έχουμε τρία Σ.Σ.Ι., τα

i) ( )*x 0,1= , ( )*y 1,0=

ii) ( )* βπx ,π β π β= + + , ( )* βπy ,π β π β= + +

iii) ( )*x 1,0= , ( )*y 0,1=

(β) Σε μικτές στρατηγικές (στο (ii)) οι πληρωμές των δύο παικτών είναι:

Για τον Ι: ( )( ) ( )( ) ( )πβ π ββ βπ πβ ππ β π β π β π β+

+ =+ + + + ( ) 2π β+πβπ β= +

Για τον IΙ: ( )( ) ( )( )β βπ ππ βπ β π β π β π β π β+ =+ + + + +πβ

Στο χειρότερο Σ.Σ.Ι. (σε καθαρές στρατηγικές) για τον Ι (ομοίως για τον ΙI), η

πληρωμή του είναι π και 2π π πβπ β> ⇔ ++πβ πβ> 2π 0⇔ > αληθές. Επομένως

ππ β +

το λιγότερο επιθυμητό Σ.Σ.Ι. είναι αυτό το οποίο δίνεται σε γνήσια μικτές

στρατηγικές.

(γ) Αν μπει και τρίτος παίκτης, το παιχνίδι σε κανονική μορφή είναι το:

Έστω ότι οι ΙI, IΙI παίζουν ( )1 1y ,2 2= , ( )1 1z ,2 2= αντίστοιχα. Τότε ο Ι παίζει

1π π41β β4

→

→. Οπότε:

Η (1 1x ,2 2= ) θα του εξασφαλίσει 1 1 1 1 π βπ β2 4 2 4 8

+⋅ + ⋅ = . Αντίθετα η ( )x 0,1=

θα του εξασφαλίσει 1 β4

. Προφανώς 1 β πβ 2β β π β π4 8

+> ⇔ > + ⇔ > (αληθές).

Άρα η ( )1 1x ,2 2= , ( )1 1y ,2 2= , ( )1 1z ,2 2= δεν είναι Σ.Σ.Ι.

( ) ( )( ) ( )

1 12 2π β

π 0,0,0 0,0,β0,β,0 π,0,0β

•

II \ III 1

212

( ) ( )( ) ( )

1 12 2π β

π β,0,0 0,π,00,0,π 0,0,0β

•

II \ III

Ι

β π

1212

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 11οο

Μετατρέψτε το παρακάτω παιχνίδι σε κανονική μορφή. Να βρείτε όλα τα Σ.Σ.Ι. του.

Στη συνέχεια να δώσετε τη συμμαχική του μορφή (χαρακτηριστική συνάρτηση) και

την τιμή Shapley για τους παίκτες.

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

( ) ( ) (31a vs c : 2,6 2, 2 2,34 4+ = )

( ) ( ) ( )3 101 2a vs d : 2,6 , 3,24 4 3 3+ =

( ) ( ) (31 )b vs c : 14,2 2,2 5,24 4+ =

( ) ( ) ( )3 101 2b vs d : 6, 2 , 1,14 4 3 3− + =

Δηλαδή έχουμε το διπινακοπαιχνίδι (δππ):

( ) (( ) (

))

y 1 y

x

1 x−

c d2,3 3,2a5,2 1,1b

−

I \ II

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

IH x, y 2xy 3x 1 y 5 1 x y 1 x 1 y

2 5y x 4y 1

= + − + − + − −

= − + +

=

( ) ( ) ( ) ( )( )IIH x, y 3xy 2x 1 y 2 1 x y 1 x 1 yy x 1

= + − + − + − −

= + +

=

οπότε

( )I

21 αν y 52BR y [0,1] αν y 520 αν y 5

⎧ <⎪⎪= =⎨⎪

>⎪⎩

και ( )IIBR x 1 x [0,1]= ∀ ∈

ΙI

b a

34 1

4

)2,6

Ι

(d c d c

( )10 2,3 3 ( )6, 2− ( )14, 2 ( )2, 2

Από τα πιο πάνω προκύπτει:

y

x

1

1

25

Οπότε μοναδικό Σ.Σ.Ι. στο ( )*x 0,1= , ( )*y 1,0= (δηλαδή ο Ι παίζει b και ο ΙI c)

με πληρωμές για τους δύο παίκτες ( )5, 2 .

Για να βρούμε τη χαρακτηριστική συνάρτηση:

( )2 3 13υ I val5 1 5⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

αφού

x

1 x− ⎝ ⎠

2 3 22

5 1 15 3

3

⎛ ⎞⎜ ⎟

( ) ( ) 42x 5 1 x 3x 1 x 4 5x x

54 1 13υ 2 55 5 5

+ − = + − ⇒ = ⇔ = ⇒

⇒ = + =

( ) 3 2υ II val 12 1

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ){ } { }ij iji, jυ I, II max a b max 5,7,5, 2 7= + = =

Τιμή Shapley:

1 213 221 25 5

2 1 5 238 325 538 32: 210 10

[ ] ( )3 1φ υ ,4 4= .

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 22οο

Πρόκειται να αναλάβετε πρόεδρος μιας επιτροπής η οποία έχει n–μέλη εκτός από

εσάς, σας δίνεται το δικαίωμα επιλογής του κανόνα λήψης απόφασης. Η επιλογή

είναι ανάμεσα στα:

(α) “Η ψήφος του προέδρου δεν μετρά ποτέ, παρά μόνον αν ισοψηφήσουν οι

υπόλοιποι (δηλαδή οι ψήφοι τους μοιράζονται), οπότε τότε ο πρόεδρος

αποφασίζει”.

(β) “Η ψήφος του προέδρου μετρά όπως και των υπολοίπων, αλλά σε περίπτωση

ισοψηφίας, τότε ο πρόεδρος αποφασίζει”.

Ποιον κανόνα θα επιλέξετε, αν επιθυμείτε να μεγιστοποιήσετε την ισχύ σας,

σύμφωνα με τον δείκτη Shapley;

Θεωρείστε ότι λευκά δεν επιτρέπονται στις ψηφοφορίες.

[Υπόδειξη: Εξετάστε τις περιπτώσεις n 2κ= και n 2κ 1= + χωριστά]

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

=⎣ ⎦ ⎣

i) , δηλαδή η επιτροπή έχει 2κ–μέλη + πρόεδρο. Έστω ότι ο πρόεδρος είναι ο παίκτης Ι. Τότε: n 2κ=

Επομένως 1 (α) 1 (β)φ υ φ υ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦

1 1n 1 2κ 1( )+ += = και δεν υπάρχει διαφορά.

ii) , τώρα η επιτροπή έχει (2κ + 1)–μέλη + πρόεδρο. n 2κ 1= +

→ κάτω από τον κανόνα (α) οι υπόλοιποι δεν ισοφαρίζουν ποτέ και άρα ο πρόεδρος

είναι “0–άχρηστος”. Επομένως 1 (α)φ υ 0⎡ ⎤ =⎣ ⎦

→ κάτω από τον κανόνα (β) ο πρόεδρος συμπίπτει με του υπόλοιπους ιδιοκτήτες,

αλλά επιπλέον σπάει και τις ισοψηφίες. Τώρα:

( ) { }( ) ( )( ) ( ) ( ){ }π π π πυ P 1 1 υ P 1 1 ειτε | P 1 | κ ειτε | P 1 | κ 1∪ − = ⇔ = = +

Άρα

( ) ( )

( )( )

1 (β)

2κ 1 2κ 11φ υ κ! κ 1 ! κ 1 !κ!κ κ 1(2κ 2)!

2 2κ 1 ! 1 1 .2κ 2 ! κ 1 n κ

⎡ + + ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ++ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

+= = =

+ + −

=

( ) { }( ) ( ( ))π πυ P 1 1 υ P 1 1∪ − =

κανόνας (β) κανόνας (α)

ισοδύναμο με ( )π| P 1 | κ= ισοδύναμο με ( )π| P 1 | κ =

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 33οο

Δύο παίκτες ξεκινούν ένα παιχνίδι από τον αριθμό n. Πρώτα ο ΙI επιλέγει { }b 1, 2∈

και κατόπιν ο Ι προσπαθεί να μαντέψει την επιλογή του IΙ. Αν ο Ι μαντέψει λάθος,

το παιχνίδι τελειώνει και ο ΙI πληρώνει 0 στον Ι. Αν ο Ι μαντέψει σωστά,

πηγαίνουν στον αριθμό , και το παιχνίδι αρχίζει από την αρχή. Έστω

, όπου το παραπάνω παιχνίδι (το οποίο είναι πεπερασμένο και

επομένως έχει τιμή).

n b−

( )nυ : val Γ= n nΓ

(α) Βρείτε το , θεωρώντας ότι ισχύουν οι εύλογες συνοριακές συνθήκες

, καθώς και τις βέλτιστες στρατηγικές των δύο παικτών.

2υ

0 1υ υ 1= =

(β) Γενικεύστε για (τιμή και βέλτιστες στρατηγικές). nυ

[Υπόδειξη: Στην έκφραση που θα δώσετε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον συμβολισμό

για την ακολουθία Fibonacci, όπου ορίζεται από τη σχέση , και

για , δηλαδή η είναι η ακολουθία

nF nF 0F 1= 1F = 1

2−n n 1 nF F F−= + n 2≥ nF { }1,1, 2,3,5,8,… ]

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

Γενικά το παιχνίδι είναι

n 1n

n 2

1 2Γ 01Γ :

0 Γ2−

−

I \ II και η τιμή του n 1

nn 2

υ 0υ val

0 υ−

−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Για n = 2: (ερώτημα (α)) 1

20

υ 0 1 0 1υ val val0 υ 0 1 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ με ( )* 1 1x ,2 2= , ( )* 1 1y ,2 2=

(εύκολα με εξισωτικές)

Για n = 3: 1

2 23

1

υ 0 0υ val val

0 υ 0 1⎛ ⎞⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

απ’ όπου έχουμε 1 2x 1 x x2 3= − ⇒ = , ομοίως

2y 3= . Άρα 321υ 3 32= = 1 με ( )* 2 1x ,3 3= , ( )* 2 1y ,3 3= .

Για n = 4: 2

3 34 1

2 2

0υ 0υ val val

00 υ⎛ ⎞⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

απ’ όπου έχουμε ( ) 31 1x 1 x x 53 2= − ⇒ = ,

ομοίως 3y 5= . Άρα 431υ 5 53= = 1 με ( )* 3 2x ,5 5= , ( )* 3 2y ,5 5= .

Υποψιαζόμαστε λοιπόν ότι θα ισχύει γενικά:

nn

1υF

= με * n 1 n 2

n n

F Fx ,F F− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, * n 1 n 2

n n

F Fy ,F F− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Άρα διατυπώνουμε την εξής επαγωγική υπόθεση:

Έστω ότι για ισχύει n 1,2, ,κ= … κκ

1υF

= με * * κ 1 κ 2

κ κ

F Fx y ,F F− −⎛= = ⎜

⎝ ⎠⎞⎟ (το έχουμε

δείξει για ), θα δείξουμε ότι κ 2,3,4= κ 1κ 1

υF+1

+

= με * * κ κ 1

κ 1 κ 1x y ,F F

−

+ +

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

F F .

Απόδειξη:

κκ 1

κ 1

κ

κ 1

1 0υ 0 Fυ val val 10 υ 0 F

+−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

χρησιμοποιώντας εξισωτικές στρατηγικές έχουμε:

( ) ( ) κ κ 1

κ κκ 1 κ 1 κ 1 κ κ 1

F F1 1 1 1 1x 1 x x xF F F F F F F−

− − − −

+= − ⇔ + = ⇔ ⋅ κ 1

1F −

= κ

κ 1

Fx F +⇔ =

ομοίως κ

κ 1

Fy F += .

Άρα κ 1κFυ + =κ 1 κ

1F F+ κ 1

1F +

= με ( )* κ κ κ κ 1

κ 1 κ 1 κ 1 κ 1

F F F Fx x,1 x ,1 ,F F F F−

+ + +

⎛ ⎞ ⎛= − = − =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ +

⎞⎟⎠

και

όμοια * κ κ 1

κ 1 κ 1y ,F F

−

+ +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

F F .

Και η επαγωγή αποδείχθηκε πλήρως.

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 44οο

Τρεις παίκτες επιθυμούν να συνδεθούν με το δίκτυο της ΔΕΗ πληρώνοντας τα

σχετικά έξοδα, αφού οι αγροικίες τους βρίσκονται μακριά από την ηλεκτροφόρα

γραμμή.

Τα έξοδα σύνδεσης είναι ανάλογα των αποστάσεων, οι οποίες δίνονται από το

παραπάνω σχήμα.

(α) Δώστε το παιχνίδι σε μορφή χαρακτηριστικής συνάρτησης.

(β) Βρείτε τον πυρήνα του παιχνιδιού και την τιμή Shapley για τους παίκτες.

Λ

← γραμμή ΔΕΗ

Α

Β

Γ 2

4

54

1

ΛΥΥΣΣΗΗ::

(α) ( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )

0 1 κανονικη μορφη

υ 0 υ 0

υ A 2 υ A 0

υ B 5 υ B 0

υ Γ 1 υ Γ 0

υ AB 6 υ AB 6 7 1

υ BΓ 5 υ BΓ 5 6 1

υ AΓ 3 υ AΓ 3 3 0

υ ABΓ 7 υ ABΓ 7 8 1

−

′∅ = ∅ =

′= − =

′= − =

′= − =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

′= − = − + =

′= − = − + =

′= − = − + =

′= − = − + =

(β) πυρήνας:

Ο πυρήνας (κανονική μορφή) είναι το μονοσύνολο ( ){ }0,1,0 . Επομένως στην αρχική

του παιχνιδιού ο πυρήνας θα είναι το μονοσύνολο

( ){ } ( ){ }0 2,1 5,0 1 2, 4, 1− − − = − − − .

( )1,0,0

( )0,0,1 ( )0,1,0

1 2x x 1+ ≥

2 3x x 1+ ≥

1 3x x 0≥ +

1

2

1

x 2x 5x 1

≥ −≥ −≥ −

( )1 2

2 3 1 2 3 1 2 3

1 3

x x 6x x 5 2 x x x 14 x x xx x 3

+ ≥ − ⎫⎪+ ≥ − ⇒ + + ≥ − ⇒ + + ≥ −⎬⎪+ ≥ − ⎭

7

7

όμως άρα όλες οι ανισότητες θα είναι ισχύουν ως ισότητες.

Δηλαδή:

1 2 3x x x+ + = −

1 21

2 32

1 33

1 2 3

x x 6x 2

x x 5x 4

x x 3x 1

x x x 7

+ = − ⎫= −⎧⎪+ = − ⎪ ⎪⇒ = −⎬ ⎨+ = − ⎪ ⎪ = −⎩⎪+ + = − ⎭

.

Τιμή Shapley: (για το κανονικοποιημένο παιχνίδι)

Α Β Γ

ΑΒΓ 0 1 0

AΓB 0 1 0

ΒAΓ 1 0 0

BΓA 0 0 1

ΓAΒ 0 1 0

ΓBΑ 0 1 0

1 4 1

: 6 16

46

16

δηλαδή [ ] ( )1 2 1φ υ , ,6 3 6= .

Επομένως στην αρχική του μορφή η τιμή Shapley θα είναι:

( ) ( )13 51 2 1 112, 5, 1 , ,6 3 6 6 3 6− − − = − − .

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 11οο

Έστω 13

α μ δπ 1 1 3Γ :κ 7 1−

I \ II

5 και 23

α μ δπ 3 1 2Γ :κ 4 3 0

II \ III πινακοπαιχνίδια μεταξύ

των παικτών Ι vs IΙ (το ) και ΙI vs IΙI (το ). Έστω Γ το παιχνίδι τριών

παικτών κατά το οποίο μία αρχική κίνηση τύχης επιλέγει ποιο από τα δύο παραπάνω

ππ θα παιχθεί, και συγκεκριμένα, στο Γ με πιθανότητα

12Γ 23Γ

13 επιλέγεται να παιχθεί το

(και τότε η πληρωμή του παίκτη ΙIΙ είναι 0) και με πιθανότητα 12Γ 23 επιλέγεται να

παιχθεί το (πληρωμή του παίκτη Ι είναι 0). Οι τρεις παίκτες πληροφορούνται την

επιλογή της φύσης για το ποιο παιχνίδι θα παιχθεί.

23Γ

(α) Να δώστε την εκτεταμένη μορφή του Γ.

(β) Να βρείτε τις τιμές (και τις βέλτιστες στρατηγικές των παικτών) στα και . 12Γ 23Γ

(γ) Βρείτε ένα Σ.Σ.Ι. στο Γ (βγαίνει εύκολα με χρήση του (β)).

(δ) Δώστε το Γ σε συμμαχική μορφή (τώρα οι παίκτες συμμαχίας μπορούν να

συνεργάζονται μέσω συσχετισμένων στρατηγικών).

(ε) Μετατρέψτε τη χαρακτηριστική συνάρτηση του (δ) σε 0–1 κανονική μορφή.

Είναι ο πυρήνας του παιχνιδιού αυτού κενός; (δικαιολογήστε την απάντησή σας).

(στ) Δώστε την τιμή Shapley του παιχνιδιού.

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

(0, 4, 4)− (0,3, 3)− (0,0,0)

(α)

κ π

23 1

3

ΙI Ι

ΙIΙ ΙI

(0,3, 3)− (0,1, 1)− (0, 2, 2)−(7, 7,0)− ( 1,1,0)− (5, 5,0)−(1, 1,0)− (1, 1,0)− (3, 3,0)−

κ π

α μ δ α μ δ α μ δ α μ δ

(β) Για το παιχνίδι μεταξύ των Ι και ΙI έχουμε: 12Γ

11 3 117 1 5

7 1 51

1⎛ ⎞⎜ ⎟

−−⎝ ⎠

Επομένως υ 1= με (*x 1,0= ) (στρατηγική του Ι), ( )*y 0,1,0= (στρατηγική του ΙI)

Για το παιχνίδι μεταξύ των ΙI και IΙI έχουμε: 23Γ

z 1 z

y

1 y− ⎝ ⎠

3 1 2 11

4 3 0 04 3 2

2

−

⎛ ⎞⎜ ⎟

( ) 3y 3 1 y 2y 3 4y y4

+ − = ⇒ = ⇒ =

( ) 1z 2 1 z 3z 2 4z z2

+ − = ⇒ = ⇒ =

Επομένως 3 3υ 24 2

= = με ( )* 3 1y ,4 4= (στρατ. του ΙI), ( )* 1 1z 0, ,2 2= (στρατ. του ΙIΙ)

(γ) { }IS π,κ=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }IIS π,α , π,μ , π,δ , κ,α , κ,μ , κ,δ=

{ }IIIS α,μ,δ=

Εφόσον οι παίκτες γνωρίζουν το αποτέλεσμα του πειράματος τύχης, θα τυχαιο-

ποιήσουν ως εξής:

→ ο Ι, αν χρειαστεί να κινηθεί θα παίξει “π”.

→ ο ΙI, αν επιλεγεί το θα παίξει “μ” και αν επιλεγεί το θα παίξει “π” με

πιθ.

12Γ 23Γ

34 και “κ” με πιθ. 1

4 .

→ ο ΙIΙ, αν επιλεγεί το θα παίξει “μ” με πιθ. 23Γ 12 και “δ” με πιθ. 1

2 .

(δ) ( )υ 0∅ =

{ }( ) ( )12

1

1 2υ 1 v Γ 03 3

=

= +13

=

{ }( ) ( )( ) ( )12 231 2 1 2υ 2 v Γ v Γ3 3 3 3

= − + = − + =3 22 3

{ }( ) ( )( )231 2 2 3υ 3 0 v Γ 13 3 3 2

= + − = − = −

{ }( ) 1 2 3υ 1, 2 0 13 3 2

= + = (αφού το είναι 0–αθροίσματος και ο ΙI εξασφαλίζει 12Γ32

στο ) 23Γ

{ }( ) 1 2 3υ 1,3 13 3 2

⎛ ⎞= + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

23

(ο Ι εξασφαλίζει 1 στο και ο ΙI εξασφαλίζει 12Γ32

− στο ) 23Γ

{ }( ) ( )1 2υ 2,3 1 03 3

= − + = −13

(ο ΙI εξασφαλίζει –1 στο και το είναι 0–αθροίσματος) 12Γ 23Γ

{ }( ) 1 2υ 1, 2,3 0 0 03 3

= + =

(ε) ( ) { }( ) { }( ) { }( )υ υ 1 υ 2 υ 3 0′ ′ ′ ′∅ = = = =

{ }( ) 1 2υ 1, 2 1 03 3

′ = − − =

{ }( ) 2 1υ 1,3 1 03 3

′ = − − + =

{ }( ) 1 2υ 2,3 1 03 3

′ = − − + =

{ }( ) 1 2υ 1, 2,3 0 1 03 3

′ = − − + =

Δηλαδή το παιχνίδι είναι επουσιώδες (χαρακτηριστική συνάρτηση προσθετική).

Πυρήνας το ( ) . 0,0,0

(στ) Τιμή Shapley είναι . ( )0,0,0

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 22οο ((ππααιιχχννίίδδιι 22 ππααιικκττώώνν 00––ααθθρροοίίσσμμααττοοςς πποολλλλώώνν σσττααδδίίωωνν))

Ένας λαθρέμπορος (παίκτης Ι) και ένας τελωνιακός (παίκτης ΙI) παίζουν το εξής

παιχνίδι: “Ο Ι προσπαθεί να περάσει τα σύνορα κατά τις επόμενες ημέρες και αν δεν

το πετύχει, τότε θα χάσει . Στο διάστημα των ημερών ο IΙ έχει τη δυνατότητα

να πραγματοποιήσει το πολύ μία επιθεώρηση. Αν ο Ι καταφέρει να περάσει t–ημέρες

πριν την λήξη, κερδίζει

α 0>

1t

, ενώ αν συλληφθεί κερδίζει 0. Ο Ι συλλαμβάνεται με

πιθανότητα t

12

εάν επιχειρήσει να περάσει κατά την t–ημέρα και ο IΙ επιθεωρεί,

ενώ περνά με πιθανότητα 1 αν ο IΙ δεν επιθεωρεί. Εάν ο Ι είτε περάσει είτε συλληφθεί

το παιχνίδι τελειώνει”.

Εφόσον το παιχνίδι δεν έχει λήξει, στην αρχή μιας μέρας ο Ι αποφασίζει αν θα

επιχειρήσει να περάσει και ο IΙ, ανεξάρτητα από τον Ι, (και εφόσον δεν έχει

εξαντλήσει τη μοναδική δυνατότητά του για επιθεώρηση) αποφασίζει αν θα

επιθεωρήσει. Αν το παιχνίδι δεν τελειώσει, οι δύο παίκτες πληροφορούνται τις

κινήσεις τους και το παιχνίδι ξαναρχίζει την επόμενη μέρα.

Να βρείτε την τιμή και τις βέλτιστες στρατηγικές των δύο παικτών στο παραπάνω

παιχνίδι.

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

Έστω το παιχνίδι κατά το οποίο απομένουν t–ημέρες, ο Ι δεν έχει επιχειρήσει

ακόμη και ο ΙI δεν έχει επιθεωρήσει ακόμη.

tΓ

1

ε. δ.ε.κ. 1/ 2 1Γ : (με α 0)δ.κ. α α

>− −

I \ II

Το έχει σαγματικό σημείο (1Γ )κ.,ε. και ( )11υ : val Γ2

= = .

31 14 4 22

1

ε. δ.ε.κ. 0Γ :δ.κ. 1 υ

+I \ II

12

Άρα είναι το ππ 2Γ3 18 2

121

⎛ ⎞⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟

το οποίο έχει σαγματικό σημείο στο ( )δ.κ.,δ.ε. με

( )2 21υ : val Γ2

= = .

Επαγωγική Υπόθεση:

( )n1val Γ2

= και βέλτιστη στρατηγική του Ι είναι να περιμένει μέχρι την τελευταία

ημέρα. Ομοίως του ΙI.

Έστω ότι αληθής για . t 1−

( )t t1 1 1

t tt 2 2

t 1

ε. δ.ε.

0 1κ.Γ :δ.κ. 1 υ

1

−

+ −

I \ II

(στο ( )δ.κ.,ε. του παραπάνω πίνακα ο Ι θα περιμένει χωρίς κίνδυνο, αφού ο IΙ έχει

επιθεωρήσει, μέχρι την τελευταία μέρα t 1= για να κερδίσει το μέγιστο δυνατό

1 1t 1

==

)

Δηλαδή ( )t

1 1 1t t2

t12

1Γ :

1

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

σαγματικό σημείο (ελάχιστο γραμμής–μέγιστο στήλης)

Άρα ( )t1val Γ2

= και αυτό όταν οι Ι, ΙI περιμένουν, οπότε έχει δειχθεί η επαγωγή.

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 33οο

Δύο παίκτες ποντάρουν από 1 € και στη συνέχεια ο Ι κρύβει ένα νόμισμα ή στ’

αριστερό ή στο δεξί του χέρι. Μετά ο ΙI διαλέγει ή το αριστερό ή το δεξί χέρι του Ι

και αν βρει το νόμισμα, τότε παίρνει τα 2 € που έχουν ποντάρει (διαφορετικά τα 2 €

τα παίρνει ο Ι). Όμως, ένας “χορηγός” χαρίζει 1 € στον Ι εάν εκείνος “καταφέρει”

τον IΙ να διαλέξει το αριστερό χέρι.

(α) Δώστε το παιχνίδι σε εκτεταμένη μορφή.

(β) Να βρείτε όλα τα Σ.Σ.Ι., αφού το μετατρέψετε σε κανονική μορφή.

(γ) Να δώσετε τη συμμαχική μορφή του παιχνιδιού αυτού και να βρείτε τον πυρήνα

του καθώς και την τιμή Shapley για τον κάθε παίκτη.

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

0,1 1, 12, 1 1,1

−

−⎛ ⎞→⎜ ⎟− −

1 y

0 1A

2 1

−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

(α)

Οπότε

( ) ( )( ) ( )

y 1 y

x

1 x− ⎝ ⎠

x

1 x−

y

−⎝ ⎠

1 y

1 11 1

−

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−

και B x

1 x− ⎝ ⎠

y

(β) Θα έχουμε

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

IIH x, y xy x 1 y y 1 x 1 x 1 yxy xy x y xy 1 y x xy2 1 2x y 1 2x

= − − − − + − − =

= + − − + + − − + =

= − + + −

Άρα ( )II

10 αν x 21BR x any αν x 211 αν x 2

⎧ <⎪⎪= =⎨⎪

>⎪⎩

( )1,1−

δ α δ α

δ α

ΙI

Ι

( )1, 1 ( )2, 1− − ( )0,1

Επίσης

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

IH x, y x 1 y 2 1 x y 1 x 1 yx xy 2y 2xy 1 y x xy2 1 2y x 3y 1

= − + − − − −

= − + − − + + − =

= − + −

=

Άρα ( )I

11 αν y 21BR y any αν y 210 αν y 2

⎧ <⎪⎪= =⎨⎪

>⎪⎩

Από τα πιο πάνω προκύπτει:

y

x

1

1

Οπότε μοναδικό Σ.Σ.Ι. στο ( )* 1 1x ,2 2= , ( )* 1 1y ,2 2= με πληρωμές για τους δύο

παίκτες ( )1υ ,02= .

(γ) ( )υ 0∅ =

{ }( ) 0 1 1υ I val2 1 2⎛ ⎞

= =⎜ ⎟−⎝ ⎠

{ }( ) 1 1υ II val 0

1 1−⎛ ⎞

= =⎜ ⎟−⎝ ⎠ { }( ) { }υ I, II max 1,0,1,0 1= =

Άρα ( ){ }1 2 1 2 1 21C x , x : x , x 0 και x x 12= ≥ ≥ + = σχηματικά

Τιμή Shapley:

1 12 2

3 122

3 144

1 21 22 1 1 0

: 2

( )3 1φ ,4 4= .

12

12

y

x

1

1 12

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 11οο

Δύο παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι, 0–αθροίσματος: “Ο Ι τραβά ένα χαρτί από μία

πλήρη τράπουλα 52 φύλλων και αφού το δει στοιχηματίζει ή 1 μονάδα ωφελείας ή 5

μονάδες ωφελείας ότι το χαρτί αυτό είναι φιγούρα (ρήγας ή ντάμα ή βαλές –

πιθανότητα 313 ). Στη συνέχεια ο ΙI ή “πάει πάσο” ή λέει “τα βλέπω”. Αν ο IΙ πάει

πάσο, ο Ι κερδίζει το ποσό που στοιχημάτισε, ανεξάρτητα από το χαρτί του. Αν ο IΙ

αποφασίσει να δει το χαρτί του I, τότε, αν ο Ι έχει όντως φιγούρα, ο Ι θα κερδίσει το

διπλάσιο του ποσού που στοιχημάτισε. Διαφορετικά ο Ι χάνει το διπλάσιο του ποσού

που στοιχημάτισε.

(α) Δώστε την εκτεταμένη μορφή του παιχνιδιού (δέντρο, τερματικές πληρωμές,

σύνολα πληροφόρησης). Ποια τα σύνολα καθαρών στρατηγικών και για

τον κάθε παίκτη;

IS IIS

(β) Πριν βρείτε τις συντεταγμένες του πίνακα του παιχνιδιού, επιχειρηματολογήστε

ότι κάποιες γραμμές και στήλες θα απλοποιηθούν δείχνοντας ότι:

i) αν ο Ι έχει φιγούρα, τότε θα ποντάρει 5,

ii) μετά την παραπάνω απλοποίηση ( )i) , o II πάντα θα βλέπει το χαρτί του Ι,

αν ο ένα ποντάρει 1.

(γ) Να δώσετε την τιμή και τις βέλτιστες στρατηγικές των δύο παικτών.

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

(α)

( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 1,5 , 5,1 , 5,5=IS

( ) ( ) ( ) ( ){ }π,π , π, τβ , τβ,π , τβ, τβ=IIS

τ β π τ β π τ β π τ β π

5 1 5 1

1013 3

13

–2 5 –10 1 2 5 10 1

Ι Ι

ΙΙ ΙΙ

(γ) Δηλαδή, αρχικά

ΙI

(β) Αν ο Ι έχει φιγούρα, δηλαδή είναι στο 1ο σύνολο πληροφόρησης, τότε:

ΙΙ ΙΙ π τ β 1 2

5 10

αν 1

Επομένως σε κάθε περίπτωση τον συμφέρει να ποντάρει 5. Ι αν 5

Αν ο Ι ποντάρει 1, ο ΙI βρίσκετε στο 1ο σύνολο πληροφόρησης του, μετά την

προηγούμενη απλοποίηση, από τον Ι, έχουμε

1

–2

αν π

Άρα διαλέγει τ β αν τβ

οι δύο πρώτες γραμμές απλοποιούνται και κατόπιν αυτού η στήλη 3

κυριαρχεί στη στήλη 1 και η στήλη 4 κυριαρχεί στη στήλη 2.

I ( )π,π ( )π, τβ ( )τβ,π ( )τβ, τβ

(1,1) 313

( )1,5

( )5,1

( )5,5 Τελικά το παιχνίδι γίνεται

ΙI

:

I ( )τβ,π ( )τβ, τβ

( )5,1 513

− 1013

( )5,5 6513

7013

−

3 1013 13 135 ( 2)+ − = − 5 , 3 10

13 13 1310 ( 2) 10+ − = ,

3 10 6513 13 135 5+ = , 3 10

13 13 1310 ( 10) 70+ − = −

x

1 x−

y 1 y

5 10 51A 565 70 701365 10

10

−

− −⎛ ⎞= −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

x( 5) (1 x)65 x10 (1 x)( 70) 135− + − = + − − ⇒9

(1 x) 15− =9x x

10⇒ =

45 65υ 210 10

′ = − + = . Άρα ( ) 1 2val A 213 13

= = .

Επίσης

85y 10(1 y) 65y 70(1 y) 80 (1 y) 70 y y15

− + − = − − ⇒ − = ⇒ =

Δηλαδή ο Ι αν του έρθει φιγούρα ποντάρει 5, αν όχι με πιθανότητα 910

ποντάρει 1 και

με πιθανότητα 110

ποντάρει 5. Ο παίκτης ΙI αν ακούσει 1 λέει “τα βλέπω” ενώ αν

ακούσει 5 τότε με πιθανότητα 815

πάει “πάσο” και με πιθανότητα 715

λέει “τα

βλέπω”.

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 22οο

Δύο παίκτες διαλέγουν, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, από έναν θετικό ακέραιο.

Εκείνος που θα διαλέξει τον μεγαλύτερο κερδίζει 1 μονάδα ωφελείας από τον άλλο

(αν διαλέξουν τον ίδιο τότε το αποτέλεσμα είναι 0).

(α) Να δείξετε ότι το παιχνίδι δεν έχει Σ.Σ.Ι. σε μεικτές στρατηγικές.

(β) Τι θα συμβεί αν το σύνολο από το οποίο διαλέγουν είναι το { }1,2, 100… αντί

του ;

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

(α) Οι μεικτές στρατηγικές των παικτών, όταν αυτοί διαλέγουν αριθμό στο , θα είναι

της μορφής

( )1 2 np p ,p , , p ,= … … και ( )1 2 nq q ,q , ,q ,= … …

όπου και . ii 1

p 0, p∞

=

≥ =∑ i 1 1i ii 1

q 0, q∞

=

≥ =∑

Έστω Χ ο αριθμός που επιλέγει ο Ι ακολουθώντας την p και έστω Υ αντίστοιχα ο

αριθμός που επιλέγει ο ΙI, ακολουθώντας την q . Τότε η πληρωμή του Ι θα είναι

( ) ( ) ( )IH p,q P X Y P X Y= > − <

Σκοπεύουμε να δείξουμε ότι ( )I

psup H p,q 1= + , δηλαδή ο Ι, απέναντι σε “γνωστή”

q , μπορεί να βρει μία απάντηση που του δίνει πληρωμή αυθαίρετα κοντά στο 1.

Έχουμε ότι

( ) ( )i 1

i ji 1 i 1 j 1

P X Y P X Y | X i p q p∞ ∞

= =

⎛ ⎞> = > = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ i

−

=∑

και ομοίως

( ) j ii 1 j i 1

P X Y q p∞ ∞

= = +

⎛ ⎞< = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

Τώρα για κάθε υπάρχει τέτοιο, ώστε (η ουρά συγκλίνουσας

σειράς τείνει στο 0).

ε 0> 0ii 1

jj 1

q 1 ε−

=

> −∑

Έστω 0

*i 1 i 2

i πρωτες

p 0,0, ,0 , p , p ,+ +

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎟=⎜⎝ ⎠

… … *ip 0, δηλαδή = αν 0i i≤ , τότε:

( )*

0 0

i 1 i 1* * *

j i j i ip ,qi 1 j 1 i i 1 j 1 i i 1

11 ε

P X Y q p q p (1 ε) p 1 ε∞ − ∞ − ∞

= = = + = = +

=> −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞> = = > − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑

ομοίως

( )*

0 0

* *j i ip ,q

i i 1 j i 1 i i 1

1ε

P X Y q p ε p ε∞ ∞ ∞

= + = + = +

=<

⎛ ⎞< = < =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Άρα ( ) ( ) ( )* **I

p ,q p ,qH p ,q P X Y P X Y 1 2ε= > − < > − για κάθε , επομένως ε 0>

( )I

psup H p,q 1= + .

Αν το ( )0 0p ,q είναι Σ.Σ.Ι., τότε ( ) ( )I I

0 0 0H p ,q H p,q≥ για κάθε p , δηλαδή

( ) ( )0 0 0pH p ,q sup H p,q 1=I I = + (από προηγούμενα).

Ομοίως αν ( )0 0p ,q Σ.Σ.Ι.⇒ ( ) ( )I I

0H p ,q H p ,q≤

0 για κάθε q , δηλαδή

( ) ( )I I0 0 0q

H p ,q inf H p,q 1= = −

1

(από προηγούμενα).

Άρα άτοπο. Επομένως δεν υπάρχει Σ.Σ.Ι. 1+ = −

(β) Σ’ αυτή την περίπτωση ο πίνακας πληρωμών είναι:

1 2 99 1000 1 1 11 11 02 1

1 1 u 01 1 0 199 1

100 01 1 11 1 1 0

u

0

0

− − − → − ⎫⎪→ − ⎪⎪− − =⎬⎪− → − ⎪

→ ⎪⎭

=

I \ II

Παρατηρούμε ότι υπάρχει ΣΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ.

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 33οο

(α) Έστω δππ [ ]A,B και έστω ότι ( )0 0x , y είναι Σ.Σ.Ι. σε μεικτές στρατηγικές. Να

δείξετε ότι ( )T0 0

x Ay val A≥ , δηλαδή ότι η πληρωμή του Ι στο Σ.Σ.Ι. είναι

τουλάχιστον όση το επίπεδο ασφαλείας του (Αυτά φυσικά ισχύουν και για τον ΙI, αλλά

μην ασχοληθείτε).

(β) Δύο δππ [ ]A,B και [ ]A ,B′ ′ λέγονται στρατηγικά ισοδύναμα εάν “ και

έτσι, ώστε (οι

κ 0∃ >

c∃ ∈ A κA c , B κB c′ ′= + = +1 1 A, B, A , B , A ,′ ′ ′ 1 είναι

πίνακες. Ο 1 είναι ο πίνακας με συντεταγμένες 1).

m n×

Να δείξετε ότι αν ( 0 0x , y ) είναι Σ.Σ.Ι. για το [ ]A,B , τότε θα είναι Σ.Σ.Ι. για κάθε

στρατηγικά ισοδύναμο [ ]A ,B′ ′ .

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

(α) Έχουμε ότι T T0 0 0x

x Ay max x Ay= αφού ( )0 0x , y είναι Σ.Σ.Ι.

Αλλά

( )

T T T

0 0y yx xf (x) g(x)

x Ay min x Ay max x Ay max min x Ay

Val A

≥ ⇒ ≥ T

Οι δύο παραπάνω σχέσεις οδηγούν στην ( )T0 0

x Ay Val A≥ .

(β) Εξ ορισμού του Σ.Σ.Ι. για το ( 0 0x , y ) έχουμε τις σχέσεις

T T0 0 0

T T0 00

x Ay x Ay x

x By x By y

⎧ ⎫≥ ∀⎪ ⎪⎨ ⎬

≥ ∀⎪ ⎪⎩ ⎭

οπότε

( )

( )

T T T T T T0 0 0 00 0 0 0 0 0

1 1T T

0 0

x A y x κA c y κ x Ay c x y κ x Ay c x y

x κA c y x A y= =

′ = + = + ≥ +

′= + =

=1 1

1

1

ομοίως T T0 00

x B y x B y′ ′≥

Άρα το ( 0 0x , y ) είναι Σ.Σ.Ι. και για το [ ]A ,B′ ′ .

0 00 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 00 0⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Θ

1 p−

p

ΘΕΕΜΜΑΑ 11οο

⎞⎟

⎟

Δύο παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι, 0–αθροίσματος: Έστω και

. Πρώτα η φύση επιλέγει ή το ή το με πιθανότητα και

αντίστοιχα. Ο Ι πληροφορείται την επιλογή της φύσης, αλλά ο ΙI δεν την πληρο-

φορείται. Κατόπιν και οι δύο παίκτες ταυτόχρονα επιλέγουν τις κινήσεις τους (ο Ι ή

“π” ή “κ” και ο ΙI ή “α” ή “δ”). Το παιχνίδι τελειώνει με τον Ι να παίρνει από τον

ΙI το ποσό που αντιστοιχεί, ανάλογα με την πραγματική κατάσταση της φύσης (π.χ.

αν η φύση έχει επιλέξει και ο Ι διαλέξει “κ” και ο ΙI διαλέξει “δ”, τότε ο I θα

εισπράξει 1 μονάδα ωφελείας από τον ΙI).

1

1 0Γ

0 0⎛

= ⎜⎝ ⎠

2

0 0Γ

0 1⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

1Γ 2Γ p 1 p−

2Γ

(α) Δώστε το παιχνίδι σε εκτεταμένη μορφή.

(β) Δώστε τα και (σύνολα καθαρών στρατηγικών). IS IIS

(γ) Μετατρέψτε το παιχνίδι σε κανονική μορφή.

(δ) Δώστε το Σ.Σ.Ι. και τις βέλτιστες στρατηγικές των παικτών.

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

(α)

(β) ( ) ( ) ( ) ( ){ }π,π , π,κ , κ,π , κ,κ=IS , { }α,δ=IIS .

(γ) ( )υ min p,1 p= − .

( )*x 0,1,0,0= ,

( )

( )( )

12

* 1212

1,0 αν py y,1 y αν p

0,1 αν p

<⎧⎪= − =⎨⎪ >⎩

.

ΙI I α δ

( )π,π p 0

( )π,κ p 1– p

( )κ,π 0 0

( )κ,κ 0 1– p

δ α

κ π κ π

1 p− p

0 0 1 0 0 0 0 1

Ι Ι

ΙΙ

δ α δα δα

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 22οο ((ΠΠααιιχχννίίδδιι MMeennddeellssssoohhnn))

Δύο παίκτες διαλέγουν ταυτόχρονα έναν ακέραιο από το σύνολο { }1,2, ,n… , με

. Στη συνέχεια, αν οι αριθμοί είναι ίσοι, η πληρωμή και των δύο παικτών είναι

0. Αν ένας παίκτης επιλέξει αριθμό μεγαλύτερο κατά 1 από τον άλλο, τότε κερδίζει 1

από τον αντίπαλό του. Αν ένας παίκτης επιλέξει αριθμό μεγαλύτερο κατά 2 ή και

περισσότερο από τον αριθμό που επέλεξε ο αντίπαλός του, τότε πληρώνει στον

αντίπαλό του 2. Να λύσετε πλήρως (τιμή και βέλτιστες στρατηγικές) αυτό το παιχνίδι

0–αθροίσματος.

n 3≥

[Υπόδειξη: Απλοποιείστε τον αρχικό πίνακα. Μην κάνετε καθόλου δέντρο].

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

0 1 2A 1 0 1

2 1 0

y y y−⎛ ⎞

⎜ ⎟

Ο πίνακας πληρωμών (του πρώτου παίκτη) είναι:

0 1 2 2 2 2 21 0 1 2 2 2 22 1 0 1 2 2 22 2 1 0 1 2 22 2 2 1 0 2 2

1 22 2 2 2 2 0 12 2 2 2 2 1

1 2 3 4 5 n-1 n12345

n 1n 0

−−

− −− − −− − −

−− − − − − −− −

−− − −

I \ II

Παρατηρούμε ότι για τον Ι η γραμμή “1” κυριαρχεί πάνω στις “4”, “5”, …, “n”.

Ομοίως για τον ΙI η στήλη “1” κυριαρχεί πάνω στις “4”, “5”, …, “n”. Επομένως

αρκεί να λυθεί ο:

1 2 3

1

2

3

xx

x= −⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠

A

Ο πίνακας είναι αντισυμμετρικός (A tA = − ), επομένως ( )val A 0= . Λύνουμε με εξισωτικές στρατηγικές.

1 2 32 3

1 2 31 3

1 2

0x x 2x 0x 2x

x 0x x 0x x

2x x 0

+ − =⎧ ⎫=⎧ ⎫⎪ ⎪− + + = ⇔⎨ ⎬ ⎨ =⎩ ⎭⎪ ⎪− =⎩ ⎭

⎬

Χρησιμοποιώντας 11 2 3 3 3 3 3 4x x x 1 x 2x x 1 x+ + = ⇒ + + = ⇒ = . Άρα ( )* 1 1 1

4 2 4x , ,=

και επομένως και ( )* 1 1 14 2 4y , ,= .

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 33οο

Δύο παίκτες τοποθετούν τα αυτοκίνητά τους το ένα απέναντι στο άλλο (σε κάποια

απόσταση) και στη συνέχεια επιταχύνουν. Επομένως η σύγκρουση είναι

αναπόφευκτη , εκτός και εάν κάποιος υποχωρήσει (“he chickens out”, γι’ αυτό το

παιχνίδι ονομάζεται “chicken”). Οι πληρωμές καθορίζονται ως εξής: Εάν υποχωρήσει

μόνο ο ένας, τότε αυτός με τα “σιδερένια νεύρα” παίρνει 2, ενώ αυτός που υποχωρεί

παίρνει –1. Αν και οι δύο αποδειχθούν με σιδερένια νεύρα, τότε καταστρέφονται και

οι δύο (πληρωμή –2 στον κάθε ένα). Να βρείτε όλα τα Σ.Σ.Ι.

ΛΛΥΥΣΣΗΗ::

)

Ορίζουμε τους συμβολισμούς: “Υ = υποχωρώ”, “ΔY = δεν υποχωρώ”.

Ο πίνακας του παιχνιδιού είναι:

( ) ( )( ) (

y 1 y

Y ΔY1,1 1,2Y

2, 1 2, 2ΔY

−

−x

1 x− − − −

I \ II

y y

A

1

x

x−

1

1 12 2

−

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

y

B και

1

1 21 2

y −

1

x

x−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )IIH x, y xy 2x 1 y 1 x y 2 1 x 1 y 1 2x y 4x 2= + − − − − − − = − + −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )IH x, y xy x 1 y 2 1 x y 2 1 x 1 y 1 2y x 4y 2= − − + − − − − = − + −

( )II

11 αν x 21BR x [0,1] αν x 211 αν x 2

⎧ <⎪⎪= =⎨⎪

>⎪⎩

y

x

1

1

12

( )I

11 αν y 21BR y [0,1] αν y 210 αν y 2

⎧ <⎪⎪= =⎨⎪

>⎪⎩

Άρα Σ.Σ.Ι. είναι τα:

( )x 1,0= , ( )y 0,1= με πληρωμή ( )1, 2− ,

( )1 12 2x ,= , ( 1 1

2 2y ,= ) με πληρωμή ( )0,0 ,

( )x 0,1= , ( )y 1,0= με πληρωμή ( )2, 1− .

12

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 44οο

Έστω συμμετρικό παιχνίδι σε 0 1− κανονική μορφή, δηλ. ( ) ( )S f kυ = , όπου

| (και |k S= (0) 1f = , ). ( ) 1f n =

(α) Εάν , για ποιες τιμές του 3n = (2)f το παιχνίδι έχει μη κενό πυρήνα;

(β) Εάν , για ποιες τιμές των 4n = (2)f , (3)f το παιχνίδι έχει μη κενό πυρήνα;

(γ) Γενικεύστε για αυθαίρετο : Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί η n ( )f k ,

, προκειμένου το παιχνίδι να έχει μη κενό πυρήνα; 1, 2, , 1k = … n −

ΛΛΥΥΣΣΗΗ:: (α) Για : 3n =

{ }1 2 3

0 (1) 1, 2,3(*) (2) , 1, 2,3 3

1 (3)

i

i j

x f ix x f i j i j (έχουμε τέτοιες σχέσεις)

x x x f

≥ = =⎧⎪ + ≥ ≠ ∈⎨⎪ + + ≥ =⎩

Αθροίζοντας τις (*) παίρνουμε 1 2 3

1

2( ) 3 (2)x x x f=

+ + ≥ . Άρα

2(2)3

f ≤ . (Σ)

Δείξαμε ότι η σχέση (Σ) είναι αναγκαία συνθήκη ώστε C ≠ ∅ . Είναι άραγε και

ικανή; Ναι διότι αν πάρουμε 1 2 313

x x x= = = , θα έχουμε

0ix ≥ , , 1, 2,3i = 2 (2)3i jx x f+ = ≥ (λόγω της (Σ)) και 1 2 3 1x x x+ + = .

Δηλαδή αν ισχύει η (Σ) το 1 1 11 2 3 3 3 3( , , ) ( , , )x x x C= ∈ , οπότε C ≠ ∅ .

(β) Για : 4n =

{ }{ }

1 2 3 4

0 (1) 1, , 4(2) , 1, , 4 6(*)

(3) , , 1, , 4 4(**)1 (4)

i

i j

i j k

x f ix x f i j i j (έχουμε τέτοιες σχέσεις)

x x x f i j k διάφοροι (έχουμε τέτοιες σχέσεις)x x x x f

≥ = =⎧⎪ + ≥ ≠ ∈⎪⎨ + + ≥ ∈⎪⎪ + + + ≥ =⎩

………

Αθροίζοντας τις (*) και (**) παίρνουμε

1 2 3 4

1

1 2(*) 6( ) 6 (2) (2)2 4

x x x x f f=

⎛ ⎞→ + + + ≥ ⇒ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

1 2 3 4

1

3(**) 3( ) 4 (3) (3)4

x x x x f f=

→ + + + ≥ ⇒ ≤ .

Άρα

2(2) (3)4 4

f και f 3≤ ≤ . (Σ)

Η (Σ) είναι αναγκαία ώστε C ≠ ∅ . Είναι και ικανή; Ναι είναι διότι αν πάρουμε

1 2 3 414

x x x x= = = = , θα έχουμε

0ix ≥ για , 1, , 4i = … 2 (2)4i jx x f+ = ≥ (λόγω της (Σ)), 3 (3)

4i j kx x x f+ + = ≥

(λόγω της (Σ)), και . 1 2 3 4 1x x x x+ + + =

Επομένως αν ισχύει η (Σ) το 1 1 1 11 2 3 4 4 4 4 4( , , , ) ( , , , )x x x x C= ∈ και άρα , δηλ. η

(Σ) είναι και ικανή.

C ≠ ∅

(γ) Για να γενικεύσουμε αναρωτιόμαστε πόσες άραγε σχέσεις της μορφής (*) ( )i

i Sx f k

∈

≥∑ , | |k S= , υπάρχουν. Αρκεί να μετρήσουμε με πόσους τρόπους

μπορούμε να διαλέξουμε ξένα στοιχεία από το k { }1, , n… . Άρα έχουμε τέτοιες

σχέσεις. Αυτές όταν αθροιστούν θα δώσουν

nk⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1( )n

n( )x x f

kλ

⎛ ⎞+ + = ⎜ ⎟

⎝ ⎠… k . Ζητάμε να

υπολογίσουμε το λ . Αλλά το λ είναι ο αριθμός των φορών στις οποίες εμφανίζεται

το 1x (ή το 2x , κ.λ.π.) στις (*). Το 1x όμως εμφανίζεται 11

nk−⎛

⎜⎞⎟−⎝ ⎠

φορές [“όλα εκτός

από 1” διάλεξε “ 1k − ”]. Δηλαδή το άθροισμα των (*) δίνει:

1

1

111

( ) ( ) ( )1 n

nk

nk

n n kx x f k f kk k n

=

−−

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠+ ≥ ⇒ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

…

άρα

( ) , 2, , 1kf k k nn

≤ = … − (Σ)

Προφανώς 1(1) 0fn

= ≤ και ( ) 1 nf nn

= ≤ δηλαδή

( ) , 1, ,kf k kn

≤ = … n (Σ)

Επομένως δείξαμε ότι η (Σ) είναι αναγκαία. Το ότι είναι και ικανή προκύπτει όπως

πριν. Δηλαδή, έστω 1 11( , ) ( , , )n n nx x =… … τότε ( )i

i S

kx f kn∈

= ≥∑ που σημαίνει ότι

1 1( , , )n n C∈… , άρα C . ≠ ∅

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 55οο

Έστω παιχνίδι σε συμμαχική μορφή

| | , 1( )

0 ,S S

Sδιαφορετικά

υ∈⎧

= ⎨⎩

.

(α) Να δείξετε ότι οι παίκτες είναι συμμετρικοί. 2,3, ,n…

(β) Υπολογίστε την τιμή Shapley ( )1 2, , , nφ φ φ… .

ΛΛΥΥΣΣΗΗ:: (α) Θα δείξουμε ότι:

{ }( ) { }(S i S jυ υ∪ = ∪ ) για κάθε με S N⊂ { }, 1i j S∉ ∪ .

i. Αν ο 1 τότε S∈{ }( ){ }( )

| | 1

| | 1

S i S

S j S

υ

υ

⎫∪ = + ⎪⎬

∪ = + ⎪⎭ (ok),

ii. Αν ο 1 τότε S∉{ }( ){ }( )

0

0

S i

S j

υ

υ

⎫∪ = ⎪⎬

∪ = ⎪⎭ (ok).

(β) Λόγω του (α) και του αξιώματος συμμετρίας θα έχουμε:

[ ] ( ), , , ,φ a b b bυ = … με ( ) ( )1αξ. αποτ/τητας

a n b======== N nυ+ − = .

Θα βρούμε το a :

{ }( ) ( )0| (1)| 1

1 (1) 1 (1)!

[ ]P

a P Pn

π

π ππ

υ υ== +

= ∪ −∑

• Ο 1 έρχεται πρώτος με ( τρόπους και τότε |)1 !n − (1) | 0Pπ =

• Ο 1 έρχεται πρώτος με ( τρόπους και τότε |) 11 !n − (1) |Pπ =

• Ο 1 έρχεται πρώτος με ( τρόπους και τότε |) 11 !n − (1) |P nπ = −

Άρα

( ) ( ) ( ) ( )11 1 21 ! 1 1 ! 2 1 !! 2

n nn na n n n nn n

+ 12n

+ + + += − ⋅ + − ⋅ + + − ⋅ = = =⎡ ⎤⎣ ⎦

…… .

Και

( ) ( )1

2 2 11 2 1 2 1

nn n n n nbn n n

+− − − −= = = =

− − −12

.

Οπότε [ ] 1 1 1 1, , , ,2 2 2 2

nφ υ +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

… .

Έλεγχος: [ ] ( )1

1 112 2

n

ii

nφ n nυ=

+= + − =∑ (ok).

[Αν υπολογίσουμε το a με τον άλλο τρόπο θα πάρουμε

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

|1 |1

1

1 11 ! ! 0 ! !! !

11 1! ! ! !1! !

s s s s

n

s

a s n s s s n sn n

ns n s s n s

sn n

∈ℵ ∈ ∈ℵ ∈

=

= − − − = − =

−⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ( )( ) ( )

1 !

1 ! !

n

s n s

−

− −

( ) ( )1

1

11 1 11 !! 2 2

n

s

n

s

n n nn sn n

=

=

=

+ += − = ⋅ =

∑

∑

(ok)].