Gaus - Krigerova projekcija

7/22/2019 Gaus - Krigerova projekcija

1/12

Priredio: mr.sc. Edin Hadimustafi, vii asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

1

GAUS-KRGEROVA PROJEKCIJA

1. Ope karakteristike Gaus-Krgerove projekcijeNjemaki naunik Gaus (Karl Friedrich Gauss, 1777 - 1855), koji je dao optu

teoriju konformnog projektovanja, predloio je konformnu poprenu cilindrinu projekciju.Izveo je jednaine za konformno projektovanje sa elipsoidne Zemljine povri(transformacijama geografskih koordinata i ) na sfernu povrinu lopte (tzv. Lambert-Gausova projekcija) i prelaz sa sferne na ravnu povr - kartu. U sutini Gausova projekcija je

poprena Merkatorova projekcija, pa je neki (npr. Amerikanci) tako i nazivaju.

Profesor postdamskom geodetskog instituta Krger (Johannes Krger, 1857-1923),prouavajui radove Gausa (poslije njegove smrti), a polazei od Gausove opte teorijekonformnog projektovanja, izveo je jednaine za neposredno projektovanje sa elipsoidne naravnu povr (bez posredstva lopte) kao i direktno preraunavanje geografskih koordinata i

u pravougle koordinate x i y. Od tada se ova projekcija naziva Gaus-Krgerova projekcija.

Sutina prenoenja taaka sa sferoidne povrine elipsoida na ravan u ovoj projekcijisastoji se u sraunavanju ravnih pravouglih koordinata (apscisa x i ordinata y) tih taakana osnovu njihovih geografskih koordinata. Jednaine po kojima se ovo preraunavaizvedene su pod sljedeim uslovima:

Na Zemljin elipsoid zamiljeno je navuen cilindar tako da osa tog cilindra lei uravni ekvatora, a cilindar dodiruje elipsoid po jednom meridijanu;

Take sa povrine Zemljinog elipsoida treba da se preslikaju neposredno na povrinucilindra tako da se, nakon razvijanja cilindra u ravan, dobije konformna projekcija

preslikanih taaka, odnosno slinost figura na elipsoidu i ravni.

Mrea meridijana i paralela, sraunata po jednainama izvedenim pod navedenimuslovima i u odreenom razmjeru konstruisana na ravni, ima izgled kao na slici 1. Iz slike sevidi da se dodirni meridijan i ekvator preslikavaju kao prave meusobno upravne linije; ostalimeridijani kao krive linije simetrine u odnosu na dodirni meridijan, dok se paralele

preslikavaju kao krive linije simetrine u odnosu na projekciju ekvatora. Poto je projekcijakonformna, projekcije svih meridijana sijeku projekcije svih paralela i ekvatora pod pravim

uglom, kao to je to sluaj i na elipsoidu.


2/12


2

Slika 1.: Odnos geografske i pravougle koordinatne mree u Gaus-Krgerovoj projekciji(priredio: mr.sc. Edin Hadimustafi, vii asistent)

Deformacije duina u ovoj projekciji zavise od udaljenosti taaka koje se preslikavaju, oddodirnog meridijana, i rastu srazmjerno tom udaljenju. Zbog toga je, Gaus-Krgerova

projekcija primjenjiva samo za relativno usku zonu du dodirnog meridijana. irina te zonezavisi od veliine deformacija koje se, s obzirom na traenu tanost, mogu dozvoliti.

U naem dravnom premjeru, Gaus-Krgerova projekcija primjenjuje se pod uslovom da

deformacije (greke) duina ne budu vee od jednog desethiljaditog dijela odnosne duine,to iznosi 1 dm na 1 km. Da bi se postigla ova tanost, teritorija Jugoslavije projektuje se natri cilindra koji zamiljeno dodiruju Zemljin elipsoid po meridijanima: 15, 18 i 21 istonegeografske duine, raunajui od Grinikog meridijana kao poetnog. Na taj nain seformiraju 3 meridijanske zone u kojima se dodirni meridijani pojavljuju kao srednjimeridijani zona. Granini meridijani ovih zona udaljeni su od srednjeg meridijanaodgovarajue zone za po 1 i 30' istono i zapadno. Svakoj zoni je dat broj koji se dobijadijeljenjem geografske duine srednjeg meridijana zone sa tri; prema tome brojevi zona su 5,6 i 7. (vidi sliku 1.)

Pravougle koordinate taaka sraunavaju se u svakoj meridijanskoj zoni u odnosu napravougli koordinatni sistem zone. Pravougli koordinatni sistem zone obrazuju projekcijasrednjeg meridijana zone kao apscisna osa (x) i projekcija ekvatora kao ordinatna osa (y).Prema tome, za svaku meridijansku zonu postoji poseban koordinatni sistem sa koordinatnim

poetkom u presjenoj taki srednjeg meridijana zone i ekvatora. Uslovljeno je da apscisnaosa x ima pozitivan smjer sjeverno od koordinatnog poetka, a juno negativan, aordinatna osa y pozitivan smjer istono od koordinatnog poetka i zapadno negativan.Oigledno, u takvom koordinatnom sistemu, sve take sjeverno od ekvatora imaju pozitivnevrijednosti apscisa, a ordinate zavisno od toga gdje se taka nalazi; istono od srednjeg

meridijana zone take, imaju pozitivne vrijednosti ordinata, a zapadno od srednjeg meridijanaordinate taaka su negativne. Pravougle koordinate neke take, sraunate u Gaus-Krgerovoj


3/12


3

projekciji, oznaavaju se: apscisa (x) udaljenje take od ekvatora, a ordinata (y) udaljenjetake od srednjeg meridijana zone, izraene u metrima. (vidi sliku 2.)

Da bi se kod ordinata izbjegle njihove negativne vrijednosti, uslovljeno je da sve takeapscisne ose pravouglog koordinatnog sistema zone imaju vrijednosti ordinata y = 500 000 m.

Prema tome, sve take istono od srednjeg meridijana zone imaju ordinate vee od 500 000 m,a zapadno manje od 500 000 m. Poto pojedine take mogu imati potpuno iste vrijednostikoordinata, a nalaze se u razliitim zonama, da bi se znalo kojoj zoni taka pripada, ispred

podatka o ordinati ispisuje se broj odgovarajue zone. Tako, na primjer, taka T1koja imakoordinate:

Y = 6 572 348, 23 i

X = 5 196 544, 87,

nalazi se u 6. zoni istono od srednjeg (18) meridijana zone za 72 km 348 m i 23 cm isjeverno od ekvatora za 5196 km 544 m 87 cm, dok se taka T2:

Y = 7 402 530, 36 i

X = 4 484 312, 48

nalazi u 7. zoni zapadno od srednjeg (21) meridijana za 97 km 469 m 64 cm (500 000 402530, 36) i sjeverno od ekvatora za 4 484 km 312 m 48 cm.

Gaus-Krgerova projekcija usvojena je u naoj zemlji za odreivanje (sraunavanje) poloaja

geodetskih taaka (take dravne trigonomstrijske mree i druge) i za izradu topografskihplanova i karata zakljuno sa razmjerom 1:300 000.

Poto su kod Gaus-Krgerove projekcije uglovne deformacije iskljuene uslovom sameprojekcije, a linijske deformacije ograniene uslovljenom irinom (3) meridijanske zone, natopografskim kartama izraenim u ovoj projekciji, u okviru jednog lista karte, praktino nedolaze do izraaja greke usljed deformacija projekcije. Deformacije dolaze do izraaja tek

pri pokuaju da se vei broj listova karte sastavi u jednu cjelinu; tada nastaju zazori ilipreklapanja du linija okvira listova po kojima se to spajanje vri.

(Prema: Gvozden R. olovi, Vojna topografija, Vojnogeografski institut, 1969.godine)


4/12


4

Slika 2. Shematski prikaz Gaus-Krgerove projekcije (priredio: mr.sc. Edin Hadimustafi, viiasistent)

2. Uslovi projiciranja Projekcija je prema karakteru deformacija konformna; Glavni (srednji) meridijan mora se preslikati kao prava i predstavljati x osu

pravouglog koordinatnog sistema u ravni, prema kojem je projekcija simetrina: Svaki dio x ose mora biti jednak odgovarajuem dijelu luka glavnog meridijana; Ekvator (ako se uzme u obzir preslikavanje meridijanske zone du cijelog Zemljinog

elipsoida) se preslikava kao prava linija i usvaja se za y osu pravouglogkoordinatnog sistema u ravni karte;

Razmjer du srednjeg (dodirnog) meridijana jednak je 1 odnosno linearna deformacijaje 0 i ne zavisi od geografske irine;

Na njoj se moe predstaviti itava zona irine 3 od pola do pola, sa neznatnimdeformacijama;

Svaka zona projektuje se na zasebni dodirni cilindar koji dodiruje povrinu Zemljinaelipsoida du srednjeg (glavnog meridijana zone);

U okviru svake zone formiraju se zasebni koordinatni sistemi koga obrazuju srednjimeridijani kao x ose tj. koordinatni poetak se nalazi na ekvatoru u presjekusrednjeg meridijana zone sa ekvatorom. Vrijednosti koordinata po x osi (apscisi) seraunaju od ekvatora (koordinatni poetak) prema sjeveru sa pozitivnim i prema

jugu sa negativnim predznakom. Da bi se izbjegao negativni predznak, ekvatoru sedodaje vrijednost od 10 000 km prilikom raunanja koordinata po apscisi juno odekvatora.

Kartografska mrea je ortogonalna;


5/12


5

U pogledu deformacija duina i povrina sa udaljenjem od dodirnog meridijana (pokojem popreni cilindar dodiruje Zemljinu povrinu), Gaus-Krgerova projekcija se ponaaskoro isto kao i Merkatorova, udaljavanjem od ekvatora prema polovima. Poto sudeformacije u blizini dodirnog meridijana nepoznate (kao i u Merkatorovoj, u blizini ekvatora)

to se Gaus-Krgerova projekcija koristi za izradu krupnorazmjernih i nekih srednjerazmjernihkarata, i to po meridijanskim zonama od po 3 ili 6 stepeni po geografskoj duini, s tim to sezamilja da je svaka takva zona projektovana na poseban cilindar koji dodiruje Zemljinu

povrinu po srednjem meridijanu.

Radi lakeg i breg rjeavanja nekih praktinih zadataka, na naim topografskimkartama naknadno je nanesena pravougla (Gaus-Krgerova) koordinatna mrea i to: nakartama zakljuno sa razmjerom 1:100 000 mrea je nanesena po meridijanskim zonama od

po 3, a na karti 1:200 000 od po 6 (srednji meridijani 6-stepenskih zona nae dravneteritorije su 15-ti i 21-vi meridijan). Gaus-Krgerovu koordinatnu mreu na ovim kartama

obrazuju linije apcisa i ordinata koje imaju vrijednosti okruglih brojeva kilometara. Tako npr.,na karti 1:200 000 linije mree su povuene na svakih 10 km; na karti 1:100 000 na 5 km; nakarti 1:50 000 na svakih 2 km; a na karti 1:25 000 na svakih kilometar. Brojne oznakevrijednosti linija mree date su pored okvirnih linija karte.

Gaus-Krgerova koordinatna mea koja je ustvari mrea kvadrata, esto se naziva ikvadratnom ili kilometarskom mreom. Osim za vojne potrebe, ona moe posluiti zaodreivanje povrina i rastojanja na karti, jer duina stranice kvadrata svake mree uvijekodgovara duini odreenog broja kilometara u prirodi. Gaus-Krgerovu projekciju, zbogkonformnosti i praktinosti, danas koristi veina drava u svijetu za izradu topografskih

karata.1

3. Pravougla koordinatna mreaRjeavanje praktinih zadataka na osnovu geografske koordinatne mree veoma je

oteano na karti, jer istim stepenskim vrijednostima meridijana i paralela, promjenompoloaja radne take, odgovaraju razliite vrijednosti njihovih duina u linijskoj mjeri. Osimtoga, projekcije meridijana i paralela se na kartama obino ne sjeku pod pravim uglovima, to

jo vie komplikuje raunske operacije sa geografskim koordinatama. To su i razlozi zbogkojih se geografska mrea na topografskim kartama po pravilu ne nanosi unutar okvira lista,

vesamo naznaava izmeu unutarnjeg i spoljnjeg okvira.

Da bi se uprostio rad sa kartom, na sve vojnotopografske karte se, pored osnovnekartografske mree, nanosi i pravougla mrea. Svi zadaci po toj mrei rjeavaju se salakoom koja je svojstvena pravouglom koordinatnom sistemu u ravni.

1 N.Pavii, Osnovi kartografije, Obod Cetinej, 1976. godine, str. 54-57


6/12


6

Pravougla mrea na topografskim kartama omoguuje:

1. jednostavnost odreivanja pravouglih koordinata svake take na karti, u granicamagrafike tanosti;

2. jednostavnost nanoenja na kartu svake take na osnovu datih pravouglih koordinata;3. lahku i jednoznanu identifikaciju taaka i povrina, kao i uproeno raunanje

direkcionih uglova (pravouglih azimuta);4. uproeno ocjenjivanje i mjerenje rastojanja na karti, jer pravougla mrea predstavlja

pogodan razmjerni oslonac unutar povrine lista karte.

Sistemi pravougle mree i projekcije mogu biti isti, to je najbolje rjeenje, ili mreamoe biti zasnovana na sistemu nevezanom sa projekcijom u kojoj je karta izraena. Kod nasse na karte izraene u Gaus-Krgerovoj projekciji nanosi pravougla mrea u Gaus-Krgerovom sistemu koordinata.

Mrea se po pravilu nanosi na karte zakljuno sa razmjerom 1:200 000 (1:250 000).Meusobna odstojanja apscisnih i ordinatnih linija mree obino iznose (vidjeti tabelu 1.)

Tabela 1.: Osnovni parametri pravougle koordinatne mree u Gaus-Krgerovoj projekciji

Razmjer TK Dimenzije polja pravouglemree u cm

Povrina 1 km2 1 list pokrivapovrinu

1:25 000 4 cm 16 cm2 139 km21:50 000 2 ili 4 cm 4 ili 16 cm2 555 km2

1:100 000 2 cm 1 cm2 2220 km21:200 000 5 cm 0, 5 cm2 8880 km2

Izvor: N. Pavii, Osnovi kartografije, Obod Cetinje, 1976. godine i R. Njei, Prirunik zatopografiju, Sarajevo 1994. godine.

Pravougla mrea se po pravilu konstruie istovremeno sa osnovnom kartografskommreom, na osnovu pravouglih koordinata tjemena okvira. Orjentacija pravougle u odnosu nakartografsku mreu, tj. u odnosu na okvir lista karte, zavisi od geografskog poloaja lista uokviru jedne Gaus-Krgerove zone. Ugao zakoenja tih dvaju mrea odgovara ugluzbliavanja meridijana. Pravac zakoenja zavisi od toga da li se list karte nalazi istono ilizapadno od srednjeg meridijana dotine zone.

Literatura:

1. Peterca Miroslav i ostali, Kartografija, Vojnogeografski institut, Beograd, 1974.godine;

2. N. Pavii, Osnovi kartografije, Obod Cetinje, 1976. godine;3. G. olovi, Vojna topografija, Vojnogeografski institut, Beograd, 1969. godine.4. R. Njei, Prirunik za topografiju, Sarajevo 1994. godine.


7/12


7

UTM koordinatna mrea(Sistem obiljeavanja povrina i taaka)

Cilj sistema obiljeavanja povrina i taaka je da omogui jednoznano obiljeavanje

ma koje povrine ili take na cijeloj Zemlji, iskljuujui svako opisno objanjavanje gdje seta taka nalazi. Ovaj sistem identifikacije mree predstavlja standard koji se primjenjuje nasvim vojnim kartama lanica NATO pakta.

Sistem sadri tri stepena obiljeavanja. Prvi i drugi stepen oznaavaju povrine, a treipoloaj taaka unutar tih povrina.

U prvom stepenu obiljeavanja, Zemljina povrina izmeu 80 N i 80 S jemerdijanima i paralelama podjeljena na redove i kolone. Uzastopna rastojanja merdijana

iznose 6, a uzastopna rastojanja paralela 8. Kolone se obiljeavaju arapskim brojevima od 1do 60 , a redovi velikim slovima Abecede, poev od C do zakljuno X, pri emu su slova I iO isputena. Slova A, B, Y, Z su rezervisana za obiljeavanje sjevernog i junog polarnog

prostora. Svaka tako ograniena povrina naziva se zonom (Grid Zone Designation).Svakazona se obiljeava oznakom kolone i reda. Tako bi zona koja obuhvata dio nae teritorijenosila oznaku 33 T. Ovaj stepen obiljeavanja se koristi samo kad se eli definisati prostor uokviru svjetskih relacija; u lokalnom obiljeavanju, on se obino izostavlja.(vidjeti slike 3. i 4.)

U drugom stepenu obiljeavanja, svaka zona se dijeli na kvadratne povrine sa

stranama od 100 km (100 000 meter square identification). (vidi sliku 5.)Kvadrati se baziraju na UTM - pravougloj mrei. Poetak kvadriranja poklapa se sakoordinatnim poetkom svake UTM-zone. Poev od 180 merdijana, idui istono duEkvatora u intervalima od po 18, kolone kvadrata obiljeavaju se slovima od A do Z (slova Ii O su izostavljena). Obiljeavanje redova u neparnim zonama poinje od juga prema sjeveruslovima A do V ( slova I i O su izostavljena ). Abeceda se ponavlja svakih 2 000 000 metara.U parno obiljeenim zonama, redovi se poinju obiljeavati abecednim redom poev odapscisne linije mree sa vrijednou 500 000 metara, i to isto tako od juga prema sjeveru.Broj kvadrata sa stranama od 100 km nije isti u svim zonama. Dok je broj redova isti na svim

irinama, broj kolona se smanjuje poveavanjem geografske irine. Tako na 80 paraleli ostajusamo dvije kolone. S obzirom na to to UTM obuhvata cijelu Zemljinu povrinu, ovakoobiljeavanje ne moe se smatrati savrenim. Dok je kod obiljeavanja zona identifikovanje

jednostavno, to nije sluaj i sa obiljeavanjem kvadrata. Zato se izdaju posebni registri u viduskica pojedinih geografskih regiona, u kojima je podjela na kvadrate sa stranama od 100 kmsa svojim oznakama.

Na preglednim skicama je dat i podatak na kom sferoidu je dotina teritorija izraunata.


8/12


8Slika 3.: Prvi stepen UTM obiljeavanja, podjela na listove i njihova nomenklatura


9/12


9

Slika 4.: Prvi stepen UTM obiljeavanja za prostor Europe

Trei stepen obiljeavanja odreuje poloaj take pravouglim koordinatama saeljenom tanou. Sistem se sastoji iz uzastopnog redanja slova i brojeva, bez taaka,zareza, crtica ili decimala.

Slika 5.: 100 000 m UTM/MGRS (Military grid reference system)


10/12


10

Odreivanje UTM koordinata

Stojimo na putu na mjestu oznaenom zvijezdom na topografskoj karti i na GPS ureajuoitavamo poloaj izraen u UTM koordinatama:

10 S 05597414282182

10 Spredstavlja zonu u kojoj se nalazite. Zone su neophodne da bi koordinate bilejednoobrazne za cijeli svijet.

Brojevi 0559741 predstavljaju mjerenje pozicije u smjeru istok zapad, unutar zone, umetrima. To se naziva easting (u pravcu istoka).

Brojevi 4282182, predstavljaju mjerenje pozicije u smjeru sjever jug, unutar zone, umetrima. To se naziva northing (u pravcu sjevera).

Na kartama koje imaju UTM (Universal Transverse Mercator) naneenu koordinatnu mreu,

rastojanje izmeu linija koordinatne mree je na svkih 1000 m. vertikalna linija unutar


11/12


11

koordinatne mree odreuje poziciju u smjeru istok zapad dok horizontalna linijakoordinatne mree odreuje poziciju u smjeru sjever jug.

Pogledajte du donje ivice karte na natpisima za vertiklane linije koordinatne mree.

559 and 560000 mE.

Natpis 560000 mE., se ita petsto ezdeset hiljada metara istono. Natpis 559, je skraenicaza 559000 mE. Dvije susjedne linije koordinatne mree su udaljene 1000 m.

Horizontalna linija ja oznaena na slian nain. 4281000N se ita etri miliona dvjestoosamdeset jedna hiljada metara sjeverno, a odnosi se na udaljenost sjeverno od ekvatora.

Veina aktivnosti oko navigacije na kopnu fokusirana je na veoma male dijelove planete. Na

GPS ureaju moemo oitati (isti poloaj kao u prethodnom primjeru):

10 S 05597414282182

Zona10 S 559741 mE. 4282182 mN.

Skraeni format za iste coordinate bi mogao izgledati ovako, gdje su pojedinano prikazanaznaenja pojedinih brojeva koordinata.

59 82 Opisuje 1000 m x 1000 m kvadrat.597821 Opisuje 100 m x 100 m kvadrat.59748218 Opisuje 10 m x 10 m kvadrat.5974182182 Opisuje 1 m x 1 m kvadrat.

Najee se u praksi koriste skraeni oblik za 100 m, 597 821, I skraeni oblik za 10 m,59748218.

Primjeujete da se prvo pie koordinata easting (u pravcu istoka) a nakon nje northing (upravcu sjevera). Zapamtite izraz itaj desno gore to pomae da zapamtite da itate eastingsa desna na lijevo, a nakon toga northing odozdo prema gore.


12/12


12

Primjer prikazan na sljedeoj karti locira sa preciznou od 100 m. Vrijednosti 10,000 m i1,000 m koordinata su oitane na karti. Prema tome koordinate 59 82lociraju poloajzvijezde unutar 1,000 metara kvadratnih. Pomou koordinatomjera je odreena preciznostodreivanja poloaja zvijezde do 100 m to se pie na sljedei nain 597 821.

Documents

Gaus - Krigerova projekcija