Elektrostatika

Gausov zakon

Fluks vektoraPojam fluksa bie objanjen razmatranjem ravnomernog konstantnog protoka tenosti.je vektor brzine tenosti, vektor normale povrine. Najvie tenosti e proticati kroz ram koji se nalazi u ravni normalnoj na pravac brzine.

Ako se ram postavi u ravan paralelnu vektoru brzine, tenost e da klizi preko rama, pa e protok biti jednak nuli. estice tenosti koje su se u trenutku t nalazile u ravni rama, u trenutku t+dt nalaze se na rastojanju vdt od rama u pravcu brzine. Ukupna koliina tenosti koja za vreme dt protekne kroz povrinu S jednaka je onoj koliini tenosti koja se nalazi u zapremini oznaenog kvadra.

Brzina protoka tenosti, koja predstavlja fluks vektora kroz povrinu S, oznaava se grkim slovom (psi), i iznosi:Nekad je potrebno znati na koju stranu protie tenost. Zato se vri orjentisanje povri, pa se povrina, iako je skalar, tretira kao vektorska veliina.Deo orjentisane ravne povri, povrine S, moe se tretirati kao vektor iji je intenzitet jednak povrini S, pravac normalan na S, a smer se poklapa sa usvojenim smerom normale na S.

Neka pravougaona povr, predstavljena vektorom , zaklapa ugao sa vektorom brzine . U tom sluaju e kroz nju, za interval vremena dt protei onoliko tenosti koliko se nae u zapremini kosog paralelopipeda:Fluks vektora brzine je tada:

Proizvod intenziteta dva vektora i kosinusa ugla izmeu njih predstavlja skalarni proizvod dva vektora.Ukoliko brzina nije homogena onda se, nakon orjentacije povrine S, ona izdeli na fiziki male povri , koje su dovoljno male da se mogu smatrati ravnim, a vektor na svakoj od njih konstantnim. Fluks dv kroz uoenu povr rauna se po formuli za skalarni proizvod:Ukupan fluks v kroz celu povr S, dobija se sumiranjem svih flukseva dv:

Definisanje Gausovog zakonaNeka pozitivno takasto naelektrisanje Q generie elektrino polje . Razmatra se sfera poluprenika r. U centru te sfere je smeteno naelektrisanje Q. Normala na povrinu sfere je paralelna smeru vektora polja jer polje deluje radijalno od naelektrisanja. Povrina sfere je 4r2. Konano, jaina polja u svim takama koje su na rastojanju r od centra sfere, tj. od takastog naelektrisanja, je:Ako se jaina elektrinog polja pomnoi povrinom sfere:

Vano je primetiti da je krajnji rezultat nezavistan od poluprenika sfere. To znai da e se isti rezultat dobiti za bilo koju sferu u ijem centru se nalazi neko naelektrisanje. Ovo je sutina Gausovog zakona. Gaus je takoe dokazao da se zakon moe primeniti na bilo koju zatvorenu povrinu i za bilo koju raspodelu elektrinog naelektrisanja.Tako, ako se bilo koji spoljanji element zatvorene povrine S pomnoi komponentom elektrinog polja koja je normalna na taj element povrine i zatim izvri sumiranje po celoj povrini, kao rezultat e se dobiti kolinik koliine naelektrisanja zahvaenog povrinom S i dielektrine konstante, tj.:

Ovaj integral se zove fluks vektora jaine elektrinog polja kroz povrinu S, oznaava se E, a proporcionalan je broju linija elektrinog polja koje prodiru kroz tu povrinu:Konvencija: Fluks je pozitivan ako linije elektrinog polja izlaze iz povrine S, a negativan ako utiu (ulaze) u nju. Najelegantnija definicija Gausovog zakona bi sad bila: Elektrini fluks kroz bilo koju zatvorenu povrinu jednak je ukupnom naelektrisanju koje je obuhvaeno tom povrinom, podeljenog dielektrinom konstantom .Gausov zakon je naroito vaan za odreivanje elektrinog polja generisanih raspodelama naelektrisanja koje imaju neku simetriju.

Elektrino polje sferinog provodnog omotaaOmota je homogeno naelektrisan negativnom koliinom naelektrisanja Q. Linije vektora elektrinog polja su usmerene ka omotau i normalne su na njegovu povrinu.Moe se desiti da postoji komponenta polja koja je paralelna povrini provodnog omotaa. Kako je viak elektrona koji postoji na povrini omotaa slobodan da se kree kroz provodnik, to e ova komponenta polja uzrokovati redistribuciju naelektrisanja na povrini omotaa, sve dok se paralelna komponenta polja ne izgubi, tj. ne bude jednaka nuli.

Zamislimo povrinu (sferu poluprenika R) neposredno iznad provodnog omotaa (Gausova povrina). Kako su linije elektrinog polja normalne na ovu povrinu, po Gausovom zakonu je: E je elektrinu fluks kroz Gausovu povr ija je povrina S=4R2, E je jaina elektrinog polja neposredno iznad provodnog omotaa.

Iz poslednje jednaine sledi da je:Isti rezultat za jainu elektrinog polja dobio bi se primenom Kulonovog zakona za takasto naelektrisanje ija je koliina naelektrisanja Q smetena u centru sferinog provodnog omotaa. Poslednja jednaina vai bilo gde izvan sferinog provodnog omotaa (gde R predstavlja udaljenost od centra sfere).Elektrino polje izvan naelektrisanog sferinog provodnog omotaa je isto kao kad bi ukupna koliina naelektrisanja koncentrisana u centru sfere generisala to elektrino polje.

Izaberimo sada Gausovu povrinu unutar sferinog provodnog omotaa. Unutar Gausove povri ne postoji naelektrisanje, s obzirom da se celokupno naelektrisanje nalazi na provodnom omotau koji je izvan ove Gausove povri.

Iz Gausovog zakona i simetrije sledi da je elektrino polje unutar omotaa jednako nuli. U stvari, elektrino polje unutar bilo kog upljeg provodnog tela je nula.

Elektrino polje ravnomerno naelektrisane sfereIzolovana sfera poluprenika a sadri koliinu naelektrisanja Q koje je ravnomerno rasporeeno po zapremini sfere .Razmatramo Gausovu povr koja je sfera poluprenika r sa centrom koji se poklapa sa centrom naelektrisane sfere. Gausov zakon daje:gde je S(r)=4r2 povrina Gausove povri, E(r) jaina elektrinog polja udaljenog za r od centra sfere, a Q(r) ukupna koliina naelektrisanja zahvaenog povrinom S(r).

odakle sledi da je elektrino polje:Jaina polja unutar sfere proporcionalna je radijusu r, a van sfere opada po poznatom zakonu 1/r2.

Elektrino polje uniformno naelektrisane ravniRazmatramo tanku beskonanu ravan koja je ravnomerno naelektrisana povrinskom gustinom naelektrisanja . Nek ravan zadovoljava uslov x=0. U skladu sa visokim stepenom simetrije, jaina elektrinog polja sa obe strane ravni bie funkcija samo koordinate x, a vektor polja normalan na ravan, usmeren ka ili od ravni u zavisnosti od vrste naelektrisanja.

Zamislimo sada zatvorenu povr u obliku cilindra ije su osnovice paralelne ravni, a omota normalan na nju, a ravan ga deli na dva jednaka dela. Nek je omota cilindra od x=a do x=a, a povrina njegovih osnovica S. Cilindar obuhvata deo naelektrisane ravni koji je jednak osnovicama i na njemu naelektrisanje Prema Gausovom zakonu:pri emu je uzeto da vai da je E(a)= E(a). Leva strana prethodne jednaine predstavlja fluks vektora jaine polja, a desna strana naelektrisanje koje je obuhvaeno Gausovom povri, tj. cilindrom, podeljeno dielektrinom konstantom:

Razmatramo elektrino polje od dve paralelne ravni naelektrisane istom koliinom naelektrisanja, samo suprotnog znaka . Ukupno polje koje nastaje od naelektrisanja svake ravni pojedinano moe se dobiti sabiranjem njihovih pojedinanih doprinosa. Moe se uoiti da je polje izmeu ravni homogeno, normalno na ravni i usmereno od pozitivne ka negativnoj ravni. Jaina polja je:

Elektrino polje uniformno naelektrisanog provodnikaRazmatramo beskonaan provodnikkoji je ravnomerno naelektrisan podunom gustinom naelektrisanja Q'. Elektrino polje nastalo usled ovakve ravnomerne raspodele naelektrisanja je cilindrino simetrino, a smer je radijalan i zavisi od vrste naelektrisanja provodnika. Neka je Gausova povr cilindar koji je koaksijalan sa provodnikom, ima poluprenik R i duinu L. Zbog simetrije u raspodeli naelektrisanja, elektrino polje je na svim mestima normalno na zakrivljene povri cilindra.

Na osnovu Gausovog zakona je:gde je E(R) jaina elektrinog polja u takama koje se nalaze na rastojanju R od provodnika. Leva strana jednaine predstavlja elektrini fluks kroz Gausovu povr, a desna naelektrisanje koje je obuhvaeno Gausovom povri, tj. cilindrom, podeljeno dielektrinom konstantom. Sledi i da je:Osnovice Gausovog cilindra ne doprinose ukupnom fluksu jer su paralelne vektoru jaine elektrinog polja.