Gauss Kanunu

Gauss Kanunu

Gauss kanunu:Tanım

Kapalı bir yüzey boyunca toplam elektrik akısı, yüzeydeki net elektrik yükünün a bölümüne eşittir.

Gauss kanunu Coulomb kanununa eşdeğerdir.

Gauss kanunu : Tanım

Bir yük dağılımını düşünelim•Yüklerle kaplı hayali bir yüzeyle kuşatılmış olsun• Hayali yüzey üzerindeki çeşitli noktalarda elektrik alana bakalım

+ q

EE

E

Hayali yüzey

0q

FE

+ 0q

F Deneme yükü

• Hayali yüzeydeki yük dağılımını ortaya çıkarmak için, özellikle yüzeydeki elektrik alanı ölçmemiz gerekmektedir.•Bunu yapmak için yük miktarı bilinen bir deneme yükü yerleştirilir ve elektrik kuvvet ölçülür.

Yük ve Elektrik Akısı

Farklı yüklerin elektrik alanları

+

q q2

qq2

+ +

-

-

-

Dışa doğru akı

Dışa doğru akı

İçe doğru akı

İçe doğru akı


Elektrik akısı

+

q q2+ +Dışa doğru

akıDışa doğru akı

+

q Yüzeye uzaklık iki katına çıktığındaYüzey alanı dört katına çıkarElektrik alan 1/4 olur.


Elektrik akısının tanımı Yüzeyde küçük bir alan üzerindeki herhangi bir nokta için, yüzeye dik elektrik alan bileşenini ve yüzey alanı bileşenin çarpımını alırız.Böylece yüzey boyunca toplanan bu nicelik net elektrik akısını verir.

•Kapalı bir yüzey boyunca elektrik akısının dışa doğru mu yoksa içe doğru mu olduğu ,yüzeyi kaplayan yükün işaretine bağlıdır.•Yüzeyin dışındaki yükler yüzey boyunca net elektrik akısı vermez.

• Net elektrik akısı yüzeyle kuşatılmış olan net yük miktarıyla doğru Orantılıdır fakat bunu yanında kapalı yüzeyin boyutlarından bağımsızdır.

Gauss kanununun nitel ifadesi

Elektrik Akısının Hesaplanması

Hız alan vektörü ile elektrik akı arasındaki analoji Akan sıvı içindeki hız alan vektörü ve elektrik akı arasında iyi bir anoloji kurulabilir.

A (alan)

A

Hız vektörü (akış hızı)

Alan düzlemini belirten bir vektör alan,düzleme diktir.

A

Hacim akış oranı: Adt

dV

Hacim akış oranı:

A

AAAdt

dV

cos

nAAAA

;cos;cos

A


Hız alan vektörü ile elektrik akı arasındaki analoji

A (area)

A E

Hız vektörü (akış hızı)

Bir alanın düzlemini tanımlayan vektör alan düzleme diktir.

A

Elektrik akısı: EAE

Elektrik akı:

AAAdt

dV cos

cos;cos AAEE

Adt

dV

AEAEEA

cos

Hacim akış oranı:

E


Küçük bir alan unsuru ve Akı

AdEd E

Bir alan için toplam akı

dAnAdAdEdAEdAEd EE

;cos

Örnek 22.1: Bir disk boyunca elektrik akısı

E

Ar = 0.10 m

30

C/mN54

30cos)m4N/C)(0.031100.2(cos

m0314.0m)10.0(

2

23

22

EA

A

E


Örnek 22.2: Bir küp boyunca elektrik akısı

1n̂2n̂3n̂

4n̂

5n̂

6n̂

L

E

221 180cosˆ

1ELELAnEE

222 0cosˆ

2ELELAnEE

090cos2

6543 ELEEEE

06

1

i

i EE i


Örnek 22.3: Bir küre boyunca elektrik akısı

+

+q

r=0.20 m

Ad

q=3.0 CA=2r2

C/mN104.3

)(0.20m)N/C)(41075.6(

N/C1075.6

(0.20m)

C100.3)C/mN100.9(

4

//ˆ//,

25

25E

5

2

6229

20

EAEdA

r

qE

AdnEEE

Gauss kanunu

Öncelikle : Herhangi bir kapalı yüzey boyunca toplam elektrik akısı (belirli bir hacimle kaplanan yüzey) yüzeydeki toplam elektrik yüküyle orantılıdır.

Durum 1: Bir tek pozitif q yükünün alanı

+

q

r=R

E

E

204

1

R

qE

r=R olan bir küre

at r=R

surfaceE

0

2

0

)4(4

1

q

RR

qEAE

Akı R yüzey yarıçapından bağımsızdır .

Gauss Kanunu Durum1: Bir tek pozitif q yükünün alanı

+

q

r=R

r=2R

RE

RR EE

4

12

dAdAR

dAdA R 42

Küçük bir küreden geçen her alan çizgisi aynı zamanda daha büyük bir küreden de geçer

Her bir küre boyunca toplam akı aynıdır.

Benzerlik dA gibi yüzeyin her bir parçası için doğrudur.

RR ERRRRRRE ddAEdAEdAEd2224

4

1

0q

AdEE

Yükü kaplayan kapalı yüzeyi sağlayan her boyut veya her şekil için bu doğrudur.

Gauss Kanunu Durum 2: Bir tek pozitif yükün alanı (Genel yüzey)

+

q

E

dA

+

EcosE

EnE

dA

cosdA

Yüzeye dik E

dAEdAEd E cos

0q

AdEE

Gauss kanunuDurum 3: İçinde yük bulunmayan kapalı bir yüzey

0AdEE

+

İçeri giren elektrik alan çizgileri, dışarı çıkar.Elektrik alan çizgilerinin alanın bir bölgesinde başlayabilmesi ya da bitebilmesi ancak o bölge içinde yük mevcutken olur.

Gauss kanunu

Kapalı yüzey boyunca toplam elektrik akı yüzey içindeki net elektrik yükünün a bölümüne eşittir

i ii iencl

enclE EEqQ

QAdE

,;

0

Bir başka örnek 22.4

Gauss kanununun uygulamaları Tanım

• Yük dağılımı Alan

• Simetri uygulamanın prosedürünü kolaylaştırır.

Bir iletken üzerindeki yük dağılımını elektrik alanı

• Fazla yük katı iletken üzerine yerleşmişken ve sabitken, tamamen yüzeyde bulunur, bu metalin iç yükü değildir.(fazla yük = metali iletken yapan serbest elektron ve iyonlar dışındaki yüktür.)

İletken içindeki gauss yüzeyi

Yüzeydeki yük

iletken

Gauss kanununun uygulamaları

İletken üzerindeki yük dağılımının elektrik alanı

İletken içindeki gauss yüzeyi

Yüzeydeki yükler

İletken

•İletken içerisindeki gauss yüzeyi çizilir• Bu yüzeyde her yerde E=0 dır (iletken içinde)• Yüzey içindeki net yük sıfırdır.• Katı iletken içerisinde herhangi bir noktada hiçbir fazla yük olmayabilir.• Her bir fazla yük iletken yüzeyinde bulunmalıdır.• Yüzeydeki E yüzeye diktir.

Gauss kanunu

İletken metal içerisinde her noktadaki elektrik alanbir elektrostatik konumda sıfırdır. (bütün yükler hareketsizdir).Şayet E sıfır olmasaydı, yükler hareket ederdi.

Sayfa 84 deki problem çözüm stratejisini okuyun


örnek 22.5: Yüklü iletken kürenin alanı

+

+

+

+

+ +

++

R

R 2R 3R

Gauss yüzeyi

0: ERr

:rR Küre dışında bir Gauss yüzeyi çizilir

204

1:

R

qERr

204

1

R

qER

4/RE9/RE


Örnek 22.6: Çizgi yükün alanı

Çizgi yük yoğunluğu

Simetriye göre seçilen Gauss yüzeyiEEE ,

Ad

enclQ

0

)2(

rEE

rE

02

1


Örnek 22.7: Yüklü sonsuz düzgün bir levhanın alanı

++

+

+

+

+

+++ +

+

Gauss yüzeyi

E E

AQencl

0

)(2A

EAE

02

E

İki sonlu yüzey


Örnek 22.8: Zıt yüklü paralel iletken plakalar arasındaki alan

+++++++++

---------

plate 1 plate 2

2E

1E

1E

1E

E

2E

2E

ab

c

S1

S2 S3

S4

Çözüm 1:

Bu yüzeyler üzerinde elektrik akı yok

Çözüm 2:

İçe doğru akı

Dışa doğru akı

Noktada a : 02121

EEEEE

b :

c :

0021 2

2

EEE

02121

EEEEE


Örnek 22.9: Düzgün bir şekilde yüklü kürenin alanı Gauss yüzeyi

r=R

R

++

++

+ +

++

+ +

+

+0

3 /)3

4(: rEARr

30

032

4

1

/)3

4()4(

R

QrE

rrE

204

1:

R

QERr

20

0

2

4

1

)4(:

r

QE

QrErR


Örnek 22.10: Yüklü içi boş kürenin alanı

R=0.250 m

r=0.300 m

E

İçi boş yüklü küre

N/C1080.1 2E

nC801.0)4(

)4(

20

0

2

rEq

qrEdAE

EE

E

Gauss yüzeyi

İletkenler üzerindeki yükler

Durum 1: Katı iletken üzerindeki yük elektrostatik bir durumdakiİletken yüzeyinde bulunur.

++

++

++++

+++++ + +

+

Durum 2: Oyulmuş iletken üzerindeki yük

++

++

++++

+++++ + +

+ Gauss yüzeyi

İletken içerisinde her noktada elektrik alan sıfırdır veKatı iletken üzerindeki her bir fazla yük onun yüzeyi üzerine yerleşir.

Oyuk içinde yük yoksa, oyuk yüzey üzerindeki net yük sıfırdır.


Durum 3: Oyuklu bir iletkenin yükü ve oyuk içindeki q yükü

++

++

++++

+++++ + +

+

Gauss yüzeyi

+--- --

--

•İletken yüklenmemiştir ve q yükünden yalıtılmıştır.

•Gauss yüzeyindeki toplam yük Gauss kuralı ve yüzeyde E=0 olduğundan sıfır olmalıdır.Bu yüzden boşluğun yüzeyinde yüzeye dağılmış –q yükü olmalıdır

•Benzer tartışma başlangıçta qC yüküne sahip iletken durumu için kullanılabilir.Bu durumda dış yüzeydeki toplam yük oyuk içine koyulan q yükünden sonra q+qC olmalıdır


Faraday ın buz kovası deneyi

iletken

Yüklü iletken top

(1) Faraday yüksüz metal buz kovası(metal kova) ve yüksüz elektroskop ile işe başladı (2) Daha sonra, dikkatli bir şekilde kovanın yanlarına dokundurmadan buz kova içerisine metal topu sarkıttı. Elektroskop’ un yaprakları ayrıldı.Bununla birlikte, ayrılma derecesi metal topun yerleşiminden bağımsızdır. Sadece metal top tamamen geri çekildiğinde yaprakları eski pozisyonuna geri döner.


Faraday ın buz kovası deneyi

iletken

Yüklü iletken top

(3) Faraday şayet metal topun buz kovanın yüzeyi içine kontak etmesine müsaade edilseydi elektroskop’un yapraklarının ayrı kalacağına dikkat çekti. (4) Daha sonra , buz kova içerisinden topu tamamen çıkardığında, yapraklar ayrı kaldı. Bununla birlikte, metal top artık yüksüzdür. Bunun için küreye dıştan bağlı olan elektroskobun yaprakları, top kürenin içerisine dokundurulduğunda, hareket etmedi , böylece Faraday topu nötürleştirmek için içyüzeyin yeterince yüke sahip olduğunu buldu.


Bir İletken yüzeyindeki alan

• İletken dışındaki elektrik alanın büyüklüğü /0 dır ve yüzeye dik yönlendirilmiştir.

İletken içine ilerleyen küçük bir hap kutu çizilir.

içerde alan olmadığı için , bütün akılar üst

taraftan çıkar.

EA=q/0= A/ 0,

E= / 0

Alıştırmalar

Alıştırma 1

Alıştırmalar

Alıştırma 1

Alıştırmalar

Alıştırma 2: Bir küre ve bir iletken kabuk

R1

R2

Q1

Q2

Q2=-3Q1 • Gauss kanunundan iletken içerisinde net yük olmaz, ve yük küre yüzeyi dışında bulunmalıdır.

• Küre içinde net yük olmaz.Bu yüzden kabuk yüzeyine –Q1 net yükü götürülmelidir ve yüzeyin dışına +Q1+Q2 net yükü götürülmelidir. Böylecekabuk üzerinde net yük Q2 ye eşittir. Bu yükler düzenli bir şekilde dağılır.

22

122

1222

1

4

2

44 R

Q

R

QQ

R

Qouterinner

Alıştırmalar

Alıştırma 2: Bir küre ve bir iletken kabuk

R1

R2

Q1

Q2

Q2=-3Q1

rr

Qkr

r

QQkErR

rr

QkERrR

ERr

ˆ2

ˆ:

ˆ:

0:

21

221

2

21

21

1

Alıştırmalar

Alıştırma 3: Silindir

dış

R

iç

h

toplam

Sonsuz bir çizgi yük yarıçapı R olan içi boş yüklü iletken sonsuz bir silindiriksel kabuğun tam olarak ortasından geçer. Şimdi uzunluğu h olan silindirik kabuğun bir parçasına odaklanalım. Çizgi yük lineer yük yoğunluğuna sahiptir, ve silindirik kabuk total yüzey yük yoğunluğuna sahiptir.

Alıştırmalar


dış

R

iç

h

toplam

Silindirik kabuk içinde elektrik alan sıfırdır. Bu yüzden silindirde silindir kabuk içinde bulunan bir gauss yüzeyi seçersek , kuşatılmış net yük sıfır olur. Çizgi boyunca dış yükü dengelemek için silindir duvar içinde bir yüzey yük yoğunluğu mevcuttur.

Alıştırmalar


dış

R

iç

h

toplam

•Çizgi yükün kuşatılmış parçası ( h uzunluğu) üzerindeki toplam yük :

• İletken silindir kabuğun yüzeyi içindeki yük:

hhQinner

RRh

hinner

22

Alıştırmalar

Alıştırma 3: Silinidir

dış

R

iç

h

toplam

• Silindir üzerindeki net yük yoğunluğu:

•Harici yük yoğunluğu :

total

Rtotalinnertotalouter

2

outer

Alıştırmalar


dış

R

iç

h

total

• r (>R) yarıçaplı çizgi yükle çevrelenen Gauss yüzeyini çizelim;

Rrfor2

,200

r

Ehqq

rhE renclencl

r

Alıştırmalar


dış

R

iç

h

total

•r (>R) yarıçaplı çizgi yükle çevrelenen Gauss yüzeyini çizelim;

Rrfor2

,2000

rr

REhQq

qrhE total

renclencl

r

•Çizgi üzerindeki net yük: kabuk boyunca net yük:htotalRhQ 2

Documents

Gauss Kanunu