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RICERCA OPERATIVA
(PROBLEMI DI SCELTA)
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Il termine ldquo RICERCA OPERATIVArdquo sembra sia stato usato per la prima volta nel 1939 ma giagrave precedentemente alcuni scienziati si erano occupati di problemi decisionali Fra gli esempi isolati ma importanti di anticipazione dei metodi della RO possiamo ricordare i seguenti bullNel 1776 il matematico G MONGE ha affrontato un problema di trasporti esaminandone con metodi analitici gli aspetti economici
bullNel 1885 FW TAYLOR ha pubblicato uno studio sui metodi di produzione
bullNel 1908 AK ERLANG ha studiato il problema della congestione del traffico telefonico
Tuttavia il progresso della RO non si sarebbe forse verificato se non fosse
stato per i suoi sviluppi nelle organizzazioni militari durante la seconda guerra mondiale
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Durante la II Guerra Mondiale i responsabili militari inglesi si rivolsero agli scienziati per chiedere il loro aiuto quando iniziograve lrsquoattacco aereo tedesco sulla Gran BretagnaLrsquoaiuto specifico chiesto agli scienziati riguardava lrsquoadozione del radar nella strategia di difesa aereaPiccoli gruppi di scienziati provenienti da diverse discipline lavorarono su questi problemi con notevole successo nel periodo 1939-1940
Questi gruppi di scienziati avevano come riferimenti i responsabili delle operazioni militari e quindi il loro lavoro divenne noto come ldquoRicerca Operativardquo
Dopo la guerra questi operatori vennero poco a poco assorbiti dallrsquoindustria dalle aziende di consulenza da universitagrave e da organizzazioni stataliOggi la maggior parte delle grandi imprese si serve della RO
DEFINIZIONE DI RICERCA OPERATIVA (MORSE E KIMBALL)
La ricerca operativa egrave lrsquoapplicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a sistemi complessi e organizzati per fornire al personale dirigente soluzioni
utilizzabili nei processi decisionali
ESEMPLIFICAZIONE
UFFICIO APPROVVIGIONAMENTO
DECISIONI IN MERITO A
bullQUANTITArsquo DI MATERIA PRIMA DA ACQUISTARE
bullDA QUALE FORNITORE ACQUISTARE
bullQUANDO ACQUISTARE
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Fasi di una ricerca operativa
1 ndash Formulazione del problema
2 ndash Raccolta dei dati
3 ndash Costruzione del modello matematico
4 ndash Ricerca di una soluzione
5 ndash Controllo del modello
e della soluzione
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In una prima fase egrave necessario determinare con chiarezza gli obbiettivi appropriati i vincoli da porre le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dellrsquoorganizzazione ecchellip
Questa fase egrave fondamentale percheacute influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioegrave la raccolta dei dati che saranno utilizzati per le fasi successive
FORMULAZIONE DEL PROBLEMA E RACCOLTA DATI
GBarbaro 8
Costruzione del modello matematico
I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche
Ci saragrave sempre una funzione obiettivo da massimizzare(ricavi profitti vendite) o minimizzare(costi perdite macchinari)
Tale funzione dipenderagrave da una o piugrave variabili drsquoazione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori
Le variabili spesso sono legate tra di loro e devono sottostare a determinate limitazioni
Tutto questo saragrave rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni
MODELLO MATEMATICO
Funzione Obiettivo Y = f (x 1 x 2helliphelliphelliphellipx n)
La funzione obiettivo esprime un costo un ricavo un guadagn0
+
Vincoli espressi da equazioni eo disequazioni
I vincoli sono di due tipologie vincoli di segno(che esprimono la positivitagrave delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle situazioni reali pes capacitagrave del magazzino)
Le variabili x1 x2 hellip xn si chiamano variabili di azione e sono le variabili controllabili
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Creato il modello matematico si cerca se esiste la soluzione ottimale o con i metodi della matematica classica o con metodi di analisi numerica oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarlaUna soluzione ottimale egrave quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello
Trovata la soluzione ottimale nel modello bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtagrave e la soluzione deve essere valutata
ESEMPIO
Unrsquoazienda che produce concime ha una capacitagrave produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana
Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale
Il prezzo di vendita del prodotto egrave legato alla domanda dalla funzione x = 250 ndash 05 p
Determinare la quantitagrave da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno
P = 500 ndash 2x
Il guadagno egrave dato da
Y = (500 ndash 2x)x ndash15000 ndash30x
Y = -2x2 +470 ndash15000 con vincoli
xgt=0
xlt=220
Il modello risolto con lrsquoanalisi ci conduce alla conclusione che saragrave necessario vendere 1175 quintali di concime
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R O
RO
CONDIZIONICERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
CONDIZIONIINCERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
Investimenti Finanziari e Industriali
bullMax-min(continui-discreti) ad una o due variabili
bullScorte
bullScelte tra due o piugrave alternative
bullProgrammazione Lineare
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
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Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
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Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
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Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
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Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
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In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
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Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
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Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
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Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 2
Il termine ldquo RICERCA OPERATIVArdquo sembra sia stato usato per la prima volta nel 1939 ma giagrave precedentemente alcuni scienziati si erano occupati di problemi decisionali Fra gli esempi isolati ma importanti di anticipazione dei metodi della RO possiamo ricordare i seguenti bullNel 1776 il matematico G MONGE ha affrontato un problema di trasporti esaminandone con metodi analitici gli aspetti economici
bullNel 1885 FW TAYLOR ha pubblicato uno studio sui metodi di produzione
bullNel 1908 AK ERLANG ha studiato il problema della congestione del traffico telefonico
Tuttavia il progresso della RO non si sarebbe forse verificato se non fosse
stato per i suoi sviluppi nelle organizzazioni militari durante la seconda guerra mondiale
GBarbaro 3
Durante la II Guerra Mondiale i responsabili militari inglesi si rivolsero agli scienziati per chiedere il loro aiuto quando iniziograve lrsquoattacco aereo tedesco sulla Gran BretagnaLrsquoaiuto specifico chiesto agli scienziati riguardava lrsquoadozione del radar nella strategia di difesa aereaPiccoli gruppi di scienziati provenienti da diverse discipline lavorarono su questi problemi con notevole successo nel periodo 1939-1940
Questi gruppi di scienziati avevano come riferimenti i responsabili delle operazioni militari e quindi il loro lavoro divenne noto come ldquoRicerca Operativardquo
Dopo la guerra questi operatori vennero poco a poco assorbiti dallrsquoindustria dalle aziende di consulenza da universitagrave e da organizzazioni stataliOggi la maggior parte delle grandi imprese si serve della RO
DEFINIZIONE DI RICERCA OPERATIVA (MORSE E KIMBALL)
La ricerca operativa egrave lrsquoapplicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a sistemi complessi e organizzati per fornire al personale dirigente soluzioni
utilizzabili nei processi decisionali
ESEMPLIFICAZIONE
UFFICIO APPROVVIGIONAMENTO
DECISIONI IN MERITO A
bullQUANTITArsquo DI MATERIA PRIMA DA ACQUISTARE
bullDA QUALE FORNITORE ACQUISTARE
bullQUANDO ACQUISTARE
GBarbaro 6
Fasi di una ricerca operativa
1 ndash Formulazione del problema
2 ndash Raccolta dei dati
3 ndash Costruzione del modello matematico
4 ndash Ricerca di una soluzione
5 ndash Controllo del modello
e della soluzione
GBarbaro 7
In una prima fase egrave necessario determinare con chiarezza gli obbiettivi appropriati i vincoli da porre le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dellrsquoorganizzazione ecchellip
Questa fase egrave fondamentale percheacute influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioegrave la raccolta dei dati che saranno utilizzati per le fasi successive
FORMULAZIONE DEL PROBLEMA E RACCOLTA DATI
GBarbaro 8
Costruzione del modello matematico
I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche
Ci saragrave sempre una funzione obiettivo da massimizzare(ricavi profitti vendite) o minimizzare(costi perdite macchinari)
Tale funzione dipenderagrave da una o piugrave variabili drsquoazione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori
Le variabili spesso sono legate tra di loro e devono sottostare a determinate limitazioni
Tutto questo saragrave rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni
MODELLO MATEMATICO
Funzione Obiettivo Y = f (x 1 x 2helliphelliphelliphellipx n)
La funzione obiettivo esprime un costo un ricavo un guadagn0
+
Vincoli espressi da equazioni eo disequazioni
I vincoli sono di due tipologie vincoli di segno(che esprimono la positivitagrave delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle situazioni reali pes capacitagrave del magazzino)
Le variabili x1 x2 hellip xn si chiamano variabili di azione e sono le variabili controllabili
GBarbaro 10
Creato il modello matematico si cerca se esiste la soluzione ottimale o con i metodi della matematica classica o con metodi di analisi numerica oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarlaUna soluzione ottimale egrave quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello
Trovata la soluzione ottimale nel modello bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtagrave e la soluzione deve essere valutata
ESEMPIO
Unrsquoazienda che produce concime ha una capacitagrave produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana
Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale
Il prezzo di vendita del prodotto egrave legato alla domanda dalla funzione x = 250 ndash 05 p
Determinare la quantitagrave da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno
P = 500 ndash 2x
Il guadagno egrave dato da
Y = (500 ndash 2x)x ndash15000 ndash30x
Y = -2x2 +470 ndash15000 con vincoli
xgt=0
xlt=220
Il modello risolto con lrsquoanalisi ci conduce alla conclusione che saragrave necessario vendere 1175 quintali di concime
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R O
RO
CONDIZIONICERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
CONDIZIONIINCERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
Investimenti Finanziari e Industriali
bullMax-min(continui-discreti) ad una o due variabili
bullScorte
bullScelte tra due o piugrave alternative
bullProgrammazione Lineare
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 3
Durante la II Guerra Mondiale i responsabili militari inglesi si rivolsero agli scienziati per chiedere il loro aiuto quando iniziograve lrsquoattacco aereo tedesco sulla Gran BretagnaLrsquoaiuto specifico chiesto agli scienziati riguardava lrsquoadozione del radar nella strategia di difesa aereaPiccoli gruppi di scienziati provenienti da diverse discipline lavorarono su questi problemi con notevole successo nel periodo 1939-1940
Questi gruppi di scienziati avevano come riferimenti i responsabili delle operazioni militari e quindi il loro lavoro divenne noto come ldquoRicerca Operativardquo
Dopo la guerra questi operatori vennero poco a poco assorbiti dallrsquoindustria dalle aziende di consulenza da universitagrave e da organizzazioni stataliOggi la maggior parte delle grandi imprese si serve della RO
DEFINIZIONE DI RICERCA OPERATIVA (MORSE E KIMBALL)
La ricerca operativa egrave lrsquoapplicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a sistemi complessi e organizzati per fornire al personale dirigente soluzioni
utilizzabili nei processi decisionali
ESEMPLIFICAZIONE
UFFICIO APPROVVIGIONAMENTO
DECISIONI IN MERITO A
bullQUANTITArsquo DI MATERIA PRIMA DA ACQUISTARE
bullDA QUALE FORNITORE ACQUISTARE
bullQUANDO ACQUISTARE
GBarbaro 6
Fasi di una ricerca operativa
1 ndash Formulazione del problema
2 ndash Raccolta dei dati
3 ndash Costruzione del modello matematico
4 ndash Ricerca di una soluzione
5 ndash Controllo del modello
e della soluzione
GBarbaro 7
In una prima fase egrave necessario determinare con chiarezza gli obbiettivi appropriati i vincoli da porre le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dellrsquoorganizzazione ecchellip
Questa fase egrave fondamentale percheacute influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioegrave la raccolta dei dati che saranno utilizzati per le fasi successive
FORMULAZIONE DEL PROBLEMA E RACCOLTA DATI
GBarbaro 8
Costruzione del modello matematico
I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche
Ci saragrave sempre una funzione obiettivo da massimizzare(ricavi profitti vendite) o minimizzare(costi perdite macchinari)
Tale funzione dipenderagrave da una o piugrave variabili drsquoazione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori
Le variabili spesso sono legate tra di loro e devono sottostare a determinate limitazioni
Tutto questo saragrave rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni
MODELLO MATEMATICO
Funzione Obiettivo Y = f (x 1 x 2helliphelliphelliphellipx n)
La funzione obiettivo esprime un costo un ricavo un guadagn0
+
Vincoli espressi da equazioni eo disequazioni
I vincoli sono di due tipologie vincoli di segno(che esprimono la positivitagrave delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle situazioni reali pes capacitagrave del magazzino)
Le variabili x1 x2 hellip xn si chiamano variabili di azione e sono le variabili controllabili
GBarbaro 10
Creato il modello matematico si cerca se esiste la soluzione ottimale o con i metodi della matematica classica o con metodi di analisi numerica oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarlaUna soluzione ottimale egrave quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello
Trovata la soluzione ottimale nel modello bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtagrave e la soluzione deve essere valutata
ESEMPIO
Unrsquoazienda che produce concime ha una capacitagrave produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana
Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale
Il prezzo di vendita del prodotto egrave legato alla domanda dalla funzione x = 250 ndash 05 p
Determinare la quantitagrave da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno
P = 500 ndash 2x
Il guadagno egrave dato da
Y = (500 ndash 2x)x ndash15000 ndash30x
Y = -2x2 +470 ndash15000 con vincoli
xgt=0
xlt=220
Il modello risolto con lrsquoanalisi ci conduce alla conclusione che saragrave necessario vendere 1175 quintali di concime
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R O
RO
CONDIZIONICERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
CONDIZIONIINCERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
Investimenti Finanziari e Industriali
bullMax-min(continui-discreti) ad una o due variabili
bullScorte
bullScelte tra due o piugrave alternative
bullProgrammazione Lineare
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
DEFINIZIONE DI RICERCA OPERATIVA (MORSE E KIMBALL)
La ricerca operativa egrave lrsquoapplicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a sistemi complessi e organizzati per fornire al personale dirigente soluzioni
utilizzabili nei processi decisionali
ESEMPLIFICAZIONE
UFFICIO APPROVVIGIONAMENTO
DECISIONI IN MERITO A
bullQUANTITArsquo DI MATERIA PRIMA DA ACQUISTARE
bullDA QUALE FORNITORE ACQUISTARE
bullQUANDO ACQUISTARE
GBarbaro 6
Fasi di una ricerca operativa
1 ndash Formulazione del problema
2 ndash Raccolta dei dati
3 ndash Costruzione del modello matematico
4 ndash Ricerca di una soluzione
5 ndash Controllo del modello
e della soluzione
GBarbaro 7
In una prima fase egrave necessario determinare con chiarezza gli obbiettivi appropriati i vincoli da porre le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dellrsquoorganizzazione ecchellip
Questa fase egrave fondamentale percheacute influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioegrave la raccolta dei dati che saranno utilizzati per le fasi successive
FORMULAZIONE DEL PROBLEMA E RACCOLTA DATI
GBarbaro 8
Costruzione del modello matematico
I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche
Ci saragrave sempre una funzione obiettivo da massimizzare(ricavi profitti vendite) o minimizzare(costi perdite macchinari)
Tale funzione dipenderagrave da una o piugrave variabili drsquoazione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori
Le variabili spesso sono legate tra di loro e devono sottostare a determinate limitazioni
Tutto questo saragrave rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni
MODELLO MATEMATICO
Funzione Obiettivo Y = f (x 1 x 2helliphelliphelliphellipx n)
La funzione obiettivo esprime un costo un ricavo un guadagn0
+
Vincoli espressi da equazioni eo disequazioni
I vincoli sono di due tipologie vincoli di segno(che esprimono la positivitagrave delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle situazioni reali pes capacitagrave del magazzino)
Le variabili x1 x2 hellip xn si chiamano variabili di azione e sono le variabili controllabili
GBarbaro 10
Creato il modello matematico si cerca se esiste la soluzione ottimale o con i metodi della matematica classica o con metodi di analisi numerica oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarlaUna soluzione ottimale egrave quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello
Trovata la soluzione ottimale nel modello bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtagrave e la soluzione deve essere valutata
ESEMPIO
Unrsquoazienda che produce concime ha una capacitagrave produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana
Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale
Il prezzo di vendita del prodotto egrave legato alla domanda dalla funzione x = 250 ndash 05 p
Determinare la quantitagrave da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno
P = 500 ndash 2x
Il guadagno egrave dato da
Y = (500 ndash 2x)x ndash15000 ndash30x
Y = -2x2 +470 ndash15000 con vincoli
xgt=0
xlt=220
Il modello risolto con lrsquoanalisi ci conduce alla conclusione che saragrave necessario vendere 1175 quintali di concime
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R O
RO
CONDIZIONICERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
CONDIZIONIINCERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
Investimenti Finanziari e Industriali
bullMax-min(continui-discreti) ad una o due variabili
bullScorte
bullScelte tra due o piugrave alternative
bullProgrammazione Lineare
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
ESEMPLIFICAZIONE
UFFICIO APPROVVIGIONAMENTO
DECISIONI IN MERITO A
bullQUANTITArsquo DI MATERIA PRIMA DA ACQUISTARE
bullDA QUALE FORNITORE ACQUISTARE
bullQUANDO ACQUISTARE
GBarbaro 6
Fasi di una ricerca operativa
1 ndash Formulazione del problema
2 ndash Raccolta dei dati
3 ndash Costruzione del modello matematico
4 ndash Ricerca di una soluzione
5 ndash Controllo del modello
e della soluzione
GBarbaro 7
In una prima fase egrave necessario determinare con chiarezza gli obbiettivi appropriati i vincoli da porre le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dellrsquoorganizzazione ecchellip
Questa fase egrave fondamentale percheacute influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioegrave la raccolta dei dati che saranno utilizzati per le fasi successive
FORMULAZIONE DEL PROBLEMA E RACCOLTA DATI
GBarbaro 8
Costruzione del modello matematico
I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche
Ci saragrave sempre una funzione obiettivo da massimizzare(ricavi profitti vendite) o minimizzare(costi perdite macchinari)
Tale funzione dipenderagrave da una o piugrave variabili drsquoazione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori
Le variabili spesso sono legate tra di loro e devono sottostare a determinate limitazioni
Tutto questo saragrave rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni
MODELLO MATEMATICO
Funzione Obiettivo Y = f (x 1 x 2helliphelliphelliphellipx n)
La funzione obiettivo esprime un costo un ricavo un guadagn0
+
Vincoli espressi da equazioni eo disequazioni
I vincoli sono di due tipologie vincoli di segno(che esprimono la positivitagrave delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle situazioni reali pes capacitagrave del magazzino)
Le variabili x1 x2 hellip xn si chiamano variabili di azione e sono le variabili controllabili
GBarbaro 10
Creato il modello matematico si cerca se esiste la soluzione ottimale o con i metodi della matematica classica o con metodi di analisi numerica oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarlaUna soluzione ottimale egrave quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello
Trovata la soluzione ottimale nel modello bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtagrave e la soluzione deve essere valutata
ESEMPIO
Unrsquoazienda che produce concime ha una capacitagrave produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana
Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale
Il prezzo di vendita del prodotto egrave legato alla domanda dalla funzione x = 250 ndash 05 p
Determinare la quantitagrave da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno
P = 500 ndash 2x
Il guadagno egrave dato da
Y = (500 ndash 2x)x ndash15000 ndash30x
Y = -2x2 +470 ndash15000 con vincoli
xgt=0
xlt=220
Il modello risolto con lrsquoanalisi ci conduce alla conclusione che saragrave necessario vendere 1175 quintali di concime
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R O
RO
CONDIZIONICERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
CONDIZIONIINCERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
Investimenti Finanziari e Industriali
bullMax-min(continui-discreti) ad una o due variabili
bullScorte
bullScelte tra due o piugrave alternative
bullProgrammazione Lineare
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 6
Fasi di una ricerca operativa
1 ndash Formulazione del problema
2 ndash Raccolta dei dati
3 ndash Costruzione del modello matematico
4 ndash Ricerca di una soluzione
5 ndash Controllo del modello
e della soluzione
GBarbaro 7
In una prima fase egrave necessario determinare con chiarezza gli obbiettivi appropriati i vincoli da porre le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dellrsquoorganizzazione ecchellip
Questa fase egrave fondamentale percheacute influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioegrave la raccolta dei dati che saranno utilizzati per le fasi successive
FORMULAZIONE DEL PROBLEMA E RACCOLTA DATI
GBarbaro 8
Costruzione del modello matematico
I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche
Ci saragrave sempre una funzione obiettivo da massimizzare(ricavi profitti vendite) o minimizzare(costi perdite macchinari)
Tale funzione dipenderagrave da una o piugrave variabili drsquoazione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori
Le variabili spesso sono legate tra di loro e devono sottostare a determinate limitazioni
Tutto questo saragrave rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni
MODELLO MATEMATICO
Funzione Obiettivo Y = f (x 1 x 2helliphelliphelliphellipx n)
La funzione obiettivo esprime un costo un ricavo un guadagn0
+
Vincoli espressi da equazioni eo disequazioni
I vincoli sono di due tipologie vincoli di segno(che esprimono la positivitagrave delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle situazioni reali pes capacitagrave del magazzino)
Le variabili x1 x2 hellip xn si chiamano variabili di azione e sono le variabili controllabili
GBarbaro 10
Creato il modello matematico si cerca se esiste la soluzione ottimale o con i metodi della matematica classica o con metodi di analisi numerica oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarlaUna soluzione ottimale egrave quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello
Trovata la soluzione ottimale nel modello bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtagrave e la soluzione deve essere valutata
ESEMPIO
Unrsquoazienda che produce concime ha una capacitagrave produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana
Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale
Il prezzo di vendita del prodotto egrave legato alla domanda dalla funzione x = 250 ndash 05 p
Determinare la quantitagrave da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno
P = 500 ndash 2x
Il guadagno egrave dato da
Y = (500 ndash 2x)x ndash15000 ndash30x
Y = -2x2 +470 ndash15000 con vincoli
xgt=0
xlt=220
Il modello risolto con lrsquoanalisi ci conduce alla conclusione che saragrave necessario vendere 1175 quintali di concime
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R O
RO
CONDIZIONICERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
CONDIZIONIINCERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
Investimenti Finanziari e Industriali
bullMax-min(continui-discreti) ad una o due variabili
bullScorte
bullScelte tra due o piugrave alternative
bullProgrammazione Lineare
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 7
In una prima fase egrave necessario determinare con chiarezza gli obbiettivi appropriati i vincoli da porre le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dellrsquoorganizzazione ecchellip
Questa fase egrave fondamentale percheacute influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioegrave la raccolta dei dati che saranno utilizzati per le fasi successive
FORMULAZIONE DEL PROBLEMA E RACCOLTA DATI
GBarbaro 8
Costruzione del modello matematico
I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche
Ci saragrave sempre una funzione obiettivo da massimizzare(ricavi profitti vendite) o minimizzare(costi perdite macchinari)
Tale funzione dipenderagrave da una o piugrave variabili drsquoazione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori
Le variabili spesso sono legate tra di loro e devono sottostare a determinate limitazioni
Tutto questo saragrave rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni
MODELLO MATEMATICO
Funzione Obiettivo Y = f (x 1 x 2helliphelliphelliphellipx n)
La funzione obiettivo esprime un costo un ricavo un guadagn0
+
Vincoli espressi da equazioni eo disequazioni
I vincoli sono di due tipologie vincoli di segno(che esprimono la positivitagrave delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle situazioni reali pes capacitagrave del magazzino)
Le variabili x1 x2 hellip xn si chiamano variabili di azione e sono le variabili controllabili
GBarbaro 10
Creato il modello matematico si cerca se esiste la soluzione ottimale o con i metodi della matematica classica o con metodi di analisi numerica oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarlaUna soluzione ottimale egrave quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello
Trovata la soluzione ottimale nel modello bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtagrave e la soluzione deve essere valutata
ESEMPIO
Unrsquoazienda che produce concime ha una capacitagrave produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana
Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale
Il prezzo di vendita del prodotto egrave legato alla domanda dalla funzione x = 250 ndash 05 p
Determinare la quantitagrave da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno
P = 500 ndash 2x
Il guadagno egrave dato da
Y = (500 ndash 2x)x ndash15000 ndash30x
Y = -2x2 +470 ndash15000 con vincoli
xgt=0
xlt=220
Il modello risolto con lrsquoanalisi ci conduce alla conclusione che saragrave necessario vendere 1175 quintali di concime
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R O
RO
CONDIZIONICERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
CONDIZIONIINCERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
Investimenti Finanziari e Industriali
bullMax-min(continui-discreti) ad una o due variabili
bullScorte
bullScelte tra due o piugrave alternative
bullProgrammazione Lineare
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 8
Costruzione del modello matematico
I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche
Ci saragrave sempre una funzione obiettivo da massimizzare(ricavi profitti vendite) o minimizzare(costi perdite macchinari)
Tale funzione dipenderagrave da una o piugrave variabili drsquoazione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori
Le variabili spesso sono legate tra di loro e devono sottostare a determinate limitazioni
Tutto questo saragrave rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni
MODELLO MATEMATICO
Funzione Obiettivo Y = f (x 1 x 2helliphelliphelliphellipx n)
La funzione obiettivo esprime un costo un ricavo un guadagn0
+
Vincoli espressi da equazioni eo disequazioni
I vincoli sono di due tipologie vincoli di segno(che esprimono la positivitagrave delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle situazioni reali pes capacitagrave del magazzino)
Le variabili x1 x2 hellip xn si chiamano variabili di azione e sono le variabili controllabili
GBarbaro 10
Creato il modello matematico si cerca se esiste la soluzione ottimale o con i metodi della matematica classica o con metodi di analisi numerica oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarlaUna soluzione ottimale egrave quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello
Trovata la soluzione ottimale nel modello bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtagrave e la soluzione deve essere valutata
ESEMPIO
Unrsquoazienda che produce concime ha una capacitagrave produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana
Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale
Il prezzo di vendita del prodotto egrave legato alla domanda dalla funzione x = 250 ndash 05 p
Determinare la quantitagrave da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno
P = 500 ndash 2x
Il guadagno egrave dato da
Y = (500 ndash 2x)x ndash15000 ndash30x
Y = -2x2 +470 ndash15000 con vincoli
xgt=0
xlt=220
Il modello risolto con lrsquoanalisi ci conduce alla conclusione che saragrave necessario vendere 1175 quintali di concime
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R O
RO
CONDIZIONICERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
CONDIZIONIINCERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
Investimenti Finanziari e Industriali
bullMax-min(continui-discreti) ad una o due variabili
bullScorte
bullScelte tra due o piugrave alternative
bullProgrammazione Lineare
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
MODELLO MATEMATICO
Funzione Obiettivo Y = f (x 1 x 2helliphelliphelliphellipx n)
La funzione obiettivo esprime un costo un ricavo un guadagn0
+
Vincoli espressi da equazioni eo disequazioni
I vincoli sono di due tipologie vincoli di segno(che esprimono la positivitagrave delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle situazioni reali pes capacitagrave del magazzino)
Le variabili x1 x2 hellip xn si chiamano variabili di azione e sono le variabili controllabili
GBarbaro 10
Creato il modello matematico si cerca se esiste la soluzione ottimale o con i metodi della matematica classica o con metodi di analisi numerica oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarlaUna soluzione ottimale egrave quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello
Trovata la soluzione ottimale nel modello bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtagrave e la soluzione deve essere valutata
ESEMPIO
Unrsquoazienda che produce concime ha una capacitagrave produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana
Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale
Il prezzo di vendita del prodotto egrave legato alla domanda dalla funzione x = 250 ndash 05 p
Determinare la quantitagrave da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno
P = 500 ndash 2x
Il guadagno egrave dato da
Y = (500 ndash 2x)x ndash15000 ndash30x
Y = -2x2 +470 ndash15000 con vincoli
xgt=0
xlt=220
Il modello risolto con lrsquoanalisi ci conduce alla conclusione che saragrave necessario vendere 1175 quintali di concime
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R O
RO
CONDIZIONICERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
CONDIZIONIINCERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
Investimenti Finanziari e Industriali
bullMax-min(continui-discreti) ad una o due variabili
bullScorte
bullScelte tra due o piugrave alternative
bullProgrammazione Lineare
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 10
Creato il modello matematico si cerca se esiste la soluzione ottimale o con i metodi della matematica classica o con metodi di analisi numerica oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarlaUna soluzione ottimale egrave quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello
Trovata la soluzione ottimale nel modello bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtagrave e la soluzione deve essere valutata
ESEMPIO
Unrsquoazienda che produce concime ha una capacitagrave produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana
Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale
Il prezzo di vendita del prodotto egrave legato alla domanda dalla funzione x = 250 ndash 05 p
Determinare la quantitagrave da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno
P = 500 ndash 2x
Il guadagno egrave dato da
Y = (500 ndash 2x)x ndash15000 ndash30x
Y = -2x2 +470 ndash15000 con vincoli
xgt=0
xlt=220
Il modello risolto con lrsquoanalisi ci conduce alla conclusione che saragrave necessario vendere 1175 quintali di concime
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R O
RO
CONDIZIONICERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
CONDIZIONIINCERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
Investimenti Finanziari e Industriali
bullMax-min(continui-discreti) ad una o due variabili
bullScorte
bullScelte tra due o piugrave alternative
bullProgrammazione Lineare
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
ESEMPIO
Unrsquoazienda che produce concime ha una capacitagrave produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana
Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale
Il prezzo di vendita del prodotto egrave legato alla domanda dalla funzione x = 250 ndash 05 p
Determinare la quantitagrave da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno
P = 500 ndash 2x
Il guadagno egrave dato da
Y = (500 ndash 2x)x ndash15000 ndash30x
Y = -2x2 +470 ndash15000 con vincoli
xgt=0
xlt=220
Il modello risolto con lrsquoanalisi ci conduce alla conclusione che saragrave necessario vendere 1175 quintali di concime
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R O
RO
CONDIZIONICERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
CONDIZIONIINCERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
Investimenti Finanziari e Industriali
bullMax-min(continui-discreti) ad una o due variabili
bullScorte
bullScelte tra due o piugrave alternative
bullProgrammazione Lineare
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
P = 500 ndash 2x
Il guadagno egrave dato da
Y = (500 ndash 2x)x ndash15000 ndash30x
Y = -2x2 +470 ndash15000 con vincoli
xgt=0
xlt=220
Il modello risolto con lrsquoanalisi ci conduce alla conclusione che saragrave necessario vendere 1175 quintali di concime
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R O
RO
CONDIZIONICERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
CONDIZIONIINCERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
Investimenti Finanziari e Industriali
bullMax-min(continui-discreti) ad una o due variabili
bullScorte
bullScelte tra due o piugrave alternative
bullProgrammazione Lineare
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R O
RO
CONDIZIONICERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
CONDIZIONIINCERTEZZA
EFFETTI IMMEDIATI
EFFETTI DIFFERITI
Investimenti Finanziari e Industriali
bullMax-min(continui-discreti) ad una o due variabili
bullScorte
bullScelte tra due o piugrave alternative
bullProgrammazione Lineare
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 14
Nei problemi di RO spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni
Costo totale che verragrave indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso egrave il costo che non dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Costo variabile egrave il costo che dipende dalla quantitagrave x di beni prodotti eo venduti
Ricavo egrave ciograve che si ottiene dalla vendita di uno o piugrave prodoti
Lo indicheremo con R(x) = pmiddotx cioegrave il prodotto del prezzo per la quantitagrave venduta
Guadagno o Utile
Verragrave indicato con U(x) = R(x) ndashC(x)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 15
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovragrave essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi In tal caso si parla di problemi DISCRETI
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi Si parla di problemi CONTINUI
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 16
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 07 euro al kg e li rivende a 12 euro al kg
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo puograve trasportare giornalmente 20 kg di merce
Calcolare la quantitagrave di prodotti da vendere per avere il massimo Utile
Ersquo un problema di tipo continuo
x = quantitagrave prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 12middotx C(x) = 6 + 07middotx
U(x) = R(x) - C(x) = 12middotx ndash (6 + 07middotx ) = 05middotx - 6
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 17
Riassumendo il modello matematico saragrave il seguente
U(x) = 05middotx - 6 Funzione Obiettivo
Con vincoli x ge 0 Vincolo di segno e x le 20 Vincoli tecnici
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
P
U
In x =12 si il punto di equilibrio
Break-even point
Che divide la zona di perdita da quella di utile
Per x=20 si ha il MAX utile
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 18
Un laboratorio artigianale fabbrica birraIl prezzo unitario egrave legato alla quantitagrave x venduta secondo la seguente relazione p= 50 ndash 01 x Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 piugrave un costo unitario variabile Cuv= 10 euro Determinare la quantitagrave di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-01x) middot x C = 1000 + 10middot x
U(x) = R(x) ndash C(x) = (50-01x) middot x - (1000 + 10middot x)
Quindi U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000
Problema
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 19
Quindi il Modello matematico saragrave costituito da
U(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivo
x ge 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo egrave una parabola pertanto per disegnarla occorre trovarne concavitagrave vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lrsquoasse delle x)
Xv = -b2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con lrsquoasse delle x risolvendo lrsquoequazione
-01 middot x2 + 40 middot x- 1000 = 0 x1 = 268 x2 = 3732
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
I limiti di produttivitagrave(cioegrave le intersezioni della funzione con lrsquoasse delle x) sono dati dai valori di 268 3732 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 21
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacitagrave produttiva di 300 litri di birra al giorno
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
x
Uti
le
Il Modello matematico saragrave costituito daU(x) = -01 middot x2 + 40 middot x- 1000 Funzione obiettivox ge 0 E x le 300 vincolo di segno e tecnici
Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 22
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allrsquoanalisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile
bullCalcolo della derivata prima
bullPorre la derivata prima uguale a zero ( CNMNS)
bullStudio del segno della derivata prima (primo metodo)
bullo calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 23
Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero
0
0
yf
xf
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellrsquoHessiano semplice
yyf
yxf
xyf
xxf
H
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 24
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi
Puograve accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantitagrave venduta o tra costo e quantitagrave venduta
In tal caso si aggira lrsquoostacolo utilizzando una tecnica differente
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 25
Lrsquoanalisi di un problema discreto di questo tipo si puograve condurre anche utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione
Δ f = f(x+1) ndash f(x) tale differenza egrave detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione egrave crescente se sono negativi egrave decrescente
bullQuando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si egrave in presenza di un massimo
bullQuando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 26
ESEMPIO
Un prodotto egrave fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno mentre il costo variabile egrave di 28 euro al pezzo La produttivitagrave giornaliera massima egrave di 8 lotti
Il prezzo di vendita al lotto non egrave costante ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella
nr
lotti
1 2 3 4 5 6 7 8
Prezzo unitario
400 400 380 360 350 320 280 250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 27
Applichiamo questa tecnica allrsquoesempio precedente
nro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale
Ricavo marginale
1 640 400 -240 - -
2 780 800 20 140 200
3 920 1140 220 140 340
4 1060 1440 380 140 300
5 1200 1750 550 140 310
6 1340 1920 580 140 170
7 1480 1960 480 140 40
8 1620 2000 380 140 40
Max
Conviene espandere la produzione finchegrave il ricavo marginale supera il costo marginale
Costo per lotto 28middot50 =140 euro
a cui aggiungere il costo fisso
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 28
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max min approssimando gli eventuali dati non interi
Non egrave possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellrsquoesempio) utilizzando lrsquoanalisi marginale
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 29
Nei problemi ad una sola alternativa lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo egrave quello di scegliere lalternativa piugrave conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto oppure tariffe diverse per il trasporto di merce
Per arrivare alla soluzione di questi problemi saragrave necessario
bullrappresentare graficamente su un unico piano cartesiano le diverse alternative
bulldeterminarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP)
bulldeterminare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o lrsquoaltra alternativa
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIUrsquo ALTERNATIVE
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 30
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce unrsquoimpresa puograve ricorrere a due differenti ditte per il trasporto
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione piugrave un costo di 05 euro per ogni chilometro del tragitto
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro piugrave un costo per chilometro pari a 1 euro
Con quali modalitagrave effettuare la scelta tra le due offerte
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 31
Ersquo un problema di costi
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale
ALTERNATIVA A
C(x) = 50 + 05 x
ALTERNATIVA B
C(x) = 30 + 1 x
Dove x che egrave la variabile di azione rappresenta il numero di km
x ge 0
Funzioni
obiettivo
vincolo
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 32
SCELTA TRA ALTERNATIVE
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100
NUMERO KMALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Graficamente
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x lt 40 km conviene l lsquoofferta B
Con x gt 40 km conviene lrsquoofferta A
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 33
Per trasportare della merce ci si puograve servire di 3 imprese A B C le quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni
A) 10 euro a tonnellata
B) 120 euro fissi piugrave 6 euro a tonnellata
C) 200 euro fissi piugrave 5 a tonnellata
Determinare quando saragrave piugrave conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese
ESEMPIO
Questo egrave un esempio piugrave complesso essendo tre le alternative
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 34
0
200
400
600
800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tonnellate
cost
o t
ota
le
OFFERTA A
OFFERTA B
OFFERTA C
Graficamente la situazione egrave la seguente
Fina a 30 ton conviene lrsquoofferta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene lrsquoofferta B
Oltre 80 tonnellate conviene lrsquoofferta C
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 35
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita egrave fissato in 10 europer la stampa deve decidere tra le seguenti alternative
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 eurounitagrave
Costo pubblicitagrave = 01 del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 eurounitagrave
La massima tiratura consentita egrave di 6000 libri
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 36
CA(x) = 4000 + 2x +0001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x ndash (4000 + 2x +0001 x2) = -0001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ge 0 e x le 6000
Il modello matematico egrave il seguente
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 37
Graficamente
Per 0ltx lt 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza
Per 764ltxlt5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237lt x lt 6000 conviene la lavorazione B
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
NUMERO TESTI
UT
ILE
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 38
Il problema delle scorte riguarda la modalitagrave con cui unazienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure unazienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela
Il problema delle scorte prevedebullcosti fissi per ogni ordinazione bullcosti variabili di stoccaggio per ogni unitagrave di mercebullcosti di acquisto della merce
Osserviamo subito che per limitare i costi di ordinazione bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantitagrave questo perograve aumenterebbe i costi di magazzino Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantitagrave immagazzinata Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio Di tale funzione si determina il minimo
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 39
Il problema delle scorte in realtagrave egrave piuttosto complesso e per comprenderne la complessitagrave si puograve rappresentare su un grafico lrsquoandamento di un magazzino
tempo
Quantitagrave di merce in magazzino
Tale andamento puograve assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi cali di produzionehellip)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 40
Ersquo necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema
-la quantitagrave di merce da ordinare egrave fissa per ogni ordinazione e inoltre arriva in magazzino quando esso si egrave svuotato
-il consumo dello stock egrave uniforme nel tempo
Landamento delle scorte assume quindi un andamento periodico e lineare
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 41
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lrsquoanno)S = costo fisso per ogni ordinaziones = costo di magazzinaggio variabilex = quantitagrave ottimale da ordinare ogni volta
Quindi Qx = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non egrave costante nel tempo si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x per cui
giacenza media = (0+x)2 =x2
La funzione obiettivo egrave data dal costo C = SQx + sx2 con 0 le x le CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM egrave la capacitagrave del magazzino
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 42
Questa funzione obiettivo in matematica egrave molto conosciuta e viene chiamata funzione somma
x
baxy
Tale funzione puograve essere considerata come la somma di due funzioni
y1 = a x e y2 = bx in cuiy1 rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 43
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Grafico della funzione sommaLa funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante
Per i problemi di RO egrave perograve sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive)
Relativamente al I quadrante si puograve notare che sussiste un punto di minimo
Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina allrsquoiperbole mente per valori alti della x si avvicina lal retta
m
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 44
imounegravequindia
by
x
b
x
xby
a
bxquindi
x
bay
x
bay
min)(
022
00
34
2
2
Le coordinate del minimo sono
)2( aba
bm
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 45
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allrsquoanalisi calcolando la derivata prima
22
s
x
SQC
s
SQx
2
022
3 )(
s
SQCe
x
SQC
)( SQss
SQ2
2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene PC si considera ovviamente solo il valore positivo
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate
Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 46
Esempio
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 12 eurokg
Determinare la quantitagrave ottimale da ordinare
La funzione obiettivo egrave la seguente
C= SQx + sx2 = 1624000x + 12x2 = 384000x + 06x
con x ge 0
Calcolando la derivata prima si ottiene Crsquo = -384000x2 + 06
Ponendola uguale a zero -384000x2 + 06 = 0 si ottiene
x= plusmn 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 47
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro
Ersquo possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno
nord = 24000 800 = 30 f = 360 30 = 12 giorni
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
m
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 48
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
x
Co
sto
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico affrontiamo due situazioni
a) Capacitagrave del magazzino pari a 600 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 600
b) Capacitagrave del magazzino di 1200 kg C = 384000x + 06x con 0 le x le 1200
a) Il minimo si ha per x = 600
nord = 24000 600 = 40
f=360 40 = 9 giorni
b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 49
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Ersquo NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 50
Matematica finanziariaScopo Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi Ovvero spostamento di importi nel tempo
Operazioni finanziarieCapitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro
C M
0 t
Spostamento in avantiM = C + I M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
V C
0 t
Spostamento alllsquo indietroV = C ndash S V = VALORE ATTUALE
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 51
tiCI tiCCICM )ti(CM 1
t)i(CM 1
Regime di Capitalizzazione sempliceIpotesi Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
Capitalizzazione compostaIpotesi Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
Capitalizzazione mistaIpotesi Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n
semplice per la restante frazionaria f
)fi(n)i(CM
fnt
11
LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 52
Sconto razionale (o semplice)Ipotesi Operazione inversa della Capitalizzazione semplice ti
CV
1
Sconto compostoIpotesi Operazione inversa della Capitalizzazione composta
t)i(CV 1 (1+i) ndash t fattore di sconto composto
Tassi di interesseEquivalenza due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta)
k
k )i(i 11
LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 53
Definizione successione di importi (rate) nel tempo
Classificazioni delle renditeRelativamente al periodobullannua se fra due rate intercorre un annobullfrazionata se fra due rate intercorre una frazione di annobullpoliennale se fra due rate intercorre piugrave di un anno
Relativamente alla scadenza della ratabullanticipate le rate scadono allinizio di ogni periodobullposticipate le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenzabullimmediate iniziano dal momento della stipula del contrattobulldifferite iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla duratabulltemporanee le rate sono in numero finitobullperpetue le rate sono in numero infinito
RENDITE
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 54
i
iRM
n 11
)(
)()(
ii
iRM
n
111
Montante valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
i
iRV
n
)(11
)()(
ii
iRV
n
111
Valore attuale valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate
Rendite anticipate
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 55
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta puograve anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli
bullInvestimenti finanziari (capitalei investiti con modalitagrave differenti)
bullInvestimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario
Tizio investe oggi 10000 euro e gli vengono prospettate due possibilitagrave
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5000 euro e dopo 12 anni altri 10000 euro
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6000 euro e dopo 12 anni 9500 euro
Ersquo chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 56
CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (REA) attualizzato di una data operazione drsquoinvestimento
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso
REA = Va(R) ndash Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dellrsquointeresse composto
Il criterio saragrave cosigrave applicatoPrese due operazioni di investimento finanziario calcoleremo per ciascuna di essere il REA e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il REA piugrave elevato
Ersquo chiaro che il REA varia al variare del tasso di attualizzazione Esso egrave funzione del tasso i perciograve possiamo scrivere G (i) In particolare esso egrave funzione decrescente del tassoPertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 57
Esempio Si vogliono investire 10000 di euro e si puorsquo scegliere traa) ricevere tra 10 anni euro 25000b) ricevere tra 3 anni euro 8000 e fra 9 anni altri 9000 euro Valutare i due investimenti al tasso dellrsquo 8 annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
REA = 25000 (1 + i)-10 -10000=1579 euro
IPOTESI B)
REA= 8000 (1 + i)-3 + 9000 (1 + i)-9 - 10000=1852 euro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asse dei tempi
Soluzione ersquo piursquo conveniente B)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 58
Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del REA con una variante
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto
Un industriale deve decidere lrsquoacquisto tra due diversi tipi di macchinari
A) Macchinario A che costa 20000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2000 euro
B) Macchinario B che costa 25000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2250 euro
Valutare i due investimenti al tasso del 7 annuo
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 59
Ipotesi A)
euroVa 6022407010002070
0701180000020 10
10
)(
)(
Ipotesi B)
euroVb 3682707012502070
0701150000025 10
10
)(
)(
Quindi risulta piugrave conveniente lrsquoipotesi A)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 60
Il limite del criterio dellrsquo attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione puograve essere soggettiva
Drsquoaltra parte il REA egrave funzione del tasso di interesse scelto
tasso
REA
Tasso di rendimento interno
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 61
Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione quel tasso in base al quale il rea della distribuzione di costi e ricavi dellrsquooperazione considerata risulta uguale a zero
Cioegrave il tasso soluzione dellrsquoequazione REA(i)=0
CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) tir
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 62
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si puograve affermare che esso fornisce un indice di redditivitagrave dellrsquooperazione Ad esempio affermando che il t ir egrave 10 si vuole indicare che lrsquooperazione considerata egrave finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10
Il criterio viene applicato nel seguente modoTra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno piugrave altoPer la determinazione del tasso di volta in volta occorreragrave risolvere unrsquoequazione che a seconda del tipo richiederagrave tecniche diverse (eq di secondo grado o riconducibili ad essa interpolazione lineare ecc)
Al contrario di quanto accade per il criterio dellrsquoattualizzazione che fa dipendere la scelta dallrsquooperatore per quanto riguarda lrsquoadozione del tasso di attualizzazione il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 63
011
3150100004
x
x)(
0165001650010000 42 )()( xx
Si deve scegliere traUn investimento comporta un costo iniziale di 10000 euro e ricavo di 3150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10000 ricavi di 6500 euro alla fine del secondo e quarto annoDeterminare lrsquoinvestimento piugrave conveniente col metodo del tir
X = 00993107
Si sceglie quindi la prima alternativaNB questo metodo egrave utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata
X = 00928251
ESEMPIO
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 64
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (PL) presenta un modello matematico costituito da
bullUna funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione
bullUn sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negativitagrave delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 65
2222121
1212111
21
2211
00
boxaxa
boxaxa
xx
xcxcZ
Nel caso di due variabili di azione il modello assumeragrave la seguente struttura
Funzione obiettivo
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
0 x 0x
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli2
50004000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 x
ESEMPIO
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 66
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Il metodo prevede la ricerca dellrsquoAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli si otterragrave un poligono che costituisce lrsquoarea ammissibile
Tale area contiene tutte le coppie (x1x2) che soddisfano le disequazioniequazioni del sistema tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base tra queste va cercata la soluzione ottimale
Questo metodo puograve essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
GBarbaro 67
Quindi
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo se esistono si trovano sui vertici dellrsquoArea Ammissibile
0xx
4800010x 20x
7200030x 20x
Vincoli
4000xz
obiettivo Funzione
21
21
21
1 25000x
O
AB
C
Esempio
Vertici
O(00) Z=0 (min) A(02400) Z=12000000
B(18001200) Z=11600000 C(24000) Z= 13200000 (MAX)
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