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Posicionamento Terrestre
João MatosDepartamento de Engenharia Civil e Arquitectura
(Versão 0.0) – 3 Maio 2007
Motivação
-levantamento da área de intervenção (antecedendo a execução do projecto);
-implantação da obra (transpondo para o terreno o desenho de projecto);
- levantamento de edifícios
- monitorização do comportamento geométrico da obra através de medições de alta precisão (matéria a abordar posteriormente).
Aplicações da topografia em obras de engenharia
Grandezas Observáveis
Os métodos de posicionamento terrestre baseiam-se na medição de:
-ângulos horizontais ou azimutais;
-ângulos verticais;
-distâncias;
- desníveis ortométricos.
Medição de Desníveis
Nivelamento Geométrico
hij = hj-hi = li-lj h – altitudel – leitura na mira
hj= hi + hij
Material
AlumínioFibra de VidroInvar
Miras
Miras de Fixação
Mira de Apoio
Leitura= 1,232 m
(aplicadas em paredes)
Níveis Ópticos
Ampliação (20x – 30x);Compensador : 0,5’’
Níveis Ópticos de Alta Precisão
Ampliação (> 32x);Compensador : 0,3’’
Linha de Nivelamento
A
B C
D
Estação Atrás Frente Leit. Atrás Leit.
HD= HA + HAB + HBC + HCD
Frente Desnível Altitude
A 2,356 100,000
B 1,212 101,212
B 1,516 101,212
C 1,620 101,108
C 2,718 101,108
D 1,513 102,313
D 0,851 102,313
E 1,964 101,200-1.1134
1,2053
-0,1042
1,1441
E
Ajuste com Contra Nivelamento
Estação Atrás Frente L. Atrás L. Frente Desnível D. Corrigido Média Altitude
100
1 A B 2,356 1,212 1,144 1,1446 1,1445 101,1445
2 B C 1,516 1,62 -0,104 -0,1034 -0,104 101,0405
3 C D 2,718 1,513 1,205 1,2056 1,206 102,2465
4 D E 0,851 1,964 -1,113 -1,1124 -1,112 101,1345
5 E D 2,012 0,901 1,111 1,1116
6 D C 1,654 2,861 -1,207 -1,2064
7 C B 1,635 1,531 0,104 0,1046
8 B A 1,423 2,568 -1,145 -1,1444
Erro de Fecho-0,005 0
Correcção Desnível-0,00062
Iniciada e concluída no mesmo ponto(neste exemplo os pontos intermédios são coincidentes)
Ajuste com Linha de Nivelamento Fechada
Estação Atrás Frente L. Atrás L. Frente Desnível D. Corrigido Altitude
100
1 A B 2,356 1,212 1,144 1,1448 101,1448
2 B C 1,516 1,62 -0,104 -0,1032 101,0415
3 C D 2,718 1,513 1,205 1,2058 102,2473
4 D E 0,851 1,964 -1,113 -1,1123 101,1350
101,135
Erro de Fecho-0,003 0,0000
Correcção Desnível-0,00075
Iniciada e concluída em pontos com altitude conhecida
Ângulos Azimutais
Dados três pontos i, j, k, no plano cartográfico, designa-se por ângulo azimutal orientado, com vértice em i, origem em j e extremo em k, o ângulo:
onde Aik e Aij são os azimutes cartográficos.
A - A = A j ik ik i j
k
i
j
Aik
AijAjik
N
A “distância zenital” é o ângulo Zij definido pela vertical no ponto I e pelo segmento de recta IJ, contado a partir do Zénite.
I
JZij
Zji
Ângulos Verticais
Medição de Distâncias
Medição de distâncias com carro, 1548
Cadeia de Agrimensor (Jesse Ramsden), 1784
Fita (1920)
. ) + q ( = + q = S 2 MMM λαλαλ
. 2
= M
πΦα
. 4
+ 2
q = S MM
πΦλ
A distância entre os dois pontos é dada, consequentemente, por:
. + q = S 2 MiMi ii λαλ
Para a medição de uma distância S, o emissor/receptor é estacionado num dos extremos da distância a medir e o reflector no outro. A onda de medição percorre uma distância 2S entre os dispositivos de emissão e transmissão. A distância 2S é dada pela soma de um número inteiro (q) de comprimentos de onda de modulação (λM) com uma fracção α de um comprimento de onda:
O DEM determina a diferença de fase de modulação (φM) entre a onda emitida e a onda recebida, a qual permite obter o valor:
A determinação do número inteiro de comprimentos de onda (q) pode ser realizada por diversos métodos baseados, em regra, na variação da frequência de modulação inicial. Um dos métodos mais simples é emitir sucessivamente modulações múltiplas de λM , se λM = 10m, λM1 = 100m, λM2 = 1000m, etc., e de-duzir q a partir das relações:
MEDIÇÃO ELECTROMAGNÉTICA DE DISTÂNCIAS
, H - S = d 2EV
2EVEV
,
RH + 1
RH + 1
d = sVE
EVEV
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
. R 4
M + M + 1 s = c 2
2V
2E
V E V E ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
e a sua importância é maior nas altitudes elevadas do que nas baixas altitudes (é mais importante na Guarda do que em Lisboa, por exemplo). A redução ao nível do mar pode ser ignorada em distâncias curtas.
A terceira redução é aplicada à distância sEV para a determinação da distância cartográfica (cEV) entre as imagens cartográficas da estação e do ponto visado. A redução ao plano cartográfico, que também pode ser ignorada em distâncias curtas, é da forma:
A primeira redução a aplicar à distância espacial observada SEV, distância entre a estação (E) e o ponto visado (V), é a redução ao horizonte:
REDUÇÃO DE DISTÂNCIAS AO PLANO CARTOGRÁFICO
que transforma a distância SEV na sua projecção ortogonal dEV no plano horizontal da estação.
A segunda redução aplica-se à distância horizontal dEV e designa-se por redução ao elipsóide embora também seja conhecida por redução ao nível do mar. A redução ao elipsóide é da forma:
Técnicas de Posicionamento
, A cos c + P = P , A sen c + M = M j ij iijj ij iij
, PM arctg = A , P + M = c
j i
j ij i
2j i
2j ij i ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Dados dois pontos i e j, do plano cartográfico, as coordenadas cartográficas do ponto j podem ser expressas em função das coordenadas do ponto i por:
onde:
. P - P = P , M - M = M ijj i ijj i
. ) A cos P + A sen M - ( c + P = P
, ) A sen P + A cos M ( c + M = Mk i jj ik i jj ik i jik
k i jj ik i jj ik i jik
. cc = c , A - A = A
j i
k ik i jj ik ik i j
onde cij é a distância cartográfica entre os pontos i e j e Aij é o azimute cartográfico de i para j, os quais podem, por sua vez, ser determinados à custa das coordenadas cartográficas de i e j por:
onde Ajik é um ângulo azimutal orientado (grandeza directamente observável) e cjik é um quociente de distâncias:
RELAÇÕES PLANIMÉTRICAS FUNDAMENTAIS
Csenc
Bsenb
Asena
ˆˆˆ ==
Fórmulas de Trigonometria
AbBac
CaAcb
BcCba
ˆcosˆcos
ˆcosˆcos
ˆcosˆcos
+=
+=
+=
Cabbac
Baccab
Abccba
ˆcos2
ˆcos2
ˆcos2
222
222
222
−+=
−+=
−+=
Lei dos senos
Lei dos co-senos
Fórmulas das Projecções
Dados: Coordenadas dos pontos de referência (i e j).Objectivo: Coordenadas do ponto objecto (k).Grandezas Medidas: distância cik e ângulo azimutal Ajik.Equipamento: Estação total (em i) ; alvo reflector (em k).Resolução:i) Calcular Mij, Pij, cij, cjik.ii) Substituir Mij, Pij, cjik e Ajik, nas relações planimétricas:
onde cjik é um quociente de distâncias (cik / cij). j
ki
Ajik
cik
) .A P + A M ( - c + P = P
) A P + A M ( c + M = Mj i ki jj i ki jj i kik
j i ki jj i ki jj i kik
cossen,sencos
IRRADIAÇÃO
Utilização de alidade e prancheta para levantamento(o desenho era realizado directamente no terreno)
IRRADIAÇÃO (RESOLUÇÃO ALTERNATIVA)
, A cos c + P = P
A sen c + M = Mj ij iij
j ij iij
gon200AA0Pse
PM arctg = A
j ij ij i
j i
j ij i
+=<
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
então
Calcular azimute de i para j (é uma constante)
Calcular R0 (é uma constante para cada sessão de trabalho)
ijij LR −= A 0
Calcular as coordenadas através de:
Transformando as leituras azimutais em azimutes através de
sendo Lij a leitura azimutal de i para j.
ijij LR += A 0
IMPLANTAÇÃO
j
ki
Ajik
cik
ijjik ik AA −= A
gon200AAentão0Pse
PM arctg = A
+=<
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ijijij
ij
ijij
Dados: Coordenadas dos pontos de referência (i e j); Coordenadas do ponto objecto k (coordenadas de projecto).Objectivo: Determinar cik e Ajik.Equipamento: Estação total (em i) ; alvo reflector (em k).Resolução:
gon200AAentão0Pse
PM arctg = A
+=<
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ikikik
ik
ikik
( ) ( )22 ikikik PMc +=
Para cada ponto k
( ) ( )22jkjkjk PPMMc −+−=
.sen
senjk
jikikkji c
AcA =
Dados: Coordenadas dos pontos i, j e k no sistema (M,P).Objectivo: Coordenadas do ponto i no sistema (x,y).Resolução:i) Calcular
ii) arbitrar i = (0, 0); k = (cjk, 0)iii) Determinar Akji
iv)Determinar (xi,yi) por irradiação a partir de j
iv)Determinar restantes coordenadas por irradiação a partir de i, já com as coordenadas no novo sistema
j
ki
Ajik
cik
M
P
x
y
IRRADIAÇÃO NO SISTEMA DE COORDENADAS ASSOCIADOÀ FACHADA DE UM EDIFÍCIO
Dados: Coordenadas dos Pontos de Referência 0 e 1.Objectivo: Coordenadas de n Pontos Objecto (Mi, Pi).Equipamento: Um Teodolito com DEM e dois Alvos/Reflector.Grandezas a Observar: Ângulos Azimutais Ai-1,i,i+1 e Distâncias Cartográficas ci,i+1, (i = 1,...,n-1).Resolução: A poligonação consiste numa sucessão de irradiações. Calcular sucessivamente as coordenadas Mi+1 e Pi+1, (i = 1,...,n-1), utilizando as relações planimétricas fundamen-tais, substituindo os índices j por i-1 e k por i+1.
POLIGONAÇÃO
. A =K , A = J , A = I jk ii jk k i j
. ) J + I ( -gon 200 =K
. A =K , A = J , A = I ik jk j ij ik
. KSen JSen =
cc = c
j i
k ik i j
Dados: Coordenadas dos Pontos de Referência (i e j).Objectivo: Coordenadas do Ponto Objecto (k).Grandezas a Observar: Ângulos internos I e J, do triângulo formado pelos pontos de referência i e j e pelo ponto objecto k. Se os pontos i, j e k estiverem indiciados no sentido horário:
Se os pontos i, j e k estiverem indiciados no sentido anti-horário:
Equipamento: Um ou dois Teodolitos e, eventualmente, Alvos de Pontaria Óptica.Resolução:i) Calcular o ângulo interno:
ii) Calcular o quociente cjik, pela lei dos senos:
iii) Calcular o ângulo orientado Ajik, dado por I, no caso da indiciação no sentido horário, ou dado por 400gon-I, no caso da indiciação anti-horária.iv) Utilizar as relações planimétricas e calcular as coordenadas do ponto objecto (k).
INTERSECÇÃO DIRECTA
. ) A + A + A ( -gon 400 = B , A senA sen
c = k i jj x iik x ik x
j x ik i jβ
. B cos +
B sen arctg = A k x i ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β
Dados: Coordenadas de três Pontos de Referência: Mi, Pi, Mj, Pj, Mk, Pk.Objectivo: Coordenadas de um Ponto Objecto Mx, Px.Equipamento: Um teodolito.Grandezas a Observar: Ângulos azimutais Akxi, Aixj.Resolução: Para o método de resolução proposto, é necessário que a indiciação dos pontos de referência seja feita de modo a que o operador, situado no ponto objecto, veja os pontos de referência, no sentido horário, pela ordem k, i e j.i) A partir das coordenadas dos pontos de referência, determinar o ângulo azimutal orientado Ajik e o quociente de distâncias cartográficas cjik.ii) Determinar o escalar β e o ângulo B, dados por:
iii) Determinar o ângulo azimutal Aikx, por:
iv) A partir dos ângulos azimutais Aikx e Akxi, é possível determinar a posição do ponto objecto como se se tratasse de uma intersecção lateral.
INTERSECÇÃO INVERSA
a - a + R 2 -1 Zsen S + Zcos S + H = H VEEV
22EVEVEVEV
κ
NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO
onde aE e aV representam, respectivamente, as alturas da estação e do alvo visado, permite determinar a altitude do ponto visado (HV) quando é conhecida a altitude do ponto estação (HE), a partir da medição do ângulo zenital (ZEV) e da distância (SEV) entre o ponto estação e o ponto visado.
Para distâncias superiores é necessário ter em consideração a curvatura da Terra (raio médio R) e a correcção do coeficiente de refracção vertical k (aprox. 0,12)
a - a + Zcos S + H = H VEEVEVEV
ZEV
SEVaE
aV
HEV
Quando são observados simultaneamente os ângulos zenitais recíprocos (ZEV e ZVE) é possível, se aE = aV, escrever a fórmula do nivelamento trigonométrico recíproco e simultâneo
) Z cos - Z cos ( S 21 + H = H VEEVEVEV
NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO RECÍPROCO E SIMULTÂNEO
. ) Z sen + Z sen ( S
) Z cos + Z cos ( R 2 + 1 = VE
2EV
2EV
VEEVκ
Podendo ainda calcular-se
A irradiação, associada a levantamento trigonométrico, é a técnica correntepara levantamentos de pormenor.
As operações de poligonação, intersecção directa e intersecção inversa sósão utilizadas em distâncias curtas, sendo substituídas na aplicação a transporte de coordenadas por posicionamento com GPS.
A técnica de intersecção directa era ainda utilizada para levantamento de edifícios (obstando à baixa precisão dos distanciómetros e à dificuldade de colocação de reflectores) mas a sua aplicação diminuiu com a introduçãodos distanciómetros que não necessitam de reflector.
Os pontos para implantação são introduzidos na memória da estação total que, habitualmente, dispõe de software que determina os ângulos e distâncias correspondentes.
O nivelamento geométrico é a técnica utilizada para medição de desníveiscom maior precisão (superior à do nivelamento trigonométrico) mas a suaaplicação a distâncias longas requer a correcção da falta de paralelismodas superfícies equipotenciais (com recurso a medições gravimétricas).
Considerações Gerais
Em que circunstâncias se recorre a posicionamento terrestre e não a GPS ?
Em que circunstâncias se utiliza um levantamento por irradiação em detrimento de um levantamento aerofotogramétrico ?
Porque veio o GPS fazer cair em desuso o transporte de coordenadas por intersecção inversa ?
Qual a vantagem de utilizar uma poligonal de apoio num levantamento por irradiação ?
Questões de consolidação e revisão de conhecimentos
Sugestões de Pesquisa
htto://www.trimble.comhttp://www.leica-geosystems.comhttp://www.topconpositioning.com/
Exercícios
1. Numa operação de nivelamento geométrico com vista à determinação das altitudes dos pontos 2,3 e 4 dispõe dos seguintes dados:
h1 = 100,000m ; h12 = - 1,003m; h23 = 2,456m; h34 = -1,050m ; h41 = -2,417m
Determine as altitudes dos pontos 2, 3 e 4.
2. Considerando os vértices da rede geodésica Restelo (1), Ajuda (2) e Extremo W (3), foram lidas com recurso a uma estação total as grandezas AX23=375,4291 gon e A21X=24,7606 gon, sendo X um ponto de coordenadas desconhecidas.a) Esboce um esquema da localização dos pontos em relação à direcção do Norte Cartográfico.b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto X.
3. Suponha que pretende implantar no terreno o limite de uma propriedade com configuração rectangular e dimensão 700 m x 300m. Sabendo que as coordenadas de dois dos vértices são respectivamente (-1500,00 m; 300,00 m) e (-1373,21 m; 571,89 m) e ainda que a estação total pode ser estacionada no ponto de coordenadas (-1500,00 m; -221,77m), determine os valores das observações que seriam necessárias fornecer para implantação da propriedade. Considere para referência um ponto localizado exactamente a Sul do ponto estação, à distância cartográfica de 50m.
4. Qual a altitude mínima do topo de um muro construído a 200m do ponto 1, na direcção 1-2, que impede a visibilidade do ponto 1 para o ponto 2 ?Um edifício de planta circular, com 3m de raio e 5m de altura, construído sobre o terreno a uma altitude de 780.69m e com centro no ponto de coordenadas M=79016.130, P= 99821.114, causa obstrução na visibilidade de 1 para 2 ?
Ponto M (m) P (m) h (m)
1 80 000 100 000 800
2 74 500 99 000 720
5. A partir do ponto IST de coordenadas (Hayford-Gauss – Datum 73) indicadas abaixo, foi medida uma distância de 3533 m (valor já corrigido dos efeitos ambientais) segundo o azimute de 100 gon, para um ponto de altitude 120m.
M (m) P (m) h (m)
IST (1) - 87 477,61 -102 944,60 114,43
a. Indique o valor da referida distância no plano cartográfico.b. Quais as coordenadas do ponto visado ?