Embed Size (px)
Citation preview
Geometri Analitika RuangSemester IV
(3 SKS)
Nama : Ilham Rais Arvianto, M.Pd
Alamat : Grha Purwomukti A1, RT 7 RW3, Randusari, Purwomartani,Kalasan, Sleman, Yogyakarta.55571
No. HP : 0822 4380 4818
Email : [email protected]
Blog : ilhamarvianto.wordpress.com
2
Profil Dosen
3
Deskripsi Mata Kuliah
Geometri Analit Ruang (GAR) mempelajari sifat-sifat geometri
dari hubungan fungsional antara absis (x), ordinat (y), dan aplikat
(z).
Materi Bahasan:1. Sistem koordinat,2. Bidang rata,3. Garis lurus,4. Bola,5. Tempat kedudukan,6. Bidang derajad dua,7. Persamaan umum derajad dua,8. Merubah persamaan umum derajad dua ke bentuk sederhana.
4
ReferensiSlamet Hw. 2013. Geometri Analitika Ruang. Muhammadiyah
University Press (MUP): Surakarta.
Penilaian1. Presensi 5%
2. UTS 30%
3. UAS 35%
4. Tugas 30%
0 35 50 56 63 77 10070
D C BC B AABE
5
Aturan Perkuliahan1. Mahasiswa hadir tepat waktu saat kuliah.
2. Toleransi keterlambat 15 menit.
3. Syarat mengikuti UAS: kehadiran ≥ 75% dari total pertemuan.
4. Diperbolehkan minum dan makan permen selama perkuliahan.
5. Point tambahan bagi mahasiswa yang aktif dalam perkuliahan.
Pertemuan 1
Titik dan Sistem KoordinatKompetensi:
Menggunakan sistem koodinat untuk menentukan: (1) letak
titik, (2) menghitung jarak antara dua titik, dan (3) menentukan
sudut dua arah
7
X+
Y+
O
P(x,y)
x
y
X+
Y+
O
P(3,4)
3
4
x (absis) : jarak P ke sumbu Y (garis x = 0)
y (ordinat): jarak P ke sumbu X (garis y = 0)
Pengantar Sistem Koordinat
8
Y+
Z+
O
P(x,y,z)
y
z
X+
(1) Sistem Koordinat Siku-siku (Ortogonal)
x (absis) : jarak P ke bidang YOZ
y (ordinat): jarak P ke bidang XOZ
z (aplikat) : jarak P ke bidang XOY
xP’
Sumbu OX, OY dan OZ saling tegak lurus.
Y+
Z+
X+
Sistem Koordinat
Z-
X-
Y-
Kaidah tangan kanan(Sumbu-sumbu positif pada dimensi tiga)
9
Contoh 11. Gambarlah titik-titik berikut pada koordinat siku-siku:
a. P(4,3,5)
b. Q(5,-3,2)
c. R(4,5,-3)
2. Bila O dan R pada soal nomor 1 adalah titik-titik sudut pada balok
RBCD.EFOH, tentukan koordinat titik-titik sudut yang lain!
Sistem Koordinat
10
Y+
Z+
O
P(x,y,z)
yz
X+
(2) Sistem Koordinat Miring
xP’
Sumbu OX, OY dan OZ tidak saling tegak lurus.
Sistem Koordinat
11
(3) Sistem Koordinat Silinder
Y+
Z+
O
y
z
X+
r
P’
),,( zrP
x
),,( zyxP
Hubungan system koordinat silinder
dengan system koordinat orthogonal:
zz
ry
rx
sin
cos
Sistem Koordinat
12
(4) Sistem Koordinat Bola
Y+
Z+
O
y
z
X+
R
P’
x
),,( zyxP
Hubungan system koordinat bola dengan
system koordinat orthogonal:
cos
sinsin
cossin
Rz
Ry
Rx
),,( RP
Sistem Koordinat
r
13
Y+
Z+
X+
),,( 111 zyxP
Khusus, jarak O(0,0,0) ke P(x,y,z) adalah:
212
2
12
2
12 zzyyxxPQ
Jarak Antara Dua Titik
),,( 222 zyxQ
222 zyxOP
Jarak P(x1,y1,z1) ke Q(x2,y2,z2) adalah:
14
Contoh 21. Tentukan jarak titik pusat O ke titik P, bila:
a. P(1,1,1)
b. P(-2,1,-3)
c. P(0,2,0)
d. P(3,0,4)
e. P(7,1,0)
f. P(-1,0,7)
2. Tentukan jarak PQ bila
a. P(1,1,1) dan Q(2,3,4)
b. P(2,3,0) dan Q(3,0,2)
Jarak Antara Dua Titik
15
),,( 111 zyxA
Bila diketahui titik P membagi
segmen garis A dan B atas
perbandingan AP : PB = m : n
maka koordinat P adalah:
Rumus Perbandingan
),,( 222 zyxB
),,( PPP zyxP
m
n
),,( 111 zyxA
),,( 222 zyxB
),,( PPP zyxPm -n
nm
znzmz
nm
ynymy
nm
xnxmx
P
P
P
12
12
12
P membagi AB di dalam, AP : PB = m : n
P membagi A dan B di luar, AP : PB = m : (-n)
16
Rumus PerbandinganContoh 3
1. Diketahui dua titik A(1,1,1) dan B(2,3,4), bila P membagi AB di dalam
atas perbandingan 3 : 2, tentukan koordinat P!
2. Diketahui dua titik A(1,-1,1) dan B(-2,3,-4) bila Q membagi AB di luar
atas perbandingan 2 : 1, tentukan koordinat Q!
17
Aplikasi Rumus Perbandingan
2
2
2
12
12
12
zzz
yyy
xxx
P
P
P
Bila P membagi AB di dalam dengan perbandingan sama besar (P titik tengah
AB), maka m : n = 1 : 1. Akibatnya:
Contoh 4Diketahui dua titik A(1,1,1) dan B(2,3,4), bila P adalah titik tengah AB,
tentukan koordinat P!
),,( 111 zyxA
),,( 222 zyxB
),,( PPP zyxP
m
n
1:1: nm
nm
znzmz
nm
ynymy
nm
xnxmx
P
P
P
12
12
12
18
Aplikasi Rumus PerbandinganContoh 5
Ditentukan titik P(x1,y1,z1), Q(x2,y2,z2) dan R(x3,y3,z3). Tentukan koordinat
titik berat (Z) pada PQR.
Y+
Z+
X+
),,( 111 zyxP
),,( 222 zyxQ
),,( 333 zyxR
ZS
2
1
S titik tengah QR, maka
PS garis berat, maka PZ : ZS = 2 : 1. Akibatnya:
2,
2,
2232323 zzyyxx
S
33
22
12
12321
123
xxxx
xx
xxx
ps
Z
33
22
12
12321
123
yyyy
yy
yyy
ps
Z
33
22
12
12321
123
zzzz
zz
zzz
ps
Z
3,
3,
3321321321 zzzyyyxxx
Z
19
Bentuk Lain Rumus Perbandingan
nm
znzmz
nm
ynymy
nm
xnxmx
P
P
P
12
12
12
1
1
1
21
21
21
zzz
yyy
xxx
P
P
P
n
m
Contoh 61. Diketahui dua titik A(1,1,1) dan B(2,3,4), bila P membagi AB di dalam
atas perbandingan 3 : 2, tentukan koordinat P!
2. Diketahui dua titik A(1,-1,1) dan B(-2,3,-4) bila Q membagi AB di luar
atas perbandingan 2 : 1, tentukan koordinat Q!
20
Halaman 10
1. h dan i
2. c
3. Soal 2c
4.
6. b
Portofolio 1
