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eduardo-lozano-melchor
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GEOMETRÍA
SEGMENTOSSEGMENTOS
01. En una recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C y D, de modo que: BC = 6 y AC + BD = 20.
Calcule AD
A) 10B) 12C) 14D) 20E) 18
02. Del grafico mostrado, calcule BD
A) 14B) 18C) 16D) 42E) 28
03. En una recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C y D de modo que:AB2
= BC3
= CD5
y ( AB . BC=96 ),
calcule CD .
A)16B) 20C) 4D)12E) 24
04. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D, de modo que: BC = 6; BD = 2AB y AC = 5CD,
calcule AB .
A)3B) 4C) 2
D) 6E) 5
05. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B; C, D, E y F, si:
ACBC
+ BDCD
+ CEDE
+ DFEF
=14,
calcule:
P= ABBC
+ BCCD
+ CDDE
+ DEEF
A)14B) 10C) 16D) 12E) 7
06. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos: A, B y C. Luego se ubica
el punto medio “M” de BC__
; si AB=8 y
AC=22 , calcule AM .
A)13B) 14C) 15D)16E) 17
07. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos: A, B y C. tal que: AB = 8; luego se ubican los puntos medios “M”
de AC__
y “N” de BC__
. Calcule MN .
A)6B) 5C) 2D)4E) 8
A EDCB
3a 2a 2b 3b70
GEOMETRÍA
ÁNGULOSÁNGULOS
08. Calcule “x” en la igualdad mostrada:Sx = 3 + 4Cx siendo:C = complemento y S = suplemento
A) 80°B) 45°C) 40°D) 61°E) 70°
09. Calcule “x”, en la expresión mostrada:
SCS x−CS x
SxSiendo: C = Complemento y S = Suplemento
A) 2xB) 0C) 1D) 180 – x E) 2
10. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC, tal que: mAOB=40°; calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOC y BOC.
A) 20°B) 40°C) 30°D) 25°E) 10°
11. En la igualdad mostrada, calcule “” SC+CS2=SCS3 ; siendo: C=complemento y S=suplemento
A) 54°B) 45°C) 30°D) 60°
E) 40°
12. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: mAOB = 40°, mCOD=10°; calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOD y BOC.
A) 25°B) 20°C) 10°D) 15°E) 5°
13. Si los ángulos AOB y BOC forman un par lineal, calcule la medida del ángulo que forman sus bisectrices.
A) 60°B) 30°C) 45°D) 90°E) 105°
14. En la figura mostrada, calcule “x”, si: m–n=20°.
A) 45°B) 35°C) 55°D) 20°E) 40°
15. Dado los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: mAOB–mBOC=22°.
Luego se trazan las bisectrices OM→
del AOC y ON→
del BOC. Además se sabe que: mMON=34°. Calcule: mAOC.
A) 120°B) 110°C) 112°D) 114°E) 116°
mº
nº
xº
GEOMETRÍA
16. Se dan los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, mAOC=130° y mBOD=150°. Luego se trazan las
bisectrices OM→
del AOB y ON→
del COD. Calcule: mMON.
A) 120°B) 140°C) 125°D) 135°E) 110°
17. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Luego se trazan
las bisectrices OM→
del AOB y ON→
del COD. Si mAOC=80° y mMON=110°. Calcule la mBOD.
A) 140°B) 150°C) 130°D) 120°E) 110°
18. Las medidas de dos ángulos suplementarios son entre sí como 3 es a 7. Calcule el complemento de la diferencia de los mismos.
A) 36°B) 54°C) 72°D) 18°E) 60°
19. Si a uno de dos ángulos suplementarios se le quita 43º para agregarle al otro, ambos se igualan. Calcule el suplemento del mayor.
A) 44°B) 47°C) 51°D) 53°E) 37°
ÁNGULOS ENTRE RECTASÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELASPARALELAS
20. Calcule “x”, si L1//L2
A) 36°B) 30°C) 40°D) 54°E) 50°
21. Calcule “x”, si L1//L2
A 30°B) 45°C) 60°D) 36°E) 20°
22. Calcule “x”, si L1//L2
A) 15°B) 18°C) 12°D) 20°E) 30°
23. Calcule “x”, si L1//L2
A) 80°B) 20°C) 40°D) 30°E) 50°
24. Calcule “x”, si L1//L2
A) 10°B) 12°C) 15°D) 18°E) 20°
2xº
3xº
L 1
L 2
L 1
L 2
ºº
ºº
L 1
L 2
180º+x
180º+x180º-x
180º-x
L 1
L 2
xº40º
º
º
L 1
L 2
6xº
3xº
2xº
L 1
L 2
xº
7xº
8xº
2xº+20º
GEOMETRÍA
25. Calcule (x – y), si L1//L2
A) 5°B) 6°C) 7°D) 8°E) 9°
26. Calcule “x”, si L1//L2
A) 70°B) 80°C) 40°D) 30°E) 20°
27. En la figura, calcule “x”
A) 30°B) 40°C) 50°D) 60°E) 70°
28. Calcule “x”, si L1//L2
A) 60°B) 70°C) 80°D) 50°E) 40°
L 1
L 2
2xº
4xº 2yº
3yº
4yº
6yº
3xº
xº20º
40º
50º
10º100º
xº
L 1
L 2
2yº
xº
8yº
3yº
B
A
N
80º
85ºx
GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS ITRIÁNGULOS I
01. En la figura, calcule “x”, si: AB=AD y BC=EC.
A) 10ºB) 12ºC) 15ºD) 18ºE) 20º
02. En la figura, calcule “x”.
A) 15ºB) 18ºC) 20ºD) 12ºE) 10º
03. En la figura, calcule “”
A) 20ºB) 18ºC) 10ºD) 12ºE) 15º
04. Del gráfico (+=98º), calcule x.
A) 49ºB) 84ºC) 82ºD) 98ºE) 90º
05. De la figura, calcule: (x+y+z)
A) 200ºB) 270ºC) 300ºD) 330ºE) 360º
06. Del gráfico, calcule x.
A) 50ºB) 60ºC) 66ºD) 70ºE) 75º
07. Del gráfico, calcule “x”
A) 18ºB) 20ºC) 22,5ºD) 25ºE) 15º
08. En la figura, calcule el máximo valor entero que puede tomar “x”.
A) 6B) 7C) 8D) 5E) 9
09. En el gráfico: a+b-m–n=105º, calcule (x + y)
A) 100ºB) 80ºC) 105ºD) 120ºE) 90º
10. En la figura, calcule “x”, Si: AB=BC=AD
A) 40ºB) 50ºC) 60ºD) 70ºE) 80º
A E D C
B
xº
3xº 2xº
A C F
B D
7xº2xº 9xº
A C
B
5 º
O
º 3 º
º
B C
M
A D
x
B
A C
x
y
z
x
80º
º 2 º4
x
a b
m
n
x y
40º20º
B
C
A D
xº
M C
GEOMETRÍA
11. En la figura, calcule “x”.
A) 10ºB) 15ºC) 20ºD) 12ºE) 18º
12. Del gráfico AB = BC, calcule “x”.
A) 20ºB) 40ºC) 25ºD) 50ºE) 15º
13. En un triángulo ABC se traza la
bisectriz interior AP y una recta
perpendicular a AP en Q interseca a
AC en “R” tal que:
mQRP = mBPR ymABC – mACB = 80º.
Calcule la mBPR.
A) 70ºB) 69ºC) 72ºD) 71ºE) 68º
14. Exterior y relativo al lado BC de un triángulo ABC se ubica el punto P tal que mAPC=90º, la bisectriz interior
BM interseca a AP en L.Si: mBAL=2mBCM y mBMA=80º Calcule: mPCB
A) 68º
B) 71ºC) 72ºD) 70ºE) 69º
15. En la figura, calcule la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar “x”.
A) 9B) 8C) 7D) 6E) 5
16. Del gráfico: AE=EF, calcule “x”.
A) 40ºB) 20ºC) 60ºD) 80ºE) 50º
17. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se traza la ceviana interior
AN en cuya prolongación se ubica el punto P tal que AB=PC y mBCP=60º. Si mABC=40º, calcule la medida del ángulo determinado por
AP y BC .
A) 60ºB) 50ºC) 80ºD) 90ºE) 100º
18. En un triángulo ABC se traza la
bisectriz interior BN y en la región
exterior relativa a AC se ubica el punto T tal que:
2xº
xº
A M C
B
N
x
A C
50º
B
A C
B
5 9
x
A
B
C
x
F
E
40º
GEOMETRÍA
AT // BC ,
m∠BNA3
=m∠ ACT2 y
mBAC + mATC = 180º.
Calcule: mACT.
A) 44ºB) 42ºC) 46ºD) 42ºE) 45º
19. Calcule “x” de la figura mostrada.
A) 45ºB) 65ºC) 70ºD) 60ºE) 75º
20. Dado un triángulo ABC, en la región
exterior relativa a los lados AC y BC se ubican los puntos N y Q respectivamente tal que: N, C y Q son colineales, mBAQ=mQAC, mACN=3mBCQ y 2mBCQ+mABC=100º. Calcule mAQN
A) 50°B) 100ºC) 90ºD) 110ºE) 120º
100º135º
x
GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS IITRIÁNGULOS II
01. En la figura, calcule “x”, AM=MC=MN
A) 12ºB) 15ºC) 30ºD) 20ºE) 10º
02. En la figura, calcule los valores enteros que puede tomar “x”.
A) 3; 3; 4B) 2; 3C) 3; 4D) 3E) 4
03. En la figura, calcule MN
A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6
04. Calcule AB , si: CO=20
A) 5 B) 7,5 C) 10 D) 15 E) 20
05. En la figura, calcule “x”, si: AB=CD
A) 30ºB) 40ºC) 15ºD) 45ºE) 22,5º
06. En la figura, calcule BH
A) 4B) 16C) 6D) 8E) 10
07. En un triángulo ABC, las alturas AP
y CH se intersecan en un punto Q interior al triángulo y la mABC=45º.
Calcule la razón entre AC y BQ .
A) 1B) 1,5C) 2D) 1,6E) 0,5
08. Dado un triángulo ABC, se ubica un punto interior “P” tal que: BC=AP, mPBC=mPCB=mPAC=
m∠ ABP5 Calcule mBAP.
A) 30ºB) 35ºC) 40ºD) 37ºE) 45º
09. En un triángulo ABC, se trazan la
altura BH y la ceviana interior CP de
A C
NB
2xº
30ºxº
M
B
A
C
DE
8
x
3x
B
A
N
D15
7M
ºº
A
B C
2
O
A
D
C
B
2 º
3 ºH
º
8
B
A DD
2xº 30º
xº
C
AC
H D P
B
A H C
B
x
E
D
GEOMETRÍA
modo que mBAC=60º, mPCB=2(mPCH)=30º. Calcule mHPC.
A) 30ºB) 37ºC) 35ºD) 45ºE) 25º
10. En un triángulo ABC, mA=2mC y AB=5. Calcule el máximo valor entero
de BC .
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11E) 12
11. Calcule AC si: AB=12√3A) 24 B) 36 C) 32 D) 60 E) 72
12. Calcule AC si ABCD es un cuadrado AH=3 y CP = 4
A) 7
B) 7√2 C) 5
D) 5√2E) 14
13. Si: AB=4 y AC=6, calcule MN .
A) 2 B) 1 C) 0,5 D) 0,7 E) 1,5
14. En el gráfico AB=DC y AH=HE, calcule “x”.
A) 28ºB) 30ºC) 32ºD) 38ºE) 45º
15. Calcule AH si AB= 9 y AC = 17
A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
16. Si BC=3, calcule AB .
A) 6 B) 8 C) 10D) 12E) 16
17. En un triángulo ABC, se traza la altura
BH en la cual se ubica el punto P, de modo que: AB=PC, mPAC=mBCA. Calcule mAPH.
A) 22,5ºB) 30ºC) 37ºD) 45ºE) 60º
A B
C
F
E
30º
60º
B
A
N
C
M
ºº
A H C
2
B
A D
B C
30º 53º
37º
GEOMETRÍA
18. En la figura, calcule “x”.
A) 70ºB) 80ºC) 25ºD) 40ºE) 50º
19. En la figura, calcule “x”.
A) 45ºB) 53ºC) 60ºD) 37ºE) 30º
20. En la figura, calcule “x”.
A) 24ºB) 30ºC) 20ºD) 40ºE) 36º
A N
B
M
50º xº
2a a
n
2nxº
º 90º- º
GEOMETRÍA
POLÍGONOSPOLÍGONOS
01. Calcular el número de lados de un polígono convexo, si se sabe que; la suma de las medidas de sus ángulos internos es igual al séxtuplo de la suma de las medidas de sus ángulos externos.
A) 13B) 14C) 15D) 12E) 10
02. Se tienen dos polígonos convexos de modo que: el número de lados de uno es el doble del otro. Si la diferencia entre sus números de diagonales es 84 entonces el polígono de menor lados se llama:
A) hexágonoB) heptágonoC) octágonoD) nonágonoE) decágono
03. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo, si se sabe que desde 3 vértices consecutivos de dicho polígono, se han trazado 14 diagonales.
A) 900°B) 1980°C) 1800°D) 1620°E) 1080°
04. En la figura, calcule “x” si el pentágono es regular.
A) 72°B) 45°C) 60°D) 36°
E) 30°
05. En un polígono equiángulo ABCDE…, se sabe que; el número total de diagonales es el triple de su número de lados; BC=CD y AB=BD. Calcular la mADE.
A) 120°B) 80°C) 60°D) 40°E) 90°
06. Se tienen un decágono regular ABCDEF… Calcule la medida del menor ángulo que forman las
prolongaciones de AB y ED .
A) 72°B) 36°C) 54°D) 18°E) 9°
07. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales es el doble del número de diagonales de otro polígono que tiene tres lados menos?
A) pentágonoB) nonágonoC) icoságonoD) decágonoE) dodecágono
08. En un polígono regular ABCDEF... de “n” lados; la mACE=135º, calcule su número de lados.
A) 8B) 16C) 24D) 32E) 30
09. En un polígono regular ABCDE … las
mediatrices de AB y DE se cortan formando un ángulo de 135º. Calcule
A N C
B M
3xº
4xº
xº
GEOMETRÍA
el número total de diagonales del polígono.
A) 10B) 20C) 25D) 30E) 35
10. En un polígono equiángulo de “n” lados, desde (n–5) vértices consecutivos se trazan (n+6) diagonales, Calcule la medida de un ángulo interior.
A) 135°B) 140°C) 108°D) 60°E) 120°
CUADRILÁTEROSCUADRILÁTEROS
11. En la figura mostrada, calcule “x”
A) 6 B) 7 C) 5D) 5,5 E) 4,5
12. En la figura, calcule “x”.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
13. Las diagonales de un trapecio miden 10 y 12. Calcule el máximo valor entero que puede tomar la medida de su mediana.
A) 7B) 8C) 9D) 10E) 11
14. En la figura, calcule “x”.
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 8
15. Si ABCD es un romboide, calcule “x”
A) 36º B) 30º C) 40ºD) 45º E) 37º
16. En la figura mostrada, si ABCD es un
trapecio; calcule MN .
A
B N Q C
DP
M
6+a
a4x
A D
CB
R
5x
2x
6
N
53º
12
2x
5x
B
AD
C4xº
xº
E
A 8 D
CB
MN
ºº
ºº
GEOMETRÍA
A) 7B) 6C) 5D) 4E) 3
17. En la figura mostrada, calcule “x”, si: MCCD
A) 11B) 15C) 14D) 12E) 13
18. En la figura AB=4, BC=6 y CD=7. Calcule “PQ”
A) 7B) 7,5C) 8D) 8,5E) 9
19. Se tiene un cuadrado ABCD, en la
prolongación de AD se ubica un punto “E” tal que la mACE=105°. Calcule el perímetro del cuadrado, si CE=8
A) 8B) 12C) 16D) 20E) 36
20. Se tiene un paralelogramo ABCD,
sobre CD se ubica el punto medio “M” tal que la mABM=90º. Calcule
AD , si AB=6 y MB=4.
A) 4 B) 5C) 6D) 6,5 E) 7
C
A D
B
M
9
x
4
A
BP M Q
N6xº 8xº
2x
GEOMETRÍA
CIRCUNFERENCIAS ICIRCUNFERENCIAS I
01. Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, si: AB=24 y BC=32.
A) 4B) 6C) 8D) 7E) 9
02. En la figura, calcule (+), siendo A, B, C y M puntos de tangencia.
A) 360°B) 450°C) 540°D) 270°E) 180°
03. En la figura, calcule “x”, siendo: A, B, M y N puntos de tangencia.
A) 10ºB) 12ºC) 15ºD) 18ºE) 10º
04. Calcule “x”.
A) 3a – 2bB) 2b – a C) 2a – bD) a + bE) a – b
05. Calcular el perímetro de un rombo, si se sabe que la longitud de la circunferencia inscrita en dicho rombo mide 4 y uno de sus ángulos interiores mide 30°.
A) 32B) 28C) 24D) 36E) 40
06. Calcule el perímetro del trapecio ABCD.
A) 22B) 30C) 28D) 26E) 23
07. Calcule “R”
A) 4B) 5C) 7D) 6E) 3
º
º
A C
B
M
aº
xºbº
A D
B C
30º
2
53º
O
6
O8
R
xº
7
6
2k
GEOMETRÍA
08. En la figura, calcule “x”
A) 45º B) 37ºC) 30ºD) 50ºE) 53º
09. Calcule “R”
A) 1 B) 2,5C) 1,5D) 2E) 3,5
10. En la figura, ¿cuanto mide el inradio del triángulo ABC?. Si AO=4 y “O” es centro.
A) 1 B) 2C) 3D) 4E) 5
11. En la figura, calcule la medida del inradio del triángulo ABC.
A) 1 B) 2C) 3D) 4E) 5
12. En la figura mostrada, calcular “”
A) 60º B) 53ºC) 37ºD) 45ºE) 74º
13. En la figura mostrada, calcule “x”.
A) 1 B) 2C) 3
D) √2E) √3
14. Calcule la longitud del radio de una circunferencia en la cual una cuerda que mide 8, dista 4 del centro.
A) 6
B) 2√2C) 4√2D) 8√2 E) 8
53º
2
5
3
R
O
A T C
M
NB
A D C
8+a
º
2 º
B
a
10
4
x
3
º
4
GEOMETRÍA
15. En la figura, calcule “x” si: “O” es centro, si: BN=2 y MN=1
A) 37° B) 53°C) 45°D) 60°E) 30°
16. En la figura, calcule el perímetro del trapecio ABCD.
A) 50 B) 90C) 80D) 70E) 40
17. En la figura, calcule “x” si “O” es centro y “D” es punto de tangencia.
A) 50º B) 60ºC) 70ºD) 55ºE) 65º
18. Si las medidas de los lados de un triángulo rectángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 1999. Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita a dicho triángulo.
A) 3998B) 1999C) 1333D) 1222E) 1111
19. Calcule el perímetro de un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia, si uno de los lados no paralelos mide 9.
A) 18B) 27C) 45D) 21E) 36
20. En un triángulo ABC, AB=15; BC=9 y AC=12. Si la circunferencia exinscrita
relativa a BC determina en la
prolongación de AC el punto T;
calcule AT
A) 18B) 17C) 16D) 19E) 20
A M C
B
N
Oxº
37º
B C
A D
53º
6
D
A B C40ºxº
O
GEOMETRÍA
CIRCUNFERENCIAS IICIRCUNFERENCIAS II
PROBLEMAS APLICATIVOS
01. En la figura, calcule “x” si: “O” es centro.
A) 54ºB) 36ºC) 30ºD) 50ºE) 40º
02. En la figura, calcule “x” si: “O” es centro.
A) B) 60ºC) 90ºD) 75ºE) 120º
03. En la figura, calcule “x”, si: “O” es centro.
A) 80ºB) 40ºC) 45ºD) 55ºE) 60º
04. En la figura, calcule “x”.
A) 60ºB) 45ºC) 90ºD) 75ºE) 67,5º
05. En la figura, calcule “x”, si: ABCD es un romboide.
A) 20ºB) 15ºC) 25ºD) 35ºE) 30º
06. En la figura, calcule “x”.
A) 20ºB) 40ºC) 30ºD) 50ºE) 10º
07. En la figura, calcule “x”.
A) 80ºB) 60ºC) 40ºD) 50ºE) 90º
08. En la figura, calcule “x”, si: “O” es centro.
A) 150ºB) 160ºC) 120ºD) 125ºE) 135º
09. En la figura, calcule “x”.
A) 40ºB) 30ºC) 20ºD) 50ºE) 60º
xº
2xºA
O B
C
A O D
40º
CB
2xº xº
90º- º ºxº
2xº
xº
A D
150º
CB
xº
20º
100º 60º xº 40º
A
O
P
B
xº
80º 100º xº 20º
xº
O
GEOMETRÍA
10. En la figura mostrada, calcule mABC.
A) 40ºB) 45ºC) 80ºD) 50ºE) 60º
11. En la figura, calcule “x”.
A) 15ºB) 20ºC) 25ºD) 30ºE) 35º
12. En la figura mostrada, calcule “x”.
A) 10ºB) 15ºC) 18ºD) 20ºE) 12º
13. En la figura, calcule “x”.
A) 170ºB) 130ºC) 140ºD) 150ºE) 160º
14. En la figura, calcule “x”.
A) 20ºB) 25ºC) 30ºD) 24ºE) 18º
15. En la figura, calcule “x”
A) 60ºB) 45ºC) 30ºD) 75ºE) 50º
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. En la figura, calcule “x” si: “O” es centro.
A) 20°B) 10°C) 30°D) 40°E) 50°
02. En la figura, calcule “x” si: “O” s centro.
A) B) 2C) 3D) 4E) 5
03. En la figura, calcule “x” si: “O” es centro.
A) 30ºB) 36ºC) 40ºD) 45ºE) 60º
x º
2xº 75º
5xº4xº
40ºx
5xº
4xº
60º 75º
xº
60º
80º
R
Q
O S B
Axº
xº
º
A
O B C
D
2xº
xº
O
A C
B
º
C
B
A
100+ º
GEOMETRÍA
04. En la figura mostrada, calcule “x”.
A) 80ºB) 120ºC) 110ºD) 100ºE) 150º
05. En la figura, calcule “x”.
A) 15ºB) 12ºC) 20ºD) 18ºE) 10º
06. En la figura, calcule “x”.
A) 20ºB) 30ºC) 40ºD) 50ºE) 25º
07. En la figura, calcule “x”.
A) 25ºB) 35ºC) 30ºD) 20ºE) 15º
08. En la figura, calcule “x”.
A) 12ºB) 15ºC) 18ºD) 20ºE) 30º
09. En la figura, calcule “x” si: “I” es incentro del triángulo ABC.
A) 25ºB) 30ºC) 35ºD) 40ºE) 45º
10. En la semicircunferencia mostrada, calcule “x”.
A) 37ºB) 45ºC) 53ºD) 30ºE) 60º
11. En la figura, calcule “x” si: “O” es centro del cuadrante AOB.
A) 130ºB) 70ºC) 100ºD) 140ºE) 120º
100º xº
xº
4xº
xº
50º
70º
3xº 5xº
xº 3xº
x
80º
A
B
C
I
8 2
xº
70º
D
CO B
Axº
GEOMETRÍA
PROPORCIONALIDAD – SEMEJANZA DEPROPORCIONALIDAD – SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSTRIÁNGULOS
PROBLEMAS APLICATIVOS
01. En la figura, calcule “x”, si L1//L2//L3
A) 37°B) 53°C) 45°D) 30°E) 60°
02. En la figura, calcule “x”, si MN // AC
A) 30°B) 90°C) 60°D) 45°E) 37°
03. En la figura, se muestran dos semicircunferencias. Calcule “x”.
A) 37°B) 45°C) 53°D) 30°E) 60°
04. En la figura, calcule el perímetro del triángulo ABC.
A) 23B) 24C) 25D) 18E) 16
05. En la figura, calcule “x”.
A) 4
B) 4√2C) 6D) 8E) 12
06. En la figura, calcule “x” si “O” es centro.
A) 12B) 3C) 9D) 4E) 6
07. En la figura, calcule “x”.
A) 37°B) 53°C) 45°D) 15°E) 31°
08. En la figura, calcule “x”.
A) 12B) 6C) 8D) 10E) 9
09. En la figura, calcule “x”.
A) 30°B) 37°C) 53°D) 45°E) 60°
6
3 xº
L 2
L 1
L 3
A 7 C
7-aN
6-a
B
a
M
a+1
xº
xº
4
2
2,5
A 4C
9
B
º º
45º
45º
4
x
x5 n
3n
O
6
xº
45º
45º
3 1
6
2º
8 x
º
xº
4
25
xº
GEOMETRÍA
10. En la figura, calcule “x”.
A) 6B) 9C) 12D) 13E) 16
11. En la figura, calcule “x”.
A) 9B) 12C) 5D) 6E) 8
12. En la semicircunferencia mostrada, calcule “R”.
A) 6B) 7,5C) 8D) 6E) 10
13. En la semicircunferencia mostrada, calcule “x”.
A) 6B) 8C) 7D) 4,5E) 3
14. En la figura, calcule “x”.
A) 2B) 3C) 4D) 6E) 4,5
15. En la figura, calcule “x”.
A) 37°B) 60°C) 30°D) 45°E) 53°
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Calcule “x”, si L1//L2//L3
A) 7B) 12C) 8D) 9E) 10
02. En la figura, calcule “x”, si
A) 10B) 5C) 7,5D) 15E) 6
03. En la figura, calcule “x”.
x
4
9
2n
n
4x
R2 0
1 2
98
1 2
x
4
2
x
º
ºº
º
6
xº
º º
L 1
L 2
L 3
x-4
12
7
x+4
A D C
xN
B
4
M
9
5
S
ºº º º
a b c x
AC//MN
3 2 10
x x 3x
GEOMETRÍA
A)
acb B)
abc
C)
bca D) a E) b
04. En la figura, calcule “x”
A) 16B) 12C) 24D) 18E) 10
05. En la figura, si “I” es incentro del ABC; calcule su perímetro.
A) 12B) 15C) 18D) 21E) 24
06. En el romboide ABCD mostrado, calcule “x”.
A) 3B) 4C) 6D) 5E) 12
07. En la figura, calcule “x”.
A) 6B) 9C) 7,5D) 4,5E) 12
08. En la semicircunferencia, calcule “x”,
A) 6B) 8C) 9D) 10E) 12
09. En la figura mostrada, calcule “x” si ABCD y EFGD son cuadrados.
A) 8B) 9C) 10D) 12E) 15
10. En la semicircunferencia mostrada, calcule “a”.
A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6
11. En la figura, calcule “x”.
A) 15°B) 22,5°C) 30°D) 18,5°E) 26,5°
12. En el exágono regular mostrado, calcule “x”.
A) 1B) 2C) 3D) 4E) 6
AD C
I
B
3n
2n
6
A D
CxF6
5n
2nB
E
5n2n
9x
x
65 a
x
a
A 3n E 5n D
G
CxB6
HF
3a 4a
12
2a
3
x
12
4n
8x
5n
x
3
4
5x
x 2 3
x
x-13
6
GEOMETRÍA
RELACIONES MÉTRICAS EN LARELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EN ELCIRCUNFERENCIA Y EN EL
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOTRIÁNGULOS RECTÁNGULO
PROBLEMAS APLICATIVOS
01. En la figura, calcule “x”. Si “O” es centro.
A) 5B) 2C) 3D) 4E) 6
02. En la figura, calcule “x”.
A) 30ºB) 37ºC) 45ºD) 53ºE) 60º
03. En la figura, calcule “x”.
A) 12B) 9C) 10D) 8E) 11
04. En la figura, calcule “x”.
A) 5B) 6C) 8D) 7E) 4
05. En la figura, calcule “x”.
A) 60ºB) 30ºC) 37ºD) 45ºE) 53º
06. En la figura, calcule “x”.
A) 7B) 8C) 9D) 10E) 6
07. En la figura, calcule “x”. Si “O” es centro.
A) √2B) √3C) 1
D) √5E) 2
08. En la figura, calcule “x”.
A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6
09. En la figura, calcule “x”.
A) 5B) 6C) 7D) 8
2
8
O
x
7
x
x
18
xx4
5
x
62
6
O 6
x
O
x
a
3
O
x1
4
GEOMETRÍA
E) 9
10. En la figura, calcule “x”.
A) 1B) 2C) 3D) 4E) 6
11. En la figura, calcule “x”. Si “O” es centro y su diámetro mide (a+2)
A) 4B) 5C) 3
D) √10E) √13
12. En la figura, calcule “x”. Si “O” es
centro y AC = 2√2 .
A) √2 B) 3 C) 2
D) √3 E) √613. En la figura, calcule “x”. Si “O” es
centro.
A) 30°B) 37°C) 45°D) 53°E) 60°
14. En la figura, calcule “x”.
A) 5B) 4C) 3D) 6
E) 8
15. En la figura, calcule “x”.
A) 3B) 8C) 7D) 10E) 15
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. En la figura, calcule “x”.
A) 6B) 3C) 4D) 5E) 1
02. En la figura, se muestran dos semicircunferencias, calcule “x”.
A) 3B) 4C) 5D) 2E) 1
03. En la figura, calcule “x”.
A) 8B) 6C) 5D) 7.5E) 7
04. En la figura, calcule “x”.
A) 37°B) 53°C) 30°D) 45°E) 60°
x1
8
O
xC
A
x
3
9
(x+ 10)
x8
º
º
2
x
3n n
6
x 8
54
x
2a
a
º
º
GEOMETRÍA
05. En la figura, calcule “x”.
A) 5B) 7,5C) 10D) 15E) 20
06. En la figura, calcule “x”.
A) 9B) 8C) 6D) 4E) 5
07. En la figura, calcule “x”.
A) √5B) 8C) 6D) 4E) 5
08. En la figura, calcule “x”. Si “O” es centro.
A) 5B) 6C) 7D) 8E) 6,5
09. En la figura, calcule “x”.
A) 37°B) 53°C) 45°D) 60°E) 30°
10. En la figura, calcule DE, si: AB=4 y AD=7.
A) 4B) 5
C) √21D) √33E) 3
11. En la figura, calcule “x”. Si “O” es centro.
A) √6B) 2C) 4D) 5
E) √512. En la figura, calcule “x”.
A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6
13. En la figura, calcule “h”.
A) 2B) 1C) 2/3D) 3/2E) ¾
14. En la figura, calcule “x”.
A) 8B) 10C) 6D) 12
5 x
x
2
32
3
º
º
x
x3
xº
xº
3 1
D
C
E
Bº
A
2 º
O
x
4 1
6 10
2x
x
h7-1 7+1
º º
108
x
X
O
4
9
GEOMETRÍA
E) 9
RELACIONES MÉTRICAS EN LOSRELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOSTRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
PROBLEMAS APLICATIVOS
01. En la figura, calcule “x”.
A) 1B) 1/2C) 2D) 1/3E) 3
02. En la figura, calcule “x”.
A) 2B) 3C) 4
D) √6E) √5
03. En la figura, calcule “x”.
A) 1/2B) 1C) 2D) 1/3E) 2,5
04. En la figura, calcule “”
A) 30°B) 37°C) 45°D) 53°E) 60°
05. En la figura, calcule “h”.
A) 2√6B) √6C) 2√3
D) 4E) 3
06. En la figura, calcule “”
A) 53°B) 60°C) 30°D) 45°E) 37°
07. En la figura, calcule “x”.
A) √7B) √10C) 5D) 3
E) √1108. En la figura, calcule “”
A) 30°B) 26,5°C) 22,5°D) 45°E) 37°
09. En la figura, calcule “x”.
A) 3√5B) 2√6C) 5√2
4 6
5x
7
6
5
x
3
6
5
x
2
17
5
Bº
A
C
7
6
h5
6 89
9
º
4 x6
8
4
º
2 13
3
8 x12
10
º º
GEOMETRÍA
D) 6√2E) 4√3
10. En la figura, calcule “x”.
A) √28B) √30C)
D) √22E) √19
11. En la figura calcular “”
A) 15°B) 30°C) 37°D) 45°E) 53°
12. En la figura, calcule “x”.
A)√7B) 2,5C) 2D) 3
E) √11
13. En la figura, calcule “x”.
A) 7B) 8
C) 9D) 6E) 5
14. En la figura, calcule “” si: b2=a2+ac
A) 30ºB) 40ºC) 80ºD) 45ºE) 37º
15. En la figura, calcule “x” si: ab=mn
A) 4B) 6C) 5D) 2E) 3
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. En la figura, calcule “x”.
A) 3B) 4C) 2D) 5E) 1
02. En la figura calcule “m”.
A) 5B) 6C) 3D) 4E) 8
03. Los lados de un triángulo miden 26; 25 y 3. Calcule la medida de la altura relativa al menor lado.
A) 24B) 18C) 17
4
x6
3
ºº
2
º
7
2
2
22
4
x
13
12
7
xA C
M
B
N
a b
c80º º
m
n
3
a
x
x
b
x
6x
7
m
1710
9
33
GEOMETRÍA
D) 8E) 15
04. Los lados de un triángulo miden 7; 8 y 9. Calcule la medida de la mediana que no es mayor ni menor.
A) 8B) 9C) 6D) 5E) 7
05. En un triángulo ABC, AB=7; BC=8 y AC=5. Calcule la mACB.
A) 30°B) 45°C) 60°D) 75°E) 37°
06. Las bases de un trapecio suman 21 y las diagonales miden 10 y 17. Calcule la altura del trapecio.
A) 9B) 8C) 6D) 12E) 7
07. Los lados de un romboide miden
√12 y √20 . Si la diagonal menor
mide √28 , calcule la medida de la diagonal mayor.
A) 3B) 4C) 8D) 6E) 9
08. Se tienen las circunferencias secantes de radios 5 y 7. Si la distancia entre sus centros es 8, calcule la longitud de la cuerda común.
A) 4B) 3
C) 5 √3D) 10 √3E) √21
09. En un triángulo, AB=13; BC=8 y AC=7. Calcule la mACB.
A) 30° B) 45°C) 60°
D) 120° E) 150°
10. En la figura calcule “x”.
A) 2B) 2,5C) 3D) 1,5E) 1
11. En un triángulo ABC se traza la
bisectriz interior AD y la mediana
BM , las cuales se cortan en E. Si: BE=3; EM=2 y AB=9. Calcule BC:
A) √37B) √41C) √59D) 8E) 7
12. En un cuadrado ABCD se ubica los
puntos medios E de AB y F de EC .
Calcule DF, si AB = 4√13
4x139
x
GEOMETRÍA
A) 13B) 3C) 2
D) √13E) 2√13
13. En la figura, calcule “x”.
A) 4B) 3C) 2D) 1E) 6
14. En la figura, calcule “x”.
A) 45°B) 60°C) 30°D) 37°E) 53°
15. En la figura, calcule “x”.
A) 1B) 2C) 3
D) √7E) √310
7 13
x
8 13
15xº
2
7
2
x
GEOMETRÍA
ÁREAS DE REGIONES POLIGONALESÁREAS DE REGIONES POLIGONALES
01. En un triángulo rectángulo de hipotenusa 50u y donde un cateto es el doble del otro. Calcular su área.
A) 300u2
B) 400u2
C) 500 u2
D) 550 u2
E) 600 u2
02. La base de un triángulo mide 40m y la altura relativa a la base mide los 3/8 de la base . El área del triángulo es:
A) 280m2
B) 300m2
C) 350 m2
D) 400 m2
E) 250 m2
03. Calcular el área de un triángulo cuyos lados miden 10, 17 y 21u
A) 96 u2
B) 80 u2
C) 92 u2
D) 84 u2
E) 76 u2
04. En la figura AB=5, AD=13 y el triángulo BCD es equilátero. Calcular el área sombreada.
A) 18B) 16 C) 15D) 12E) 10
05. Calcule la relación de áreas de la parte sombreada y no sombreada.
A)
12
B)
15
C)
14
D)
17
E)
13
06. Calcular el área de la región sombreada si el área total es 60 u2.
A) 10u2
B) 20 u2
C) 40 u2
D) 50 u2
E) 25 u2
07. Calcular el área del triángulo ABC, si el área de la región sombreada es 20u2.
A) 10u2
B) 20 u2
C) 40 u2
D) 60 u2
E) 50 u2
08. Hallar el área de la región del trapezoide ABCD.
A) 24B) 26 C) 28D) 32E) 30A
B
C
D
A
B
C
N
M
A
B
Cn2n D
A
B
C2n3n D
A
B
C
D
9
3
4
GEOMETRÍA
09. Calcular el área de la región sombreada si el área del triángulo ABC es 120u2.
A) 40 u2
B) 30 u2
C) 20 u2
D) 60 u2
E) 80 u2
10. Hallar el área de la región sombreada si el área del triángulo ABC=60m2.
A) 1m2
B) 2 m2
C) 3 m2
D) 4 m2
E) 5 m2
11. En la figura las áreas tienen los siguientes valores. Hallar el valor del área sombreada: S1=20 y S2=10
A) 5 B) 8 C) 10D) 15E) 30
12. Calcular el área de la región sombreada. Si: AM=MC, BN=2NC y el área del triángulo ABC es 100m2.
A) 8m2
B) 10m2
C) 12m2
D) 15m2
E) 20m2
13. En la figura: 2BC=3CD. S1=12m2 y S2=5m2. Hallar el área de la región sombreada.
A) 10m2
B) 11m2
C) 12m2
D) 13m2
E) 19m2
14. En el trapecio mostrado, la base mayor es el doble de la menor. Encontrar la relación entre el área del trapecio y el área sombreada.
A)
12
B) 2
C)
13
D) 3
E)
32
15. Calcular el área de la región sombreada.
A)
a2
20
B)
a2
24
C)
a2
18
D)
a2
12
E)
a2
10
16. Hallar ( A
B )
Si:
BMMC
=32 ;
AQQC
=23
A
B
C
N
Ma
2a
A
B
C
P
M
a
4a
A
B
C
N
M
A
B
C
S 1M
S 2
A
B
C
S 1E
S 2
D
a
a
GEOMETRÍA
1315B) 1
C)
1314
D)
1413
E)
1213
17. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 2 de lado.
A) 4–B) 4–2C) –4D) 2(–4)E) 2(4–)
18. ABCD es un cuadrado de 4 de lado y “A” es centro de ambos arcos. Calcular el área de la región sombreada.
A) 4 2
B) 5 2
C) 3 2
D) 2 2
E) 2
19. Calcular el área de la región sombreada, si M y N trisecan al arco AB y R=6 .
A) 3 2
B) 2 2
C) 4 2
D) 2
E)
π2 2
20. Si ABCO es un rectángulo, calcular su área, si : OP=5 y “D” es centro del cuadrante
A) 17 2
B) 9 2
C) 25 2
D) 36 2
E) 49 2
21. Calcular SX; Si: S1=8 y S2=10
A) 10 2
B) 20 2
C) 18 2
D) 24 2
E) 30 2
22. Calcular la suma de sus áreas de los cuadrados, si R=4
A) 9 2
B) 12 2
C) 15 2
D) 16 2
E) 18 2
23. Hallar el área sombreada si la medida del arco EF es 90º; PE=3 y FQ=5
A) 20 2
B) 24 2
C) 15 2
D) 32 2
E) 64 2
24. En la figura “T” es punto de tangencia “O” es centro y AO=OB=BC=R. Hallar el área de la región sombreada.
A
B
C
M
Q
B
A
A
CB
D
A
CB
D
A
BO
MN
R
A
B
O
PC
OS 1
S 2S X
O
R
A
E
F
Q BP O
A
T
CBO
GEOMETRÍA
A)
R2
2(√3−π )
B) R2(3√3 -)
C)
R2(3√3−π )3
D)
R2(3√3−π )6
E) R2(√3 -)
25. Hallar el área de la región sombreada. Si: AO=OB=2
A) –2B) 2–1C) 4–3
D)
π2 –√2
E) 2–3
26. En la figura. Hallar el área sombreada. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4 .
A) 8(–2)B) –4C) –8D) –16E) 4–215
27. ABCD es un cuadrado de lado de 12 m. hallar el área de la región sombreada.
A) 16–24B) 96–16C) 120–16D) 48–120E) 16–48
28. Calcular el área de la región sombreada. Si: AO=OB
A) B) 2C) 4D) 8E) 16
29. Si: CD=20cm y AB=30cm. Hallar el área de la región sombreada. (AB diámetro) y “D” es punto de tangencia.
A) 36 cm2 B) 30 cm2C) 40 cm2
D) 78 cm2 E) 39 cm2
30. Si: ED.DC=6 2; “O” es centro. Calcular el área de la región triangular ABD.
A) 12 2
B) 4 2
C) 5 2
D) 8 2
E) 3 2
NOCIONES DE GEOMETRÍA DELNOCIONES DE GEOMETRÍA DEL ESPACIOESPACIO
01. Dado un prisma cuadrangular regular ABCD-EFGH, si: mEDG=60º y
AC=4√2 cm, calcular el volumen del prisma.
A) 64cm3
A
45
BO
A
B C
D
A
B C
D
4
4
4
4 4 4
B
A
O
8
A
D
CB
A
D
CB
E
O
H
A C
B
E
GEOMETRÍA
B) 60cm3
C) 50cm3
D) 40cm3
E) 10cm3
02. En un cubo ABCD-EFGH, sea “O” el centro de la cara ABCD y M punto
medio de CG . Calcular la mBOM.
A) 60ºB) 80ºC) 90ºD) 70ºE) 50º
03. En un prisma cuadrangular regular ABCD-EFGH, O es el centro de la base ABCD. Si: (DG)2–(EO)2=4u2. Calcular el área de su base.
A) 6u2
B) 8u2
C) 4u2
D) 10u2
E) 9u2
04. La altura de un prisma recto triangular regular mide 12m; si el área lateral del prisma es 108m2. Calcular la longitud de la arista básica.
A) 2mB) 3mC) 4mD) 5mE) 6m
05. Calcular el área total de un prisma recto cuadrangular regular, si el área lateral del prisma es 40m2 y la longitud de su altura es 5m.
A) 48m2
B) 50m2
C) 60m2
D) 65m2
E) 96m2
06. En el cilindro de revolución mostrado,
BO1=√101cm, O2M=√26 cm, PM=MQ. Calcular el volumen del cilindro.
a) 4cm3
B) 10cm3
C) 6cm3
D) 18cm3
E) 20cm3
07. En un cilindro de revolución las
generatrices AB y CD son diametralmente opuestas (B y C en una misma base), en el arco BC se ubica el punto P. Si: 2(AB)2+(BC)2=20
Calcule: (AP)2+(PD)2.
A) 5B) 10C) 15D) 20E) 25
08. En un cilindro de revolución se inscribe un prisma cuadrangular regular. Calcular la razón de volúmenes de dichos sólidos.
A)
2π B)
3π
C)
4π D)
5π
E)
7π
09. En el gráfico se muestra un cilindro de revolución. Si se cumple: AH=2(HB)=6, además: EB=BC, Calcular el volumen del cilindro.
A) 81√3 3
B) 60√3 3
A P
M
QB O 2
O 1
GEOMETRÍA
C) 50√3 3
D) 30√3 3
E) 20√3 3
10. En un cilindro de revolución, la longitud de la generatriz es el triple de la longitud del radio de las bases. En una de las bases se traza la cuerda
AB de 2√3 cm de longitud y dista del centro de dicha base 3cm. Calcular el área de la superficie total del cilindro.
A) 96cm2
B) 95cm2
C) 80cm2
D) 60cm2
E) 50cm2
11. La arista de un tetraedro regular mide 3. Hallar la altura del tetraedro.
A) 3
B) 3√3
C) 2√6
D) 3√6
E) √6 12. Hallar la arista de un tetraedro
regular, si su altura mide √2
A) B) √3 C) √5
D) √6 E) √4 13. Una pirámide de altura 10cm y
volumen 750 cm3, calcular el área de la base de dicho sólido.A) 225cm2
B) 175cm2
C) 150cm2
D) 125cm2
E) 75cm2
14. Se tiene una pirámide regular V– ABCD cuya altura y una diagonal de base tienen igual longitud y el radio de la circunferencia inscrita en la base
mide 3√2 cm. Calcular el volumen de la pirámide.A) 72cm3
B) 100cm3
C) 150cm3
D) 200cm2
E) 288cm3
15. Se tiene una pirámide hexagonal regular V–ABCDEF, en el cual AB=6cm, BV=12cm. Calcular el volumen del sólido V–BCDE.
A) 250cm3
B) 312cm3
C) 400cm3
D) 162cm3
E) 200cm3
16. Las áreas de las bases de dos pirámides semejantes están en la razón de 9 a 16. Calcular la razón de sus volúmenes.
A)
2532
B)
2764
C)
2564
D)
2223
E)
2732
17. En el gráfico se muestra dos conos de revolución. Si se cumple que: AP=PD, calcular la razón de sus volúmenes.
D
P
A BO
2
GEOMETRÍA
A)
12 B)
13 C)
D)
18 E)
14
18. Un cono recto de altura 8 cm y radio de la base 6cm tendrá una superficie total de:
A) 90cm2
B) 94cm2
C) 98cm2
D) 92cm2
E) 96cm2
19. El área total de un cono es 90m2. Hallar su altura si el radio de la base mide 5m.
A) 6mB) 8mC) 10mD) 12mE) 15m
20. Calcular el volumen de un cono de revolución, si el desarrollo de la superficie lateral es un semicírculo de 18u2 de área.
A) 9√3 u3
B) 6√3 u3
C) 12√3 u3
D) 10√3 u3 E) 7√3 u3
21. Calcular la longitud de radio de la esfera sabiendo que su área es numéricamente igual a su volumen.A) 2B) 3C) 5D) 7E) 9
22. Se tiene una esfera inscrita en un cilindro, determinar la relación entre los volúmenes de la esfera y el cilindro.
A)
13 B)
23
C)
35 D)
25
E)
12
23. Un almacén tiene la forma de una semiesfera. Si se necesitan 13 galones de pintura para cubrir el piso, ¿cuántos galones se necesitarán para pintar el interior del almacén?A) 26galB) 39galC) 52galD) 13galE) 65gal
24. El volumen de la esfera mostrada es numéricamente igual al área de su superficie. Calcular PB (A es punto de tangencia).
A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6
D
P
A BO
A
P
B37º
43