Geometría AnalíticaLA ELIPSE

1. DEFINICIÓN

2. ELIPSES A NUESTRO ALREDEDOR

3. ELEMENTOS DE LA ELIPSE

4. EXCENTRECIDAD

5. ECUACIONES DE LA ELIPSE

CANÓNICA

ORDINARIA

GENERAL

6. EJERCICIOS 1

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La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F1 y F2, llamados focos es una constante positiva. Es decir:

Cuando un cono circular recto es seccionado por un plano oblicuo al eje y forma con este eje un ángulo mayor que el ángulo formado por la generatriz con el eje, los puntos pertenecientes igualmente al plano y al cono forman una elipse.

2

LA ELIPSE

http://www.stefanelli.eng.br/webpage/es_elipse.html

1 2

d P;F d P;F cte

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3

LA ELIPSE

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4

LA ELIPSE

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ELIPSE A NUESTRO ALREDEDOR

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ELIPSE A NUESTRO ALREDEDOR

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Veamos la propiedad fundamental de una elipse.Para ello, marca dos puntos en un plano, separados por ejemplo 4 centímetros. Los llamaremos los focos de la elipse. Escoge ahora un número mayor que 4, pongamos 10. La figura que resulta de marcar todos los puntos cuyas distancias a los focos suman 10 es una Elipse.

PROPIEDAD DE LA ELIPSE

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ELEMENTOS DE LA ELIPSE

.F1

.F2

B2

B1

2c

2a

2bV1

.C.

V2

.

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ELEMENTOS DE LA ELIPSE

Focos. Son los puntos fijos F1 y F2.

Eje focal. Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario. Es la mediatriz del segmento F1F2.

Centro. Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores. Son los segmentos que van desde un punto

de la elipse a los focos: PF1 y PF2.

Distancia focal. Es el segmento F1F2 de longitud 2c, c es el

valor de la semi distancia focal.

Vértices. Son los puntos de intersección de la elipse con los

ejes: V1, V2, B1, B2.

P

F1 F2

B2

B1

V1 CV2

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ELEMENTOS DE LA ELIPSE

Eje mayor. Es el segmento V1V2 de longitud 2a, a es el valor

del semieje mayor.

Eje menor. Es el segmento B1B2 de longitud 2b, b es el valor

del semieje menor.

Ejes de simetría. Son las rectas que contienen al eje mayor o

al eje menor.

Centro de simetría. Coincide con el centro de la elipse, que es

el punto de intersección de los ejes de simetría.

P

F1 F2

B2

B1

V1 CV2

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RELACIÓN ENTRE a, b y c

Ubicaremos un punto P(x;y) en la intersección de la elipse con el eje Y para establecer las siguientes relaciones:

1 2

2 2 2

d P;F d P;F a

a c a b c

b

c

a

F1 F2

B2

B1

V1 CV2

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EXCENTRICIDAD (e)La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semi distancia focal y su semieje mayor. Es la razón entre las medidas de c y a, que indica el grado de achatamiento de la elipse. Así, en e = c/a

Si e se aproxima a 0, la elipse tiende a adquirir la forma de una circunferencia.

Si e se aproxima a 1, la elipse tiende a ser cada vez más achatada.

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ECUACIONES DE LA ELIPSE

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE

Cuando el eje focal coincide con el eje X

Cuando el eje focal coincide con el eje Y

22

2 2

yx1

a b 2 2

2 2

y x1

a b

F1(-c;0), F2(c;0), V1(-a,0), V2(a;0) F1(0;-c), F2(0;c), V1(0,-a), V2(0;a)

Si en la ecuación de la elipse el denominador de x2 es mayor que el denominador de y2, entonces el eje focal coincide con el eje X. En caso contrario, el eje focal coincide con el eje Y.

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ECUACIONES DE LA ELIPSE

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE

Cuando el eje focal coincide con el eje X

Cuando el eje focal coincide con el eje Y

2 2

2 2

x h y k1

a b

2 2

2 2

y k x h1

a b

C(h;k), F(h±c;k), V(h±a;k) C(h;k), F(h;k±c), V(h;k±a)

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ECUACIONES DE LA ELIPSE

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

Partiendo de la ecuación anterior y realizando un proceso similar al realizado para obtener la ecuación general de la circunferencia, se llega a la ecuación general de la elipse, donde los coeficientes A y B deben tener el mismo signo.

2 2Ax By Cx Dy E 0

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EJERCICIOS

01. Halla el centro y los focos de la elipse de ecuación:

 

02. Reduce la ecuación x2 + 4y2 – 6x + 16y + 21= 0 a la forma ordinaria de una elipse y determina las coordenadas del centro, vértices, focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la cuerda focal y la excentricidad. 03. Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos en los puntos (0; -3) y (0; 3) y eje mayor igual a 10 u. 04. Halla la ecuación de la elipse de excentricidad 2/3 y cuyos focos son los puntos (-2; 6) y (8; 6).

2 2

x 8 y 31

20 36

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EJERCICIOS

05. Determina la ecuación de la elipse cuyo centro de gravedad está en el origen e coordenadas, el eje mayor a lo largo del eje X, el lado recto es igual a 6 y el valor de la excentricidad es 1/2.

06. Halla la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado recto) es 5 y sus vértices los puntos (-10;0) y (10; 0).

07. Las distancias de un punto P de una elipse a sus focos F1 y F2 son 6 y 8 cm. Calcula e, si m < F1 P F2 = 90º

08. En la elipse 4x2 + 9y2 = 36. El área del triángulo formado por un lado recto y los segmentos que unen los extremos con el centro de la elipse es:

09. Halla la ecuación de la elipse que tiene por centro el punto (2; 4), la distancia del centro a los focos es 3, su excentricidad 1/3 y la elipse es de eje vertical.