Geometria analitica 2

AUTOR: Javier Trigoso T.

La Recta

Definición

La recta, o línea recta, es la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión; está compuesta de infinitos segmentos

Ecuación Punto - Pendiente

La recta que pasa por el punto P (x

Ecuación Pendiente – ordenad

La pendiente es m y la ordenada en el origen es b, que geométricamente es la intersección de la recta con el eje Y.

Ecuación General

La ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y

Donde A, B, C son números reale

Su pendiente es B

Am −−−−====

Teorema:

• Una recta horizontal tiene pendiente 0.

• Una recta vertical no tiene pendiente.


recta, es la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión; compuesta de infinitos segmentos.

Recta también puede definirse comolínea más corta que une dos puntosEs el lugar geométrico de los puntos del plano (o el espacio) en una misma dirección. Es una línea que no tiene principio ni fin

Pendiente

La recta que pasa por el punto P (x0; y0) y cuya pendiente es m, tiene por ecuación:

ordenada en el origen

La pendiente es m y la ordenada en el origen es b, que geométricamente es la intersección

a ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y es:

Donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos.

Una recta horizontal tiene pendiente 0.

Una recta vertical no tiene pendiente.

)xx(myy 00 −−−−====−−−−

bmxy ++++====

0CByAx ====++++++++

Capítulo: / La Recta

1

recta, es la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión;

definirse como la línea más corta que une dos puntos.

e los puntos del plano (o el espacio) en una misma

que no tiene principio ni fin

) y cuya pendiente es m, tiene por ecuación:

La pendiente es m y la ordenada en el origen es b, que geométricamente es la intersección

AUTOR: Javier Trigoso T. [email protected]


2

Ejercicios: 01. Escribe la ecuación de la recta:

25x

32y +−=

en su forma general.

02. Calcula la pendiente de la recta que

contiene a los siguientes puntos: 1. (1; 1) y (12; 14) 2. (0; -4) y (5; 7) 3. (3, 9) y (4; 10) 4. (7; 2) y (6; 3)

03. Escribe (en cuanto sea posible) las

formas general, punto – pendiente y pendiente – ordenada en el origen de

04. Las rectas que cumplen con las

siguientes condiciones: � La pendiente es -4/3 y pasa por

(-1; 7) � La pendiente es -2 y pasa por

(2; -3) � Pasa por los puntos (-1; -5) y

(3; 6) � Pasa por los puntos (-2; 6) y

(3; -5) � La pendiente es 1/2 y la ordenada

en el origen es -3 � La pendiente es -2/3 y la

ordenada en el origen es 1

05. Encuentra una ecuación de la recta que pase por los puntos (2; 3) y (1, -4).

06. Halla la ecuación de la recta que pasa

por el punto (3; 1) y forma 37º con el eje de las abscisas.


por el punto (-2; 5) y forma 143º con el eje de las abscisas.

08. Halla la ecuación general de la recta

que determina con los ejes coordenados un segmento cuyo punto medio es (-2; 5)

09. Encuentra una ecuación de la recta

que pasa por el punto (2; -3) y tiene la misma pendiente que la recta 3x + 4y = 10


por el punto (3; 2) y forma con los ejes coordenados un triángulo en el primer cuadrante de 12u2 de área.

11. Dada la recta y = 2x – 3, en ella se

ubica un punto P de ordenada igual a 5. Determina el área del triángulo que forman el punto P, el origen de coordenadas y el punto donde la recta corta al eje X.

12. Determina la pendiente de la recta,

cuya ecuación es y = mx + 5, que pasa por el punto de intersección de las rectas, representadas por las ecuaciones y = -3x - 5, y = 4x + 2.

13. Si se conoce que la ecuación general

de una recta es 2px + 3qy – 3 = 0, y además que contiene a los puntos P (3; 1) y Q (-6; -3), determina el ángulo de inclinación de dicha recta.

14. Determina el área del paralelogramo

ABCD, sabiendo que la ecuación del lado AB es x - 2y = 0, la ecuación del lado AD es 3x + y = 0 y las coordenadas del punto C son (3,5).

15. En el triángulo ABC, cuyos vértices

son A (3; 4), B (-1; 4) y C (1; 6). Halla la ecuación general de las medianas y las coordenadas del baricentro.

16. Una diagonal de un cuadrado une los

vértices A (1; 2) y C (2; 5). Obtén las ecuaciones de los lados del cuadrado.



3

17. Demuestra que las medianas de un triángulo se cortan en un solo punto que está a los 2/3 de sus respectivos vértices.

18. Dado el cuadrilátero cuyos vértices

son P1 (-7; 7), P2 (2; 0), P3 (10; 3) y P4 (1; 10). Encuentra la longitud de sus cuatro lados y demuestra que es un paralelogramo.

19. Demuestra que los puntos P1 (0; 5),

P2 (6; -3) y P3 (3; 6), son vértices de un triángulo rectángulo. Halla su área.

20. Los vértices de un triángulo son los puntos A (3; 5), B (-5; 1) y C (1; 7). � Localiza los puntos medios de los

lados. � Localiza el punto de intersección

de las medianas. � Demuestra que el segmento que

une los puntos medios de cualquier par de lados es paralelo al tercer lado y es la mitad de su longitud.

Distancia de un punto a una recta

La distancia del punto P (x0; y0) a la recta LLLL: Ax + By + C = 0 es:

21. Halla la distancia de Q (–3; 4) a la

recta: 2x + 3y = 4. 22. Calcula la distancia desde el punto

P (7; -3) hasta la recta y = x - 2.

23. Halla la distancia de la recta 3x – 4y + 12 = 0 al punto (4; -1).

24. Halla la distancia de la recta

4x – 5y + 10 = 0 al punto (2; -3).

YYYY

XXXX

LLLL: Ax + By + C= 0

P (x0;y0)

d

22

00

BA

CByAx)L;P(d

++++

++++++++

====



4

25. Halla la distancia del origen de coordenadas a la recta: 2x – 3y + 9 = 0

26. Determina el valor de “a” para que la

distancia del origen a la recta: x + ay – 7 = 0 sea 2.

27. La pendiente de una recta es -3. Halla

su ecuación si su distancia al origen es 2.

28. Halla la distancia del punto (2; 7) a la

recta que pasa por los puntos (3; 2) y (1; 0).

29. En la ecuación ax + 3y + 5 = 0. Halla el valor de “a” de modo que la distancia del punto (2; -2) a la recta sea 1.


por el punto (3; 1), tal que la distancia de esta recta al punto (-1; 1) sea igual a 22 .

Rectas paralelas y perpendiculares

Sean dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 respectivamente, si se cumple que:

31. Escribe una ecuación que pase por el punto (-1; 3) y sea paralela a la recta: 2x + y = 10.

32. La ecuación de la recta que pasa por

el punto (1,-4) y es paralela con la recta L: x + 5y – 3 = 0, es:

33. La ecuación de la recta que pasa por

el punto (5,6) y que es paralela con la recta que une los puntos (-4,0) y (1,-6) es:

34. Encuentra una recta que pase por el

punto (4; -2) y sea paralela a la recta que pasa por los puntos (-1; 4) y (2; 3).

35. Encuentra “a” de modo que las rectas

5y = ax + 5; 5y = 2x – 20 sean paralelas.

36. Dadas las rectas L1: y = Kx - 3 y L2: y = 2x – 4K. Determina el valor de K para que L1//L2.

37. Halla la ecuación de una recta paralela a la recta 3x + 2y – 9 = 0 y cuya distancia del origen sea 8.

38. Escribe una ecuación que pase por el

punto (2; -3) y sea perpendicular a la recta: 4y - x = 20.

39. Escribe una ecuación que pase por el

punto (-1; 2) y sea perpendicular a la recta: 7x – 8y = 24.

40. Encuentra “m” de modo que las rectas

x + 7y = 70; y + 3 = mx sean perpendiculares entre sí.

• m1 = m2, entonces las rectas son paralelas.

• m1.m2 = -1, entonces las rectas son perpendiculares.


41. Determina el valor de K para que las rectas y + 3 = Kx; 2x = -sean perpendiculares.

42. Encuentra una recta que pase por el

punto (-1; 3) y sea perpendicular a la recta que pasa por los puntos (3; (-2; 7).

43. La ordenada al origen de una recta es

7. Determina su ecuación sabiendo que debe ser perpendicular a la recta 4x + 9y - 27 = 0.


Determina el valor de K para que las -4K – y

Encuentra una recta que pase por el sea perpendicular a la

recta que pasa por los puntos (3; -5) y

La ordenada al origen de una recta es su ecuación sabiendo

que debe ser perpendicular a la recta

44. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas: 5x - 3y = -2; 8x + 7y = 44es perpendicular a la recta definida por la ecuación: y = 2/3x + 1

45. Cuál es la ecuación de la recta

perpendicular a la recta de ecuación: 2x – 3y + 7 = 0 en el punto medio del segmento comprendido entre los ejes coordenados?.

Capítulo: /

5

Determina la ecuación de la recta que to de intersección de

8x + 7y = 44 y que es perpendicular a la recta definida

y = 2/3x + 1

Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta de ecuación:

en el punto medio comprendido entre los

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