Geometria del Espacio

Geometría

Geometría Analítica del Espacio

OpenUepc.com 1.1.3.6 Ver 01:03/02/2010

NOTA

La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.3.6 correspondiente a

1 SCIENCE

1.1 MATHEMATICS

1.1.3 GEOMETRY

1.1.3.6 GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO

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Miguel Pérez Fontenla [email protected]

INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla

22/11/2009

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| 1

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 4

Historia.............................................................................................................................. 4

CONCEPTOS BÁSICOS ...................................................................................................... 5

El Conjunto 3 ................................................................................................................. 5

Sistema De Referencia Euclídeo ........................................................................................ 6

Coordenadas cartesianas de un vector libre determinado por dos puntos ......................... 6

ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO .................................................................. 8

Ecuación vectorial de la recta en el espacio ........................................................................ 8

Ecuación paramétrica......................................................................................................... 9

Ecuación continua ............................................................................................................. 9

Ecuación implícita o cartesiana de la recta en el espacio. ................................................. 10

Cuadro Resumen ............................................................................................................. 12

ECUACIONES DEL PLANO ............................................................................................. 13

Ecuación vectorial del plano en el espacio ....................................................................... 13

Ecuación paramétrica del plano en el espacio................................................................... 14

Ecuación general o implícita del plano en el espacio. ....................................................... 15

Ecuación del plano que pasa por tres puntos .................................................................... 16

POSICIONES RELATIVAS ............................................................................................... 17

Posiciones Relativas De Dos Rectas En El Espacio .......................................................... 17

Posiciones Relativas De Recta Y Plano ............................................................................ 20

Posiciones Relativas De Dos Planos ................................................................................ 22

Posiciones Relativas De Tres Planos ................................................................................ 23

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES ......................................................................... 26

Conceptos básicos ........................................................................................................... 26

Interpretación geométrica del producto escalar ............................................................. 26

Espacio vectorial euclídeo ............................................................................................ 27

Propiedades del producto escalar .................................................................................. 27

Bases Normadas, ortogonales y ortonormales ............................................................... 28

Expresión del producto escalar en coordenadas ............................................................ 28

Aplicaciones del producto escalar .................................................................................... 30

Módulo de un vector .................................................................................................... 30

Ángulo de dos vectores en el espacio ........................................................................... 30

Perpendicularidad ........................................................................................................ 30

Vector perpendicular a un plano ...................................................................................... 31

+

| 2

Recta proyección ortogonal de una recta sobre el plano ................................................... 32

PERPENDICULARIDAD DE RECTA Y PLANO ............................................................. 34

HACES DE PLANOS ......................................................................................................... 35

Haz de planos secantes a una recta ................................................................................... 35

Haz de planos perpendiculares a una recta ....................................................................... 36

APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES ........................................................ 37

Distancia entre dos puntos ............................................................................................... 37

Punto medio de un segmento .......................................................................................... 37

Razón r de un segmento ................................................................................................... 38

Punto simétrico a un punto dado. ..................................................................................... 38

Puntos alineados .............................................................................................................. 39

3 Puntos coplanarios ........................................................................................................ 39

Distancia de un punto a una recta ..................................................................................... 40

Distancia de un punto a un plano ..................................................................................... 41

Distancia entre dos planos ............................................................................................... 42

Distancia entre recta y plano ............................................................................................ 43

Distancia entre dos rectas................................................................................................. 44

Simetrias ......................................................................................................................... 46

Puntos simétricos ......................................................................................................... 46

Simetría respecto a un punto ........................................................................................ 46

Simetría respecto a una recta ........................................................................................ 46

Simetría respecto a un plano ......................................................................................... 47

PRODUCTO VECTORIAL ................................................................................................ 49

Interpretación geométrica del producto vectorial .............................................................. 49

Propiedades del producto vectorial .................................................................................. 49

Aplicaciones del producto vectorial ................................................................................. 51

Vector perpendicular a dos vectores dados ................................................................... 51

Vector director de una recta en forma cartesiana .............................................................. 52

Áreas de figuras planas en el espacio ............................................................................... 52

Distancia de un punto a una recta ..................................................................................... 53

PRODUCTO MIXTO ......................................................................................................... 54

Interpretación geométrica del producto mixto .................................................................. 54

Propiedades del producto mixto ....................................................................................... 55

Definición del producto mixto mediante coordenadas ...................................................... 55

Distancia entre dos rectas que se cruzan ........................................................................... 56

+

| 3

+

| INTRODUCCIÓN 4

INTRODUCCIÓN

Historia

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de un curva plana.[1] Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.[2] Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.[3] El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsiderarón con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector).[4] Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.

En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de los aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.[5] En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.[6]

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920[7] y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

+

| CONCEPTOS BÁSICOS 5

CONCEPTOS BÁSICOS

El Conjunto 3

Vamos a construir el conjunto que denotaremos por 3 que está formado por ternas ordenadas de números reales, es decir

3 34

1 4, , / , , 0,0,0 , 3, 1, 2 , 7 , , , 2, , ,...3 5

x y z x y z e

Dos ternas coinciden cuando coinciden de forma ordenada sus tres componentes, es decir:

1 2

31 1 1 2 2 2 1 2

1 2

, , , ,x x

x y z x y z y yz z

En 3 se definen dos operaciones básicas, la suma y la multiplicación por escalar del siguiente modo

Suma

3 3 3

, , ', ', ' ', ', 'x y z x y z x x y y z z

Multiplicación por un escalar

3 3

, , , , ,x y z x y z

Propiedad

El conjunto 3 con estas operaciones así definidas es un espacio vectorial

+

| CONCEPTOS BÁSICOS 6

Sistema De Referencia Euclídeo

Tenemos varios resultados ya asimilados:

Hemos definico un sistema de coordenadas cartesinas en 3 , con su origen O(0,0,0) Hemps defimnido el conjunto de los vectores libres y le hemos llamado V3 Hemos definido la base canónica de V3, , ,B i j k

A cada punto P del espacio le corresponde de forma única un vector u OP

y viceversa, a cada vector u

del plano le corresponde un punto P de forma que OP u

Definimos sistema de referencia euclídeo del espacio (o también llamado sistema de referencia ortonormal) al conjunto formado por , , ,R O i j k

donde

O es un punto cualquiera fijo que denominamos origen de coordenadas , ,B i j k

son los vectores de su base canónica de V3

Y en este sistema, las coordenadas de un punto P cualquiera son las coordenadas de su vector de posición u OP

.

En otras palabras, que cuando hablamos del punto situado en (3,2,2) (o de coordenadas (3,2,2)) nos confundimos con el vector de posición (3,2,2) que también tiene las mismas coordenadas (3,2,2) respecto a la base canónica de V3. Es decir, la nomenclatura es la misma, pero podemos estar hablando de coordenadas de un punto o coordenadas de un vector, y no hay problema de confusión porque hay correspondencia biunívoca entre ambos.

Pueden existir infinitos sistemas de referencia en V3. Cualquier conjunto , , ,R O u v w

con , ,B u v w

base de V3 es un sistema de

referencia, pero el euclídeo u ortonormal es solo cuando la base es la canónica , ,B i j k

.

Coordenadas cartesianas de un vector libre determinado por dos puntos

Supongamos un vector definido por dos puntos 1 1 1, ,A x y z y 2 2 2, ,B x y z por los que pasa.

Al punto 1 1 1, ,A x y z le corresponde el vector de posición 1 1 1, ,a OA x y z

Al punto 2 2 2, ,B x y z le corresponde el vector de posición 2 2 3, ,b OB x y z

Como se aprecia en el gráfico se tiene que OB OA AB b a AB AB b a

+

| 7

Lo cual escrito en coordenadas sería

2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1, , , , , ,AB b a x y z x y z x x y y z z

Es decir las coordenadas de un vector libre se obtienen restando las coordenadas del extremo menos las del origen 2 1 2 1 2 1, ,AB x x y y z z

.

+

| ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO 8

ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO

A diferencia con la recta en el plano, aqui en el espacio vamos a disponer de menos formas de expresarla algebráicamente, lo cual no quiere decir que las cuatro que vamos a dar no sean más que suficientes. Tendremos las siguientes formas:

Ecuación vectorial Ecuación paramétrica Ecuación continua Ecuación implícita o cartesiana

Ecuación vectorial de la recta en el espacio

La primera ecuación que vamos a estudiar de la recta en el espacio es la ecuación vectorial. Para lograr escribirla tenemos que saber un punto 1 2 3, ,A a a a por el que pasa la recta y un

vector 1 2 3, ,u u u u

que lleve la dirección de la recta y que llamaremos vector director

Un punto , ,P x y z cualquiera de la recta verificará que, existirá un λ tal que

OP OA u

Esta, tan sencilla, expresión anterior constituye la llamada ecuación vectorial de la recta. Dando valores a λ iremos obteniendo cualquier punto de la recta

Si esta expresión vectorial la expresamos con coordenadas obtendremos otra forma de expresarla, quizás más reconocible:

1 2 3 1 2 3, , , , , ,x y z a a a u u u

Ejemplo

En nuestro gráfico tenemos que la recta pasa por A(3,1,2) y tiene un vector director 1,2,1u

por lo tanto su ecuación vectorial es , , 3,1,2 1,2,1x y z

+


Ecuación paramétrica

Dada la ecuación vectorial, 1 2 3 1 2 3, , , , , ,x y z a a a u u u , podemos separar las tres componentes obteniendo la llamada ecuación paramétrica

1 1

2 2

3 3

x a uy a uz a u

Ejemplo

En el mismo gráfico, se tiene que las ecuaciones paramétricas de nuestra recta son 3 11 22 1

xyz

Ecuación continua

Se obtiene despejando λ e igualando en la ecuación paramétrica:

+


1

11 1

22 2

23 3

3

3

x aux a u

y ay a uu

z a uz a

u

31 2

1 2 3

z ax a y au u u

Ejemplo

Seguimos en lo sucesivo con el mismo ejemplo previo y tendremos 33 11 11 2 3 2

2 22 1 2

xxy yy x z

z z

Ecuación implícita o cartesiana de la recta en el espacio.

Si separamos en dos partes la ecuación continua, una parte por cada uno de los dos iguales, obtenemos las ecuaciones de dos planos (lo vamos a ver más adelante) que implícitamente se sabe que van a cortarse en nuestra recta.

1 2

1 2 2 2 1 1 1 231 2

3 3 2 2 2 3321 2 3

2 3

x a y au u u x u a u y u az ax a y a

u y u a u z u az ay au u uu u

2 1 1 2 2 1

3 2 2 3 3 2

00

u x u y u a u au y u z u a u a

En general esta forma va a ser muy común en lo sucesivo. Cuando nos digan, sea la recta 1 1 1 1

2 2 2 2

00

A x B y C z DA x B y C z D

tenemos que comprender que, aunque corresponden a las

+


ecuaciones de dos planos, tal y como estudiaremos en el apartado siguiente, nos estamos refiriendo a la recta intersección de los mismos.

Ejemplo 1

Dada nuestra recta en forma continua 13 22

yx z , si procedemos como

hemos indicado anteriormente, tenemos: 4 1

3 12 5 5 3 5 7 05 31 1 3 6 3 7 02

3

x yx y x y

y y z y zz

.

Dada la expresión de esta última manera, que son dos ecuaciones de dos planos 3 5 7 0

3 7 0x y

y z

, nos estamos refiriendo a la recta que los interseca, de ahí que le

llamemos ecuación implícita.

Ejemplo 2

Dada la recta en forma implícita 3 2 22 1

x y zx y z

, escríbela en forma continua.

Resolvemos el sistema por Cramer, resultando la recta: 2 21 1 2 2 2 4 1

5 5 5 5 4 13 2 5 5

742 1 3 3 4 2 7 7 5 51 15 5 5 5 1 151

xx

y y zy y

z z

Nuestra recta pasa por (-4/5,-7/5,0) y tiene vector director (1/5,1,1)

+


Cuadro Resumen

Ecuación vectorial 1 2 3 1 2 3, , , , , ,x y z a a a u u u Ecuación paramétrica

1 1

2 2

3 3

x a uy a uz a u

Ecuación continua 31 2

1 2 3

z ax a y au u u

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z zx x y y z z

Ecuación implícita o cartesiana 1 1 1 1

2 2 2 2

00


+

| ECUACIONES DEL PLANO 13

ECUACIONES DEL PLANO

Tenemos un nuevo ente geométrico en el espacio, que es el plano. Al igual que para la recta, vamos a describir sus ecuaciones, que son:

Ecuación vectorial Ecuación paramétrica Ecuación general o implícita.

Ecuación vectorial del plano en el espacio

Como hasta ahora, la primera ecuación que vamos a estudiar del plano en el espacio es la ecuación vectorial. Para lograr escribirla tenemos que saber un punto 1 2 3, ,A a a a por el que

pasa dicho plano y dos vectores directores independientes 1 2 3, ,u u u u

y 1 2 3, ,v v v v

, es decir que estén contenidos en el plano dado y tengan direcciones distintas.

Un punto , ,P x y z cualquiera contenido en el plano verificará que, existirá un λ y un μ tales

que OP OA u v

Esta expresión anterior constituye la llamada ecuación vectorial del plano. Dando valores a λ y µ iremos obteniendo cualquier punto de dicho plano.

+


Si esta expresión vectorial la expresamos con coordenadas obtendremos otra forma de expresar la ecuación vectorial

1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , ,x y z a a a u u u v v v

Ejemplo

Supongamos el plano que pasa por A(4,-2,3) y que tiene como vectores directores a 2, 2,1u

y 1, 1,1v

. Su ecuación vectorial es:

, , 4, 2,3 2,2,1 1, 1,1x y z

Ecuación paramétrica del plano en el espacio

Dada la ecuación vectorial de un plano, 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , ,x y z a a a u u u v v v , podemos separar las componentes obteniendo la llamada ecuación paramétrica del plano

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x a u vy a u vz a u v

Ejemplo

En el mismo gráfico, se tiene que las ecuaciones paramétricas de nuestro plano son

4 22 2

3

xyz

+


Ecuación general o implícita del plano en el espacio.

De la ecuación vectorial del plano tenemos 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , ,x y z a a a u u u v v v ,

que lo podemos escribir como 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , ,x a y a z a u u u v v v es decir,

escrito uno de ellos , el 1 2 3, ,x a y a z a , como combinación lineal de los otros dos, que sabemos son independientes por definición de plano. Ello indica que los tres vectores 1 2 3, ,x a y a z a , 1 2 3, ,u u u y 1 2 3, ,v v v son linealmente dependientes por lo tanto su determinante es cero:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0x a y a z a

u u uv v v

Y al desarrollar este determinante

1 2 3

2 3 1 3 1 21 2 3 1 2 3

2 3 1 3 1 21 2 3

x a y a z au u u u u u

u u u x a y a z av v v v v v

v v v

y simplificar el resultado obtenemos la denominada ecuación general del plano

0Ax By Cz D

Ejemplo

Dada nuestro plano en forma vectorial , , 4, 2,3 2,2,1 1, 1,1x y z si procedemos como hemos indicado anteriormente, tenemos:

4 2 32 2 1 0

1 1 1

x y z

. Si resolvemos este determinante tenemos

2 1 2 1 2 24 2 3 3 4 3 2 0 3 3 3 6 0

1 1 1 1 1 1x y z x y z x y

Por lo que la ecuación, ya simplificada, 2 0x y es la ecuación general del plano dado.

+


Ecuación del plano que pasa por tres puntos

Dados tres puntos 1 1 1, ,A x y z , 2 2 2, ,B x y z , 3 3 3, ,C x y z vamos a calcular la ecuación del

plano que los contiene. Para ello sea , ,P x y z un punto genérico del plano, y consideremos los vectores formados por:

1 1 1, ,AP x x y y z z

,

2 1 2 1 2 1, ,AB x x y y z z

y

3 1 3 1 3 1, ,AC x x y y z z

.

Estos tres vectores, como están en el mismo plano, tienen que ser dependientes (en un plano solo puede haber un máximo de 2 vectores independientes), luego el rango de la matriz formada por las coordenadas de estos tres vectores es 2 y por tanto su determinante es cero

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

0x x y y z zx x y y z zx x y y z z

; y resolviéndolo sale la ecuación general del plano buscado

Ejemplo

Calcula la ecuación del plano que pasa por A(2,1,3) B(1,-1,0) y C(1,3,1)

Solución

2 1 3 2 1 3

1 2 1 1 0 3 1 2 3 2 2 1 4 3 2 4 15 01 2 3 1 1 3 1 2 2

x y z x y zx y z x y z

+

| POSICIONES RELATIVAS 17

POSICIONES RELATIVAS

Posiciones Relativas De Dos Rectas En El Espacio

Dadas dos rectas r y s con sus respectivas ecuaciones en forma vectorial

r: 1 2 3 1 2 3, , , , , ,x y z P a a a u u u u

s: 1 2 3 1 2 3, , , , , ,x y z Q b b b v v v v

En el espacio, existen las siguientes posibilidades de posicionamiento entre ellas:

Coincidentes Que sean la misma recta

Los vectores , ,u v PQ

son proporcionales

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1u u u

rang v v vb a b a b a

Secantes Que se corten en un punto, luego hay un plano que las contiene

Los vectores ,u v

son independientes

1 2 3

1 2 3

2u u u

rangv v v

y el vector PQ

está en el mismo plano que ,u v

luego es combinación lineal de

ellos, es decir:

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

2u u u


Paralelas No tienen puntos comunes pero ambas estan contenidas en el mismo plano

,u v

tienen la misma dirección:

1 2 3

1 2 3

1u u u

rangv v v

Pero el vector PQ

es independiente de ellos

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

2u u u


+


Se cruzan No tienen puntos comunes ni están en el mismo plano

Los vectores , ,u v PQ

son independientes

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

3u u u


Si las dos rectas r y s vienen dadas en sus ecuaciones implícitas, el razonamiento sería el siguiente

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

0:

0

0:

0

A x B y C z Dr

A x B y C z D

A x B y C z Ds

A x B y C z D

Todo ello junto, forma un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.

Escribimos la matriz formada por los coeficientes de los cuatro planos que definen las dos rectas y escribimos también la ampliada:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

A B CA B C

MA B CA B C

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

*

A B C DA B C D

MA B C DA B C D

Si el sistema es incompatible, no tiene solución, las rectas o bien se cruzan o son paralelas

Si el sistema es compatible determinado de solución única es que se cortan en un punto

Si el sistema es compatible determinado de infinitas soluciones, es que las dos rectas son coincidentes

Todo se reduce pues a estudiar los rangos de estas dos matrices y discutir el sistema. Las soluciones a la discusión serían

Rang(M) Rang(M*) 2 2 < nº incógnitas = 3 => COMPATIBLE INDETERMINADO de infinitas

soluciones que serían cualquiera de las dos rectas porque ambas son coincidentes

+


3 3 = nº incógnitas => COMPATIBLE DETERMINADO de solución única que sería el punto de corte de las dos rectas => secantes

2 3 Sistema INCOMPATIBLE , no hay puntos comunes, pero el hecho de que rang(M) = 2 indica que los dos vectores directores de ambas rectas son dependientes, por lo que las rectas son paralelas

3 4 Sistema INCOMPATIBLE, no hay tampoco puntos comunes, pero el hecho que rang(M) = 3 indica que los vectores directores de ambas rectas son independientes, luego las rectas no son paralelas y por lo tanto se cruzan

Ejemplo

Calcular las posiciones relativas de las rectas 2 3 1 0

:2 3 0

3 2 2 0:

1 0

x y zr

x y zx y z

sx y z

Solución

Calculamos los rangos de las matrices M y M* formadas por

2 3 1 11 1 2 33 1 2 21 1 1 1

donde

2 3 1 11 1 2 3

35 03 1 2 21 1 1 1

y 2 3 11 1 2 20 03 1 2

por lo que resulta que rang(M) = 3

y rang(M*) = 4 por lo que las rectas se cruzan en el espacio.

+


Posiciones Relativas De Recta Y Plano

Sean r una recta y sea π un plano, ambos en el espacio, de ecuaciones:

1 1 1 1

2 2 2 2

0:

0A x B y C z D

rA x B y C z D

y 3 3 3 3: 0A x B y C z D

Entre ellos se pueden dar las siguientes posiciones en el espacio

Secantes Paralelas La recta está contenida en el plano

Para determinar cual de las tres situaciones se produce en cada caso, resolvemos nuevamente el sistema que forman los tres planos y estudiamos los rangos de su matriz de coeficientes y la matriz ampliada

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

000

A x B y C z DA x B y C z DA x B y C z D

de donde tenemos 1 1 1

2 2 2

3 3 3

A B CM A B C

A B C

y 1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

*A B C D

M A B C DA B C D

Secantes Que se corten en un punto.

Rang(M) = rang(M*) = 3 = nº incógintas: Sistema COMPATIBLE DETERMINADO de solución única que es el punto de corte del plano con la recta Para demostrarlo, es necesario saber lo que es un vector normal al plano.

Paralelas No hay puntos comunes.

Rang(M) = 2 y rang(M*) = 3 Por lo que el sistema es INCOMPATIBLE, no tiene solución pero el que rang(M*)=3 implica que el plano π no es coincidente con ninguno de los dos planos que definen la recta, luego hay paralelismo en vez de coincidencia

Contenida La recta está contenida dentro

Rang(M) = 2 y rang(M*) = 2 Con lo que el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO y por

+


del plano. tanto hay infinitas soluciones que son la propia recta r que está contenida en uno de los dos planos dados

+


Posiciones Relativas De Dos Planos

Consideremos ahora dos planos π1 y π2 con ecuaciones generales 1 1 1 1 1: 0A x B y C z D y 2 2 2 2 2: 0A x B y C z D

Entre ellos se pueden dar las siguientes posiciones en el espacio

Secantes Paralelas Coincidentes

Para determinar cuál de las tres situaciones se produce en cada caso, resolvemos el sistema que forman los dos planos y estudiamos los rangos de su matriz de coeficientes y la matriz ampliada

1 1 1 1

2 2 2 2

00


de donde tenemos 1 1 1

2 2 2

A B CM A B C

y 1 1 1 1

2 2 2 2*A B C D

M A B C D

Secantes Si se cortan en una recta.

Rang(M) = 2 y rang(M*) = 2: Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO de infinitas soluciones que son precisamente la recta de corte

Paralelos No hay puntos comunes.

Rang(M) = 1 y rang(M*) = 2 Sistema INCOMPATIBLE y los dos planos tienen que ser necesariamente paralelos

Coincidentes Ambos planos son el mismo.

Rang(M) = 1 y rang(M*) = 1 Por lo que ambos planos son proporcionales en coeficientes y por tanto coincidentes

+


Posiciones Relativas De Tres Planos

Consideremos ahora tres planos π1, π2 y π3 con ecuaciones generales

1 1 1 1 1: 0A x B y C z D

2 2 2 2 2: 0A x B y C z D

3 3 3 3 3: 0A x B y C z D

Entre tres planos en el espacio, se pueden describir las siguientes ocho situaciones

Tres Coincidentes Dos coincidentes y uno paralelo a ellos Dos coincidentes y el tercero secante Tres paralelos Dos paralelos y uno secante a ambos Secantes dos a dos Tres secantes que se cortan en una misma recta Tres secantes que se cortan en un punto

Las ocho quedan descritas perfectamente al resolver el sistema según los valores que tomen las matrices de coeficientes M y ampliada M*

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

000


1 1 1

2 2 2

3 3 3

A B CM A B C

A B C

y 1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

*A B C D

M A B C DA B C D

Para explicar las situaciones que se van a dar a continuación vamos a hablar de un concepto de vector normal aun no explicado, pues aparece cuando hablamos de perpendicularidad y ello implica conocer el comportamiento de la operación denominada producto escalar en el espacio que veremos a continuación. Por tanto, las explicaciones que se derivan de los rangos a continuación no estarán dotadas de contenido pleno hasta que veamos este concepto.

Tres secantes que se cortan en un punto

Rang(M) = 3 y rang(M*) = 3 Sistema COMPATIBLE DETERMINADO solución única Los tres planos distintos se cortan en un solo punto.

+


Tres secantes que se cortan en una misma recta

Rang(M) = 2 y rang(M*) = 2 Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO Las soluciones son infinitas dependientes de un parámetro, es decir una recta. Rang(M*) = 2 indica dos planos distintos Rang(M) = 2 indica que hay solo dos planos con distinto vector normal

Tres Coincidentes Los tres planos son el mismo

Rang(M) = 1 y rang(M*) = 1: Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO Hay infinitas soluciones dependientes de dos parámetros, es decir un plano. Rang(M*) = 1 las tres ecuaciones son la misma

Dos coincidentes y uno paralelo a ellos

Rang(M) = 1 y rang(M*) = 2: Sistema INCOMPATIBLE Rang(M*) = 2 indica que hay dos planos diferentes. Rang(M)=1 indica que los 3 planos tienen el mismo vector direccional, luego paralelos.

Tres paralelos Ambos planos son el mismo.

Rang(M) = 1 y rang(M*) = 3 Sistema INCOMPATIBLE Rang(M*) = 3 indica tres planos diferenetes Rang(M) = 1 los tres planos tienen el mismo vector normal, luego paralelos

+


Dos coincidentes y el tercero secante No hay puntos comunes.

Rang(M) = 2 y rang(M*) = 2 Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO Rang(M*) = 2 indica dos planos distintos Rang(M) = 2 indica que hay solo dos planos con distinto vector direccional

Dos paralelos y uno secante a ambos

Rang(M) = 2 y rang(M*) = 3 Sistema INCOMPATIBLE Rang(M*) = 3 indica tres planos distintos Rang(M) = 2 indica que hay solo dos planos con distinto vector normal por lo que dos son paralelos

Secantes dos a dos Rang(M) = 2 y rang(M*) = 3 Sistema INCOMPATIBLE Rang(M*) = 3 indica tres planos distintos Rang(M) = 2 indica que uno de los tres planos tiene el vector direccional combinación de los otros dos.

Ver animación en

http://evamate.blogspot.com/2009/02/videos-para-geometria-2-bach-ccnn.html

http://evamate.blogspot.com/2009/02/videos-para-geometria-2-bach-ccnn.html

+


PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES (dot product or scalar product)

Conceptos básicos

Hasta ahora en V3 hemos definido dos operaciones, suma (la resta la consideramos la misma operación, pues es sumarle el opuesto) y multiplicación de un vector por un escalar. Ahora vamos a introducir una nueva operación

Definición: Producto escalar de dos vectores

Definimos una nueva operación denominada producto escalar de dos vectores u

y v

y se escribe u

· v

, como el número real que resulta de multiplicar los módulos de u

y v

por el

coseno del ángulo que forman: cos si u y v son 0

0 si u o v son 0

u vu v

, donde α es en ángulo

que forman u

y v

En forma de aplicación se expresaría como 3 3

, cos

V V

u v u v u v

Interpretación geométrica del producto escalar

El producto escalar de dos vectores u

y v

es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el primero

Este resultado se obtiene de forma

elemental dado que cos vproj u

u

, y sustituyendolo en la expresión del producto escalar se tiene

cos vv

proj uu v u v u v v proj u

u

Ver este applet que nos da una idea más intuitiva del significado del producto escalar :http://www.geogebra.org/en/upload/files/english/mike_shepperd/scalarproduct.html

http://www.geogebra.org/en/upload/files/english/mike_shepperd/scalarproduct.html

+


Espacio vectorial euclídeo

Al par V3 ,∙ se le llama espacio vectorial euclídeo donde V3 es el espacio vectorial de los vectores libres y ∙ es la operación producto escalar. En este espacio vamos a hablar de distancias, ángulos, posiciones relativas, paralelismo y perpendicularidad, áreas, volúmenes, etc.

Propiedades del producto escalar

Propiedad 1.

El producto escalar de un vector por si mismo es mayor o igual que cero

Demostración

2 2cos , cos 0º 1 0u u u u u u u u

Propiedad 2

El producto escalar de un vector u

y v

por si mismo es el cuadro de su módulo: 2

u u u

Demostración 2

cos0º 1u u u u u u u

Propiedad 3.

El producto escalar es conmutativo u v v u

Demostración

cos , cos ,u v u v u v v u v u v u

Propiedad 4

El producto escalar es homogéneo u v u v u v

Demostración

Si λ>0 cos , cos ,u v u v u v u v u v u v

Si λ<0 cos , cos ,u v u v u v u v u v u v

Propiedad 5

+


El producto escalar es distributivo respecto a la suma u v w u w v w

Demostración

Veámosla con unos gráficos

Bases Normadas, ortogonales y ortonormales

Una base 1 2 3, ,B u u u

de de V3 la llamaremos base normada si los vectores 1 2 3, ,u u u

son

unitarios


de de V3 la llamaremos base ortogonal si los vectores 1 2 3, ,u u u

son

ortogonales o perpendiculares.


de de V3 la llamaremos base ortononal si los vectores 1 2 3, ,u u u

son

ortogonales y unitarios. La base canónica es una base ortonormal, pero cualquier giro simultáneo de estos tres vectores es otra base ortonormal.

Expresión del producto escalar en coordenadas

Dados 1 2 3, ,u u u u

y 1 2 3, ,v v v v

en un sistema de referencia euclídeo, la expresión del

producto escalar en función de sus coordenadas es 1 1 2 2 3 3u v u v u v u v

Justificación

Sea , ,B i j k

la base canónica de V3, los vectores 1 2 3, ,u u u u

y 1 2 3, ,v v v v

se pueden

expresar en función de ella como 1 2 3u u i u j u k

y 1 2 3v v i v j v k

Ahora tenemos en cuenta que los vectores , ,i j k

son ortonormales, es decir, de módulo 1 y

perpendiculares dos a dos, luego el producto escalar de dos de ellos distintos es 0 y si son coincidentes es 1.

Aplicando esto y las propiedades del producto escalar se tiene que

1 2 3 1 2 3

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3

...

... ...

... 0 0 0 0 0 0

u v u i u j u k v i v j v k

u i v i u i v j u i v k u j v i u j v j u j v k u k v i u k v j u k v k

u v i i u v j j u v k k u v i u v j u v

2

3

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

...

... 1 1 1

k

u v u v u v u v u v u v

Ahora bien, si estuviésemos en un espacio vectorial con una base 1 2 3, ,B u u u

cualquiera,

el producto escalar también se podría expresar respecto a ella, pero no podríamos

+


simplificarlos vectores , ,i j k

tal y como lo hemos hecho aquí, por tanto, la expresión en

coordenadas del producto escalar de dos vectores se complicaría y la dejamos como ejercicio:

Ejercicio

Escribir la expresión en coordenadas del producto escalar de dos vectores , ,u x y z

y

', ', 'v x y z

respecto a una base 1 2 3, ,B u u u

:

normada ortogonal ortonormal

Solución

1 2 3 1 2 3

1 2 1 3 2 3

' ' ' ...

... ' ' ' ( ' ')( ) ( ' ')( ) ( ' ')( )

u v xu yu zu x u y u z u

xx yy zz xy yx u u xz zx u u yz zy u u

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3' ' ' ' ' 'u v xu yu zu x u y u z u xx u yy u zz u

1 2 3 1 2 3' ' ' ' ' 'u v xu yu zu x u y u z u xx yy zz

+


Aplicaciones del producto escalar

Módulo de un vector

Cálculo del módulo de un vector 2 2 21 2 3 1 2 3, ,u u u u u u u u u

Ejemplo

Calcular el módulo del vector 2, 4,3u

: 2 2 22,4,3 2 4 3 29u

Ángulo de dos vectores en el espacio

Cálculo del ángulo de dos vectores 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

cos u v u v u vu vu vu v u u u v v v

Ejemplo Calcular el ángulo que forman los vectores 2, 4,3u

y 4, 2,1v

2 22 2 2 2

1

2 4 4 2 3 1cos ...

2 4 3 4 2 1

13 13... 0.526829 21 609

... cos 0.5268 121.79º

u vu vu v

Perpendicularidad

Si u

y v

son vectores no nulos, su producto escalar es cero si y solo si los vectores son perpendiculares

0 es perpendicular a u v u v

(que se escribe u v

)

Demostración

+


0 cos 0 ...u v u v

Y como u

y v

son vectores no nulos entonces 0u

y 0v

por lo tanto

90º... cos 0 cos 0

270ºu v

En ambos casos u v

son vectores perpendiculares

Ejercicio

Dado un vector 1 2 3, ,u u u u

por ejemplo el (3,1, 1)u

calcular otros dos vectores perpendiculares a él

Solución

Cualquier otro vector 1 2 3, ,v v v v u

verificará que 0u v

luego

1 2 3 1 2 33,1, 1 , , 3 0v v v v v v

Esta expresión es la de una ecuación de un plano que pasa por el origen O. Si queremos, podemos expresarla como ecuación vectorial del plano, buscándole dos vectores directores independientes contenidos en el plano. Para ello resolvemos esta ecuación parametrizando dos de las variables.

1 1

1 2 3 2 1 2 3

33

3 0 3 , , 0,0,0 1, 3,0 0,1,1v vv v v v v v v

vv

Con lo que (1,-3,0) y (0,1,1) son dos vectores directores del plano y además perpendiculares a (3,1,-1)

Vector perpendicular a un plano

Definición: vector normal a un plano

Un vector n

es normal ó perpendicular a un plano y se escribe u

cuando es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano .

Al vector , ,n A B C

se le llama vector normal del plano : 0Ax By Cz D

+


La palabra normal y perpendicular (así como ortogonal), en geometría, son sinónimas. Veamos ahora que efectivamente el vector , ,n A B C

es siempre perpendicular al plano

: 0Ax By Cz D

El plano : 0Ax By Cz D se puede escribir en ecuación vectorial parametrizando dos variables y resolviendo el sistema

0

, , ,0,0 ,1,0 ,0,1

D B CxAx By Cz D A A A D B Cy y x y zA A A

z z

Por tanto los vectores , , 0u B A

y , 0,v C A

son vectores directores del plano .

Si multiplicamos escalarmente , ,n A B C

por los vectores , , 0u B A

y , 0,v C A

vemos que:

, , , , 0 0n A B C u B A AB AB

, , , 0, 0n A B C v C A AC AC

Con lo que queda probado que , ,n A B C

es un vector normal al plano : 0Ax By Cz D

Recta proyección ortogonal de una recta sobre el plano

Sean r una recta y π un plano en el espacio.

Para obtener la recta s obtenida mediante la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π basta con proyectar ortogonalmente dos puntos de la recta sobre el plano π. Si r y π fuesen secantes, uno de los puntos podría ser justamente el punto de corte.

Ejemplo

Sean la recta 1 1:2 3

x zr y

y

sea el plano : 2 1 0x y z . Para calcular el punto de corte resolvemos el sistema

+

| 33

12 2 1 1

1 3 1 13

02 2 1 3 1 1 02 1 0

x yx y x

zy z y zyy y yx y z

Lo que nos dice que la recta r y el plano π se cortan en el punto A(1,0,-1). Ahora, dado un punto cualquiera de la recta, por ejemplo el B(3,1,2), calculamos su proyección B’ de sobre el plano π, para ello consideramos la recta que pasa por B y es perpendicular al plano, por lo que tendrá como vector director el (2,1,1) que sabemos

que es normal al plano. Esta recta es 2 1 1:2 1 1

x y zt y resolviendo el sistema

que forma con el plano π nos da la proyección buscada B’:

2 172 1 2 4

1 1 721 1 2

2 2 4 2 1 02 1 0 112

x yxx y

y z z y zy y yx y z y

Por último la recta s buscada, proyección de r sobre π, es la que que pasa por A(1,0,-

1) y B’(7, 11/2, 7/2) y resulta 1 1: 11 77 2 2

x y zs

+

| PERPENDICULARIDAD DE RECTA Y PLANO 34

PERPENDICULARIDAD DE RECTA Y PLANO

Una recta r y un plano π son ortogonales cuando el vector director de la recta es perpendicular al plano π.

En la práctica, para saber si una recta r es perpendicular a un plano π obtendremos primero un vector director de la recta y lo compararemos con el vector normal del plano, si ambos llevan la misma dirección ( son proporcionales) entonces r

Ejemplo 1

Comprueba si la recta 1 2 1:2 1 3

x y zr

es perpendicular al plano

: 4 2 6 1 0x y z

Solución

La recta r tiene como vector director al 2, 1,3u

y el plano tiene como vector

normal el 4, 2,6n

. Ambos son proporcionales luego la recta y el plano son perpendiculares.

Ejemplo 2

Dado el plano : 4 2 6 1 0x y z calcula una recta r perpendicular al mismo que pase por el punto 1,1,1P

Solución

El vector normal de π es el 4, 2,6n

es un vector director de la recta r, como

además sabemos que pasa por 1,1,1P escribimos su ecuación continua: 1 1 1:

4 2 6x y zr

+

| HACES DE PLANOS 35

HACES DE PLANOS

Haz de planos secantes a una recta

Se define haz de planos que secantes a una recta r como el conjunto de todos los planos que contienen a r

Si la ecuación de r dada en forma cartesiana es 1 1 1 1

2 2 2 2

0:

0A x B y C z D

rA x B y C z D

, cualquier plano

3 3 3 3: 0A x B y C z D que la contenga no debe variar el conjunto solución del sistema

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

000


ello implica que la ecuación del plano 3 3 3 3: 0A x B y C z D

debe ser combinación lineal de las ecuaciones de 1 1 1 1

2 2 2 2

0:

0A x B y C z D

rA x B y C z D

. Esto se puede

escribir como que

3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D

Pero en la práctica , para definir el haz de planos que contienen a una recta r basta con un solo λ mediante la ecuación 1 1 1 1 2 2 2 2 ;A x B y C z D A x B y C z D

+

| HACES DE PLANOS 36

Haz de planos perpendiculares a una recta

Se define haz de planos que secantes a una recta r como el conjunto de todos los planos que son perpendiculares a dicha recta

Si r tiene por vector director , ,u a b c

la ecuación del haz de planos perpendiculares a r viene dado por 0;ax by cz D D

Ejemplo

Calcula la ecuación del haz de planos perpendiculares a la recta 1 1 1:

2 1 3x y zr

Solución

Todos los planos del haz tendran por vector normal el vector director de la recta (2,-1,3), por lo que la ecuación del haz es 2 3 0;x y z D D

+

| APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 37

APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos 1 1 1, ,A x y z y 2 2 2, ,B x y z es igual al módulo del vector AB

, es decir

2 2 22 1 2 1 2 1,d A B AB x x y y z z

Demostración

Esta conclusión se deduce directamente de la figura adjunta donde vemos que la distancia pedida d(A,B) es la hipotenusa del triángulo rectángulo en el espacio construido tal y como se describe

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos 1 1 1, ,A x y z y

2 2 2, ,B x y z vienen dadas por

1 2 1 2 1 2, ,2 2 2

x x y y z zM

Demostración

En la figura adjunte se observa que si M(x,y,z) es el punto medio del segmento AB entonces se verifica que

1 2

1 2 1 21 2

1 2 1 2

1 2 1 21 2

222

22

2

x xxx x x x x x x

y yy y y y y y y yz z z z z z z z zz

+


De donde 1 2 1 2 1 2, ,2 2 2

x x y y z zM

Razón r de un segmento

Si generalizamos la expresión anterior, no a el punto medio, sino un punto P(x, y, z) que

satisfaga la relación r, de modo que AP rPB

, obtendremos que las coordenadas de ese punto

P son

1 2 1 2 1 2, ,1 1 1

x r x y r y z r zPr r r

Nota: Si r = 1 obtenemos el punto medio

Demostración

En la figura adjunte se observa que si P(x,y,z) es un punto de forma que AP rPB

, entonces para los lados de los

trángulos del gráfico se verifica también la proporción r, es decir

1 1 2

21 2 1 2

1 1 21 2 1 2

21 21 2 1 21

2

1(1 )(1 )

1(1 )

1

x x x r xr xx x rx x r x x x r x r xy y y r yr y y r y y y r y r y yy y r

z r z r zz z r z z z r zz z zr rz z

De donde las coordenadas de P son

1 2 1 2 1 2, ,1 1 1

x r x y r y z r zPr r r

Punto simétrico a un punto dado.

Las coordenadas del punto simétrico del punto 1 1 1, ,A x y z respecto al punto 2 2 2, ,P x y z vienen dadas por

2 1 2 1 2 1' 2 , 2 , 2A x x y y z z

Demostración

+


La demostración es similar a la del punto medio, pero ahora los puntos están colocados de forma distinta, ahora, dado el punto 1 1 1, ,A x y z el punto simétrico

1 1 1' ', ', 'A x y z que buscamos

verifica que 2 2 2, ,P x y z es el punto medio del segmento AA’. Por tanto ahora

2 1 1 2 1 2 1

2 1 1 2 1 2 1

2 1 1 2 1 2 1

' ' 2' ' 2

' ' 2

x x x x x x xy y y y y y yz z z z z z z

de donde 2 1 2 1 2 1' 2 , 2 , 2A x x y y z z

Puntos alineados

¿Cómo podríamos saber si tres puntos 1 1 1, ,A x y z , 2 2 2, ,B x y z , 3 3 3, ,C x y z están alineados?

Pues con vectores es una sencilla cuestión de responder, basta comprobar que las direcciones de los tres vectores

2 1 2 1 2 1, ,AB x x y y z z

,

3 1 3 1 3 1, ,AC x x y y z z

y

3 2 3 2 3 2, ,BC x x y y z z

son la misma, por tanto el determinante formado por las coordenadas de estos tres vectores debe tener rango igual a uno.

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

3 2 3 2 3 2

1x x y y z z

rang x x y y z zx x y y z z

3 Puntos coplanarios

Veamos ahora como podríamos saber si tres puntos 1 1 1, ,A x y z , 2 2 2, ,B x y z ,

3 3 3, ,C x y z son coplanarios. El problema es similar al anterior, pero ahora dos vectores de los tres considerados

2 1 2 1 2 1, ,AB x x y y z z

,

3 1 3 1 3 1, ,AC x x y y z z

y 3 2 3 2 3 2, ,BC x x y y z z

tienen que ser independientes para

+


que exista el plano y por lo tanto el rango debe ser 2. No puede ser rango 3 porque si los tres vectores son independientes es que el tercero está fuera del plano.

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

3 2 3 2 3 2

2x x y y z z

rang x x y y z zx x y y z z

Distancia de un punto a una recta

Definición

Se define distancia de un punto P a una recta r a la distancia que hay desde P hasta la proyección ortogonal de P sobe la recta r.

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1,1,1) a la recta 2 1 1:

2 1 3x y zr

La proyección de P sobre la recta r ya hemos estudiado el procedimiento de cálculo. Primero calculamos un plano normal a la recta r que pase por P. Como el vector director de la recta (2, -1, 3) es normal al plano buscado, se tiene que su ecuación es π:2x – y + 3z – 4 = 0 Ahora calculamos el punto de corte Q de este plano con la recta resolviendo el sistema:

10722 1 1: 10 5 113 2 , ,2 1 3 7 7 7 7: 2 3 4 0 2( 2 ) 3( 3 2) 4 0 57

xx yx y zrz y z Q

x y z y y y y

Solo nos queda ahora calcular la distancia de los puntos P a Q:

2 2 210 5 1 3 21, 1 1 1

7 7 7 7d P Q

+


Distancia de un punto a un plano

Definición

Se define distancia de un punto P(x0, y0, z0) a un plano π:Ax + By + Cz + D = 0 a la distancia que hay desde P hasta la proyección ortogonal de P sobe el plano π.

Teorema

La distancia del punto P(x0, y0, z0) al plano π:Ax + By + Cz + D = 0 viene dada por la

fórmula 0 0 0

2 2 2,

Ax By Cz Dd P

A B C

Demostración

Sea Q la proyección ortogonal de P sobre el plano π y sea ( , , )n A B C

el vector normal al

plano π Sea M(x1, y1, z1) un punto del plano π. Se verifica que MP MQ QP

y lo que queremos es

calcular el módulo del vector QP

que representa la distancia del punto P al plano π.

Multiplicamos esta expresión escalarmente por n

y teniendo en cuenta que n

es perpendicular a MQ

:

0n MQ

n MP n MQ QP n MQ n QP n QP n QP

Los vectores n

y QP

son paralelos luego sin 0ºn QP n QP n QP

De esta expresión despejamos

+


1 1 1

1 1 11 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

2 2 2

0 0 0 1 1 1 0 0 0

2 2 2 2 2 2, ,

0

, , , ,...

, ,

... ( , )M x z zAx By Cz D

Ax By Cz D

n QP A B C x x y y z z A x x B y y C z zQP

A B Cn A B C

Ax By Cz Ax By Cz Ax By Cz Dd P

A B C A B C

c.q.d.

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1,1,1) al plano : 2 8 0x y z

Solución

0 0 0

2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 1 8 4 2 6,361 2 1

Ax By Cz Dd P

A B C

Distancia entre dos planos

Dos planos π1 y π2 en el espacio vimos que tienen tres posiciones relativas

Son secantes en una recta Son coincidentes Son paralelos

Si son secantes o coincidentes la distancia entre ellos es 0.

Si son paralelos, bastará tomar un punto P de uno de ellos, del π1 por ejemplo, y calcular la distancia de P al plano π2.

Ejemplo

Calcular la distancia del plano 1 : 2 8 0x y z al plano 2 : 2 4 2 3 0x y z

Solución

+


Determinamos sus posiciones relativas y como dadas 1 2 1 8

*2 4 2 3

M M

resulta

que rang(M)=1 y rang(M*) = 2 se tiene que π1 y π2 son paralelos. Tomamos un punto P cualquiera de π1 haciendo por ejemplo x = 0 e y = 0, (puedes tomar los valores que desees) y calculamos z que resulta 8, por lo tanto el punto P(0,0,8)∊ π1. Ahora calculamos la distancia de (0,0,8) a π2.

2 2 2 2

2 0 4 0 8 2 3 13 13 13 6(0,0,8), : 2 4 2 3 01224 242 4 2

d P x y z

Distancia entre recta y plano

Dados un plano π y una recta r las posiciones relativas entre ellos

Son secantes r está contenida en π Son paralelos

Si son secantes o r está contenida en π, la distancia entre ellos es 0.

Si son paralelos, bastará tomar un punto cualquiera P de la recta r y calcular la distancia de P al plano π, tal y como explicamos en 1.1.3.6.x

Ejemplo

Calcular la distancia de la recta 1 1 1:1 1 1

x y zr

al plano

: 2 4 2 3 0x y z

Solución

Determinamos sus posiciones relativas. En lugar de rangos nos interesa solo saber su son o no paralelos luego tomamos el vector normal 2, 4, 2n

del plano π y el vector

director de la recta r 1, 1,1u

. Si π y r son paralelos estos vectores n

y u

tienen que

+


ser perpendiculares por lo que su producto escalar tiene que ser 0, y efectivamente se tiene que 2, 4, 2 1, 1,1 2 4 2 0n u

Tomamos un punto P cualquiera de la recta r, por ejemplo hacemos x = 0 y resultan: 0 1 1

1 1 21 10 1 1 1 1 0

1 1

yy y

z z z

Por lo que el punto P tiene coordenadas (0,2,0).

Ahora calculamos la distancia de P al plano π.

2 2 2

2 0 4 2 8 0 3 5 5 6(0,2,0), : 2 4 2 3 012242 4 2

d P x y z

Distancia entre dos rectas

Dados dos rectas r y s sus posiciones relativas son

Coincidentes Secantes Paralelas Se cruzan en el espacio

Si son paralelas, basta tomar un punto cualquiera de una de ellas y calcular su distancia a la otra como vimos en 1.1.3.6.5.x

Si se cruzan en el espacio, consideramos el plano π que contiene a la recta s y es paralelo a r. Ahora calculamos la distancia de la recta r al plano π tal y como explicamos en 1.1.3.6.5.x

Ejemplo

Calcular la distancia entre las rectas 1 1 1:1 1 1

x y zr

y 2 3 2:

2 2 1x y zs

Solución

La recta r pasa por el punto P1(1,1,1) y tiene como vector director (1, 1,1)u

+


La recta s pasa por el punto P2(2,3,2) y tiene como vector director (2, 2,1)v

Primero, determinamos sus posiciones relativas. Del estudio de rangos resulta:

1 11 1

2 1 1 0 21 10 1 0 1 01 1 *

2 3 1 1 1 0 12 2 2 2 1 0 2 2

2 22 1

x y

x yx zx z

A Ax y x y

x zx z

Donde rang(M) = 3 y rang(M*) = 4 lo que indica que el sistema es incompatible y las rectas r y s se cruzan tan y como estudiamos en 1.1.3.6.x También, más intuitivo, podíamos haber estudiado el rango de la matriz formada por los vectores (1, 1,1)u

, (2, 2,1)v

y el vector 1 2 (1,2,1)PP

que resulta 1 1 12 2 1 31 2 1

rang

pues 1 1 12 2 1 3 01 2 1

Lo cual nos hace deducir que los tres vectores son indendientes y las rectas necesariamente se cruzan. Hallamos la ecuaciónd el plano π que contiene a s y es paralelo a r. Si contiene a s Ya sabemos un punto P2(2,3,2) y un vector director (2, 2,1)v

y si es paralelo a r

entonces otro vector director será el (1, 1,1)u

, con lo cual la ecuación del plano π es 2 3 2

2 2 1 3( 2) ( 3) 4( 2) 0 :3 4 5 01 1 1

x y zx y z x y z

Solo nos queda ahora calcular la distancia de un punto cualquiera de r, por ejemplo el P1(1,1,1) al plano π.

2 22

3 1 1 1 4 1 5 3 3 26( , ) (1,1,1), : 3 4 5 026263 1 4

d r s d P x y z

+


Simetrias

Puntos simétricos

Un punto P puede ser simétrico a otro punto P’ respecto a un punto Q, una recta r o un plano π.

Simetría respecto a un punto

Definición

Un punto P es simétrico a otro punto P’ respecto de un punto Q si Q es el punto medio del segmento PP’.

Ejemplo

Calcular el punto simétrico a P(1,1,1) respecto al punto Q(-1,2,2)

Solución

Buscamos un punto P’(x’,y’,z’) de forma que Q(-1,2,2) sea el punto medio del segmento PP’, es decir : 1 ' 1 ' 3

21 ' 2 ' 3

21 ' 2 ' 3

2

x x

y y

z z

Por lo que el punto simétrico es P’(-3,3,3)

Simetría respecto a una recta

Definición

Un punto P es simétrico a otro punto P’ respecto de una recta r si el punto medio del segmento PP’ pasa por r y, además, el vector PP’ es perpendicular a r.

Ejemplo

Calcular el punto simétrico a P(1,1,1) respecto a la recta 1 2 2:2 1 1

x y zr

Solución

+


Calculamos la proyección ortogonal de P sobre la recta r, para lo cual calculamos un plano que pase por P y que sea perpendicular a r. Este plano tiene el vector director de la recta (2,1, 1)u

como vector

normal y como pasa por P(1,1,1) resulta ser : 2 2 0x y z Ahora calculamos el punto Q intersección del plano π y la recta r.

131 2 2: 82 1 1 3

: 2 2 0 43

xx y zr

yx y z

z

Y, finalmente, calculamos el punto P’ simétrico de P respecto de Q: 1 ' 1 1'

2 3 31 ' 8 13 1 13 5' ' , ,

2 3 3 3 3 31 ' 4 5'

2 3 3

x x

y y P

z z

Simetría respecto a un plano

Definición

Un punto P es simétrico a otro punto P’ respecto de un plano π si el punto medio del segmento PP’ pasa por π y, además, el vector PP’ es perpendicular a π.

Ejemplo

Calcular el punto simétrico a P(1,1,1) respecto del plano : 2 8 0x y z

Solución

+


Primero calculamos la proyección ortogonal del punto P sobre el plano π , para ello calculamos primeramente la recta que pasa por P y es perpendicular al plano π, es

decir 1: 1 12

yr x z

Ahora calculamos el punto Q intersección de esta recta r con el plano π. 5

31: 1 1 72 3: 2 8 0 5

3

xyr x z

yx y z

z

Y, finalmente, calculamos el punto P’ simétrico de P respecto de Q: 1 ' 5 7'

2 3 31 ' 7 11 7 11 7' ' , ,

2 3 3 3 3 31 ' 5 7'

2 3 3

x x

y y P

z z

+

| PRODUCTO VECTORIAL 49

PRODUCTO VECTORIAL

Vamos a definir una nueva operación entre vectores de la siguiente forma

Definición

Dados dos vectores u

y v

en V3 definimos para ellos el producto vectorial u v

como un nuevo vector de V3 que tiene los siguientes elementos Módulo sinu v u v

; donde α es en ángulo que forman u

y v

Dirección Perpendicular al plano generado por los vectores u

y v

Sentido El sentido que llevaría un sacacorchos que fuese de u

hacia v

En lenguaje de aplicaciones conjuntistas se definiría como 3 3 3

,

V V V

u v u v

donde u v

tiene

el módulo, dirección y sentido definidos previamente.

Interpretación geométrica del producto vectorial

La interpretación geométrica del valor del módulo del vector u v

no es más que el valor del área del paralelogramo definido por los vectores u

y v

pues u

equivale a la longitud de la base del paralelogramo y sinv

a

la altura

Applet con cálculo del producto escalar y vectorial conjunto http://www.dean.usma.edu/math/people/Peterson/geogebra/2dvectors.html

Propiedades del producto vectorial

1. sin 0º 0u u u u

2. Anticonmutativa : u v

y v u

tienen igual módulo y dirección pero sentidos opuestos

3. Distributiva respecto a la suma: u v w u v u w

4. Asociatividad respecto al producto por escalares u v u v u v

5. No asociatividad: u v w u v w

6. u

y v

tiene producto vectorial nulo si y solo si u

y v

son paralelos, pues

http://www.dean.usma.edu/math/people/Peterson/geogebra/2dvectors.html

+


0º

0 sin 0 sin 0180º

u v u v u v u v

Definición mediante coordenadas

Ahora que ya sabemos determinantes, el producto vectorial u v

de dos vectores 1 2 3, ,u u u u

y 1 2 3, ,v v v v

también se pude expresar de una tercera forma

1 2 3

1 2 3

i j ku v u u u

v v v

; pero esta es una especie de regla nemotécnica, pues un determinante lo

hemos definido para números reales, no para vectores. Si como estudiante te acuerdas de esta expresión, te será fácil recordar que el producto vectorial lo puedes obtener desarrollando este determinante previo por la primera fila de la siguiente manera:

2 3 1 3 2 3 3 11 2 1 21 2 3

2 3 1 3 2 3 3 11 2 1 21 2 3

i j ku u u u u u u uu u u u

u v u u u i j k i j kv v v v v v v vv v v v

v v v

Vamos a probar que esto es cierto Consideremos, inicialmente, la base canónica de V3 formada por los vectores 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1i j k

. Recordemos que estos tres vectores son ortonormales entre si,

es decir perpendiculares dos a dos y de módulo 1. Es fácil entender, por la propia definición de producto escalar, que se verifica:

0i i

j i k

k i j

i j k

0j j

k j i

i k j

j k i

0k k

En base a esto tenemos que

+


1 2 3 1 2 3

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3

...

... ...

...

u v u i u j u k v i v j v k

u i v i u i v j u i v k u j v i u j v j u j v k u k v i u k v j u k v k

u v i i u v i j u v i k u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3

1 1

...

... ...

... 0

u v k i u v k j u v k k

u v

1 2 1 3 2 1 2 2 0u v k u v j u v k u v

2 3 3 1 3 2 3 30u v i u v j u v i u v

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

...

... ...

... ...

...

u v i u v i u v j u v j u v k u v k

u v u v i u v u v j u v u v k

u u u u u ui j k

v v v v v v

Aplicaciones del producto vectorial

Vector perpendicular a dos vectores dados

Tal y como acabamos de definir u v

es un vector perpendicular a dos cualesquiera vectores u

y v

en V3 , por tanto cada vez que necesitemos un vector perpendicular a dos dados, podemos calcular su producto vectorial

Ejemplo Calcular el vector perpendicular al plano que pasa por P1(1,0,0), P2(0,1,0) y P3(0,0,1) Solución

+


Una manera sería calcular la ecuación general del plano : 0Ax By Cz D que contiene a P1, P2, P3 y entonces el vector normal , ,n A B C

sería un vector

perpendicular a π. Otra posibilidad sería considrar los vectores 1 2 1,1,0PP

y 1 3 1,0,1PP

y hayar su producto vectorial, que sabemos que también es perpendicular al plano que forman:

1 2 1 3

1 0 0 1 1 11 1 0

0 1 1 1 1 01 0 1

i j kPP PP i j k i j k

; por lo que el vector

perpendicular al plano sería el (1,1,1)

Vector director de una recta en forma cartesiana

Dada una recta en forma cartesiana 1 1 1 1

2 2 2 2

00


el vector director de la misma

se obtiene resolviendo este sistema de ecuaciones. Debes recordar que al tratarse de un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas el rang(A) = 2 < 3 => Sistema compatible de infinitas soluciones que son justamente la recta buscada. Este sistema se resuelve parametrizando una incógnita y aplicando la Regla de Cramer. La ecuación de la recta es obtenida en su forma paramétrica.

Ejemplo

Calcular el vector director de la recta 3 2 1 02 2 3 0

x y zx y z

1 23 2 1 5 33 2 1

3 2 1 0 7 7 72 3 22 2 3 0 3 1

2 3 2 11 87 7 7

x y xx y zx y

x y zz

y

La solución es, pues, la recta (x, y, z) = (-5/7, 11/7, 0) +λ (3/7, -8/7, 1) y el vector director es entonces el (3/7, -8/7, 1)

Áreas de figuras planas en el espacio

Ya hemos comentado en la interpretación geomátrica del producto vectorial de dos vectores u v

, que el módulo del mismo equivale al área del paralelogramo que forman los propios vectores. Esto hace que sea la herramienta idónea para calcular áreas de triángulos y paralelogramos en el espacio.

+


Ejemplo Calcular el área del triángulo formado por los puntos P1(1,0,0), P2(0,1,0) y P3(0,0,1) Solución El producto vectorial de los vectores que forman estos puntos 1 2 1 3PP PP

es el vector

(1,1,1) ya está calculado en el ejemplo previo. Pues bien, el módulo de este vector es

2 2 21 2 1 3 1 1 1 3PP PP

Que corresponde al área del paralelogramo que forman. Si dividimos por 2, tendremos

el área del triángulo formado por los tres puntos, es decir, el resultado es 3

2Area

Distancia de un punto a una recta

Aunque ya hemos estudiado en 1.1.3.6.x este caso, vamos a ver ahora como resulta más sencillo aplicando el producto vectorial.

Teorema

Dado un punto P y una recta :r x a u

, con A un punto cualquiera de r, la distancia entre

ambos viene dada por ( , )u AP

d P ru

Demostración

Sabemos que el módulo del producto vectorial u AP

es el área del paralelogramo que forman

ambos vectores, pero esa área es también el producto de su base, que equivale a u

, por su altura, que

equivale justamente a la distancia d(P,r), luego

( , ) ( , )u AP

Area u AP base altura u d P r d P ru

+

| PRODUCTO MIXTO 54

PRODUCTO MIXTO

Definición

Se define producto mixto de tres vectores u

, v

y w

en V3 , y lo denotaremos por , ,u v w

al

número real que se obtiene de la operación u v w

donde · es el producto escalar.

Dicho en forma conjuntista, el producto misto es la aplicación

3 3 3

, , , ,

V V V

u v w u v w u v w

Interpretación geométrica del producto mixto

Si el producto vectorial de v

y w

es el área del paralelogramo que forman y ahora multiplicamos escalarmente por u

que era multiplicar sobre la proyección del propio u

sobre el vector v w

obtenemos la altura del paralelepípedo con lo que resulta que el producto mixto equivale al volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores u

, v

y w

Ejemplo Calcular el volumen del paralelepípedo formado por los vectores de la base canónica 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1i j k

Solución La respuesta a esta pregunta es el , ,i j k

que resulta:

+

| PRODUCTO MIXTO 55

1 0 0 0 0 1, , 1,0,0 0 1 0 1,0,0 , , 1,0,0 1,0,0 1

0 1 1 0 0 00 0 1

i j ki j k i j k

Propiedades del producto mixto

1. Si se permutan las colocaciones de los vectores, el producto mixto cambia el signo , , , , , , , ,u v w u w v v u w w v u

2. En cambio si se permutan las colocaciones de forma cíclica, el producto mixto no varía

, , , , , ,u v w w u v v w u

3. Distributiva respecto de la suma en cualquiera de las componentes:

1 2 1 2, , , , , ,u u v w u v w u v w

1 2 1 1, , , , , ,u v v w u v w u v w

1 2 1 2, , , , , ,u v w w u v w u v w

4. Asociativa respecto al producto por escalares , , , , , , , ,u v w u v w u v w u v w

5. El producto mixto es cero si y solo si los vectores son linealmente dependientes

, , 0 0 es combinacion de u v w u v w u v w u v w

Definición del producto mixto mediante coordenadas

En un sistema de referencia canónico, el producto mixto viene dado por

1 2 3

1 2 3

1 2 3

, ,u u u

u v w v v vw w w

Demostración

+

| PRODUCTO MIXTO 56

Primero veamos cual es el producto mixto de vectores de la base canónica. Hay que tener en cuenta que si uno de ellos está repetido, entonces el producto mixto es 0 entonces se obtiene la siguiente matriz de resultados, que puedes comprobar uno a uno: · i i

i j

i k

j i

j j

j k

k i

k j

k k

i

0 0 0 0 0 1 0 -1 0

j

0 0 -1 0 0 0 1 0 0

k

0 1 0 -1 0 0 0 0 0

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1

, , , , ...

... , , , , , , , , , , , , ...

...

u v w u v w u i u j u k v i v j v k w i w j w k

u v w i j k u v w i k j u v w j i k u v w j k i u v w k i j u v w k j i

1 2 3

1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 2 3

1 2 3

u u uu v w u v w u v w u v w u v w u v w v v v

w w w

Ejemplo Ddaos tres vectores cualesquiera 1, 2,3 , 1,1,1 , 3,2,1u v w

su producto mixto viene

dado por el determinante 1 2 31 1 13 2 1

que, en este caso, es igual a 0; luego además son

coplanarios. Volumenes de cuerpos geométricos

Distancia entre dos rectas que se cruzan

Aunque ya hemos estudiado en 1.1.3.6.x este caso, vamos a ver ahora como resulta más sencillo aplicando el producto mixto.

Teorema

Dadas dos rectas :r x a u

, con A un punto cualquiera de r, y :s x b v

, con B un

punto cualquiera de s, la distancia entre ellas viene dada por , ,

( , )AB u v

d P ru v

Demostración

+

| PRODUCTO MIXTO 57

Por un lado, sabemos que el volumen del paralelepípedo ABCD que forman los vectores , ,AB AC AD

viene dado por , ,AB AC AD

, entonces

, , , ,, ,

AB AC AD AB u vVolumen AreaBase altura AB AC AD u v h h

u v u v

+

| PRODUCTO MIXTO 58

GEOGEBRA 3D em Google http://geogebra.es/cvg/12/index.html http://www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=13&t=6471&p=27835&hilit=relative+positions&sid=5f30cb856bc0b3e347fc8710405d4339#p27835 http://www.iespravia.com/rafa/rafa_poliedros.htm" http://jpiton.blogspot.com/2007/11/geogebra-3d.html http://elblogdeinma.wordpress.com/2009/06/ ejemplo iMPORTANTE http://www.youtube.com/watch?v=w12HXjaLtCM No dejes mirar este blog y los vídeos que incorpora http://ccbb-mat.blogspot.com/2008/05/competencia-matemtica-en-el-aula.html Videos YouTube http://www.youtube.com/watch?v=vfFuEx9_HIE http://www.youtube.com/watch?v=KYxsiW9n5Mk&feature=related En inglés http://www.youtube.com/watch?v=-DO9jX6nmSQ Poliedros http://www.youtube.com/watch?v=dz91XQuMYYE&feature=related Baricentro con Geogebra http://www.youtube.com/watch?v=cp7ASke_VRY&feature=related http://www.video-shqip.net/GeoGebra-Puntos-y-Poligonos__RPmdFsTdw_k.html Muy bien con animaciones http://www.mathopenref.com/tocs/coordpointstoc.html http://www.mygeometryteacher.com/ Con applets con coordenadas espaciales http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie.html http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/geom1/geom1.html http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/geom2/geom2.html Pdfs ***** http://www.pdf-search-engine.com/analytic-geometry-pdf.html http://www.pdf-search-engine.com/m%C3%89tricos-pdf.html Curiosa presentación 3D http://images.google.es/imgres?imgurl=http://www.f-lohmueller.de/pov_tut/a_geo/a_geo_01.jpg&imgrefurl=http://www.f-lohmueller.de/pov_tut/a_geo/a_geo10e.htm&usg=__wejU36Ghpyo-2CBvLkRreNky-H8=&h=360&w=480&sz=29&hl=es&start=21&um=1&tbnid=bvCQ_2tRrH84IM:&tbnh=97&tbnw=129&prev=/images%3Fq%3Danalytical%2Bgeometry%2Bspace%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26hl%3Des%26sa%3DN%26start%3D18%26um%3D1

http://geogebra.es/cvg/12/index.html

http://www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=13&t=6471&p=27835&hilit=relative+positions&sid=5f30cb8

http://www.iespravia.com/rafa/rafa_poliedros.htm

http://jpiton.blogspot.com/2007/11/geogebra-3d.html

http://elblogdeinma.wordpress.com/2009/06/

http://www.youtube.com/watch?v=w12HXjaLtCM

http://ccbb-mat.blogspot.com/2008/05/competencia-matemtica-en-el-aula.html

http://www.youtube.com/watch?v=vfFuEx9_HIE

http://www.youtube.com/watch?v=KYxsiW9n5Mk&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=-DO9jX6nmSQ

http://www.youtube.com/watch?v=dz91XQuMYYE&feature=related

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http://www.video-shqip.net/GeoGebra-Puntos-y-Poligonos__RPmdFsTdw_k.html

http://www.mathopenref.com/tocs/coordpointstoc.html

http://www.mygeometryteacher.com/

http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie.html

http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/geom1/geom1.html

http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/geom2/geom2.html

http://www.pdf-search-engine.com/analytic-geometry-pdf.html

http://www.pdf-search-engine.com/m%C3%89tricos-pdf.html

http://images.google.es/imgres?imgurl=http://www.f-

http://www.f-

+

| PRODUCTO MIXTO 59

Uℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∊∃ A⨯Bεαβηθλμξσφφδπεε

·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♯⨁⨂×

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Geometria del Espacio