Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge

LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICO-DESCRITTIVA E RELATIVA TIPOLOGIA

DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI

(Il piano)

Autore Prof. Elio FragassiAutore Prof. Elio Fragassi

Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 1993/94 da Iolanda Iezzi della classe 3°B

dell’Istituto Statale d’Arte “G. Mazara” di Sulmonaper la materia : “Disegno geometrico ed architettonico”

IL materiale può essere riprodotto citando la fonte

La revisione delle formalizzazioni è stata curata dal dott. Gabriella

Mostacci

Al Al sommariosommarioGeometria descrittiva dinamica

SommarioSfogliare Titolo dell’argomento

Proiezione rappresentazione e definizione tipologiga del piano

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni

La tipologia del piano: studio e definizione nel primo diedro

Piano generico

Piano proiettante in 1a proiezione

Piano proiettante in 2a proiezione

Piano di profilo

Piano orizzontale

Piano frontale

Piano generico parallelo lt

Piano incidente la lt

Piano generico nei restanti diedri

Piano proiettante in 1a proiezione nei restanti diedri

Piano proiettante in 2a proiezione nei restanti diedri

Piano di profilo o in scorcio totale nei restanti diedri

Piano orizzontale nei restanti diedri

Piano frontale nei restanti diedri

Piano generico parallelo alla lt nei restanti diedri

Piano incidente la lt nei restanti diedri

CopertiCopertinana

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omesso

omessoomessoomessoomessoomessoomessoomesso

omessoomessoomessoomessoomessoomessoomessoomesso

Proiezione rappresentazione e definizione tipologiga del Proiezione rappresentazione e definizione tipologiga del pianopiano

Nella caratterizzazione del piano come elemento geometrico dinamico, si è riguardato lo stesso come generato da una retta in movimento orientato e definito secondo la seguente formalizzazione insiemistica

22 r| !wr che si legge

per ogni retta in movimento orientato e definito nello spazio, si genera una ed una sola superficie che prende il nome di “piano”

Questa superficie è costituita dall’insieme, non vuoto, delle infinite posizioni che la retta occupa nello spazio, muovendosi secondo una direzione orientata

Quindi in uno spazio di superfici si caratterizza come “piano” l’elemento geometrico dell’insieme delle rette ottenuto come sommatoria orientata, estesa da - a + delle posizioni della retta r in movimento orientato e definito nello spazio tridimensionale secondo la seguente espressione insiemistico-descrittiva

w r| r !wr -

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Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (1)(1)Per definire gli elementi geometrico-rappresentativi sviluppiamo le analisi successive nel I diedro sapendo che, poi, queste possono essere estese agli altri diedri adattandole alle caratterizzazioni topologiche ed agli ambiti grafici di questi.

Ricordiamo che gli elementi rappresentativi di una retta r sono le tracce T1r e T2r (Fig.44) ottenute come intersezione della retta con i semipiani del diedro, cioè come :T1r = r 1

T1r = r 1mentre le proiezioni sono espresse dalle seguenti formalizzazioni

descrittive

'2r

1r

T

T

'P r' ''1r

2r

T

T

''P 'r'

Mediante questi quattro elementi rappresentativi viene descritta la retta r comunque collocata nello spazio

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Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (2)elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (2)

Se consideriamo la retta r nel suo aspetto dinamico, essa, muovendosi parallelamente a se stessa, determinerà sui piani di proiezione 1 e 2 una successione di punti reali (tracce) che ne determina la posizione all’interno del diedro (Fig. 45)

Poiché la retta, per generare un piano si sposta secondo una direzione orientata, i punti di intersezione risponderanno, per la loro collocazione sul semipiano del diedro, alla legge descrittiva che vuole una retta definita mediante una direzione assegnata

I punti, così ottenuti, risultano allineati e prendono il nome di “traccia del piano” e si indicano con “t1” la traccia su 1 e con “t2” la traccia su 2. Per la “t” si utilizzano le lettere minuscole dell’alfabeto perché le tracce si caratterizzano, geometricamente, come “rette”, pertanto le due didascalie si leggono:

t1 = Traccia prima o traccia uno del piano

t2 = Traccia seconda o traccia due del piano

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (3)elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (3)

Definito tutto quanto sopra, e ricordando la formalizzazione

descrittiva del piano w r| r !wr

-

volendo sintetizzare e formalizzare come rette descrittive questi due elementi rappresentativi del piano, essi assumono il seguente aspetto

T t-

1r1

T t-

2r2

retta unita a 1 (Sommatoria dei punti uniti a 1)

retta unita a 2 (Sommatoria dei punti uniti a 2)

Dal punto di vista fisico, essendo le tracce generate dalla sommatoria di punti reali, saranno due rette reali. Infatti le T1 sono punti uniti a 1 e quindi con quota nulla, mentre le T2 sono punti uniti a 2 e quindi con aggetto nullo A conferma di quanto sopra è solo il caso di ricordare che dall’operazione geometrica dalla intersezione di due piani si ottiene una retta per cui, implicitamente, il piano attraversando il diedro intersecherà i due semipiani 1 e 2, dando origine a due rette che, nello specifico assumono il nome di “traccia prima del piano ” e “traccia seconda del piano ”

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (4)elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (4)

Una considerazione particolare deve essere fatta sull’origine delle tracce

Esse devono intersecare la linea di terra sempre, contemporaneamente e nello stesso punto

Infatti se consideriamo il piano generato da una retta che si sposta secondo una direzione assegnata, essa, nel suo movimento nello spazio,

passando da un diedro all’altro si intersecherà con la linea di terra

Poiché l’intersezione tra due rette genera un punto

r lt T1r T2r

per questo motivo le tracce del piano hanno sempre un punto in comune sulla linea di terra

Inoltre bisogna considerare che siamo in presenza di tre piani 1 , 2 ed e ricordare che la loro intersezione genera un punto che diventa il centro della stella dei tre

piani Il luogo piano racchiuso tra due tracce contiene, poi, le infinite proiezioni della retta

che muovendosi genera il piano (Fig.46)

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (5) elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (5)Riassumendo e sintetizzando si ha:

Volendo schematizzare possiamo raccogliere e sintetizzare le considerazioni come nella seguente tabella

Gli elementi rappresentativi del piano e relative caratteristiche

Elemento geometric

o

Didascalia

elemento

Didascalia elementi

rappresentativi

Nomenclatura elemento

Definizione geometrica

Definizione fisica

Piano

t1

t2

Traccia 1a o traccia 1

Traccia 2a o traccia 2

Retta

Retta Reale

Reale

Pertanto ogni piano può essere rappresentato secondo le leggi descrittive di cui trattasi nei seguenti appunti, mediante gli elementi geometrico-rappresentativi elencati nella tabella sopra esposta.

Infine, per quanto sopra espoosto le due tracce devono necessariamente essere incidenti sulla linea di terra nello stesso punto (reale o improrio) e, per l’aspetto dinamico, contemporaneamente.

Ogni retta dello “spazio rigato” muovendosi, nello spazio del diedro,secondo una direzione orientata genera un insieme di punti reali orientati che assumono il nome di “traccia del piano” e si indicano con la t minuscolo.

Essendo due i semipiani che delimitano il diedro, le tracce saranno, anch’esse, due e prendono l’indice uno o due a seconda che sia riferita al piano 1 o 2

La tipologia del piano: studio e definizione nel primo La tipologia del piano: studio e definizione nel primo diedrodiedro

Determinati gli elementi rappresentativi e definitene le caratteristiche geometriche e fisiche, si può passare all’analisi tipologica del piano per definirne una catalogazione sistematica nel rapporto con gli elementi del diedro: i semipiani di proiezione (luogo della rappresentazione) e la linea di terra.

La ricerca e definizione tipologica del piano si approfondisce, nel seguito degli appunti, con riferimento specifico al I diedro sapendo che per estendere la tipologia ai restanti diedri (II, III, IV) è sufficiente adeguare, poi, gli elementi rappresentativi alle caratteristiche dei diversi diedri rispettando, ovviamente, le differenti caratterizzazioni fisiche e topologiche.

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