INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA – CAMPUS SIMÕES FILHO

GEOMETRIA ESPACIAL

SILMÕES FILHO

2013

INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA – CAMPUS SIMÕES FILHO

GEOMETRIA ESPACIAL

SILMÕES FILHO

2013

Trabalho produzido para a disciplina

Matemática, orientado pela professora

Juanice Andrade, pelas alunas Maiara

Batista e Gisele Araújo, da turma 3º ano

- PGN.

A Geometria Espacial, também chamada de Geometria euclidiana, é o ramo da

matemática voltado para o estudo dos objetos espaciais (objetos que apresentam uma

terceira dimensão, como cubos, pirâmides, prismas, etc.) e as propriedades relativas

desses objetos. A Geometria Espacial é considerada uma ampliação da Geometria plana

que, por sua vez, estuda objetos compostos somente por duas dimensões, como retas,

curvas, segmentos de reta, pontos e etc.

Os primeiros registros de estudo da Geometria Espacial datam de aproximadamente

dois mil anos antes de Cristo, pelos povos habitantes da mesopotâmia. Esses estudos

foram encontrados em papiros e são a base de tudo que se sabe hoje sobre a Geometria

Espacial. Dentre esses papiros, os que mais se destacam são o “papiro de Rhind” e o

“papiro de Moscou”.

- Papiro de Moscou: o papiro de Moscou foi escrito por um escriba por volta de 1850

antes de Cristo. Devido à linguagem utilizada (hierático) e à degradação do documento,

muitos dos seus 25 problemas matemáticos são impossíveis de serem interpretados. O

Papiro de Moscou se tornou muito conhecido por conter uma espécie de fórmula para se

calcular o tronco de uma pirâmide quadrada.

- Papiro de Rhind: o Papiro de Rhind tem como título original “Instruções para

conhecer todas as coisas secretas” e é considerado um dos documentos mais

fundamentais e importantes sobre os conhecimentos matemáticos egípcios. O Papiro de

Rhind é composto por uma série de informações sobre trigonometria, aritmética,

equações, dentre outros.

A Origem e as Transformações da Geometria Espacial

A Geometria, após ser praticamente descoberta pelos povos egípcios, foi adotada pelos

povos gregos que, por sua vez, atribuíram o nome GEOMETRIA (medida da terra) a

essa área da matemática. Alguns filósofos e geômetras se destacam quando falamos do

estudo da matemática na Grécia, como Pitágoras, Platão, Arquimedes e Euclides. Esse

último foi responsável pela criação de um importantíssimo livro chamado Elementos,

que sintetizava todas as informações acumuladas sobre os estudos geométricos até então

descobertas.

Na Idade Média, durante o período de trevas, diversas áreas do conhecimento passaram

por uma estagnação e assim foi com a Geometria Espacial. Foi somente durante o

Renascimento que matemáticos como Leonardo Fibonacci e René Descartes voltaram-

se novamente para o estudo da Geometria Espacial. Em 1669, Isaac Newton desenvolve

o “cálculo diferencial e integral”, que possibilitava o calcula da área e volume de

qualquer figura geométrica, sem importar seu formato.

A Geometria Espacial passou por mais uma série de transformações e descobertas até

chegar ao que hoje: uma das áreas mais fundamentais e práticas da matemática, estando

envolvida em diversas empreitadas da humanidade, seja um simples cálculo em uma

sala de aula ou a construção de um importante prédio de negócios.

Poliedros

Poliedros são figuras geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas

e faces. Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e

congruentes.

Dentre os poliedros existentes, existem alguns considerados Poliedros de Platão, pois

todas as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos

possuem o mesmo número de arestas e se enquadram na relação de Euler. Os Poliedros

considerados de Platão são:

Prisma

Consideremos o prisma como um sólido geométrico formado pelos seguintes

elementos: base, altura, vértices, arestas e faces laterais. Os prismas podem apresentar

diversas formas, mas algumas características básicas definem esse sólido geométrico.

Por exemplo, o número de faces do prisma será exatamente igual ao número de lados do

polígono que constitui suas bases (superior e inferior), dessa forma, sua classificação

quanto ao número de lados pode ser:

Triangular – base constituída de triângulos .

Quadrangular – base constituída de quadriláteros.

Pentagonal – base constituída de pentágonos.

Hexagonal – base constituída de hexágonos.

Heptagonal – base constituída de heptágonos.

Octogonal – base constituída de octógonos.

Os prismas também podem ser classificados como retos ou oblíquos. Os prismas retos

são aqueles em que a aresta lateral forma com a base um ângulo de 90º, os oblíquos são

aqueles em que as arestas formam ângulos diferentes de 90º.

Pirâmide

Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas

as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice

que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O número de faces

laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base. Como

exemplos das pirâmides da geometria espacial no dia-a-dia temos as pirâmides do Egito,

uma das sete maravilhas do mundo antigo.

Uma pirâmide é classificada como reta quando todas as arestas laterais são congruentes,

caso contrário ela é classificada como oblíqua. Uma maneira mais fácil de identificar

uma pirâmide reta é quando o centro da base da pirâmide está alinhado com o vértice

superior da pirâmide, em outras palavras, é possível traçar uma reta do vértice ao centro

do polígono na base da pirâmide. Uma outra maneira fácil de identificar uma pirâmide

oblíqua é quando não existe esse alinhamento do vértice superior com o centro do

polígono na base da pirâmide, ou seja, se traçarmos novamente a reta, ela não terminará

no centro do polígono da base.

Cilindro

Objeto tridimensional composto pela sobreposição de infinitos círculos de mesmo

diâmetro. É também definido como o objeto que resulta da rotação de um paralelogramo

em torno de um dos seus lados. Ou ainda, o cilindro pode ser visto como um "prisma"

de base circular.

Cilindro reto: O cilindro é reto quando os círculos se sobrepõem ao longo de uma

direção perpendicular ao plano dos mesmos. Ou quando o paralelogramo que executa a

rotação é um retângulo. Neste caso o eixo do cilindro é perpendicular à sua base.

Cilindro oblíquo: quando o eixo o cilindro não é perpendicular à sua base.

Cone

Cone: Figura espacial que resulta da rotação de um triângulo em torno de um de seus

lados. O cone pode ser considerado uma sobreposição de infinitos círculos com raios

que decrescem até se reduzirem a um ponto. Pode ser visto também como uma

"pirâmide" de base circular.

Esfera

A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superfície

curva contínua cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado

centro"; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à

mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a

distância ao centro é a mesma.

Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo

se refere à superfície de uma bola. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por

causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que

ocupam espaço.

Bibliografia

http://oqueeh.com.br/geometria-espacial-conceito-e-origem

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A2mide

http://www.brasilescola.com/matematica/poliedros.htm

http://educacao.uol.com.br/matematica/cilindro-cone-e-esfera-definicoes-area-e-

volume.jhtm