INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA – CAMPUS SIMÕES FILHO
GEOMETRIA ESPACIAL
SILMÕES FILHO
2013
INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA – CAMPUS SIMÕES FILHO
GEOMETRIA ESPACIAL
SILMÕES FILHO
2013
Trabalho produzido para a disciplina
Matemática, orientado pela professora
Juanice Andrade, pelas alunas Maiara
Batista e Gisele Araújo, da turma 3º ano
- PGN.
A Geometria Espacial, também chamada de Geometria euclidiana, é o ramo da
matemática voltado para o estudo dos objetos espaciais (objetos que apresentam uma
terceira dimensão, como cubos, pirâmides, prismas, etc.) e as propriedades relativas
desses objetos. A Geometria Espacial é considerada uma ampliação da Geometria plana
que, por sua vez, estuda objetos compostos somente por duas dimensões, como retas,
curvas, segmentos de reta, pontos e etc.
Os primeiros registros de estudo da Geometria Espacial datam de aproximadamente
dois mil anos antes de Cristo, pelos povos habitantes da mesopotâmia. Esses estudos
foram encontrados em papiros e são a base de tudo que se sabe hoje sobre a Geometria
Espacial. Dentre esses papiros, os que mais se destacam são o “papiro de Rhind” e o
“papiro de Moscou”.
- Papiro de Moscou: o papiro de Moscou foi escrito por um escriba por volta de 1850
antes de Cristo. Devido à linguagem utilizada (hierático) e à degradação do documento,
muitos dos seus 25 problemas matemáticos são impossíveis de serem interpretados. O
Papiro de Moscou se tornou muito conhecido por conter uma espécie de fórmula para se
calcular o tronco de uma pirâmide quadrada.
- Papiro de Rhind: o Papiro de Rhind tem como título original “Instruções para
conhecer todas as coisas secretas” e é considerado um dos documentos mais
fundamentais e importantes sobre os conhecimentos matemáticos egípcios. O Papiro de
Rhind é composto por uma série de informações sobre trigonometria, aritmética,
equações, dentre outros.
A Origem e as Transformações da Geometria Espacial
A Geometria, após ser praticamente descoberta pelos povos egípcios, foi adotada pelos
povos gregos que, por sua vez, atribuíram o nome GEOMETRIA (medida da terra) a
essa área da matemática. Alguns filósofos e geômetras se destacam quando falamos do
estudo da matemática na Grécia, como Pitágoras, Platão, Arquimedes e Euclides. Esse
último foi responsável pela criação de um importantíssimo livro chamado Elementos,
que sintetizava todas as informações acumuladas sobre os estudos geométricos até então
descobertas.
Na Idade Média, durante o período de trevas, diversas áreas do conhecimento passaram
por uma estagnação e assim foi com a Geometria Espacial. Foi somente durante o
Renascimento que matemáticos como Leonardo Fibonacci e René Descartes voltaram-
se novamente para o estudo da Geometria Espacial. Em 1669, Isaac Newton desenvolve
o “cálculo diferencial e integral”, que possibilitava o calcula da área e volume de
qualquer figura geométrica, sem importar seu formato.
A Geometria Espacial passou por mais uma série de transformações e descobertas até
chegar ao que hoje: uma das áreas mais fundamentais e práticas da matemática, estando
envolvida em diversas empreitadas da humanidade, seja um simples cálculo em uma
sala de aula ou a construção de um importante prédio de negócios.
Poliedros
Poliedros são figuras geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas
e faces. Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e
congruentes.
Dentre os poliedros existentes, existem alguns considerados Poliedros de Platão, pois
todas as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos
possuem o mesmo número de arestas e se enquadram na relação de Euler. Os Poliedros
considerados de Platão são:
Prisma
Consideremos o prisma como um sólido geométrico formado pelos seguintes
elementos: base, altura, vértices, arestas e faces laterais. Os prismas podem apresentar
diversas formas, mas algumas características básicas definem esse sólido geométrico.
Por exemplo, o número de faces do prisma será exatamente igual ao número de lados do
polígono que constitui suas bases (superior e inferior), dessa forma, sua classificação
quanto ao número de lados pode ser:
Triangular – base constituída de triângulos .
Quadrangular – base constituída de quadriláteros.
Pentagonal – base constituída de pentágonos.
Hexagonal – base constituída de hexágonos.
Heptagonal – base constituída de heptágonos.
Octogonal – base constituída de octógonos.
Os prismas também podem ser classificados como retos ou oblíquos. Os prismas retos
são aqueles em que a aresta lateral forma com a base um ângulo de 90º, os oblíquos são
aqueles em que as arestas formam ângulos diferentes de 90º.
Pirâmide
Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas
as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice
que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O número de faces
laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base. Como
exemplos das pirâmides da geometria espacial no dia-a-dia temos as pirâmides do Egito,
uma das sete maravilhas do mundo antigo.
Uma pirâmide é classificada como reta quando todas as arestas laterais são congruentes,
caso contrário ela é classificada como oblíqua. Uma maneira mais fácil de identificar
uma pirâmide reta é quando o centro da base da pirâmide está alinhado com o vértice
superior da pirâmide, em outras palavras, é possível traçar uma reta do vértice ao centro
do polígono na base da pirâmide. Uma outra maneira fácil de identificar uma pirâmide
oblíqua é quando não existe esse alinhamento do vértice superior com o centro do
polígono na base da pirâmide, ou seja, se traçarmos novamente a reta, ela não terminará
no centro do polígono da base.
Cilindro
Objeto tridimensional composto pela sobreposição de infinitos círculos de mesmo
diâmetro. É também definido como o objeto que resulta da rotação de um paralelogramo
em torno de um dos seus lados. Ou ainda, o cilindro pode ser visto como um "prisma"
de base circular.
Cilindro reto: O cilindro é reto quando os círculos se sobrepõem ao longo de uma
direção perpendicular ao plano dos mesmos. Ou quando o paralelogramo que executa a
rotação é um retângulo. Neste caso o eixo do cilindro é perpendicular à sua base.
Cilindro oblíquo: quando o eixo o cilindro não é perpendicular à sua base.
Cone
Cone: Figura espacial que resulta da rotação de um triângulo em torno de um de seus
lados. O cone pode ser considerado uma sobreposição de infinitos círculos com raios
que decrescem até se reduzirem a um ponto. Pode ser visto também como uma
"pirâmide" de base circular.
Esfera
A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superfície
curva contínua cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado
centro"; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à
mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a
distância ao centro é a mesma.
Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo
se refere à superfície de uma bola. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por
causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que
ocupam espaço.
Bibliografia
http://oqueeh.com.br/geometria-espacial-conceito-e-origem
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A2mide
http://www.brasilescola.com/matematica/poliedros.htm
http://educacao.uol.com.br/matematica/cilindro-cone-e-esfera-definicoes-area-e-
volume.jhtm