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QUESTES DE GEOMETRIA ESPACIAL DOS

LTIMOS 5 ANOS DA EsPCEx 2009/13

Questo 01

Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta

de 12 gomos exatamente iguais. A superfcie total de cada gomo mede:

(A) 3

24

3cm

(B)

3

24

9cm

(C)

2

24

3cm

(D) 2

24

9cm

(E) 3 24 cm

Questo 02

Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razo entre a

aresta da base e a aresta lateral 3

3. Aumentando-se a aresta da base em 2

cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficar aumentado de

108 3cm . O volume do prisma original

(A) 318 cm (B) 336 cm (C) 318 3 cm

(D) 336 3 cm (E) 340 cm

Questo 03

Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio de base R e altura h,

est completamente cheio com gua e leo. Sabe-se que a superfcie de

contato entre os lquidos est inicialmente na metade da altura do cone. O

recipiente dispe de uma torneira que permite escoar os lquidos de seu

interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente

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at o instante em que toda gua e nenhum leo escoar, a altura do nvel do

leo, medida a partir do vrtice ser

(A) 3

7

2h (B)

37

3h (C)

312

2h

(D) 3

23

2h (E)

323

3h

Questo 04

O slido geomtrico abaixo formado pela justaposio de um bloco retangular

e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura esto indicados os

vrtices, tanto do bloco quanto do prisma.

Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as

retas LB e GE ; as retas AG e HI e as retas AD e GK . As posies relativas

desses pares de retas so, respectivamente,

3

(A) concorrentes; reversas; reversas

(B) reversas; reversas; paralelas

(C) concorrentes; reversas; paralelas

(D) reversas; concorrentes; reversas

(E) concorrentes; concorrentes; reversas

Questo 05

Considere as seguintes afirmaes:

I. Se uma reta r perpendicular a um plano , ento todas as retas de

so perpendiculares ou ortogonais a r;

II. Se a medida da projeo ortogonal de um segmento AB sobre um plano

a metade da medida do segmento AB, ento a reta AB faz com

um ngulo de 60

III. Dados dois planos paralelos e , se um terceiro plano intercepta

e , as intersees entre esses planos sero retas reversas.

IV. Se e so dois planos secantes, todas as retas de tambm

interceptam .

Esto corretas as afirmaes

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(A) apenas I e II (B) apenas II e III

(C) I, II e III (D) I, II e IV

(E) II, III e IV

Questo 06

Considere as seguintes afirmaes:

I. Se dois planos e so paralelos distintos, ento as retas 1r e

2r so sempre paralelas.

II. Se e so planos no paralelos distintos, existem as retas 1r e

2r tal que

1r e

2r so paralelas.

III. Se uma reta r perpendicular a um plano no ponto P, ento qualquer

reta de que passa por P perpendicular a r.

Dentre as afirmaes acima, (so) verdadeira(s)

(A) Somente II (B) I e II (C) I e III

(D) II e III (E) I, II e III

Questo 07

Considere um plano e os pontos A, B, C e D tais que

O segmento AB tem 6 cm de comprimento e est contido em

O segmento BC tem 24 cm de comprimento, est contido em e

perpendicular a AB

O segmento AD tem 8 cm de comprimento e perpendicular a .

Nessas condies, a medida do segmento CD

(A) 26 cm (B) 28 cm (C) 30 cm

(D) 32 cm (E) 34 cm

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Questo 08

A figura espacial representada abaixo, construda com hastes de plstico,

formada por dois cubos em que, cada vrtice do cubo maior unido a um

vrtice correspondente do cubo menor por uma aresta e todas as arestas desse

tipo tm a mesma medida.

Se as arestas dos cubos maior e menor medem, respectivamente, 8 cm e 4 cm,

a medida de cada uma das arestas que ligam os dois cubos

(A) 6 2 cm (B) 3 2 cm (C) 2 3 cm

(D) 4 3 cm (E) 6 3 cm

Questo 09

Na figura abaixo, est representado um cubo em que os pontos T e R so

pontos mdios de duas de suas arestas. Sabe-se que a aresta desse cubo mede

2 cm. Assim, o volume do slido geomtrico definido pelos pontos PQRST, em 3

cm , :

6

(A) 2

3 (B)

4

3 (C)

5

3 (D)

16

3 (E)

32

3

Questo 10

A figura abaixo representa dois tanques cilndricos, 1T e

2T , ambos com altura

h, e cujos raios das bases medem R e 2R , respectivamente. Esses tanques

so usados para armazenar combustvel e a quantidade de combustvel

existente em cada um deles tal que seu nvel corresponde a 2

3 da altura.

O tanque 1T contm gasolina pura e o tanque

2T contm uma mistura etanol-

gasolina, com 25% de etanol.

Deseja-se transferir gasolina pura do tanque 1T para

2T at que o teor de

etanol na mistura em 2

T caia para 20%.

Nessas condies, ao final da operao, a diferena entre a altura dos nveis de

1T e

2T ser

7

(A) 1

2h (B)

1

3h (C)

1

4h

(D) 1

5h (E)

1

6h

Questo 11

A figura abaixo representa a planificao de um tronco de cone reto com a

indicao das medidas dos raios das circunferncias das bases e da geratriz.

A medida da altura desse tronco de cone

(A) 13 cm (B) 12 cm (C) 11 cm

(D) 10 cm (E) 9 cm

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Questo 12

Se forem tomadas ao acaso duas arestas de um prisma reto de bases

triangulares, a probabilidade de que elas estejam em retas-suporte reversas

(A) 1

3 (B)

2

3 (C)

1

6 (D)

1

4 (E)

1

2

Questo 13

Na figura abaixo, est representado um slido geomtrico de 9 faces, obtido a

partir de um cubo e uma pirmide. Sabendo que todas as arestas desse slido

tm medida l , ento as medidas da altura (distncia do ponto V face ABCD) e

da superfcie total desse slido so, respectivamente,

(A) 2 2

2l

e 2 3 4l (B) 2 2

2l

e 2 3 5l

(C) 3 2

2l

e 23

54

l

(D) 2

2l

e 2 3 5l

(E) 3

2l

e 23

44

l

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Questo 14

Considere duas retas r e s no espao e quatro pontos distintos, A, B, C e D, de

modo que os pontos A e B pertencem reta r e os pontos C e D pertencem

reta s.

Dentre as afirmaes abaixo

I. Se as retas AC e BD so concorrentes, ento r e s so necessariamente

concorrentes.

II. Os tringulos ABC e ABD sero sempre coplanares.

III. Se AC e BD forem concorrentes, ento as retas r e s so coplanares.

Pode-se concluir que

(A) somente a I verdadeira

(B) somente a II verdadeira

(C) somente a III verdadeira

(D) as afirmaes II e III so verdadeiras

(E) as afirmaes I e III so verdadeiras

Questo 15

Um reservatrio em forma de tronco de pirmide regular de base quadrada e

dimenses indicadas na figura dever ter suas paredes laterais externas

cobertas por uma tinta impermevel, cujo rendimento de 11 m por galo.

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O nmero mnimo de gales que devem ser adquiridos para tal operao :

(A) 6 (B) 7 (C) 9 (D) 10 (E) 11

11

GABARITO

1. A

2. B

3. A

4. E

5. A

6. D

7. A

8. C

9. B

10. A

11. B

12. A

13. B

14. C

15. B