Embed Size (px)
DESCRIPTION
geometrie descriptiva
Citation preview
MINISTERUL EDUCATIEI SI CERCETARII UNIVERSITATEA "1 DECEMBRIE 1918"
MOISE IOAN ACHIM
GEOMETRIE DESCRIPTIVA. SI
DESEN TEHNIC
M■1■11111110
SERIA DIDACTICA
Alba lulia 2005
CI I P lt INS
I. MET01)1.; RIT141.7,1.:N1 AIM PLANA A SP/A. 1'1111,111 5 1.1 (thiceitil pet ii 1e1lie, (Ic wriptive 5 1.2 Considerniii genciale astipro
1.2.1 Proioctiti centralA 7 1.2.2 Proiectia paralelA 8
1.3 Principiul proiectiei ortogonalc 9 1.3.1ReprezentAri aoxnometrice I 0
1.4 Transformari geometrice 13 1.4.1 TransformAri prin simetrie 13 1.4.2 Transformarea prin translatie 13 1.4.3 Transformarea prin rotatie 14
2. REPREZENTAREA PUNCTULUI 15 2.1 Reprezentarea ortogonalA a punctului in diedru 15 2.2 Reprezentarea punctelor in planele de proiectie si in
planele bisectoare B 1 siB2 18 2.3 Reprezentarea triortogonalA a pucntului in triedru 19 2.4 Pozitii particulare ale punctelor 24
2.4.1 Puncte situate pe planele de proiectie 24 2.4.2 Puncte situate pe axele de proiectie 25
2.5 Simetria punctelor 25 15.1 Simetria fatA de planele de proiectie 25 2.5.2 Simetria fatA de planele bisectoare 26 2.5.3 Simetria fatA de axele de proiectie 27 2.5.4 Simetria fatA de origine 27
2.6 Vizibilitatea in epurA 29 2.6.1 Vizibilitatea fatA de planul orizontal de proiectie H 29 2.6.2 Vizibilitatea fatA de planul vertical de proiectie V 29 2.6.3 Vizibilitatea fatA de planul lateral de proiectie 29
2.7. Probleme $i IntrebAri recapitulative privind reprezentarea punctului 29
2.7.1 intrebari recapitulative 29 2.7.2 Probleme rezolvate 31 2.7.3 Probleme propuse spre rezolvare 34
3. PROIECTIILE LINIILOR DREPTE 35 3.1 Consideratii generale 35 3.2 Pozitiile particulare ale liniilor drepte 35 3.3Reprezentarea in epurA a mArimii adevArate a unui segment de
dreaptA 42 3.4 Urmele dreptei 44
3.4.1Urmele dreptei de profil 46 3.5 Pozitiile relative a cloud drepte 47
3.6 Vroiectia uughiurilor plane 3.7 Intrebllri si problem recapitulative
3.7.1 intrebAri recapitulative 3,7.2 Probleme rezolvate 3.7.3 Probleme propuse
4. PLANUL 4.1 Determinare si reprezentarea planului 4.2 Reprezentarea dreptei punctului continute in plan 4.3 Drepte particulare ale unui plan 4.4 Plane particulare 4.5 Pozitii relative a dotal plane
4.5.1 Plane paralele 4.5.2 Plane concurente
4.6 Probleme si intrebAri recapitulative privind planul 4.6.1 intrebAri recapitulative 4.6.2 Probleme rezolvate 4.6.3 Probleme propuse
4.7 Pozitiile relative ale unei drepte fad de un plan din spatiu 4.7.1 Dreapta paralela cu un plan 4.7.2 Dreapta concurenta cu planul 4.7.3 Dreapta concurend cu planul sub un unghi
oarecare 4.7.4 Dreapta concurend cu un plan din spatiu sub un
unghi drept 4.7.5 Intersectia dintre un plan oarecare cu drepte
particulare 4.7.6 Intersectia planelor proiectante cu drepte oarecare 4.7.7 Probleme rezolvate
5. METODE DE SCHIMBARE A PROIECTIILOR 5.1 Consideratii generale • 5.2 Metoda schimbarii pozitiei planelor de proiectie
5.2.1 Schimbarea pozitiei planului vertical de proiectie V, pentru un punct 5.2.2 Schimbarea planului vertical V, pentru un segment
de dreaptA 84 5.2.3 Schimbarea planului vertical de proiectie pentru un
plan 85 5.2.4 Schimbarea planului orizontal de proiectie pentru
un punct 85 5.2.5 Schimbarea pozitiei planului de proiectie orizontal
H fad de o dreaptA 5.2.6 Schimbarea pozitiei planului orizontal H, pentru
un plan
50 52 52 53 55 57 57 58 59 61 63 63 64 69 69 70 71 73 73 75
75
75
77 77 80 81 81 81
81
86
87
5.2.7 filtrebttli )11,0,1,101w pit \ Ind ..(11,111b,th.i, hlnnclni de proiectie
5.2.7.1 Problente te/olvale
5.2.7.2 Probleme propuse pentru rezolvare 5.2.7.3 intrebari recapitulative privind seltimbarea
planelor de proiectie 98 3 kolutia 98
5.3.1 Rotatia punctului in jurul unei axe perpendiculare pe unul dintre planele de proiectie 98
5.3.2 Rotatia punctului in jurul unei axe de capAt 100 5.3.3 Rotatia dreptei in jurul unei axe verticale 101 5.3.4 Rotatia dreptei concurente cu axa de rotatie 101 5.3.5 Rotatia dreptei prin metoda dreptei purtAtoare 101 5.3.6 Rotatia planului 103 5.3.7 Probleme $i intrebAri privind metoda rotatiei 103 5.3.7.1 Probleme rezolvate 103 5.3.7.2 Probleme propuse pentru rezolvare 1 1 1 5.3.7.3 intrebAri privind metoda rotatiei 114
5.4 Rabatarea 114 5.4.1 Rabatarea planului oarecare pe planul orizontal
de proiectie H 5.4.2 Rabatarea planului oarecare pe planul vertical de
proiectie V 5.4.3 Rabatarea unei drepte oarecare a planului 5.4.4 Rabatarea dreptei de nivel a planului 5.4.5 Rabatarea dreptei frontale a planului 5.4.6 Rabatarea punctului planului oarecare, prin metoda
dreptelor 119 5.4.6.1 Rabatarea punctului planului oarecare, prin
metoda dreptei oarecare 5.4.6.2 Rabatarea punctului planului oarecare, prin
metoda dreptei de nivel 5.4.6.3 Rabatarea punctului planului oarecare, prin
metoda dreptei de front 5.4.7 Rabatarea punctului planului oarecare, prin
metoda triunghiului de pozitie 5.4.8 Rabatarea planului oarecare prin metoda
triunghiului de pozitie 5.4.9 Rabatarea pe un plan paralel cu planul de
proiectie 5.4.9.1 Rabatarea unui punct pe un plan de nivel 123 5.4.9.2 Rabatarea unei drepte oarecare pe un plan
de nivel 5.4.9.3 Rabatarea unui plan oarecare pe un plan
de nivel
89
89
115
116 116 117 119
119
120
121
121
122
123
124
125
5.4.10 Rabatarea planelor prolectaine 127
5.4.10.1 Rabatarea planului vertical pc plimiil orizontal de proiectie .H 127
5.4.10.2 Rabatarea planului vertical pc planul vertical de proiectie V
5.4.11 Rabatarea planului de capat pe planul orizontal de proiectie H
5.4.12 Rabatarea planului de capat pe planul vertical de proiectie V
5.5 Ridicarea rabaterii 5,5.1 Ridicarea punctului prin metoda dreptelor
planului 5.5.2 Ridicarea punctului prin metoda triunghiului de
pozitie 5.5.3 Ridicarea planului oarecare
5.6 Probleme si intrebari privind metodele rabaterii ridicarii 5.6.1 Probleme rezolvate 5.6.2 Probleme propuse spre rezolvare 5.6.3 intrebki privind rabatarea i ridicarea
Bibliografie
128
128
129 130
130
130 132 133 133 137 139 140
MIKT()1)11, ItIA.TREZIENTARE PLANA A SI)ATIULUI
1.1 Ohiectul geometric" descriptive
icometria deseriptiva este stiinta reprezentlirii plane a spatitiltii, respectiv de ii.prcrentare a corpurilor din spatiul Cu trei dimensiuni in .spatial cu doull dimensiuni.
Reprezentilri le in spatiul en douti dimension i de lip tablou sau .fotogralle, permit in ir male inastira intelegeren tbrinei corpurilor din spatiul cu trei dimensiuni, insa nu dun posihilitatca deducerii cu tiurinta a pozitiej corpurilor until tall de altul, a dimensiimilor lor
sit se intisoare toate dimensiunile elementelor geometrice care . le compun. Studiul Hc ■■ inetriei descriptive sau a geometriei reprezentative dau posibilitatea rezolvArii acestor pthleme.
Data de cele mai de sus geometria descriptiva are in vedere trei objective principa le
- studiul metodelor de reprezentare a obiectelor existente si a celor imaginate de oil ► ; - cercetarea metodelor de reprezentare dupti un tablou, o fotografie a formelor
geometrice din spatiul cu trei dimensiuni si gAsirea mijloacelor pentru citirea corcet11 a desemilui;
- stud iulmetodelor de reprezentare graficA intr-o singurA proiectie a corpurilor en trei dimensiuni.
Oeometria descriptivA reprezinta baza teoretica a disciplinei de desen tehnic.
1.2 Consideratii generale asupra proiectiilor
Obtinerea figurilor in geometria descriptivd are la bazA metoda proiectiilor, $i in special proiectile perpendiculare.
n -o-
Fig.1.1 Fig.1.2 Se numeste proiectie perpendiculara a punctului N, piciorul "n" al perpendicularei
dust din N pe planul H (fig.1.1). Analog se poate determina proiectia punctului N pe dreapta (1)) ( lig.1.2). Porn ind de relatia de corespondentA biunivocA intre elementcle a douA multimi, din inaternatick se poatc da urmiltoarea detinitie:
hI.
h .ometrie desclitivel 7
Defintrie. Dacia douci forme geometrice F ci F' sunt in aya fel legate intre ele, meat flecarui punct "A" al formei F ii corespunde un punct "a" al formei F' si fiecarui punct "a" al formei F' ii corespunde un punct "A" al formei F, atunci aceste douei forme sunt reciproc
protective [5 ]. Pentru exemplificarea acestei definitii se is un triunghi ABC, care vat-tine formei F
( fig.] .3). Astfel, dintr-un punct exterior formei F, arbitrar ales, se traseaza prin fiecare varf at triunghiului ABC trei drepte, respectiv SA, SB oi SC. Dna se ia un alt triungjhi aparpnand formei F' ale carui varfuri a,b of c sunt plasate pe dreptele SA, SB Si SC, atunci punctului N apartinand primului triunghi ii va corespunde un singur punct "n" apartinand celui de-al do i I ea triunghi oi rovers, punctului "n" ii va corespunde un singur N, de unde rezultd ca ABC
abcF' sunt reciproc proiective. Toate dreptele ce tree prin S se numesc proiectante, E atr dace punctul S se afla la infinit, proiectantele sunt paralele (fig.1.4).
Fig.1.4
hind date forma geometria F, compusa din punctele A,B,C,D,E,... of un plan oarecare P, iar din punctul exterior 5, arbitrar ales in spatiu, se traseaza prin flecdre punct al formei F raze proiectante (fig. 1.5), cum ar fi SA, SB, SC, SD, SE, ....
Presupunand ca aceste raze intersecteaza planul P in punctele a, b, c, d, totalitatea acestor — puncte va determina o noun forma geometria F', care reprezinta proiectia formei F pe planul P[ ].
proiectia centrals
spatiul planului H Fig.1.5
oi exterior lui, se iapunctul S la o distanta mai mare oi punctul A la o distanta mai mica fate de planul H(fig.1.6). Daca
;int:tele S oi A so unesc cu o dreapta, Ia intersectia acesteia cu planul II se obiine ',uncoil "a". Awilel , punctul "a" este proiectia centrald pe planul H a punctului A, punctul S este central ,I, pi (acetic, ;niacin' A - obiectul de proiectat, planul 1-I - planul de proiec(ic of dreapta Sa - .11 oa pia de proiectie situ proiectantii.
1 , iisc 'cal u I de raze, care proiecteaza o figura (exemplu fig.1.5), determinA o suprafart ;at aectania, care in cilia] proiectiei centrale, formeaza o suprafatil conicA. Proiectia figural esti , m aucst car„ intersectia acestei suprafete conice cu planul considerat, aceasta preoiectie bind dentimild vi proiectie cornea,
( 'onsiderand planul 1' in pozitie verticall (fig.I .7) amplasat intre punctele A, B, C realm' 5, iar dreptele proiectante care unesc centrul S cu cele trei puncte, dau la intersectia
pima I "1' punctele a, b of c, care se numesc perspectiva punctelor A,B of C, planul T tablou. Reprezentarile perspective se aplica mutt la lucrarile de constructii, in
u tegrafie,in picturd etc.
In clan! proiectiei centrale intre doua puncte S of A (4.1.6) se poate duce o singurA di elipitt. Sc poate observa ca Ia o pozitie data a centrului S of a planului H, corespunde ininetultii A din spatiu o singura proiectie "a" pe planul H.
Pentru fiecare pozitie a centrului S, pe planul H, ii va corespunde o alta proiectie a puocnilui considerat A. Astfel, centrului de proiectie S i (fig.1.8) ii corespunde proiectia "a l ", a tui
etction" ni A din spatiu. iar centrului de proiectie S 2 h va corespunde proiectia a 2 a punctului A,
A
—7
II
Fig.1.6 Fig.1.7
Pentru a proiecta o dreapta este suficient sd proiectam douA puncte ale acesteia. ( 'onsiderdin dreapta (D), pe care lam segmentul AB (fig.1 .9), ale cArui extremitati, dacA se mime en centrul de proiectie S oi se prelungesc razele proiectante pia la intersectia cu planul 11 ac ubiin proiectiile a oi b.
Rank proiectante duse din S, prin fiecare punct at segmentului AB se gAsescplanul in
praiectant, determinat de dreapta (D) oi punctul S [ ].
B
6 Geometric descriptive
8
Geometrie descriptive)
0S1
\A/ (
I al a2 / , // /
/ 01--- , / cs
Ai / H!
Ha
Fig.1.10
l•ometrie deseriptivt)
Fig.1.8
Intrucat doua plane se intersecteaza dupA o dreapta, proiectia oriearui segment luat pe o dreapta din planul proiectant, va fi pe dreapta de intersectie a celor douA plane.
Din fig. 1.9, se observe ca proiectia segmentului AB este pe dreapta (d), care este linia de intersectie a planului SAB cu planul H si anume "ab". Rezulta deci, ca dace se cunosc proiectiile a doul puncte ale unei drepte, proiectia dreptei va trece prin acele puncte.
1.2.2 Proiectia paralela
Yn cazul proiectiei paralele, centrul de proiectie este situat la infinit, razele proiectante sunt paralele, iar directia acestora poate fi oarecare.
Considerand un segment de dreaptA AB din spatiu (fig.1.10), pe care-I proiectam pe le planul H dupA directia (A) luata. arbitrar. Dad prin extremitatile seginentului se duc proiectante paralele la directia (a), se obtin proiectiile "a" si "b" pe planul H. Cele doua proiectante paralele determine planul ABba, care se intersecteaza cu planul H dupA dreapta "ab", care reprezinta proiectia segmentului AB din spatiu pe planul H. Proiectantele paralele care proiecteaza o curbA oarecare fonneaza o suprafatA cilindrica de proiectie, care poarta numele de proiectie paralela sau proiectie cilindricA.
Proiectiile conics cea cilindricA au cateva proprietati comune:
- proiectia unui punct din spatiu este bine determinatl cand se dau planul si directia de proiectare;
- o singura proiectie a unui punct nu determine pozitia punctului in spatiu.
In cazul proiectiei cilindrice, un segment de dreapta poate fi reprezentat :
- in mArime naturala, cand segmentul este parallel cu planul de proiectie;
- deformat, merit sau micsorat, cand segmentul nu este parallel cu planul de proiectie si
nridc et' directia dc proiectare;
complel dcformat, cand coincide cu directia de proiectare si proiectia lilt sindreptei Bice parte se proiecteazA ca un punct. Proiecti i le cilindrice se impart in: ()Nice( < * 90") si perpendiculare sau ortogonalc 90").
PrInciplul prolectiel ortogonale
ru MIsideram doutt plane de proiectie: unul orizontal, notat cu H Si altul vertical, notat
V, cafe se intretaie dupit dreapta -xx sub un unghi de 90.. Dacii cele douA plane se Intel secteaza cu un plan perpendicular pe dreapta for de inetrseclie rezultA o figura cu opt 'ncdir de proiectie, din care is in considerare partea din stanga (fig. 1.11), notand mtmuilicapta dc intersectie a planelor cu Ox.
Considerand cA in spatiul limitat de cele douA plane se aflA un corp a cArui forma Ilearttnn cu literu L si proiectAnd ortogonal punctele acestui corp pe planul H apoi pe planul
V tie obtin proiectiile corespunzAtoare (fig. 1.11).
x
H
L.
Fig. 1.12
l)acA rotim planul H in jurul axei OX, ambele plane pot fi aduse intr-unul singur, eel al desenului•(fig.1.12)
Pentru a ne imagina corpul din spatiu, reprezentat in fig. 1.12 trebuie rotit planul H cu 90. si apoi sit trasam un fascicul de raze proiectante perpendiculare pe planul
wetly, care vor da la inersectia lor pozitia si fonna obiectului din spatiu.
Fig.1.9
Fig. 1.11
Fig. 1.14
x <
A
z
(.4
O
l0 Geometrie descriptive I 'conin g' Jraver lptivd 11
1.3.1 Reprezendri axonometrice
In practice, pentru a usura citirea unui desen executat in proiectie ortogonalA (fig.1.12.) se folosesc si reprezentari realizate cu ajutorul proiectilor axonometrice (fig. 1.11).
Cuvantul "axonometric" provine din limba greaca si inseamna "masuratoare pe axe" 151. In funclie de unghiul pe care-1 fac razele vizuale cu planul de proiectie, se intalnesc: proiectii axonometrice oblice si proiectii axonomterice ortogonale. Proiecliile axonometrice, in functie de rapoartele dintre mArimea figurii ce reprezintA obiectul din spatiu si dimensiunile reale ale obiectului, pot fi:
izometrice, care au aceeasi deformare de-a lungul fiecarei axe; dimetrice, la care deformarea pe o axA este diferitA de a celorlalte douA; trimetrice, care pe fiecare axA au un alt coeficient de deformare.
Axele si coeficienlii de deformare de-a lungul axelor, in cazul reprezentArilor axonometrice ortogonale izometrice sunt prezentate In fig. 1.13, iar in cazul proiectiei axonometrice ortogonale dimetrice sunt prezentate in fig. 1.14.
Fig. 1.13
Coeficienlii de deformare care se iau pe axele proiectiei axonometrice ortogonale izometrice, sunt de aproximativ 0,82 pentru fiecare unitate din spatiu paralelA cu axele, aceasta find situatia realA, coeficienlii find trecuti in cate un dreptunghi (fig.1.13.). Pentru accelerarea si usurarea muncii in timpul executArii proiectiei axonometrice izometrice se iau coeficienlii de transformare egali cu unitatea, trecuti intr-un cerc, pentru segmente paralele cu axele obtinandu-se astfel axonometria ortogonalA izometricA mAritA (fig 1.13). La reprezentArile in proiectie axonometricA oblicA se apeleazA de obicei la cazul particular, cand planul pe care se face proiectia este paralel cu planul vertical de referinta, purtand in acest fel numele de proiectie axonometricA frontalA, care poate fi izometricA sau dimetricA conform fig.1.15-1.16.-1.17.
in general axa Oz se iaparalelA cuinaltimea obiectului de reprezentat, adicAverticalA, iar axele Ox si Oy se iau in asa fel incat sA facA un unghi de 120. cu axa verticalA, in cazul proiecliei axonometrice ortogonale izometrice (fig.1.13.) si sA fie paralele cu celelalte douA dimensiuni ale obiectului de proiectat
Fig. 1.15 Fig. 1.16 Fig, 1.17
Iii cilia: proiectiei dimetrice ortogonale, axa Ox, se is inclinatA fata de orizontalA la 11.1 , \ 11..11V 7 (lip 1.14.) si axa Oy la aproximativ 41. fa(A de aceeasi axA.
t i a axonometricA obl lea frontalA se caracterizeaza prin faptul cA, axa Ox face 1111 unghi de 90., iar axa Oy poate Ina once pozitie, putand forma cu axa absciselor
impliitui (le .10-, 45. sau 60. (fig. 1.15.-1.16.-1.17.). Proiect i a axonometricA ortogonala izometricA si dimetricA a unui cub, din care a fost
ilidcpartatA prin seclionare o parte, este prezentatA in figurile 1.18 - 1.19.
x
Fig. 1.18
In cazul proiectiei axonometrice oblice frontale izometrice si respectiv dimetrice, irk cubului paralele cu planul V de proiectie se proiecteazii fdrA deformare (fig. 1.20
-
'
ry Inn
1.11 pc celelaltA axA, respectiv Oy perpendicularA pe planul vertical de proiectie V se
urice coeficient de deformare (in mod frecvent 0,5 sau 1 si mai rar 0,75). bit
merit proiectia axonometricA frontala are avantajul cA se poate executa mai usor cell axonometricA ortogonala este cea mai utilizatA in lucrArile practice de proiectare.
Reprezentarea in proiectie forntalA a douA plane de proiectie, unul orizontal
I I vertical V, care Ihrineaza intro ele un unghi diedru de 90. este prezentatA in figura reprezentarea unui piinct , aware A(x,y,z) pe celc douA plane de proiectie II si
1 23) se procedenza in kW nun/Wm& sc is din :niacinl de origine 0 pe oxii Ox
',Mk II desert/41rd
X 4
A A,
Fig. 1.22 Fig. 1.23
1.4.1 • ronsfornniri prin simelrie
•1 .Vimerrh, //iti un miner l'unctitil A, simetricul punctului A lida de centrul de ' dginc llnind ',intend A en (' si luand in prelungire un segment A,C' . ' 1 I :it fiiid de o dreaph). Punctul Al simetricul punctului A tap de it dreaptil A , ind prin pundit] A o perpendicular
/jf l • I
a)
Fig. 1.28
Vs= (Hs)
Hfzi (Vs)
Hf (Vj)
b)
— 0
Vs (Hs)
Diedru I X
2 ICIA ) 104-114,N1 ,k PI IN( 'H11 II
14 Geometrie descriptive
Orice figura plane poate genera prin translatie o prisma. Translatia poate ft aplicata si corpurilor solide. Spre exemplu prin translatia unui cub, fig. 1.28,a, se poate obtine un solid
(fig.1,28,b).
b)
Itepretentarea ortngonalii a punctului in diedru
o•iogonalti it punctului •,c realizeiva pe douil plane de praieclie: until .1,!,,111.11 I I st altul vertical V, care lac Mire cle un (algid de 90" si se intersecteaza dupti .11, h, I )1 yawn Ox se numeste axa de proiectie si imparte cele dome plane in (lima
mpcct iv: plaint! orizontal I I, in planul orizontal din fatall f si planul orizontal din .Tall 11,, nu planul vertical V, in planul vertical de sus V, si planul vertical de jos 1,1 •ic in acest Icl patru unghiuri diedre (fig.2.1,a).
Vs
lls 0
6 Vj
( —
Ax deA ' rotatie
Fig. 1.29
1.4.3 Transformarea prin rotatie
Fie punctul B, care se roteste in jurul axului de rotatie cu un unghi oarecare ajungand in punctul B 1 , in acest fel atat punctul
B t cat si toate punctele intermediate se afla situate pe un cerc cu centrul in 0, aflat 'intr-un plan perpendicular pe axul de rotatie (fig. 1.29).
c) Fig.2.1
t.
)111 1 iptirti 2.1,a se poate observa ca planul orizontal de proiectie H, apare deformat, 1. , iniic cc se extinde si asupra figurilor proiectate. Inlaturarea deformarii se real;izeaza
of III r,•Iirca planulul orizontal H in jurul axei Ox, asa cum arata sagetile din figura 2.1,a, Ilotind cu 90", planul orizontal H se suprapune peste planul vertical V, obtinandu-se
11ptitti, cc poarta numele de epura celor patru diedre (fig.2.1,b). simplificarea reprezentarii, uneori, se renunta la dreptunghiurile care
.1,11 I t, 11, .1ra planele de proiectie, epura reprezentandu-se in acest caz prin axa de proiectie Ox, 1 ,, 11.. ,dint notate simbolurile planelor de proiectie(fig.2.l,c).
a intelege mai bine proiectia ortogonalii a punctului in cele patru diedre, se • plc:mita punctii I in fiecare diedru in parte. Astfel in figura 2.2, este prezentata proiectia •anietrica a punctului A in spaliul diedrului I.
fn telmiell, de mare importanta pentru executarea proiectiilor este proiectia ortogonalli Astfel, pentru a determina proiectii le punctului A pe cele dotdi plane de proiectie,
I 6 descriptno
se due din A doua perpendiculare, una pe planul orizontal de proiectie H, care va lutnlnii planul in punctul a iar cealalta pe planul vertical de proiectie V, pe care-1 va intalni in punc tul a'. Proicetantele duse din punctul A pe cele cloud plane de proiectie, H si respectiv V, fOrmeaza cu acestea planul Aaka.' de forma unui paralelogram, perpendicular pe axa Ox. Pentru reprezentarea in epura a punctului A din diedru I (fig. 2.2) se procedeazA la rotirea planului orizontal conform figurii 2.1a.
Prin rotirea planului orizontal H se ajunge la epura diedrului I si a punctului A din spatiu (fig.2.3).
z Vs
U Abscisa
0
X
Fig.2.2
Epura punctului A se execute astfel: se traseaza axa Ox, cu originea 0 in partea dreapta, se masoara lungimea Ok„ care este abscisa punctului A si se obtine punctul ajutator ax . Prin punctul ajutator k se duce perpendiculara pe Ox, care se mai numeste si linie de ordine sau linie de rapel si reprezinta suprapunerea liniilor de intersectie a planului determinat de proiectiile Aa si Aa' cu planele de proiectie orizontal Hsi vertical V. Pe aceasta perpendiculara se masoara in jos de la punctul a, segmentul a xa, care este egal cu distanta de la punctul A la planul vertical V de proiectie si care reprezinta departarea punctului. Pe aceeasi perpendiculara (linie de ordine) se masoara in sus fate de punctul a x, segmentul axa', care este egal cu inaltimea la care se afla punctul A fats de planul orizontal Hsi poarta numele de cotA.
Din epura prezentata in figura 2.3, se observa ca punctul A din spatiu nu apare, este insa bine determinat prin cele doua proiectii a si a'.
Notarea punctelor se realizeaza ca in geometria analitica, adica se noteaza cu liters mare punctul, iar in paranteza care o precede se scriu coordonatele punctului, ex. A(x,y,z)•
in figura 2.4 este prezentat in proiectie axonometrica diedrul II, in care este reprezentat axonometric punctul B. Epura punctului B este prezentata in figura 2.5.
Reprezentare punctului B in diedrul H (fig.2.4) si in epura (fig.2.5) se face analog ca in diedrul I.
in figura 2.4 se poate observa ca proiectia punctului B pe cele doua plane Vs si Hs, determine planul Bbb„bs, care are forma unui paralelogram(care in spatiu este dreptunghi) si
_(outivotrir dva, , Triv4
th r ytr lllru c.a. 611, este deptbutra WI), este ettill, I punt dt•diulin II repro/rat:1m lain too )x, arc scrisdensupro axei simhnlurile plitnelta
dt-1,1,,irt lu Vq I Is t. (lc wide retulln en anlhrle proiectii stint situate densupra axe'. lied in
t...te tepliveunitil (Tura puiteniliti din spatiul diedrului II.
0
Fig,2,4 Fig.2.5
yc
x Hs I Vj
III
Fig.2.7
x H f(v j)
Ci3 d
d
Fig. 2. 9
1 1,1NIVF.RSITATFA "1 t*.: CEMBRIE 1918" AI BA II II lh
A Vs
Hf
Hf -° a
Fig.2.3 0
Fig.2.6
d„
N
III
Fig. 2.8
0
0
0
(d 6 C a
Fig.2.10
I8
it'01 ■It'll fr (leSer ip 1110
It' •h.% 110111',1
() g. 4:1 1„ t
E•e'
1• r e
Diedrul III corespunzAtor
semiplanelor Hs §i Vj §i proiectia axonometricA a punctului C, cuprins intre ele este prezentat in figura 2.6. Procedand ca 4i in cazurile precedente se obtin proiectiile c pe orizontall §i c' pe verticala, prin intermediul punctului
ajutator cx. Epura acestui diedru prezentatA in figura 2.7, este reprezenta pe axa Ox, pe care sunt notate simbolurile semiplanelor Hs deasupra §i Vj dedesubtul axei. Deci, proiectiile punctului din diedrul III in epura sunt am plasate deasupra §i respectiv dedesuptul axei Ox, practic epura din acest diedru este inversa celei din diedrul I.
Diedrul IV format din semiplanele Hf Vj Si proiectiile punctului D sunt prezentate
in figura 2.8. Pentru realizarea proiectiilor punctului D se procedeazA ca in cazurile
precedente. Epura diedrului N prezentat in figura 2.9, este reprezentata pe axa Ox, sub care stint
trecute simbolurile semiplanelor Hf §i Vj. in acest caz se poate remarca faptul cA ambele
proiectii sunt situate sub axa Ox. in figura 2.10 sunt prezentate in rezumat epura celor patru diedre 4i a punctelor
considerate. Prin conventie s-a stabilit ca semnele ambelor coordonate se iau cu semnul
pozitiv in diedrul I, iar in celelate diedre rezulta astfel:
I D+ C+ III D- C-
II D- C+ N D+ C-
2.2 Reprezentarea punctelor in planele de proiectie si in planele bisectoare
13 1 0 B2
a) Punct situat in planul orizontal (H f) din fata. Fie punctul E E Hf, a carui proiectie axonometrica poate fi urmarita in figura 2.11, iar epura in figura 2.12. Se poate observa ca proiectanta pe planul orizontal(fig.2.11) se confunda cu punctul Ea' e, iar proiectia verticala "e' " se confunda cu punctul ajutator e x(e' a. e x).
In cazul epurei(fig.2.12), se observa ca proiectia orizontala "e" se confunda E(eaE), iar cea verticala "e' " cu e x. Exceptia fata de cazurile precedente consta in aceea ca, atunci cand punctul se &este intr-unul din planele de proiectie, pe acel plan de proiectie alaturi de proiectia punctului, se scrie litera mare cu care este notat punctul.
b) Punct situat in planul vertical de proiectie(Vs). In reprezentarile axonometrica(fig.2.11) si in epura(fig.2.12) se poate observa ca punctul F are
r-r
v ,
Fig, 2.1 I Fig. 2.12
.1, 1,.111•11( Proiectia verticala "f "este identica cu proiectia axonometricA F, iar 11;1 irizontalA "I" coincide cu "fx.., adica f a F §i fa fx .
Si Wilt iu planul orizontal din spate(Hs). Acest punct are cota egala cu orizontala "g" identica cu punctul G, iar proiectia verticalii "g' " ..1 ti g„, adica gnG si gEgJfig•2.1 I si 2.12).
h Pullet zituatIp planul vertical de jos(VD. Punctul Hsituat in planul vertical de .11e lleptirtarea zero, proiectia verticala f ' a H, iar proiectia orizontala h a h x .' 111. epura punctului H, proiectia verticala "h' "este sub axa Ox, identica cu I 1 it 1)1(11(TI is orizontala h, din cauza departarii zero se afla pe axa Ox, confundandu- 'It' 1111,
douA plane de proiectie, adica pe axa Ox. Punctul J are cota si .1. ter°, astfel ca ata't in proiectia axonornetrica cat si in epura JEjaj x sj'. i'unct situat in planele bisectoare B 1 si B2, Locul geometric al punctelor ..1h .111 icortarea egala cu cota, formeaza cele doua plane bisectoare, ale celor patru . „ ∎ NI li I , avern doua plane bisectoare (fig.2.13), planul bisector I, care imparte
di, lc I si III in asa fel incat toate punctele acestui plan sa aiba depArtarea si cota . in valoare absoluta cat si in semn planul bisector II, care imparte diedrele I in asii lel incat punctele acestui plan sit aiba departarea cota egale, dar de
„Hindue. l'pura punctelor aflate pe planele bisectoare este prezentata in figura
2.3 Itcprezentarea triortogonalA a punctului in triedru
1,i. .i.iiiiirea in epura cu douil plane de proiectie (epura Monge), respectiv planele de 1. , . , .t tal H vertical V, nu reds intodeauna toate particularitatile obiectului
11) ■ ii iv pentru care s-a ajuns la utiliazrea celui de-al treilea plan de proiectie, numit II. 1.11, notat cu W, cu proprietatea cA H
d a IT x N i
B2
VI ( ---------„,„:
4--- ,, z .7
z%
m , m2 0
H f Ty
Fig.2.15 Fig.2.16
VII
V j
s
x rnx < (1 1
Mvi
-z Y
III
0
Vs
Fig. 2.17
Z
b' b”
'
I/
x bxo b
-7 Fig. 2.18
Fig.2.13 Fig.2.14
Cele trei plane de proiectie H,V si W se intersecteazd intre ele sub unghiuri de 90 ° si
formeaza intre ele opt triedre. Numerotarea triedrelor formate se face in sens invers acelor ceasomicului. In figura 2.15, sunt prezentate cele trei plane de ptoiectie, care sunt perpendiculare intre
ele doud ate cloud , Miile de intersectie ale acestora sunt de asemenea perpendiculare intre
ele. Liniiie de intersectie a planelor de proiectie, se numesc axe de proiectie si sunt impartite
in cloud de punctul 0, comun acestor
,a I , I I \ I I , 1.-, Ill.I\, I , I \\ I
nlvfl ()afe u1,11, al() in 11)(1110
Nam observe 11111 figura 2.1 x, un pullet oarecale M, esle repretental in
j• till/ ( uile sale pe planele Ile proiectie II, V si W, nlc carol' linn (Ic ()Mine sum n1 11r pc totele ( )x, ( )y, )/.
In I 'wind ̀) (111SCIIVII er) reprezeillarett axonometrica Iriedrelor este lot mull• Ilan , In care se rani .thugs proieclille geometric() ale obicelidui care uelmie
Bind grew de excel:11U si de citit. l'entru simplifiearea reprezemArii "r.n1, II.1 pcoltiettice, planele proiectie II si W se rotesc (Mph sAgetile indicate pe desen,
..1,1111,1u asl epura erlor opt triedre de referintA. I plml color opt Iriedre, reprezentate grin semiaxele lor, este reprezentatd in figura 16 In , 'Inapt, punt wle care an depArtarea negativA, au proiectiile orizontale deasupra liniei k ' ,
tumuli (a am:1 ox), cele care au cota negativA, au proiectiile verticale sub linia de rainanusub axa Ox), iur card abscisa este negativA, proiectiile se gAsesc la dreapta axei
1 ),•, t e, rolalia planului W se face de la stanga la dreapta, in acelasi sens se rotesc si 1 ,, I, I, 111,, pentru orice pozitie a punctului in spatiu.
III practic3, pentru reprezenarea diferitelor obiecte $i pentru rezolvarea diferitelor 111 „ I111 n1e geomelrice se foloseste in mod obisnuit triedrul I.
11 , lit dipil thimIt II
.1 th: l )FHIOCtie it I MI
°Y °Y , Hs
cc 1 .--- ,-. - ' 1 (.,. -).--- -- --
( ?
, c 1 /r C.,
. , 'Y • o i -X --E?-- '41-i,
■ . 1 11
Y1
ey
-z y
Fig.2.24
Vs
Y
Cy
Fig.2.23
iernnelric de,sct gam) r or no e_../e1. ,.11 it I V
Punctele situate in planele de proiectie H si V au una din proiectii confundata cu punctul respectiv, jar a doua situattt pe axa Ox. in continuare sunt reprezentate axonometric i in epudi punctele In fiecare triedru, repectiv in fig. 2.17 si 2.18 triedru II, fig. 2.19 si 2.20
trideru UI, fig .2.21 $i 2.22 triedru IV, fig. 2.23 si 2.24 triedru V. fig. 2.25 si 2.26 triedru VI, lig. 2.27 si 2.28 triedru VII §i fig. 2.29 i 2.30 triedru VIII:
N
-1,,Ti N . \
] CO
-z -Ni -z „• t
Fig.2.19 Fig, 2.20
f I
Fig. 2.25
—Q g
I --- / /
1,
-Y1
I Y1 gWsl 1 I
g„ ___ ,_ -z — H, YjI
-zi y
K, x d 0 ; -x 'Ntlf j -Y1
/!
N d
0 d"
-i y
Fig. 2.21 Fig. 2.22
I ig.2.27
Fig. 2.28
» I , I. I/ /,1 ' .)
I la vili 141' 111' 11 11.11. 11'111* 111411(1 fir
,t , , it, pc axelc dc ploteclie sc cataclet I/ea/A pint lapilli ell valot tle a &tin II TVIO, (11/111 1)1010:III clnliundnlc cn N11111111 inswii, jar cea Ile-a 'rein
III 14111111C, wide' A (x, 0, (I)1 (lx --4j A a - a l; a - ( 1); 11(0, y, 0)( ()y ) 0, /), (), .-{(' c c", c ()k (lig, 2. 12).
%11111-111 411111111 . 10111'
"1 .1 , nn lanaiIi1In de un all linnet, O dreapla sati tal plan esle lot tin pullet ■ ,,, nl 11 \ se pot dclerniina sintelricele acestuia 141 de planele de
, 1, 1 1 , 1., , t ,, .11. .1 \cic tic proiccli• Cala de origine.
2.4.1 Puncte situate pe planele de proiectie
Punctele situate pe planele de proiectie au una din coordonate egala cu zero, caz in care una din proiectii se confundA cu punctul insu§i, iar celelalte cloud proiectii sunt pe axele de proiectie: A(x, y, 0) EH {aEA, a' EOx, a" E O(_"}; B(x, 0, y) EV —{b' aB, bEOx, b"EOZ}; C(0, x, y) EW {c""=C, c E0y, c' EOz} (fig.2.31).
y
Fig. 2.31
r. C
W
a7 0=ra' b" x .(`
Y
1'ig. 2.32
I Mind Ho lain de planele de proiectle
!tic(' 'nth de planele de proiectie se caracterizeazh prin faptul c i valorile » )1) I) )1 01111111 ncc l eny i, II1SA una din coordonate modifich semnul. De exemplu, „r 1411 1 11 A(x, y, z) filth de plant)! H este B(x, y, -z), simetricul punctului A(x, y, to I, csic -y, z), far siinctrieul punetului A(x, y, z) filth dc planul W este
lig. 2.34).
z
x
-Yi
›- by
4
Fig. 2.29
2.4 Pozitii particulare ale punctelor
, 1 Y1
-y
h.„
-z y
Fig. 2.30
1-1
Vj
LOA a - • b'
z
e aN
B=b'
ce,"
b' __o b"
x
a
V
X 0
a's
27 of oohs flow /Ma
1".11 11, 1'
Hp.,
Litmetila rich de wide it proicctic
. ■ •1111
(id y,-z), fata 13(-X. y,
le. punctui 11).,,. 2.38),
mull la faVi (le
ik. 10 (lc II II III I/ell/A prin
• 111 11 1111wn (crate limp cc
. duly 'de licestora rAnlfin nemodificate.
1
I, L 41111Viln r lilllt de tie se
ui Hold en (1011A m(idi
,u l du \ (le axa
1 's
Fg. 2.36
sitliettic u I punctului A(x, y, z) feta de originea 0 este punctul B(-x, -y, -z) potite ohscrva hi reprezentarea in (Tura, ca dreptele care unesc proiectiile de 'e r elm (100 punc(c tree prin originea sistenudui de axe (fig. 2.40).
v.
Fig. 2.37
Orott1101.tiffOr iVii
Fig. 2.33
z
a" E d" d'
as: b'
Fig. 2.34
2.5.2 Simetria fata de planele bisectoare
Un punct poate fi simetric fata de douA plane bisectoare, caz in care departarile devin cote si cotele devin departAri, pAstrandu-si semnul fat de planele bisectoare B, si B3 si schimbruidu-si semnul la simetria fat de planele bisectoare B2 si B4. De exemplu: simetricului punctului A(xA, yA, zA) fat de planul bisector B ieste punctul E (xe, YE, z E) cu yE=z, si zE=yA
(ca valori), iar simetricul pucntului A(xA, yA, zA) fat de planul bisector B4 este punctul F (x F,
yF, zE) cu ypzA si zF=yA (fig. 2.35 si fig. 2.36).
Yi
26
b"
y
It
It
a‘
Zp
ZA
awb
-z ' \
Fig. 2.39
IZ
-Yi
Fig. 2.40
I II
I \ 1011/1111iilt it InIA ilc pl oicclic II
, ∎ • ∎ • no, 1, ) pc invensi proirrl,n,111 lulu III pl an ul o i l/010 1 d 11111 , nI 1/“Ilillie i,lrnlicr /1 1'1111011i 11 ci1111i CI)IA est(' 111411 11111I•
.1 ,11 J lot 1ii1111111 .11 I141100i in II 2 1 4 , tA (ICC! puns 1141 A (It,
Ili I , I. 1. ,Ir 111F1/i1,11
Fig. 2.38
X
V
Fig. 2.43
Ilnlilllativl NIA de planul vertical de proiec(ie V
I 1.111 , It I. I ) `ji I)(d, d') situate pe aceeasi proiectantA fatii de planul vertical de
Ili pe planul vertical sunt identice, c'=c' deci, pe planul vertical ,1 till I cArui depArtare este mai mare, adicA y c,>yD, iar punctul f) este t„
V m1,01'04.11 IntA de planul lateral de proiectie
I It I, leI (. r ;i 1) situate pe acceasi proiectantA fatA de planul W, a cAror , plan SC confundA, e" of ", caz in care este vizibil punctul a cArui abscisA
'raped iv 14c, deoarece x 11>4, iar punctul F(f, f ") este invizibil (fig. 2.45)
1 1 I I lblanlr pl lititrebAri recapitulative privind reprezentarea punctului
I ' I intrabAri recapitulative
vs n, , r caracterizenzA punctele situate in diedrele I si Ill?
H\
Fig. 2.42
V
x
e
Fig. 2.43
30 01101∎11 . 0 s. rli nt,,t
Yu
d
C ' d'
x x
i rwavir 1/V41'1/It/II.)
- I !III 11111, ill it Win( •Iillistiv III Ira'+lrCI(I I VII alit 41111 pnncl it vedeic vi it 'epic/email II 111 C11111 117
I pill, 44 mil, lel Ifelun ctiordonffiele punctelor sintet lee fain de planele de ottiousic dip pInnolc kw( wale, dr itxclr de (acetic si Iitin dc origine'? 'I Cum explluall vIzibililittea a (loon pinkie lap tic planele orizontal, vortical si lateral?
" I I'+ 1 . 14volt'
Has 111,11,4110 s! in epura punetul A(I5, 35, 20).
N. ' 11'1111111C 1'1 1,1 n11111:11C111r Illlt d pozitive, rezulth ea punctul A este situat 1 L. .,,11.11 III 11).111;1 2.44 se reprezintA coordonatele punetului A, astfel:
..1111, 11 10.i (10141111 x (ICI 5 min, obtinandu-se punctul ajutAtor a„ pe axa - v de 15 into obtinadu-se punch!l ajutAtor ay, iar pe axa Oz
,41a 111111 0411,1mM-se punctul ajutAtor k. Din punctele ajutAtoare se due I. slut' it 1INVIV de 1 1 11110:lie in planele de proiectie orizontal si vertical, obtinandu-se
Ilnlnndn a 0 vcrticala a'. Din proiectiile orizontalA a si verticalA a' se due
plimele orizontal si respeetiv vertical, la intersectia cArora obtinandu-se ■ A ■ and in vedcre cA In reprez,entarea in epura planul orizontal se roteste in jurul
dc sAgeti, se reprezintA prima datA abscisa x =15 mm, obtinandu-se ,,.1 „ t ill 11..1 Ill se duce o linie de ordine ( de rapel ), pe care se mAsoarA
o .,oi, Lila z=20 mm si depArtarea y=35 mm.
'0 1 II"
z
a'
A' 0 x
2. Prin ce se caracterizeaza punctele situate in diedrele II si IV?
3. Cum explicati proiectia punctelor situate in planele de proiectie?
4. Prin ce se caracterizena proiectiile punctelor situate in planele bisectoare B, si B 2?
5. Cum se poate determina ce de-a treia coordonata a unui punct, cunoscand pe celelalte
douA?
Fig. 2.44
ti edru si in epur5 punctul B(20, 15, 30).
Uf 1.6 ell , ' 1 ' 11110111 B aviind toate coordonatele cu semnul pozitiv se gAseste in triedul
z -Y b"
0
b by -z y
b
y b x
by , Y, -x
1 1 • • ■ , I,
c ,,
- N
C C,
e „
c,'
Fig. 2.46
Y c .
12 (Jimmy Ir it Err (MI
I. In Irk:dill' roprexcntul in 2.4.5 so rein eitilin cootilotauctlo y — 15 yi /
In continuare se procedeazd la lel ea in caul !epic/vital ii punctului in (holm, en prawn' ca ell liniile de ordine trasate din proiectiile punt:tutui pc vele tici plane do proicetie fornicain un paraleipiped. Prin rotirea planelor de proiectie in sensul sligettlor se Aline epura color trei plane, pe care se reprezintil coordonatele punctului B, oblinAndu-se punctele auxi bare b„ si b„. Din punctele ajutiitoare se duc linii de ordine, obtin(indu-se proiectiile a si a'. Pentru a ubline proiectia lateralA se rabateazd pe axa o y , punctul ajutAtor by in sensul de rotire a planului lateral, obtinandu-se punctul b y „ din care se ridicA o linie de ordine panel In intersectia cu linia de ordine dusa din bz, rezultand proiectia laterald a".
z
b'0\ b zO\
B
3. Se dd. punctul C(25, 20, 35) si se cer: a) sd se reprezinte in triedru si eupra punctul C; b) sd reprezinte in triedru si euprd punctul C,(x l , y 1 , z 1 ) simetricul punctului C fats de
planul orizontal.
Rezolvare. Reprezentarea punctului C (fig. 2.46) in triedru si in epurd se realizeazA similar ca la problema 3. Pentru reprezentarea punctului simetric C 1 , trebuie sd determinant coordonatele acestuia, care potrivit regulii de simetrie %O de planul orizontal are urmAtoarele valori: C 1(25, 20, - 35), punct care se gaseste in triedru
Reprezentarea axonometrica a punctului C, se realizeazA dupd aceleasi reguli ca si in cazul reprezentArii punctului in triedru. Epura punctelor C si C 1 se realizeazdpe acelasi grafic, respectand aceleasi reguli ca cele folosite mai sus la reprezentarea punctului B (fig. 2.46).
I., .1 , 1.1(:term ina coordonatele punctului D,, simetricul punctului D find .1 Ail( Id
In rcgulile de reprezentare a punctelor simetrice, care spun pan, t laid de origine va avea aceleasi coordonate in valoare absolutd,
, hunk; 1,111111 In acest sons, se pot obtine coordonatele punctului D 1 (20, -15, in (Hecht!
i. tt, n punctelor D si simetricul acestuia fatd de origine D,, va respecta 4;1d problemei 3, respectiv, se vor reprezenta cele cloud puncte, in
I ,, III tit ilizand metoda proiectiilor perpendiculare (fig. 2. 47). La pin A, w vor urn' aceleasi etape ca in cazul problemei 3, reprezentand cele
, „.. inutile (le sensul de rotire a planelor orizontal Hsi lateral W.
lid I )( .'1), 15, 35) si se cer: Fig. 2.45 I .1, t, min, I ),( „ y,, z, ) simetricul punctului D fatd de originea 0;
Li a 1.1 , 11 /MI(• m Ir iedru si in epurd punctul D si simetricul acestuia D,, fata de
.3 ' , Row( LINI11,014 i)Rr,I)TE
14
-Y,
d,„ d1 "
-z y
Fig. 2.47
1 I I itmloiro rtI II gelwritiv
■ 11..i lit lef ,p„111,1 ftrncrnlc ale pioiectolor tmei linii drepte este lot 1) 1 , 1111, t nl 'mei
I„. . Ail, 1,.1 .1, pioieetai•, , 'In plan
1,, , 0,1,11111i:1111 dei.1,11111n plow, Oa
ot I 31111 1 1:111111 (IC III( rlio I II I I II I r II))
dui once I., 111,1111d pli,letlie
,„!,“1, ,, 1 1 11111 ) ) 11111 ti11111111,
■ 1.1111
I I .1. 1,111.1...ectie (Inure 111 d1 polo:lie II si
(IC
t I ■
, 1 41 I I i I • • k le I )C ilia i Fig.3.I
it
II
2.7.3 Probleme propose spre rezolvare
1. Sh se reprezinte in diedru $i in epurd punctele A(20, 10, 15); B(15, -20, 25); C(10, - 15, -30); D(20, 25, -30).
2. SA se reprezinte in triedru $i in epurd punctele: A(-23, -30,15); B(15, -25, -35); C(-20, -35, -25); D(-10, 30, -20) E(25, 35, -30).
3. SA se reprezinte in triedru si in epura punctul A(-15, 30, 25) $i simetricul acestuia A, fatA de planul vertical.
4. Sa se reprezinte in triedru $i in epura punctul B(-20, 25, -30) $i simetricul acestuia B,
fata de axa Oy. 5. SA se reprezinte in triedru si in epura punctul C(15, -20, 35) $i simetricul acestuia C,
fata de origine. 6. SA se reprezinte in diedru $i in epura punctul F(20, 25, 25) aflat pe planul bisector B,.
7. SA se reprezinte in triedru si in epura punctele A( 20, 35, 30) $i B(20, 25, 30) $i sa se determine vizibilitatea fata de planul vertical.
lid .1, . pc care se glise$te si segmentul dat AB, deci $i "ab" se va gAsi pc rilkit 114 (III 41114'01 ii))
tin_ tic II unei drepte pe tin plan nu determina pozitia dreptei din spat iu. 11 determ inate in cazul a douA proiectii. In acest sens se eau planele
I I rili•ultil de dreaptA AB din spaliu (fig.3.2). Proiectii le ab $i a' b' ale =: pet. lotithil 111 41.1.1.1 \ it 14r planele de proiectie Hsi V, determinA cu segmentul AB douA
I , se interseetcazA dupA segmentul de dreaptA AB.
par ticolare ale liniilor drepte
I pt. 111,1 aVell armAtoarele pozitii fatA de planele de proiectie: .1,, ,11.1a .1.. ,,,./11ie peneralA Sall inclinatA rata de planele de proiectie;
,11.1, cu until din planele do proiectie: 'lila - paralelA cu planul orizontal de proiectie II;
if , mil!) parale1A cu planul vertical de proiectie V; .1, olil paralcIA en plant!l lateral de proiectie W;
..1., H. 141 pendiculare pc until din planele de proiectie: It onto-orizontrila - perpendicularA pe planul lateral (le proicelic st paialeln
. II Axil 11,\•
r„, , , irterr r v‘i I/
X a
V
h ,
it
0 -x
y
ax
a Fig. 3.3
a Fig.3 .2
- de capat - perpendiculars pe planul vertical de proiectie V si paralela cu axa Oy; - verticalA - perpendiculars pe planul orizontal de proiectie Hsi paralela cu axa Oz. Pe ]Tanga tipurile de dreptele mai sus mentionate, in practica se mai intalnesc cateva
drepte particulare , cum ar fi: dreapta cuprinsa intr-unul din planele de proiectie; dreapta identica cu una dintre axele de proiectie, dreapta cuprinsa in planele bisectoare B, si B 2 si
dreapta paralela cu planele bisectoare.
a) Dreapta de pozitie generalA
Proiectiile ortogonale ale segmentelor de drepte din spatiu sunt intodeauna mai mici decat segmentul proiectat, respectiv: ab<AB, a'b'<AB, a"b"<AB (fig.3.3).
Notand cu a, p y unghiurile pe care segmentul de dreapta AB le face cu planele de proiectie H, V si W, se pot determina mArimile proiectiilor segmentului pe planele de
proiectie: ab = AB cosa; a'13 . = AB costa; a"b"= AB cosy.
b) Drepte paralele cu unul din planele de proiectie
Orizontala. Consideram dreapta orizontalA CD, paralela cu planul orizontal de
proiectie II, reprezentata axonometric in figura 3.4.
1,,,,,e, vilreapta CI >se prolecteazA in rnArime adevarata(cd=CD), fiind en dreapta CI) , care poate lua once pozitie. In epura(lig.3.4),
, .1 ,1 Sic pin +dela cii axa Ox, cea laterals este paralela cu axa Oy„ jar cea rrr, 111.i r .11r I` prIfille.
rir rir let nit) dreapta frontala EF , paralelacu planul vertical de proiectie V, epurti in figura 3.5. In reprezentarea axonomtericA se lunge
•11i1r rr 11 /1 , 11111111 §i lateralA e'T' sunt paralele cu axele Ox respectiv Ox, prate Ina trice pozitie. In epurA, proiectiile of si e"f' stint paralele cu
. I i , I //, iur proiectia e'f ' este inclinatA ;rata de axa Ox cu unghiul a, ongl)i , .1 hit v orizontal de proiectie. Proiectia dreptei EF pe plan u l nen nue nantrall, respectiv e'f '=EF..
I'. •. 1 , 1,, de 1 ), •11. 'onsiderdm dreapta de profit MN, paralela cu planul lateral de figura 1.6. Proiectiile pe planele Hsi V, formeazA cloud plane
pe.icestert. De asemenea, proiectii le orizontale mn si verticale m'n' ..h. \ .1 , iar proiectia pe planul lateral m"n" este in marime adevAratA
h. ,, proiectia orizontalA mn si verticalA m'n' sunt perpendiculare pe ry 1.. Imeialn in" n" are o pozitie oarecare si formeazA cu axa Ox unghiul
u,riure dr proicelie, unghiul p. ,up, laa . a in planele de proiectie, Dreptele cuprinse in planele de proiectie 1 ..., t i illar al di eptclor paralele cu planele de proiectie. Caracteristic pentru
it pc planele de proiectie dreptele pot avea once pozitie. Punctele de pe , Inlr ice plancle de
n" ,
m"
) n 11 , Ili
11
n1, I ,
111
1
ni
Ill
proiectie identice cu ele insasi, iar celelalte proiectii sunt situate intodeauna pe axele de proiectie. Astfel, in figura 3.7 este reprezentata dreapta AB continua in planul orizontal de proiectie, in figura 3.8 este reprezentata dreapta CD continua in planul vertical de proiectie, iar in figura 3.9 este reprezentata dreapta EF continutd in planul lateral de proiectie.
Fig. 3.5 -z
e E f Y Y
V
-y z
38
Get Metric' des r 11 , 11% avower'. dtroriptiv4J 19
z
Y
Fig.3.4
Fig. 3.(
z
dz a
C Cz E c"
X c x =c dx F-- -x
-Z
Fig.3.8
a I tit eapie perpendiculars pe unul dintre planele deproiectie, sau paralele cu HMI dilate cele trei axe.
eatptio trunio-orizontalA • Considerdm dreapta A.B paraleld cu planele vertical 4i 1141 IIP innircile , (loci paraleld cu axa Ox, reprezentatd axonometric si in epurd in figura
,,Ifs plun - trIr dieptei nu aceeasi departare si aceeasi cots, cele cloud proiectii "ab" si ell Ali, paralcle deci si cu axa Ox. Axa Ox este perpendiculard pe planul
I- (leci si All este perpendiculars pe planul lateral de proiectie si ca atare eq Plan punctul
-X
40 ( icometrie II,
x
e '
fE fZ
0 eaey
fE fy -z
Fig.3.9
y
z
a b' az E bz a" E C•1•10■1(1 0
1, ay = by
V
41
\V e'-d' c,1 d" . 7
1 it2,..1.1 1
Fig. 3.10
Dreapta de capat. Consideram dreapta de m01 CD paraleld cu planele de proiectie orizontal si lateral, reprezentata axonometric si in epurd in figura 3.11. Toate punctele dreptei au aceeasi abscisd si aceeasi cots, astfel, cele doua proiectii "cd" si "c" d"" sunt paralele cu axa Oy , axA perpendiculard pe planul vertical de proiectie V si cdrei proiectie pe acest plan se reduce la un punct, c'
Dreapta verticals. Fie dreapta verticals EF paraleld planele de proiectie V si W, reprezentata axonometric si in epurd in figura 3.12. Toate punctele dreptei au aceeasi abscisd si aceeasi depArtare, deci, cele cloud proiectii "e'f' " si "e"f '" sunt paralele cu axa Oz, iar EFII0z, Oz _LH de unde rezultd EF A.H. Proiectia dreptei pe planul H este complet deformata, reducandu-se la un punct, eEf , deoarece proiectia ei coincide cu directia de proiectare.
in epura proiectiile verticalA "e'f " si laterald "e"f " " sunt paralele cu axa secundarA de proiectie zy, iar proiectia orizontalA este complet deformatd, respectiv un punct e=f.
e '
I'l I, )1'
1 i ,
C .. 1., 1°)i
c 1
ey , fy
Fig.3.12
itleniler eu axele de proleetie Aceste drepte constituie cazul particular at drIr I it cle (lc proiectie. Caracteristic pentru acestedrepte este faptul CA, tuna
i I, .. , 111pIrt (IclOrmatA si se proiectcazA in originea 0, iar celelate douA proiectii iIF I 1111,1), 0.
•otprInse In planele bisectoare B, si B 2 Aceste drepte particulare, pot fi 1,1 di epiclor de pozilie general/1. (_) dreaptil sau un segment de droaptA lusecior (Inch ccl pulin douA puncte ale acestora apartin planului bisector.
obt-apth tan tut winnent (le drcaptll apartin planului bisector Ii,, (lad proiectiile lor stint sinnotb a NA de toot (lx (lig.1.14, a), iar in cazul planului bisector 112, finch proieciiile lor
(11p, 1.14,11).
NA '
II
0 1
(
Yi
x
x
z
Fafaf'Ef
a) Y
(irometrie irt 11 a
z
0 c ' (
0=-a"7-rb" 0 y
1:3=1)=-b'Eb x
CaiCEC
Y b)
c)
Fig.3.13
Fig.3.14
3.3 Reprezentarea in epura a mArimii adevArate a unui segment de dreapta
Rezolvarea aceastei probleme consta in construirea unui triunghi dreptunghic, la care o cateta rezultd din proiectia segmentului de dreapta pe unul din planele de proiectie, iar cca de-a doua este data de diferenta dintre coordonatele extreme fatd de acel plan de proiectic. Marimea adevarate a segmentului considerat este data de ipotenuza triunghiului, iar unghiul ascutit format intre ipotenuza i cateta, care este proiectia segmentului din spatiu„ este unghiul pe care segmentul it face cu planul respectiv de proiectie. Construirea pe ca le grafiea
x un l
iormfririe de,vcrlri
-(( r im - nod a l I ( ( I1 ( a p in dm %pa l m , Al l si it i, t j uulm It, (Itiolin I I')1. I ∎ I I /1,111111 (I, r i qc, l ie I are in v •d ere h apein i
1, t, (Imola (loon oxticmono
N
%\11/. Bo' .1‘
Fig.3.15
E0
I 6
i ■ I Iau m lul A, care are cola cea mai mica, se duce in planul proiectant paralela Ali, pnr lc Impend intr-un triunghi dreptunghic yi un dreptunghi, oblinandu-se 1.1(11 'notice: All nb si Cunosefind cle douti catete, se poate
EEE
I , 4.(imett it. tie Ncrtrilvil
I I , ■ ,-71t111.1 I it I 1!1.111ii M litil C. in I l l nnu l I i /1 )1i1:11 I din I lllnrlu l in' in,• It . 1..11Et Ir1 111111 1'1 Ito 111 itirlungirea w,ftsi
.111 , 114
I , 1 dmilm 1 , 11111..t.gnalonlni A 11(a1),,i'10 c ,t1c incteniala in figura 14 I
111
'1
II 111
b)
Fig. 1.19
I I .cpiticnItIlui AB se prelungeste proiectia verticalA a'b', panli . (al& se obline proiectia verticalA m' si punctul ajutAtor
"111,11r, 111• in,, din care se duce o linie de ordine pana la intersectia 'wale ab, in punctul M=m, care reprezintA urma orizontala
,111; ,111• I.1,1. parte segmental AB(ab,a'b'). Pentru determinarea linnet I . Inulnl, pi in prelungirea proiectiei orizontale ab pana la intersectia cu
Imo &tunic.
rytiltu dl lortuttinrett urmei laterale se pot folosi douA metode, astfel planul lateral 001 Improniii/1 en crl vertical situ cu cel orizontal. II m il l . 1 t 'n sc• da di (lapin CD(cd,c'd'), Ia care se core sA se gAseascA urma lateralti,
II . 1 I vertical. Modul de executie este acelasi ca si in cazul urmelor ,Ia. a, lit se prelungeste proiectia verticalA c'd' pana intersecteazA axa
tr,111 punctul t,, din care se duce linia de ordine pe axa Oz, dupA 1.1 ,, II t tut Wet c' pant{ intersecteazA linia de ordine T=t", obtinand
I ,Inta se polite urmAri in figura 3.21, modul de determinare a urmei lateral 41 orizontal de proiectie. pn acest caz, se prelungeste
1,111a intersecteazA axa secundarA de proiectie Oy in ounctul t=t y, punct 1 ,1 incipala de proiectie 0y 1 , obtinandu-se punctul ty „ din care se duce
1 , 1 11 de proiectie, care vu intersecta prelungirea proiectiei laterale
I. —1. I. i se polite obtine apoi cea de-a treia proiectie.
tl
44
construi triunghitil dreptunghic. 1,a reprezentarea in epurA(tig.3.15), triungli int (IR- lawn...Inc sr etat..n ante cu unghiul
drept in proiectia punctului care are coordonata cea mai mite faith de tied plan de proiectie. In cazul de fata, unghiul drept este in punctul b, deoarece z„--•„ si InArimea adcv1rtA a segmentului AB este al3 0, care este ipotenuza triunghiului dreptunghic, iar unghiul a este unghiul format de segmental AB cu planul H.
Pentru determinarea mArimii adevArate a unghiurilor pe care un segment de dreaptA le face cu celelalte plane de proiectie, se procedeaza in mod similar.
Astfel, epura segmentului de dreaptA CD, inclinat fata de planul vertical V cu unghiul 13, este prezentatA in figura 3.16, iar a segmentului EF inclinat cu unghiul y fattt de planul lateral Win figura 3.17.
3.4 Urmele dreptei
Prin urma unei drepte se intelege punctul unde dreapta intersecteazd planul de proiectie.
Fie dreapta AB din spatiu, care intersecteazA planul H in punctul M. Punctul M reprezintA urma dreptei AB pe planul orizontal H(fig.3.18).
A
Fig.3.18
Intersectia unei drepte oarecare cu planele de proiectie H, V si W, determinA pe acestea urme orizontale, verticale si laterale. Urmele dreaptei de pozitie general% in diedru se noteazd cu M(m,m',m") si N,(n,n',n") iar in triedru cu M(m,m',m"), N(n,n',n") si T(t,t't").
0 dreaptA paraleld cu un plan de proiectie are in diedru, o singura urmi si in treidru douA urme, iar cea perpendicular& pe unul din planele de proiectie, are o singurA urma, pe planul pe care este perpendicular.
Urmele liniilor drepte permit determinarea in epurA a pozitiei dreptelor in spatiu. Fie segmental de dreapta AB, (fig. 3.19), care intersecteazA planul orizontal in M(m,m') si planul vertical in N(n,n'). Proiectiile orizontale si verticale a urmei orizontale, respectiv verticale sunt identice cu urma, adicA M=m, iar proiectiile m' si n sunt pe axa Ox, identice cu punctele for ajutAtoare m'=m„ si n=n.,. Proiectiile urmelor find trasate, se pot trasa proiectiile segmentului cuprins intre cele douA urme ab si respectiv a'b'. Presupunand a in figura 3.19 a, sunt date numai proiectiile pe planele Hsi V, pentru a gAsi urma orizontale M, prelungim proiectia verticalA par% Ia axa Ox, unde se obtine proiectia m' si m x, al urmei, adicA m'=in,,,
(ieutnettre desel'llt(110
eta ,C411114 ,;11i ■ 11"11 I q'Ill It
I I ',I I/1111i IIII III 11111 /fit' '11.* 11114 111111Itir tildille In 1Ihti I.,. Ilnlltilrn Iii .1.. ■ 1,1 All in,
Hi II 4 I; ■ 111'11111111c! i 4 11/(1111111c, fici (41411lie • 1.1 I .1 11,(41i1 Ilrina Iii IIIICINVt 1141 en 111411 h Iii
I .. .1 , I.1 Hi, dr 01'dilie 1111Sel dill 1)1111(. 111111 II, III 1 • ∎ ••
Is I ■ . ,III I I pun, lu1 N
se.11 •s, s, I min. I 1, IIIC,III ,1 domino Brill meltingirea proieclici r is. sm. II .I,,I III Ills III.I1,1 III nissiecin , ( )x, in pintettil 11,, i(lenlie eu
... . 1 . 111 1 1, 111 III II II,
1.. , .111 .11,'.1 III 1)11111111 IlIlerlll ()ric e po/ilie, in figura 3.23 se •is
111111..m. rl iincl(n drclunei (le 1)1)1,1( ill(gli,g'11 . ,g - 11 - 1. .1, s .11 .1. ',Alum) in moil similar cit in eiritil precedent. 1)11cti iirma , I , I, I ..1 sis ..1/111 precvdein, until( orizmitalli, se obtine prin rabittarea
11 11 In
minga (sliginii 1), is am, ()z (ibiintindu-se punetul in. y , din care I111i,t .1. .., , nona la interseclia cu prelungirea proieetiei oriz(mtale, in
11.1()11/(4111111e II 111111CI dreptei de profil (311.
I1 1
Y , I
7 111 ill , I
Il z
III 11 11„
Fig.3.23 ,41,1e tquih e u douii drepte
is. lilt III !Tali', paralele, coneurente, oarecare(neparalele yi
It
le 1,:11.11. proieetiile pe itcelai plan tot paralele, iar sand se ally
I.n'4' 1;1111 nu proicctiilc identice. Csonsidertim dreptele paralele A13 i ('I),
Fig.3.20
Fig.3.21
3.4.1 Urmele dreptei de profit
Dreapta de profil, parale1a cu planul lateral W, are numai doua urme, orizontalA si verticals, care nu se pot determina prin metodologia descrisA anterior, sens in care, vom lua ca exempla dreapta de profil EF (ef,e'f ) reprezentata in epurs in figura 3.22.
In gAsirea urmelor dreptei de profil se porneste de la proiectia laterala a dreptei de
profil e"f ", care se prelungeste pAnd la intersectia cu axele principale de proiectie Oy, si 01
in punctele m" amy l Si respectiv n"En z. Punctul nisi se proiecteazA prin rabatare pe axa
N z In
f
X
f '1"\ njyi Y
my
Fig.3.22
/H
x i0
a) b)
4K ()comet,* deseilftivel liPONfefrit ikserlptl yt) , I , )
reprezentate axottomeltie in I notra 3.24 a, ea/ In care protreleattole it at vu prteclii Jc plincle
sum paralele, determinant,' planele prairie R si 'I'. Daeti planele It *i 'I' sr tale cu tin at troika plan I I, nermln Inlousecleazti celc (loan
plane dupA douA drepte paralele ab si cd, care reprezintA proiectiile dreptelor paralele dm spatiu AB si CD pe acest plan (fig. 3.24, b).
Duct) dour) drepte paralele cu unul dintre planele de pralectle„sunt date In epurA numai prin proiectiile pe celelalte dour) plane, in care apar paralele, nu se poate ofirma ety
dreptele sun: paralele Intre ele.[5] SA presupunem cA avem in epurA proiectiile orizontale verticale ale dreptelor de profil EF(ef,e'f ) GH(gh,g'h') fig. 3.25. Pentru a constata dtteA aceste drepte sunt paralele sau nu, trebuie sA executAm si proiectia lateralA a acestora.
1 10 “ h " , 1)10i0C II II pe 11 11 111111 vettical I_ 41. , ,111,1111 ■ 1111t , I n p , ndien diejaele situate in lieelaw plan tic
tfg, i1, 1 , 1 , f - , In 111
pt• , it,
l'ig.3.27
1,1 111 1 p h
z Fig.3.24i
x
DupA constructie, se poate constata cA proiectiile dreptelor pe acest plan nu sunt paralele, deci dreptele din spatiu nu stint paralele. La acelasi rezultat se ajunge cu dreptele orizontale AB(a'b',a"b") si CD(c'd',c"d"), fig.3.26 date initial in proiectie verticalA si laterala.
in cazul dreptelor frontale EF(ef,e"f') $i GH(gh,g"h")(fig.3.27), date in epurA in
1,,, II, 1 ,1,"
, I, interseetenza in spatiu, atunci proiectiile acestora pe acelasi plan learn um tin punet, care reprezintA proiectia punctului de intersectie
I •i,, 011e11 a witometricA a dreptelor conscurente AB si CD (fig.3.28,a)sc poate I 11101111 M comun acestora, este comun proiectiilor de acelasi fel 1 , 11
proiectiile lui in si m' sunt pe aceeasi linie de ordine, .1 dotal drepte de pozitie generalA, sA fie concurente.
epurA, una dintre drepte concurente este paralelA cu until din I Lai proiectiile pe celelate douA plane de proiectie unde dreptele apar
, 011, , 1 , 1 , , ifit concurenta sau neconcurenta, este nevoie si de a treia proiectie. "to 'mite in epurA proiectiile dreptei de profit EF(ef,e'f ) si ale dreptei
1 , ,I It plug It' ) pc planele orizontal si vertical de proiectie. Pentru a constata 1. ,, .1, , 1 ,1, ',lint stun nu concurente in spatiu, este necesar sA executAm $i cea de-a
1 , . 1 ,, idtund lateral W.
, , ,t,i..e, 1111 se laterale se poate observa cA dreptele nu sunt concurente,
null pe aceeasi linie de ordine corespunzatoare punctelor ,111101 date initial,
1 , 8 v ie are onoirente yI neparaiele
1 ,, lade (1) 1 )11(1 1 ),(dA si (139[(d,)(d 2 ' )1 reprezentate in epurA in figura 3.30 si ale 111 de 111 dtril fel mint concurente. intruefit, punctele de concurentA nu sunt pe
0
X
a) b)
Fig.3.29
C'
b 9
•
90" c
I 4, I 1 I Fig.3.32
0
X O
Fig.3.33
0
allonfrit II ‘, -------
tit*St
accenai liuic de online, drcplele in spun' nu N11111 e , aaeutrnlr tie obNon , (1 t n pun, n thin do
intersectic a proiectiilor verticale I• 2', in proicctic 01i/0'1111A It colt:Amu(' punt_
I al 2, en iteeenai cotli, insA en depArtitrile (siderite. In moll t,in11lar, pn,ucclic ot lionttile
pucntului a punctului de intersectie 3 E 4, ii corespund in prince lie verticalft proicctiilc distinct('
3' ai 4', puncte cu aceeaai depArtare, Insa cu cote di revile, emit cc demolisher /A elf &welt ,
ai D2 nu aunt concurente.
.1,1,1.-4, howl Ilk unYlniultia .411f0 polalcle I u pinnul du
Miff 11111 IOW roe pnialelt1 iri plamil de pruicclic. uu ecnlnlln este inc twain I,aln dc
4= *1 Watt
1 140- 011111ti dm hum ile m1)410111'11 drept este porpendieularA pc plamil de proieelic, mime' u mat pt . ACVl plan, sub forma 'mei ebrplc , iar pc eelehille ducal plane
mat mu- adrvnraln , exclu/And cazul particular wind prole( lin este complet until din tele (1011A plane.
le n1'0111111 '1111 ' 11 uni4111111 drew in II, II:pre/cilia! axonometric in figura 3.31. cu 11 pl,uaul , uvunlal de proiectie II ai !alum All, oici paraleltl
1 , 61111,1r ' , folk:clic
,i,„d, tinglitillui Ibruicazil cu directii le de proiectie planele proiectante woe rte in unghi de 90", yi cunt prin ipotezA: BC.I.AB-413('
, , rpin din acest plan. intruelit: lit I • .13C1lbc ABha ai
t, dtcpala acestiti plan, deei ai he ah, iar 13b LI I conform principiului
ih 1 'III& 1 ) 111 111411 sus pre/emote rcrulllf cA unghiul drept ABC din spatin are ut,I3 nh , it Ilifttfille IRICVAI'1101, l'c planul vertical de proiectie V, proieetia b'c' 1 ,, t1 ale In asii 1 )s • iar cc,' de-a (lima laturA, a'h', poate avea orice
Fig.3.28
(d,')
x
(d,
Fig.3.30
3.6 Proiectia unghiurilor plane
Daca unghiul format din douA drepte concurente este oarecareare, atunci el se
proiecteazA in marime adevarata pe un plan de proiectie, daca ambele laturi ale ungh iu I ui aunt
paralele cu acel plan. in cazul in care unghiul este drept, acesta se proiecteazA in marime
adevarata pe un plan de proiectie daca:
0. If \
■ • 1,,
( I', II' 1l1'1171141rr1 52
Jai
I it'UnIVIriffde,Serlrifi'17 S I
Eptirit unghiului drept ABC, este reprezentaiii ul Itgiiin 4 4,', undo won, tic a unghiului, apart ea o orizontalA, cu proieetia verticaIA I) ( 1)111111cla cu Will ()X, 1111 con
orizontall1 be poate hia mice pozitie. A doua latura, Ali, Juane in proiectie orizontalA. unghi de 90° fatti de prima, adica ab.cbe,iar in proiectie verticals, a'b', poate ocupa ()rico pozitie, undo conform epurei cota punctului A este mai mare deeat a punctelor laturii 13C,
Pe baza celor de mai sus se poate enunta urmatoarea proprietate: data proiectia until unghi este sub un unghi drept, atunci unghiul proiectat este drept numai data, eel pulln um, dintre laturile lui so fie paralela cu acel plan de proiectie [51
In epura reprezentata in figura 3.33 se poate observa, cA unghiul DEF este ungh i drept, deoarece latura EF(ef,e'f ') este paralela cu planul vertical V si proiectia verticalA d'e' f ' tt unghiului este sub un unghi de 90°.
In final se pot trage cateva concluzii importante: - un unghi (drept, obtuz sau ascutit) se poate proiecta sub forma unui unghi de acelaal
fel, data eel putin una din latruile unghiului este paralelA cu planul de proiectie; - proiectia unui unghi (drept, obtuz sau ascutit) poate fi complet deformata dacti unit
din laturile lui sunt perpendiculare pe planul de proiectie.
3.7 intrebari $i probleme recapitulative
3.7.1 intrebari recapitulative
1.Cum definili dreapta de profil? 2. Cum definiti dreapta orizontala? 3. Cum definiti dreapta frontala? 4. Cum definiti dreapta fronto-orizontalA? 5. Cum definili dreapta de cape/ 6. Cum definiti dreapta verticalA? 7. Cum se proiectaezA o dreaptA situatA in planul bisector B,? 8. Cum se proiectaezA o dreaptA situatA in planul bisector B2? 9. Cum are proiectia laterall dreapta fronto-orizontalA? Dar cea de eapAt? 10.Care este metoda prin care se poate determina mArimea adevAratA a unui segment de dreapta? 11.Care dintre laturile triunghiului dreptunghic reprezinta marimea adevaratA a unui segment de dreapta? 12.In care punct a proiectiei segmentului se construie$te triunghiul dreptunghic? 13.Ce se intelege prin urma unei drepte? 14.Cate urme poate avea o dreapta de pozitie generals in diedru? Dar in triedru? 15.Cate urme poate avea o dreaptil de profil? Dar o dreapta orizontalA? 16.In ce conditii doul drepte de pozitie generals sunt concurente intr-un punct? 17.Care este conditia ca un unghi drept sli se proiecteze in marime adevAratA pe un plan? 18.Care este conditia ca un unghi sA fie proiectat in epurA sub un unghi drept?
I , ■ A4 1.
1.. ' I I' pun( tele A( 10, 2s, 10) 11(10, I '3, Is)
lk pl...111(1 d u u p inAh II I rir I ,,iVI In (pink
1.I. ■ :1 111)1/I
H1,-11.11,161 50 rcprcrinUl punctele A II, procediind in 1 ,. si le ( ( )z coordonatele punctelor A II, oboilin(1
, ' ido punctelor A si Ii pc planele orizontal II, vertical V si l a lieu a h, a' en h' 41 a" cu I)" so obtin proiectiile nb, a'h'
„ 1, 1., 1 plane (le proiectie. Din punctelc do proiectie a, a', a" yi b, !WWI** l'eSpeClIVC (le proiectie, olttinandu-se lit intersectia lor
I. tpit ,\ 11 pi in unirca color dour puncte. l a reprezentarea in eptiril i , iailiaintelor color (alif puncte A *i Et pc cele trci axe
1,, , ..1 h, h', b" yi respectiv proiectiile ab, a"1)"
I'.• :• 11111111 tli liginit I. 1.1, este o dreapta de pozitie general/I
'11 A ' 1111 d, t "(I") prin punctele C(15, 35, 10) si D(15, 10, 25).
pi. nide dreapta ('I) in triedru 4i in epura; 1 , ii , ,:•ie Iipul dreptei.
mine urincle dreptei CD pc planele de proiectie;
I. plc/Intl dreapta CD in triedrul din figura 3.35, urmand aecqi d .1, d 11".1WC(IV: se reprezintti coordonatele punctelor C §i D pc axele
••• le c, c', c" 4i d, d', d" ale punctelor C si D pe cele trei w I hiell unit') punctele de proiectie c cu d, c' cu d' si c" cu (1" se
1 ale dreptei pe cele trei plane de proiectie H, V si W. Din d" dacll se due perpendiculare la planele de proiectie
II I I I I, implicit dreapta CD prin unirea celor doua puncte. 111 ilk III ( Pita ( fig. _4„36), so traseazA axele de proiectie si se reprezintA
•, 1 I) 011011(1ml proiectiile cd, c'd' §i c"d" ale dreptei CL) pc cele trei
I cu planul lateral de proiectie W este o dreaptil do profil.
odor dreptei reprezentate in triedru, se preltingete (keno' plimele vertical orizotthil in punctele it' N si in M. 1,41
proiectia Infests e"d" pftnii In interseelia en axrlc (
.1 al' I )in ptinettil n" SC duce hole do ordinc la loth O, pans In vcrticale c'd' in punctul N n', iar din punch!' nt,, sc
I I - ) N' (II !Hindu! my, din care se duce o little do iodine pllita In Intel seetia , • ,, p. 1 (11)11/m11111e ell in 1)11110111 M III..
V
wow rip
v
NI Y, _ 7. y
Fig. 3.36
Ill
ti I10,1), h', eh") prin punctele A(25, 15, 20) i13(10, 15, 35). Se cer: All in triedru 4i in epurA;
Ii i , u1 0,00 ,0110'1,• dleplei Ali.
I , I )1, d., 'd', c"d") prin punctele C(15, 40, 20) D(15, 10, 20). Se cer: dieuptu III 'milli' ;1 in cpurti:
nod dicpici, mimic dieplci,
I I II I . e' I ', prin punctele E(35, 20, 15)41 F(10, 20, 15). di yawn in triedru ;1 in epurA .,
■ ,. '..1 1 einCiiiiie in triedru ;1 in eptirii III Illele (II cplci. sA 'c reprezinte in triedru in epur(i ica
, \It( ,d). a '1,', ;1"1)") 1)11(1 punelcic A( h, 2.0, 1(I) ;.1 11(1' , , 20, 1s) Sr err I. d,enpin in trietirti .;i in epurti:
tr 54
V
X 7.
i.
0
-Y1
Fig. 3.34
Fig. 3.35
4
4 !TAMIL
1 1 1E It 1 tolintse 4 - 1t yl 1•1111•4fe1111111'11 1111111111111
I 1 , tit It- 1111 p11111 (`Sic (IcIertiihmt de: I , lit , ,1 11111;11 (lir -VI),
exterior
I.. 1 wcturtile (110.31; I, (11i1,4.4)
It
0
b Fig.4.2
( )
0
Fig.4.4
1.1,111111m in desenul tehnic se face prin urme, deoarece in acest lap de planele de proiectie.
, .1, I. dh• planul se intersecteazi cu planul de proieclie Se 1111111CSC
litii1 u1. uilcis tciiZii triedruldeproiecrie Oxyz(fig.4.5),I)renplado 1,1, 1 ,1.1 n ;;1 planul urixlmiul dc proieclie se numetc mina orizontalit yi NC
0 011. II I .
1 1 I1111111 vert ictil limo vertical& notalA 1 ),, Hann' Intend until
1;0 ) /11011 C 11( . 11'f/0114
b) sit determine tipul dreptei;
c) sit se determine §i sit se reprezinte in Victim yi in rpm A tuinelc dreptei,
d) sit se determine 4i sA se reprezinte in tricdrit ;,1 in rpm a dreapta A,I1 1 , sundial'
dreptei AB fatil de planul vertical.
5. Se di dreapta CD(cd, c'd', c"d") prin punctele C(30, 10, 15) 4i D(10, 25, 35). Sc
a) si se reprezinte in triedru §i in epuri dreapta CD; b) sA se men(ioneze tipul dreptei; c) si reprezinte in triedru §i in epura marimea adevarati a dreptei CD inclinati cu
unghiul a fatii de planul orizontal H.
6. Se di dreapta frontala AB(ab, a'b', a"b") prin punctele A(30, 15, 10) B(15, x, 2' Se cer:
a) si se determine valoarea coordonatei x; b) sa se reprezinte dreapta AB in triedru epura; c) si se reprezinte in triedru si in epura dreapta A 1 B 1 , simetrica dreptei AB fatii de axa
Oy. 7. Se di dreapta fronto-orizontali CD(cd, c'd', c"d") prin punctele C( 10, x, y) D(40,
15, 20). Se cer: a) si se determine valorile coordonatelor x i y; b) si reprezinte in triedru in epura dreapta CD; c) Si se reprezinte in treidru in epura dreapta C,D,, simetrica dreptei CD fall de a \ .1
Ox.
56
1 ) 11110 1d e de InterSCCIIC ale 1311)1111111i (al nxele Ile 111011•t IR' ';IIIII 1101111e I'll I',. P s .
Prin ralmaarea planelor se ()brine spurn planului ancr;ecial cu plancle (le
proiectie, reprezentat prin urme(fig.4.6 ).
V
yl
Py
Fig.4.6
Fig.4.5
I o/Ilect 1, ihotilli!Vii
I •• ■■ //lett • r St )
1 11t witty itsti 11c1111111` nlr Willi 141111
I. e Vitt Ile Pahl .V1iii Milli plan se mune* (Ireton conlinutil de
t•a , al , I 41 planul outiontill do proiectie
0,,,,t ‘,1// 1ff ilitahi Mill plan se nurnete dreapta conlintall (le plan, 11 ' 11,1 X1111(• plilleetie V (lig.4.10).
.1. 1.1 4 , /i/ n Willi plan se nunnte dreaptA continuta de plan, paralelti L a ., 1.1..1c, tic \V 0114.4.11).
.e. tow/ r pitni,) a until plan, in raport cu planul orizontal de
eon' ilium (lc plan, perpendieularil pe urma orizontaltl II, Hamlin! I 14, .•1. I 2). l'otrivit teoremei eclor trei perpendiculare,
L.) 111e mare pants rats de planul orizontal de proiectie, i I .1 lama I11 I Ilnlalll a planului. I,inia de sea mai mare pantd, Iva
luf I nal de plan en planul orizontal de proiectie. 0 dreaptd I. 1. Inlaid complct un plan.
4.2 Reprezentarea dreptei punctului continute in plan
0 dreapta, este continuta de un plan, dacd: un punct al dreptei este continut de plan si este paralela cu o dreapta ce
apartine planului; - doud puncte ce apartin dreptei sunt continute de plan; - urmele dreptei sunt situate pe urmele de acelasi nume ale planului; Reprezentarea dreptei D continua de planul P este prezentata in figura 4.7. Un punct apartine unui plan clack este continut de o drepata a planului. Punel ul
M apartine planului P(fig.4.7, fig.4.8), deoarece este pe dreapta D, continuta de pl anul P. In figura 4.8, poate fi unndrita epura dreptei continuta de plan.
I I
P,
d'
x -1 0
Fig.4.9
P „
V
x (d
I I h
F44.10
r.
\ \
I I I
I I la,44. I 111.11141
. i 1).11101C1 11 planul orizontal de proiectie (fig.4.13) i are E.. .01 ti II. I I \ ON, i ui urma lutcrali paralelA cu axa Oy. 0 ligurtl
implande nivel, se proiceteaza in miirime adevitrattl pe pitiful! N yi :it! I unn 1111u segmente de dreapttl, pe urma verticalti *i lateral() a
iiit ritotta de :tow, este paralel co planul vertical de proiectie V perpendicular
pplooll !mood pullet tu. W (14..1.14).
Pi,omot /100/. cu planul lateral de proiectie W i perpendicular
po 0 • V (lig.4.15).
/ . (,(ma II, .11 '1011111, , , eclitill pc planul orizontal, este perpendicular pe planul 0110+111141 I I ( lip, .1.1o). 1 Irma verticalii P y este perpendiculani pc axa Ox,
Mitttl 1..1, 1,itt% 1 , ii•teptidicularh pe ()y. Unghiurile diedre formate de plan cu
Hu al yi lateral, se proiecteaza in marime adevitratti pe planul I , 1I, , u unghimile !Urinate de urma orizontalA cu axele Ox gi Oy.
,l(pu_m ,111 • )contillut (le planul P, proiectant pe planul orizontal, are
III rnluuln pe urma orizontala P h u planului.
..101 salt proiectant pc planul vertical dc proiectie V. eNte pett(pit , 11 , vertical de proiectie (fig. 4.17).
cu loth Ox, este perpendicular pc planul lateral de proiectic
, 'toil .1 f, I
V
Ph
Fig.4.15
Pv
y,
I IF, 4.18
Ph
.iiit nit in quill urmale de acelasi fel paralele. Acest fapt arcia (Iona plane paralele se ientersecteazlt cu un al treilea
I „ 1, (11 K .1 19). P. are Pvl Q {Qh, Qv}, unde PIIQ rezultti:
II '. ) I 1 " I h Qh ;
\ \NI ' -()(‘,),—I)K 11 11°; ;
Fig.4.16
V 7
Pv
O
Ph
Ph
Fig.4.17 Fig. 4.19
64 ( irirftlettle (levi i ri
Ph '
x )111
1' 1 11 .1(ri,d) 04,4i A r I ill; 11141) 4k 114)111, renlitti cA {d (Ea, 110X); d'(Ea',
Et fine, I , 11,1 err//rill (fig. 4.23). Fie planul oarecare P{Ph, Pv) si planul ail* /NV It W)
Fig. 4.20 1', , O /)(d,d)
(), M(m,m')
(1( N(n,n') iar D {M,N} Pn Qn V= A(a,a')
.1)„ n Q„ = A(a,a')
PnV= P„ E Vi
QnV = Q,,EVf
I), ol d • Qh
( ► I II
4.5.2 Plane concurente
1) Interseeria a doud plane concurente. Dona plane concurente din venni No
intersecteazd dupa o dreapta. Pentru a determi na dreapta de intresectie trebu ie Visite lie doull puncte, fie un punct si o directie.
Intersectiile de plane se rezolvA prin metoda planelor auxiliare, care se bazeazn pc, faptul ca trei pane se intersecteaza intr-un punct. Ca plane auxiliare se folosesc planele do proiectie, planele proiectante sau chiar planele oarecare.
Se considers planele oarecare P {P h, PJ Q{Qh, unde P n Q = D (d, d' ) ( fig .
4.20). Pentru determinarea dreptei de intersectie a celor dotia. plane sunt necesare dotal puncto, jar pentru gasirea acestora se utilizeaza ca plane auxiliare planele de proiec(ie H $i V:
P n Qn H= B(b,11)
PnH=Ph E H
Ph n Qh = B(b,b') Qn H= Qh E H
9,
(iVnmrnlr rl. (IS
#. VAlt f fee lire iihmulul mu -ovary cu planele proiectante ,11 ifiOrliphintlilienirel(/iK 4 .'/) t'olisidvitindplantilonrcentrl'(1',„ lilt PI II lllll, iV, W), (AI NAl)x.
1'It N - 14(1,(1')
I VIII
/' .N
; lk nivel •-■ {d (ca, 11 P h); d' (Ea'; 110x)) • „ ,,„ , P {Ph, un plan oarecare si F {_LH; II V;
)\ (fig. , 1.22). / )(,/,,r)
t 111
1) t /'
/' /
(' 7
a Fed
\H Ph N/
-1 0
1 0 Ian
N„ =) ( II
1( ) „.........,,,,......,4N,
Fig. 4.21
V
so 0 x P 10 N
d
H
Ny-d' i3 P
Fig. 4.22
0
Qv
Fig. 4.23
/ Ir ■ 11,1 f, //h////// ih. , ,1101 I IC 1114t1111 III' P, npni (1 ‘I eii met I eiltA dupli dIcapin 1)01, ) r 11th, I 1pm II 4 )111
10 in millnarila prop„ /1111 mAternmtler: A' • /Ndor
P. II - 111(rn,n1 ► P le .1” N (1,,rt . )
1). Ili tilit,i , a > 4/In N, (Propriottiton planclor proiconific).
11' I 1
It s
1:ig. 4.24
ih, 1 ,1,,,m1 •ontoorizontal. Se considers planul oarecare P{P„, P y ) yi 11. 1 1 I, • 11,V; .1.W; 110X) cu Qh Qv Ox, Conform figurii 4.2S sc Hum malice:
)
11 111(tn,n0
N(11,11')
• Hrt.i/1/11(frprq/i/. I Aland in considerare planul oarecare P {P h , P„,
); I, i I(Ox cu Q h , l Ox §i Q„ .1.0x prezentate in figura 4.26,
-I c1.11 11 mal•malice:
„tI 1 )(d ,d' ,d")
1', 11 Al(m,m',m- )
V - N(n,n',n")
6R (1.(Imo ►rir domertftv#
DOW 1) 1' 4i 1 4 1 'w
DOW
QY
m 10
Fig. 4.25
x 1MI. 0
Qh Py
Fig. 4.26
g) Intersecria cu planul axial Q. Considerand planul oarecare l'{l' h , 1),, 1),,) fi
I I 1 1 .1
10: rr
11 II,V, I Wl cu Q 1, Q (lig 4 2:71 se poi scale
N. tit' tl
1P N
6 11
,,t )
(), // /',
P. 1). (' (1.V
P to, du — )
sir% i,i( p•,m -0(0,m")) Q W *d
0,
P I)
Fig. 4.27
i I) „ ili4 IliOrehari recapitulative privind planul
I Ii I iistrelo ri recapitulative
plant!l in desenul tehnic? ea o dreaptit sit tie continutA de un plan?
Hid *II cptcle particulars ale planului? mit platlele pariictilare si care stint particularitAtile lor?
'chilly(' poi liven dotal plane? I• de sea mai more pant fatA de planul orizontal?
h.loseste la reprelentarea intersectiei a douA plane concurente?
iar D{M,N} - dreapta de profil.
h
Pz\ .
Nan' d'
P x
Fig. 4.28
1
4.6.2 Prot)leme re/Wyllie
1. Sli se determine proiectia verticald a punctului li din planul 1 1 (1'„ cunoscand proiectia orizontald h a punctului 11(h, h'), (lig.4.2K).
Rezolvare. Problema se rezolva cu ajutorul orizontalei D(d, d') a ediri pi oirilla orizontald se duce prin punctul b, paraleld la urma orizontald P h, respect v )11 l'„ sl ( ► )
Ox = n. Din punctul n se ridica o linie de ordine pe axa Ox pAnd Ia interscclin urma verticald P„ in punctul n' EN, din care se duce o paralela la axa'Ox si pc car', Ia intersectia cu linia de ordine ridicatd din punctul a pe axa Ox se gaseste protectlit verticals a' a punctului A.
Pv
1 Ott 11 1 111 111tt =111 1 1111
1 1 , 1,-111,./r111,11ra In rpurA din lig 5.1O se 111SC111/)111V1111(11 otirrenrc 4 ,s t vl punt till nnlrcnrr A(Ii, 11') in 1111111111 OriZ0111111 I I. III continuant),
mina In pillion ta awly di viol 1 prin preltingirea proircliilur vcrticnlc si nitalp Ow) la lairl4r) I lls t n Halide orizontal 11 si vertical V in punctele M(Iii, )
*Ili , Ilia_
Nan', d'
N, di
1 0
d
Ph
Fig. 4.29
10
2. Sa se determine proiectia orizontald be a dreptei BC(bc, b'c') situatA Iu
planul P(Ph, P„), find data proiectia verticald b'c' (fig. 4.29).
Rezolvare. Pentru rezolvarea problemei, pornim de la proiectia verticald h'i data si cloud drepte orizontale D(d,d') si D,(d,,d,') ale planului P. Proiec file vertical, (d') si (d,) ale orizontalelor planului se traseazd paralele cu axa Ox prin extremitill le proiectiei verticale b'c' si intalnesc urma verticaldr. P v a planului in punctele N n 11
N, =n,, din care se coboard cloud linii de ordine pe axa Ox, obtinandu-se punctelc 1111
n,. Din aceste puncte se duc proiectiile orizontale (d) si (d 1 ) ale dreptelor orizontalc I) si D,, paralele cu urma orizontald P h a planului P, iar din punctele b' c' ale proi eclirl verticale b'c' coboram cloua linii de ordine pand la intersectia cu proiectiile ori zont ale (d) si (d,) ale orizontalelor planului D si D,, obtinandu-se proiectia orizontald he n dreptei BC(bc, b'c').
3. Sa se determine urmele planului definit de o dreapta oarecare si un punct A(n,
'Hifi., 11111IVI pn III mei orizontale m cu proiectia orizontalit a punctului A sc abatti• ilium talrutilnli n planului P(I',„ 1),), iar prin unirea punctului P„ cu proiectia
pith 411- 11 'iv ',hone 111 . 11111 vertical5 a planului P(P h ,
' 1 . 1 tthlvnu propuse
1 - artnele planului detinit de an punct oarecare B(b, b') si *wpm rh000lo I ( I. 1' )
Na t (111.41wiliseti arincle planuluidetinit de un punct oarecare situat in
t tannl @fi le dent 1 1p 11X41 t
4 ('o•# trionive Pie unei (Irvine NIA de un !dint din si ► tlin npfuliti pi)alt• nvett ichltive mire de phin -
thlittla In t rarltnuln in !dim.
∎ fivapto 1 ■ 41glelA
“Ittlo r 1.11i Illt- 1111.1. 111111111111
► I It ....pin litto I ts14 In en tin plan
.i..,11, iei dotiA dreple stint paralela dactl
. / ti art p :fin .tynif in (beet este intrellela c u o eireapiel
I, exterior planului Q (fig. 4.3I) se duce o ,1 it , alum i la in pillion] ,A(a,a') so poate eonstrui un plan u.i opiu orizintnla s-au o dreaptA frontal/1 a planului, cu
..iu, est plan va li paralent cu planul Q si dcci paralelti si
n1 10
Qv n' (d')
(d)
1\4- in
b)
X
l )
Q„
Fig.4.3 I w in lame( A(a,a')sti se duce paralela (D) [(d), (&)}, la
cif dreapta D(d, d') este paralelti $i cu planul Q. 1.,. mention:11c, dacA prin puncuil A(a, a') se traseazti dreapta
aceasta fiind paralelti si cu planul H, este suficient lui tll. a') droapta D(d, d') paralelti cu planul Q, de undo rezultA el
(mom,' • deurove ••■•■•■• 72
plantil vertical $i o dreapin orizoniiila I )(d, ),
3. SA Sc reprezinte urmele planului P(1 1 „, I'd (10010 de trei puneic ticrol alias situate ate unul in liecare dintre cele trei plane I I, V $i W.
4. SA se determine urmele planului P(P h , P„) de tinit de o dreaptil de prof i I 7i Ito punt situat in planul vertical.
5. Sa se determine urmele unui planului P(P h, P„) definit de 0 orizontitla vl
dreapta de profil.
6. SA se determine urmele planului P(P h, definit de o dreapta frolititla vl u orizontala concurente.
7. SA se determine dace puntul A(a, a') apartine planului P(P h, Py).
8. Se da dreapta AB prin punctele A(20, 10, 15) $i B(10, 25, 15), cont mon in planul P( h, P„ PO. Se cer:
a) sa se reprezinte dreapta AB $i planul P in triedru $i in epurit; b) sa se determine tipul dreptei.
9. Se (14. dreapta CD prin punctele C(20, 30, 10) $i D(20, 15, 30), contintitA in planul P(P h, P, PO. Se cer:
a) sa se reprezinte dreapta CD $i planul P in triedru $i in epura; b) sa se determine tipul dreptei.
10. Se da dreapta EF prin punctele E(30, 15, 10) $i F(10, 15, 35), continua) in planul P(P h, P, PO. Se cer:
a) sa se reprezinte dreapta EF $i planul P in triedru $i in epura; b) sa se determine tipul dreptei.
Fig. 4.32
0
(f1)
4rit 1ti , 11%11 74
1 , c4111 1(41 lirS1( IIIIIIVR
proioctiile do acelasi tel lily dreptci d 11 Oti (Iii. 12) Se conbiderA 0 dreaptA de 11.0111 (F), plii Midst cu planul V. si [M11111011 1110 dr
planate de prciectie II yi W §i punctul MOIL )il ( ( I lg. 1 . 1). plica prin pnnrlul M nn
duce un plan P paralel cu dreapta (F), se poste aplica reciproca teoremei entintata anterior, potrivit cAreia: un plan din spatiu este paralel cu o dreaptA, dacA o dreaptA a planului este paralelA cu dreapta data. Yn acest caz se is o dreaptA (F 1 ), care trece prin M(m, m') si este paralelA cu dreapta de front (F). Pentru cA problema admite o infinitate de solutii, se alege arbitrar P„E0x, a astfel incat urma orizontalA Ph a planului P sA intalneasca proiectia orizontala (f1) a dreptei (F,) in h l , iar urma verticalA P, a planului sA fie paralelA cu dreapta (f ' 1 ), rezultand in acest caz cA planul P 11 (F).
(f1'
d'
III ^ xpt,l I Mil 1111114 t u pitmul
plc 1 n un Hon dill II/111111NC punk. rcalinl sub tin unglii oarccure 00 . 1
, bcopia 11111-1Nckicata planul , problema carc se pone 11111.1 ,c1 plain)), pr0t)Icnia Care se reduce Ia
1111 ■ ∎ ■ .1, 1.1 trit
I i I i i, .. 1 .h* 010 ul Ili A •u planul nub un unghl onrecure
0 1 .1, 11, pvcnbit prin urincle P h 4i 41 dreapta oarecare D(d, d'), 1141 1" 110.4 1 1 1 I', ,,i i i lcl , i11111111111111C1111 do intersectiedintre plan §i dreapta,
Ito tit 14 1111 1 .1•1 ■■ 1 .111,111111L
If I-I 'I,1 1 I perponilicular pc plant)! II, cu conditia ca DEQ(Qh, Qv) .1.. ,. 1 ,1., n I1 i 1 mil, tn ',Ode intersectie a celor dotdi plane. Dreptele D(d,
fi nun 4. ■ ri._11 In 1.11111111111(1 1111
V
x
II
Fig. 4 .35
I. , 0, II 1. ' )111(' 1)WICCili le verticalA Ia intersectia dreptelor D §i MN ()„ a planului ajutAtor.
n P( P,„ P,), rezulta CA 1(1, i')EIP(P h , PO A D(d, d')], find , :01110 Itcpwtentarea in eptira a intersectiei dreaptei D cu planul P
nuuiltilA nI Iip , nrn 4.15.
P h rourumita cu un plan din spat sub un unghi drept
(0
Fg. 4.33 rwillivintil it ■ freapt() este perpendtculara pe un plan daca este
Fig. 4.38
soinfole deler 76 ( iro ► elt Io dm:110v'
77
11111114 plan ()aware en drepte partieulare
40 frollpitiv. P (P h , PV) yi dreapta vertical/1 D(..L fl; II V; II W) (fig. it ittintailitaioti vim( mita de inlerseelie dintredreaptil si plan se reduce la intersectia
ol [mom It engin me ill/ea/11 metoda planelor auxiliare. Pentru a determina
) la an plan mix Om, planul de front F { J.11; 11 V; W} cu conditia ca
I1 P — A ( 11, ev )111r I) n A E(e, e') (fig. 4.38 a, b).
Aani,, h i11101 (in dintre o dreaptd de capdt cu un plan oarecare (fig.
1,, , ohm aux dim. se in un plan de nivel. Tot un plan de nivel se I determinaroa intersectiei dintre o dreapta de nivel cu un
f I Ili)Ifil
V
., ► 41- 4 planelor proiectante cu drepte oarecare Fig. 4.37 Fig. 4.36
Intel Nei (lei 'mei drepte oarecare cu un plan proiectant, nu presupune
411110con lilt oak I planclor auxiliare, aceasta fiiind posibilA si pe baza proprietAtii
Itrr tecila drvpirl oarecare cu un plan de nivel. Se considerd planul de nivel V W) ryi d•eapla oarecare D(d, d') ¢ N (fig. 4.41) si se cere sA
tudal M (lc Inlerseetie dintre dreapta D si planul de nivel N. Planui de nivel
NA le planul vertical V, punctul de intersectie dintre drepta D si planul M moo) truth pe planul vertical pe urma verticals a planului de nivel N,
I Mel), proloclin m' a punctului M pe planul vertical, se gaseste la
tiloc.{1n1 rn I Wilk. (I' a dreptei D, cu urma verticals N, tar proiectia orizontala pi orliontald d a dreptei D. DacA planul de nivel se considerA opac,
perpenclicularli pe cloud drepte concurente din plan [8]. Pornind de la acenstA 1)1(4)1101r*
pentru a construi dreapta perpendicularA D(d, d') pe planul oarecare P(P,„ ( lig 4 1O vl
4.37) se iau dreptele de nivel N(n, n') si frontalA F(f, f) concurente in punctul M(iii,in'),
astfel cA dreapta D este perpendicular/1 pe planul P in punctul M. Pc ham leornmel
unghiului drept, doareece DIN si NIIFI —4.din , tar cum nIIP, d Ph. Analog $
demonstreaza a D_LF. FatA de cele de mai sus se poate trage ormAtoaren conclude;
dreapta este perpendiculars pe un plan daca in epura proiecfule dreptel nor1 perpendiculare pe urmele de acela0 fel ale planului [8].
Ps,
N„ -- 6'
d' e'
X
1( )
e
d
b)
Fig. 4.39
I 11 411 , 111 . 1111 , 11) Seth plaint' vet heal It! lc
1„in L 1.1,111111 ..,1/..1.1111 II yi iltellialt (ntrocate D(I, 41') r$i me core sit
eap111 )1 plan ( 4.43). intrucht 4,,, dame di , v= ,,,,3„. 3,1,i It 14,11ml .(1 vunlnl I I, Mr 1111110111 M( atunci proiectia
• W1 hilt/ i 114 WIC *.t4 111; (IIIIIIV 1)111114(1d1101111110SIC silunla pc mina orizonialit
,,, li m p ( MI (III V COW iilA gasp. le pe proiectia verticalA d' OF 1 1 11/m111141 thcuplu it este VI/Jinni ill introgime, iar in plan vertical
++ penult care tlepArlarea 1 , 1,,nuini./.. q)()t eu o dreapta) oarecare, Se (IA plaint I de capAl
.1 ,,e erre sil deterniinAm punctul de intersectie M(Iii, , 4 I 1-1 II) I it 1111 eV(' pl anu l (,) eiSIO proiectant fatA de plaint! vertical V,
f , 11,1 ,..nealit In' a punctului do interseclic dintre plan si ,JA=, 0, a plimului de capAi Q, in timp ce proiectia
i(• ■ (1. t (1/11 ( 11/01111114 (I n drcaptei I). Dreapta I) (d, d') este vizibilA
iti Ai • lit 1. 1111 n ln 41CiiilUCCe planul de capAt Q(Qh- (1v) este proiectant fat!) tilt, al la, II, 1., , tie ttrizonlllla este vizibilA portiunea de dreapta pentru care
I hurt t r. lr,, rhmillul 1 It /•O/)I•il a dreapt4ourecare. Se dtt planul de profil P(P h , I )( , I. (I', 3' I si se core sti determinAm punctul M(m, m') de
tip vi , 11,liestpia lig. 4.45). I )coareece planul de profil este proiectant fatA 11 II 71 vrif ical V yi punctul MED, atunci proiectiile verticalA in' 41 16 to sF onNe I' III 1$11111 . 1e ore/timid/I Ph $i verticalA Pv, iar proiectia lateral!) ni" se
a di eptei l)rcapta D(d, d', d") este vizibilA in intregime in IIa tit loillooln 71 vii lu 11111 deoarece planul P este proiectant fatA de planele vertical 101 tat In int laleraIA este vizibilA portiunea de dreaptA pentru care x i,>x,,
(4 1 , 11irlt Ir t Irst
Fig. 4.41 Fig. 4.40
x x 0
Fig. 4.43 Fig. 4.42
I0
4.45
v
0
7g
,c4itilrli le il•nt I I'M% rl
dreapta I) este vizibilA in intreginie in pi ()lei lie veiticalk uu in 'autocue orizutittila este
vizihillt poi -Outten de dreaptit pentru care coma 1„
bfiniersectla planului de front cu o dreaptil °aware. Se (111 planu l de nivel It I.,,,
F„) si dreapta oarecare D(d, d') si se core sli se determine pundit' do intersectie M(iii, in' ),
dintre dreapta i plan(fig. (4.42). Planul frontal F este proiectant fats de planul orizontal
11, iar punctul M de intersectie dintre planul frontal F si dreapta oarecare D se protecten/t1
pe planul orizontal H. intrucat MED, proiectia m a punctului este situattt la intersectia
proiectiei orizontale d cu urma orizontalA a planului frontal F h , iar proiectia vertical!) In'
se gliseste pe proiectia vertical!) d' a dreptei D. In proiectie orizontal dreapla I), wile
vizibilA in intregime, iar in proiectie verticalA este vizibilA portiunea din dreaptit pentru ear@
departarea y D>y,.
NvES'ed' v' e'
d'
N„' m'
I 0
d
•
i0
m"
\I"
-x
icomriiir dem Ttivri
IN 111' I (Mli S(
l'It0111 , (1111,()Il
I grow, Mc
1. go' \ ,r, ■ 1 11(11k:A prol)lcinclor este tle Cele 111Ill ()I'l, ■ il ■ ti 1.koninctricc ale ;icestora la pozitii partictilare,
ICI ponoci 'dative it elementelor geowelrice din spitlitt 141 i-1111, 1,1,,,,, polite dupti dotal
m , 1,1 d. ',Hoc( pc, 1;isiiid pe Inc obiectul proieetat; Ifo,a111.1 nesehinthate planele de proiec(ic.
In imonme pot ti conerelizate prin trei nielode practice de Inert': 1,,,, ,( 11•1 pinnclorde proiectie;
,,h, .o, II I dmterti.
planelor de proiectie
1...I 1 , 1 ,- .4iptine mentinerea neschimbatA a pozitiei in spatiu a obiectului 1,.,,1iiei unuia sou suceesiv a ambelor plane de proiectie, V $i H. In
1 ,1,11C lor de proiectie se realizeazA in diedre de referintA, ad id so
1 , 1 , 111. 1.0 I I V. no ruck planul lateral poate Ii considerat ca $i schimbarc a
I, 'dont tk se polite real iza prin inlocuirea oricAruia dintre solo 11 un plan perpendicular pe planul neschimbat a$ezat in pozitie
„t,in ual teprezentat, pentru a usura rezolvarea problemei. In multe Linll ,u,Ii plan de proiectie nu duce la rezolvarea problemei, caz in care
de-al doilea plan $i, daca este nevoie, se repeta acest cicht 1. ■ LI .1 ilanbaren aceluias plan de proiectie. DacA schimbarea pozitiei
.1,, I ,. .11 ,, 14,1111 1 I cult $i pentru planul V, aceasta se realizeazA cu ajutorul .,tilt.
planului vertical de proiectie V, pentru un pane'
i ,,I,,,,i in diod,111 I al sistemului de proiectie H $i V(fig. 5.1). Se cere 4iiio:.,„ ,10,-, planolu, do pi.,,,-, lie vertical V cu on non plan V 1 Planul nou introdus
v,., , I int Al punctul A sAItMfillii tot in diedrul lieu, dach nu se core altfel. liotputit41.411m pe L iana! II ,ii w 111(eisecteazA cu acesta dupA o nouA axa 0,x,. Originca
. _ ,,, , . .11, -■ Iil in planul orizontal, in locul untie este proiectia orizontalA a 1 d ,,, ,. ,Ilval V I , sA ilibit originea 0, tot in dreapta lui, in caz eontrar se
I , .. 1, , ,,lharen planului V, rank neschimbate pozitia punctului A din 1, ,,..elacilea cola :II 1/1111C1tIlui $i proiectia a, care este identicA cu nowt
-1. , ■ 11 , 1 ,, i , ■ pll orizontah 11, a plinetului, putem construi noutiproiectie vertiett IA
4.7.7 Probleme rozolvato
I. Sc dIt plaint! oarecare 1)( P„, P y ) 4.46). So core sit Se drlr mint, dreapta A( A. 8'), de intersectie d intro planul P $i plant)] bisector 14,, in spurn ou doto plane de lank( tio
Rezolvare, Pentni rezolvarea problem' ducem plantil perpendicular R(R R, ) onto va intersectaplanul P(P h , Pv ) in punctele M(m, m')$i N(n, n'), iar dintr-un punctul A(ti, a' ), arbitrar ales pe axa Ox, ducem dreapta D(d, d'), situatA in planul bisector 11` 1 , ale eke' proiectii d $i d', pe planele de proiectie V $i H, sunt simetrice fatA de axa Ox. Determinam astfel, punctul B(b, b') de intersectie dintre dreapta D $i planul P, care de rapt, este nn pucnt al dreptei A. Prin punctele P„ $i B se poate duce astfel, dreapta A.
2. Se (la planul oarecare P(Ph, Pv) un pucnt B(b, b'), exterior planului ( I ig4 4 /) Se core sA se ducA din punctul B(b, b') o dreaptA A(8, 8') perpendicular?' pe pinnul P.
Fig. 4.46
Rezolvare. Se apeleazA pentru inceput la un plan perpendicular R(R,, R,). mil
intersecteazA planul P in punctele M(m, m') N(n, n'). Din proiectiile pv1(1111111 I\ t . respectiv m $i m' se due dreptele 81P„ $i obtinandu-se astfel, punctul Ctc, c' do intersectie dintre 1 $i planul P.
C ,
Fig. 5.1
X
a),
Fig. 5.2
(V)
[U)
Fig.5.3
(V)
(11)
Fig.5.4
1 r. .1, , tr
l' t 111111 1Ik l'11.J 11,( 1 1111 hi l l ,- d e to t 1 111k 11111 X it , 1 t. 11111',111.1111 111 '1 , 114111
I " k "I " 1 )1111 ' 1 ' 11M \ \
- 1. .11111 1 I 11111.1
■ • 1.1, 11141.1 III
0.1
irct r..1s . ,11111 , IC
. 4 . ,I, .4 Ilir 111,1
- rroirrr iritilt1111 11 , 111111h.11.1.
- /. rr • ■
\ 1014
II I al.
4 Itit 1., , 11,1 .011/.1111.0A
.*= him .1. ■■ 1,111 ■ 1 1.11.1111
04,11 I i" • ilt 111;1.,(1;10
4 pillit
OvIlrl t 111401('L
III 1 1 1 1 1 '•
I 1 I
III III( III,
af ma 11 ,
.1. 1 , 1 ■ ,I,
tom
1,.."1111 1tc,
f . irrr r rflj 111..1 1 ),
_rri ..irrr I Lio (le ..,„
...1.1
11 ,,,( 11 .. xi
, . . I , ..1,
1 .... . 1,11(11,1cl)
./ 1 .1.111111111 (le ... pull( 1111
1„ 1 .,
. a
II,
,I,,•,11 11
•
x
x
—I 0
(ierimcfrie devcripm.a R4 H5
5.2.2 Schimbarea planului vertical V, pentru un segment de dreaptri
La schimbarea planului de proiectie pentru un segment de dreapta (adica pentru cloud puncte) se ia ca exemplu segmentul de dreaptA AB (ab, a'b') (fig. 5.4), care trebuie trecut din sistemul (V/H) in sistemul (V 1 /H). Pentru aceasta, schimbAm pozitia planului V, pentru punctele A si B, prin care este dat segmentul de dreapth si unim, apoi proiectiile de acelasi nume ale punctelor. Dupd efectuarea schimbarii se poate observa cd in ambele sisteme segmentul AB este de pozitie generald.
In unele cazuri este util ca dreapta oarecare sA fie transformataintr-o dreaptaparaleld cu unul din planele de proiectie sau perpendiculard pe el. Pentru aceasta se considerd in sistemul (V/H) (fig. 5.5) segmentul de dreapta de pozitie generald AB (ab, a'b') si se cere sa se determine grafic marimea reald a acestuia. Determinarea marimii reale a segmentului de dreaptd presupune ca acesta sd se clues in pozitie paraleld cu unul din planele de proiectie.
In acest caz (fig. 5.5), se schimba planul vertical de proiectie V, proiectia orizontald rAmane neschimbatd si se pastreazd cotele punctelor. Noua axa de proiectie 0,x, trebuie Wei paralela cu proiectia orizontald ab a segmentului AB, constructia realizdndu-se astfel: se ia
axa 0 1x, conform indicatiei de mai sus; din proiectiile r=a, si bEb, se duc linii de ordine fats de noua axa; de la noile puncte ajutatoare a,„, si 1) 1 , se mascara pe liniile de
ordine respectiv z, A=zA Si z, B=z8 , obtinand astfel noile proiectii verticale a,' si b,'; unind
proiectiile a,' cu 1) 1 ' se obtine marimea reald a segmentului AB =
V —*V, z=z
a,x, ab
Se considerd planul oarecare Psi se cere schimbarea pozitiei planului vertical de pi (acetic V, pentru acest plan (fig.5.6). In acest caz se schimbA pozitia planului V, astfel ca noun axA sA aibA pozitia 0,x 1 . La schimbarea planului vertical de proiectie V, raman finch imbate planul orizontal de proiectie Hsi planul din spatiu P, respectiv urma Psi cotele punctelor planului. Astfel urma P, este in acelasi timp si noua urma orizontalA P, a planului.
Pentru a determina 1101111 urmd verticals P' 1 , .att necesare cloud puncte a lc urmei, unul din puncte esle P de intersectie dintre P, si axa 0 1x1 , iar al doi lea este punctul E, de Intersectie al celor trei plane P, V si V,. Proiectia e. a punctului E, se determind usor la x intcrsectia axelor Ox si tl „ iar proiectia e' este shoats pe urma P, punctul I. fiind singurul punct al unnei P„ care apartine si noii urme P iv . Construind proiectiile e l si el ' ale punctului dupA schimbarea pozitiei planului V, si prin P,,, si e l ' putem duce urma P,„ a planului.
5.2.4 Schimbarea planului orizontal de proiectie pentru un punct
ConsiderAm punctul A(a,a') reprezentat in epurA in figura 5.7 si se cere schimbarea planului orizontal de proiectie H. Schimbarea planului orizontal de proiectie H se face in asa fel m eat noua axA sA aibA pozitia 0 1x, (fig.5 .7). In acest caz, rsman neschimbate planul de proiectie vertical V si punctul din spatiu A(a,a'), deci, raman neschimbate proiectia a', care este identicA cu noua proiectie a l ' si depArtarea y a punctului. Pentru a determina noua proiectiei orizontald a,, se duce din a,' o linie de ordine la axa 0,x, si pe ea se mascara. in sens pozitiv, departarea y a punctului A(a,a'). Se obtine astfel, noua proiectie prizontalA a l . Punctu I A(a,a') s-a aflat in diedrul I, iar dupa schimbarea planului de proiectie orizontal H, a ramas tot in diedrul I.
SA considerAm acelasi caz, insA cu originea axei 0 1 situata. la extremetitatea opusa (fig. 5.8). Modul de rezolvare este acelasi ca si in cazul precedent, insA sensul pozitiv al , frptirtdrii se mascara de aceeasi parte a axei 0 1 x, cu proiectia a l ', deci punctul se gAseste in Iiodrul II.
b
Fig. 5.6
Fig.5.5
Sdvkdfpvkldfvklgbbgbgbggbgbgb
A
b
0
a Fig. 5.7
--6 a Fig. 5.8
87 I worm II 1. .1...wripliA Chromdtria descrlDflvd _86
poi itic generals en planul vertical dc proiectie este necesara schimbarea planului orizontal dc proiectie H. in acest sens, pentru atlarea unghiului r3 pe care-I face dreapta AB(ah, a • b' ( lig. 5. I 0), data in sistemul (V/H), cu plaint] vertical de proiectie V, trebuie adusa dreapta AB in pozi tie orizontala, trecand de la sistemul (V/H) la sistemul (V/H,), unde H, se is paralel cu All,
Fig.5.9
5.2.5 Schimbarea pozitiei planului de proiectie orizontal H fata de o dreapta
Se considera. dreapta AB(ab,a'b'), pentru care se schimba pozitia planului orizontal H in H,, astfel ca planul H 1 este perpendicular pe planul vertical V, iar la intersectia dintre
cele dour plane, H 1 si V se obtine axa 0 1 x 1 (fig. 5.9). Pentru schimbarea planului orizontal pentru o dreapta este sufficient sa schimbam pozitia planului pentru punctele A si B, prin care a fost data dreapta. Pentru aflarea msrimv adevarate a unghiului pe care-1 face o dreapta de
Fig. 5.10
5.2.6 Schimbarea pozitiei planului orizontal H, pentru un plan
Considerand planul orizontal Hsi planul oarecare P, conform figurii 5.11, schimbam pozitia planului H astfel incat noua axa sa fie 0 1 x 1 . Prin schimbarea pozitiei planului H, rAman neschimbate pozitia planelor V si Psi implicit pozitia urmei P,, si a departarilor y ale tut uror punctelor planului. In acest caz, urma P. este identica cu urma P 1 , , urmand sa dclerminam urma P, h . Pentru trasarea urmei P ih , trebuie gasite doua puncte ale acesteia: .1 ,d ICI, primul punct este la intersectia dintre P 1 , si axa 0 1 x, si este notat cu P,„, iar al doilea este punctul de intersectie dintre cele trei plane P, Hsi H, si este notat cu N. Proiectia n' a lui N, se gaseste la intersectia axelor Ox si 0,x,, iar proieetia n, este situata pe urma P I,. Punctul
b' =b
a'
x
KK ., vurrrJr •h'sv/'irlil'a cloortnttrie descr
in contmuarr, conhu nun pi oieetiilc n', si n, ale punetului N, iar prin si n, &teem no' P,„ a planului. AcetistA construclie se reduce practic Ia intcrsectia unui plan oarecare Cu tin plan de capAt R I I (lig. 5.12).
Urma P , ramane nemodificata, jar PvE Noua urnia orizontala a planului este dreapta HV de intersectie dintre planele Psi H, si care are proiectia h' v' i , situatit pe axa ),x,. in concluzie, orice punct de pe dreapta HV, spre exemplu punctul N, ne poate da
itnpreunA cu punctul P, % , urma P m a planului.
5.2.7 intrebari probleme privind schimbarea planelor de proiectie
5.2.7.1 Probleme rezolvate
1. Se da dreapta AB(ab, a'b'), iar din punctul C(c,c') exterior dreptei , sa se ducA o perpendiculara pe aceasta dreapta (fig. 5.13).
Rezolvare. Dreapta AB trebuie adusa in pozitie paralela cu unul din planele de proiectie apoi, conform teoremei proiectiei unghiului drept, se poate duce perpendiculara ecrutA. In acest sens, se schimba planul de proiectie orizontal H si se trece Ia sistemul (V/H,), astfel dreapta AB se transforms intr-o orizontala. Din punctul c, se duce perpendiculara pe
Fig. 5.13
N este singuruI pullet al urmei P„, care apartinc si no ii Inv „
Fig. 5.11
Fig. 5.12.
91 1 I volnetrle desil 90
obtinandu-se punctul k,. Apoi din punctul k„ se duce o lune de tndmc pc ixit 0 1 x ,, din
sistemul (V/H,), care intalneste proiectia verticalli in punctul k k,', din care se
duce an linic de ordine Ia axa Ox, din sistemul (V/H), punctul k, iar din acesta se poate construi proiectia orizontall a perpendicularei duse din C pc dreupta AB. ExistA in acest fel posibilitatea de a trasa perpendiculara CK(ck, c'k') la dreapta AB(ab, a'b').
2. Prin schimbarea planului de proiectie, ss se dues planul R de pozitie generals, in pozite de plan proiectant fat% de noul plan vertical de proiectie V, (fig. 5.14).
Rezolvare. Schimbarea planului vertical de proiectie presupune, ca noul plan V, sä fie perpendicular pe urma orizontale R„ a planului, deci 0 1x1 .1Rh. Intersectia urmei orizontale R„
cu noua axa de proiectie 0 1x1 , determina punctul Rd , pe unde va trece noua urmlverticala Pentni a determina directia acestei not urme verticale, este suficient sa se ia un punct oarecare at planului R, in sistemul initial (V/H) sAducem proiectiile acestui punctsi pe planul vertical V,. In acest sens se ia punctul M(m,m') de pe urma verticals, a carui noua proiectie verticals
este m 1 '. Unind pe Rx, cu m,' se traseaza urma verticals in sistemul (V 1/H), fatA de care
planul R este perpendicular pe planul vertical V 1 . In acest mod a fost determinat si unghiul a, pe care planul R it face cu planul orizontal de proiectie H.
3. SA se (Intel innic pe cule grafiell distanta de Ia punctul A(a,a') la planul 1<, plc% 11 si proiectiilo acestoi dimanie in sistemul initial (V/H), (lig. 5.15).
Rezolvare. Distanta de la un punct Ia un plan proiectant, apare in marline realA pe planul de proiectie fata de care planul este proiectant si proiectiile ei fac unghiuri de 90° en urmele de acelasi nume ale planului. Astfel, pentru rezolvarea acestei probleme, se transformA planul R in plan proiectant fat% de un nou plan vertical V 1 , adicti se repetA situatia de Ia problema precedentA. In continuare, se traseazA proiectiile punctului A(a,a') in sistemul (V/H) yi noul sistem (V 1 /H). Din punctul a 1 ', noua proiectie a punctului A fatA de sistemul (V,/H), se duce perpendiculara pe noua urma verticalA 12, 1 , obtinandu-se punctul b,', respectiv proiectia cclei de-a doua extremitate a distantei, de la punctul A(a,a') Ia planul R. Segementul a l ib i ' reprezintA chiar mArimea reala a distantei de la punctul A(a.a') la planul R, adica AB = a,'b,'. Pentru determinarea proiectiilor acestei distante in sistemul (V/H) se ;;tie ca, distanta se inasoarA pe perpendiculara la plan, iar aceastA perpendicular% are proiectiile perpendiculare pe urmele de acelasi nume ale planului. In acest sens, ducand linie de ordine din b 1 ' fata de axa O, x l , la intersectia cu perpendiculara dusa din aEa, la R h, se obtine proiectia orizontala Apoi, linia de ordine dusA din acest punct fata de axa Ox, la intersectia cu perpendiculara dusa din a' I dA proiectia b'. In acest caz find posibile trasarea proiectiilor distantei AB(ab,a'b').
4
Fig. 5.14
Fig. 5.15
zE 0 1 x,1 P, Plh
o, x
m'
Fig. 5.16
I-
I ieoniell le Ile,vcrIpl10 92
pripetidic huh pF flc to I 11 lit 041 41414 :11; 111111'. Po Ilnin do otilltio
proiectiile a2 yi b, suprapinw. Ile undo
4. Se dA un plan oarecare Psi se cere sA se determine 11111111 Hiltonliti11 l' ih . In situatia
schimbarii planului orizontal de proiectie H, (fig.5.16).
Rezolvare. Prin schimbarea planului orizontal de proiectie H, cu planul H I , urma
verticals Pentru a determina noua urma orizontala P, h, sunt necesare &ma puncte. Primul punct se obtine la intersec(ia dintre P,, si axa 0 1 x, si se noteaza cu P. Pentru a obtine eel de-al doilea punct luam, arbitrar, pe axa 0,x,, proiectia m', a unui punct M, al dreptei de intersectie dintre planele P si H 1 , iar cu ajutorul dreptei orizontale D a planului P, obtinem proiectia m. Construim in continuare proiectiile m' =m 1 ' si m,, ale punctului M, iar prin m 1 si P„ ducem urma P 11, a planului P.
Min 01 ),x, IVIVell(11C11111111 la dill*C11111)101e( (WI 111011111111 SIII) 11X11 ( )2x, diSlalltil )AI (th(incin roit11111 (I dreapta A 1 B 2(a2 13 2 , ii,b2 ') este o vert ten hi.
6. SA se determine adevArata fortnii si mArime a triunghiului ABC(abc, s'b'c'), (fig.
Rezolvare. Pentru a reduce numarul schimbarilor de plane, aducem triunghiul parallel
cti nu plan de proiectie si luam in planul triunghiului dreapta de nivel BD, pe care o transformAm, prin schimbarea planului vertical de proiectie V, in dreaptA de capat B
I D,. I )eoarece planul triunghiului are dreapta B,D,, perpendiculard pe planul vertical de proiectie
5. Se cid dreapta oarecare AB(ab, a'b') si se cere transformarea ei intr-o dreapta verticalA (fig. 5.17).
Rezolvare. Pentru rezolvarea problemei, primul pas constA in schimbarea planului vertical de proiectie V, care devine V 1 , astfel ca dreapta AB sa devina dreapta frontalA A 1 13 1 .
Schimbam apoi, planul orizontal de proiectie H, care devine H 2, astfel ca dreapta sä devina
Fig. 5.17
( icornrirur (1a,wrip(Iya 94
V, rezulta ca triunghiul ABC este perpendicular pe planul V, au oicutia verticalA tt,'b,'c,' a .
triunghiului este deformata dupe o dreapta. In continuare, sehimhnm planul orizontal de
proiectie H, aducandu-1 paralel cu planul triunghiului, astfel ca axa 0,x 2 vu Ii paralcIA cu
a2'b2'c 2 '. Noua proiectie orizontala a triunghiului a 2b2c2 ne da adevarata forma $i marime a
triunghiului ABC(abc, a'b'c').
Fig. 5.18
95 dv.r i !Ea_
7. SA se reprezinte a dreapta de pozitie generala, prin schimbarea plalICI01 du ploiecpe, in pozitie perpendicularA pc unul din planele de proiectie.
Rezolvare. Fie dreapta de pozitie generala AB(ab, a'b'), reprezentatA in epura in figura S 19. care prin schimbarea planelor de proiectie sa fie adusa in pozitie perpendiculars pe un non plan vertical de proiectie. Pentru aceasta, dreapta AB(ab, a'b') trebuie adusa in pozitie orizontala, sens in care, schimbAm mai intai planul orizontal H, cu planul orizontal 14,. Noua axil 0,x, se is paralelA cu proiectia verticals a'b' a dreptei AB(ab, a'b'). La reprezentarea proiectiei orizontale pe planul H 1, se va avea in vedere ca depArtArile din sistemul (V/H) se pAstreaza in noul sistem (V/H,) si ca departarea punctului B este negativA. Prin aceastA reprezentare dreapta AB(ab, a'b') a fost adusa in pozitie orizontalA.
Fig. 5.19
Pentru a doua schimbare de plan se va lua in locul planului V, un nou plan V, perpendicular pc dreapta AB(ab, a'b'), adicA noua axa 0 2x2 1 aib i . Ducand linia de ordine fatA de 0 2x2 din proiectiile a, -= a2 si=b2 si mdsurand din punctul ajutAtor a 2x2 = b2,a rota z, din al doilea sistem t, z2) se obtine astfel proiectia pe planul V, a dreptei AB in a 2' = b2 ' adicA un punet. Prin
ne este schimbari, dreapta AB(ab, a'b') in sistemul 0 2x2 este o dreaptA de capat, perpendicularA pc, !Annul de proiectie V,.
, mi .,' i Jr rril , n .1 96
5.2.7.2 Probleme propuse pentro rezolvare
1. SA se determine mArimea real; a dreptei AB(ab, a'b') (fig. 5.20).
2. SA se determine unghiul p pe care dreapta CD(cd, c'd') it face cu planul vertical de proiectie V (fig. 5.21).
3. SA se determine marimea reala a unghiului diedru a, format de planul P cu planul orizontal de proiec(ie H (fig. 5.22).
4. SA se determine distanta dintre planele paralele Psi Q, date prin urme (fig. 5.23).
5. SA se transforme planul oarecare P intr-un plan fronto-orizontal (fig. 5.24).
P„
10 x
\
\\ \
Ph Qh
Ph
a' Fig. 5.23
Fig. 5.24
(V) (H)
a
6. SA se determine distanta dintre planul oarecare Psi dreapta AB(ab, a'b')11 P (fig. 5.25).
7.SA se determine unghiurile a 3 pe le face un plan oarecare Q, dat
ri in urme, cu planele de proiectie Hsi V (fig. 5.26).
Fig. 5.20
Fig. 5.21
V
Fig. 5.25
Q„_
0
Ph
Fig. 5.22 Fig. 5.26
8 ' 11,, a'
A H
0
8
Fig. 5.28
(ieornetrip ilescriptiva 98
5.2.7.3 intrebitri recapitulative privind schinibarea planelar de proiectie
1.Cc pozitie ocupa noul plan de proiectie in raport cu planele de baza V si H: a) cand se schimba planul orizontal H? B) cand se schimba planul vertical V?
2. Ce pozitie este necesara sa se dea noului plan de proiectie pentru ca o dreapta de pozitie generals sa se proiecteze in marime reala?
3. In ce caz se poate determina marimea reala a unui triunghi printr-o singui schimbare de plan de proiectie?
4. in cc caz se poate proiecta o dreapta intr-un punct print•-o singura schimbare de plan de proiectie?
5. Cate schimbari de plane de proiectie stint necesare pentru a aduce o dreapta de pozitie generals ineat sa se proiecteze intr-un punct?
6. Cum trebuie asezate noile plane de proiectie astfel incat fi.gurile plane sa se proiecteze in linie dreapta?
7. In ce caz se poate proiecta in marime reala, duns o schimbare de plan de proiectie, unghiul plan a unui diedru oarecare?
5.3 Rotatia
Rotatia este metoda prin care se pot modifica pozitiile elementelor geometrice din spatiu, pentru a fi aduse in pozitii particulare fats de planele de proiectie, iar planele de proiectie rrunan nemodificate, In general rotatia se realizeaza in jurul unei drepte perpendiculare pe un plan de proiectie, numita si axa de rotatie, care poate fi o dreapta vertical& sau de capat. Daca axa de rotatie este o dreapta oarecare din spatiu, aceasta se aduce intr-o pozitie particulars prin schimbari succesive de plane.
Punctele aflate in rotatie, se rotesc in jurul axei de rotatie in plane perpendiculare pe aceasta si descriu cereuri cu centrele la intersectia dintre axa de rotatie si planul in care se rotesc, iar raza este egala cu distanta dintre punctul rotit la axa de rotatie. Punctele aflate pe axa de rotatie au raza egala cu zero, deci punctele coincid cu centrele de rotatie.
Penult rotirea unui punct sunt necesare urmatoarele elemente: axa de rotatie raza de rotatie si centrul de rotatie. Raza de rotatie este data de perpendiculara dusa din punct la axa de rotatie, iar piciorul perpndicularei este centrul de rotatie.
5.3.1 Rotatia punctului in jurul unei axe perpendiculare pe until dintre pianele de proiectie
Fie punctul A(a, a'), dat in reprezentare axonometrica (fig. 5.27) in sistemul (V/H) sit axa de rotatie 8'), perpendiculara pe planul orizontal de proiectie H. Se cere sa rotim punctul A(a, a') in sensul acelor de caesornic cu un unghiur oarecare a. Raza de rotatie este data de perpendiculara AC (aa', cc') dusa din punct la axa de rotatie iar cercul descris
91)
qteftlr.
V
Fig. 5.27
de punct in timpul rotatiei se afla intr-un plan de nivel H,, perpendicular pe axa de rotatie, rotatia find cunoscuta si sub numele de rotalie de nivel.
Deoarece, rotatiapunctului in jurul nxci perpendiculare pe planul de proiectie ve face intr-un plan de nivel, proiectiile orizontale a arcului descris de punct si a iinghiului de rotatie, se realizeaza manme cella. In acest suns, pe planul orizontal de
proiectie H, traiectoria punctului rotit cu iinghiul a, este un arc de cerc, iar in proiectie verticals, proiectia punctului se le p I aseaza pe urma verticals a planului dee
nivel H,, pe care se gaseste arcul de cerc descris de punct, cu centrul de rotatie in punctul C(c, c'). In dreapta si stanga el it mini de rotatie C(c, c') sunt proiectate
e t t cm itAtile arcului de cerc de unghi a, is de,tante egale cu raza R. Pozitia initiala a punctului A(a, a') si cea de-a doua A ,(a i , a,'), dau in epura (fig. 5.28), in proiectie orizontala
A l
V,
Fig.5.3 1
Gdottactrie de.s•ripliva 100
reprezentarea in mArime a devAratA a arcului de cerc, a razei aecstuta yin unglindui de rotatie a, jar in proiectie verticald, proiectiiel a' si a l ' se gAsesc pe urma verticalA a planului de nivel
I I,.
5.3.2 Rotatia punctului in jurul unei axe de capat
Se considers reprezengtarea axonometried a punctului A(a, a') EDI (diedrul 1) si A(6,
) i. V - axa de rotalie de capdt (fig. 5.29). La rota tia punctului A cu unghiul a, raza de rotatie este perpendiculara AC(ac, a'c'), dusa din punctul A(a, a') la axa 0(45,6'), iar piciorul
perpendicularei, punctul C(c, c'), este centrul de rotatie. Deoarece, rotatia punctului se face in jurul unei axe de capat, iar rniscarea punctului descrie un plan de front, arcul de cerc dupa care se miscA punctul, precum si unghiul de rota -tie a se proiecteaza pe planul vertical in marime
Fig. 5.29
adevAratd. Din acest motiv, aceasta rotatie este cunsocutd si sub denumirea de rotatie de front. Proiectia orizontala a traiectoriei de rotatie a punctului A(a, a') este paralela cu axa. Ox si se suprapune peste urma orizontald V,„ a planului de :front V I . La reprezentarea in epura (fig. 5.30), traiectoria proiectiei verticale a punctului este un arc de cerc care se roteste cu unghiul a, iar traiectoria proiectiei orizontale este perpendiculara pe axa de rotatie de capat 0(5, 8'), paraleld cu axa Ox si identica cu urma orizontala V,,, a planului de front V,.
I ;0, ultel•it' deVerlrIll
8
Fig. 5.30
5.3.4 Rotatia dreptei concurente cu %II (le rotatie
Fie dreapta AB(ab, a'b') si axa de 11 antic A(F), S')_1.H §i concurenta cu dreapta Alt in punctul B(b, b'), (fig. 6.32). Rotind III ea pta AB(ab, a' b ') in sens trigonometric cu unghiul a, punctele A si B se rotesc cu Neel* unghi a si ajung in pozitiile A, si B 1 . Punctul ce concurenta B(b, b') situat pe axa do rotatie A(8, 8') nu-si modified pozitia, in limpul rotatiei, astfel ca B(b, b') 1,,')
5.3.5 Rotatia dreptei prin metoda plei purtAtoare
Fie dreapta AB(ab, a'b') si axa de 1 1 1111tie A(8, 8 ' ) L H (fig. 5.33). Se cere, sa ' , tint dreapta AB prin metoda dreptei
latoare. Dreaptapurtatoare este perpendiculara comuna dintre dreapta data si axa de rotalie. Deoarece A(8, 8')1 H, rezultd ca dreapata purtatoare MN(mn, m'n') este o dreapta
de nivel si conform teoremei unghiului drept, in proiectie orizontala mn J_ ab. Dupd rotatia di optci purtAtoare in sensul acelor de ceasornic cu unghiul a, noua pozitie orizontala a acesteia wile 111,n, a l b,. Rotind dreapta AB cu unghiul a, in acelasi sens cu dreapta purtatoare si stiind
5.3.3 Rotatia dretptei in jurul unuel axe verticale
Rotalia dreptei, se reduce practic In rotatia a doua puncte (care de fapt detennind pozitia unei drepte) si apoi la unirea proiectiilor de acelasi fel ale punctelor.
Fie dreapta AB(ab, a'b'), rcprezentata in epura in figura 5.31, care It (Thule rotita in jurul axei verticale A(8,8') Cu unghi oarecare a. Rotind dreapta AB in sens antiorar cu unghiul a, punctul A ajunge in punctul A,, iar B in 11,, iar proiectiile for pe planul orizontal H mutt a respectiv a, si b respectiv b,, iar pe planul vertical V suet a' respectiv a,' 5i b' respectiv b
Fig. 5.32
Fig. 5.33
irom etrit .
eA na n,a, si nh - n,h,, reztiltA proiectia orizotitalAI 111.11 a (friar' AIt dupA rotatie. Proieeti le
verticale a,' si h,' se obtin la intersectia liniilor de ordine duse din a, si b, si cele duse din punctele a' si b', determinand astfel, proiectia verticals a l 'b,' a dreptei AB.
ief deS•riplir4
5.3.6 Rotatla plan u lul
A roti un plan inseamna a roti elementele care-I determine, adicA douA drepte parale le sau concurente, trei puncte necoliniare, respectiv o dreapt6 si un punct exterior dreptei.
Fie planul oarecare P, dat prin urmele P h si si axa dxe rotatie A(8, 8'), perpendicularA pe planul Hsi cuprunsA in planul vertical de proiectie V (fig. 5.34) si se cere sA rotim planul P(Ph, Pv) in sens trigonometric cu unghiul oarecare cc.
DacA urma verticals P„ si axa de rotatie A =48', sunt concurente intr-un punct oarecare A(a, a'), atunci punctul de concurentA este identic cu punctul de rotatie (propriul salt rotit), indiferent de pozitia in care va fi adus planul. Astfel, pentru a roti planul cu un unghi oarecare a, este suficient ss rotim cu acest unghi o dreapta a planului. In cazul de fats, cel mai indicat este sa rotim cu unghiul 1x , urma orizontalA Ph a planului.
Utilizand metoda dreptei purtatoare (perpendiculara comunA dintre axa de rotatie si urma orizontala Ph), prin rotirea urmei orizontale P h cu unghiul et, aceasta ajunge in pozitia P, h, intresctand axa Ox in punctul P 1( . intrucat acest punct apartine si urmei verticale a planului, unindu-I cu punctul de intresectie A a a', se obtin noua urma verticals P iv, a planului rotit.
Deoarece, and planul este dat prin urme, axa de rotatie nu poate fi luatA intodeauna intr-unul din planele de proiectie, vom trata incontinuare o problemA cu un caracter mai mare de generalizare.
Astfel, fie planul Q, dat prin urmele Q,, si si axa de rotatie A(8, 8') perpendiculara pe planul orizontal de proiectie H (fig. 5.35) si se cere sA rotim planul Q(Q h, Q„) in sens trigonometric cu unghiul oarecare
Pentru a rezolva aceastA problemA, rotim prin metoda dreptei purtAtoare, urma orizontalA Qh §i o orizontalA D(d, d') a planului Q(Q h, Q,), care, pentru simplificarea constructiei, o considerAm concurente cu axa A(8,8') in punctul E(e, e'). Astfel, rotind urma orizontalA Qh cu unghiul 1x , aceasta ajunge in pozitia P, h, intersectand axa Ox in punctul P,, 1 . Nan' a trasa urma verticalA a planului Q„, trebuie sA determinAm douA puncte ale ei. Unul dintre puncte este P I x, iar cel de-al doilea se determind prin rotirea orizontalei D(d, d') panA in pozitia D I (d„ care este tot o orizontalA, a planului rotit.
Punctul E(e, e') de intersectie a orizontalei D(d, d') cu axa de rotatie A(8, 8'), find, dcci, pe axa de rotatie, rezultA eFE- e l si e' a e l '. Prin urmare, dui:4 rotatie, proiectia d, trece prin r, 4i este paralela cu urma Qih, iar proiectia d,' trece prin e l ' si este paralelA cu axa Ox, suprapunandu-se peste proiectia vertical/ d', respectiv,punctul m ajunge in pozitia m l . Astfel, prin punctele 131„ si m,' se traseaza urma verticalA Q, , a planului rotit.
5.3.7 Probleme §i intrebari privind metoda rotatiei
5.3.7.1 Probleme rezolvate
1. SA se determine marimea adevAratA a triunghiului ABC(abc, a'b'c') (fig. 5.36).
Rezolvare. Se poate observa cA, planul triunghiului este un plan proiectant fall de lrinnul H, asa ca pentru rezolvarea problemei find necesara o rotatie de nivel in jurul axei de I illaile 1 161)1 (!), 6'), concurenta cu triunghiul ABC in punctul C(c, c') perpendiculatt pe planul III. ,(
Geometrie desert ava
Ph
Fig. 5.34
Fig. 5.35
104 105 ieemetrte descriptivel
Fig. 5.36
§i proiectie H. Astfel, planul triunghiului trebuie adus paralel cu planul vertical V, deci noua proiectie orizontalA a lui trebuie sa fie paralela cu axa Ox, rezultand in acest caz unghiul de rotatie. Stiind cA, punctul C(c, c') a C (c ,c 1 1), iar punctele A(a, a') si B(b, b') dupA rotatie ajung in A,(a,, a t ') si respectiv unind noile puncte cu linie intrerupta, rezultA in proiectie verticalA adevArata mArime a triunghiului A,B I C I = ai 'b i 'c i l.
2. SA se afle unghiul a pe care triunghiul de pozitie generala ABC(abc, a'b'c') it face cu planul vertical de proiectie V (fig. 5.37).
Rezolvare. Pentru rezolvarea problemei, triunghiul trebuie adus in pozitie de plan la iectant, fata de planul orizon tal de proiectie H, executandu-se o rotatie de front. Fie axa de olatie A(8, 8') concurentA cu triunghiul in punctul A(a, a') si perpendiculath pe planul vertical
V Pentru a determina unghiul a cu care trebuie rotite punctele B $i C se foloseste frontala F(f, I' I a triunghiului, dusa prin punctul A(a, a'). Frontala F(f, f ), adusA in pozitie verticalA, determina unghiul de rotatie a, unghi cu care se rotesc varfurile B si C, obtindu-se noua pozitie a triunghiului A,B,C,(a,b ic„ trasatA cu linie intreuptA. Proiectia orizontala a Ii ninghiului A IB,C, find complet deformath, adica in linie dreaptA, formeaza cu axa Ox unghiul p, unghi pe care-I face planul triunghiului cu planul vertical V.
( ( 1C.SC ripli Va
Fig. 5.37
3. SA se determine unghiul a pe care planul P, dat prin urmele P h §i 13, it face cu planul H (fig.
5.38).
Rezolvare. Pentru rezolvarea problemei, se execute o rotatie de nivel in jurul axei 0(8, 8'), perpendicularA pe planul H, cuprinsA in planul vertical V. ObservAm cA, punctul A(a, a') de intersectie dintre urma verticalA P, si axa de rotatie A(S, 8'), este identic cu punctul de rotire a planului P(Ph, Py), sens in care se roteste urma orizontala Ph, panA ajunge 'intr-una dintre cele douA pozitii posibile. Folosind metoda dreptei purtatoare, urma orizontalA ajunge in noua pozitie,13 1,,, care intersecteaza axa Ox in punctul P 1 Unind acest punct, cu punctul A(a, a') de rotire a planului P, se obtine noua urma verticals P 1 ,„ iar unghiul pe care-! face aceasta urma cu axa Ox este unghiul care-1 face planul P(P h, Py) cu planul H.
4. Se dA planul oarecare P(P h, si se cere, trasformarea acestuia intr-un plan de capat (fig. 5.39).
Rezolvare. Consideram axa de rotatie A(8, 8') .LH si rotim planul P(P h, prin metoda dreptei purtAtoare, panA in pozitia P, h, unde 13 11, L Ox. Pentru a trasa noua urmh verticals P ly, pe Tangs punctul P 1 „ = Pih nOX , mai avem nevoie de incA un punct.
I07 „ I metric th.scriptiva
Peonu ti col Ile n1114,110,1 punct, consider/1m dreapla de nivel 1)(d, (naplamiltii, pc care o rotim impictitin cu p6uwl P , care devine, in urma rotirii, dream(' de capat, I),, (mile (1, t Ox, iar d,' se proicelentli pc planul vertical complet defonnat, intr -un pullet.
Fig. 5.38
Fig. 5.39
( nester' 1t1 OH
('el de-al doilea punct v,', se Wiseste la interseetia dreptei de capdt D i (d,, (1 1 ') cu pi oteetia
verticald d,' a drepetei nivel D(d, d'). Trasam urma verticald P 1 , a planului rotit, intro punctele.
P,„ si v 1 '. Planul P(P, h, P 1 ,) este un plan de capat, deoarece urma orizontald P,„1. Ox, iar urma
vertical& P 1 , este inclinata fata de axa Ox cu unhgiul a, determinand adevdrata mdrime a
unghiului diedru format intre planul P(P h, si planul orizontal de proiectie H.
5. Se a planul oarecare P(P h, P„) si se cere sd determindm adevarata mdrime a unghiului diedru, format de planul P cu planul vertical de proiectie V (fig. 5.40).
Rezolvare. Consideram axa de rotatie A(8, 8') 1 V, in jurul careia rotim planul
oarecare P(Ph, pand ajunge perpendicular pe planul vertical V, obtinandu-se noua urma
verticald Dupd cum se poate observa, P„' 1 Ox = P, x, iar noua urma orizontald P ll, trece
prin punctele P,„ si a = al , care este proiectia punctului A(a, a'), de intersectie dintre urma Ph
Cu axa A. Unghiul a, format de urma verticald P15 a planului P Piv) cu axa Ox, reprezinta
adevarata marime a unghiului diedru, format de planul oarecare P(P h, P„) cu planul vertical de
proiectie V.
Fig. 5.40
6. Se dd planul oarecare P(P h, si se cere transformarea acestuia prin rotatie intr-un
plan de nivel (fig. 5.41).
1 09 le deseripti
Rezo/vwv inohlemei sunt nocesare doll& rotaiii, prima I II 1111111 aim axe verticals, tar n (limn ni im 111 inlet axe de capat. in acest suns, pentru prima mimic, halm axa verticald de rotatie A( 8, ) in planul vertical V, si rotim planul oarecare P(P h, pfind ajunge in pozitia planului de eaptit P l (P ih , P 1 ,), unde P151 Ox, iar urma verticald P ly trece prin punctele P ix si n a n, de interseclie dintre axa de rotatie A si urma verticald P,. incontinuare, rotim planul de capAt P,(P 1h, P h) in jurul axei de capdt F(y, y'), pand ajunge in pozitia planului de nivel P2(P2h, P„), unde urma P2h Ox. Deoarece planul P2(P2h, P2v) este perpendicular pe planul vertical V si paralel cu planul orizontal H, rezultd ca acesta, este un plan de nivel.
Fig. 6.41
7. Se dd dreapta oarecare AB(ab, a'b'), si se cere transformarea ei in dreapta de capat ( lig. 5.42).
Rezolvare. Transformarea dreptei oarecare AB(ab, a'b') in dreapta de cap .& necesita (loud rotatii consecutive, prima rotatie se realizeazd in jurul unei axe de canal, iar a doua in jurul unei axe verticale. In primul caz, rotim dreapa AB in jurul axei de capat F(y, 'y') cu unghiul a, transforrnand-o in dreapta orizontald A,B 1 (a,,b 1 , a i 'b,'), unde a i 'b,' Ox. Se considerd apoi, axa de rotatie verticald 6(8, 8') si se roteste dreapa A,B 1 (ai b i , a l 'b i ') cu unghiul 13, transforrndrid-o in dreapa de capat A 2B2(a2b2, a2'b2 '), unde proiectia orizontald. a 2b2 J_ Ox, iar proiectia verticald este complet deformatd, intr-un punct, respectiv a 2 ' E b2.
8. Sd se determine distanta dintre cloud plane paralele P(P h, P,) si Q(Qh, Q,), date prin
Geometric descriptiv:i
' -= a b' (V) P
(H)
V
N=n'
P lh
Fig. 5.43
M C= "1 1 P ix
I Pk
;e0Illefrit
2
'
(V) 0
Fig. 5.42
urme in figura 5.43.
Rezolvare. Distanla dintre doua plane apare in marime real atunci and planele sunt
proiectante. In cazul de fats, pentru a aduce cele doud plane in pozitie de plane proiectante, se
pot utiliza oricare dintre cele cloud rotatii (de front sau
:-." Q.
de nivel).
Fie, de exemplu, rotalia de front in jurul axei A(8 rinsa in plannul orizontal , 8'), cup
de proiectie H, care intersecteaza urmele orizontale Ph si Qh in punctele A(a, a') respectiv B(b,
b'). Folosind metoda dreptei purtAtoare, punctele de concurentd M E:- m'si N ...= n' cu urmele
verticale P y si Q„„ ajungprin rotatie in M, .---- m, ---, m,' .--1, Pix §i respectiv N, r--- n, 7.= 111' de rotatie,
Prin
punctele rotite se traseazd noile urme verticale P,,, si Q1 „, perp endiculare pe raz a
adica axa Ox. Unind apoi, punctele Pi. E M, si Q,„ .,-)N, cu punctele A F-= a si reespectiv B a b,
fata
rezulta noile urme orizontale P I, si Qm• Distanta d dintre cele doud plane P si Q de planul
H se mdsoard pe perpendiculara comuna dintre noile urine orizontale Plh si
5.3.7.2 Probleme propose pentru rezolvare
1. Sh se determine unghiul dintre dreapta AB(ab, a'b') si planul H (fig. 5.44).
2. SA se determine distanta dintre dreptele AB(ab, a'b') si CD(cd, c'd') (fig.5.45).
3. Sd se transforme prin rotatie, planul de pozitie generald P(Ph, Pv) intr-un plan proiectant fats de planul H (fig. 5.46).
4. Sh se determine distanta dintre planele paralele Psi Q (fig. 5.47).
5. S'a se roteasch. dreptele AB(ab, a'b') si CD(cd, c'd'), concurente pe axa A(8, 8') in punctul M(m, m'), in jurul axei A, in acelasi sens, cu unghiurile egale, pang cand proiectiile lor verticale vor fi identice (fig. 5.48).
6. SA se transforme dreapta oarecare AB(ab, a'b') (fig. 5,49), intr-o dreapta de capat.
7. SA se aduch prin rotatie punctul M(m, m'), din diedrul I, in planul oarecare dal prig urme (fig. 5.50).
(H)
a
Qlh•
b.' '
b 1
0
I 0
AE
P in 8
Fig. 5.43
Geometric ikscriptivil
I 0101'1C de \ Cl'ir/11'11
IY
Fig. 5.42
urine in figura 5.43.
Rezolvare. Distanta dintre data plane apare in marime reala atunci cand planele sunt
fats.,pentru a aduce cele doua plane in pozitie de plane proiectante, se proiectante. In cazul de fat pot utilize oricare dintre cele doua rotatii (de front sau de nivel).
Fie, de exernplu, rotatia de front in jurul axei 8' ), cuprinsa in plannul orizontal
de proiectie H, care intersecteaza urmele orizontale Ph si Qh in punctele A(a, a') respectiv B(b,
b'). Folosind metoda dreptei purtatoare, punctele de concurenta M N N n, = n,'
n' cu u Q,
rme Prin le
verticaleP, ajung prin rotatie in M 1 a mi Pix si respectiv , = . pe raze de rotatie,
punctele route se traseaza noile urme verticale P„ s Ni Q, perpendiculare
A = a si reespetiv B = adica axa Ox. Unind apoi, punctele P fa a M1 §i = I cu punctele c b,
rezulta noile urine orizontale P„ si Q. Distanta d dintre cele doua plane P si Q ta de planul
H se masoara pe perpendiculara comuna dintre noile urme orizontale P
lh si Q -Ih•
5.3.7.2 Probleme propuse pentru rezolvare
1. Sa se determine unghiul dintre dreapta AB(ab, a'b') si planul H (fig. 5.44).
2. Sa se determine distanta dintre dreptele AB(ab, a'b') si CD(cd, c'd') (fig.5.45).
3. Sa se transforme prin rotatie, planul de pozitie generals P(Ph, Pv) intr-un plan proiectant fats de planul H (fig. 5.46).
4. Sa se determine distanta dintre planele paralele Psi Q (fig. 5.47).
5. Sa se roteasca dreptele AB(ab, a'b') si CD(cd, c'd'), concurente pe axa 8') in punctul M(m, m'), in jurul axei 4,, in acelasi sens, cu unghiurile egale, pana cand proiectiile for vcrticale vor fi identice (fig. 5,48).
6. Sä se transforme dreapta oarecare AB(ab, a'h') (fig. 5.49), intr-o dreapta de capat.
7. Sa se aduca prin rotatie punctul M(m, m'), din diedrul I, in planul oarecare dat prin urine (fig. 5.50).
, o
X —
Fig. 5.48 Fig. 5.49
Iconietrie de,veriptiva I
8. Sit se transforme prin rotatie dreapta oarecare AB(ab, a'b'), Intr-o dolor' perpendiculara pe planul orizontal de proiectie H (fig. 5.51).
a'
b '
( dr.%rrlpli rri
10
Fig. 5.44
Fig. 5.45
\ \ --1 0 x
\ \ \ x
-1 o \ \ \ \ \ \
,o' Qh ' h
Fig. 5.47
X
Fig. 5.46
X
Fig. 5.50
Fig. 5.51
icometrie (kscriptiva 1 14
5.3.7.3 intrebari privind metoda rotatiei
1. Pe care dintre planele de proiectie se proiecteaze in mArime adevarata unghiul de rotatie, in cazul: a) rotatiei in jurul axei verticale; b) rotatiei in jurul unei axe perpendiculare pe
planul vertical de proiectie V?
2. In ce plan proiectant se deplaseaza punctul, child se roteste in jnurul: a) unei axe orizontale; b) unei axe frontale?
3. Pe care plan de proiectie trebuie sa fie perpendiculars axa de rotatie, pentru ca prin rotatie o dreapta se fie adush: a) in pozitie de frontala; b) in pozitie de orizontala?
4. Prin cite rotatii poate fi adush o dreapta de pozitie generals, perpendiculars pe unul dintre planele de proiectie?
5. De cite rotatii are nevoie orizontala pentru a fi adus perpendicularh pe planul vertical de proiectie?
6. Cum se poate aduce un plan de pozitie generalk dat prin trei puncte, in pozitie de: a) proiectant fatA de planul H; b) proiectant fats de planul V?
7. Cum trebuie rotit planul de pozitie generala, dat prin urme, pentru a ajunge paralel cu planul H?
8. Ce dreapth trebuie luatA ca axa de rotatie pentru ca planul unei figuri sa fie adus parallel cu planul V?
9. Cum se poate transforma o dreaptA oarecare intr-o dreapta fronto-orizontala?
5.4 Rabatarea
Rabaterea, consth in rotatia planului din spatiu, pans se suprapune peste un plan de proiectie, sau peste un plan paralel cu un plan de proiectie.
Planul rabatut, cat si elementele geometrice rabatute Math cu planul, nu mai sunt reprezentate prin proiectiile for pe planele de proiectie, ci in adevarata for marime, find notate
cu litere majuscule barate (ex. A,B ). Prin rabatare, se obtin reprezentari ale unghiurilor,
lungimilor sau suprafetelor in adevarata for marime Axa de rabatare este determinate, intodeauna, de dreapta de intersectie dintre planul
care se rabate cu planul pe care se rabate. Astfel, dach rabatarea se face pe un plan de proiectie, axa de rabatare este urma respectivA a planului din spatiu, iar dace rabatarea se face pe un plan de nivel, sau de front, axa de rabatare este, o orizontala sau o frontalA a planului.
Rabatarea reprezinth de fapt, o rotatie particularA a planului si, spre deosebire de metoda rotatiei, la care axele au fost perpendiculare pe un plan de proiectie, la rabatere acestea sunt continute in/ sau paralele cu planul de proiectie.
Efectuarea unei rabateri presupune existenta urmAtoarelor elemente:
I l 5
- axa dv rahahu. ..11, dreapta de inlerwelic dintre plant!l care me mimic vi planul pe care se inhale. - central de rali,thire, - directia de rabatare, care este intodeauna perpendicularA pe axa de rabatare; - raza de rabatare, care este o distantA in mArime adevAratA. Operatia inverse rabaterii, adicA readucerea planului rabAtut in pozitia initialA din spatiu
poartA numele de ridicarea rabaterii. Cu ajutorul rabaterii si al ridicdrii rabaterii se pot inlocui uncle constructii geometrice dificile, care ar trebui executate in epurA, in cele douh proiectii, cu constructii simple de geometric planA.
5.4.1 Rabaterea planului oarecare pe planul orizontal de proiectie H
Fie planul oarecare P(P h, pe care-I rabatem pe planul orizontal de proiectie H (fig. 5.52).
Pentru a rabata planul oarecare P este suficient sä rabatem urmele P h si ale planului. Deoarece, rabaterea se face pe planul orizontal de proiectie H, axa de rotatie este urma
orizontala Ph, care este identica cu rabaterea, P, . Pentru a rabate urma verticals Pv, este
suficient sa rabatem cloud puncte ce apartin acesteia. Primul punct este P x , care find situat pe axa de rabatere, este identic cu rabaterea lui, P
, , iar cel de-al doilea este punctul v', !.fiat arbitrar pe urma verticald.
Pentru a rabate punctul ducem din proiectia orizontald v, directia de rabatare perpendiculard pe axa de rabatere si din P„, ca centru de rabatere, cu raza R = descriem
0
Fig. 5.52
lICOMCITIV f4FNLTI IIVI4
(woman', descriptiva
tin are de cerc, care la intersectia en direclia de rabatere, Jima din V, se obtine rnhalereu V a
punctului V. Prin P $i V ducem rabaterea P a urmei P,. Am obtinut, astfel, suprapunerea
planului oarecare P(Ph, Pv), peste planul orizontal de proiectie H. In concluzie, toate dreptele sau figurile geometrice continute intr-un plan oarecare, se obtin in adevarata for forma $i
marime, in planul rabatut. Deci $i unghiul a , format de urmele Ph §i P., ale planului rabatut,
este adevarata forma $i marime a unghiului a, cuprins intre urmele P h $i Pv $i a carui proiectii,
in epura, sunt a, $i
Rabat/tin wino ill I en direclia de plow( punctul v, proiectin
punctul V . Prin //
urmei P. Astfel, s-a planul P.
planul orizontal, prin trasarea until arc do core, cave In intersectia tau , duvn din
kit V pc planul orizontal, perpendicular/I pe axa de rabatare, se (+tine
4i V trasam rabatarea D a dreptei D, iar prin V rabatarea Ph a obtinut prin rabatare, adevarata marime a dreptei D pozitia acesteia in
5.4.2 Rabaterea planului oarecare pe planul vertical de proiectie V
Se cla planul oarecare P(P h, $i se cere rabatarea lui pe planul vertical de proiectie
V (fig. 5.53). Considerand ca axa de rabatare, este urma verticalk rezultA ca P„ = P,, , iar
Px = P X deoarece punctul este situat pe axa de rabatare, Pentru a trasa urma orizontala
rabatuta pe planul vertical, trebuie sa rabatem Inca un punct al urmei Ph. Astfel, considerand
punctul Hash pe urma orizontala P h, a carui proiectie pe planul vertical este h', din care se duce direclia de rabatare, perpendiculard pe axa de rabatare. Din P„ ca centru, cu raza R = P xh,
descriem un arc de cerc, $i la intersectia cu direclia de rabatare se obtine rabaterea H , a
punctului H, pe planul vertical V. Prin /3, $i H se traseaza urma Ph a planului rabatut (-P), peste planul vertical V. S-a obtinut, astfel, suprapunerea planului oarecare P din spatiu, peste planul de proiectie vertical V. S-a obtinut, de asemenea, proiectia in adevarata marime a unhiului a, format de urmele Ph $i Pv .
(P) P,
/ N
Fie planul oarecare P (P h, PO $i o dreapta oarecare D(d, d') a planului (fig. 5.54). Se cere sa rabatem dreapta D $i planul P, peste planul
(V) Px
orizontal de proiectie H. Considerand
(H) ca axa de rabatare este urma orizontala
Ph. rezulta ca Ph a Ph
P„ a . Pentru ra abatat dreapta D
este suficient sa rabatam cloud puncte ale acesteia. Fie acestea, puncte be
H= Ph n D V= P F D. Fig. 5.53
( P )
Fig. 5.54
5.4.4 Rabatarea dreptei de nivel a planului
Fie planul oarecare P(Ph, Pv) $i dreapta de nivel D(d, d') a planului (fig. 5.55). Se cere sa rabatem dreapta de nivel D planul P, pe planul orizontal de proiectie H. Considerand ca
axa de rabatare este urma orizontala P h a planului P, rezulta ca Ph = Ph Px = Px . Dreapta de nivel este paralela cu urma orizontala P h a planului P, deci , dupd rabatare va fi paralela $i cu Ph a Ph . Astfel, pentru a rabata dreapta D, este suficient sA rabatam un punct al ei. Consideram, ca acest linnet este v' E VER„ trasam un arc de cerc egal cu raza Py, care la intersectia cu direclia de
rabatare, dusa din vEOx, rezulta punctul V , rabaterea punctului V pe planul orizontal H. Din
punctul V ducem DIIPh , tar prin Px $i V trasam urma rabatuta Pv . Am obtinut, astfel, rabatarea dreptei de nivel D E P $i a planului oarecare P(P h, P,) pe planul orizontal H.
uNivrASITATEA "1 D(CEMBRIE 1918" AI .RA
5.4.3 Rabatarea unei drepte oarecare a planului
h
-{ 0
x (V) (H) px
Fig. 5.55
Pv (P)
Geometric, (kJ:L.1ply Iva II n I I' ( momerrit. arse ripura
5.4.5 Hobo I al CO III C plrf fr011inIC II planului
Fir planul osirrr are P( P h , Pv ) i dreapta D(d, d') a planului ( fig. 5.56), Se rem sti rabatem dreapta Ii rntald I) si planul oarecare P, pe planul orizontal de proiectie I I. Sr tic
dreapta frontalA D este paralela cu urma verticald P„a planului P, deci, dupA rabatare, D va fi
paralelA si cu P„, , rabaterea urmei verticale P v a planului P, pe planul orizontal de proiectie I I.
Prin unnare, pentru a rabata dreapta frontalA D, pe planul orizontal de proiec(ei H, este suficient sA rabatem un singur punct al dreptei. Fie punctul HEh E D, care fund situat pe axa de rabatare,
avem H = H . Procedand ca Si in cazul precedent, trasam rabaterea P, a urmei verticale Pv
pe planul orizontal H, iar din H = H h ducem rabaterea dreptei forntale D P,, .
5.4.6 Rabatarea punctelor planului oarecare, prin metoda dreptelor
5.4.6.1 Rabatarea punctului planului oarecare, prin metoda dreptei oarecare
Fie planul oarecare P(Ph, Pv) si un punct M(m, m') at planului, cu proprietatea cd M apar(ine dreptei HV (fig. 5.57). Se cere, sa rabatem punctul M pe planul orizontal H.
ConsiderAm, ca axa de rabatare, urma orizontald Ph = Ph a planului P, si rabatem unna
Fig. 5.57 Fig. 5.56
()Mein{ MULTI !IVO
verticalit P„ pc planul orizontal, care ajunge in pozitia apoi rabtarn dreapta inmate I I V
--- in pozitia NV folosind acelasi mod de lucru ca in cazurile precdente. Din proiectia m, a punctului M pe planul orizontal, ducem directia de rabatare, perpendiculard pe axa de rabatare,
care intersecteaza dreapta HV in punctul M, rabaterea punctului M pe planul H.
5.4.6.2 Rabatarea punctului planului oarecare, prin metoda dreptei de nivel
Se da planul oarecare P(Ph, Pv) si punctul m') al planului, cu proprietatea ca M apartine dreptei de nivel D(d, d') (fig. 5.58). Se cere, sa rabatam punctul M ED, pe planul orizontal H. Pentru aceasta, rabatam pe planul orizontal H, urma verticals P s, a planului P, in
considerand ca axa de rabatare urma orizontala Ph = Ph , apoi rabatam dreapta de
nivel D, care ajunge in pozitia D. Pentru a rabata punctul M, ducem din proiectia orizontala
in, directia de rabatare, perpendiculara pe axa de rabatare Ph a- Ph la intersectia cu D,
obtinem rabatarea 111 a punctului M.
Fig. 5.58
(me ► deseriplIva
11.1shom 441 I 1111141111111 phinulul oarecare, prin metoda dreptel de rroul
Sc a plamd oitt eca re P( Ph, Pv) i punctul M(nt, m . ) al planului , ell proprietatea ea M apartine dreptei tormale D(d, d') (fig. 5.59). Pentru aceasta, rabatam pe planul orizontal I I,
urma verticals P, a planului P, in P, si dreapta forntalA D, in D, considerand ca axa de
rabatare urma orizontala Ph E.- Ph . Din proiectia oriozntald m, a punctului M, ducem di reel ia
de rabatare, perpendiculara pe axa de rabatare Ph , la intersectia careia cu D se obtine
rabaterea M a punctului M.
Fig. 5.59
5.4.7 Rabatarea punctului planului oarecare, prin metoda triunghiului de pozitie
Fie planul oarecare si un punct M(m, m') al planului (fig. 5.60). Se cere, sa rabatam punctul M(m, m'), pe planul orizontal H, prin metoda triunghiului de pozitie. Pent ► a construi triunghiul de pozitie a punctului M fata de planul orizontal H, trasam din proiectia
orizontala m, directia de rabatare, perpendiculard pe axa de rabatare Ph F2 Ph la intersectia cu aceasta se obtine punctul m,. Tot din proiectia orizontala m, se mascara pe o directie paralela cu axa de rabatare, o distantA egala cu cota z, a punctului M, obtinandu-se punctul m 2 . t Mind punctele m, m 2, se obtine ipotenuza m i m2 a triunghiului de pozitie, a punctului M fata
I
tJoitirrovrio caravriptiva
de 1)1411(11 orizontal 11. I riunghiul dc pozitie mm,m, no (la huh elyinentele rabaterii, si Lntic: direclia de rabatare, egald Cu cateta mm,, centrul do !Aiwa' e m, si taro (le rabatare, egala cu ipotenuza m i m 2 . In acest sens, din centrul de rabatare ni,, masuram pc directia de rabatare raza
de rabatare R = m i nt, $i obtinem rabatarea M a punctului M, pe planul orizontal H.. Sensul de rabatare poate fi cel ales, sau in sens opus.
V
5.4.8 Rabatarea planului oarecare prin metoda triunghiului de pozitie
Fie planul oarecare P(P h, PO. Se cere, rabatarea planului P, pe planul orizontal Fl, prin metoda triunghiului de pozitie (fig. 5.61). Pentru rabatarea planului P, pe planul orizonatl H,
consideram ca axa de rabatare urma orizontald Ph = Ph . Rabatarea urmei verticale P, a
planului oarecare P, pe planul orizontal H, presupune rabatarea a doud puncte apartinand
accsteia. Unul din puncte este P., E Px , find situat pe axa de rabatare Ph , iar eel de-al
(loan este punctul V, considerat arbitrar pe urma verticals P v. Din proiectia orizontala v, a
punctului V, trasam directia de rabatare, perpendiculars pe axa de rabatare P h , pe care o
intidneste in punctul v 1 . Tot din punctul v, masuram cota z a punctului V, pe directia paraleld
121 Geometrie descriptive'
III 11X11 de n11)1111110 yI 4,111111CM punctul V2. Ullind ptIlletele V I gi V 1 , Obillifill 117010111/n V i V, a triunghin i de pom ie. vv,v„. 1)in punctul v Ca centru de rabatare, indsurilin pe direelin (lc rabatare, rain R W v v, de rabatare si obtinem rabatarea V a punctului V, pe planul orizontal H. Prin punctele Px si V trasam rabatarea Pi, a urmei verticale P, pe planul orizontal H.
In acest mod, s-a obtinut rabatarea planului oarecare P(P h, PO din spatiu pe planul orizontal H.
( P )
Fig. 5.61
5.4.9 Rabatarea pe un plan paralel cu planul de proiectie
Rabatarea pe un plan paralel cu un plan de proiectie, se utilizeazd in special, atunci cand rabatarea pe unul din planele de proiectie, nu poate fl realizata, intrucat unele elemente ale rabaterii ies din cadrul epurei, iar uneori, este mai usor de executat rabaterea pe un plan paralel cu un plan de proiectie, decat pe until de proiectie.
5.4.9.1 Rabatarea unui punct pe un plan de nivel
Fie planul oarecare P(P h, un punct M(m, m') al planului (fig. 5.62). Se cere, sa rabatem punctul M pe planul de nivel N. In acest caz, axa de rabatare este dreapta de intersectie
(V) Px = (H)
kiCOMOirir 4r+ r .1
dintre planele I' 4i N, adieli dreapta de nivel A(6, h a 1)11,11111w In t ontinuare, construnn
Iriunghiul do pozitie a punctului M(m, m'), 1'1411 do planul do iiivel N. Pentru aceasta, din proiectia orizontalA m, a punctului M, trasam directia dr. ralaitare, perpendiculars pe axa de rabatare A, si la intersectia cu aceasta, se obtine punctul in,. Pe paralela dust! din m,, la axa de rabatare, mAsurAm cota z, a punctului M, fate de planul de nivel N, uncle cota z m.v = zm - z,„ si
obtinem punctul m 2 . Unind punctele m, si m 2, obtinem triunghiul de pozitie mm,m 2, a punctului
M, fatil de planul de nivel N. Din punctul m,, pe directia de rabatare, mdsuram raza de rabatare
R = m,m2 si obtinem rabatarea M a punctului M, pe planul de nivel N.
Fig. 5.62
5.4.9.2 Rabatarea unei drepte oarecare pe tin plan de nivel
Fie un plan determinat de dreapta AB(ab, a'b') si punctul M(m, m'), si planul de nivel N, dus prin punctul M (fig. 5.63). Se cere, sa rabatem dreapta AB pe planul N. Consideram ca, axa de rabatare este dreapta de nivel D(d, d'), dupA care planul de nivel N, intersecteazd planul determinat de dreapta AB si punctul M. Dreapta de nivel D este determinath de punctul M si punctul E de intersectie dintre planul de nivel si dreapta AB. Pentru a rabate dreapta AB pe planul de nivel N, este suficient sA rabatem cloud puncte ale acesteia. Unul din puncte este chiar
punctul E, de intersectie a planului N cu dreapta AB, situat pe axa de rabatare D E D , si
avem E E E . Al doilea punct este punctul B, pe care-1 rabatdm in B prin metoda
triunghiului de pozitie. Prin B si E ducem rabatarea BE , a dreptei BE. Punctul A al dreptei
AB, it rabatem prin metoda dreptelor planului. Astfel, deoarece punctul A E BE, din proiectia
1.4:3
(loomeirla dexcri tivel
orizontnI a, (III., HiIu, 11,1 dr rabatarc, perpendicularti pc axa de rabatare d , si la intersectin cu BE ,oblineni,,,iminicli A. in acest sens, s-a obtinut rabatarea AB udrepteiAR,pe planul de nivel N.
Fig. 5.63
5.4.9.3 Rabatarea until plan oarecare pe tin plan de nivel
Se dA planul oarecare P(P„,1 3,) si se cere rabatarea lui pe planul de nivel N. Rezolvarea acestei probleme se poate realiza in cloud moduri: a) Consideram ca axa de rabatare, dreapta de nivel D (d, d'), dreapta dupd care se
intersecteazd planele Psi N (fig. 5.64). Pentru a rabate planul oarecare P pe planul de nivel N, trebuie sA rabatam urmele P„ si 1 3, ale planului P. In acest seas, pentru a rabate cele doud urme, este suficinet ss identificAm cloud' puncte ale acestora, pe care sA le rabatana pe planul de nivel. Fie punctul VEP v, situat pe axa de rabatare D(d, d'), adicA v = V ,unul din puncte si P„ E P, cel de-al doilea punct. In c\ontinuare, ducem din 1 3,, directia de rabatare, perpendiculard pe axa de rabatare d, iar din proiectia v, cu raza R descriem un arc de cerc, care la intersectia cu directia de proiectare, ne da rabatarea P , a punctului P, pe planul de nivel N. Unind
— — punctele P x si V obtinem rabatarea P „ a urmei Pv. Pentru a rabata urma orizontala P h a planului, se are in vedere cs P i, D, iar dupa rabatare vor fi tot paralele. In acest caz, cunoscand directia dreptei, pentru a rabata urma P h, este suficient sA rabatem un singur punct al urmei.
0
Fig. 5.64
'O
Fig. 5.65
(iconietrle deseriptIM 176 I L ► MOM) frit" (MATTI H1 va
Fie 111111( I, I mu wilt , 111141W in pozitia Px si din care (lucent rabatarea 111111C1
Ph , paraleld Cll Win de 1111)11111re d.
h) t 'onsiderlind en axA de rabatare, dreapta de nivel D(d, d'), rabatAm planul P(1) 1 ,
pe planul Hsi notAm rabatdrile urmelor P h siP,cu P y si P v (fig. 5.65). Pentru a rabate planul
P(Ph, Pv) pe planul N, se are in vedere ca, rabaterile pe planele Hsi N, ale urmelor planului P,
sunt paralele. Astfel, din punctul v -E. V ducem P,IP v . Din punctul Px, ducem directia de
rabatare, perpendiculars pe axa de rabatare d, iar intersectia cu P„ se obtine rabatarea P .
Prin P x , ducem
Ph P •
5.4.10 Rabatarea planelor proiectante
Planele proiectante, au particularitatea ca, au in spatiu urmele doud cite cloud. perpendiculare. Rezultdcd, planul proiectant are de asemenea, urmele perpendiculare intre ele.
Asadar, rabatarea planelor proiectante, se reduce la a construi drepte perpendiculare intre ele, corespunzAtoare urmelor planului.
5.4.10.1 Rabatarea planului vertical pe planul orizontal de proiectie H
Fig. 5.66
Fie planul vertical P(P h , si
un punt M(m, m') al planului (fig.
5.66). Se cere, sa rabatem planul si punctul, pe planul orizontal H. In
acest sens, consideram cA axa de
rabatare este urma orizontald Ph a
planului P, astfel ca Ph F- Ph.
Deoarece, in spatiu, urmele Ph si Pv
sunt perpendiculare, dupd rabatare
sunt de asemenea perepndiculare,
astfel cA P,1, Ph in punctul Px • Pentru a rabata punctul M al planului,
din proiectia orizontald m, ducem
directia de rabatare, perpendiculard pe
axa de rabatare si masurAm pe aceasta
raza de rabatare, egald cu cota z a
punctului M, obtinand astfel,
rabatarea M a punctului pe planul orizontal H. Procedand in acelasi mod, pentru a rabata urma P, este
Geometric, deuriptiva 129 ivomeirle deNcriptiva
sulicient sa rabattm punctele P x si V(v, v') ale urmci.
5.4.10.2 Rabatarea planului vertical pe planul vertical de proiectie V
Fie planul vertical P(Ph, Pv) si un punct oarecare M(m, m') al planului (fig. 5.67). In
acest caz, consideram ca axa de rabatare urma verticals P, astfel cs P x, = P . Ca si in cazul
perecedent urmele P, si P h sunt perpendiculare intre ele, atat inainte ,cat si dupa rabatare,
P.1 Ph in punctul P x . Pentru a rabata punctul M al planului, ducem din proiectia verticals
directia de rabatare, perpendiculars pe axa de rabatare, pe care masuram raza de rabatare,
egald cu departarea punctului, R = P xm, obtinand rabatarea M pe planul vertical V.
Fig. 5.67
5.4.11 Rabatarea planului de capat pe planul orizontal de proiectie H
Fie planul de capat (P h, PO si un punct oarecare M(m, m'), al planului (fig. 5.68). Se
cere, sä rabatam planul de capat Psi punctul M, pe planul orizontal de proiectie H.
Consideram ca axa de rabatare urma Ph, astfel cs, P = Ph . Deoarece In spatiu,
urmele P, si P, sunt perpendiculare, si dups rabatare acestea vor fi tot perpendiculare, P,,1P h
in punctul Px = P x . Pentru a rabata punctul Mal planului, din proiectia orizontalam, trasam
directia de rabatare, perpendiculard pe axa de rabatare si mdsuram pe aceasta raza de rabatare
R = Pxm', obtinand rabatarea Al a punctului M, pe planul orizontal de proiectie H.
Fig. 5.68
5.4.12 Rabatarea planului de capat pe planul vertical de proiectie V
Fie planul de capat P(Ph, Pv) si un punct oarecare M(m, in'), al planului (fig. 5.69). Sc cere, sarabatarn planul de capdt P punctul M, pe planul vertical de
( P ) proiectie V. In acest sens, consideram ca axa de rabatare,urma verticald P, a planului P, astfel cif,
Pn Px, = P, . Pentru a rabata urma
Ph, avand in vedere acelasi considerente ca si in cazul precedent, rezultd ca urma orizontald Ph rabAtutd
r. este Ph = .P, in punctul .r,. Pentru a rabata punctul M al planului, trasdm din proiectia orizontald m, directia de rabatare, perpendiculard pe axa de rabatare, si mAsuram pe aceasta raza de rabatare R = y M, obtinand rabatarea
11/ I, a punctului M pe planul vertical de proiectie V.
Fig. 5.69
Fig. 5.70
icometrit , (h ,Neryitityl 110 131_ ( ;come** descriptive,
5.5 Ridicarea rabaterii
Ridicarea este operatia inversA rabaterii, prin care un element geometric situat pe un plan de proiectie, sau pe un plan paralel cu un plan de proiectie, se aduce pe un plan din spatiu. Pentru realizarea rabaterii sunt necesare atru elemente: axa de ridicare, centrul de ridicare, directia de ridicare si raza de ridicare.
5.5.1 Ridicarea punctului prin metoda dreptelor planului
— — — Fie planul oarecare P(Ph , P v ) §i un punct M
-
E H (fig. 5.70). Pentru a ridica
punctul M consideram ca axa de ridicare urma orizontala Ph F- Ph,
-
iar ca centru de ridicare
punctul Px = P .
-
ConsiderAm ca punctul M este situat pe dreapta de nivel D a planului - -
(P) care intersecteaza urma verticals punctul V si cu raza R = P ,V , ridicam pe
planul vertical acest punct trasand un arc de cerc. Din punctul V , ducem directia de ridicare,
perpendicularA pe axa de ridicare Ph a Ph obtinand proiectiile v si v' ale acestui punct pe
planul vertical. Proiectia verticals v' a punctului V se obtine la intersectia dintre linia de ordine dusA din v si arcul de cerc trasat cu raza R. Se obtin in acest sens, proiectiile d si d' ale dreptei
de nivel D(d, d'). Prin punctele Px §i v' se traseazA urma verticals P., a planului P(P h, Pv).
Pentru a ridica punctul M E D, ducem directia de ridicare, perpendicularA pe axa de
ridicare Ph = Ph obtinand proiectiile m si m', ale punctului M din spatiu.
5.5.2 Ridicarea punctului prin metoda triunghiului de pozitie
Fie planul oarecare P(P h, P„) si punctul M e H (fig. 5.71). Se cere, sa ridicAm punctul
M pe planul P, prin metoda triunghiului de pozitie. Considerand ca axa de ridicare este urma
orizontalA Ph , a planului P, trasam din punctul 114. directia de ridicare, perpendiculars pe axa de ridicare, obtinand la intersectia cu aceasta, punctul m 1 . Punctul m, este centrul de ridicare,
iar segmentul Mtn este raza de ridicare. Pentru a ridica punctul M, pe planul P, se
construieste triunghiul de pozitie vv 1 v2, fatA de planul orizontal H, pentru punctul arbitrar
V(v, v') E • tiind ca, triunghiurile de pozitie ale tuturor punctelor planului sunt
asemenea, avand laturile paralele, se poate construi triunghiul de pozitie pentru punctul M, fats de planul orizontal H. Astfel, din punctul m,, se duce o paralela la ipotenuza v iv2, a
triunghiului de pozitie vv,v2, pe care masuram raza de ridicare R = obtinandu-se
punctul m 2 . Din punctul m2, ducem o paraleld la axa de ridicare, Ph la intersectia cu directia Fig. 5.71
112 (ieometrle descriptivd
I J./ (ironivirie descriptivd
de ridicare A4m i , se obtine proiectia m, a punctului ridicat in planul P. $i totodata triutighhil
de pozitie mm,m2 a punctului M, fats de planul orizontal H. Proiectia verticals m', se obtine
ducand prin punctul prin m, o orizontala D(d, d') a planului P.
(V) P E
(H)
Ph E Ph
Fig. 5.72
0
5.5.3 Ridicarea planului oarecare
Fie planul P(Ph,P,), rabatut pe planul H (fig. 5.72). Se cere sA ridicAm planul P
Pentru a ridica planul P , consideram ca axa de ridicare urma orizontala Ph Ei Ph, iar ca
centru de ridicare, punctul Px P . Pe urma vericala rabatuta, P, , ham arbitrar un punct
V , din care, ducem directia de ridicare, perpendiculars pe axa de ridicare, care intersecteaza axa
Ox in punctul v. Din punctul Px = P, , ca centru de ridicare, trasam un arc de cerc cu raza
R=13„T , care intersecteaza linia de ordine dusa din punctul v, pe planul vertical, in punctul
v', care este proiectia verticals a punctului ridicat. Prin punctele P, i v', ducem urma verticals
a planului P(Ph, Pv) ridicat.
5.6 Orttilitime yl M1,44,1111 iwivind inctodele rabogrill 01 rldicilril
5.6.1 Probleme resolvate
1. Se dadreapta oarecare AB(ab, a'b') $i se cere sa se determine, adevarata mArime a dreptei AB $i unghiu I a, format de dreaptA cu planul orizontal de proiectie H (fig. 5.73).
Rezolvare. Pentru rezolvarea problemei, considerAm planul vertical R(12„ R„), care contine dreapta AB, astfel ca proiectia orizontalA a dreptei ab, si urma orizontala Rh a planului coincid. Rabatam dreapta AB(ab, a"b') pe planul orizontal H, considerand cA axa de rabatare
este urma orizontala a planului Rh S2 Rh ,obtnand A B(ab,a b) , care este rabaterea dreptei AB, pe planul orizontal H. Unghiul a, pe care-1 face cu urma orizontala R I, a planului, reprezinta adevArata mArime a a unghiului pe care-1 face dreapta AB cu planul oriozntal H.
b'
Zq
2. Se da planul oarecare P(P h, P„) si un punct M(m, m'), exterior planului. Se cere, sa se determine distanta de la punctul M la planul P (fig. 5.74).
Rezolvare. Pentru rezolvarea problemei, ducem din punctul M, dreapta D(d, d') J- P(Ph , I',), astfel ca, d J- Ph, iar P„. Construim apoi, punctul N(n, n') de intersectie dintre dreapta I) si planul P, obtinand astefl, proiectiile mn si m'n', ale segmentului MN, care reprezinta distanta de la punctul M la planul P. Pentru a determina adevarata mArime a distantei de la punctul M la planul H, rabatam segmentul MN pe planul orizontal H, considerand ca axa de
rabatare dreapta D(dd')E--- D(d,d'). Obtinem astfel, MN, rabatarea sewgmentului MN, pe planul orizontal H, care reprezinta adevarata mArime a distantei de la punctul M la planul P.
H 0 b
3. Se dA planul oarecare P(P h, se core rabatarea acestuia pe planul orizontal de proiectie H (fig. 5.75).
Rezolvare. Pentru a rabata urma verticalat P, a planului P pe planul orizontal I I, considerarn ca axa de rabatare, urma
orizontalA Ph Ph. In acest sens, este
sufficient sa rabatAm doua puncte ale
planului, unul fiind P, , iarcel de -al
doilea 11 luAm itrbitrar pe urma verticala. Fie V(v, v') punctul de pe urma verticala P, pe care it proicetAm pe planul orizontal. Prin proiectia orizontala v, a punctului V, ducem directia de rabatare, perpendiculara de axa de rabatare si apoi, din centru de rabatare P,, trasam un arc de cere cu raza R= P„v', care intersecteaza directia de rabatare in punctul
V , care este rabaterea punctului V pe
planul orizontal H. Prin punctele P X V ,
trasam urma verticala P v • Fig. 5.74
V
(icometrie descrIrliva__ I33 loometrirdexcripilvd
4. Si dA w planul II, rabittarca ( Ph , P,) a planului P(1),„ P,) yi o drcaplit
D(C7,d 1 ) E 1 ) , ( lig. 5.76). Sc cere, sA se ridice planul P i dreapta D a planului,
Rezolvare. Pentru a rezolva problema, luAm arbitrar in planul P dreapta HV , cart intalneste dreapta D in punctul M§i urmele orizontale P„ si Ph , in punctele V H H = h intrucat, ridicarea se face pe planul orizontal H, axa de ridicare este urma
orizontala Ph a: Ph , iar punctul H = H find situat pe axa de rabatare, ridicam punctul V si obtinem proiectiile v si v'. Prin punctele Px P §i v' , trasAm urma verticala P„ iar prin
H si V, ridicarea dreptei HV . Pentru ridicarea punctului M, trasam directia de ridicare din acest punct, perpendiculara pe axa de ridicare, P h , care la intersectia cu hv, se obtine proiectia m, iar pe h'v' proiectia m'a punctului M. Prin punctele P, m m'se traseaza proiectiile d si d',
ale dreptei D in plan.
5. Se da triunghiul ABC, situat in planul oarecare P(P h, PJ (fig. 5.77). Se cere, sA se determine ttlevarata marime a triunghiului. Fig. 5.75
0
iC O Mei t' le de,SCI 1 1 411 '1 '1
0
(P )
I 16
Fig. 5.77
Rezolvare. Problema se rezolva prin rabatarea planului Psi triunghiului ABC, pe planul
orizontal H. Rabatarea tringhiului ABC se reduce la rabatarea varfurile A, B, C, prin metoda —_.
dreptelor planului obtinand rabatarea ABC , care reprezinta adevarata forma si marime a
triunghiului ABC.
6. Se da planul oarecare P(P h, PO (fig. 5.78). SA se determine unghiul a, format de planul
P, cu planul orizontal H.
Rezolvare. Determinarea unghiului a, presupune intersectarea planelor Psi H cu un plan
verticalR(Rh, R,), perpendicular pe urma orizontala P h si construirea dreptei HV, de intersectie ....._
dintre planele Psi R. Considerand urma orizontala R h :e': Rh ca axa de rabatare, rabatam
dreapta HV, obtinand HV , care este rabatarea dreptei HV pe planul orizontal H. Unghiul _
format de rabatarea HV cu urma R h a Rh , reprezinta adevarata marime a unghiului a,
format de planele Psi H.
117
Fig. 5.78
7. Se dau planele fronto-orizontale P(P h, P, Q(Qh, Q„, Q„,) (fig. 5.79). Se cere determinarea unghiului a, format de planele Psi Q.
Rezolvare. Avand in vedere ca , planele Psi Q se intersectean dupa dreapta fronto-orizontala D(d, d', d"), iar planul lateral W este perpendicular pe dreapta D, rezultA ca. unghiul a, format de urmele Pw si Qw, reprezinta adevarata marime a unghiului diedru format de planele P si Q.
5.6.2 Probleme propuse pentru rezolvare
1. Se da triunghiul ABC (fig. 5.80). Se cere sa se determine adevArata marime a riunghiului.
2. Se da triunghiul ABC si planul de nivel N, care trece prin varful A, al triunghiului (fig. 81).
3. Se dau dreptele oarecare D(d, d') concurente in punctul Wm, m') (fig. 82). Se cere sa se determine unghiul format de cele douA drepte.
4. Se da planul oarecare P(Ph, Pv) si dreapta D(d, d') E P(Ph, Pv) (fig. 5.83). Sa se rabatA planul Psi dreapta D pe planul orizontal de proiectie H.
Ph Pyj,
Y
Fig. 5.80
--H 0
b
( icortielrie (10,Ver (VIM I fn
5.6.3 intrebari privind rabatarea ci ridicarea
1.Definiti notiunea de rabatare.
2. Care sunt elementele rabatkii?
3. Ce se intelege prin operatia de ridicare a rabaterii?
4. Care sunt metodele de ridicare a unui punct apartinand planului?
5. Ce proprietate are dreapta de nivel a planului dupa rabatare?
6. Ce particularitate au planele proiectante?
7. Cum se poate realiza rabatarea planelor proiectante?
x
1
0
fig. 5.82
d'
Fig. 5.83
Fig.5.81
Fig. 5.79
Geometrle deseriptIva 14(1
BIBLIOGRA F E
Almasan, N.- Geometrie descriptivd, Vold. Litoggrafia Institutului de Mine
Petrosani 1977.
Bolos, C. - Geometrie descriptiva., Editura Universitatii "Petru Maior" Targu-
Mures, 1998.
Dumitrescu, C. - Geometrie descriptivd. Curs, Universitatea "Politehnica"
Timisoara, 1995.
Enache, M. Ionescu, I. - Geometrie descriptivd, Editura didactics si
pedagogics, Bucuresti 1983.
Matei, Al. s.a. - Geometrie descriptivd, Editura Tehnica, Bucuresti 1982.
Moncea, J. - Geometrie descriptiva desen tehnic, vol. I. Editura didacticd
si pedagogicd, Bucuresti, 1982
Tanasescu, A. - Geometrie descriptivd, perspectivd, axonometrie, Editura
didactica pedagogics, Bucuresti 1975.
Vlad, V. - Geometrie descriptivd, Editura Bibliofor, Petrosani 2001. DESEN TEHNIC
