gerzson pletl Irányítástechnika

rta:

GERZSON MIKLS PLETL SZILVESZTER

IRNYTSTECHNIKA Egyetemi tananyag

2011

COPYRIGHT: 20112016, Dr. Gerzson Mikls, Pannon Egyetem Mszaki Informatikai Kar

Villamosmrnki s Informcis Rendszerek Tanszk; Dr. Pletl Szilveszter, Szegedi Tudomnyegyetem

Termszettudomnyi s Informatikai Kar Informatikai Tanszkcsoport

LEKTORLTA: Dr. Szakonyi Lajos, Pcsi Tudomnyegyetem Pollack Mihly Mszaki s Informatikai Kar

Mszaki Informatika Tanszk

Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0)

A szerz nevnek feltntetse mellett nem kereskedelmi cllal szabadon msolhat, terjeszthet,

megjelentethet s eladhat, de nem mdosthat.

TMOGATS:

Kszlt a TMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0008 szm, Tananyagfejleszts mrnk informatikus,

programtervez informatikus s gazdasginformatikus kpzsekhez cm projekt keretben.

ISBN 978-963-279-529-4

KSZLT: a Typotex Kiad gondozsban

FELELS VEZET: Votisky Zsuzsa

AZ ELEKTRONIKUS KIADST ELKSZTETTE: Benk Mrta

KULCSSZAVAK:

az irnytstechnikai rendszerek lersa s vizsglatnak mdszerei; a klnbz dinamikus tagok

ismertetse; a stabilits fogalma s vizsglata; a rendszerek lersa szakaszos idtartomnyban

SSZEFOGLALS:

Az Irnytstechnika trgy a mrnk informatikus s a villamosmrnk alapszakos hallgatknak egyarnt

ktelez szakmai alapoz trgyknt szerepel a tantervben. E jegyzet clja elssorban nem a tantervben elrt

teljes anyag ttekintse, hanem a gyakorlati foglalkozsok alkalmazott szimulcis pldk s megoldott

szmolsi feladatok megrtsnek segtse pldkon keresztl. gy ez a jegyzet, a legfontosabb anyagrszek

rvid elmleti ttekintse mellett, jelents szm kidolgozott pldt is tartalmaz.

A jegyzet elssorban a Pannon Egyetem Mrnk informatikus BSc szak tantervben szerepl

Irnytstechnika trgy tanmenett kveti, illetve annak sajtossgaira pl, figyelembe vve a Szegedi

Tudomnyegyetem hasonl szakn oktatott trgy jellegzetessgeit. Ennek megfelelen elssorban az

irnytstechnika megrtshez s alkalmazshoz szksges alapok kerlnek trgyalsra. Az ttekintett

tmakrk az irnytstechnikai rendszerek lersa s vizsglatnak mdszerei; a klnbz dinamikus

tagok ismertetse; a stabilits fogalma s vizsglata; a rendszerek lersa szakaszos idtartomnyban cm

terleteket lelik fel.

Bevezets 3

Gerzson Mikls, PE; Pletl Szilveszter, SzTE www.tankonyvtar.hu

Bevezets Az Irnytstechnika trgy a mrnk informatikus s a villamosmrnk alapszakos hallgatknak egyarnt ktelez szakmai alapoz trgyknt szerepel a tantervben. E jegyzet clja elssorban nem a tantervben elrt teljes anyag ttekintse, hiszen erre a kzelmlt szmos kivl jegyzet kszlt. Pldaknt elssorban Keviczky Lszl Bars Ruth Hetthssy Jen Barta Andrs Bnysz Csilla Szablyozstechnika jegyzett. (Megyetemi Kiad megjelentetsben) s (Akadmia Kiad gondozsban) Lantos Bla Irnytsi rendszerek elmlete s tervezse cm hrom ktetes knyvt illetve Szakonyi Lajos s munkatrai ltal a szmtgpes folyamatirnyts tmakrben sszelltott s a Pcsi Tudomnyegyetemen megjelentett jegyzetsorozatot szeretnnk kiemelni, szmos ms kivl knyv mellett.

Az elmlt vekben szerzett oktatsi tapasztalataink alapjn gy ltjuk, hogy a hallgatk jelents rsznek gondot okoz az elmleti anyag mlyebb elsajttsa. A gyakorlati foglal-kozsok clja ennek segtse szimulcis pldk s szmolsi feladatok megoldsval. E folyamat tmogatsra kszlt ez a jegyzet, mely a legfontosabb anyagrszek rvid elmleti ttekintse mellett jelents szm kidolgozott pldt is tartalmaz.

A jegyzet elssorban a Pannon Egyetem Mrnk informatikus BSc szak tantervben szerepl Irnytstechnika trgy tanmenett kveti, illetve annak sajtossgaira pl, figye-lembe vve a Szegedi Tudomnyegyetem ugyanezen szakn oktatott trgy jellegzetes-sgeit. Ennek megfelelen elssorban az irnytstechnika megrtshez s alkalmaz-shoz szksges alapok kerlnek trgyalsra. Az ttekintett tmakrk az irnytstechnikai rendszerek lersa s vizsglatnak mdszerei; a klnbz dinamikus tagok ismertetse; a stabilits fogalma s vizsglata; a rendszerek lersa szakaszos idtartomnyban cm terleteket lelik fel.

A jegyzet a TMOP 4.1.2-08/1/A program keretben kszlt, a szerzk ksznik a jegyzet elksztshez nyjtott tmogatst. Br a kzirat leadsakor a jegyzetrs folyamatnak egy lpse lezrul, de a szerzk elre is ksznik a jegyzet hasznlinak, az oktat kollgknak s a hallgatknak egyarnt a visszajelzst, hogy egy jabb kiadsban a bevezetben megfogalmazott clt, teht az irnytstechnika alapjainak kszsg szint elsajttst mg inkbb segthessk.

Veszprm Szeged, 2011. janur 31.

Gerzson Mikls Pletl Szilveszter Pannon Egyetem Szegedi Tudomnyegyetem Mszaki Informatikai Kar Termszettudomnyi s Informatikai Kar

4 Irnytstechnika

www.tankonyvtar.hu Gerzson Mikls, PE; Pletl Szilveszter, SzTE

Tartalomjegyzk Bevezets .......................................................................................................................... 3 Tartalomjegyzk ................................................................................................................ 4 1. Rendszerek ttekintse ................................................................................................... 6

1.1. Rendszertechnikai alapfogalmak ............................................................................. 6 1.2. Rendszerek osztlyozsa ......................................................................................... 7 1.3. Pldk klnbz rendszerekre ............................................................................. 12 1.4. llapotegyenletek ................................................................................................. 15 1.5. Pldk llapotegyenletekre .................................................................................... 22 1.6. Sima, nemlineris rendszer linearizlsa ............................................................... 40

2. Rendszerelemek matematikai lersa s vizsglata ....................................................... 43 2.1. A bemenet-kimenet modell ................................................................................... 43 2.2. Vizsgl jelek ....................................................................................................... 44

2.2.1. Egysgimpulzus fggvny .......................................................................... 45 2.2.2. A ngyszg-impulzus fggvny .................................................................. 46 2.2.3. Egysgugrs fggvny ................................................................................ 46 2.2.4. Egysgsebessg-ugrs fggvny ................................................................. 47 2.2.5. Egysggyorsuls-ugrs fggvny ................................................................ 47 2.2.6. Szinuszos bemen jel.................................................................................. 48

2.3. Vlaszfggvny meghatrozsa idtartomnyban a slyfggvny ismeretben ..... 48 2.4. Vlaszfggvny meghatrozsa idtartomnyban ltalnos esetben ...................... 49 2.5. Az tviteli fggvny .............................................................................................. 50

3. Laplace transzformci ................................................................................................ 53 3.1. Feladatok Laplace transzformci alkalmazsra .................................................. 56

4. Irnytstechnikai rendszerek lersa ............................................................................ 62 4.1. Alapkapcsolsok ered tviteli fggvnye ............................................................. 64 4.2. Helyettest kapcsolsok ....................................................................................... 67 4.3. Feladatok hatsvzlatok talaktsra .................................................................... 70

5. Dinamikus tagok lersa ............................................................................................... 78 5.1. Nulladrend tag .................................................................................................... 78 5.2. Elsrend tag ........................................................................................................ 79 5.3. Integrl tagok ...................................................................................................... 82 5.4. Msodrend tagok................................................................................................. 83 5.5. Msodrend modellek zrus egytthatval ............................................................ 91 5.6. Magasabb rend tagok .......................................................................................... 93 5.7. Differencil tagok ............................................................................................... 94 5.8. Feladatok dinamikus tagok vizsglatnak tmakrbl.......................................... 96

6. Stabilitsvizsglat ...................................................................................................... 110 6.1. Stabilitsdefincik ............................................................................................. 110

6.1.1. Korltos bemenet korltos kimenet (BIBO) stabilits defincija ........... 110 6.1.2. Az aszimptotikus stabilits defincija ...................................................... 111 6.1.3. Aszimptotikusan stabil rendszer viselkedse egysgimpulzus bemenet esetn 113 6.1.4. Aszimptotikusan stabil rendszer viselkedse egysgugrs bemenet esetn 114

6.2. Stabilitsvizsglati mdszerek ............................................................................. 115 6.2.1. Routh-Hurwitz kritrium .......................................................................... 115 6.2.2. Nyquist-, illetve Bode-fle stabilitsi kritrium ......................................... 116

Bevezets 5


6.2.3. Gykhelygrbe ......................................................................................... 121 6.3. Feladatok stabilitsvizsglat tmakrbl ........................................................... 132

7. Mintavteles rendszerek ............................................................................................ 143 7.1. Jelek osztlyozsa .............................................................................................. 143 7.2. Mintavteles rendszerek lersa .......................................................................... 143 7.3. Folytonos bemenet kimenet modell diszkretizlsa .......................................... 150 7.4. Differenciaegyenletek megoldsa ....................................................................... 152

7.4.1. Differenciaegyenletek analitikus megoldsa .............................................. 153 7.4.2. Differenciaegyenlet megoldsa z-transzformci segtsgvel................... 154 7.4.3. Differenciaegyenlet megoldsa iteratv ton .............................................. 155 7.4.4. Kimenet meghatrozsa polinom osztssal ................................................ 156

7.5. Az impulzus-tviteli fggvny ............................................................................ 157 7.6. Ered impulzus-tviteli fggvny meghatrozsa ............................................... 160 7.7. Diszkrt idej rendszerek erstsnek meghatrozsa ........................................... 163 7.8. Tartszervek ....................................................................................................... 164 7.9. Mintavteles rendszerek stabilitsa ..................................................................... 166

7.9.1. Diszkrt BIBO stabilits ........................................................................... 167 7.9.2. Aszimptotikus stabilits ............................................................................ 168 7.9.3. Stabilitsvizsglati mdszerek................................................................... 172

7.10. Gyakorl feladatok mintavteles rendszerek .................................................. 173 8. Szablyozk paramter belltsa .............................................................................. 206

8.1 PID szablyozk ................................................................................................. 207 8.2. A szablyoz paramtereit vltoztat irnyts ................................................... 213

brajegyzk .................................................................................................................. 218

6 Irnytstechnika


1. Rendszerek ttekintse

1.1. Rendszertechnikai alapfogalmak A tananyag megrtsnek rdekben mindenkpp tisztzni kell nhny, a rendszerrel kapcsolatos alapfogalmat. A rendszer fogalmnak meghatrozsa tbbfle szempontbl lehetsges. Szadovszkij professzor ltalnos rendszerelmlet alapjai c. mvben tbb, meghatroz jelentsg defincit ad meg. Az els csoportba tartoznak a matematikai modellek irnybl megkzelt defincik, a msodik csoport defincii a rendszert, mint relcik ltal sszekapcsolt elemek halmazt tekintik, mg a harmadik csoportba sorolhat meghatrozsok a bemenet, kimenet, informcifeldolgozs, fogalmval operlnak. A tovbbiakban a mrnkk szmra kt egyenrtk, kiemelsre rdemes definci kerl megadsra:

1. A valsgnak minden trben elhatrolt rszt, ahol a klnbz anyag- s mozgsformk elemeit klcsnhatsok s klcsns sszefggsek kapcsoljk ssze, rendszernek nevezzk.

2. A rendszer, valsgos vagy elkpzelt objektumok viszonylag jl krlhatrolhat olyan halmaza, melyeket klcsnhatsok s klcsns sszefggsek kapcsolnak egybe.

Elmleti szempontbl rendszernek tekinthet minden olyan transzformci, amely adottnak tekintett gerjesztsekhez meghatrozott vlaszokat rendel.

A rendszer elemnek tekintjk azt az objektumot, amelyet a rendszer vizsglathoz mr tovbbi rszekre nem szksges felbontani. A rendszer elemei kztti, valamint a krnyezethez fzd sszefggsek s kapcsolatok kifejezhetnek egyszer vagy bonyolult; fizikai, kmiai, biolgiai, illetve informcis jelleg klcsnhatsokat. A rendszerrel kapcsolatos ismereteink lerst, az sszefggsek matematikai formalizmussal val megadst matematikai modellnek, modellrendszernek nevezzk.

Mivel minden termszetben elfordul, vagy ember ltal ltrehozott rendszer, folyamat, jelensg klcsnhatsban van egymssal, ha brmilyen rendszert tanulmnyozunk is, figyelembe kell vennnk a krnyezet hatst a rendszerre, illetve a rendszer hatst a krnyezetre. Ezek a hatsok lehetnek olyanok, amelyek a rendszer meghatrozott pontjaiban sszpontosulnak, pldul a rendszer egy elemre hat er formjban. A hatsok azonban lehetnek elosztottak is, ekkor pldul az egsz rendszer, vagy annak eleme felletre, esetleg minden egyes pontjra hatnak. Ilyen elosztott jellegek az anyag-, energia-, s impulzusramok hatsai, amelyek egy rendszer (rendszerelem) bizonyos felletn rtelmezhetk, tovbb a gravitcis s mgneses terek hatsai, stb. A rendszer s krnyezete sszetartoz, dialektikus egysget kpez fogalmak. Sztvlasztsuk, a rendszer hatrvonalainak kijellse, a rendszer krlhatrolsa a feladattl, a vizsglat szempontjaitl, a beavatkozst ignyl szitucitl fgg. Az 1.1. bra vzlatosan tnteti fel

1. Rendszerek ttekintse 7


a rendszert a tr olyan rszeknt, amelyben a rendszer sszes eleme s a krnyezethez fzd sszes kapcsolatai sszpontostva (koncentrlva) vannak. A kapcsolatokat brzol nyilak a hatsok terjedsnek irnyt mutatjk. Minden rendszer jellemezhet az azt felpt elemek tulajdonsgaival s azokkal a kapcsolatokkal, amelyek az adott rendszer s a krnyezet klcsnhatst jellemzik. Meg kell jegyezni, hogy akrmilyen rszletesen s alaposan is tanulmnyozzuk a rendszer tulajdonsgt illetve viselkedst, sohasem tudjuk figyelembe venni mind azt a vgtelen sok tnyezt, amely a rendszert kzvetve, vagy kzvetlenl befolysolja. Ezrt minden tanulmnyozs, ksrlet eredmnyt csakis megfelel fenntartssal fogadhatjuk el s alkalmazhatjuk a gyakorlatban. A rendszerekben kering s thalad hatsokat - amelyek informcis kapcsolatokat valstanak meg- jeleknek nevezzk, tovbb a jelnek legfontosabb sajtossga az informcitartalom. Elmondhat, hogy a jel a jelhordoz (klnbz fizikai, kmiai stb. mennyisg) mindazon rtke (rtkvltozsa), mely alkalmas a hozzrendelt informci megszerzsre, tovbbtsra, trolsra.

1.1. bra. A rendszer s krnyezete

1.2. Rendszerek osztlyozsa A rendszereket viselkedsk s az ket ler matematikai modell alapjn osztlyozzuk. Egy rendszer tbb osztlyba is tartozhat. Az osztlyok gyakran ellenttprokbl llnak.

Az albbiakban rviden bemutatsra kerlnek az osztlyok. A rendszer szimbolikus jellst az 1.2. bra. mutatja.

8 Irnytstechnika


1.2. bra. A rendszer szimbolikus jellse

A S -val jellt rendszer bemen s kimen jeleinek rtkt a t pillanatban rtelem-szeren ( )tu s ( )ty jelli, mg ( )u s ( )y jelli a teljes megfigyelhet jelet. rvnyes tovbb a visszahats-mentessg : ( ) ( )tytu S .

Az osztlyok

Folytonos vagy diszkrt (a jelek idbeli lefolysa szerint)

Amennyiben a rendszer bemenetn vagy kimenetn tallhat jel adott idtartomnyban megszakts nlkl fennll, akkor folytonos rendszerrl beszlnk, de ha a jerl csak meghatrozott idpillanatokban rtelmezett, akkor diszkrt rendszerrl beszlnk. Teht a folytonos s diszkrt meghatrozs az idbeli folyamatossgra illetve szaggatott jellegre vonatkozik. Folytonos idej rendszer esetben az id intervalluma [ ]ba, vagy 1 , diszkrtidej rendszernl pedig kitntetett idpillanatokat jelz vals szmsorozat, tipikusan { }KK ,,,3,2,,0 nTTTT , ahol T a mintavteli id.

Plda folytonos idej rendszerre: ( ) ( ) 0t,ttu3ty 00 >-= . Plda diszkrt idej rendszerre: [ ] [ ] [ ]132 -+= nununy , ahol [ ]ny az n -edik mintavteli

idben a kimenet rtke. Az elbbivel egyenrtk lers: [ ] [ ] ( )[ ]TnunTunTy 132 -+= . Kauzlis vagy nem kauzlis

A kauzlis (ok-okozati) rendszernl ok-okozati kapcsolat ll fenn annak bemen s kimen jelei kztt. Jellemz, hogy rendszer vlasza egy 0t idpontban csak az idpontot

megelz gerjesztsektl fgg ( 0tt ). Ms szval a kauzlis rendszereknek nincs elre-lt kpessgk. A vals fizikai rendszerek kauzlisak. A nem kauzlis rendszerek fizikai-lag nem relisak. Ilyenek a jslsok s ms prognosztikai, gondolati rendszerek. A mrnki gyakorlat azonban alkalmazza a nem kauzlis rendszereket is. A folytonos idej rendszerek vizsglatnl gyakran egyszerbb matematikai trgyalst biztostanak. A diszkrtidej



rendszerek esetben a jelek memorizlhatk s valsidn kvl feldolgozhatk. Itt megem-lthet a kpfeldolgozs, a hangfeldolgozs, a meteorolgia vagy ms hasonl terlet.

A kauzalits fogalma kiterjeszthet a jelekre is. A kauzlis jelek rtke 0-= tttuty , diszkrt idej: [ ] [ ] [ ]1-+= nununy . Pldk nem kauzlis rendszerekre:

Folytonos idej: ( ) ( ) 0, 00 >+= tttuty , diszkrt idej: [ ] [ ]-=

-+=M

Mkknu

Mny

121

.

Az utbbi rendszert gyakran hasznljk tlagkpzsre.

Statikus vagy dinamikus

A statikus rendszer kimenete egy 0t idpontban csakis kizrlag az abban a pillanatban jelentkez gerjesztstl (bemenettl) fgg. A statikus rendszereknek nincs memrijuk. A statikus rendszerek viselkedse nem fgg az idtl. A statikus rendszer algebrai vagy id szerinti derivltakat nem tartalmaz kznsges vagy parcilis differencilegyenletekkel rhat le. A dinamikus rendszerek esetben egy adott idben gerjesztett kimenet rtke fgg a mltbeli gerjesztsektl is. A dinamikus rendszerek energiatrolt(kat) tartalmaz rendszerek, vagyis memrival rendelkez rendszerek. Matematikai modelljk olyan kznsges vagy parcilis differencilegyenletekkel adhat meg, amelyekben szerepel id szerinti derivlt.

Koncentrlt paramter vagy elosztott paramter

Koncentrlt paramter rendszer esetben az elemeket paramtereik tekintetben idealizltnak, kiterjeds nlklinek tekintjk. Ilyen idealizlt elem a tmegpont, amely bizonyos esetekben alkalmas egy bolyg figyelembevtelre egy koncentrlt paramter rendszeren bell. Az elosztott paramter rendszerben a paramterek ltalban trben folytonos eloszlsban hatnak. Az elosztott paramter rendszerek matematikai modellje parcilis differencilegyenletekkel adhat meg.

Homogn vagy nem homogn

Homogn rendszerre rvnyes: ( ) ( ) ( ) ( )tAytAutytu SS , vagyis amennyiben a bemenetet megnveljk A -szorosra, akkor a kimenet is A -szorosra nvekszik.

Plda homogn rendszerre: ( ) ( )tuty 5= . Plda nem homogn rendszerre: ( ) ( ) 25 += tuty .

10 Irnytstechnika


Additv vagy nem additv

Legyen ( )tu1 gerjesztsre egy rendszer vlasza ( )ty1 , s ( )tu2 gerjesztsre ( )ty2 , akkor a kt bemenet sszegre ( ) ( )( )tutu 21 + a vlasz a kt kimenet sszege ( ) ( )( )tyty 21 + . Teht additv rendszerre rvnyes:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )tytytututytu,tytu 21212211 ++ SSS Az additivitst igen jl szemllteti a 1.3. brn lthat jelleggrbe. Ha egy fggvny

lekpezs az:

y(t) = F(u(t))

trvnyszersg szerint trtnik, akkor a modell additv, ha

F(u+) = F(u) + F();

s nem additv, ha

F(u+) F(u) + F().

additv nem additv

1.3. bra. Additv s nem additv jelleggrbk

Lineris vagy nemlineris

A lineris rendszer egyszerre homogn s additv is.

Ezt a tulajdonsgot szuperpozcinak nevezzk. Vagyis

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )tBytAytButAutytu,tytu 21212211 ++ SSS Az egyenletek akkor linerisak, ha a fggetlen vltozk (vagy annak derivltjai) csak

els hatvnyon s transzcendens fggvnyek ltal trtn lekpezsek nlkl fordulnak el benne, egybknt nemlinerisak. Ha a linearits valban fennll, akkor jelentsen

y

F(u+)=F(u)+F() F(u)

F()

u

u+

F

(u)

F(u+)F(u)+F()

u

u+

u u

y



leegyszersti a rendszer viselkedsnek elemzst. A valdi vilg szmos rendszere igen szles tartomnyban, legalbbis els kzeltsben, lineris.

Plda lineris rendszerre: buyadtdya

dtyda =++ 012

2

2

Plda nemlineris rendszerre: buyadtdya

dtyda =+

+ 30

2

12

2

2

A folytonos rendszerekhez hasonlan, amennyiben a diszkrt rendszer egyszerre homogn s additv is, akkor az lineris diszkrtidej rendszer.

Idinvarins vagy idvarins

Ha a rendszer kapcsolatai s paramterei idfggetlenek, akkor a rendszer idinvarins (autonm). Idinvarins rendszerek esetn egy adott gerjesztsre ugyanaz a vlasz, fggetlenl attl, hogy az mikor lett alkalmazva.

Vagyis ( ) ( ) ( ) ( )00 ttyttutytu -- SS . Diszkrt rendszerek esetn pedig ha [ ]nx bemenetre a vlasz [ ]ny , akkor az

idinvarins rendszer vlasza [ ]0nnx - bemenetre [ ]0nny - .

Invertlhat rendszer

A rendszer invertlhat, ha annak kimenetbl egyrtelmen meghatrozhat a bemenete. Ms szval a rendszernek ltezik inverze, amennyiben klnbz gerjesztsek klnbz vlaszokat generlnak.

Ez igaz diszkrt rendszerek esetben is. Pldul az [ ] [ ]-=

=0

0

n

nnxny akkumultorknt is

ismert rendszer inverze az [ ] [ ] [ ]1000 --= nynynx rendszer.

P P-1 ( )tu ( )ty ( )tu

P P-1 [ ]0nx [ ]0ny [ ]0nx

12 Irnytstechnika


Determinisztikus vagy sztochasztikus

A determinisztikus rendszer fggetlen vltozi fggvnyekkel adhatk meg trben s idben. A sztochasztikus rendszer egyes fggetlen vltozi csak valsznsgszmtsi sszefggsekkel rhatk le.

1.3. Pldk klnbz rendszerekre 1. Plda

Memrival rendelkez diszkrt rendszer

Diszkrt rendszerre akkor mondjuk, hogy memrival rendelkezik, ha egy adott pillanatban jelentkez kimeneti rtk nemcsak az akkor hat bemeneti rtktl fgg, hanem az azt megelz rtkektl is.

Plda memrival nem rendelkez rendszerre: [ ] [ ]nxny 2= .

Plda memrival rendelkez rendszerre: [ ] [ ]-=

=0

0

n

nnxny , amely rendszert akkumul-

tornak is szoktak nevezni.

2. Plda

A kvetkez differencilegyenletek mindegyike egy rendszer mkdst rja le:

a) ( ) ( ) ( )dt

tdututy 24 +=

b) )()( 3 tuty =

c) ( ) ( ) ( )dt

tduttuty 43 +=

d) )()( 3 ttuty =

Vgezzk el a rendszerek osztlyozst, ha ( )ty a rendszerek bemenete s ( )tu pedig a kimenete.

Megolds:

a) A rendszer lineris s lland paramter

b) A rendszer nem lineris s lland paramter.

c) A rendszer lineris s vltoz paramter.

d) A rendszer nem lineris s vltoz paramter.



3. Plda

Az albbiakban adott hrom rendszer egyenlete, ahol ( )ty a folytonos idej rendszerek bemenete s ( )tu pedig a kimenete, [ ]0kTy a diszkrtidej rendszerek bemenete s [ ]0kTu pedig a kimenete:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutybdt

tdytcosbbdt

tydbdt

tydb =++++

5432

2

2

2

2

2

1

b) ( )[ ]( ) [ ] ( )[ ] [ ] [ ]0004032201 2 kTukTykTsinbkTybbTkyb =++++

c) [ ] [ ] ( )[ ]{ } 2000

10 21 bTkukTuT

bkTy +--=

Hatrozzuk meg a b1, b2, b3, b4 s b5 paramterek rtkeit gy, hogy a rendszer:

- lineris, - vltoz paramter legyen.

Megolds:

a)

A rendszer akkor lesz lineris, amennyiben a b1=0 s b4=0. Ekkor a rendszer differencilegyenlete:

( ) ( ) ( ) ( )tutybdt

tdybdt

tydb =++ 5322

2

A rendszer akkor lesz vltoz paramter, ha b40.

b)

A rendszer akkor lesz lineris, ha b1 = 0, b3 = 0 s b4 = 0. Ekkor a rendszer differenciaegyenlete:

[ ] [ ]002 kTukTyb = A rendszer akkor lesz vltoz paramter, ha b4 0.

c)

A rendszer lineris, ha b2 = 0.

A rendszer lland paramter fggetlenl b1 s b2 paramterek rtktl.

14 Irnytstechnika


4. Plda

Vizsgljuk ki az albbi rendszer linearitst:

[ ] [ ] ( )[ ]( )000

0 11 TkukTuT

kTy --= : ahol a 0T a mintavtelezsi idlland s k = 0,1,2

Megolds:

Amennyiben [ ]01 kTuu = akkor a rendszert ler egyenlet szerint a kimenet:

[ ] [ ] ( )[ ]( )01010

01 11 TkukTuT

kTy --= .

Ha [ ]02 kTuu = , akkor a rendszer kimenete az albbiak szerint alakul:

[ ] [ ] ( )[ ]( )02020

02 11 TkukTuT

kTy --= .

Most vegyk a kt bemenet lineris kombincijt: [ ] [ ]022011 kTuakTuau += , ekkor:

[ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ]( )( )0220110220110

03 111 TkuaTkuakTuakTuaT

kTy -+--+= ,

[ ] [ ] ( )[ ]( ) [ ] ( )[ ]( )02020

20101

0

103 11 TkukTuT

aTkukTuTakTy --+--= .

Belthat, hogy [ ] [ ] [ ]02201103 kTyakTyakTy += , gy bizonytott, hogy a feladatban megadott matematikai modellel lerhat rendszer lineris.

5. Plda

Vizsgljuk ki az albbi egyenlettel megadott rendszer linearitst:

( ) ( )tuty 2=

Megolds:

Legyen ( )tuu 1= , akkor az egyenlet: ( ) ( )tuty 211 = . Most figyeljk az ( )tuu 2= bemenet hatst, ekkor ( ) ( )tuty 222 = . Majd vizsgljuk az ( ) ( )tuatuau 2211 += bemenet hatst, ekkor:



( ) ( ) ( )( )222113 tuatuaty += ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tuatutuaatuaty 2222212121213 2 ++= . Elmondhat, hogy ( ) ( ) ( )tyatyaty 22113 + , gy az adott rendszer nem homogn, nem

additv, nem rvnyes r a szuperpozci elve, teht nemlineris.

1.4. llapotegyenletek A dinamikus rendszerek defincija sorn Kalman, Falb s Arbib mdszert hasznljuk. Felttelezzk, hogy a rendszer teljes ellete brmilyen t esetn lerhat az ( )tx llapottal egszen t idpontig. A rendszer bemen jelnek rtke egy t idpillanatban ( )tu , a kimen jel ugyanakkor ( )ty .

1.4. bra. A dinamikus rendszer szimbolikus brzolsa.

ltalnosan az 1.4. bra szerint megadott dinamikus rendszer felrhat egy tbbkompo-nens struktrval az albbiak szerint:

( )gYUX ,,,,,,, jGW=S (1.1) A struktra egyes elemei a kvetkezk:

az idpontok halmaza,

X az llapotok halmaza,

U a bemenet rtkeinek halmaza,

W a megengedett bemen jelek halmaza, { }U:u tW , Y a kimenet rtkeinek halmaza,

G a lehetsges kimen jelek halmaza, { }Y:y tG , j az llapottmenet fggvny, XX: Wttj , g a kimenet lekpezs fggvny, YUXg t: . Ha a rendszer a t pillanatban az x llapotban van s a bemen jel ( )u , akkor az llapot

s a kimenet a t pillanatban ( ) ( )( )= uxttx ,,,tj s ( ) ( ) ( )( )tutxtgty ,,= mdon adhat meg.

Teht ltalnosan egy rendszer llapota egy t pillanatban megadhat:

( ) ( )( )= u,x,,ttx tj . (1.2)

( )tu ( )ty

16 Irnytstechnika


Specilis esetben, ha a rendszer lineris, akkor

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )+== u,tx,tu,x,,ttx tQtFtj , (1.3) az llapot megadhat a kezdeti felttel hatsbl s a bemen jel hatsbl.

Egy msik specilis eset a sima rendszer. Sima rendszer esetben az llapotokat lekpez lekpezs: ( ) ( )( )= uxx ,,,tj folytonos, ( ) ( )1Cx , teht legalbb egyszer differencilhat s gy felrhat a

( ) ( ) ( )( )tutxtfdt

tdx ,,= . (1.4)

1.5. bra. Sima nemlineris rendszer hatsvzlata

Teht gyakorlati megkzeltsbl kijelenthetjk, hogy az egy- s tbb- bemenet, illetve kimenet dinamikus rendszer lersra nemcsak a bemenjelek s kimenjelek alkalmasak, hanem a bels llapotvltozk s azok vltozsai is. Az llapotvltozkon az idtl fgg vltozknak azt a legkisebb elemszm halmazt rtjk, amely a rendszer llapotnak teljes s pontos lershoz szksges s elegend.

Tegyk fel, hogy egy villamos rezgkr bemen jele a kapocsfeszltsg, kimen jele az ram. Kt energia felhalmoz elemet, a kondenztort s az induktivitst tartalmazza. Ezrt kt fggetlen llapotvltozja lehet, pldul a kondenztor feszltsge s az ellenlls feszltsge, vagy a kondenztor tltse s rama. Hasonlkppen egy mechanikai rezgkr bemen jele az er, kimen jele a sebessg, kt llapotvltozja lehet, pldul a ruger s a csillapter, vagy az elmozduls s a sebessg. (Egyes llapotvltozk meg is egyezhetnek a kimenjellel.) Az eddigiekbl vilgosan kitnik, hogy egy vizsglt rendszernek tbbfle llapotvltozja s gy tbbfle egyenletrendszere kpzelhet el, mg akkor is, ha a bemenjelek s a kimenjelek adottak.

Az llapotvltozkbl alkalmas mdon egy vektort kpeznk; az llapotvektort. Az tmeneti folyamatot egy elsrend vektor-differencilegyenlet segtsgvel rjuk le. A bemenjelbl ugyancsak vektort kpznk, a bemenjelek vektort. Hasonlkppen kpezhet a kimen jelek vektora, vagy rviden a kimenvektor. Az 1.5. brn megadott rendszerre ltalnosan rvnyes, hogy nx , ru , my ; n az llapotvltozk szma, r a bemenetek szma s m a kimenetek szma. Specilisan, ha 1== rm , akkor a rendszer egy bemenet-egy kimenet (angolul single input single output system SISO), msklnben tbb bemenet-tbb kimenet (angolul multiple input multiple output system MIMO) rendszerrl beszlnk.

( )uxtfx ,,=&

( )uxtgy ,,= x& x ( )tu ( )ty



A harmadik specilis rendszer legyen a sima lineris rendszer. A rendszert ler egyenletek a kvetkezkpp alakulnak:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )Q+F== utxtuxttx tttj ,,,,, ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( )

tutxttutxttt

dttdx tttttt

t D-D+= D+D+

D,,

0

,,,,,,lim

jj,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]ttttt utttttttx

tttttt

dttdx

D+DD DQ-D+Q+

DF-D+F= ,00

,,lim,,lim .

Az llapotegyenlet: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutBtxtAdt

tdx += , (1.5)

( ) xx =t , s a kimenet ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutDtxtCty += , (1.6)

nx , ru , my .

1.6. bra. Sima lineris rendszer hatsvzlata

A 1.6. bra ltal meghatrozott rendszer folytonos idej idben vltoz lineris rendszer. Az brn hasznlt jellsek: ( )tA , ( )tB , ( )tC s ( )tD rendre nn , rn , nm ,

rm mret, idben vltoz elemeket tartalmaz mtrixok.

A (1.5) llapotegyenlet megoldsa ( )t,t llapotmtrix segtsgvel adhat meg: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F+F=

t

duBtxttxt

ggggt ,, . (1.7)

Vgl negyedik specilis esetknt a folytonosidej, idinvarins, lineris rendszerek (linear time invariant system LTI) ler egyenletei a kvetkezkben adottak.

( )tB

x& x ( )tu

( )ty

( )tA

( )tC

( )tD

+ +

+ +

18 Irnytstechnika


Az llapotegyenlet: ( ) ( ) ( ) ( )tuBtxAtxdt

tdx +== & , (1.8)

( ) xx =t , s a kimenet ( ) ( ) ( )tuDtxCty += . (1.9)

1.7. bra. Lineris idinvarins rendszer hatsvzlata

Ebben az esetben a ( )t,t alapmtrix az exponencilis mtrixbl szmthat: ( ) ( )tt -= tAe,t . Az exponencilis mtrix defincija:

==

0 !n

nnAt

ntAe .

A (1.8) llapotegyenlet megoldsa:

( ) ( ) ( ) ( ) -- +=t

tAtA dBuexetxt

gt gg . (1.10)

Az sszes lehetsges llapotvektornak halmaza az llapottr, az sszes lehetsges bemen vektorok halmaza a bemeneti tr, az sszes lehetsges kimenvektorok halmaza a kimeneti tr. ltalban ezek a terek tbbdimenzis, vals EUKLIDESZI-i terek.

Az llapotvltozkat egy-egy koordintatengelyre felmrve absztrakt llapottr ll el. Hromnl tbb llapotvltozra a szoksos hromdimenzis euklideszi tr ltalno-stsaknt a tbb-dimenzis, n. hipertr ll el, mg a ktdimenzis llapotsk s az egydimenzis llapotegyenes az llapottr specilis esetnek tekinthet. Az llapottrnek az a rsze, amelyben a rendszer llapott meghatroz pont elfordulhat, az a megengedett llapotok tartomnya. A dinamikus rendszerek vizsglata s mretezse ebben az llapottrben vgezhet el.

A rendszer llapota azt az egy adott idpontban megadott informcit jelenti, amely ettl az idponttl kezdve a rendszer viselkedsnek meghatrozshoz szksges. Minden

B x& x ( )tu

( )ty

A

C

D

+ +

+ +



rendszer nagyszm s egymstl megklnbztethet llapotba kerlhet. A rendszer llapott bizonyos pontossggal meghatrozhatjuk azoknak a bels jellemzknek s klcsnhatsoknak mrtkrendszerben kifejezett rtkeivel, amelyek a rendszer helyzett (pl. tvolsg, szint), energia- s anyagjellemzit (pl. hmrsklet, nyoms, sszettel) s az egyb informcijelleg (pl. szmll llapota, megtett fordulatok szma) mutatit hatrozzk meg. Az llapotvltozk rtkeit a t idpontban az ( )tx1 , ( )tx2 , ( )txn idfggvnyekkel s az

( )( )( )( )

=

txtxtx

tx

3

2

1

; ( ) nRtx

llapotvektor felhasznlsval rendszerezzk. Az llapotvektor egy tetszleges t idpontra meghatrozza a rendszer pillanatnyi llapott. Ha az llapotvektor elemeinek rtkeit kt egymstl klnbz idpontban vizsgljuk ( 21 tt ), akkor az llapotvektor rtkeinek megvltozsbl meghatrozhatjuk a rendszer ltal elvgzett mozgs mrtkt s jellegt.

A mozgs fogalmt a mechanikban a sz szoros rtelmben hasznljk, s ez azt jelenti, hogy a test idben vltoztatja helyzett. A tovbbiakban mozgsnak nevezzk az elem llapotjellemzinek mindenfajta idbeli vltozst. Mozgsnak nevezzk pldul a test hmrskletnek, a kondenztor tltsnek, egy bankszmla vgsszegnek, a raktron lv nyersanyagnak a vltozst, st a mozgs meghatrozott, br igen bonyolult forminak kell tekintennk az olyan folyamatokat is, mint pldul az let s a gondolkods.

A rendszer mozgsa llapotvltozsa trtnhet kls hatsokra vagy a rendszeren bell lejtszd folyamatok hatsra is. A rendszerrel val minden klcsnhats, rintkezs a rendszer bizonyos tulajdonsgainak, llapotnak megvltozst vonja maga utn. A tulajdonsgok vltozsait az llapotjellemzk vltozsai rvn figyeljk meg.

Szigoran vve, minden rendszert vgtelen szm kls hats r, de korntsem lnyeges mindegyikk. gy nyilvnval, hogy a Hold vonzsa nem lnyeges egy autnak a Fldhz viszonytott mozgsra, br elvben ez a hats ltezik. A kls hatsok halmazbl csak azokat vlasztjuk ki, amelyek a feladat adott krlmnyei kztt lnyegesek a rendszer llapotra. Ezt nevezzk lnyegkiemelsnek. Ezen kls hatsokat bemen jellemzknek (vagy bemen hatsoknak), a rendszer bemen vltozsnak, mg a rendszernek azon elemeit, amelyekre a bemen hatsok hatnak, a rendszer bemenetnek nevezik.

A bemen hatsok kt csoportjt klnbztetjk meg: az irnyt s a zavar hatsokat. Az irnyt hatsok rtkeit a rendszer mkdse kzben mdostani tudjuk (pl. egy tartlyba vezet szelep lltsa, a motor tpllsnak tkapcsolsa,). Ez a mdosts annak rdekben trtnik, hogy a rendszerben elindtsunk bizonyos folyamatokat, megvalsthassuk annak legelnysebb lefolyst s lelltsuk az elindtott folyamatot. A

20 Irnytstechnika


zavar bemen hatsok az irnyt ltal nem mdosthatk. A zavar hatsok nemcsak kls eredetek lehetnek, hanem ltrejhetnek a rendszeren bell is, pldul az elemek tulajdonsgainak hosszabb mkds utn bekvetkez vltozsa miatt (regeds, szigetelsi tulajdonsgok vesztse stb.).

A rendszernek a krnyezetre gyakorolt hatst a kimen mennyisgek (vagy kimen hatsok), leegyszerstve kimenetek hatrozzk meg. A kimeneti hats vltozst a mdost vagy zavar hatsok hozzk ltre. Az 1.8. brn lthatk vzlatosan egy rendszer s a hozz tartoz mdost bemen ( )tu , zavar ( )tz , llapot ( )tx valamint kimen ( )ty jellemzk vektorai.

1.8. bra. A rendszer s jellemzi

Az llapotok, kimenetek, irnyt s zavar hatsok kztti sszefggsek a vals rendszereknl gyakran igen bonyolultak. Ha ezen sszefggseket megfosztjuk a fizikai mivoltuktl, absztrakt rendszereket kapunk. Az gy kapott sszefggsek nem mindig egyrtelmek, ezrt a rendszer matematikai lersa egy relci s nem egy fggvny vagy opertor.

Mivel a legklnbzbb rendszerek mozgsi trvnyszersgeiben sok kzs vons van klnsen a bennk lezajl vltozsok irnytsa szempontjbl nem mindig clszer konkrt rendszerek mozgsnak trvnyszersgeit tanulmnyozni, hanem ttrhetnk elvont s ltalnostott, vagyis absztrakt irnytsi rendszerek tanulmnyozsra is. Az gy szerzett eredmnyeket ezutn sikeresen alkalmazhatjuk a vals irnytsi feladatok megoldsban.

Azok a rendszerek, amelyeknek a bemenetei kztt irnytott bemenetek is tallhatk, irnytott rendszerek. Az irnytott rendszer egyik jellegzetes tulajdonsga az, hogy klnbz irnyt hatsok kvetkeztben, kpes mozgst megvltoztatni. Ha irnytott rendszerrl van sz, mindig megtallhat a cselekvsek olyan sszessge, amelyek kzl az adott esetben kivlaszthat a legelnysebb (optimlis). Ahol erre a vlasztsra nincs md, ott nincs s nem is lehet sz irnytsrl.

Egy rendszer mozgst tekinthetjk gy is, mint llapotai talakulsnak kapcsolatt. Brmely rendszer llapotnak vltozsa azonban nem valsthat meg az alkotelemeiben



vgbemen anyag, energia vagy informci talakulsi vagy tviteli folyamatai nlkl. gy egy test hmrskletnek vltozsa kapcsolatban van bels energijnak vltozsval, egy tartlyban a folyadkszint megvltozshoz szksg van a benne lev folyadk mennyisgnek megvltoztatsra.

Ha a rendszer llapotnak vltozsa egy pillanat alatt lefolyhatna, ez azt jelenten, hogy a benne lev anyag s energia mennyisge vgtelenl kis id alatt, vges mennyisggel vltozna. Ehhez arra lenne szksg, hogy az anyag- vagy energiaramls intenzitsa a rendszer egyes elemein keresztl vgtelenl nagy rtket vegyen fel, ami lehetetlen. Egy vals rendszer llapota teht nem vltozhat pillanatszeren, hanem vges id alatt, az gynevezett tmeneti folyamat eredmnyekppen.

Azok a rendszerek, melyeknek llapotvltozsai nem egy pillanat alatt zajlanak le, hanem egy tmeneti folyamat eredmnyei, dinamikus rendszerek. Az eddigiekbl kitnik, hogy szigor rtelemben vve minden vals rendszer, dinamikus rendszer. Azokban az esetekben, amikor az tmeneti folyamat tartalma lnyegtelenl kicsi a vizsglt jelensg idtartamhoz kpest, s az tmeneti jelensg lefolysnak jellege nem gyakorol lnyeges befolyst a rendszer viselkedsre, elhanyagolhatjuk a vizsglt rendszer dinamikus tulajdonsgt, s gy tekinthetjk, hogy llapotvltozsai egy pillanat alatt kvetik az ket kivlt okokat.

Egy dinamikus rendszer mkdsnek hrom alapvet mdja van: egyenslyi vagy llandsult, tmeneti s periodikus.

Azt mondjuk, hogy a rendszer egyenslyi vagy llandsult zemmdban van, ha llapota nem vltozik az idben.

tmeneti zemmdnak nevezzk a dinamikus rendszer mozgsnak azt az zemmdjt, amikor egy bizonyos kiindul helyzetbl, egy llandsult egyenslyi vagy periodikus zemmdba trekszik. tmeneti zemmd jelenhet meg a rendszerben a kls hatsok vltozsnak vagy a rendszer bels tulajdonsgainak megvltozsa kvetkeztben.

Periodikus zemmd esetn, a rendszer egyenl idkznknt, ugyanabba az llapotba kerl.

Az 1.9. brn egy hmrskletvltozs egyenslyi, tmeneti s periodikus zemmdjt tntettk fel.

22 Irnytstechnika


t

][ CoQ

0 Egyenslyizemmd

tmenetizemmd

Peridikuszemmd

1.9. bra. A dinamikus rendszer zemmdjai

A rendszer zemmdjainak meghatrozsval s megalkotsval kapcsolatosan igen sok krds merl fel, amelyekre felelet csak a rendszer alapos vizsglata utn, a kapott adatok rszletes minsgi s mennyisgi elemzsvel adhatunk.

sszefoglalsul elmondhat, hogy az irnytsi rendszerek matematikai modelljeinek llapottri megfogalmazsa igen elnysen felhasznlhat a korszer irnytstechnika legfontosabb feladatainak megoldsban (pldul az optimlis rendszerek elmlete, stabilitsvizsglatok, adaptv irnyt rendszerek elmlete stb.).

Az llapotvektoros szmtsi md nagy elnye, hogy ltalnosan felhasznlhat, s a rendszeregyenleteket a digitlis szmtgpen val szmtsokhoz a legalkalmasabb alakban adja meg.

1.5. Pldk llapotegyenletekre 1. Plda

Hatrozzuk meg az 1.10. brn lthat rendszer llapotegyenlett:

R

uL uR uC

L

iu

C

1.10. bra. Illusztrci a pldhoz



Az brn lthat jellsek mellett jellje q a kondenztor tltst. A rendszernek

legyen egy bemenete: ( )tuu = s t kimenete, melyek rendre: ( ) ( )tqty =1 , ( ) ( )tity =2 , ( ) ( ) ( )

Ctqtuty c ==3 , ( ) ( )tRity =4 s ( ) ( )tuty L=5 . A rendszer kt energiatrolval

rendelkezik, legyenek az llapotvltozk a kvetkezk: ( ) ( )tqtx =1 ; ( ) ( ) ( )tidttdqtx ==2 .

Megolds:

A soros rezgkr viselkedst a kvetkez differencilegyenlet rja le:

( ) ( ) ( ) ( )tutqCdt

tdqRdt

tqdL =++ 122

Az llapotvltozk bevezetse utn a kvetkez kt elsrend differencilegyenletet kapjuk:

( ) ( ) ( )txtxdt

tdx21

1 == & ,

( ) ( ) ( ) ( )Ltutx

LRtx

LCtx +--= 212

1& ,

ugyanez vektor differencilegyenlet alakban:

( )( )

( )( ) ( )tuLtxtx

LR

LCtxtx

+

--=

1

01

10

2

1

2

1

&&

,

A kimen jelet megad kiegszt vektoregyenlethez a kvetkez mdon jutunk el:

( ) ( ) ( )txtqty 11 == , ( ) ( ) ( )txtity 22 == , ( ) ( ) ( ) ( )tx

CCtqtuty c 13

1=== ,

( ) ( ) ( )tRxtRity 24 == , ( ) ( ) ( ) 25 xLdt

tdiLtuty L &=== , ( ) ( ) ( ) ( )tutRxtxCty +--= 2151 ,

24 Irnytstechnika


( )( )( )( )( )

( )( ) ( )tutxtx

RC

RC

tytytytyty

+

--

=

10000

10

011001

2

1

5

4

3

2

1

.

Az egyszersg kedvrt a tovbbiakban jelljk a kvetkez idfgg vektorokat a kvetkezkppen:

( )tuu = , ( )tyy = , ( )txx = , ( )[ ]tuu = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tty,ty,ty,ty,tyy 54321= , ( ) ( )[ ]Ttx,txx 21= . A mtrixos alak:

BuAxx +=& , DuCxy += ,

ahol:

--=

LR

LCA 1

1022 ,

=

LB 1

012 ,

--

=

RC

RCC

10

011001

25 s

=

10000

15D .

2. Plda

Egy villanyrammal fttt kemence (1.11. bra) matematikai modelljt kvnjuk meg-hatrozni. A termikus rendszer lnyegben kt hkapacitsbl ll. Legyen a kls krnyezeti hmrsklet qk, a falazat hmrsklete qf, a kemence bels hmrsklete qb. Jellje w a villamos fts ltal elidzett hteljestmnyt. Az egyszersg kedvrt fel-ttelezzk, hogy a hmrskletek egyenletesen s pillanatszeren oszlanak meg az egyes kzegekben. Legyen Ab s Ak a fal bels s kls fellete. Jellje cb s cf a kemence belsejnek s falnak hkapacitst. Legyen a falazat hleadsi llandja befel, illetve kifel hb, illetve hk.

Ab, ,hb

w

Ak, ,hk

CbCf

bq

kq




Megolds:

A falazat hegyenslynak differencilegyenlete kzvetlen fizikai megfontolsok alapjn:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )ttthAtthAdt

tdC fbbbfkkk

ff wQQQQ

Q +---= ,

hiszen a falban felhalmozott hmennyisg idbeni vltozsa egyenl a fttest ltal szol-gltatott hteljestmnnyel, az utbbibl levonva a falazat ltal a kls, ill. a bels krnye-zetnek leadott hteljestmnyt. Hasonlkppen rhat fel a kemence belsejnek differen-cilegyenlete:

( ) ( ) ( )( )tthAdt

tdC bfbbbb QQQ -= .

Vezessnk be llapotvltozkat. Legyenek a hmrsklet klnbsgek az llapot-vltozk:

( ) ( ) ( )tttx kf QQ -=1 , ( ) ( ) ( )tttx kb QQ -=2 .

Legyen az irnyt jellemz ( ) ( )ttu w= . Vgl legyen a kimeneti jellemz a kemence hmrskletnek s a kls krnyezet hmrskletnek klnbsge: ( ) ( ) ( )ttty kb QQ -= . Felttelezzk, hogy a kls hmrsklet lland. gy:

( ) ( ) ( )dt

tddt

tdxtx fQ== 11& ,

( ) ( ) ( )dt

tddt

tdxtx bQ== 22& .

Bevezetve az llapotozkra vonatkoz jellseket, rendezs utn a kvetkez differencilegyenlet-rendszert kapjuk:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tttttttxtx bfkbkf QQQQQQ -=---=+- 12 , ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tutxtxhAtxhAtxC bbkkf +-+-= 1211& , ( ) ( ) ( )( )txtxhAtxC bbb 212 -=& ,

( ) ( )txty 2= . Kis talakts utn az llapotegyenletek vektoregyenlet alakjban is megadhatk:

26 Irnytstechnika


uCxx

hAC

hAC

hAC

hAC

hAC

xx

f

bbb

bbb

bbf

bbf

kkf

+

-

--=

0

1

11

111

2

1

2

1

&&

,

[ ]

=

2

110xx

y ,

BuAxx +=& , DuCxy += ,

ahol:

-

--=

bbb

bbb

bbf

bbf

kkf

hAC

hAC

hAC

hAC

hACA 11

111

22 ,

=

0C1

B f12 , [ ]1021 =C s [ ]011 =D .

3. Plda

Az 1.12. brn egy szemlyaut leegyszerstett dinamikai modellje lthat. A modellbe m1 a vz s tartozkainak tmege, c1 s f a vz s a kerekek kztt elhelyezett rug torzis llandja s srldsi egytthatja, m2 a kerekek tmege, c2 pedig a kerekek torzis llandja. Az t egyenetlensge u(t) egy z1(t) s z2(t) elmozdulst okoz az egyenslyi llapothoz viszonytva a szemlyaut haladsa kzben. rjuk fel a rendszer llapotegyenleteit, ha z1(t) a kimenet. Az llapotvltozk szabadon vlaszthatk.


Megolds:

Az egyszerstett rendszer differencilegyenletei:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

-+-+=- )()()( 121212222 tztzftztzctzmtztuc &&&& ,



( ) ( )[ ] [ ] )()()( 1112121 tzmtztzftztzc &&&& =-+- . Bevezetve az llapotvltozkat:

( ) ( )tztx 11 = , ( ) ( )tztx 12 &= , ( ) ( )tztx 23 = , ( ) ( )tztx 24 &= ,

s a kimen jelet: ( ) ( ) ( )txtzty 11 == , a rendezs utn a kvetkez differencilegyenleteket kapjuk:

( )tx)t(x 21 =& , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tx

mftx

mctx

mftx

mctx 4

13

1

12

11

1

12 ++--=& ,

( ) ( )txtx 43 =& ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tumctx

mftx

mcctx

mftx

mctx

2

24

23

2

212

21

2

14 +-

--+=& ,

( )txy 1= .

Az llapotegyenletek vektoregyenlet alakjban a kvetkezk:

u

mc

xxxx

mf

mcc

mf

mc

mf

mc

mf

mc

xxxx

+

-+-

--=

2

2

4

3

2

1

22

21

22

1

11

1

11

1

4

3

2

1

000

1000

0010

&&&&

,

[ ]

=

4

3

2

1

0001

xxxx

y .

28 Irnytstechnika


4. Plda

A 1.13 brn vzolt hidraulikus rendszer kt A1 s A2 keresztmetszet tartlybl ll. A tartlyokban a folyadk szintmagassga h1(t) s h2(t). A csvezetkek hidraulikus ellenllst elhanyagoljuk, a kt tolzr hidraulikus ellenllsa lineris kzeltssel legyen R1 s R2. Legyen a bemeneti jellemz a q(t) hozzfolys, a kimeneti jellemz a q1(t) ramls.

1.13. bra. Egy kt trols hidraulikus rendszer vzlata

A tartlyokban trolt tmeg vltozsait a kvetkez egyenletek hatrozzk meg:

)()()( 111 tqtqdttdhA -= ,

)()()( 2122 tqtqdttdhA -= .

A hozzfolyst s a kimeneti ramlst a kvetkez egyenletek hatrozzk meg:

1

211

)()()(R

ththtq -= ,

2

22

)()(R

thtq = .

Behelyettestssel a kvetkez llapotegyenleteket kapjuk :

( ) ( )tqththRdt

tdhA +--= )()(1)( 211

11

( ) )(1)()(1)( 22

211

22 thR

ththRdt

tdhA --=

Ha bevezetjk a albbi llapot-, bemen- s kimen-vektort:

q(t)

R 1 R 2

q 1 q 2

h 1 (t) h 2 (t) (1)

A1 A2(2)



[ ] [ ]1m1r2n

, )(qy(t) , q(t)u(t) , )()(

)()(

)( 12

1

2

1

===

==

=

= t

thth

txtx

tx ,

akkor az egyenletek az ltalnostott jellsi formval a kvetkez alakak:

uA1)xx(

AR1x

121

111 +--=& ,

222

2121

2 xAR1)xx(

AR1x --=& ,

)xx(R1y 21

1

-= .

A rendszer llapotegyenlete ezekkel az elemekkel a mr adott ltalnos llapotegyenleti alakot veszi fel:

uBxAx +=& ,

uDxCy += ,

22

222121

1111 ,111

1R

1

--

-= AA

ARARAR

ARA , 121

,0

A1

= BB ,

21

11

,1R1

-= CC

R, [ ] 11,0 = DD .

5. Plda

Az 1.14. brn egy forgrsz-feszltsg vltoztatsval irnytott egyenram motor pozciszablyozsi rendszernek vzlata lthat.

( )tq&( )tq

( )tqd


30 Irnytstechnika


Az egyenram motor nyomatka arnyos a forgrsz ( )tir ramval, legyen mk a motor nyomatk-ram llandja. rR a forgrsz ellenllsa, rL pedig az induktivitsa, wk a motor feszltsg-szgsebessg llandja. A mechanikai elemeket J tehetetlensgi nyomatk s f csillaptsi lland jellemzi, K a szablyoz erst erstse. Az idelisnak tekinthet llt feszltsg oszt, a tachogenertor s az ampermter tviteli tnyezi rendre 1k , 2k s 3k .

llapotvltozknt vlasszuk a motor tengelynek szgelfordulst ( )( )tq , a szg-elforduls sebessgt ( )( )tq& s a forgrsz ramt ( )( )tir . Aa kimeneti jellemz a forgrsz szgelfordulsa ( )( )tq , a bemeneti jellemz pedig az alapjell megadott, elrt szgelfor-duls ( )( )tqd . rjuk fel a rendszer llapotegyenlett.

Megolds:

A motor mkdst a kvetkez egyenlettel rhatjuk le.

A szablyoz kimenete: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tiktqktqktqKtu rd 321 ---= & ,

az elektromos egyenlet: ( ) ( ) ( ) ( )tqkdt

tdiLtiRtu rrrr &w++= ,

a forgrszre hat elektromos nyomatk: ( ) ( )tiktM rm= , a forgrsz mechanikus egyenlete: ( ) ( ) ( )tqftqJtM &&& += .

Rendezs utn:

( ) ( ) ( )tiJktq

Jftq rm+-= &&& ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tiktqktqktqKL

tiLRtq

Lk

dtdi

rdr

rr

r

r

r321

1 ---+--= &&w .

Jelljk meg az llapotvltozkat, a bemenetet s kimenetet:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tqty,tqtu,titx,tqtx,tqtx dr ===== 321 & .

Az egyenletekbe helyettestve kapjuk:



( ) ( )txtx 21 =& , ( ) ( ) ( )tx

Jktx

Jftx m 322 +-=& ,

( ) ( ) ( )

+-

+--=

rr

r

rrr LKk

LRtx

LKk

Lktx

LKktx 322113 w& ,

( ) ( )txty 1= .

Rendezs utn felrhat az llapotegyenlet:

u

LKx

xx

LKk

LR

LKk

Lk

LKk

Jk

Jf

xxx

rrr

r

rrr

m

+

-----

-=

00

0010

3

2

1

3213

2

1

w&&&

,

[ ] [ ] uxxx

y +

= 0001

3

2

1

.

6. Plda

Egy irnyts rendszer tviteli fggvnye:

( ) ( )( ) 61162

23 +++==

ssssUsYsG .

Hatrozzuk meg az egybemenet s egykimenet lineris, idinvarins rendszer llapot-egyenlett.

Megolds:

Az tviteli fggvny alapjn felrhatjuk a kvetkez egyenleteket:

( ) ( ) ( )sUsYsss 26116 23 =+++ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsYssYsYssYs 26116 23 =+++ .

32 Irnytstechnika


Inverz Laplace-transzformci utn:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutytytyty 26116 =+++ &&&&&& .

Amennyiben az llapotvltozkat a kvetkezk szerint vlasszuk: yx =1 , 12 xyx && == ,23 xyx &&& == ,

akkor az utbbi egyenletbe trtn helyettests utn a kvetkez egyenletet kapjuk:

uxxxx 26116 1233 =+++& .

Az llapotegyenletes felrshoz fejezzk ki az llapotok els derivltjait:

21 xx =& ,

32 xx =& ,

uxxxx 26116 3213 +---=& ,

1xy = .

Rendezs utn az llapotegyenlet vektorilis alakja:

uxx

+

---=

200

6116100010

& ,

[ ] xy = 001 .

A feladat megoldsa a Matlab programcsomag alkalmazsval:



n=[2];

d=[1 6 11 6];

[a,b,c,d]=tf2ss(n,d)

a =

-6 -11 -6

1 0 0

0 1 0

b =

1

0

0

c =

0 0 2

d =

0

Az llapotvltozk sorszmnak felcserlse ne zavarjon meg senkit. A Matlabbal kiszmtott megolds teljes mrtkben megegyezik az elz szmts alapjn kapottakkal.

7. Plda

Egy irnytsi rendszer llapotegyenlete a kvetkez:

21 xx =& ,

uxx 22 22 +-=& . Hatrozzuk meg a rendszer alapmtrixt Laplace-transzformcival.

Megolds:

Az alapmtrix a kvetkez kifejezs alkalmazsval hatrozhat meg:

BuAxx +=& , ( ) ( ) ( ) ( )sBUsAXssIXBuAxx Laplace +=+=& , ( ) ( ) ( )sBUsAXssIX =- , ( ) [ ] ( )sBUAsIsX 1--= ,

( ) [ ] 1--= AsIsF .

34 Irnytstechnika


A rendszer s az egysgmtrix behelyettestse utn:

( )1

2010

00

-

--

=

ss

sF ,

( )1

201 -

+-=

ss

sF ,

( ) ( )20

12

+

+

=ss

ss

sF .

Rendezs utn az alapmtrix Laplace-transzformltja:

( ) ( ) ( )( )

( )

+

+=

+

+++

=

210

211

20

21

22

s

sss

sss

sssss

sF .

Az alapmtrix meghatrozhat inverz Laplace-transzformci alkalmazsval:

( ) ( ) ( )ts Laplace fF =-1

( ) ( )

+

+= -

210

211

1

s

sssLtf

+

+-= -

210

21

211

211

1

s

sssL ,

( )

-=-

-

t

t

e

et2

2

021

211f ( ) ( )

-=-

-

t

t

e

ethth2

2

021

21

.

8. Plda

Egy tbbvltozs rendszer viselkedst a kvetkez egyenletrendszer rja le:

( ) ( ) ( ) ( )tutztztz 1211 34 =-+ &&& , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutztztztz 22112 2 =+++ && .



Vlasszuk az llapotvltozkat a kvetkezk szerint: ( ) ( ) ( )tz,tz,tz 211 & , a kimenetek adottak a kvetkezk szerint: ( ) ( )tz,tz 21 . Feladat meghatrozni:

a) a rendszer llapotegyenlett.

b) a rendszer tviteli fggvny mtrixt.

Megolds:

a)

Teht az llapotvektor:( ) ( )( ) ( )( ) ( )tztx

tztxtztx

23

12

11

===& , a bemenetek vektora: ( ) ( )( )

=

tutu

tu2

1 , valamint a

kimenetek vektora: ( ) ( )( )( )( )

( )( )

=

=

=

txtx

tztz

tyty

ty3

1

2

1

2

1 .

Az llapotegyenletek:

21 xx =& ,

1322 34 uxxx ++-=& ,

23213 2 uxxxx +---=& .

Az llapotegyenletek mtrixos felrsban:

+

----=

2

1

3

2

1

3

2

1

100100

211340010

uu

xxx

xxx

&&&

,

+

=

2

1

3

2

1

0000

100001

uu

xxx

y .

A rendszer tviteli fggvny mtrixa a kvetkezkppen hatrozhat meg:

BuAxx +=& , ( ) ( ) ( ) ( )sBUsAXssIXBuAxx Laplace +=+=& , ( ) ( ) ( )sBUsAXssIX =- , ( ) [ ] ( )sBUAsIsX 1--= , DuCxy += , ( ) ( ) ( ) ( )sDUsCXsYDuCxy Laplace +=+= , ( ) [ ] ( ) ( )sDUsBUAsICsY +-= -1 ,

vgl az tviteli fggvny mtrix:

[ ] =+-= - DBAsIC)s(G 1

36 Irnytstechnika


=

+

-----

=

-

0000

100100

211340010

000000

100001

1

ss

s

+-+

-

-

100100

211340

01

100001

1

ss

s,

[ ] [ ][ ] ( )( ) ( ) ( )=

++-+-+-+++

+++

=--=- -

100100

41432332116

31161

2

231

sssssss

sss

sssAsIdetAsIadjAsI

( )( ) ( )

=

++-++

+++=

413232

100001

31161

23

ssssss

s

sss

( ) ( ) ( )

++++

++++-

+++++++

=

++-+

+++=

31164

31161

31163

31162

4132

31161

2323

2323

23

sssss

ssss

sssssss

ssss

sss.

A rendszer tviteli fggvny mtrixa a kvetkez:

( ) ( )

++++

++++-

+++++++

=

31164

31161

31163

31162

2323

2323

sssss

ssss

sssssss

sG .

9. Plda

Egy irnytsi rendszer llapotteres lersa:

uxx

+

-= 20

2010

& ,

[ ]xy 10= . Hatrozzuk meg az llapotvltozk idfggvnyt zrus kezdeti felttelekre s

egysgugrs bemenetre.



Megolds:

A bemenet Laplace-transzformltja: ( ) { }s

)t(hLsU 1== .

A kezdeti felttelek: ( )

=00

0x .

Az llapotvektor Laplace-transzformltja:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0xssUBssX += FF ,

( ) ( ) ( )

+

++

+

+=00

210

211

120

210

211

s

ssss

s

ssssX ,

( ) ( ) ( )( )

+

+=

+

+=

22

22

1

22

22

2

ss

sss

s

sssX ,

( )

+-+

++-=

211

21

2111

21

2

ss

ssssX ,

( ) ( ){ }

+-+++-== --

211

21

2111

21

211

ss

sssLsXLtx .

Az llapotvektor idfggvnye teht:

( ) ( )( )

-++-=

-++-=

-

-

-

-

t

t

t

t

eth

etth

e

ettx2

2

2

2

21

21

121

21

.

38 Irnytstechnika


A kimenetre rvnyes, hogy:

( ) ( ) ( )sUDsXCsY += .

Mivelhogy D=[0], gy a kimenet Laplace-transzformltja:

( ) ( )sXCsY = ,

( ) [ ] ( )( )

( )22

22

22

102

+=

+

+=ss

ss

sssY2s

1s1

+-= .

A kimenet idfggvnyt inverz Laplace-transzformci alkalmazsval hatrozzuk meg:

( ) ( ){ }

+-==--

21111

sssYLty a ,

( ) ( ) tt ethety 221 -- -=-= . A megolds a Matlab program csomag alkalmazsval a kvetkez:

a=[0 1; 0 -2];

b=[0 2]';

c=[0 1];

d=[0];

step(a,b,c,d)

0 1 2 3 4 5 0

0.2 0.4 0.6 0.8

1

10. Plda

Adott egy irnytsi rendszer matematikai modellje:

uc

xba

x

+

=

001

& , [ ] uxy += 11 .

Hatrozzuk meg az a, b ,c paramtert gy, hogy a rendszer teljes mrtkben irnythat, majd teljes mrtkben megfigyelhet legyen.



Megolds:

Az irnythatsg mtrixa:

[ ]

==

bcacc

ABBQC 0.

Ha az albbi felttelek teljeslnek, a rendszer teljes mrtkben irnythat:

02 = bcQdet C ,

Racb " ;00 2=CrangQ . A megfigyelhetsg mtrixa:

+=

=

111

baCAC

QO ,

01det =OQ ,

2=OrangQ .

Amennyiben az albbi felttelek beteljeslnek, a rendszer teljes mrtkben meg-figyelhet:

01det --= baQO ,

2;1 ="+ OrangQRcba .

11. Plda

Adott egy irnytsi rendszer matematikai modellje:

uxx

+

-=

001

212100010

& ,

[ ]xy 001= . Vizsgljuk ki az adott rendszer irnythatsgt s megfigyelhetsgt.

Megolds:

Irnythatsg: [ ]

-==

420200001

2ABABBQC ,

04det -=CQ .

40 Irnytstechnika


A rendszer teljes mrtkben irnythat.

Megfigyelhetsg:

=

=

100010001

2CACAC

QO ,

01det =OQ .

A rendszer teljes mrtkben megfigyelhet.

1.6. Sima, nemlineris rendszer linearizlsa A sima rendszer esetben az llapottmenet fggvny legalbb egyszer differencilhat s gy felrhat a kvetkez vektoregyenletekkel:

)t,u,x(fx =& , t)u,g(x,y = .

ltalnos esetben legyen a rendszer MIMO, s akkor a jellsmdok:

x - llapotvektor [ ]Tn21 x,...,x,xx = , u - bemeneti vektor [ ]Tr21 u,...,u,uu = ,

y - kimeneti vektor [ ]Tm21 y,...,y,yy = s t a fggetlen vltoz.

A kis u vektorral meghatrozott vltozsokra, az 0u s 0x vektorokkal megadott munkapont bizonyos krnyezetben, az llapotvektor vltozsai sorfejtssel meghatrozhatk. A Taylor sorfejtst vgezzk el az els taggal bezrva:

( )0 0 0 0

0 0, ,

, ,x u x u

f fx x f x u t x ux u + D + D + D

& & ,

ahol

1 1 1

1 2

2

1

1

n

n n

n

f f fx x xf

f xx

f fx x

=

OM

L

,

1 1 1

1 2

2

1

1

r

n n

r

f f fu u uf

f uu

f fu u

=

OM

K

,



( )0 0 0 0

0 0, ,

, ,x u x u

g gy y g x u t x ux u

+ D + D + D .

Miutn elvgeztk a kvetkez helyettestst:

xz D= , 00 u,x

xfA = ,

00 u,xufB = , uv D= ,

yw D= , 00 u,x

xgC = ,

00 u,xugD = ,

az j vltozkkal meghatrozott llapotteres modellt kapjuk:

vBzAz +=& ,

vDzCw += .

1. Plda

A 1.15. brn vzolt inga tmege 1 kg, a zsineg hossza 1 m. A srlds elhanya-golsval s a T kimozdt nyomatk figyelembevtelvel az inga mozgsa a kvetkez

egyenlettel rhat le: ( ) Tsin81.9dtd

2

2

+q-=q .

1.15. bra. A matematikai inga leegyszerstett vzlata

Vgezzk el a modell linearizlst.

1 kg

1 m T

O

42 Irnytstechnika


A megolds menete:

Ha az inga llapotvltozi q=1x , q= &2x , a bemenet Tu = s a kimenet q=y , akkor az inga llapotegyenlete:

( )

+-=

=

=

uxsin81.9x

)t,u,x(f)t,u,x(f

xx

x1

2

2

1

2

1

&&

& ; 1),,( xtuxgy == ,

egyenslyi helyzet s

Q=

=

02010

0d

xx

x munkapont hatrozza meg.

( ) ( ) ( )

-=

+-

+-

=

0xcos81.910

u,xx)uxsin81.9(

x)uxsin81.9(

xx

xx

xf

10

002

1

1

1

2

2

1

2

u,x 00

,

=

+-

=

10

u)uxsin81.9(

ux

uf

00

00

u,x

1

2

u,x

,

1, 1

1

001

==

xx

uxxg , 0

2

1

2

==

xx

xg ,

0,

1

00

==

ux

uxug ,

A nemlineris rendszer linearizlt llapotegyenletei:

uxx

x D

+D

-=D 1

00cos81.910

10

,,

[ ] xy D=D 01 .

2. Rendszerelemek matematikai lersa s vizsglata 43


2. Rendszerelemek matematikai lersa s vizsglata

Az 1. fejezetben trgyaltaknak megfelelen az irnytstechnikai rendszerek vizsglata sorn a lersukhoz differencilegyenlet alap modelleket alkalmazunk. Ezek a modellek a rendelkezsre ll s figyelembe vett ismeretek alapjn kt f csoportra oszthatk.

Az llapottr modellek esetben a felrt modell a rendszer bels tulajdonsgait ler n. llapotvltozk vltozsait vizsglja a pillanatnyi llapot s a bemenet fggvnyben, majd ennek alapjn hatrozza meg a kimenet rtknek alakulst. Az llapottr modellek felrsa alapos ismereteket kvetel meg a rendszer bels felptsrl, sszefggseirl, valamint a rendszer s a krnyezet kztti kapcsolatokrl. Modellezsi szempontbl ezeket az n. fehr doboz modellek kz sorolhatjuk. Ilyen modellekre s alapvet tulaj-donsgaikra lthatunk pldkat a 1. fejezetben.

A modellek msik csoportjnl nincs informcink a rendszer bels szerkezetrl, vagy nem kvnjuk azokat figyelembe venni, gy csak a bemenetek s a kimenetek kzti sszefggsek alapjn rjuk fel a modellt. Ezek az n. fekete doboz modellek elssorban ksrleti megfigyelseken, tesztelseken alapulnak, ezrt alkalmazhatsguk sokszor korltozottabb, mint az llapottr modellek. Miutn a tovbbiakban az irnytstechnikai rendszerek trgyalst ezeken az n. bemenet-kimenet (vagy I/O) modelleken alapulva vgezzk el, ezrt ezek tulajdonsgait, opertor tartomnybeli hasznlatukat, s a para-mtereik megllaptshoz kapcsold vizsglati mdszereket tekintjk t rszletesebben ebben a fejezetben.

2.1. A bemenet-kimenet modell A bemenet-kimenet modellt a kvetkez egyszerstett alakban rjuk fel:

()() + ()() + + ()() + () = ()() + + () , (2.1)

ahol y(t) a kimen jel, u(t) a bemen jel, ()() = ()

, = {, }, = 1 ,

ai, bj konstans egytthatk. Mint lthat, egy nemlineris, idtl vagy ms paramterek rtktl fgg egytt-

hatkat tartalmaz modellhez kpest a kvetkezkben hasznlt (2.1) bemenet-kimenet modell jval egyszerbb alak. Legfontosabb tulajdonsgai a kvetkezk:

44 Irnytstechnika


- Lineris modell, mivel a (2.1) egyenlet bal oldaln a kimenet s derivltjainak lineris kombincija, a jobb oldaln pedig a bemenet s derivltjainak lineris kombincija szerepel.

- Idinvarins vagy lland egytthats modell, vagyis ai, bj egytthatk konstans rtkek.

- Folytonos idej modell, a kimenet s a bemenet az id folytonos fggvnyei a t > 0 idintervallumon (tovbbiakban az id argumentumknt val jellstl eltekintnk s a kimenetre az y, a bemenetre az u vltozval hivatkozunk).

- n-ed rend differencilegyenlet a modell. A kimenet s a bemenet derivlsi fokszmaira teljesl a fizikai rendszerek mkdsre rvnyes oksgi szably, azaz n m. Ennek megfelelen a kimenet alakulsa fgg a bemenettl s nem fordtva.

- SISO modell, azaz a lert rendszernek egy bemenete s egy kimenete kztt rjuk fel az sszefggst.

A felrt modellhez termszetesen tartozik n darab kezdeti felttel is, rendre y(t0), , y(n-1)(t0). A kezdeti feltteleket ltalban nullnak tekintjk az egyszerstett vizsglatok sorn, kifejezve ezzel azt, hogy a rendszernek egy adott indul llapothoz viszonytott viselkedst vizsgljuk. Nhny esetben, - gy pldul bizonyos stabilits vizsglatoknl - lnyeges szerepe van a nem nulla kezdeti feltteleknek, ott ezt kln jelezzk.

A felsorolt tulajdonsgokbl lthat, hogy ez a modelltpus a vals fizikai rend-szereknek csak szk krre alkalmazhat, vagy csak a mkdsi tartomnyuknak egy jl meghatrozott, szk tartomnyra igaz. Ez a modell viszont alkalmas, hogy ebben a bevezet kurzusban a rendszerek alapvet tulajdonsgait megismerjk, illetve egyszerbb sszetett rendszerek vizsglatt elvgezzk.

2.2. Vizsgl jelek A rendszerek tulajdonsgainak, jellemz paramtereinek megfigyelsen alapul vizsglatt alapveten kt f csoportba sorolhatjuk. Az els csoportban az n. aktv ksrletek tartoznak, ahol klnbz, elre meghatrozott jelleg s nagysg tesztjeleket alkal-mazunk s ezeknek a kimeneten megjelen hatsaibl kvetkeztetnk a vizsglt jellem-zre. A ksrletek ilyen mdon trtn elvgzse nyilvnvalan megknnyti a vizsglatot vgz feladatt, hiszen az adott idpontban s bemeneten alkalmazott bemen jel kimenetre gyakorolt hatsnak vizsglata a lineris, idinvarins modellek esetben ltal-ban egyszer. Ilyen vizsglatokat ltalban tesztrendszereken vagy egyszerbb techno-lgiai rendszereken lehet s szabad elvgezni. A vals fizikai rendszerek tbbsgnl ezek a vizsglatok komoly technolgiai problmkat s veszlyhelyzeteket okozhatnak, ezrt az ilyen rendszereken n. passzv ksrleteket vgeznek. A passzv ksrletek azt jelentik, hogy a rendszer normlis zemmenet mkdse sorn felmerl zajok, zavarsok kimenetre gyakorolt hatst hasznljuk fel a rendszer megismersre. Termszetesen ez mind mrstechnikai, mind modellezsi szempontbl sszetettebb feladatot jelent, hiszen a



zajok, zavarsok mind a jel formja s nagysga, mind az idbeli lefolysa szempontjbl vletlenszer. A tovbbiakban az aktv ksrleteknl hasznlt jeleket, s azok legfontosabb tulajdonsgait ismertetjk.

2.2.1. Egysgimpulzus fggvny

Az egysgimpulzus fggvny, vagy Dirac-delta fggvny defincija a kvetkez:

() = , = 00, 0 A Dirac delta fggvnyt elssorban a rendszert rt impulzus jelleg zavarsok model-

lezsre alkalmazzuk. Br, mint a defincibl ltszik, a jel fizikailag nem valsthat meg, azonban knnyen adhatunk meg olyan jelensgeket, amelyek j kzeltssel gy jtszdnak le. Ilyen pldul kt bilirdgoly tkzse, teniszt s labda tallkozsa, vagy egy kon-denztor adott lland ramersggel val feltltse. Ezeknl a folyamatoknl az energia-tads igen rvid id alatt jtszdik le, ezrt alkalmasak az impulzusfggvny megjele-ntsre.

Az egysgimpulzus fggvnynek szmos fontos tulajdonsga van.

- Integrljnak rtke:

()

= 1 . - Laplace transzformltja:

{()} = ()

= 1 . - Brmely t = 0-ban folytonos f(t) fggvny esetn:

()()

(0) , vagyis az egysgimpulzus fggvny segtsgvel meghatrozhatjuk egy folytonos jelnek adott idponthoz tartoz rtkt.

- Az egysgimpulzus fggvny derivltjt a kvetkez mdon rtelmezhetjk:

()() =

() = lim

() ( )

. A Dirac fggvny derivltjt teht gy kpzelhetjk el, mint kt egymstl e tvolsgban lv, 1/e amplitdj, ellenttes irny impulzus. Elfogadva ennek az ltalnostott derivltnak a ltezst, s felttelezve, hogy az f(t) fggvnynek

46 Irnytstechnika


ltezik az els, , n-dik derivltja a t = 0 idpontban, ekkor az egysgimpulzus fggvny segtsgvel ezek a derivlt-fggvnyrtkek is meghatrozhatk:

()()()

()(0) , ()()()

(1)()(0) - Az egysgimpulzus fggvnyre adott vlasz a slyfggvny, h(t). A dinamikus

tagok ksrleti vagy szimulcis vizsglata sorn a slyfggvny viselkedse fontos informcit ad a rendszer tulajdonsgairl.

2.2.2. A ngyszg-impulzus fggvny

A ngyszg-impulzus fggvny elssorban elektronikai rendszerekben alkalmazott vizs-gl jel, de ms technolgiai rendszerek esetben is knnyen megvalsthat s hasznl-hat. Defincija:

() = 0, < 01 , 0 0, > . A ngyszg-impulzus ilyen mdon trtn megadsa egysgnyi fggvny alatti terletet

jelent, s ha az impulzus idtartamnak e rtkt minden hatron tl cskkentjk, akkor az egysgimpulzus fggvnyt kapjuk meg.

Laplace transzformltja:

{()} = 1 1 . 2.2.3. Egysgugrs fggvny

Az egysgugrs fggvny szintn a leggyakrabban alkalmazott vizsgl jelek kz tartozik. Defincija: 1() = 1, 00, < 0 .

Az egysgugrs fggvnyt elssorban a szablyozsi krben megvalstott ugrsszer alapjel-vltsok, illetve hasonlan ugrsszer mdon fellp zavarsok modellezsre hasznlhatjuk. Szigoran matematikai szempontbl vizsglva a jelet szakadsos fggvny-rl van sz, melynek a t = 0 idpontban nem egyezik meg a jobb s bal oldali hatrrtke. A fizikai rtelmezs sorn olyan folytonos jelnek tekintjk az egysgugrs jelet, melynl a kt jelrtk kztti felfuts a rendszer mkdse szempontjbl elhanyagolhatan rvid id alatt jtszdik le.

Az egysgugrs fggvny tulajdonsgai a kvetkezk:



- Az egysgugrs fggvny derivltja a Dirac delta, illetve a ngyszg impulzus fggvnyek segtsgvel rtelmezhet. A ngyszg impulzus fggvnyt felbont-hatjuk, mint egy t = 0 idpontban felfut, 1/e amplitdj, majd t = e idpont-ban lefut, -1/e amplitdj egysgugrs fggvnyek egyttese, gy:

() = lim

() = lim

1() 1( )

=

1() . - Laplace transzformltja:

{1()} = 1

. - Az egysgugrs fggvnyre adott vlasz az tmeneti fggvny. Szerepe a sly-

fggvnyhez hasonlan fontos a jelforml tagok dinamikus vizsglata sorn.

2.2.4. Egysgsebessg-ugrs fggvny

Az egysgsebessg-ugrs fggvnyt a kvetkez mdon definilhatjuk:

() = , 00, < 0 . A gyakorlatban ltalban programozott, azaz elrt ideig tart alapjel-vltsok, illetve

nvekv jelleg zavarsok modellezsre hasznljuk. Mint az a defincibl is lthat, az egysg jelzt a felfuts meredeksge miatt kapta. Miutn az alapjel-vlts egy elrt rtkig trtnik, ezrt az elbbi defincit megtartva egysgnyi meredeksget a kvetkez-kppen mdosthatjuk:

() = 0, < 0, 0 , > ,

ahol T a felfuts elrt idtartama. Laplace transzformltja:

{()} = 1

. 2.2.5. Egysggyorsuls-ugrs fggvny

Ez a vizsgl jel a hagyomnyos technolgia rendszerekben ritkn hasznlatos, de pldul mechanikai mozgst ler rendszerekben (pl. robotkarok mozgsa) nagy jelentsg. Defincija:

() = /2, 00, < 0 . Laplace transzformltja:

{()} = 1

.

48 Irnytstechnika


Belthat, hogy az egysgimpulzus, az egysgugrs, az egysgsebessg-ugrs s az egysggyorsuls fggvnyek kztt idtartomnyban az albbi kapcsolat van:

() =

1() , 1() =

() , () =

() , () = 1() , 1() = () , () = () , 0 .

Az egysgsebessg-ugrs s az egysggyorsuls fggvny esetn is rtelmezhet a megfelel vlasz fggvny, de azokra nem alkalmaznak kln elnevezst.

2.2.6. Szinuszos bemen jel

A szinusz fggvnyt, mint vizsgl jelet a kvetkez mdon adhatjuk meg:

= , 0, = 10, < 0 . Ezt a vizsgl jelet elssorban periodikus bemenet hlzatok esetben hasznljuk a

gyakorlatban, illetve frekvenciatartomnybeli rendszervizsglatok sorn alkalmazzuk tipikus bemenetknt. Laplace transzformltja:

{} = +

. A szinuszos bemen jellel s az arra adott vlasszal a frekvenciatartomnyban elvgzett

rendszervizsglatok sorn foglalkozunk rszletesen.

2.3. Vlaszfggvny meghatrozsa idtartomnyban a slyfggvny ismeretben

Legyen adott egy dinamikus tag h(t) slyfggvnye. Hatrozzuk meg ennek ismeretben egy tetszleges u(t) bemenetre adott y(t) vlaszt. Bontsuk fel az u(t) fggvnyt elegenden kicsiny idtartam ngyszgimpulzusok sorozatra. Vizsgljuk meg, hogy a ti idponthoz tartoz u(ti) bemen jelrtknek milyen hatsa lesz egy tetszleges T > ti idpontban a kimenetre. Felttelezve, hogy Dt elegenden kicsi idtartam, az u(ti) beme-netre adott vlasz kzelthet a slyfggvny segtsgvel, mint ahogy ez a 2.1. brn ltszik. Termszetesen a kimenet y(T) rtke valamennyi t < T idpontbeli bemeneti jel-sszetevtl fgg:

() ( )()

. Felttelezve, hogy a bemen jel felbontshoz hasznlt ngyszgimpulzusok idtar-

tamt minden hatron tl lehetsges cskkenteni, azaz Dt0, akkor a bemen jelet, mint impulzusok sorozatt lehet rtelmezni. gy a kimenet rtke egy tetszleges T idpontban a kvetkez mdon hatrozhat meg:



() = ( )()

. A kapott sszefggs konvolcis integrlknt ismert. Megjegyezzk, hogy ltalnos-

sgban az integrls als hatraknt a - is megadhat, de a korbban trgyaltak megfele-len felttelezzk, hogy a bemen jel rtke a t < 0 idtartomnyon 0.

2.1. bra. A konvolcis integrl rtelmezse

2.4. Vlaszfggvny meghatrozsa idtartomnyban ltalnos esetben

Egy tetszleges bemenetre adott vlaszfggvny ltalnos esetben trtn meghatro-zshoz induljunk ki az ltalnos bemenet-kimenet modellbl:

()() + ()() + + ()() + () = ()() + + () .

Egy ilyen tpus differencilegyenlettel jellemzett rendszer vlasza, vagyis az y(t) kimenet idbeli lefolysa egyrszt fgg a rendszer bemenetre adott u(t) jeltl, valamint y(i)(t0), i = 1,, n-1 kezdeti felttelektl. A differencilegyenletek megoldsa kapcsn tanultakbl ismert, hogy az inhomogn differencilegyenletek megoldsa a homogn differencilegyenlet ltalnos megoldsbl s az inhomogn differencilegyenlet egy partikulris megoldsbl ll ssze:

() = () + () . Ttelezzk fel, hogy a bemen jel ugrs jelleg fggvny. Ekkor az yih0(t) partikulris

megolds adja meg a kimen jelet az llandsult (stacionrius) llapotban (ha ltezik az

50 Irnytstechnika


llandsult llapot), mg yh0(t) homogn megolds rja a kimenet alakulst az tmeneti (tranziens) llapotban.

Vizsgljuk meg elszr a homogn egyenlet megoldst.

()() + ()() + + ()() + () = 0 .

Keressk a homogn egyenlet megoldst a kvetkez alakban:

() =

. Helyettestsk ezt vissza a homogn egyenletbe, s vgezzk el a kijellt derivlsi

mveleteket:

( + + + )

= 0 . Az egyenlsg teljeslshez minden p = pi, i = 1,,n-re teljeslnie kell az albbi

egyenlsgnek:

+ + + = 0 . Erre az egyenletre szoks karakterisztikus egyenletknt, a polinomra pedig karakterisz-

tikus polinomknt hivatkozni.

2.5. Az tviteli fggvny Az tviteli fggvny a dinamikus tag opertor tartomnybeli modellje. Meghatrozshoz Laplace transzformljuk a bemenet-kimenet modell ltalnos alakjt zrus kezdeti felt-telek mellett, majd fejezzk ki ebbl a kimenetek s a bemenetek kztti kapcsolatot. A levezetshez induljunk ki az ltalnos bemenet-kimenet modellbl:

()() + ()() + + ()() + () = ()() + + () .

Legyenek a kezdeti felttelek zrusok:

() = 0, ()() = 0, , ()() = 0 . Laplace transzformljuk mindkt oldalt tanult transzformlsi szablyok figyelembe vtelvel:

()() + ()() + + ()() + () = ()() + + () ,

() + () + + () + () = () + + () , ( + + + + )() = ( + + )() .

trendezve a kvetkez alakot kapjuk:



()() = + + + + + + + .

A kapott kifejezs alapjn az tviteli fggvnyt a kvetkez mdon definiljuk. A kimen jel Laplace transzformltja s a bemen jel Laplace transzformltjnak hnyadosa, zrus kezdeti felttelek mellett az tviteli fggvnyt hatrozza meg az albbi kpletnek meg-felelen:

() = {()}{()}

... . Az tviteli fggvny szoksos jellsei:

() = ()() = ()() = ()() .

A felsorols msodik alakja a bemenet-kimenet modell egytthatival felrt racionlis trt-fggvnyre, mg a harmadik a szmll illetve nevezbeli polinomok gyktnyezs alakban trtn megadsra utal. Irnytstechnikban a nevez polinomjnak gykeit plusoknak, a szmll polinomjnak gykeit zrushelyeknek nevezzk. Ha a modell kimeneti oldaln a legnagyobb derivlsi fokszm n, a bementi oldaln m, akkor termsze-tesen n darab plusa s m darab zrushelye van az tviteli fggvnnyel jellemzett tagnak:

() = + + + + + + +

= ( ) ( )( )( ) ( )( ) . Az tviteli fggvny a kvetkez fontosabb tulajdonsgokkal rendelkezik:

- tviteli fggvnnyel lineris, idinvarins rendszereket jellemznk. - Az tviteli fggvnyt a bemenet s a kimenet kzti kapcsolat alapjn vezetjk le

opertortartomnyban, gy a modellezett rendszer bels sszefggseirl nem ad informcit. gy szerkezetileg klnbz, de viselkedskben hasonl rendszereknek lehet azonos tviteli fggvnye.

- Egy dinamikus tag tviteli fggvnye vagy egy tagcsoport ered tviteli fggvnye a tag vagy tagcsoport opertor tartomnybeli modellje, fggetlen a konkrt bemenet nagysgtl, formjtl. Az tviteli fggvny a modellezett rendszer tulajdonsgainak hordozja.

- Ismert tviteli fggvny esetn, ha bemenetnek adott a Laplace transzformltja, akkor a kimenetet a kvetkez sszefggs alapjn hatrozhatjuk meg:

() = ()() () = {()} . - Az tviteli fggvny nevezjben szerepl polinom alakilag megegyezik a

karakterisztikus polinommal:

() = + + + + + + +

( + + + )

= 0 .

52 Irnytstechnika


Ezen polinomok segtsgvel fontos rendszertulajdonsgok hatrozhatk meg.

- Az tviteli fggvny teremt kapcsolatot a bemenet-kimenet tpus modellek s az llapottr modellek kztt. Belthat, hogy ha ugyanannak a rendszernek rjuk fel mindkt tpus modelljt, akkor a bellk levezethet tviteli fggvny megegyezik.

- Ha az tviteli fggvny alakja ismert (a szmllban s a nevezben szerepl polinomok fokszma adott), de az egytthatk rtke nem, akkor azokat paramter identifikcis mdszerekkel ksrleti (szimulcis) ton meghatroz-hatjuk. Ha az tviteli fggvny alakja nem teljesen ismert (nem ismerjk a polinomok fokszmt), akkor azokat struktra identifikcis feladatok segts-gvel llapthatjuk meg.

Az tviteli fggvny, a slyfggvny s az tmeneti fggvny kztt a kvetkez kapcsolat rtelmezhet. Legyen egy dinamikus tag tviteli fggvnye G(s). Slyfggvny esetn a bemen jel a Dirac delta (egysgimpulzus), gy u(t) = d(t), melynek Laplace transzformltja U(s) = 1. Ekkor a kimenet:

() = ()() = () 1 () = {()} () = {()} , ahol a h(t) slyfggvny szoksos jellse. Ezen sszefggsbl addan szoks a slyfggvnyre, mint a jelforml tag idtartomnybeli modelljre hivatkozni. Ha a bemenet az egysgugrs fggvny, azaz u(t) = 1(t), akkor a kimenet:

() = ()() = () 1

() = ()

= ()

. A megadott sszefggsek ismeretben is fontos mg egyszer kiemelni, hogy az tviteli

fggvny a tag opertor tartomnybeli modellje, a slyfggvny s az tmeneti fggvny a jelforml tagnak, egy-egy specilis bemenetre (egysgimpulzusra, illetve egysgugrsra) adott idtartomnybeli vlaszfggvnyei.

3. Laplace transzformci 53


3. Laplace transzformci Az irnytstechnikai lersokban elfordul differencilegyenletek megoldsnak egyik kzenfekv eszkze a Laplace transzformci. Intuitv mdon rtelmezve, a Laplace transzformci olyan szerepet jtszik a differencilegyenletek megoldsban, mint a loga-ritmus alkalmazsa a szorzshoz, osztshoz vagy hatvnyozshoz kapcsold felada-tokban: segtsgvel a szmtsi feladatok egyszerbben lesznek elvgezhetk. A szmts lpsei a kvetkezk lesznek:

- a kiindulsi adatok (modellek, bemen jelek) Laplace transzformcija; - opertor tartomnyban a megfelel mveletek szablyok szerinti elvgzse; - a kapott eredmnyek visszatranszformlsa idtartomnyba.

A Laplace transzformcit a kvetkez mdon vezethetjk be. Legyen f(t) egy vals rtk fggvny. Ekkor az f(t) fggvny Laplace transzformltja alatt azt az F(s) fgg-vnyt rtjk, amit az albbi mdon hatrozunk meg:

() = {()} = ()

, ahol az s = s + jw komplex szm, az gynevezett Laplace opertor. Vizsglataink sorn az f(t) fggvnyrl felttelezzk, hogy f(t) = 0, ha t < 0, illetve legyen rtelmezve, ha t > 0. Ez a kt felttel a valsgos folyamatok esetben viszonylag knnyen teljesthet. A t = 0 idpont eltti trtnseket sszefoglalhatjuk a differencilegyenlet kezdeti feltteleiben, msrszt az indul llapotot vve viszonytsi alapnak, vagyis az ehhez viszonytott vlto-zsokat vizsglva, koordinta-transzformcival tekinthetjk a t = 0 idponthoz tartoz rtket f(t) = 0 rtknek.

Az gy bevezetett Laplace transzformci, tulajdonkppen egyoldalas transzformci, s az als hatrt a t = 0- idpontknt rtelmezzk, vagyis az id balrl tart nullhoz. Ennek a kittelnek akkor van jelentsge, ha az f(t) fggvnynek a t = 0 idpontban szakadsa van (pl. egysgugrs fggvny), vagy impulzus (Dirac impulzus) jelleg sszetevvel rendelkezik.

A Laplace transzformci alkalmazsa sorn figyelembe kell vennnk a transzform-cihoz kapcsold szablyokat s tteleket. Ezeket a tteleket a 3.1. tblzatban foglaltuk ssze.

A transzformci elvgzse sorn az n. opertor tartomnyban az ott rvnyes mve-leti szablyoknak megfelelen elvgezzk a kijellt mveleteket. A kapott eredmny id-tartomnybeli rtelmezshez elvgezzk az inverz Laplace transzformcit a kvetkez kplet alapjn:

() = 12

()

,

54 Irnytstechnika


ahol c az F(s) fggvny legnagyobb valsrsz plusnl nagyobb rtk. A Laplace transzformcit s az inverz Laplace transzformcit ltalban a 3.2. tblzatban bemuta-tott egyszerbb tagokra visszavezetve vgezzk el. Ehhez, klnsen az inverz Laplace transzformci elvgzshez, a visszatranszformland kifejezst parcilis trtekre kell bontanunk, majd a mveleti szablyok figyelembe vtelvel kell elvgeznnk a kvnt transzformcit.

3.1. tblzat. A Laplace transzformcira vonatkoz fbb sszefggsek

sszefggs Idfggvny Laplace transzformlt

Laplace transzformci rtelmezse

( )tf ( ) ( )= -0

tetfsF std

Inverz Laplace transzformci ( ) ( ) dsesFjtf

tsjc

jc+

-= p2

1F(s)

Linearits, szuperpozci

( )tcf ( ) ( )tfctfc 2211 +

( )scF ( ) ( )sFcsFc 2211 +

Differencilhnyados Laplace transzformltja

( )( )tf 1 ( )( )tf 2 ( ) ( )tf n

( ) ( )0fssF - ( ) ( ) ( )002 fsfsFs -- ( ) ( )( )

-

=

---1

0

1 0n

p

ppnn fssFs

Integrls Laplace transzformcija

( )t

df0

tt ( )sFs1

Eltolsi ttel ( ) ( )tt -- tft1 ( )sFe st-

Csillaptsi ttel ( ) tetf am ( )asF

Konvolci-ttel ( ) ( )tftf 21 * ( ) ( )sFsF 21

Kezdetirtk-ttel ( ) ( )ssFtfstlimlim

0 =

Vgrtk-ttel ( ) ( )ssFtfstlimlim

0=

3. Laplace transzformci 55


3.2. tblzat Nhny fontosabb fggvny Laplace transzformltja

Idfggvny f(t) Laplace transzformlt F(s)

Documents

gerzson pletl Irányítástechnika