Kvantummechanikatanknyv fizikusoknak

Geszti Tams

Tovbbi olvasnival a kiad knlatbl:Frei Zsolt Patks Andrs: Inflcis kozmolgiaHrask Pter: RelativitselmletJohn D. Jackson: Klasszikus elektrodinamikaPatks Andrs Polnyi Jnos: Sugrzs s rszecskkEdwin F. Taylor John A. Wheeler: Tridofizika

Geszti Tams

Kvantummechanika

Geszti Tams

Etvs Lornd Tudomnyegyetem,Fizikai Intzet

Budapest, 2007

Geszti Tams

A mu megjelenst tmogatta . . .

c Geszti Tams, Typotex, 2007

ISBN xxx 0000 00 0

Kedves Olvas!nre gondoltunk, amikor a knyv eloksztsn munklkodtunk. Kapcsola-tunkat szorosabbra fuzhetjk, ha belp a Typoklubba, ahonnan rteslhet jkiadvnyainkrl, akciinkrl, programjainkrl, s amenyet a www.typotex.hucmen rhet el. Honlapunkon megtallhatja az egyes knyvekhez tartozhibajegyzket is, mert sajnos hibk olykor elofordulnak.

Kiadja a Typotex Elektronikus Kiad Kft., az 1795-ben alaptottKnyvkiadk s Knyvterjesztok Egyesletnek tagjahttp://www.typotex.huFelelos kiad Votisky Zsuzsa

Szakmai lektor Patks Andrs

Felelos szerkeszo . . .Muszaki szerkeszto . . .A bortt tervezte . . .Terjedelem . . . (A/5) vNyomtatta s kttte . . .Felelos vezeto . . .

Geszti Tams

Fnyes Imre emlkre

Geszti Tams

Geszti Tams

Tartalom

Elosz 13

1. A kvantumelmlet kezdetei 151.1. A Planck-fle sugrzsi trvny s a szigetelo

kristlyok hokapacitsa 151.2. A fnyelektromos jelensg: Lnrd s Einstein 191.3. Az atomos gzok sznkpe: a Rutherford-modelltol a Bohr-

modellig 201.4. De Broglie: a Bohr-formula rtelmezse anyaghullmokkal 23

2. Az anyaghullmok elemi tulajdonsgai 252.1. Interferenciaksrletek elektrontl C60-ig 252.2. A szuperpozici elve 262.3. Hullmcsomag, csoportsebessg 292.4. Mozgs erotrben 312.5. Szemiklasszikus mozgs s tmenet a klasszikus

mechanikba 322.6. Hatrozatlansgi relci 332.7. Az alapllapot mrete s energija 35

2.8. Vletlenszerusg s a Born-fle statisztikusrtelmezs 36

2.9. llhullmok: anyagmegmarads s komplexamplitd 37

3. Schrdinger-egyenlet egy rszecskre 393.1. A Schrdinger-egyenlet levezetse 393.2. A kvantumllapot s a Hamilton-opertor 423.3. A hely s impulzus felcserlsi relcija 443.4. Stacionrius llapotok s az idotol fggetlen

Schrdinger-egyenlet 454. A Schrdinger-egyenlet megoldsainak tulajdonsgai 47

4.1. Normls 474.2. A hatrfelttelek s a spektrum 484.3. Anyagmegmarads s komplex hullmfggvny:

a kontinuitsi egyenlet 49

7

Geszti Tams

8 Tartalomjegyzk

5. A Schrdinger-egyenlet egyszeru megoldsai 515.1. Vgtelen potencilgdr kttt llapotai 525.2. Tkrzsi szimmetria, pros s pratlan megoldsok 545.3. Vges potencilgdr 555.4. A dobozba zrt rszecske, ciklikus hatrfelttel,

cellk a fzistrben 585.5. Alagteffektus s rezonanciaszrs 615.6. A harmonikus oszcilltor stacionrius llapotai 64

6. Az ltalnos formalizmus 696.1. Hullmfggvny s kvantumllapot; megfigyelheto

fizikai mennyisgek s opertorok 706.2. A mrs statisztikja 726.3. Az llapotok Hilbert-tere; teljessg;

a kvantummechanikai tlag 746.4. nadjunglt opertorok 786.5. Opertorok s mtrixok; unitr transzformcik 796.6. Folytonos mtrixok; koordinta- s impulzus-

reprezentci 83 6.7. Surusgmtrix s Wigner-fggvny 85

7. Kzvetlen kvetkezmnyek 917.1. Hatrozatlansgi relcik 917.2. Varicis elv a stacionrius llapotokra

937.3. Az tlagrtk idoderivltja; mozgsllandk; Ehrenfest ttelei 947.4. Idofejlods Schrdinger- s Heisenberg-kpben 967.5. A Hamilton-opertor szimmetrii s a megmarad

mennyisgek 987.6. A folytonos szimmetrik genertorai 1017.7. ltalnos szimmetriamuveletek: irreducibilis

brzolsok s a spektrum 103

8. A harmonikus oszcilltor: rszletek 1058.1. Az algebrai mdszer: kelto s eltnteto

opertorok s mtrixelemeik 1058.2. Koherens llapotok (kvantum-hinta) 1088.3. Rvid kitekints: molekula-rezgsek,

kristlyrezgsek, csapdba ejtett ion rezgsei 1108.4. A foton 112

Geszti Tams

99. Impulzusmomentum a kvantummechanikban 1199.1. A plya-impulzusmomentum opertora;

az impulzusmomentum felcserlsi relcii 1199.2. Schrdinger-egyenlet hengerszimmetrikus

potencillal: a Bohr-fle kvantumfelttel 1219.3. Schrdinger-egyenlet centrlis erotrben:

az energiasajtfggvnyek szgfggse 1239.4. Szimmetria s szimmetriasrts: parits;

mgneses kvantumszm kontra propellerek s dlik 1269.5. Az impulzusmomentum spektruma s mtrixelemei 128

10. A hidrognatom 13310.1. A radilis Schrdinger-egyenlet megoldsa

Coulomb-potencilra 133

11. Mozgs mgneses trben 13911.1. Tlttt rszecske Lagrange-fggvnye s

Hamilton-opertora mgneses mezo jelenltben 13911.2. Szabad mozgs: a ciklotron-plyk kvantlsa,

Landau-szintek 14411.3. A mrtkinvariancia s a vektorpotencil realitsa:

AharonovBohm-effektus, fluxuskvantls 14612. Spin 151

12.1. A feles spin kvantumelmlete: ktkomponensuspinorok s Pauli-mtrixok 151

12.2. Spinorforgats, kvzispin, qubit 15412.3. Feles spin lland mgneses trben: Larmor-

precesszi s Rabi-oszcillci 15612.4. Replo feles spin 15812.5. A feles spin llapotainak mrse (rekonstrukcija) 16012.6. Mgneses rezonancia 161

13. Perturbciszmts 16513.1. Idotol fggetlen perturbciszmts: elfajult s

el nem fajult eset 16613.1.1. Perturbciszmts nem elfajult esetben 16713.1.2. Perturbciszmts elfajult esetben 169

13.2. Idotol fggo perturbcik; klcsnhatsi kp;a Fermi-fle aranyszably 17013.2.1. Dirac mdszere 17113.2.2. tmenetek a folytonos spektrumban; a Fermi-fle

aranyszably 173

Geszti Tams

10 Tartalomjegyzk

13.3. Abszorpci, induklt s spontn emisszi 17713.3.1. Flklasszikus sugrzselmlet 17913.3.2. Spontn emisszi 18113.3.3. A Planck-trvny Einstein-fle levezetse 18613.3.4. Dipltmenetek kivlasztsi szablyai 187

14. Szrsi folyamatok 19114.1. Szrsksrletek: tkzsek, reakcik, rugalmatlan s

rugalmas szrs, potencilszrs 19114.2. Stacionrius potencilszrs, szrsi amplitd s

hatskeresztmetszet 19214.3. Gyors rszecske szrdsa: Born-kzelts 19314.4. sszetett trgy szrsi kpe 19614.5. Gmbszimmetrikus potencil: kifejts parcilis

hullmok szerint 19714.6. Alacsonyenergis hatreset: s-szrs, szrsi

hossz 200

15. Tbbrszecskerendszerek kvantummechanikja 20315.1. A klcsnhat rszecskk sszefondsa 20315.2. Tmegkzpponti s belso mozgs; elemi s

sszetett rszecskk 20515.3. Azonos rszecskk megklnbztethetetlensge 20715.4. Klcsnhats nlkli azonos rszecskk,

egyrszecske-llapotok betltse,tlagtrkzelts 209

15.5. Atomok s a peridusos rendszer 21215.6. Virilttel 21415.7. Adiabatikus kzelts, HellmannFeynman ttel 21615.8. A kmiai kts 21915.9. Impulzusmomentumok sszeadsa 22115.10.EinsteinPodolskyRosen paradoxon,

Bell-egyenlotlensg 22415.11.Krnyezeti klcsnhatsok, dekoherencia s

komplementarits 230 15.12.Dekoherencia s a surusgmtrix 232

16. A szemiklasszikus hatreset 23516.1. Hullmfggvnyek WKB kzeltsben 23616.2. Egydimenzis mozgsok WKB kzeltsben 238

17. Kvantummrs: tma vltozatokkal 24517.1. Kvantum-Znn-effektus 24717.2. Klcsnhats-mentes mrs 24917.3. Quantum Non-Demolition 250

Geszti Tams

11

17.4. Kvantum-ugrsok 25117.5. Gyenge mrs utszelekcival 252

Fggelkek 257A Feynman-fle plyaintegrl 257B Ion- s atomcsapdk, lzerhsts 261C Msveletek koherens llapotokkal 265D A klcsnhatsi kp 269E Dekoherencia: a master-egyenlet 271

E.1. Ktllapot rendszer oszcilltor-frdoben:a spinbozon modell 273

E.2. Oszcilltor oszcilltorok frdojben 278E.3. Nagy molekula atomos gzban 280

F A kvantuminformci elemei 285F.1. A qubitek hordozi 286F.2. Az alapveto stratgik 288F.3. Kvantum-titkosrs 289F.4. Klnozs s teleportci 291

G A Dirac-egyenlet 293Irodalom 297

Trgymutat 299

Geszti Tams

Geszti Tams

Elosz

A kvantummechanika a huszadik szzad elso negyedben risi ablakot nyi-tott a vilgra, s a termszettudomnyok muveloi s kedveloi azta sem tud-nak betelni a ltvnnyal. Megtanulni a kvantummechanikt rsze a vilgmegrtsnek, s aki jobban megtanulja, az tbbet rt a vilgbl.

A kvantummechanika mint tantrgy a kezdetektol fogva rsze mindazoktanulmnyainak, akik a fizikt szakmjuknak vlasztottk. Szmukraezzel kezdodik a fizika legaktvabb kutatsi terleteinek megismerse, be-lertve a statisztikus fizikt, szilrdtestfizikt, magfizikt, rszecskefiziktbemutat egyetemi eloadsokat, amelyek mind megkerlhetetlenl a kvan-tummechanikra plnek.

Nhnyszor nekem is jutott abbl az rmbol, hogy ezt a trgyat elo-szr geofizikus, ksobb fizikus hallgatknak tanthattam. Elodeim s kortr-saim termszetesen rtak j magyar nyelvu tanknyveket: Marx Gyrgy [1],Gombs Pl s Kisdi Dvid [2], Nagy Kroly [3], Apagyi Barna [4] kny-veit haszonnal forgatjk a vizsgra kszlo hallgatk; kln emltst rdemelNagy Kroly, Pcsik Gyrgy s Szpfalusy Pter alapos Kvantumelmletfejezete a Fizikai kziknyv muszakiaknak ktetben [5]; a npszerusto iroda-lombl ma is lvezetes olvasmny Krolyhzi Frigyes zsebknyve, az Igazvarzslat [6]. Az oroszbl fordtott remekmu, Landau s Lifsic negyedsz-zaddal ezelott magyarra lefordtott Elmleti fizika sorozatnak Kvantumme-chanika ktete [7] utolrhetetlen sszefoglalsa mindannak, amit a huszadikszzad egyik kiemelkedo gniusza a tmban fontosnak tartott. Feynmaneloadsainak magyarul Mai fizika cmen megjelent kilenc ktete [8] is szlespanormjt rajzolja fel a kvantummechanika gondolatainak s alkalmaz-sainak, kivtelesen eredeti nzopont szerint. Hogy rdemes ezek mell mgegy knyvet hozztenni a vlasztkhoz, azt az utols nhny vtizedben be-kvetkezett viharos fejlods indokolja: rgebben elkpzelhetetlen finomsgj ksrletek sokasga s a rjuk plo alkalmazsok terjedse mellett a kvan-tummechanika gondolatvilga s hangulata is alaposan trtkelodtt. Br anagyenergis fizika a rszecskegyorstkban vagy az osrobbans krlm-

13

Geszti Tams

14 Elosz

nyei kztt lejtszd jelensgek fizikja vltozatlanul eros rzelmi hz-erot jelent a fizika egsze szmra, ma az alacsonyenergis kvantummecha-nika nll, aktv tudomnyg, amelyben naprl napra szletnek meglepoj eredmnyek, s kivl kutatk csapatai gazdag lemuvek sokasgt p-tik itthon s a vilgban. Ezek fnyben reztem fontosnak egy j tanknyvmegrst, amely kzhely, de igaz akkor lesz sikeres, ha hozz tud jrulnia maga mielobbi elavulshoz.

Megrdemel egy bekezdst a magyar szaknyelv krdse. A kvantumme-chanika elterjedsnek idoszaka egybeesett azzal az idovel, amikor az angolszaknyelv uralkodv vlt a fizikban. Ez maga utn vonhatta volna azt,hogy az j fogalmak angol nevkn terjednek el. Szerencse, hogy ez csakegy esetben trtnt meg: a lassan fl vszzados observable sznak migsem alakult ki j magyar megfeleloje. Nem vettem a btorsgot, hogy aszmos vltozat kzl egyet reroltessek olvasimra; a dntst a kvetkezotanknyv rjra hagyom. A tr s mezo szavaknak mg a kzelmltbanis eros rzelmeket kivltott vetlkedsben, amely nem korltozdik a kvan-tummechanikra, br tanulmnyaim sorn a tr vltozat ivdott az idege-imbe, igyekeztem a mezo szt is surun hasznlni, mert azta megtanultam,hogy ez lenne az igazabb vltozat: Maxwell, aki a field szt megalkotta,gazdag skt fldbirtokosknt azt akarta kifejezni vele, hogy a valsgos dol-gok nem a kastlyban trtnnek, ahol a gazda lakik, hanem kint a mezon.

A megrsban nagy segtsget nyjtottak azok a kritikai megjegyzsek,amelyeket a knyv hivatalos szakmai lektortl, Patks Andrstl, valamintnemhivatalos barti szolglatknt a kzirat nagy rszt alaposan elolvasFrenkel Andortl s Disi Lajostl kaptam. Ksznet illeti felesgemet azrta trelmes segtsgrt, amelyet a fesztett tempj knyvrs nem knnyuidoszakban nyjtott.

A knyv ajnlsa Fnyes Imre emlknek szl. Tole tanultam, hogy akvantummechanika a legfontosabb dolgok kz tartozik.

2007. mrcius 31. Geszti Tams

Geszti Tams

1. fejezetA kvantumelmlet kezdetei

1.1. A Planck-fle sugrzsi trvny s a szigetelokristlyok hokapacitsa

A 19. szzad vgre kiteljesedett a fiziknak az az plete, melyet maklasszikus fiziknak neveznk. Faraday s Maxwell munki nyomn meg-szletett az elektrodinamika, benne az elektromgneses hullmok kisugrz-snak s terjedsnek elmletvel, amit Hertz ksrletei tmasztottak al, snyilvnvalv vlt, hogy a fny s a hosugrzs is ezeknek a hullmoknaka csaldjba tartozik. Ezzel prhuzamosan megszletett a termodinamikas httrtudomnya, a statisztikus fizika, amely vatosan, egyelore kevskonkrt ismeret alapjn, megindult az anyag mikroszkpikus szerkezetnekfeltrsa fel. Ebbe az irnyba mutatott a kmia nagyjainak, Daltonnak sAvogadrnak nhny drmai felismerse is.

Valsznutlenl termkeny szintzishez vezetett a hosugrzs s a ter-modinamika sszekapcsoldsa, amit Kirchhoff elmleti vizsglata indtottmeg. Addigra Bunsen s msok ksrletei nyomn ismerni lehetett sokfleanyag hosugrzsnak spektrlis szerkezett, vagyis a T abszolt homr-skleten tartott anyagok ltal, egy adott frekvencia krli d frekvencia-intervallumba kisugrzott e(,T )d energiaramot, amelybol az anyagrlanyagra vltoz e(,T ) emisszis spektrumok nagy mrsi tblzatai sz-lettek meg. Azt is lehetett tudni, hogy az anyagok a rjuk eso sugrzsblminden d frekvenciaintervallumban a jelenlevo u(,T )d sugrzsi ener-giasurusggel arnyos, a(,T )u(,T )d sebessggel nyelik el az energit,s az a(,T ) egytthat, az n. abszorpcis spektrum minden anyagra mss ms. A mrsi eredmnyek feltuno tulajdonsga, hogy ez a kt fggvny,az anyagra jellemzo emisszis s abszorpcis spektrum nem ltszik fgget-lennek egymstl: amilyen sznben (frekvencin) egy adott T homrskletenegy anyag erosen sugroz, ugyanazt a sznt ugyanez az anyag erosen el isnyeli.

Kirchhoff arra jtt r, hogy ez nem vletlen egybeess, hanem annak szk-sges felttele, hogy egy T homrskletu falakkal krbezrt, ugyanilyen ho-

15

Geszti Tams

16 1. A kvantumelmlet kezdetei

mrskletu testeket tartalmaz regben a hosugrzs termikus egyenslybajuthasson a sugrz-elnyelo testekkel: ha az emisszi s abszorpci arnyaanyagrl-anyagra vltozna, akkor a sugrz energia folyamatosan ramlanaaz erosebben emittl anyagok felol az erosebben abszorbel anyagok fel,ami stacionrius llapot lehet, de nem termikus egyensly. A kvetkeztets:

e(,T )a(,T )

= u(,T ) univerzlis fggvny. (1.1)

Az u(,T ) univerzlis (minden anyagra azonos) fggvny jelentse is nyil-vnval: u(,T )d a T homrskletu regben levo sugrz energia suru-sge a d intervallumban.

Ennek a fggvnynek a meghatrozsra lnk ksrleti munka kezdodttel, ami azon az szrevtelen alapult, hogy ha az reg faln egy kicsiny lyu-kat nyitunk, az nem zavarja meg lnyegesen a sugrzs s a falak termikusegyenslyt, gy a lyukra irnytott spektroszkp az regbeli egyenslyi su-grzs spektrlis sszettelt fogja mutatni. A kicsiny lyukra kvlrol esofny az reg belsejben tbbszr visszaverodve elnyelodik, mielott alkalmalenne a lyukat jra eltallva kiszkni, ezrt kapta ez a termikus sugrforrsaz abszolt fekete test nevet: a lyuk mindent elnyel; rajta nem jn ki ms,mint a termikus egyenslyba jutott sugrzs (1.1 bra).

A kijvo energiasurusg spektrlis eloszlst a spektroszkp ernyojn v-gigvezetett homro (bolomter) melegedsbol lehet mrni. Ilyen vizsg-latokat a sznkp klnbzo tartomnyaiban az infravrs hosugrzstla lthat fnyen keresztl az ultraibolyig klnbzo laboratriumok so-kasgban vgeztek; a mrsek a 1920. szzad forduljra sszertek, sszles frekvencia- s homrsklet-tartomnyt lefedo u(,T ) spektrlis fgg-vnyt produkltak.

Kszen llott egy elmleti jslat is: eszerint a szbajheto hullmhosszak-nl sokkal nagyobb kiterjedsu, V trfogat regben a c fnysebessggel ter-jedo elektromgneses sugrzsnak egy d intervallumban V (8pi/c3) 2 dfggetlen mdusa (hatrozott frekvencij, az reg hatrnak megfelelohatrfeltteleket kielgto rezgsi formja) van. 1 Ezek mindegyike egy har-monikus oszcilltornak felel meg, amelyekre az ekvipartci ttele szerint

1 llhullm mdusok frekvenciit szmoljuk ssze, amelyekre 2pi = = ck, ahol k =k2x +k2y +k2z a hullmvektor hossza (kx = 2pi/x stb.) Legyen az reg az x, y, z tengelyek

irnyban a, b, c kiterjedsu; V = abc az reg trfogata. Akrmilyen fizikailag rtelmeshatrfelttel szerint a fggetlen mdusok flhullmhossza x irnyban x/2 a/nx, y irny-ban y/2 a/ny, z irnyban z/2 a/nz, ahol nx, ny s nz nagy egsz szmok. Ennekmegfeleloen a hullmvektor vgpontja (pi/a)nx, (pi/b)ny, (pi/c)nz; ezek a pontok a~ktrbenV/pi3 surusgu rcsot alkotnak. Egy frekvencia krli d intervallumban azoknak a hul-

Geszti Tams

1.1. A Planck-fle sugrzsi trvny s a szigetelo kristlyok hokapacitsa 17

T

T

TT

T

T

1.1. bra. Az abszolt fekete test ksrletben megvalsthat modellje: egy krs-krl lland T homrskleten tartott zrt doboz, amelyben termikus egyenslyisugrzs alakul ki, amit egy kis lyukon t spektroszkppal meg lehet figyelni.

egyenknt kBT energia jut, ahol kB = 1,38 1023 J/K a Boltzmann-l-land. Eszerint (RayleighJeans trvny) a trfogategysgre vonatkoztatottenergiasurusg u(,T ) = (8pi/c3) kB 2 T .

Ez a jslat szinte azonnal finomtsra szorult. Az elmlet oldalrl, afenti formula a 0-tl -ig terjedo frekvenciaintervallumra integrlva vg-telen sugrzsi energit ad, ami lehetetlen (a vgtelen megjelense a nagyfrekvencik jrulkbl ered, ezrt hvjk ibolyntli katasztrfnak). Amegoldst a ksrleti eredmnyek knljk: az u(,T ) fggvny levg egymax = B T frekvencia fltt (Wien-fle eltoldsi trvny, mert a maximumhelye T nvelsvel arnyosan eltoldik), gy a frekvencira integrlt su-grzsi energia vges lesz: U(T ) V (AB/3)T 4, sszhangban a StefanBoltzmann trvnnyel, amely szerint a T 4 fggs a fnynyoms tulajdons-gainak ltalnos termodinamikai kvetkezmnye.

lmoknak a frekvencija tallhat, amelyeknek hullmvektora a megfelelo dk vastagsg,4pi k2dk/8 trfogat nyolcad gmbhjba esik (nyolcad, mert az llhulmokra minden kkomponens pozitv). Ezek szma, a ktfle transzverzlis polarizcit is figyelembe vve,2(V/pi3)4pi k2 dk/8= V (8pi/c3) 2 d.

Geszti Tams

18 1. A kvantumelmlet kezdetei

A trtnet csattanjt Max Planck rta meg, aki rjtt a B egytthat fizikaijelentsre, s ebbol szletett meg a kvantumelmlet. Planck magyarzataszerint minden harmonikus oszcilltor, gy egy elektromgneses sugrzsimdus is, csak a frekvencijval arnyos h adagokban, kvantumokbantud energit felvenni, ahol

h = 6,61034 J s (1.2)a Planck-lland. Amelyik mdus frekvencija olyan nagy, hogy az ek-vipartci trvnynek megfelelo kBT energia nem ri el a h energiakvan-tumot, az a mdus nem veszi fel az energit. Adott T homrskleten, kvzi-folytonos frekvenciaeloszls hullmmdusok kzl teht csak azok vesz-nek rszt a termikus gerjesztsben, amelyekre h < hmax = kBT , amibola frekvencialevgs helynek egytthatja B kB/h.

A pontos eredmny, amely a RayleighJeans trvny helyre lp, a hresPlanck-trvny:2

u() =8pic3

h 3(exp hkBT 1

) . (1.3)

1.2. bra. A felfel tart grbe: a klasszikus RayleighJeans jslat; a visszahajl:a Planck-fggvny (dimenzitlan egysgekben).

Ugyanez a mechanizmus okozza a szigetelo kristlyok belso energijnakT 4-es, teht fajhojnek T 3-s homrskletfggst alacsony homrskleten,

2 A statisztikus fizika szerint ha egy mdus nh energit vehet fel, ahol n =0, 1, 2, . . ., akkor a felvett energia tlaga n nh exp(nh/kBT )/n exp(nh/kBT ) =h/(exp(h/kBT ) 1) (a nevezoben geometriai sor sszegt, a szmllban ennek 1/kBTszerinti derivltjt kellett kiszmtani). Ennek az eredmnynek a (8pi/c3) 2 mdussurusg-gel val szorzata a Planck-fggvny; ezt mutatja be a (1.2) bra is.

Geszti Tams

1.2. A fnyelektromos jelensg: Lnrd s Einstein

19

amit Einstein korai munki nyomn Debye tisztzott, a finom kristlyfizikairszleteket pedig Max Born s Krmn Tdor tette hozz. A szigetelokben,amelyekben az elektronok nem mozoghatnak szabadon, az alacsony homr-skleten is elrheto gerjeszts egyetlen mdja a kristly hanghullm-szerumozgsa, amely az elektromgneses hullmokhoz hasonl halad hullm-mdusokbl tevodik ssze, s hasonlan veszi fel az energit: alacsony Thomrskleteken nagyjbl csak egy max = kBT/h hatrfrekvenciig, amelyfltti mdusok fokozatosan kifagynak. A kristlyban azonban a hullm-hossznak van egy termszetes als hatra: a rcslland. Ennek felel mega frekvencia felso hatra: a D Debye-frekvencia s a hozz tartoz, 100Knagysgrendu TD = hD/kB Debye-homrsklet; ennl magasabb homrsk-leten mr nincs tbb kiolvaszthat oszcilltor-mdus, s a fajhot az ek-vipartici ttele hatrozza meg.

1.2. A fnyelektromos jelensg: Lnrd s EinsteinA h Planck-lland kvetkezo megjelense a pozsonyi Lnrd Flp Nobel-djjal jutalmazott ksrlethez kapcsoldik, az sszefggst Einstein fedeztefel. A vkuumban replo elektronok ltal szlltott elektromos ram 19. sz-zadvgi felfedezsnek egy rdekes elgazsa volt, hogy egy fmelektrdbltbbek kztt megvilgtssal is lehet elektronokat kiszabadtani. Lnrd k-srletben megmrte a kiszabadtott elektronok E f otoel energijt (1.3. bra),s rjtt, hogy az a beeso fny intenzitstl nem fgg, csak a fny szntol.A sznt a fny frekvencijval kifejezve, Einstein (1905) ilyen alakba rta azsszefggst:

E f otoel = h W, (1.4)

ahol h a mr megismert Planck-lland, W neve pedig kilpsi munka, ez amennyisg a megvilgtott fmelektrd anyagra jellemzo.

Einstein magyarzata, amit Lnrd Flp hossz lete vgig sem hittel, de Einstein szmra Nobel-djnak hivatkozsul szolglt, a kvetkezo:a beeso fny h energij energiakvantumokbl, ksobb szletett sz-val: fotonokbl ll; egy elektron emisszijhoz pontosan egy foton energijahasznldik el, amelybol W fordtdik a fmbol val kiszakadsra. A fenn-marad E f otoel = hW a kilpo elektron kinetikus energija, ezt mrjk aLnrd-fle ksrletben.

A kvantummechanika tanulsa sorn az olvas meg fogja ltni, hogy lte-zik az (1.4) egyenletnek egy msfajta rtelmezse is, ami eros fnyforrsokesetn kzelebb ll az igazsghoz: az elektron tmenete kt olyan llapot k-

Geszti Tams

20 1. A kvantumelmlet kezdetei

I

U-

-

+

+e

I

U-

-

+

+e

1.3. bra. Lnrd Flp ksrlete: a megvilgtott katdrl kilpo elektron energijaE f otoel = eU0, ahol e az elektron tltse, U0 pedig a rcsra adott fkezo feszltsgnekaz az rtke, amelynl megszunik az tfoly ram.

ztt 3, amelyek energija egymstl E rtkkel klnbzik, = E/h frek-vencij tltsoszcillcival jr; erre rezonl a beeso fny oszcilll elektro-mos trerossge. Einstein csodlatos intucija mgis helyes volt, a foto-nok lteznek, de ennek kzvetlen bizonytkait a fny emisszijnak s ab-szorpcijnak finomabb trvnyszerusgei adtk meg, amelyek felismers-ben Einsteinnek ismtelten dnto szerep jutott. A rszleteket a 13.3 pontbanbeszljk meg.

1.3. Az atomos gzok sznkpe: a Rutherford-modelltol aBohr-modellig

Rutherford ksrlete, amelyben nagyenergij, pozitv tltsu -rszecskkvisszapattanst figyelte meg elektromosan semleges anyagrl (1911), bizo-nytotta, hogy a krlttnk levo anyagok tmegnek dnto rsze a pozitvtltsu, kicsiny kiterjedsu atommagokba tmrl, amelyek kztt helyez-kednek el a knnyu, negatv tltsu elektronok. Hogy az utbbiak mirtnem zuhannak bele a magokba, arra Rutherford szerint nyilvnval magya-rzatul szolgl, hogy az atom olyan, mint egy apr naprendszer: a negatvtltsu elektronok bolygknt keringenek az oket vonz pozitv magok k-rl, s a centrifuglis ero tart egyenslyt a Coulomb-vonzssal. Ezt nevezik

3 itt: a fmben kttt llapotbl szabadon mozg llapotba

Geszti Tams

1.3. Az atomos gzok sznkpe: a Rutherford-modelltol a Bohr-modellig 21

Rutherford-fle atommodellnek, ami szp, de van egy hibja: a mag s akrltte keringo elektron egytt egy forg (oldalrl nzve: rezgo) elektro-mos diplust alkotnak, amely elektromgneses hullmokat sugrozva mg-iscsak gyorsan elveszti forgsi energijt, gy az elektronnak spirlplynbele kell(ene) zuhannia a magba.

A bonyodalmak kibogozshoz, akrcsak a fotoelektromos effektusnl, azelektronok s a fny klcsnhatsnak vizsglatn keresztl vezetett az t,mgpedig a legegyszerubb anyag, az egyatomos hidrogngz sznkpnekmegfigyelsvel.4

A mrsek szerint az atomos gzok spektruma les vonalakbl ll, ame-lyek frekvenciinak sokasga leegyszerusdik, ha kt tag klnbsgnek r-juk oket: 5

mn = AmAn. (1.5)Niels Bohr volt az, akinek errol 1913-ban Planck kvantumhipotzise s Ein-stein fotonhipotzise jutott eszbe: szorozzuk meg az egyenletet a h Planck-llandval, s vezessk be a beszdes h An = En jellst:

hmn = EmEn,

(1.6)

aminek ezekutn kzenfekvo az rtelmezse: az atom egyes, lesen megha-trozott Em, En energij stacionrius elektronplyi valamilyen rejtlyesokbl elkerlik a folytonos diplsugrzs csapdjt. Nha, ugrsszeruen azatom mgis kisugroz vagy elnyel egy hmn energij fotont; ilyenkor azelektron tugrik az egyik stacionrius plyrl a msikra. Hogy kisugrzsvagy elnyels trtnik-e, az azon mlik, hogy a kezdeti vagy a vgso plynnagyobb az elektron energija; az (1.6) egyenlet az energia megmaradstfejezi ki a kvantumugrs folyamatban.

A diszkrt (vagyis nem folytonos) energiartkekkel megklnbztetheto,stabil elektronplyk ltezst meggyozoen bizonytotta a FranckHertz k-srlet (1914). Ebben gzkislst hoztak ltre atomos higanygozben, s mr-tk az tfoly elektronok ramt, egy gyorst rcstl felvett energia fgg-vnyben. Az ram rezonanciaszeru cskkenst figyeltk meg, ha ez azenergia megegyezett a sznkpbol meghatrozott energiartkekkel, annakmegfeleloen, hogy a higanyatomokkal tkzve az elektronok ppen ekkoraenergit tudtak leadni.

4 Atomos hidrogn egyes kmiai reakcikban szletik, s hamarosan H2 molekulkk egye-sl, de nem olyan gyorsan, hogy ne lenne ido felvenni az emisszis vagy abszorpcis spekt-rumt.

5 Ezt a felismerst hvjk RydbergRitz kombincis elvnek.

Geszti Tams

22 1. A kvantumelmlet kezdetei

Az eddigiek minden egyatomos gzra rvnyesek; a hidrognatom eset-ben ennl tovbb lehet menni: Rydberg empirikus formulja szerint6

En =Ry/n2, (1.7)ahol Ry neve Rydberg-lland. Bohr rtelmezsben ez a formula levezet-heto, ha az elektron krplykon kering, s a folytonos sugrzst elkerlo,stacionrius krplyk r sugart az L = pr = Mevr impulzusmomentumra(perdletre) vonatkoz

L = nh

2pi nh (1.8)

kvantumfelttel vlasztja ki a klasszikus mechanika ltal megengedett (dea sugrzst is tartalmaz elektrodinamika ltal sszeomlsra tlt) plyksokasgbl. Itt bevezettk a kvantummechanikban ltalnosan hasznlth = h/2pi jellst; jegyezzk meg az rtkt is: h = 1,031034Js. A sz-mtsbl az n = 1 plya sugarra (Bohr-sugr) az

rB =4pi 0h2

Me e2= 5,31011 m (1.9)

rtket kapjuk, ahol Me = 0,911030 kg az elektron tmege, e =1,61019 C az elektron tltse, s 0 a vkuum dielektromos permeabilitsa,amelynek rtke SI egysgekben 8,85 1012 C2/Jm. Vgl az (1.7) for-mulban szereplo Ry egytthatra az

Ry =e4Me

(4pi0)22h2 2,181018 J 13,6 eV (1.10)

rtk addik,7 amely a bemeno adatok pontos mrt rtkeit behelyettestve,sok tizedesjegy pontossggal visszaadja az atomos hidrogn sznkpvonalai-nak frekvencijt.8 A fizika hagyomnyai szerint az ilyen pontos egyezs azt

6 A hidrognatom sznkpvonalainak egy sorozatra Balmer adott meg egy empirikus for-mult; ezt rta t Rydberg a (1.5) kombincis elv szerint, ekkor jelent meg a (1.7) alak.

7 Az e tltsu elektron s e tltsu proton vonz potencilis energija V (r) =e2/(4pi0r), ahol 0 az SI mrtkrendszerben a vkuum dielektromos llandjt jelli.Az ennek megfelelo Coulomb-ero tart egyenslyt a centrifuglis erovel: e2/(4pi0r2) =Mev2/r = (Mevr)2/(Mer3) = n2h2/(Mer3), ahol hasznltuk az (1.8) kvantumfelttelt. In-nen kifejezhetjk az r plyasugr rtkt, s jra hasznlva a kvantumfelttelt, a v keringsisebessget is. Az energit vgl V (r)+Mev2/2 alakban szmoljuk ki, ahonnan leolvashatjuka Ry egytthat (1.10) formulban lert kifejezst.

8 A spektroszkpiai mrsek mr Bohr idejben is 8-9 jegyre pontosak voltak, de a ngyjegynl pontosabb egyezshez figyelembe kell mg venni, hogy a proton is mozog; lsd a15.2 pontban.

Geszti Tams

1.4. De Broglie: a Bohr-formula rtelmezse anyaghullmokkal 23

jelzi, hogy Bohr kvantumfelttele a fizikai valsg valamilyen fontos tulaj-donsgt ragadta meg. A (1.8) formulban az nknyesnek ltsz 2pi bersa,mint egy pnclszekrnyt nyit kd, ennek a numerikus egyezsnek a kulcstadta Bohr kezbe.

Mr csak annak megrtsvel vagyunk adsak, hogy hogyan s mirt.

1.4. De Broglie: a Bohr-formula rtelmezse anyaghull-mokkal

Mr Einstein megjegyezte, hogy mivel az elektromgneses hullmok E ener-gijhoz a maxwelli elektrodinamika szerint E/c impulzus (lendlet) tarto-zik, a h energij fotonnak is van p = h/c = h/ impulzusa. Einsteinszemben ez lnyeges lps volt ahhoz, hogy a fotont teljes jog elemi r-szecsknek tekinthessk.

Louis de Broglie fedezte fel 1924-ben, hogy ha fordtva, a p = Mev impul-zussal mozg elektronhoz is hozzrendelheto valamifle anyaghullm moz-gsa, s ha erre is teljesl az Einstein-fle sszefggs:

= hp,

(1.11)

akkor ez tnemnyes egyszerusggel megmagyarzza a Bohrfle kvantum-felttelt! Valban, ha az (1.8) egyenletet egy kicsit ms alakba rjuk:

2pir = nhp

= n,

h

(1.12)

akkor n egsz szm volta azt jelenti, hogy a krbefut hullm nmagbazrdva, hatrozott (matematikai nyelven: egyrtku) fzissal, brmeddigzavartalanul folytathatja stacionrius (llandsult) hullmmozgst. Ez v-lasztja ki a Bohr-fle stacionrius krplykat.

Az (1.11) De Broglie-relci, amely a hullmknt mozg elektron hullm-hosszt kapcsolja ssze a replo golyknt mozg elektron impulzusval, akvantummechanika egyik alapveto sszefggse. Ez nem csak a fotonra saz elektronra, hanem minden kvantumos mozgsra vonatkozik. Azt az ap-rsgot, hogy az impulzus nem skalr, hanem vektor, knnyu figyelembevenni, csak be kell vezetni a~k hullmvektort, amelynek nagysga k = 2pi/,irnya pedig meroleges a hullmfrontra; ezzel (1.11) gy finomthat:

~p = ~k, (1.13)De Broglie tbbfle rvelst is tallt, amelyek plauzibiliss tehetik az

anyaghullmok feltevst. A legkzvetlenebb az, hogy ha a fnyhullm bizo-nyos krlmnyek kztt rszecske (foton) mdjra viselkedik, akkor nem

Geszti Tams

24 1. A kvantumelmlet kezdetei

annyira meglepo, hogy az elektron, amire mint a katdsugrcsoben replorszecskre szoktunk gondolni, ms krlmnyek kztt (pl. egy atombazrva) inkbb hullmknt mozog. Ennl jval intellektulisabb, a fizikbanmuvelt kznsgnek szl rvels az, hogy ha Planck nyomn egy rezgsfrekvencijhoz az E = h = h sszefggs szerint egy rezgsi kvantumenergija kapcsoldik, akkor jusson esznkbe, hogy a relativits elmleteszerint az E energia s a ~p impulzus egytt ngyesvektort alkotnak, akr-csak az krfrekvencia s a~k hullmvektor egyttese: a relativits szim-metriavilga is megkveteli az anyaghullmok ltezst. Ez az rvels elsohallsra szokatlan, de roppant hatkony: a modern fiziknak mig is tart,kedvelt jtka szimmetrik alapjn megjsolni valaminek a ltezst, azutnmegkeresni azt a valamit. A relativits elmletnek risi heurisztikus erejeklnsen sokszor lendtette tovbb a kvantumelmlet fejlodst.

gy ltszik, mintha sok alapveto krdst sprtnk volna a szonyeg al:Ha valami hullm, akkor mikppen mozoghat golycska mdjra?Akrmi legyen is az elektron, elektromos tltse biztosan van, akkor pe-dig krmozgsa kzben sugroznia kellene; mikppen biztostja a Bohr de Broglie kvantumfelttel azt, hogy az elektron ne sugrozza ki azon-nal a krbemozgs energijt?Mi hullmzik?

Ezek a fontos krdsek meglepo knnyedsggel hrultak el, s az 1920-asvek msodik felben megszletett a kvantummechanika. A kvetkezo feje-zetben ezeket a krdseket beszljk meg, azokkal az alapveto ksrletekkelegytt, amelyek bizonytottk az anyaghullmok ltezst.

Geszti Tams

2. fejezetAz anyaghullmok elemitulajdonsgai

2.1. Interferenciaksrletek elektrontl C60-igA hullmjelensgek legltvnyosabbika az interferencia: az, hogy a hullmsztoszthat rszhullmokra, amelyek trben s/vagy idoben sztvlva klnhaladnak, de orzik a kzs eredetbol szrmaz rezgsi fzist, majd sszeta-llkozva erostik vagy gyengtik egymst aszerint, hogy az elklnlt terje-ds kzben milyen fzisklnbsget vettek fel.

Az interferencia megfigyelshez kell:

egy hullmforrs: fny esetben lmpa, lzer, anyaghullmok esetntbbnyire valami forr anyag: izzszlbl s gyorst elektrdbl llelektrongy, atomokat vagy molekulkat elprologtat klyha, neut-ronokat kibocst reaktor vagy protongyorstra teleptett spallcisneutronforrs; mindez geometriailag lehatrolva (leblendzve), hogyjl meghatrozott tklnbsgeket kapjunk;egy nyalboszt: ernyo kt rssel, optikai rcs, fligtereszto tkr;

elegendo hely a rszhullmok fzist s amplitdjt befolysol tr-gyak beillesztsre;

esetleg egy nyalbegyesto, ami ugyanolyan, mint a nyalboszt;

egy detektor vagy detektorok rendszere, amely az interferenciakpetszleli.

Fny interferencijt ktszz ve sikerlt eloszr megfigyelni; ehhez a 20.szzad tette hozz, mint j felfedezst, a nehezen sztvlaszthat fnykvan-tumok ltezst. Az anyaghullmok viszont elektronknt, atomknt, mole-kulaknt azonosthat, elemi vagy sszetett anyagrszecskk interferencij-ban mutatkoznak meg, ami a maga idejn sokkol meglepets erejvel hatott.Az interferenciakp olyan kis intenzitsoknl is vltozatlan mintzattal raj-zoldik ki, ahol mr nyilvnval, hogy nem sok rszecske kollektv mozgsa

25

Geszti Tams

26 2. Az anyaghullmok elemi tulajdonsgai

veti a hullmokat, hanem egyetlen rszecske terjed hullmszeruen, vlik sztrseken rcson nyalbosztn, majd interferl nmagval.1

Eloszr elektronok interferencijt sikerlt megfigyelnie a DavissonGermer kettosnek. Ez a maga idejn, 1927-ben Nobel-djas ksrlet volt;manapsg az elektronmikroszkpok rutinszeru tartozka: egy tkapcsolval,amely megvltoztatja a szemlencse fkusztvolsgt, tllhatunk a trgy k-prol a trgy mint optikai rcs ltal ltrehozott interferenciakp (diffrakciskp) megjelentsre.

Neutronok interferencija az 1970-es vekben vlt br nem knnyu, de ru-tinszeruen muvelheto ksrleti technikv. A fo nehzsget a fnynl sokkalrvidebb hullmhosszak ltal megkvetelt stabilits jelenti: az egsz interfe-romtert, amely fligtereszto neutrontkrkre pl, egyetlen sziliciumkris-tlyknt kell nveszteni. A fligtereszto tkrben a bejvo neutronhullm akristly atomskjain kt irny kztt tkrzodik oda-vissza. Ahol ppen feleelore, fele a visszatkrztt irnyba halad, ott kell a kristlyt elvgni, hogykettosztott neutronhullm jjjn ki belole.

Atomoknl s molekulknl a forrs ksztse s a detektls is nehzfeladat. Molekulknl kln nehzsget jelent a molekula rezgseinek sforgsainak az interferencit elmos hatsa. A 20. szzad vgnek vatoselorehaladsa utn 1999-ben igazi szenzciknt jtt a bcsi ZeilingerArndtkutatcsoport ksrlete, akik eloszr C60, majd C70 fullern-molekulval snhny hasonl mretu szerves molekulval2 vgeztek interferenciaksrle-tet. A legnagyobb molekulknak, amelyekkel sikerlt interferenciaksrletetvgezni, a tmege 31024 kg krl van, ami egyelore nehezen meghalad-hat hatrnak tunik: ennl nehezebb molekulkbl ll anyagok mr kly-hban nem prologtathatk el, emiatt az ismert mdokon nem lehet belolkinterferomterben hasznlhat hullmforrst kszteni.

2.2. A szuperpozici elveA fnyhullm amplitdjnak a helytol s idotol fggo elektromos treross-get tekinthetjk. A vzhullm amplitdja a hullmz vz felletnek vltozmagassga, a nyugv vz szintjhez viszonytva. Az anyaghullmok ampli-

1 Ennek statisztikai igazolsa nem knnyu: a Poisson-eloszlsban kis intenzitsnl sem el-hanyagolhat tbb rszecske tallkozsa, de a gondosan vgrehajtott ksrletek teljes elmletianalzise meggyozoen tudja azonostani az egyrszecske-interferencit.

2 Ne buvlje el az olvast az, hogy szerves molekulkrl is van sz: az, hogy szerves, smindaz, aminek ebbol az lethez kze lehet, a molekula belso szerkezetre s belso mozg-saira vonatkozik, az interferencia viszont csak a molekula egsznek tmegkzpponti hul-lmmozgst rinti. A ketto klnbsgrol szl a 15.2. pont.

Geszti Tams

2.2. A szuperpozici elve 27

tdjt hagyomnyosan Schrdinger nyomn (~r, t)-vel jelljk, s akvantummechaniktl tbbek kztt azt vrjuk, hogy vilgtsa meg ennek afggvnynek a fizikai tartalmt.

Az interferenciajelensgekben a rszhullmok amplitdi sszeaddnak,ami elojeles, esetleg vektori mennyisgekrol lvn sz az eredo hul-lmnak hol erosdst, hol gyenglst vltja ki; ennek a ktfle hatsnakhelyrol helyre, esetleg idorol idore val vltakozsa eredmnyezi a jellegze-tes interferenciacskokat, idobeli interferencia esetn a lebegs jelensgt. Adetektorok mindezt a hulm intenzitsn szlelik, ami legalbbis elektro-mgneses vagy mechanikai hullmoknl tipikusan az amplitd abszoltrtknek ngyzete. Ha ezt prbakppen elfogadjuk anyaghullmokra is, ak-kor a |(~r, t)|2 mennyisget kell a hullm intenzitsnak tekintennk. Ezzelkt rszhullm interferencijt gy rhatjuk le:

| 1(~r, t)+ 2(~r, t)|2 = ||2 |1(~r, t)|2 + ||2 |2(~r, t)|2+ 1(~r, t)2(~r, t)+ 1(~r, t)2(~r, t),

(2.1)

ahol a ksobbiek kedvrt megengedtk, hogy komplex szm is lehessen,gy kerlt a formulba a komplex konjugltat jelzo csillag. Azt a lehetos-get is lnyeges volt belevenni a formulkba, hogy a kt rszhullm kln-bzo mrtkben vehessen rszt az interferenciban; ezt jellemzik a ltrejvo 1(~r, t)+ 2(~r, t) lineris kombinci s egytthati.

A fenti egyenletben a jobboldal elso kt tagja a kt rszhullm intenzit-sainak a lineris kombinci szerint slyozott sszege. Az interferencit akt utols tag jelzi: a vegyesszorzatok, amelyek negatv szmot eredmnyez-nek ott s akkor, ahol s amikor a kt rszhullm ellenttes fzisban rezeg(destruktv, vagyis rombol interferencia), s pozitv szmot (konstruktv,vagyis pto interferencia), ha ppen azonos fzisban rezegnek. Vegykszre, hogy mivel s ltalban komplex szmok, a maguk komplex fzi-sval eltolhatjk az interferenciakpet.

Az, hogy kt rszhullmot linerisan sszekombinlva, az idobeli fejlo-ds sorn az eredo hullm ugyanolyan arny lineris kombincija ma-rad annak, amiv a kt rszhullm kln-kln fejlodne, a vkuumban ter-jedo elektromgneses hullmokra nagy pontossg ksrletek ltal igazolttny. Ezt a tapasztalatot tkrzi vissza matematikai formban a Maxwell-egyenletek linearitsa. Klnbzo anyagokban terjedo elektromgneses hul-lmok ettol mr tbb-kevsb eltrnek, az ebbol eredo jelensgekkel fog-lalkozik a nemlineris optika. Vzhullmokra a lineris kombinci csakdurva kzeltsknt hasznlhat. Ezrt roppant meglepo, hogy az anyaghul-lmok lineris kombincija (szuperpozicija: vltoztats nlkli egymsra

Geszti Tams

28 2. Az anyaghullmok elemi tulajdonsgai

helyezse) risi pontossggal megorzodik az idobeli fejlods sorn. Ezt atapasztalatot fejezi ki a szuperpozici elve, ami a kvantummechanika egyikalaptrvnye. Matematikai kifejezse az, hogy ha az anyaghullmok ter-jedst valamilyen hullmegyenlettel akarjuk lerni, annak az egyenletnekmindenekelott linerisnak kell lennie.

Az elektromgneses hullmok amplitdja, az elektromos trerossg nemcsak a helytol s az idotol fggo szm, hanem vektor, amelynek irnya a hul-lm polarizcijt fejezi ki. A kvantummechanikban risi vltozatossgtismerhetjk meg az egyszeru hely- s idofggsen tlmeno belso szabadsg-fokoknak. Itt van mindenekelott a spin, amely mg erosen emlkeztet a fnypolarizcijra: ahogy kt kivlasztott polarizcis irny bzisbl line-ris sszeadssal (szuperpozicival) akrmilyen polarizcis irnyt ki lehetkeverni, gy kt spin-irnybl (egy adott irnyhoz kpest felfel s le-fel ll spin) is komplex egytthatkkal kikeverheto minden ms irny,sszhangban a szuperpozici elvvel.3 Hasonl precizitssal rvnyesl aszuperpozici elve a replo atomok magjainak lehetsges llapotaira, sota nagyenergij fizika krlmnyei kztt egymsba talakul rszecskkllapotaira is: a nyolcvanves szuperpozici-elvet azta sem, a legegzoti-kusabb krlmnyek kztt sem sikerlt a mikrovilgban pontatlansgonkapni.

Ugyanakkor a makroszkopikus testek, amilyenek mi magunk is vagyunk,sohasem jelennek meg klnbzo helyek, klnbzo llapotok szuperpozi-cijban. Pedig ha a kvantummechanika rnk is vonatkozna, elg lenne kl-csnhatsba kerlnnk egy szuperponlt llapot mikrorszecskvel, s et-tol magunk is szuperpoziciba kerlnnk. Ennek abszurditsra utal Schr-dinger hres macska-hasonlata: egy radioaktv atombl kisugrzott -r-szecske berkezst szlelo detektor vezrel egy olyan eszkzt, amely a velesszezrt macskt megli. A lineris kvantummechanika szerint amg az-rszecske a mg nem jtt ki s mr kijtt llapotok szuperpozcij-ban van, addig a detektor macskagyilkos szerszm macska klcsnhatskvetkeztben a macska is szuperpozcijba kerl az lo s dgltt l-lapotoknak.

Ilyet senki sem ltott. A tanulsg nyilvnval: macskkra, emberekre,makroszkopikus testekre nem vonatkoznak a lineris kvantummechanikatrvnyei. Hogy a makro- s mikrovilg kztt van-e folytonos tjrs, aznyitott krds, amire mg tbbszr vissza fogunk trni. Nagyon fontos tudniazonban, hogy az sszes eddig ismert fizikai rendszerek a makro-mikro sza-kadk egyik vagy msik partjn vannak, sohasem benne a szakadkban. A

3 Ezt ennyibol nem kell rteni; a levezetsek a 12.1. pontban tallhatk.

Geszti Tams

2.3. Hullmcsomag, csoportsebessg

29

kvantummechanika tkletesen mukdo szablyokkal rja le a kt vilg k-ztti klcsnhatsokat, amelyeknek tipikus esete egy mikrorendszer mrsemakroszkopikus detektorok segtsgvel.

2.3. Hullmcsomag, csoportsebessgA hullmmozgs, akrcsak a vzhullm taraja, kpes magt replo rszecskemozgsnak mutatni. A szuperpozci-elv birtokban ezt gy fejezhetjk ki,hogy klnbzo hullmhossz hullmok szuperpozcijbl hullmcsomagalakul ki; ez mozog rszecskre emlkezteto mdon. Az analgia precz smesszire hat.

A klnbzo hullmhossz hullmok egy vletlenszeruen sszerakottszuperpozciban a legtbb helyen kioltjk egymst; a hullmcsomag olyanhelyeken alakulhat ki, ahol a rszhullmok fzisai egybeesnek. Mivel a rsz-hullmok ltalban ms s ms fzissebessggel haladnak, a hullmcsomaghelye is elmozdul; ennek az elmozdulsnak a sebessgt hvjuk csoportse-bessgnek.

A fogalom matematikja nagyon egyszeru. Induljunk ki egyetlen, a ko-ordintarendszer x-tengelye mentn halad, k = 2pi/ hullmszm skhul-lmbl: ennek megfelelo matematikai lersa nyilvn

k(x, t) = sin(k(x, t)) = sin(kx t), (2.2)amelybol leolvashat, hogy az azonos fzis helyek vfzis = /k sebes-sggel terjednek.

Rakjunk most ssze (szuperponljunk) klnbzo, folytonosan vltoz khullmszm skhullmokat, amelyek frekvencija adott = (k) mdonfgg a hullmszmtl. A klnbzo komponenseket valamilyen c(k) va-ls slyokkal sszeintegrlva egy Fourier integrl alakjban kapjuk meg azeredo hullmamplitdt:

(x, t) =Z

c(k)sin [kx(k) t] dk.

(2.3)

Most jn a matematikai csattan. Ahogy mr mondtuk, a klnbzo hullm-hossz, k fggvnyben pozitv s negatv rtkek kztt oszcilll kompo-nensek sszeintegrlva, a legtbb x helyen s t idoben kzel 0-v addnakssze. Kivtelt azok az sszetartoz (x, t) prok jelentenek, ahol s amikor aszinusz k fggvnyben ppen nem oszcilll: ahol s amikor a fzis k szerintiderivltja eltunik, vagyis

k [kx(k) t] = x

(k)k t = 0. (2.4)

Geszti Tams

30 2. Az anyaghullmok elemi tulajdonsgai

A formulbl ltjuk, hogy ezek az idotol fggo kitntetett helyek

vcsop =(k)

k (2.5)

sebessggel mozognak; ennek a sebessgnek a neve csoportsebessg.4Knnyu megszabadulni az x tengely irnyba val mozgs megszorts-

tl: egy skhullm brmilyen ~k hullmvektor irnyba terjedhet, ekkor az(~k) diszperzis fggvnynek megfelelo csoportsebessg vektora:

~vcsop =(~k)

~k.

h

(2.6)

Mr csak egy lps hinyzik, hogy elhihessk, a hullmcsomag mozg-snak van valami kze a pontszerunek tekintheto rszecskk klasszikus me-chanikval lerhat mozgshoz. Emlkezznk vissza a hullm rszecskemegfeleltets Bohrde Broglie szablyaira: h = E , ~k = ~p. Ezekkel az(2.6) egyenlet gy is rhat:

~vcsop =E(~p,~r)

~p =

~p

(p2

2m+V (~r)

)=

~pm

, (2.7)

h

ami megegyezik a rszecske klasszikus mechanika szerinti sebessgvel!Remlem, hogy ennek a megrendtoen szp s egyszeru sszefggsnek

a hatsra az eddig mg ktelkedo olvas is kezdi elhinni, hogy itt tny-leg arrl van sz, hogy milyen krlttnk a vilg. Aki mr tanult elmletimechanikt, az azt is vegye szre, hogy az utbbi egyenlet Hamilton egyikkanonikus egyenlete, csak a rszecske E(~p,~r) energija helyett kellett volnaH (~p,~r) Hamilton-fggvnyt rni; ltalban ez vezrli az idofggst (gon-doljunk a HamiltonJacobi egyenletre). Ennek a fggvnynek a termsze-tes vltozi a hely s a hozz konjuglt kanonikus impulzus, amelyet azL (~r, ~r) Lagrange-fggvnybol kapunk ~r szerinti derivlssal.

Egyszeru esetekben a Hamilton-fggvny megegyezik az energival, desok nagyon fontos esetben nem, ilyen pl. egy tlttt rszecske mozgsamgneses trben. Ilyenkor a ~k = ~p sszefggsben is a kanonikus impulzusjelenik meg, s ~p 6 = m~v.

A hullmcsomag-kpnek korltai vannak: a mikrovilgban egy hullm-csomag tiszavirg-letu alakzat, keletkezik s sztfolyik. Kivteles krl-mnyek kztt, pl. harmonikus rezgomozgs esetben, ltrejhetnek szt

4 Akkor alakul ki jl definilt hullmcsomag, ha a (2.5) derivlt egy elg szles k-intervallumon bell kzel lland, msklnben a csoportsebessg nem jl definilt mennyi-sg, ami annak a matematikai jelzse, hogy a hullmcsomag hamar sztfolyik.

Geszti Tams

2.4. Mozgs erotrben 31

nem foly, stabilan hintz hullmcsomagok is; ezeket koherens llapotok-nak hvjuk, s a 8.2. pontban kzelebbrol is megismerjk oket.

2.4. Mozgs erotrbenNem sokat rne a kvantummechanika, ha lebnulna ott, ahol a klasszikusmechanika a legjobban teljest: a V (~r) potencillal jellemezheto erotrbenval mozgs lersnl. A klasszikus mechanikbl tudjuk, hogy ilyenkora ~V erovel arnyos gyorsuls lp fel, mikzben az E = p2/2m +V (~r)energia megmarad. Ha a mozg test olyan helyre tved, ahol a V (~r) poten-cil elri a teljes E energit, vagyis a test nekimegy a potencilfalnak, ottvisszapattan.

A hullmok vilgban is van energiamegmarads (ezt ksobb rszletesenmegbeszljk), de amgy a mozgs a klasszikusnl sokkal gazdagabb vl-tozatossgot mutat. Eloszr is, az (1.11) egyenletnek megfeleloen, adott Eenergia mellett ahol V (~r) vltozik, ott vltozik a hullmhossz is. A hullm-szmmal kifejezve:

k(~r) = 1h

2m(EV (~r)). (2.8)

Lokalizlt hullmcsomagnak teht, ha a potencilis energia cskkense az ero irnyba mozdul el, no a hullmszma, vagyis impulzusa is no,sszhangban a newtoni mechanikval.

Ha nem lokalizlt hullmcsomagot, hanem egy zrt plya mentn sztfo-ly, nmagba zrd hullmot akarunk vizsglni erotr hatsa alatt, a Bohrfle kvantumfelttel szp ltalnostsval talljuk szembe magunkat: hogyegy q koordinta mentn krbefut mozgsnak llhullm vagy akrmennyiideig vltozatlanul krbefut hullm feleljen meg, a teljes zrt plyra a vl-toz (q) hullmhosszbl egsz szm darabnak kell rfrnie. Egy adott qhelyen egy dq szakaszra a hullmhossz dq/(q) hnyada fr r, teht a sta-cionrius mozgs felttele, hogy

Hdq/(q) = n egsz szm legyen, vagyis

hogy Ip(q)dq = n h, (2.9)

teljesljn. Hogy ez a felttel helyes lehet, azt Sommerfeld mg de Brog-lie hullmkpe elott megsejtette, ezrt BohrSommerfeld kvantumfelttel-nek hvjuk.

Az eddigieknl sokkal megdbbentobb, hogy a potencilfalrl val visz-szapattans sem gy igaz hullmokra, mint a klasszikus mechanika szerintrpkdo golykra. Ezt mr a klasszikus optikbl is tudjuk: teljes vissza-verodskor a fny evaneszcens (a mlysggel legyenglo) hullm alakj-

Geszti Tams

32 2. Az anyaghullmok elemi tulajdonsgai

ban valamennyire behatol a visszavero kzegbe. Ez trtnik itt is: aholV (~r) > E , ott a (hk)2/2m kinetikus energia negatv, de ez hullmok esetnnem baj, csak annyit jelent, hogy a k hullmszm imaginrius, vagyis gyrhat: k = i, ahol vals szm. Ilyenkor a hullm amplitdjnak fggsea behatols z mlysgtol eikz = ez alak, vagyis nem oszcilll, hanemexponencilisan cskkeno.

Elso rnzsre gy tunhet, hogy tlhajtottuk a matematikai formalizmust,pedig amit kaptunk, az az igazsg: ha a tiltott V > E tartomny elg v-kony (konkrtan: nem sokkal vastagabb, mint 1/), akkor az anyaghullm-nak csak egy rsze verodik vissza a potencilfalrl, egy kis rsze thalad.Ezt hvjk alagteffektusnak, s szmos megjelensi formja van: gy jut kitbbek kztt az -rszecske a boml radioaktv atommagbl, de gy jut taz elektromos ram is a villanykapcsol oxidlt fmfelletein. Fontos szerepjut a protonok alagutazsnak a biolgiai mutciban s fontos enzimreak-cikban: nlkle mi sem jhettnk volna ltre.

Az alagteffektus elmletre a ksobbiekben mg ktszer is visszatrnk:az 5.5. s a 16.2. pontban.

2.5. Szemiklasszikus mozgs s tmenet a klasszikusmechanikba

Egy hullmcsomag ltalban kiterjedt s bonyolult lehet; ilyenkor az alak-jt rszletesen kell ismernnk, hogy a viselkedsre kvetkeztethessnk. Haazonban olyan hatresetben vagyunk, hogy a mozgs kiterjedshez kpesta hullmcsomag kicsi, ami azt is jelenti, hogy rvid hullmokbl kevertkki, a hullmcsomag mozgst klasszikus mechanikai egyenletekbol ki tudjukszmtani. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a kvantummechanika szemiklasszikus(flig klasszikus) kzeltst hasznljuk.5 Fontos, ksrletileg jl vizsglhatrendszerek tartoznak ebbe a hatresetbe; ezek tipikusan mezoszkopikusak,vagyis a mikroszkopikus s a makroszkopikus mrettartomny kz esnek;ilyenek pl. a legkisebb, nagyon tiszta anyagokbl gyrtott s nagyon ala-csony homrskletre lehuttt flvezeto szerkezetekben mozg elektronok.

A kvantummechanika kezdeteinl gy ltszott, hogy ezzel meg is rtettka kvantummechanika s a klasszikus mechanika kapcsolatt: a kvantumme-chanika bizonyos hatresetben (rvid hullmhossz, magasan gerjesztett l-lapotok) egyszeruen tmegy a klasszikus mechanikba. Ezt nevezte Bohr akorrespondencia elvnek (korrespondencia = megfelels: egy magasan ger-jesztett kvantumos hullmnak megfelel egy klasszikus llapot).

5 Ezzel foglalkozik rszletesebben a 16. fejezet

Geszti Tams

2.6. Hatrozatlansgi relci

33

Formlisan az elv mukdik,6 de a tartalmi egyszerusgbe vetett kezdeti hitmra eltunt. Amg a hullmcsomagnak hullmtulajdonsgai vannak, vagyisamg interferencira kpes, addig az ebbol eredo jelensgeket kvantumme-chanikval kell lerni; attl, hogy a hullmcsomag mozgsa kzeltoleg k-veti a klasszikus mechanika trvnyeit, mg tvolrl sem mondhatjuk, hogya kvantumelmlet oldalrl megrtettk a klasszikus mechanika ltezst.

Az igazn klasszikus fizika megrtshez tovbbi nehz lpseket kellmegtennnk. Ezek egyikn a 20. szzad utols negyedben, Zeh s Zu-rek ttro munki nyomn tljutott a fizika: elg rszletesen megrtettk,miknt vsz el az anyaghullmok koherencija, amint a mikrovilgbl t-lpnk a makroszkopikus vilgba; a kulcs a krnyezettel val klcsnhatskvantummechanikai lersa, amelyrol az E. fggelkben adunk ttekintst.

Hullmok azonban koherencia nlkl is szt tudnnak folyni, ami mak-roszkopikus testekkel sohase trtnik meg. Ez mr egy tovbbi fontos lpsirnyba mutat, ahol a kvantummechanikai mrs folyamatval fmjelzettjelensgkr esetleg rejtett rszletei vrhatnak rnk; az idevg krdsek tisz-tzsa az j vezredre maradt.

2.6. Hatrozatlansgi relciA hullmcsomag csak korltozottan hasonlt egy replo rszecskre. A r-szecsknek hatrozott helye s impulzusa lenne, a hullmcsomag helye simpulzusa csak korltozottan hatrozhat meg. Valban, a hullmcsomag-nak van valamilyen x szlessge,7 ezt tekintjk a helymeghatrozs bi-zonytalansgnak (az egyszerusg kedvrt beszljnk megint egydimen-zis, x irny mozgsrl). Ugyanakkor a hullmcsomagot a (2.3) egyenletszerint skhullmokbl keverjk ki, amelyeket egy k szles hullmszm-intervallumbl vlogatunk ssze; ennek megfelel egy p = hk impulzushatrozatlansg.

A kt hatrozatlansg nem fggetlen egymstl, hanem egymssal nagy-jbl fordtva arnyosak; az ltalnos matematikai trgyalst ksobb ismer-jk meg. A dolog tartalma azonban egyszeru: ha egy tlagosan nyugv hul-lmcsomagot 0 s kmax k kztti hullmszm skhullmokbl raktamssze (2.1. bra), akkor a felhasznlt legrvidebb hullmhossznak kb. a fele,

6 Valjban mg formlisan sem egszen: a klasszikus mozgs nem a magasan gerjesztettllapotokhoz, hanem az n. koherens llapotokhoz ll kzel, amelyek vgtelen sok gerjesztettllapot koherens szuperpozcijbl ltrejvo, stabil hullmcsomagok: lsd a 8. fejezetet.

7 Ezt pontos szmtsnl az tlagtl val ngyzetes tlageltrs ngyzetgykeknt definil-hatjuk.

Geszti Tams

34 2. Az anyaghullmok elemi tulajdonsgai

2.1. bra. Az egy helyen fzisban sszeillesztett, klnbzo hullmhossz ssze-tevok egy x szlessgen kvl kioltjk egymst; ez a x a hullmcsomag mrete.

min/2 = pi/kmax szabja meg a hullmcsomag mrett, vagyisx min/2 = pi/kmax. (2.10)

Hasonlan, az impulzus szrsa

p hkmax/2. (2.11)

A ketto szorzata:x p hpi/2. (2.12)

A pontos eredmny, amit ismeretekben megerosdve a 7.1. pontban fo-gunk levezetni, a durva szmfaktor helyett pontos korltot mond:

x p h/2.

(2.13)

Ez a Heisenberg-fle hatrozatlansgi relci, amit sokig a kvantumelm-let legfontosabb eredmnynek tartottak. Mra hozzszoktunk s rutinsze-ruen hasznljuk, az analg sszefggsek sokasgval egytt. Ezek kzlemltsk meg az ido s energia bizonytalansga kztti sszefggst: ha egyesemny idopontjt t pontosan akarjuk krlhatrolni, ehhez 1/(2t)frekvenciaintervallumbl kell periodikus rezgseket egy t hossz impul-zuss sszerakni. Ha a kvantummechanika rtelmben az frekvencijrezgsnek E = h energia felel meg, akkor a hatrozatlansgi relci gyszl:

t E h/2, (2.14)ami tbbek kztt azt mondja, hogy egy vges ido utn elboml rszecskeenergija nem lehet teljesen hatrozott.

Geszti Tams

2.7. Az alapllapot mrete s energija

35

Jegyezzk meg, hogy a hatrozatlansgi relcik szabta korltok eltunn-nek a h 0 hatresetben, ami a korrespondencia elvnek egyik kifejezse.Termszetesen h akkora amekkora, s nem tart 0-hoz, de neki fizikai dimen-zija van (J s), ennek megfeleloen egy konkrt rendszerben h-sal arnyosdimenzitlan kombincik valban elenyszoen kicsi rtket vehetnek fel,ami br jelzi, de mint mr mondtuk, nem garantlja a klasszikus viselkedst.

2.7. Az alapllapot mrete s energijaMirt olyan nagyok az atomok? Az atommmagok s elektronok elfrnneksokkal kisebb helyen is, amihez a Coulomb-vonzs miatt alacsonyabb poten-cilis energia tartozna, de akkor a hatrozatlansgi relci miatt megnone akinetikus energijuk. Van egy legstabilabb mret, ahol a kinetikus s poten-cilis energia sszege a legkisebb; ez a kvantummechanikai alapllapot.

Pontosabban az impulzusnak a 0 tlagtl val ngyzetes tlageltrse az,ami x mretre val sszeszortskor a hatrozatlansgi relci szerinth2/(2 x)2re no, amihez tlagosan h2/8m(x)2 kinetikus energia tartozik.Hogy mekkora a stabil mret s a hozz tartoz alapllapoti energia, azt az

E(x)V (x)+ h2

8m(x)2 (2.15)

teljes energia minimuma hatrozza meg; az eredmny az sszetart V (x)potencilon mlik. Tegynk egy-kt prbt!

Harmonikus oszcilltor esetn V (x) = (m/2)2x2, amibol a minimlisenergihoz tartoz mretre x =

h/2m, magra az alapllapoti energira

(zruspont-rezgs) Emin = h/2 addik. Az eredmny tl szp: a harmo-nikus oszcilltor Schrdinger-egyenletnek megoldsakor ltni fogjuk, hogydurva becslsnkkel az egzakt rtkeket kaptuk meg.

Msik prbul vlasszuk a hidrognatomot! Amint mr a Bohr-modellnlmegbeszltk, a proton s az elektron kztti vonzs potencilja V (r) =e2/4pi0 r. Az energiban x helyett r-et rva, a minimum helye r =h 2pi0/e 2m, az energia pedig e4m/8pi220h2, ami a Bohr-modellbol is-mert alapllapoti (n = 1-hez tartoz) energinl ngyszer nagyobb, de akkoris nagysgrendre helyes eredmny.

Egy kzelto energiaformult a benne levo szabad paramterek (itt: xill. r) szerint minimalizlva, becslst kapni az alapllapoti energira: ez astratgia ksobb mg elo fog jnni, mint varicis elv. Az elmlt nyolcvanvben felhalmozott fizikai tudsunk jelentos rszt varicis elvek egyre ki-finomultabb alkalmazsval szereztk. Az itt bemutatott, primitv vltozatotnevezhetnnk gy is: szegny ember varicis elve.

Geszti Tams

36 2. Az anyaghullmok elemi tulajdonsgai

2.8. Vletlenszerusg s a Born-fle statisztikusrtelmezs

Egy fontos lps mg htra van: mit is jelent a hullm intenzitsa? A kzvet-len vlasz: azt, amit az interferencia-ksrletekben mrnk, detektorokkal,fnykpezssel vagy egy fluoreszkl ernyo megfigyelsvel.

A finomabb vlasz akkor derl ki, ha az anyaghullm olyan kis intenzits-sal rkezik be, hogy egyszerre ltalban csak egy rszecsknyi anyaghullmvan a berendezsben, vagy annyi sem.

A ksrlet ilyenkor drmai kpet mutat: egyszerre csak egy detektor szlalmeg, az ernyo csak egy helyen villan fel, a film csak egy pontban feketedikmeg, s ha a rszecske tlli a detektlst, a megfigyels utn az egsz anyag-hullm onnan indul tovbbi mozgsra.

Hogy hol van az a hely, az a vletlenen mlik. A vletlen esemnyekbolazonban idovel kirajzoldik az interferenciakp! Ezt fejezi ki matematikaiformban a Born-szably:

|(~r, t)|2 d3r

(2.16)annak a valsznusge, hogy a (~r, t) amplitdj anyaghullmnak megfe-lelo rszecskt egy detektor az~r hely krli kicsiny d3r trfogatban talljameg. Ms szval: |(~r, t)|2 a rszecske megtallsi valsznusg-surusge.

Az, hogy a lthatatlanul kicsi elektron nem valami srga golycska, ha-nem hullm, vgl is megszokhat. A kvantummechanika furcsbb tulaj-donsgai a detektls vletlenszerusgvel kezdodnek. Az anyaghullmhozegyetlen ksrleti hozzfrsi lehetosgnket a detektorok jelentik, azok pe-dig vletlenszeru jelet adnak. Ez a tulajdonsg elvlaszthatatlanul hozz-ktodik a hullmfggvnyhez, amit emiatt gy is neveznek: valsznusgiamplitd.

Hogy egyszerre csak egyetlen detektor szlal meg, az igazn rejtlyes!Honnan tudja az egyik detektor, hogy a msik szlal meg, s akkor nekihallgatnia kell? Ezt eloszr Einstein jegyezte meg egy konferencin; nhnyvvel ksobb ebbol a megjegyzsbol nott ki az EinsteinPodolskyRosenkorrelcik tmakre, amit a 15.8. pontban fogunk megismerni.

Akrcsak a szuperpozci elve, a Born-szably is nagyon nagy pontossg-gal teljesl minden olyan esetben, amikor ellenorizni lehet, br maga a de-tektls folyamata ltalban tl bonyolult ahhoz, hogy a szigor ngyzetesarnyossg kzvetlenl teljeslhessen. A valsznusg s az amplitd k-ztti ngyzetes kapcsolat mindenesetre a kvantummechanika risi matema-tikai szerencsje; ms fggvnykapcsolat esetn nem mukdne a Hilbert-trnek nevezett fogalom, ami nlkl az elmlet sokkal bonyolultabb lenne.Ezzel foglalkozik a 6. fejezet.

Geszti Tams

2.9. llhullmok: anyagmegmarads s komplex amplitd

37

Ha mr a matematikai tulajdonsgoknl tartunk, a (2.16) formulban egykomplex szm abszolt rtknek ngyzete szerepel. Ha a hullmfggvnytmegszorozzuk egy egysgnyi abszolt rtku ei komplex szmmal, az azabszolt rtk ngyzett nem vltoztatja meg. Ez a tulajdonsg minden mr-heto kombinci esetn megmarad, ezrt a (x) s (x)ei hullmfggv-nyeket fizikai szempontbl egyenrtkunek tekintjk. Ez emlkeztet arra,ahogyan az elektrodinamikban a vektorpotencilhoz is hozzadhatunk vala-mit (egy skalr fggvny gradienst), ettol a vektorpotencil matematikailagmegvltozik, de fizikai kvetkezmnyeiben nem. Ott az ilyen fizikailag k-vetkezmny nlkl val vltoztatst mrtktranszformcinak nevezzk, sazt, hogy nincs fizikai kvetkezmnye, mrtk-invariancinak. Ennek min-tjra a hullmfggvnynek egy ei fzistnyezovel val szorzst is gy ne-vezzk, hogy mrtktranszformci, s hogy ettol semmi mrheto mennyi-sg nem vltozik, az a kvantummechanikai mrtk-invariancia.

Az csak hab a tortn, hogy az elektrodinamikai s kvantummechanikaimrtkinvariancia nem fggetlen egymstl: ha nem konstans, hanem ahely skalr fggvnye, akkor ez lnyegben (rtelemszeru szorzktl elte-kintve) megegyezik a vektorpotencil mrtktranszformcijban szereploskalr fggvnnyel. Ezen alapul az AharonovBohm-effektus, amit rsz-letesen a 11.3. pontban fogunk megismerni.

2.9. llhullmok: anyagmegmarads s komplexamplitd

A szuperpozci elve j kis csapdahelyzetet teremthet. Hogy kell lernunkazt az anyaghullmot, amely akkor jn ltre, ha egy elektron ppen vissza-verodik egy tkrzo felletrol, s egyszerre van jelen a beeso s a visszaverthullm?

Adjunk ssze egy jobbra halad s egy balra halad skhullmot: az eredosin(kx t)+ sin(kx t) =2sin( t)cos(kx).

(2.17)Ez llhullmot r le, amely peridusonknt ktszer eltunik. Krds: mi vanilyenkor az anyagmegmarads trvnyvel, hol van az elektron az eltunsekpillanataiban?

A krdsre az eddigi jtkszablyok betartsa mellett nincs j vlasz. Amegolds, amire Schrdinger jtt r, az, hogy a hullmamplitdt komp-lex fggvny alakjban kell rni. Hullmok, rezgsek lersban ez gyakranhasznlt matematikai trkk: komplex szmokat knnyebb sszeadogatni,mint trigonometrikus fggvnyeket, de olyankor az ember szben tartja,hogy a valsg a komplex fggvnyek vals rsze. Most azonban a trkk

Geszti Tams

38 2. Az anyaghullmok elemi tulajdonsgai

valsgg lp elo: egy megmarad rszecskt mint anyaghullmot valbankomplex fggvnnyel kell lerni, s ennek nem csak a vals rsze, hanem azegsze hordozza a fizikai tartalmat.8

Hogy is mukdik ez? Egy jobbra halad skhullm amplitdja mosteikxi t . A jobbra s balra halad skhullm szuperpozcija

eikxi t + eikxi t = 2ei t cos(kx).

(2.18)Ez mr sohasem tunik el, csak forog a komplex skon. A komplex szmabszolt rtknek ngyzete, a hullm intenzitsa, ms szval: a megtal-lsi valsznusgsurusg az ilyen alak fggvnyre idoben nem is vltozik,hiszen |ei t |2 = 1: nincs tbb bajunk az anyagmegmaradssal.

Ez a kulcsa a nemsugrzs paradoxonjnak is, ami a Bohr-fle atommo-dell idejben mg feloldhatatlannak tunt: a stacionrius elektronplyk va-ljban ei t(~r) amplitdj llhulmok, amelyekben az elektromos tl-tssurusg eloszlsa idoben lland marad, ezrt nem is sugroznak elektro-mgneses hullmokat.

Amikor viszont az elektron ppen tmenoben van kt stacionrius elekt-ronplya kztt, az a hullmok nyelvn egy c1ei1 t1(~r)+ c2ei2 t2(~r)szuperpozcit jelent. Ekzben az elektron megtallsi valsznusgsuru-sge, s ezzel az elektromos tltssurusg eloszlsa is gy vltozik:

|c1ei1 t1(~r)+ c2ei2 t2(~r)|2 = |c1|2|1(~r)|2 + |c2|2|2(~r)|2+2 [c1c21(~r)2(~r)] cos(12 t) + 2 [c1c21(~r)2(~r)] sin(12 t),

(2.19)ami a Bohr-felttelnek megfelelo 12 12 = (E1E2)/h krfrek-vencival oszcilll.9 Ha a 1(~r) s 2(~r) fggvnyek olyanok, hogy enneka tltsoszcillcinak rezgo diplmomentuma van, akkor az elektron erosensugrozza ki vagy nyeli el az elektromgneses hullmokat; ha nincs dipl-momentuma, akkor gyengn. Az elso esetben beszlnk megengedett t-menetrol az 1 s 2 llapotok kztt, a msodik eset neve tiltott tmenet. Aketto kztti klnbsgttelt nevezik kivlasztsi szablynak, s az egszrolrszletesebben fogunk beszlni a 13.3. pont vgn.

8 A fizikban megesik nha, hogy egy matematikai segdmennyisgrol kiderl, tbb a va-lsgtartalma, mint eloszr gondoltk. Nevezetes pldja ennek az elektromgneses vektor-potencil, amelyrol az elozo pontban mr emltett nevezetes kvantumjelensg: az AharonovBohm-effektus kapcsn derlt ki, hogy dnto s kzvetlen szerepe van a kvantummechanikaiinterferenciakp kialaktsban, lsd a 11.3. pontot.

9 A tlttt rszecske megtallsi valsznusgsurusge csak oda-vissza jr, mikzben trfo-gati integrlja idoben lland marad, lsd a 4.3. pontot.

Geszti Tams

3. fejezetSchrdinger-egyenlet egyrszecskre

h

Egy replo rszecske akrmilyen bonyolult mozgst vgez, egy adott pil-lanatban jl meghatrozott helyen van. A hullmok mintzata ennl sok-szorosan gazdagabb: a hullmok terjedsk kzben akadlyokba tkznek,azokrl akrhnyszor visszaverodnek, s a szuperpozci elve azt mondja,hogy a beeso s visszavert hullmok egyre bonyolultabb sszegg tevodnekssze. Hogy lehet egy ilyen hullmalakzatot elmletileg lerni?

Az optika tudomnya ezt a krdst mr a 19. szzadban megvlaszolta:hagyjuk a sokszoros visszaverodsek szorgos knyvelgetst, inkbb keres-snk egy hullmegyenletet: olyan lineris parcilis differencilegyenletet,amit brmelyik skhullm kln-kln kielgt, a linearits miatt teht ezekbrmilyen szuperpozcija is! Ha megvan az egyenlet, oldjuk meg adott kez-deti s hatrfelttelek (peremfelttelek) mellett. Ezt a programot jellte ki svalstotta meg a kvantummechanikban Schrdinger (1926), aki ezltal deBroglie jtkos fantzilsait az anyaghullmokrl az elmleti fizika teljesrtku s hihetetlenl hatkony rszv tette.

3.1. A Schrdinger-egyenlet levezetseIsmerjk meg a Schrdinger-egyenlethez vezeto lpseket! Mr tudjuk, hogyegy~k hullmvektor s krfrekvencij skhullm a ~p = ~k impulzus sE = h energij rszecskemozgs kvantummechanikai megfeleloje. Ezrta skhullm amplitdjt, amit Schrdinger nyomn hullmfggvnynek ne-veznk, gy is rhatjuk:

(~r, t) = ei(~k~r t) = e ih (~p~rEt).

(3.1)Eromentes trben mozg, m tmegu rszecske energija kizrlag a kine-

tikus energibl ll:

E =p2

2m.

(3.2)Ez a felttel korltozza a (3.1) skhullm alakjt. A felttelt gy ellenoriz-hetjk, hogy egy megfelelo matematikai muvelettel leolvassuk a (3.1) skhul-

39

Geszti Tams

40 3. Schrdinger-egyenlet egy rszecskre

lmhoz tartoz energit s impulzust, s behelyettestjk oket a (3.2) egyen-letbe. Mivel a szuperpozci elvbe surtett tapasztalatoknak megfeleloenmost is lineris egyenletet akarunk levezetni, a leolvass muveletnek is li-nerisnak kell lennie.

Mivel a (3.1) formulban az energia s az impulzus a kitevoben szerepel,nem kell sokig gondolkoznunk, hogy mi a megfelelo muvelet: derivlni kella (~r, t) hullmfggvnyt egyszer az ido, egyszer a helyvektor szerint (azutbbi a vektoranalzisbol ismert gradiens kpzst jelenti, s a ~ (nabla)muveleti jellel jelljk); mivel a (3.2) egyenletben p2 szerepel, ez utbbimuveletet ktszer kell elvgeznnk:

t =

ih

E;

~ = ih~p;

(~ ~) =(

ih

)2(~p ~p) = 1

h2p2,

(3.3)

ahol = ~

h

~ a Laplace-opertor. Rendezzk az eredmnyeket:

ih t = E;

i~ = ~p;

h2

2m = p

2

2m.

h

(3.4)

Az utbbi rsmddal a matematikailag elg muvelt olvas szmra aleolvass muvelete nevet kapott: a fenti egyenletek lineris opertorok konkrtan: differencilopertorok sajtrtk-egyenletei. Az E energia azih(/t) opertornak, a ~p impulzus a i~ (vektor)opertornak, a p2/2mkinetikus energia a (h2/2m) opertornak a sajtrtkeknt olvashat le.A (3.1) skhullmrl kiderlt, hogy mindezen opertorok kzs sajtfggv-nye.1

Most mr kszen llunk a (3.2) felttel felhasznlsra:

ih t =h2

2m, (3.5)

1 Vegyk szre, hogy az impulzus opertora, amelyet eredetileg arra talltunk ki, hogy le-olvassuk a komplex hullmfggvny fzisnak trbeli tekeredst, nem tesz klnbsget, smegderivlja a hullmfggvny abszolt rtknek inhomogenitst is. A kinetikus energiaebbol eredo rszt nevezik nha kvantumpotencilnak.

Geszti Tams

3.1. A Schrdinger-egyenlet levezetse

41

s ezzel dnto lpst tettnk meg: elrkeztnk a szabad (eromentes) mozgsSchrdinger-egyenlethez! Ebben a pillanatban megszabadultunk a skhul-lmtl, nem vagyunk tovbb ktve se az impulzus, se az energia sajtfgg-vnyeihez, hanem azok tetszoleges szuperpozciit kereshetjk a kezdeti shatrfeltteleknek megfeleloen.

Vegyk szre, hogy br a levezetsben az ido s a helyvektor szerinti de-rivls hasonlkppen mukdtt, az eredmnyben szerepk egyltaln nemszimmetrikus: az ido szerinti derivlt azt jelzi, hogy mozgsegyenletet kap-tunk, amely a hullmfggvny pillanatnyi mintzatbl meghatrozza a k-vetkezo idofejlodst. A hely szerinti derivltak ppen ezt a mintzatot rt-kelik minden pillanatban. Ilyen rtelemben a kvetkezokben a t muveletetsohasem az energia opertornak, hanem a mozgsegyenlet rsznek tekint-jk. Lnyeges az is, hogy idoben csak elsorendu derivlt jelenik meg azegyenletben: (~r,0) teljesen meghatrozza a kezdeti felttelt, nem kell meg-adni idoderivltak kezdeti rtkeit. Ez fontos eltrs a newtoni klasszikusmechaniktl: itt a kezdeti sebessg a helyfggsbe van belekdolva, az im-pulzust a hullmvektorral sszekapcsol (1.13) egyenleten keresztl.

Mg egy fontos lps htra van: meg kell szabadulnunk az eromenteseset megszortstl, s meg kell engednnk eroterek jelenltt. A legegy-szerubb, leggyakoribb eset egy V (~r) helyfggo potencilis energia jelenlte.Ekkor a (3.2) egyenlet helyre a klasszikus fizika logikja szerint ez kerl:

E =p2

2m+V (~r) = H (~p,~r),

h

i

(3.6)

ahol felismertk, hogy a jobboldalon a klasszikus mechanikbl ismertHamilton-fggvny ll, ami egyszeru (skalr potencilos) mozgs esetn ahely s az impulzus fggvnyben megadott energival egyezik. A balol-dalon ll energia a (3.1) skhullm idofggsbol kerlt az egyenletbe, sa klasszikus mechanikban az idofggst ltalban is a Hamilton-fggvnyvezrli, gy megjelense itt nem matematikai vletlen.

Ltjuk, hogy most lland E energia esetn az impulzus helyfggo lesz.Amg V (~r) sima fggvny (a hullmhosszon bell keveset vltozik), addigknnyu kitallni a kvetkezmnyeket: fenntarthatjuk az eddigi ~p = ~k kap-csolatot, de a hullm mr nem skhullm lesz, hanem helyrol helyre vltozhullmhossz hullmmozgs, sszhangban a (2.8) egyenlettel. A hullmvek-tor rtkt helyrol helyre leolvashatjuk a ~ opertor segtsgvel. Mind-ebbol a kvetkezo hullmegyenlet addik:

ih t =h2

2m+V (~r) . (3.7)

Geszti Tams

42 3. Schrdinger-egyenlet egy rszecskre

Tulajdonkppen orletes btorsg, de prbljuk meg, mint affle durvamatematikai modellt, hogyan mukdik ez az egyenlet akkor, ha V (~r) nemsima fggvny, hanem meredeken vltozik a hullmhosszon bell is, mint pl.a hidrognatomban a protontl eredo Coulomb-potencil az n = 1, 2, 3 belsoBohr-plyk vidkn. Az eredmny dbbenetes: az egyenlet megoldsai sokszmjegyre pontosan megadjk a stacionrius elektronplyk energijt smindazokat a finomabb tulajdonsgokat, amelyek kiszmtsnak mdszerta tovbbiakban meg fogjuk ismerni.

A (3.7) egyenlet teht nem durva modell, hanem a termszet fizikai le-rsnak egy j, alapveto egyenlete. Ez egy m tmegu, V (~r) potencillaljellemzett erotrben mozg rszecske Schrdinger-egyenlete.

3.2. A kvantumllapot s a Hamilton-opertorAmit kaptunk, az messzebbre vezet, mint egyetlen rszecske hullmegyenle-tig. Mindenekelott, a rszecske mozgst a klasszikus mechanika kpnlvgtelenl vltozatosabb hullmmozgsknt ismerjk meg. A rszecske pil-lanatnyi kvantumllapott a (~r, t) komplex fggvny megadsval tudjuklerni.

A (3.7) Schrdinger-egyenlet a kvantumllapot idobeli fejlodst rja le.Ha az egyenletre messzebbrol, hunyortva nznk r, a kvetkezo szerkezetetfedezhetjk fel rajta:

t =

ih

H, (3.8)

ahol az adott konkrt esetben

H = h2

2m+V(~r)

(3.9)

a Hamilton-opertor. Ez a kvetkezokppen pl fel: vegyk a vizsgltrendszer H (~p,~r) Hamilton-fggvnyt (egyszerubb esetekben: energijtimpulzusokkal s koordintkkal kifejezve), s az impulzust helyettestsk a(3.4) egyenletben megismert impulzusopertorral:

~p h~p =i~. (3.10)

A tovbbiakban is a klasszikus jellsre tett kalappal jelljk azt az ope-rtort, amely egy klasszikus fizikai mennyisg kvantummechanikai megfele-loje.

Kezd kirajzoldni az opertorok szerepe a lersban. Az impulzus konkrtesetnl maradva, a gazdagon mintzott hullmok ltalban sokfle irnyba

Geszti Tams

3.2. A kvantumllapot s a Hamilton-opertor

43

fut skhullmokbl szuperponldnak ssze, ezrt az ilyen mozgsban lta-lban nincs is hatrozott rtke az impulzusnak: a skhullmok, az impulzus-opertor sajtfggvnyei a fizikai tartalomra utal kifejezssel: az impul-zus sajtllapotai csak mint egyfajta referencia szerepelnek. Ez a referen-cia azonban dnto szerephez jut az impulzus mrsnl: a mrs gy kez-dodik, hogy a hullmfggvnyt trben sztvlogatjuk oldalirnybl lehat-rolt, de skhullmokat kzelto mdusok szerint, vagy ltalban: a mrendomennyisg kzelto sajtllapotai szerint (impulzus esetn ezt egy optikaircs vgzi el). A detektorok a sztvlasztott rszhullmokbl vlasztanakegyet; az ennek megfelelo sajtrtket tekintjk a mrs eredmnynek.

A 6. fejezetben rszletesen megismerjk a ksrleti sztvlaszts matema-tikai megfelelojt: ki lehet fejteni brmilyen bonyolultabb hullmfggvnyta mrendo mennyisg sajtfggvnyei szerint (az impulzus esetn ez a ki-fejts ppen a Fourier-sor), s a kifejts egytthatibl kiszmthat az illetomennyisg mrsnek statisztikja.

A Hamilton-opertor fenti konstrukcija mg floldalasnak ltszik: nemvilgos, hogy mirt helyettestettk egy opertorral az impulzust, s mirtnem tettnk hasonlt a helykoordintval. Az igazsg az, hogy tettnk, csakaz nem tunt fel, mert a hely opertora a helyvektorral val szorzs, amiminden helyfggvnyre, gy a potencilra is kiterjed: V (~r)(~r, t) ppen ahelyes opertorkombinci.

Ennek a rejtlyesnek ltsz lltsnak az a magyarzata, hogy a hely-opertor sajtfggvnyei azok a fggvnyek, amelyek meghatrozott helyenvannak lokalizlva. Ezek prototpusa a Dirac-fle deltafggvny: egy vg-telenl magas s keskeny, egysgnyi trfogat tske, valamilyen ~r0 helyenlokalizlva:

R(~r~r0)d3r = 1; (~r~r0) = 0, ha ~r 6 =~r0. Egy ilyen fgg-

vnyre hatva a fenti mdon definilt helyopertorral,

~r (~r~r0) =~r (~r~r0) =~r0 (~r~r0), (3.11)

vagyis gy mukdik, ahogy az egy opertortl elvrhat: sajtfggvnytmegszorozza a sajtrtkvel.

A Hamilton-opertornak a Hamilton-fggvnyen keresztl val bevezet-shez mg kt megjegyzst kell tennnk:

amikor a Hamilton-fggvny nem egyezik az energival, aminek leg-htkznapibb pldja egy tlttt rszecske mozgsa mgneses trben,akkor vissza kell mennnk a klasszikus fizikbl ismert konstrukci-hoz: ismert mozgsegyenletekbol, ezek hjn esetleg fizikai intuiciblmegalkotjuk az L (q, q) Lagrange-fggvnyt, ebbol megkapjuk a q ko-

Geszti Tams

44 3. Schrdinger-egyenlet egy rszecskre

1

ordint(k)hoz konjuglt p = L /q impulzust, vgl a H = qp LHamilton-fggvnyt;amikor az impulzust opertorval helyettestjk, nem mindegy, milyensorrendben rjuk egy szorzatban a helykoordinta s az impulzus oper-torait; ezt a krdskrt a kvetkezo pontban mutatjuk be, s a ksobbi-ekben mg tbbszr visszatrnk r.

3.3. A hely s impulzus felcserlsi relcijaA hely s az impulzus opertornak ismeretben egy alapvetoen fontos ma-tematikai tulajdonsgra derl fny, amely nmagban is felhasznlhat sokkvantummechanikai feladat algebrai megoldsra a Schrdinger-fle diffe-rencilegyenlet megoldsa nlkl is, s heurisztikus irnytuknt hasznlhatsok olyan esetben, amikor mg a rszletes trvnyszerusgeket nem ismer-jk. Ez a tulajdonsg az, hogy ha kt opertor egyms utn hat egy fgg-vnyre, az eredmny szempontjbl nem mindegy, milyen sorrendben hat-nak: az opertorok ltalban felcserlhetetlenek.

Nzznk eloszr egyetlen x koordinttl fggo f (x) fggvnyeket. Haezekre egyms utn hatnak opertorok, az rsmd nyilvnval: az egyms-utnt az opertorok szorzataknt jelljk, amelyben jobbra rjuk azt az ope-rtort, amelyik eloszr hat a fggvnyre, balra azt, amelyik msodszor.

A fentiek szerint x(/x) f (x) = x f (x); (/x) x f (x) = f (x)+ x f (x).A ketto klnbsge f (x). Szimbolikusan ezt gy rhatjuk: (/x)xx(/x)= .

Hasznljuk fel ezt arra, hogy kiszmtsuk a px =ih(/x) s x = x ope-rtorok felcserlsnek hatst. Mindenekelott egy ltalnosan hasznlt je-lls: vezessk be kt opertor, A s B kommuttort az

[A, B] =: A B BA (3.12)defincival. Akkor a fentiekbol

[px, x] =ih. (3.13)Termszetesen ugyanez a felcserlsi relci vonatkozik az y s a z irnykoordinta- s impulzusopertorokra is. Ezzel szemben pl. px felcserlhetoy-nal, mert x szerinti derivlsnl y konstansknt viselkedik. Mindez gyfoglalhat ssze:

[pi, r j] =ihi j, (3.14)ahol i, j = x, y, z, s i j = 1 ha i = j, klnben= 0 (Kroneckerdelta).Ezeket a felcserlsi relcikat eloszr Heisenberg vezette le, a Schrdinger-egyenlettol fggetlen, elvontabb algebrai formalizmuson keresztl.

Geszti Tams

3.4. Stacionrius llapotok s az idotol fggetlen Schrdinger-egyenlet 45

A fenti eredmny magtl rtetodo ltalnostsa a kanonikus kvantlsnven ismert szably: kanonikusan konjuglt impulzus koordinta prokkztt ltalban ugyanilyen felcserlsi relcik llnak fenn. Ez all azon-ban szmos kivtel van,2 emiatt clszeru az egyes kommuttorokat az ope-rtorok konkrt alakjbl kzvetlenl kiszmolni.

3.4. Stacionrius llapotok s az idotol fggetlenSchrdinger-egyenlet

Most mr knnyu pontosan megfogalmazni a stacionrius, nem sugrzBohr-fle elektronplyk kvantummechanikai megfelelojt. A 2.6. pont v-gn mondottakkal sszhangban, ezek a kvantumllapotok a (3.8) Schrdin-ger-egyenlet olyan megoldsai, amelyekben az ido- s helyfggs szorzat-alakban sztvlik, s az idofggs egy meghatrozott frekvencinak, vagyami ugyanazt jelenti, meghatrozott energinak felel meg. Ezek a hullm-fggvnyek teht az egyenlet

(~r, t) = ei t(~r) = e ih E t(~r)

(3.15)alak megoldsai. Behelyettestve ezt a (3.8) egyenletbe, majd ei t -velegyszerustve, ezt az egyenletet kapjuk:

H = E,

(3.16)ami roppant szemlletes: a komplex hullmfggvny oszcillcis frek-vencijt megszab E = h energiartk a H Hamilton-opertor egyik sa-jtrtke. A stacionrius llapotok teht energia-sajtllapotok, s lesenmeghatrozott energiik meghatrozsra a Hamilton-opertorhoz tartozsajtrtk-problmt kell megoldani. A (3.16) egyenlet neve: idotolfggetlen Schrdinger-egyenlet, vagy energiasajtrtk-egyenlet.

Amint mr a 2.6. pontban emltettk, a (3.15) alak hullmfggvnyekheztartoz |(~r, t)|2 valsznusgsurusg idoben nem vltozik, s veleegytt idoben lland az elektron tltseloszlsnak surusge is. Hogy mi-rt s hogyan sugroznak azok az llapotok, amelyek nem (3.15) alakak,ahhoz a kvetkezokben mg tbbszr visszatrnk.

A Hamilton-opertor, amint az konkrt (3.9) alakjbl is ltszik, ltalbandifferencilopertor. Ebbol az kvetkezik, hogy a hozz tartoz sajtrtk-problma, mint parcilis differencilegyenlet, hatrozatlan marad, amg asajtfggvnyekre vonatkoz hatrfeltteleket ki nem ktjk. Valban, br-mekkora E energiartkre lteznek megoldsai az egyenletnek, csak azok

2 Lsd Patks Polnyi: Sugrzs s rszecskk. Typotex, Budapest, 2000. E. fggelk.

Geszti Tams

46 3. Schrdinger-egyenlet egy rszecskre

a hatrfeltteleknek ltalban nem tesznek eleget.3 A fizika kvetelmnyeipedig ppen a hatrfelttelek alakjban kerlnek bele a matematikai eszkz-trba. Ezt rszletesen a kvetkezo fejezetben beszljk meg, a ksobbiekbenpedig bosgesen lthatunk r pldkat.

3 A differencilegyenletek hatrfelttelei ltal definilt sajtrtkproblmkat nevezikSturmLiouville tpus peremrtkproblmknak.

Geszti Tams

4. fejezetA Schrdinger-egyenletmegoldsainaktulajdonsgai

A Schrdinger-egyenlet fizikai tartalma kzvetlen matematikai tulajdons-gokhoz kapcsoldik; a fizikai httr ismerete sokszor segt a matematikaiproblma megoldsban. Ilyen tulajdonsgokkal az egsz knyv sorn fo-gunk tallkozni. Ebben a rvid, de fontos fejezetben a megmarad (nemkeletkezo, el sem tuno) rszecskk megtallsi valsznusgnek fizikailagnyilvnval tulajdonsgaival ismerkednk meg: ltni fogjuk, hogy a val-sznusgsurusg, mint egy folyadk ramlik egyik helyrol a msikra de elnem vsz. ttekintjk az energiasajtrtkeket meghatroz hatrfelttelektipikus eseteit is.

4.1. NormlsA 2.8. pontban megismert Born-szably szerint |(~r, t)|2d3r annak valsz-nusge, hogy a (~r, t) llapotban levo rszecskt a t pillanatban az~r helyd3r krnyezetben tallja meg egy detektor.

A klnbzo helyeken val egyideju megtalls nem lehetsges (ezt ne-veztk rszecsketulajdonsgnak, ami korntsem trivialits, hanem akvantummechanika egyik alapveto tapasztalata: egy rszecsktol csak egydetektor szlal meg). Ezrt az itt s ott detektls egymst kizr esem-nyek; annak egyttes valsznusge, hogy a rszecskt vagy itt, vagy ottmegtalljuk, az egyes esemnyek valsznusgeinek sszege. Ha a rszecskeegyltaln ltezik, az idelis detektorok valahol meg is talljk: ennek va-lsznusge az sszes lehetsges detektlsi esemnyek valsznusgeineksszege: Z

|(~r, t)|2 d3r = 1. (4.1)

Ezt az sszefggst nevezzk a hullmfggvny normlsnak.Mivel a Schrdinger-egyenlet (akr az idotol fggo, akr az idofggetlen)

lineris, a megolds normlsval nem kell folyamatosan trodnnk, elga megkapott megoldst utlag megszorozni olyan konstanssal, hogy a (4.1)egyenlet teljesljn. Az viszont, hogy ezt megtehessk, azon mlik, hogy a

47

Geszti Tams

48 4. A Schrdinger-egyenlet megoldsainak tulajdonsgai

(4.1) integrl vges legyen: ilyenkor mondjuk, hogy a hullmfggvny nor-mlhat. A normlhatsg felttelt gyakran hasznljuk hatrfelttelknt azidotol fggetlen Schrdinger-egyenlet megoldsnl: az E energiartkekkontinuumbl sokszor a normlhatsg vlasztja ki azokat a diszkrt sajt-rtkeket, amelyek fizikai valsgot rnak le.

Fontos tudni, hogy mr az eddig megismert egyszeru hullmfggvnyekkztt is van, olyan amely nem normlhat: ilyen a vgtelen trbeli kiter-jedsu skhullm, ami az impulzus opertornak sajtfggvnye, s ilyen aDirac-fle deltafggvny is, amely a helyvektor opertor. Ezek hasznla-trl nem mondhatunk le, de nagysgukat nem az itt megismert valsznu-sgszmtsi normlssal, hanem ms matematikai eszkzzel tartjuk kzben;errol ksobb lesz sz.

Az idofggo Schrdinger-egyenlet megoldsainak normlsval kapcso-latban meg kell emltennk, hogy ha megmarad rszecskt runk le ezt aHamilton-opertor alakja biztostja akkor elg a normlst a kezdeti pilla-natban kiktni; az integrl az ido mlsval nem vltozik. Ezzel a tulajdon-sggal foglalkozunk a 4.3. pontban.

4.2. A hatrfelttelek s a spektrumA (3.16) Schrdinger-fle energiasajtrtk-egyenlet a Hamilton-opertor (3.9)alakjval a kvetkezo differencilegyenletre vezet:

h2

2m(~r) = (EV(~r))(~r).

(4.2)

Ebben az egyenletben a V (~r) helyfggo potencilis energia bemeno adat;az ismeretlenek, amelyeket meg kell hatroznunk, az E energiasajtrtks a hozz tartoz (~r) energiasajtfggvny. Amint mr megbeszltk, azegyenletnek brmilyen E rtkre van megoldsa; vlasztani azon az alapontudunk, hogy a (~r) fggvny kielgtse a fizika ltal kirtt hatrfelttele-ket. A hatrfelttelek ltal megengedett E energiasajtrtkek sszessgtnevezzk a Hamilton-opertor spektrumnak.A hatrfelttelek a kvetkezok:

A hullmfggvny legyen folytonos, s elso derivltjai is legyenek foly-tonosak (klnben a opertorban levo msodik derivltak vgtelennvlhatnnak, amit vges potencil nem tud kompenzlni). A potencilszingulris helyein (pl. az 1/r helyfggsu Coulomb-potencil orig-jban) a hullmfggvny pontosabb vizsglatval kell meghatrozni ahatrfelttelt, lsd a 10.1. pontot. Vgtelen magas potencilfal hatr-

Geszti Tams

4.3. Anyagmegmarads s komplex hullmfggvny: a kontinuitsi egyenlet 49

esetben a hullmfggvny derivltja hatrozatlann vlik, lsd az 5.1.pontot.A lersra hasznlt koordintknak a hullmfggvny legyen egyrtkufggvnye (pl. ha szgkoordintkat is hasznlunk, egy 2pi krbefor-gs utn nmagba visszatro polrszgnek legyen 2pi szerint periodi-kus fggvnye).Ha a hullmfggvny kttt (egy potencilgdrbe lokalizlt) llapototr le, legyen normlhat. Szabad mozgs esetben a hullmfggvnytartalmaz vgtelenbe meno skhullmszeru rszeket is. Ilyenkor az ido-tol fggetlen Schrdinger-egyenlet megoldsainak normlhatsga nemteljesl; oket az idofggo egyenlet szerint mozg, egyre szlesebb hul-lmcsomagok hatresetnek tekinthetjk.

A hatrfelttelek ltal meghatrozott spektrumnak lehetnek diszkrt sfolytonos rszei. A diszkrt spektrum volt a mikrovilg elso zenete a klasz-szikustl eltro termszettrvnyekrol;1 ebbol ered a kvantum sz is.

Diszkrt energiasajtrtkek tipikusan egy potencilgdrben kttt, ab-bl az energiamegmarads miatt ki nem szabadul, llhullmszeru vagykrbefut energiasajtllapotnak felelnek meg. Ilyen pl. az atomban k-ttt elektronok esete. Tudnunk kell, hogy nem minden potencilgdrbenalakulhat ki kttt llapot; ennek feltteleivel tallkozni fogunk a kvetke-zokben.

Egy diszkrt sajtrtkhez tbb klnbzo sajtfggvny is tartozhat;ilyenkor azt mondjuk, hogy a sajtrtk elfajult (degenerlt). Az elfajulstsokszor valamilyen szimmetria okozza. Egy msik fontos oka lehet, ha egyklso adat (paramter), pl. elektromos vagy mgneses trerossg fggvny-ben vltoz sajtrtkek valahol keresztezik egymst. Ezekkel az esetekkela ksobbi fejezetekben fogunk megismerkedni.

Szabadon terjedo hullmokhoz folytonos energiasajtrtkek tartoznak;ilyenkor a (4.2) tpus egyenlet megoldsai a hullmterjeds rszleteirol ad-nak nlklzhetetlen informcit: a hullmok szrdsrl, esetleg vgesideig tart csapdzsrl.

4.3. Anyagmegmarads s komplex hullmfggvny:a kontinuitsi egyenlet

A (3.7) hullmegyenletbol s komplex konjugltjbl fontos megmaradsittel kvetkezik a |(~r, t)|2 = (~r, t)(~r, t) valsznusgsurusgre. A

1 Tulajdonkppen mg korbbi, rejtett zenet volt a Gibbs-paradoxon: az, hogy a keversientrpia nem anyagfggo, de megklnbzteti a klnbzo vagy azonos gzok keverkt.

Geszti Tams

50 4. A Schrdinger-egyenlet megoldsainak tulajdonsgai

levezets:

t() = t + t

=ih2m

(),(4.3)

amit elemi vektoranalzis felhasznlsval (szorzat derivlsa, de elokeloennevezhetjk Green-ttelnek is) gy rhatunk:

t() = ~j, (4.4)

ahol~j = ih

2m()

(4.5)a valsznusgi ram surusge. A (4.4) egyenlet szablyszeru kontinuitsiegyenlet, ahogy azt a hidrodinamikbl ismerjk: egy surusg idobeli vlto-zst a megfelelo ram negatv divergencija adja meg; ez az egyenlet teht ateljes valsznusg megmaradst rja le. Ez az oka annak is, hogy az idotolfggo Schrdinger-egyenlet megoldsra elg a kezdeti felttelben teljestenia normlst, akkor az mr ksobb is teljesl.

Prbljuk ki a kapott kifejezst egy = f (t)exp[(i/h)~p ~r] alak hullm-fggvnyre:~

ekkor = (i/h)~p s = (i/h)~p, ezzelj = (~p/m) =~vcsop, aminek megint kzvetlen hidrodinamikai jelen-tse van: az ramsurusg a surusg s az ramlsi sebessg (itt: a csoport-sebessg) szorzata.2

A (4.5) ramsurusg vals hullmfggvny esetn eltunik. Ha trelme-sebben nzzk a kifejezst, az is kiderl, hogy helytol fggetlen komplexszorz sem ad ramot. A lnyeg: ram csak akkor folyik, ha a hullmfgg-vny fzisszge a hely fggvnyben a komplex skon elfordul.

2 Azt, hogy ~p/m a csoportsebessg, a (2.7) egyenletbol tudjuk. Szigoran vve, egyetlenskhullm nem csoport, de szomszdos hullmvektor skhullmok eredoje mr igen; ezaffle kis Znn-paradoxon (nem tvesztendo ssze a nevezetes kvantum-Znn-effektussal!Ez utbbival a 17.1. pontban fogunk megismerkedni.)

Geszti Tams

5. fejezet

A Schrdinger-egyenletegyszeru megoldsai

A kvantummechanika tanulst mindenki azzal kezdi, hogy nhny egyszeruesetre megoldja az idotol nem fggo Schrdinger-egyenletet; ilyenkor ktttvagy szabad mozgst ler energia-sajtfggvnyeket hatrozunk meg. Azolvasnak azt tancsolom, hogy mr ezekben az egyszeru esetekben is azo-kat a tulajdonsgokat keresse, amelyek majd a bonyolultabb feladatokban issegthetik az eligazodst: a valsznusgi ram szerkezett, a hatrfelttelekmukdst a sajtrtk-problma meghatrozsban, a szimmetrik felhasz-nlst a feladat egyszerustsre.

A terjedo anyaghullmra, ami egy mozg rszecske kvantummechanikaimegfeleloje, klnfle eredetu erok hatnak. Ha a rszecske energija meg-marad mennyisg, az erohatst ltalban1 egy V (~r), egydimenzis mozgs-nl V (x) skalr potencillal lehet lerni. A jelensgek potencilgdrbenkttt llapot kialakulsa, potencilfalon val szrds s thatols nagy-mrtkben fggetlenek a potencil pontos fggvnyalakjtl, ezrt megis-mersket a legegyszerubb modellel kezdjk: szgletes, lland szaka-szokbl sszetevodo egydimenzis potencilokkal.

Ha egy intervallumban V (x) = V lland, s az E energia megmarad, ak-kor a (4.2) Schrdinger-fle energiasajtrtk-egyenlet megoldst kzvetle-nl fel lehet rni. Kt esetet kell megklnbztetni:

Ha E >V , akkor kt linerisan fggetlen megolds2 (x) = eikx (jobbrahalad hullm) s (x) = eikx (balra halad hullm). A kt halad hul-lm helyett clszeru lehet az llhullmnak megfelelo sin(kx) s cos(kx)vals kombincikbl kiindulni. A vlasztott kt alapmegolds mindenlineris kombincija is megoldsa a differencilegyenletnek, de nem asajtrtkproblmnak: ez utbbit a hatrfelttelek vlasztjk ki. A k

1 Kivtel a tlttt rszecskre hat mgneses tr, amelyet vektorpotencillal kell lerni, lsda 11. fejezetet.

2 Kt fggvnyre a lineris fggetlensg azt jelenti, hogy nem arnyosak egymssal; tbbf1(x), f2(x), f3(x) . . . fggvnyre azt, hogy nincs kzttk i ci fi(x) = 0 alak (lineris)sszefggs, amely a tbbi ismeretben mr brmelyikket meghatrozn.

51

Geszti Tams

52 5. A Schrdinger-egyenlet egyszeru megoldsai

hullmszmot az E energiasajtrtkkel az energia megmaradsa kap-csolja ssze: k = 2m(EV )/h. Kttt llapotok esetn k s ezenkeresztl E lehetsges rtkeit is a hatrfelttelek szabjk meg; szabadmozgsnl E a tvolbl bejvo rszecske energija.Ha E < V , akkor a kt linerisan fggetlen megolds (x) = ex s(x) = ex, ahol =

2m(V E)/h. A megfelelo lineris kombincititt is a hatrfelttelek vlasztjk ki.

Az lland potencil tartomnyok hatrain, ahol a potencil ugrik, hatrfel-ttelknt kell kiszabni, hogy a (x) fggvnyrtk s a (x) derivlt folyto-nosan menjen t egyik tartomnybl a msikba.

Stacionrius llapotban az ram is stacionrius, ami a kontinuitsi egyen-let szerint csak divergenciamentes lehet, de ez tbbflekppen valsulhatmeg.

Szabad mozgsnl az ram vgtelenbol jn s vgtelenbe tart, ami nyilvnidealizci: igazbl hullmcsomagok jnnek s mennek, de ha kiterjedskjval nagyobb, mint a minket rdeklo trrsz, akkor jogos a vgtelen kiter-jedsu stacionrius llapot kzeltse; a bejvo s kimeno hullmokat hatr-felttelekkel vlasztjuk el egymstl. Feladatainkban a hullmra ott nznkr, ahol valami trtnik vele: szrdik, visszaverodik, thatol egy akadlyon,esetleg egy idore csapdba esik.

A potencilgdrbe zrt stacionrius mozgshoz is divergenciamentesram tartozik. Ettol mg lehet akr llhullm, akr halad. Gdrbe zrthalad hullm csak krbe jrhat, amihez legalbb kt dimenzira van szk-sg; egydimenzis kttt mozgs csak gy tud stacionrius lenni, ha ll-hullmot formz. Mindez hasznos elso tjkozdst jelent az idofggetlenSchrdinger-egyenlet megoldsaihoz.

5.1. Vgtelen potencilgdr kttt llapotaiMinden kvantummechanikai feladatok legegyszerubbike a vgtelen potenci-lgdrbe zrt elektron energiasajtrtkeinek meghatrozsa. Kezdjk egy-dimenzis mozgssal, akkor a (3.16) egyenlet ilyen alakot lt:

h2

2m(x) = (EV (x))(x), (5.1)

ahol (x) a hullmfggvny x szerinti msodik derivltjt jelli, a potencilpedig

V (x) ={

0 ha |x|< a, ha |x| a. (5.2)

Geszti Tams

5.1. Vgtelen potencilgdr kttt llapotai 53

A klso tartomnyokban, ahol a potencil vgtelen, ott (x) 0, amineka belso tartomny hatrn az rtke is, a derivltja is 0. Ezzel van egy bk-keno. A hatrfelttelek gy szlnak, hogy (x) folytonos s a derivltja isfolytonos, de ez itt nem lehet igaz, mert akkor nem lehetne ms megolds,csak azonosan 0.

Az ellentmonds feloldsa az, hogy a vgtelen potencilfal hatrn a de-rivlt hatrozatlan, akrmi lehet, vagyis a belso |x| < a tartomnyban az l-lhullmnak csak a kitrse van a hatrokon leszgezve, bell kitrhet, minta rezgo hr.3

Milyenek ht a megoldsok? Az |x| < a belso tartomnyban az (5.2)egyenletbol

=k2; k2 = 2mEh2

(5.3)egyenletet kapjuk; a megoldso