GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ fileTruy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA

HÀM SỐ A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên D

i) Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số ( )=y f x trên D

nếu = 0 0

f(x) M x D

x D : f(x ) M , ta kí hiệu

=

x DM maxf(x) .

ii) Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số ( )=y f x trên D

nếu = 0 0

f(x) M x D

x D : f(x ) m, ta kí hiệu

=

x Dm min f(x) .

2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số

Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số ( )=y f x trên D ta tính

y' , tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng

biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN.

Chú ý:

* Nếu hàm số ( )=y f x luôn tăng hoặc luôn giảm trên a; b

thì = =[a;b][a;b]

maxf(x) max{f(a),f(b)}; minf(x) min{f(a),f(b)} .

* Nếu hàm số ( )=y f x liên tục trên a; b thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn

đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau

B1: Tính y' và tìm các điểm 1 2 nx , x ,...,x mà tại đó y' triệt tiêu hoặc hàm số

không có đạo hàm.

B2: Tính các giá trị 1 2 nf(x ),f(x ),...,f(x ),f(a),f(b) .Khi đó

= 1 n

x [a;b]max f(x) max{f(x ),...,f(x ),f(a),f(b)}

= 1 n

x [a;b]min f(x) min{f(x ),...,f(x ),f(a),f(b)} .

* Nếu hàm số ( )=y f x là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN

của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn nằm trong D có độ

dài bằng T.

* Cho hàm số ( )=y f x xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ =t u(x) , ta

tìm được t E với x D , ta có ( )=y g t thì Max, Min của hàm f trên D

chính là Max, Min của hàm g trên E .


* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên

tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.

* Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp

miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Vấn đề 1 Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của

hàm số. Phương pháp .

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

=

=x D 1 1

x D,f(x) MM maxf(x)

x D,f(x ) M

=

=x D 2 2

x D,f(x) mm minf(x) .

x D,f(x ) m

Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] thì f đạt giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trên

đoạn đó.

Nếu hàm số f liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b )thì giá trị lớn

nhất ,giá trị nhỏ nhất của f trên [a;b] luôn tồn tại , hơn nữa các giá trị này chỉ đạt

được tại các điểm cực trị hoặc tại hai biên a,b.Do đó trong trường hợp này để tìm

x [a,b]x [a,b]max f(x) , min f(x) ,ta có thể tiến hành một cách đơn giản hơn như sau:

• Tính f’(x) và tìm các nghiệm 1 2 nx , x , ., x thuộc (a;b) của phương

trình f’(x) = 0.

• Tính 1 2 nf(x ),f(x ),....,f(x ),f(a),f(b) .

• Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn

nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên [a,b].

Ví dụ 1.1.3 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1. = − − + 3 21 1y x x 6x 3 , x [0;4]

3 2

2. ( )3

6 2y x 4 1 x= + − trên đoạn 1;1−

3. 2

2

x 1 9xy

8x 1

+ +=

+ trên khoảng ( )0;+

Lời giải.

1. = D [0;4]


= = − == − − =

2 y' 0 x 2,x 3y' x x 6 x 3

x (0;4) x (0;4)

* = = − = −

23 21y(0) 3 , y(4) , y(3)

3 2

* y liên tục trên [0; 4] và có đạo hàm trên (0;4) .

Suy ra

=x [0;4]max y 3 khi =x 0 ,

= −

x [0;4]

21min y

2 khi =x 3

2. D 1;1= −

Đặt 2t x ,x 1;1 t 0;1= −

Hàm số đã cho viết lại ( ) ( )33f t t 4 1 t ,t 0;1= + −

Ta có ( ) ( ) ( )22 2f ' t 3t 12 1 t 3 3t 8t 4= − − = − + −

( )2 2 4

t ,ff ' t 0 3 3 9

t 2

= =

= =

và ( ) ( )f 0 4,f 1 1= =

Vậy, 1;11;1

4 2max y 4 khi x 0, min y khi x

9 3− −

= = = =

3. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng ( )0;+

( )

2 2 2

2 22 2

x 9x 1 9x 1 x 1y

8x 1 9x 1 x8x 1 9x 1 x

+ + + −= = =

+ + −+ + −

Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng ( )0;+ khi hàm số

( ) 2f x 9x 1 x = + − đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng ( )0;+ . Ta có:

( )2

9xf ' x 1

9x 1= −

+

với mọi ( )x 0; + .

Ta tìm nghiệm của phương trình ( )f ' x trên khoảng ( )0;+ .

( ) ( ) 22

x 0 x 0 1f ' x 0,x 0; x

72x 1 6 29x 1 9x

= + =

=+ =

( )x 0 x 0

2 2 1 1 3 2 1minf x khi x maxy khi x

3 46 2 2 2 6 2

3

= = = = = .

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất khi x 0 .


Ví dụ 2.1.3 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1. = + − − +2y (x 3) x 2x 3 2. = + + −2y 45 20x 2x 3

Lời giải.

1. Hàm số xác định − − + − 2x 2x 3 0 3 x 1

Vậy, hàm số xác định trên = −D [ 3;1]

− − − − + − + += − − + + + =

− − + − − +

2 22

2 2

x 1 x 2x 3 (x 4x 3)y' x 2x 3 (x 3)

x 2x 3 x 2x 3

− −− − = = =

= = −− − = − − +

2

22

x ( 3;1) x ( 3;1)2x 6xy' y' 0 x 0

x 0,x 32x 6x 0x 2x 3

* ( ) ( ) ( )− = = =y 3 0 , y 1 0 , y 0 3 3 .

* f liên tục trên −[ 3;1] và có đạo hàm trên −( 3;1)

Suy ra

=x Dmax y 3 3 khi =x 0

=

x Dmin y 0 khi = −x 3 hoặc =x 1

2. Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:

+ = + = + + + = +BCS

2 2 2 2 2 245 20x 5(9 4x ) (2 1 )[3 (2x) ] 2.3 1.2x 6 2x

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:

+ = + = + + + = +BCS

2 2 2 2 2 245 20x 5(9 4x ) (2 1 )[3 (2x) ] 2.3 1.2x 6 2x

Suy ra + + −y 6 2x 2x 3

Áp dụng bất đẳng thức + +a b a b ,ta có

+ + − = + + − + + − =6 2x 2x 3 6 2x 3 2x 6 2x 3 2x 9 suy ra y 9

+ −

= ==

(6 2x)(3 2x) 03

y 9 x2x 34

1 2

Vậy =miny 9 khi =3

x4

Ví dụ 3.1.3 Cho hai số thực x, y thoả mãn:

+ =

x 0, y 1

x y 3. Tìm giá trị nhỏ nhất,

giá trị lớn nhất của biểu thức: = + + + −3 2 2P x 2y 3x 4xy 5x .

Lời giải.

Ta có = − y 3 x 1 x 2 x 0;2


Khi đó: = + − + + − −3 2 2P x 2(3 x) 3x 4x(3 x) 5x = + − +3 2x x 5x 18

Xét hàm số = + − +3 2f(x) x x 5x 18 trên 0;2 ta có:

= + − = =2f '(x) 3x 2x 5 f '(x) 0 x 1

Hơn nữa: ( ) ( ) ( )= = = f 0 18, f 1 15, f 2 20

Vậy,

= = =x [0;2]

maxP max f(x) f(2) 20 khi =x 2 ,

= = =x [0;2]

minP min f(x) f(1) 15 khi =x 1 .

Ví dụ 4.1.3 Cho hai số thực a,b 0 . Chứng minh : + +4 4 3 3a b a b b a (1)

Lời giải.

* Nếu một trong hai số a,b bằng 0 thì (1) luôn đúng.

* Với a 0 , đặt =b ta . Khi đó (1) trở thành

+ + − − + 4 4 4 3 4 3a (1 t ) a (t t ) t t t 1 0 .

Xét hàm số = − − +4 3f(t) t t t 1 , có : = − − = − + +3 2 2f '(t) 4t 3t 1 (t 1)(4t t 1)

= =f '(t) 0 t 1

Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra =f(t) f(0) 0 đpcm.

Ví dụ 5.1.3 Cho các số thực dương x,y .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: =

+ +

2

32 2

4xyP

x x 4y

.

Lời giải.

Đặt =x ty ta có =

+ +

32

4tP

t t 4

.

Xét ( ) =

+ +

32

4tf t , t 0

t t 4

Ta có: ( )

+ −

=

+ + +

2

32 2

4 t 4 3t

f ' t

t 4 t t 4

và ( ) = + = =2 1f ' t 0 t 4 3t t

2.

Lập bảng biến thiên ta được ( )+

= =

(0; )

1 1max f t f

82.


Ví dụ 6.1.3 Tìm tất cả các giá trị của a và b thoả mãn điều kiện: −1

a2

và a

1b

sao cho biểu thức ( )

+=

−

32a 1P

b a b đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải.

Từ giả thiết, ta suy ra a 0 và − b(a b) 0 .

Ta có : − 2a

0 b(a b)4

và + 32a 1 0 nên +

=3

2

2a 1P f(a)

a.

Xét hàm số −1

f(a), a2

có −

= = =3

3

2a 2f '(a) f(a) 0 a 1

a

Bảng biến thiên :

a −

1

2 0 1 +

( )f ' a + − 0 +

( )f a

+ + +

3 3

Từ bảng biến thiên −1

f(a) 3 a2 −

1P

2

Đẳng thức xảy ra

= −

= −

1a

21

b4

hoặc =

=

a 1

1b

2

.

Vậy =minP 3 khi ( )

= − −

1 1 1a; b ; , 1;

2 4 2

Ví dụ 7.1.3

Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau + + − +

=+ + − +

x 1 2 3 x 2y

2 x 1 3 x 1 trên − 1;3 .

Lời giải.

Vì ( ) ( )+ + − = 2 2

x 1 3 x 4 tồn tại số thực t 0;1 sao cho + =+ 2

4tx 1 ,

1 t

−− =

+

2

2

2(1 t )3 x

1 t.


Khi đó: − −

= =− −

2

2

2t 4t 6y f(t)

t 8t 3 , xét

− −=

− −

2

2

2t 4t 6f(t)

t 8t 3với t 0;1

Ta có: − −

= − −

2

2 2

12t 36f '(t) 0 t 0;1

(t 8t 3) nên f(t) nghịch biến trên đoạn 0;1

Hơn nữa: =f(0) 2 , =4

f(1)5

Vậy

= = =t 0;1

min y min f(t) f(0) 2 khi =x 0 ,

= = =t 0;1

4max y max f(t) f(1)

5 khi =x 1 .

Ví dụ 8.1.3 Cho ba số thực dương a,b,c thỏa : + + 21ab 2bc 8ca 12 . Tìm

GTNN của biểu thức: = + +1 2 3

Pa b c

Lời giải.

Đặt: = = = 1 2 3

x ,y ,z x,y,z 0a b c

.

Khi đó: + + 21ab 2bc 8ca 12 + + 2 2 3 1 2 3

4. 7. 2. . .a b c a b c

+ + 2x 4y 7z 2xyz

Và = + +P x y z .

Từ: ( )+

+ + − + −

2x 4y2x 4y 7z 2xyz z 2xy 7 2x 4y z

2xy 7

( )+ − ++ −

+ + + + = + + +− −

2 142x 2xy 72x 4y 2xy 7 7 x xx y z x y x

2xy 7 2x 2x 2xy 7

( )+ − +−

= + + +−

2 142x 2xy 72xy 7 7 x xx

2x 2x 2xy 7

+−

= + + +−

142x2xy 711 xx

2x 2x 2xy 7

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

+ +− −

+ = +− − 2

14 142x 2x2xy 7 2xy 7 7x x2 . 2 1

2x 2xy 7 2x 2xy 7 x

Do đó : ( ) + + + =2

11 7P x 2 1 f x

2x x.

Ta có: ( ) = − −

+2

32

11 14f ' x 1

72xx 1

x

.


Ta thấy ( )f ' x tăng khi x 0 và ( ) =f ' 3 0 ( ) + + =15

x y z f 32

.

Đẳng thức xảy ra khi:

= = = + −

= = = −

= + == −

x 3 1ax 3 314

2x2xy 7 5 4x y b2x 2xy 7 2 5

z 2 32x 4y cz 22xy 7

.

Vậy =15

minP2

.

Ví dụ 9.1.3

1. Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn: ( ) ( )( )2 22 a b ab a b ab 2+ + = + + .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 2 2

3 3 2 2

a b a bP 4 9

b a b a

= + − +

Đề thi Đại học Khối B – năm 2011

2. Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn 1;4 và x y, x z . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức: yx z

P2x 3y y z z x

= + ++ + +

Đề thi Đại học Khối A – năm 2011

Lời giải.

1. Theo giả thiết ta có ( ) ( )( )2 22 a b ab a b ab 2+ + = + + . Từ đây suy ra

( )a b 1 1

2 1 ab 2b a a b

+ + = + +

hay

a b 2 22 1 a b

b a b a

+ + = + + +

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có : 2 2 a b

a b 2 2b a b a

+ + + +

Đặt a b

tb a

= + , ta suy ra : 2t 1 2 2 t 2+ + 2 54t 4t 15 0 t

2 − −

Mặt khác: ( ) ( )3 3 2 2

3 2

3 3 2 2

a b a bP 4 9 4 t 3t 9 t 2

b a b a

= + − + = − − −

Xét hàm số ( ) 3 2f t 4t 9t 12t 18= − − + trên nửa khoảng 5

;2

+

( ) ( ) ( )2 5f' t 12t 18t 12 6 t 2t 5 2 t 1 0, t ;

2

= − − = − + − +


Vậy ( )f t luôn đồng biến trên nửa khoảng 5

;2

+

, suy ra

( )5 23

P f t f2 4

= = −

và đẳng thức xảy ra khi

5t

2= tức là a 1= và b 2= .

Vậy 23

minP4

= − khi a 1= và b 2= hoặc ngược lại.

Để ý : Theo bất đẳng thức TBC – TBN, ta có : ab 2 2 2ab+ . Khi đó

( ) ( )( ) ( )2 22 a b ab a b ab 2 2 2ab a b+ + = + + + Bình phương 2 vế ta được

( ) ( )2

2 22 a b ab 8ab a b + + +

tức là

( )2

a b a b2 1 8 2

b a b a

+ + + +

Đặt

a bt 2

b a= + .

Khi đó ( ) trở thành ( ) ( )2

2t 1 8 t 2+ + , từ đây ta tìm được 5

t2

.

2. Cách 1 :

Đặt yx z

a ,b ,c abc 1y z x

= = = = , a 1;4

Ta cần chứng minh : 1 1 2

1 a 1 b 1 ab+

+ + + với a và b dương, ab 1 . Đẳng

thức xảy ra khi a b= hoặc ab 1 .

Khi đó a 1 1 a 2

P2a 3 1 ac 1 ab 2a 3 1 a.abc

= + + ++ + + + +

hay

a 2P

2a 3 1 a +

+ + do abc 1= .

Xét ( )a 2

f a2a 3 1 a

= ++ +

, a 1;4 . Đặt t a t 1; 2= .

Để tồn tại giá trị nhỏ nhất của P khi tồn tại giá trị nhỏ nhất của ( )f t trên đoạn

1;2 với ( )2

2

t 2f t

t 12t 3= +

++

Ta có ( )( ) ( )

( )2 2

2

3t 1f ' t 2 0, t 1;2

t 12t 3

= − ++

( )f t nghịch biến trên đoạn

1;2 . Suy ra ( ) ( )34

P f t f 233

= . Đẳng thức xảy ra khi x 4,y 1,z 2= = = .


Vậy 34

minP33

= , khi x 4,y 1,z 2= = =

Cách 2 : yx z

P2x 3y y z z x

= + ++ + +

Lấy đạo hàm theo z ta có :

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

2

2 2 2 2

x y z xyy xP' z 0

y z z x y z z x

− −−= + + =

+ + + +

* Nếu x y= thì 6

P5

=

* Ta xét x y thì ( )2 yx

P P xy2x 3y y x

= ++ +

Khảo sát hàm P theo z , ta có P nhỏ nhất khi z xy=

Đặt ( )2

2

x t 2t P f t

y 1 t2t 3= = + =

++ với (t 1;2

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

3 2

2 22

2 4t t 1 3 2t t 3f ' t 0, t 1; 2 f t

2t 3 t 1

− − + − +

=

+ +

nghịch biến

trên nửa khoảng (1;2

Vậy ( ) ( )34

P f t f 233

= . Đẳng thức xảy ra khi x 4,y 1,z 2= = = .

Vậy 34

minP33

= , khi x 4,y 1,z 2= = = .

Cách 3 :

Đặt y z x

a ,b ,c abc 1x y z

= = = = . Khi đó: 1 1 1

P2 3a 1 b 1 c

= + ++ + +

Do x

bc 1y

= nên áp dụng bất đẳng thức 1 1 2

1 b 1 c 1 bc+

+ + +

Đặt x

t bc 1 t 2y

= = và 2

1a

t= . Do đó:

2

2

t 2P

1 t2t 3= +

++

Ta chứng minh: 34

P , t 1;233

. Thật vậy, với t 1;2 ta có:

2

2

34 t 2 34P

33 1 t 332t 3 +

++ quy đồng và khai triển ta có được:


( )( )3 2 235t 64t 69t 162 0 t 2 35t 6t 81 0 − + − − + + bất đẳng thức đúng.

Vậy 34

P33

. Đẳng thức xảy ra

x 4y x 41a

z 2y y 14b c 2 x 2z z 2

= ==

= = = = = =

Vậy 34

minP33

= .

Cách 4 : Đặt 1

y ax,z bx a,b ;14

= =

.

Khi đó: 1 a b

P2 3a a b b 1

= + ++ + +

Xét hàm số ( ) ( )( ) ( )

2 2

1 a 3 bf a , f ' a

2 3a a b 2 3a a b= + = − +

+ + + +

Xét ( ) ( )2 2 2 22

9a b 6abb 2 3a 3 a b 4b 3a 3b+ + −+ −− + =

( ) ( )2 2 2 23a15a b 5b4b 3a 1 b 4 3b3 0b = − + −− − +

Nên ( )f a là hàm đồng biến trên 1 1 4 1

;1 f(a) f4 4 11 1 4b

= +

+

Do đó: ( )4 1 b

P g b11 1 4b b 1

+ + =+ +

Ta có: ( )( ) ( )

( )2 2

4 1 1g' b g' b 0 b

21 4b b 1

−= + = =

+ +

Từ đó suy ra: ( )1 34

g b g2 33

=

hay

34P

33

Đẳng thức xảy ra khi

1a x 4y4

1 x 2zb

2

= =

= =

, mà x 4,y 1

x,y,z 1; 4z 2

= = =

Vậy 34

minP33

= .

Ví dụ 10.1.3

1. Cho các số thực x, y thỏa mãn ( ) ( )2 2

x – 4 y – 4 2xy 32.+ + Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức ( )( )3 3A x y 3 xy – 1 x y – 2 .= + + +

Đề thi Đại học Khối D – năm 2012


2. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn các điều kiện x y z 0+ + = và

2 2 2x y z 1+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 5 5P x y z= + +

Đề thi Đại học Khối B – năm 2012

3. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện x y z 0.+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức x y y z z x 2 2 2P 3 3 3 6x 6y 6z− − −

= + + − + +

Đề thi Đại học Khối A,A1 – năm 2012

Lời giải.

1. ( ) ( )2 2

x 4 y 4 2xy 32− + − + ( ) ( )2

x y 8 x y 0 + − + 0 x y 8 +

( )2

4xy x y + ( )23

6xy x y2

− − +

( )( ) ( ) ( )33 3A x y 3 xy 1 x y 2 x y 6xy 3 x y 6= + + − + − = + − − + +

( ) ( ) ( )3 23

A x y x y 3 x y 62

+ − + − + + . Đặt t x y= + , 0 t 8

Xét ( ) 3 23f t t t 3t 6

2= − − + với 0 t 8

Ta có: ( ) 2f ' t 3t 3t 3= − − và ( )t 0;8 : ( )f ' t 0= 1 5

t2

+ =

( ) ( )f 0 6,f 8 398,= = 1 5 17 5 5

f2 4

+ −=

Vậy, giá trị nhỏ nhất của ( )f t là 17 5 5

4

− xảy ra khi

1 5t

2

+=

( )17 5 5

A f t4

− . Dấu đẳng thức xảy ra khi

1 5x y

4

+= =

2. Cách 1:

Với x y z 0+ + = Và 2 2 2 x y z 1, + + = ta có:

( ) ( )2 2 2 2 20 x y z x y z 2 x y z 2 yz 1 2 x 2 yz,= + + = + + + + + = − + nên

2 1yz x .

2= −

Mặt khác 2 2 2y z 1 x

yz2 2

+ − = , suy ra

22 1 1 x

x2 2

−− , do đó ( )

6 6x

3 3−

Khi đó: ( )( ) ( )5 2 2 3 3 2 2P x y z y z y z y z= + + + − +


( ) ( )( ) ( )2

5 2 2 2 2 1x 1 x y z y z yz y z x x

2

= + − + + − + + −

( ) ( ) ( )2

5 2 2 2 2 31 1 5x 1 x x 1 x x x x x 2x x .

2 2 4

= + − − − + − + − = −

Xét hàm 3f(x) 2x x= − trên 6 6

;3 3

−

Ta có: ( ) 2f x 6x 1 = − và ( )6

f x 0 x6

= =

Ta có 6 6 6 6 6 6

f f , f f3 6 9 3 6 9

− = = − = − =

Do đó ( )6

f x9

Suy ra 5 6

P36

Vậy, giá trị lớn nhất của P là 5 6

36 khi

6 6x , y z

3 6= = = −

Cách 2:

Ta có ( )z x y= − + , s u y r a ( )22 2 2 2 1

x y x y 1 x y xy2

+ + + = + + =

( )2 1

x y xy2

+ − = . Đ ặ t 2 1t x y xy t

2= + = −

Vì ( )2 2 2 21 2 2 2

x y 4xy t 4 t t t2 3 3 3

+ − −

( ) ( )55 5 4 3 2 2 3 4P x y x y 5x y 10x y 10x y 5xy= + − + = − + + +

( ) ( )( )3 2 2 3 2 25xy x 2x y 2xy y 5xy x y x xy y= − + + + = − + + +

H a y 2 35 1 5 5P t t t t

2 2 2 4

= − − = − +

v ớ i

2 2t

3 3−

Dùng đạo hàm tìm GTLN của hàm số ( ) 35 5f t t t

2 4= − + t r ên đ oạn

2 2

; ,3 3

−

ta tìm được ( )2 2

t ;3 3

5 6MaxP max f t

36 −

= = k h i

6 6x , y z

3 6= = = −


3. Cách 1: ( )x y z 0 z x y+ + = = − + và có 2 số không âm hoặc không

dương. Do tính chất đối xứng ta có thể giả sử xy 0, ta có :

( ) ( )2x y 2y x 2x y x y 2y x 2x y2 2P 3 3 3 12 x y xy 3 3 3 12 x y xy

− + + − + + = + + − + + = + + − + −

( )

2y x 2x y 3 x y2x y x y2 23 2.3 12 x y xy 3 2.3 2 3 x y

+ + + +

− − + − + − + − +

Đặt t x y 0= +

Xét hàm số: ( ) ( )3t

f t 2. 3 2 3t= −

Ta có: ( ) ( ) ( )3t 3t

f ' t 2.3 3 .ln 3 2 3 2 3 3. 3 ln 3 1 0

= − = −

f đồng biến trên ) ( ) ( )0; f t f 0 2 + =

Mà: x y 03 3 1−

=

Vậy 0P 3 2 3 + = , dấu “ ”= xảy ra x y z 0= = = . Vậy min P 3.=

Cách 2: Không mất tổng quát, giả sử x y z.

Từ giả thiết suy ra ( )z x y= − + do đó,

( )( ) ( )( )2 2x y y z x y 2y x 2x yx z 2 2 2 2P 3 3 3 12 x y x y 3 3 3 12 x y x y− − − + +−= + + − + + + = + + − + + +

Đặt: a 2x y

b 2y x

= +

= + thì

2a bx

32b a

y3

−=

− =

và a b 0 .

Thay vào P ta được :

2 2a b a b 2 2 a b a b a b a b

P 3 3 3 2 a ab b 3 3 3 2 32 2

− − + − = + + − − + = + + − +

Đặt:

a bu

2 ,a b

v2

+=

− =

thì u v 0 và ta có: v u v u v 2 2P 9 3 3 2 u 3v+ −= + + − +

Xét hàm: ( ) v u v u v 2 2P f u 9 3 3 2 u 3v ,u v 0+ −= = + + − +


( ) u v u v

2 2

2uf ' u 3 ln3 3 ln3 2ln3 2 0

u 3v

+ −= + − −

+

( )f u đồng biến trên )v; + kéo theo:

( ) ( ) ( )v 2v 2 vf u f v 9 3 1 2 4v 2.9 4v 1 1 = + + − = − +

Xét ( ) vg v 2.9 4v 1,v 0= − +

( ) v vg' v 2.9 ln 9 4 4.9 ln 3 4 4ln 3 4 0 do v 0= − = − −

Suy ra ( )g v đồng biến trên 0; ), + kéo theo ( ) ( ) ( )g v g 0 3 2 =

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( )f u 3 hay P 3

Đẳng thức xảy ra khi u v 0= = hay x y z 0= = =

Vậy min P 3= .

Cách 3:

( ) ( )2 2 22 2 26 x y z 2 x y y z z x+ + = − + − + −

Đặt A y z ,B z x ,C x y = − = − = −

( )A B C 2 2 2P 3 3 3 2 A B C= + + − + +

Giả sử x y z, ta chứng minh ( ) ( )22 2 22 A B C A B C+ + + +

Thật vậy bất đẳng thức tương đương: ( ) 2 2 22 AB BC CA A B C+ + + +

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 x y y z 2 x z y z 2 x y x z x y y z z x− − + − − + − − − + − + −

( )( )4 x y y z 0,− − đúng vì x y z

Vậy, ta có ( )A B CP 3 3 3 A B C + + − + +

Xét hàm số ( ) xf x 3 x= − với x 0 ta có ngay ( )f x 1, x 0 . Do đó P 3

Cách 4: không mất tính tổng quát x y z . Đặt a x y

,b y z

= −

= − a,b 0

( )a b a b 2 22P 3 3 3 4a 8a 4b

3+= + + − + + ( )a b a b 8

2 3 3 a b Q3

+ + + − + =

t t 8Q 3 2 3 t

3= + − với t a b,t 0= +

Xét hàm số ( ) t t 8f t 3 2 3 t

3= + − với t 0


Ta có: ( )t

t t t

t

3 ln3 8 8 8f ' t 3 ln3 2 3 ln3 3 ln3 2ln3 0

3 3 32 3= + − = + − −

Do đó ( )f t đồng biến với t 0 và ( ) ( )f t f 0 3 =

Đẳng thức xảy ra khi t 0 a b 0= = = hay x y z 0= = =

Cách 5: 2 2 2x y z 2xy 2yz 2zx+ + = − − −

Ta có: ( )2

x y y z z x− + − + − =

( ) ( )2 2 2 2 2 23 x y z 2 xy y xz yz yz z xy xz xz x yz xy+ + + − − + + − − + + − − +

( )2 2 26 x y z + +

( )x y y z z xP 3 3 3 x y y z z x

− − − + + − − + − + −

Khảo sát hàm số: ( ) xf x 3 x= − hàm số đồng biến trên )0; +

Cách 6: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski cho hai dãy số ( )1;1;1 và

( )x; y;z

Ta có: ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 21 1 1 x y z 1.x 1.y 1.z x y z 0+ + + + + + = + + =

( ) ( )2 2 2 2 2 23 x y z 0 6 x y z 0 + + + +

Vậy minP 3 0 3 P 3 − = = .Dấu “=” xảy ra khi x y y z z x

x y z

− + − + −

= =

x y z 0 = = =

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1. = − + − +2y 3 x x 4x 3 2. = − + −2y 4 x x 1


1. ( )= − − 2y 3 x 5 x

3. = + + − 2y x 2 2x x

2. = + − 2y x 4 x


1. +

=+ +

2

2

x 1y

2x x 2 2.

+ +=

+ +

2

2

20x 10x 3y

3x 2x 1

CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC



1. = + + − − + − 2 2y x x 1 x x 1,x 2; 3 2. = − + + − − + +2 2y x 4x 21 x 3x 10


1. + +

=+ +

6 6

4 4

1 sin x cos xy

1 sin x cos x 2. = + +

+ +2 2

2x 4xy sin cos 1

1 x 1 x

Bài 6:

1. Cho a,b là các số dương thoả mãn + + 2 2 2 3a b c

4. Tìm GTNN của biểu

thức: = + + + + + +3 2 3

1 1 1P (a b)(b c)(c a)

a b c .

2. Cho hai số x,y 0 thay đổi thỏa mãn ( ) 2 2x y xy x y xy+ = + − .Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức : 3 3

1 1A

x y= + .

Bài 7: Cho x,y,z 0 thỏa mãn + + =2 2 2x y z 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức = + + +1 1 1

P 2xyzx y z

.

Bài 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau ( )= 2 2g(x) f(sin x)f cos x trong đó

hàm f thỏa mãn: = +f(cot x) sin2x cos2x x [0; ] .

Bài 9: Tuỳ theo giá trị của tham số m ,hãy tìm GTNN của biểu thức:

= + − + + − − 22P (x my 2) 2x (m 2)y 1 .

Vấn đề 2. Xác định tham số để hàm số có giá trị lớn nhất

,giá trị nhỏ nhất thỏa điều kiện cho trước Phương pháp .

B.1. Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số .

B.2. Áp đặt các giá trị này thỏa điều kiện đã cho.

Chú ý: Ta có thể khai thác tính chất sau để giải bài toán gọn hơn.

“ Điều kiện cần để

=x D

M max f(x)

=(min ( ) )x D

f x m là

( ) 0f x M ( 0

( )f x m ),trong đó 0x là một giá trị được chọn thuộc D

hoặc là phương trình ( ) =f x M ( =( )f x m ) có nghiệm thuộc D.”


Ví dụ Tìm m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số: 21 my x x 1

2 2= − + + ,

x 1;1 − bằng 2

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 1;1− .

Ta có: m

y' x2

= − + và m

y' 0 x2

= =

m1

2 − hay m 2 − . Khi đó y' 0 và hàm số nghịch biến trên đoạn 1;1− .

Lúc này, ( )x 1;1

1 mmax y y 1

2 −

−= − = ,

x 1;1max y 2 m 3 −

= = − .

m1

2 hay m 2 . Khi đó y' 0 và hàm số đồng biến trên đoạn 1;1− . Lúc

này, ( )x 1;1

1 mmax y y 1

2 −

+= = ,

x 1;1max y 2 m 3 −

= = .

m1 1

2 − hay 2 m 2− .

( )1 m

y 12

−− = , ( )

1 my 1

2

+= ,

2m my 1

2 8

= +

. Suy ra

2

x 1;1

mmax y 1

8 −

= +

x 1;1max y 2 m 2 2 −

= = ( không thỏa ).

Vậy, x 1;1max y 2 −

= khi m 3= − hoặc m 3=

CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC

Bài 1:

1. Xác định tham số a để giá trị nhỏ nhất của hàm số = + − +2y 4ax x 4x 3 lớn

hơn 2

2. Tìm các giá trị của tham số để giá trị nhỏ nhất của hàm số +

=+

msinx 1y

cosx 2 nhỏ

hơn −1 .

3. Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

= + −2 2y 4x – 4mx m 2m trên − 2;0 bằng 2 .

4. Tìm các giá trị của các tham số a,b sao cho hàm số +

=+2

ax by

x 1 có giá trị lớn

nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng – 1.


Bài 2:

1. Xác định tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số = − + +3 2y x 3x 4 m trên

đoạn 0;4 là nhỏ nhất.

2. Xác định tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số

− + + +=

−

2x (m 1)x 2m 2y

x 2 trên − 1;1 là nhỏ nhất.

Documents

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ fileTruy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM