GIẢI TOÁN 12 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - TRẦN ĐỨC HUYÊN

8/9/2019 GIẢI TOÁN 12 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - TRẦN ĐỨC HUYÊN

1/194

TRẦN ĐỨC HUYÊN (Chủ biên) - NGUYỄN d u y hiểu NGUYỄN LỀ THUÝ HOA - NGUYỀN ANH TRƯỜNG

(TRƯỞNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYỀN LẺ HÕNG PHONG TP.HỔ CHỈ MINH)

G I Ẩ I T O Ấ N

12PHIWNG PHÁPTOẠ ĐỘ TRONGKHỒNG GIAN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP CHUYÊN

(Tái bẩn lần ihứnhấí)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú


2/194



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




3/194

Lời n ó i đ ầ u

02rong thời gian vừa qua, được sự giúp đỡ của Nhà xuất bảnGiáo dục Việt' Nam, trường Trung học phổ thông chuyên LêHồng Phong TP. Hồ Chí Minh đã biên soạn bộ sách "Giải toán dành cho học sinh lớp chuyên” theo định hướng bám sát sáchgiáo khoa, bổ sung các chủ dề nâng cao theo trình độ trườngchuyên và các nội dung thi đại học Bộ sách đã được đông đảohọc sinh và giáo viên các trường chuyên sử dụng và tin cậy.

Trong quá trình đồi mới giáo dục, đáp ứng yêu cầu mớicủa sách giáo khoa chuyên ban, xây dựng phương pháp kiểmỉra kết hợp giữa tự luận và trắc nghiêm khách quan, chúngtôi biên soạn ỉại bộ sách Giải toán dành cho học sinh cáctrường chuyên và học sinh khá giỏi ở các trường Trung học

phổ thông trên toàn quốc. Bộ sách "Giải toán lớp 12" được biên soạn nhằm đáp ứng tốt nhất cho các kì thi Tốt nghiệpTHPT và đặc biệt là kì thi Tuyển sinh'Đại học - Cao đẳng.Bộ sách này gồm năm quyển:

- Giải toán 12 - Hàm sô" mũ - lôgarit và số’ phức;- Giải toán 12 - Phương pháp toạ độ trong không gian;

- Giải toán 12 - Khảo sát hàm số;

- Giải toán 12 “ Khối đa điện và khối tròn xoay;- Giải toán 12 - Tích phân - nguyên hàm.

Nội dung quyển "Giải toán 12 - Pkương pháp toạ độ trong không gừin" bám sát theo cấu trúc của sách giáo khoa Hình học

12 (Nâng cao) và dược trình bày theo bốn chương như sau:• Chương I: Hệ toạ độ trong không gian;

• Chương II: Mặt phẳng trong không gian;

• Chương III: Đường thẳng trong không gian;• Chương IV: Các bài toán tổng hợp.

3



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




4/194

Trong mỗi bài học, chúng tôi xây dựng hệ thống bài . tậprèn luyện dựa theo các vấn đề cụ thể, một sổ" bài tập là các đềthi đại học để bạn đọc tham khảo. Chúng tôi có cung cấp đápán và hướng dẫn giải sơ lược của một số bài tập tiêu biểunhằm giúp các bạn đọc ôn tập, nâng cao kiến thức, rèn luyện

kĩ năng giải toán.Hi vọng quyển sách sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong

quá trình học tập, rèn luyện nâng cao bộ môn Toán lớp 12,chủ động và tự tin bước yào kì thi Đại học - Cao đẳng để đạtđược kết qùả tốt rửiất; quyển sách này cũng là tài liêu hỗ trợcho giáo viên Toán các trường Trung học phổ thông trongcông tác đào tạo học sinh giỏi.

Mọi ý kiến đóng góp xin được gửi về địa chỉ saư:

® trướ ng tru n g .học ph ổ thổng chuyên £ £ Hổ ng Phong. 2 3 5 TQguyễn

Văn Cữ. Quận 5, XP. H ổ Chỉ M inh .

• Katí biín tập sách 'Coán - ~Cin, Cõng tỵ c p Dịch vụ xuất bản giáo dục Qia :'Bịnh ' Nhà xuất bàn Qiáo dục Việt 231 ftguycn Văn 6ứ. Quận 5. t p . M õ Chỉ M i nh .

Trân trọng cảm ơn !

CÁC TÁC GIẢ

4



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




5/194

§1. ĐIỂM VÀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

A. TDM TẮT GIÁO KHOA

I. Hệ trục ỉoạ độ trong không gian

■ Hệ gồm ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc trong không gian.

■Ta thường gọi các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần ỉượt là i , j

và k.

■Điểm o gọi là gổc tòạ độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung và trục Oz gọi là trục cao.

■ Các mặt phang chứa hai trục toạ độ được gọi là mặt phang toạ độ, ta kí hiệuchúng lần lượt là (Oxy), (Oyz) và (Ozx).

Chú ý: T =J =k =1, i.j = j.k = k l= 0.

II. Toạ độ của vectơ

■ Vớí mọi a , tồn tại duy nhất bộ ba số a2; a3) sao cho a = a1I+ a _2 j + a3k .

Ta gọi bộ'ba sổ (ajjajiaj) là toạ độ của vectơ a (theo thứ tự là hoành độ,

tung độ, cao độ). Kí hiệu a = (a j;a2;a3) hay a(a j;a2;a3^.

Vậy a = (a1;a2;aỉ ) -» a(a1;a2;a3) a = a]i + a2j+ a3k .

Chủỷ: T=(1;0;0)} j = (0;l;0) và k = (0;0;l).



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




6/194

III. Các tính chất và phép toán

Cho hai vectơ a = (al;a2;a3) và b = ;b2;b3) và số thực k tuỳ ý, ta có:

■ a _Lb a.b = 0


7/194

' t

VI. Tích có hướng của hai vectơ “ Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a = (a j;a2;a3) và b = (ồỊ;b2;b3].

Ta gọi tích có hướng của hai vectơ a và b , kí hiệu là p ,b j hay a A b , là

vectơ cỏ toạ độ : '

■ AB = ì/(xB - x A)2 + (yB - y A)2 +(zB - z A)2 .

a2 a3 a3 a, Sj a2\

b2 b35

b3 bj b, b2 / p ,b ]= |

Nhận xét: ỊXJ] = k; p , k ị =I; p,Tj = 3 .

VII. Các tính chất

■ a cùng phương b â ,b j-ồ ;

® Ịa,b ± a ;p ,b J -L b ;

■ |p ,b j =ịaị.ỊbỊ.sinỊa,bj.

v m . Những ứng dụng của tích có hướng

■ Xệt sự đổng phẳng của ba vectơ: a,b,c đồng phẳng l̂ a, b J -C- 0.

a Tíĩửi diện tích hình bình hành ABCĐ: = IÂB, Ad J .

■ Tính diện tích tam giác: SABC = —Ịl̂ AB, Ac J| .

■ Tính thể tích hình hộp: VABCDÀ,B,C,D, = Î ABAD̂ Ị AA.'

■ Tính thể tích tứ diện: VABCD = —jlÂB.Acj -Ad Ị .

7



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




8/194

B. PHUtHME PHÁP GIẢI TDÁIM

^ V ấn đ ề 1

Tìm toạ độ của một đỉểm hay toạ độ của một vectơ

I. PHƯƠNG PHÁP

* Để tìm toạ độ của một vectơ X (hay điểm M) ta cần xác định một hệ thức

vectơ liên hệ giữa vectơ a (hay điểm M) với các vectơ hay các điểm đã biết.

Từ đó ta xác đỉnh được một hệ phương trình chứa các toạ độ của veẽtơ a

(hay điểm M). Giải hệ này ta tìm được toạ độ vectơ a (hay điểm M) cần tìm.

Chủ ỷ:

■ M Ta có: m = 3a - 2b + c o Ta có: n = 5a + 6b + 4c-3 i



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




9/194

Iij = 5aj + 6bj + 4cj - 3ij = 5.5 + 6.3 + 4.(-6) -3 = 16

n2 = 5 a 2 + 6 b2 + 4 c 2 - 3 ì2 = 5.7 + 6.0 + 4.1 = 39

n3 =5a3'+ốb3+4c3 -3 i3 =3.2+6.4 + 4.(-l) ='2Ố.

Vậy ĩĩ = (16; 39; 26).

Suy ra Ịiỉ = yjnỊ +nị + n ị = Vl62 +392 + 262 = s/2453 .

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho ba. điểm A(l; 0; -2), B(2; 1; -1) và

C(1; —2; 2). Tìm toạ độ điểm M sao cho AM = 2AB +3BC —OM ■.—

giải

Ta cỏ: ÃB = (! ;! ; 1), BC = (- l; -3 ;3 ).

Gọi toạ độ điểm M là M(x; y; z), ta có:AM = (x - 1; y; z + 2)

2ĂB = (2; 2; 2) và 3BG = (-3; -9 ; 9)

i=> 2ÃB + 3B C-ỘM = (-1 - x; - 7 - y; 11 - z).

Do đó: AM = 2AB + 3BC-OM o <

X—1 = - l- x

y = - 7 - y

Z + 2 =11-2

X= 07

y 2 _ 9z = —.2

V ậ y M ( o ; Ì f ) . .

'pf áậ 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(-2; 3; 1), B( —; 0; 1),

C(2;0;l).

a) Chứng minh A, B, c không thẳng hàng. b) Tìm toạ độ hình chiêu B’ của B trên AC.

c) Tìm toạ độ chân đường phân giác trong của góc A của AABC.

9



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




10/194

Qĩâi

a) Ta có: AB = (—; -3; 0), AC = (4; -3; 0). Vì — ̂ — nên AB, AC không4 4 - 3

cùng phương => A, B, c không thẳng hàng.

b) Gọi toạ độ của B’ là B’(x; y; z). Ta có:Ãc= (4; -3 ; 0), ÃB'= (x + 2; y - 3; z - 1) và BB'= (x - - ; y; z - 1).

ÍAB’, AC cùng phương __ _ __

BB’±AC

í AB ’ = t AC

IBB'.AC= 0

X + 2 = 4t

y -3 = -3tz—1=0

4(x_ I ) . 3y = 0

” 25

22X = — 25

______ 21'

y ~25 2 = 1.

15 AB 3c) Ta có: AB = — , AC = 5=> k =— =4 AC 4

Giả sử D(x; y; z) là chân đường phân giác trong của góc A, ta có:

3 __ > ^ 3 f XB+ xcDB =-kDC= -- .D C


11/194

ra. BÀI TẬP

1. Trong không gian Oxyz, cho a = (l; -3 ; 4).

a) Tìm y, z để vectơ b = (2; y; z) cùng phường vói a .

b )T ìm C biết C ngược hướng với b và cỊ = 3 Ịa+ b

2. Cho a = (l;2;l) ,b = (-3;5;2) và c = (0;4;3).

Tìm toạ độ và đồ dài vectơ m, n biết:

a) m -2 a- 3 b + 4c+5j;

b) n = a+ b -2 c -3 k .

3. Cho điểm M (x0; y0; Z q ). Hãy tìm toạ độ của các điểm:a) Ml, M2, M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng toạ

độ (Oxy), (Oyz), (Òx2)! b) M', M” lần lượt là các điểm đổi xứng của M qua o và qua trục Oy.

4. Cho ba điểm A(l; 1; 1)5B(—1; —1; 0) và C(3; 1; -1).

a) Tim điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai điểm B, c. b) Tim điểm N thuộc (Oxy) cách đều A, B, c. : ■ 5 + cos2 / .

11



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




12/194

Vấn đề H

Tìm toạ độ các điểm đặc biệt trong tam giác, trong tứ diện

I. PHƯƠNG PHÁP

Xét tam giác ABC, ta có các điểm đặc biệt sau:

G là trọng tâm ÀABC OG = — ỊoA+ OB +ocj '

_ X A + X B + X C

G - T

... yA+yB+ycy o —

„ _ z A + 2 B + z CG — f ■

■ H là trực tâm AABC

AH±BC

BH-LÃCAH,AB,AC đồngphẳng.

ÍÃA'±BCA’ là chân đường cao của AABC


13/194

Ví dụ ĩ. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(l; 0; 2), B(-2; 1; 3)và C(3; 2; 4).a) lìm toạ độ trọng tâm G của AABC.

b) Tìm toạ độ trực tâm H của AABC.c) tìm toạ độ trọng tâm Go của tứ diện ABCD biết D(6; 9; -5).

giải

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

XA + X B + X C „ 1~ 2 + 3 _ 2 _ _ _ 3 3 3

< v ....y'A+yB+yc 0+1+2 r~Ị

G 3 34- 2+ 3 + 4 2

VậyGl ^;1;3

b) Gọi H(x; y; z) ỉà trực tâm AABC. Ta có:

AH =(x - l ; y ; z -2 ) ;

BH = (x + 2; y - i; z - 3);

BC = (5;1;1);

Ãc = (2; 2; 2);

[ b c ;,Ãc ] = (0; -8; 8).

ÃĨỈ1BC

H là trực tâm AABC ị BH _LAC

AH,BC,AC đồngphẳng



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




14/194

5(x -1) + l(y) + l(z - 2) = 0

2(x + 2) + 2(y -1) + 2(z - 3) = 0

0(x -l)-8 (y) + 8(z-2) “ 0

5x + y + z = 7

x+y+z=2


15/194

---- AR 1-----o EB = - — .EC = -- E C . ị AC 4 .

X D + — 2 + —.13xr =' 21

5

1 ^ 1 .y s y c 2 -^ .3 n5

ZE =

1 1 1 „zn + —2n 1 + - .4 0 _4___ 4 _ °5 Ỉ ~ 5 '

4

c) Gọi H(x; y; z), Ta cỏ: AB = (1; 3;‘l);' AC = (12; 4; 4);

[X b .Xc ] = (8; 8; -32); DH = (x - 1; y - ]; z - 1); AH = (x - 1; y + 1; z).

Vì Mlà hình chiếu của D trên (ABC)

DHXAB

DH1AC

AH,AB,AC đồngphẳng

DH.AB = 0

DH.AC = 0

AH. AB,AC

Cí>

= 0

X + 3y + z = 5

3x + y + 2 = 5 o

X 4- V - 4 z = 0

X =

ỉ.( x -l ) + 3(y -ỉ ) + l. (z -l ) = 0I2.(x -ỉ ) + 4(y - l) + 4(z -l) = 0

8(x -1) + 8(y + 1) - 32z = 0

10

9

* 95z = —.

9

15



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




16/194

III. BÀI TẬP

1. Tính độ dài đường phân giậc trong của-góc A của AABC, biết:

a) A(1; -2; 2), B(-5; 6; 4) và C(0; 1; -2). b) A(2; -1; 3), B(4; 0; 1) và C(-10; 5; 3).

2. Cho bốn điểm A (-Ị; 2; 4), B(2; 1; 3), C(0; 0; 5) và D(3; 0; -2).a) Chứng minh ABCD là một tứ diện. Tính thể tích của tử diện và độ dài

đường cao của tứ diện vẽ từ D. b) Xét hình hộp ABCD’.A’B’C’D, tìm toạ độ của các đỉnh A \ B’, C5 và D’

của hình hộp đó.

c) Tìm toạ độ của điểm I là chân đường phân giác trong của góc A của AADHtrong đó E(l; 3; 7).

d) Tìm toạ độ điểm K. nằm trong mặt phẳng (ABC) sao cho ABCK vuông tại

B và AACK vúông tại A.

^ V ổn đ ề 3

Các ứng dụng củã tích có hướng

I. PHƯƠNG PHÁP

Ta sử dụng tỉnh chất của tích có hướng để giải một số dạng toán sau:■ Xét sự đồng phẳng của ba vectơ: a, b, c đồng phẳng -C = 0 .

■Tính diện tích hình bình hành ABCD: s'ABCD - |[a b ,a d ]|

|[a b ,a c ]|

■ Tính thể tích tứ điện: V

■ Tính thể tích hình hộp: VABC DA'B’C’D' "

[ a b ,a c ]

[ a b ,a d \ a a '

ĩf |.Ã D .

16



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




17/194

II. CÁC v í DỤ

Ví dụ L Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a, b, c sau:

ỉ = (2; 3; 1); b = (4; -3; -2) và ỉ - (-1; 4; 2).

giải Ta có: p ,b j “ (“3; 10;-18)

=> p,b ].c = -3.(- l) + 10.4- 18.2 = 7* 0.

Suy ra a,b,c không đồng phẳng.

Vỉdụ2. Cho bốn điểm A(l; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; -1).

a) Chứng minh A, B, c , Đ là bốn đỉnh của một tứ diện. b) Tính thể tích của tứ diện ABCD và độ đài đường cao của tứ diện xuất phát

từ A.

Ọiải

a) Ta có: BC = (0; —1; 1), BD =(-2; 0;-l)=> BC,Bd ] = (1;-2;-2).

Ngoài ra, BA = (1; -1; 0) => [§C,Bd].BA = 1.1 - 2. BC, BD, BA không đồng phẳng

=>A, B, c, D là bốn đỉnh của một tứ điện.

[ b c , b d ]. b a b ) T a có : V a b c d = -76

= ỉ .3 = ỉ .6 2

Gọi ÂH là đường cao vẽ từ A của tứ diện. Ta có:

b c , b d ] Ị=-VĨV a b c d - —AH.SgCD m à SecD- —

Suy ra AH = 3Vab^ - = ị = l .SBCD 1

17



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




18/194

III. BÀI TẬP

1. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a,b,c trong cảc tnrờng hạp sau:

a) ã = (l ;- l; l) ,b = (0 ;l;2 ),ỉ = (4;2;3);

b) ã = (4; 3; 4), b = (2;-1; 2), C= (1; 2; 1);

o) a = (4;2;5), b= (3;l;3), c= (2 ;0 ;l);

d) ã= (-3 ;l;-2) , b =(l;I;l),

2. Trong không gian Oxyz, cho-ba điểm A(1; 0; 2), B(2; 1; -1) và C(1; -2; 2).

a) Tìm toạ độ điểm M sao cho AM = 2 AB - 5BC.

b) Chứng minh A, B, c là ba đỉnh cùa một tam giác. Tìm chu vi và điện tích AABC.c) Tìm toạ độ trung đíêm của các cạnh của tam giác ABC.

d) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

3. Cho bốn điểm A(l; 2; 3), B(0; 1; 4), C(0; 2; 1) và D(2; 1; 1).

a) Chứng minh A, B, c, D là bốn đỉnh của một tứ diện. b) Tính thể tích ABCD và độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ A.

4. Cho bổn điểm A(0; 0; 1), B(l; 4; 0), C(0; 15; 1) và D(-2; 7; 3).

a) Chứng minh ABCD là hình thang. b) Tính thể tích của hình chóp SABCD với S(1; 2; 3),

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).5. Cho bốn điểm không đồng phẳng A(3; 0; 4); B(3; 6; 2); C(0; 4; -1);

D(0;-2; 1).

a) Tính thể tích hình chóp OABCD và độ đài đường cao OH vẽ từ o của hìnhchóp OABCD.

b) Tìm điểm M sao cho MC vuông gồc (BCD) và MC = y ỉ ĩ ĩ ĩ .

6. Cho hình hộp ADCB.A’B’C’D’ cỏ đỉnh là A(l; 0; 1), B(2; 3; 5), C(3; 2; 7),D’(3;-3;S). :

a) Tìm toạ độ các đinh còn lại của hình hộp. b) Tính thể tích của hình hộp và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B’D.

18



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




19/194

^ Vân đ é 4

Chửng minh bất đẳng thức đại sổ

I. PHƯƠNG PHÁP

Áp dụng các bất đẳng thức sau, ta có thể chứng minh một số bất đẳng thức đạisô dưới đây: .

■ Ịa -ỉ- b + cỊ < Ịa + ỊbỊ+Ịc| (dấu đẳng thức xảy ra a,b,c cùng hướng).

■ a.b < a Jb (đấu đẳng thức xảy ra a, b cùng phương).

II. CÁC VÍ DỤ'Víẩụl. Chứng minh rằng với mọi X, y, z e R , ta có:

y j x 2 + 4 y 2 + z 2 - 6 x - 10z + 3 4 + ̂ x 2 + 4 Ỵ2 + z 2 + 2 x + 12 y + 14 z + 59 > 1 3 . ( 1)

giải

T a c ỏ :

(1) /(x +1)2 + (2y+3)2 + (z + 7)2 > 13.

Với mỗi cặp (x; y; z), ta xét các vector sau:a = ( x - 3 ‘-2y; 5 -z ), b = (“ X“ I; 2y + 3; Z + 7) và a + b =(—4; 3; 12)

= V (x -3 )2 + 4y2 + (z -5 )2 , b* =a/(x + 1)2 + (2y+3)2 + (z + 7)2Iã

, ta có:

và Ịa + bị = 13.

Áp dụng bất đẳng thức Ịaị+ị b > a +b

■yjx2 +4y2 +z2 -6x-10z- i-3 4+^x 2 +4y2 +z2 + 2x + 12y + 14z+59 >13.

*14 dụ 2. Chứng minh rằng:

(x - 1) V x + V 2 0 - 5 x + W 4 + X < 6>/X2 - 2 x + 6 , V x € [0 ; 4 ].

19



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




20/194

giải

xẻt hai vectơ a = (x - 1; 1; 2) và b = (Vx; V20-5x; Vlố + 4x ) .

Ta có: a.b = (x - l ) V x + 1 .V20-5X + 2->/l6 + 4x

= (x - l )Vx + 1a

/ 2 0 - 5x

+ 4>/4 +.X

bj = t / ( x - 1)2 +1 + 22 -V(Vx)2 + (V 2 0 -5 X )2 + (Vl 6 + 4x )2

= 6 ^ 2x + 6 .

Mặt khác, ta có a. b < a . b . b

(x - l ) V x +V20—5x + 4-\/4 + x < óVx2 —2x + 6 .

III. BÀI TẬP

1. Chứng minh rằng: Vx e R }ta có:

a) V ? + y2+4z2 - 4 x -4 y -2 4 z + 44+i/x2 + y2 +4z2 -1 2x -2y+ 8z + 4l >9;

b) V*2 +4y2 + z2 +4x-24y+40 + -y/x2 + 4y2 +z2 -4 x + l6y-8z + 48 > 2>/38.

2. Chứng minh bất đẳng thức BCS bằng phương pháp toạ độ:

Ịax + by + cz| < >/(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) .

' 2 2 2 ' ’3. Cho a, b, c là ba sô ứioà màn a + b + c = 1. Tìm giá tri nhỏ nhât của biêu

thức: p = Ậ x - a)2 + (y -.b)2 + (z -c )2 + Ậ x + aÝ + (y + b)2 + (z + c f

với X, y, z 0. Tim giá trị lớn nhất của:

p _ "\/(ai a2 a3 ) + G5! +t>2 +b3) + (Cj ■*“c2 c3 )>^a^+b^+c^" + y Ị ã ĩ^ - b ị+ c ị + ̂ ã F + b | '- i - c |'

20



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




21/194

§2. MẶT CẦU

A. TDM TẮT GIÁO KHOA

■ Trong không gian Oxyz, mặt cầu S(I; R) với tâm l(x0;yỡ;z0) và bán kínhR có phương trình là:

(x -x 0)2 + (y -y 0)2+ (z-z 0)2 =R2.

■ Phưcmg trình X2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz+ d = 0 là phương tình của mặt

cầu khi và chỉ khi a2 +b2 +c2 > d . Khi đó mặt càtỉ nhận I(a; b; c) làm tâm

và R = Va2+b2 + c2- d là độ đài của bán kính.

B. PHLtDMG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1

Điểu kiện đề phương trình dạng X2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu

I. PHƯƠNG PHÁP

■Xác định ạ, b, c và d.■ Phương trình X2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình, của mặt

cầu khi và chỉ khi a2 + b2 + c2 > d .

■ Khi đó mặt cầu nhận I(a; b; c) làm tâm và. R = Va2 + b2 +c2 - d là độ dàicủa bán kính.

II. CÁC VÍ DỤ

'Pĩ dụ ĩ. Mỗi phương trình sau đây có phải là phương trình mặt cầu haykhông? Nếu phải thì hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.

a) x2 + y2+z2 + 2 x-4y + l = 0 (1)

b) 3x2+3y2 +3z2 -2 x = 0 (2)

21



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




22/194

c) 2x2+2y2 =(x + y)2- z 2+ 2 x -l (3)

d) (x + y)2 = 2xy-z 2 + l. (4)

gm

a) Ta CÓ: —2a = 2, —2b = —4, c = 0vàđ = 0 ^ a = —1, b = 2, c = Ovàd = 1

=> a2 + b2 + c2 - d = 4 > 0.

Vậy phương trình (1) là phương trình của mặt cầu có tâm là I(-l; 2; 0) và bánkính R = 2. '

b) Ta có: (2) -t>x2 + y2 + Z2- —x = 0=> -2a = ——, -2b = 0, c = 0

và d = 0 => a = —,b = 0, c = 0 v à d -0 = > a 2 + b2+ c2- d = —>0.3 9

Vậy phương trình (2) ỉả phương trình của mặt cầu có tâm là I(—; 0; 0) và bán

kính R - —.3

c) Ta có: (3) X2 + y2 + z2 - 2xy - 2x + 1 = 0. Suy ra phưcrag trình (3)không là phương trình của mặt cầu.

2 2 2d) Ta có: (4) X + y + z = 1. Suy ra phương trình (4) là phương trình củamặt cầu cỏ tâm là 0(0; 0; 0) và bán kính R = 1.

Ví dụ 2. Định m để phương trình sau là phương trình mặt cầu. Khi đó hãy tìm tâm và bán kính của các mặt cầu.

a) x2 + y2 + z2-2m x + 2(m -2 )y-2 (m + 3)z + 8m + 37 = 0. (1)

b) 2x2 + 2y2 + 2z2 - 8mx - 12(m + 3)y + 4(2m - 3)z + 36m2 - 64m + 10 = 0.(2)

Qiải

a) Ta có: a = m, b = 2 - m, c = m + 3 và đ = 8m + 37.

Phưcmg trình (1) là phương trình của mặt càu

o a2 + b2 +-C2 - đ > 0

m2 + (2 - m)2 + (m + 3)2 - 8m - 37 > 0

3m2 - ốm - 24 > 0

m < —2 hay m > 4.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




23/194

Khi đó mặt cầu có tâm là I(m; 2 - m; m + 3) và bán kính là R = V3m2 - ố m -2 4 .

b) Ta có:

(2 ) o X2 + y 2 + z 2 - 4 m x - 6 (m + 3 ) y + 2 ( 2m - 3 )z + 18 m 2 - 3 2 m + 5 = 0.

Suy ra: a = 2m, b = 3(m + 3), c = 2m - 3 và d = 18m2 - 32m + 5.(2) là phương trình mặt cầu o a2 + b2 + c2 - d > 0

(2m)2 + 9(m + 3)2 + (2m - 3)2 - 18m2 + 32m - 5 > 0

-m2 + 84m + 85 > 0

0 - 1 < m < 85.

Khi đó mặt cầu có tâm I(2m; 3m + 9; 2m - 3) và bán kính là R = V-m2 +84m + 85 .

III. BÀI TẬP1. Mỗi phương trình sau phải là phương trình của mặt cầu không? Nếu phải, tìm

tâm và bản kính của các mặt cẩu đó.

a) X2 + y 2 + z 2 + 8 x - 2 y + l = 0 .

b ) X2 + y 2 + z 2 - 4 x - 8 y + 2 z - 4 = 0 .

c) 3x2+3y2+3z2+6x + 12y-18z-51 “ 0.

d) X2 + y2 + Z + 2mx + (2m - 4)y + 4mz + 3m - 7 = 0.

2. Định m để các phương trình sau là phương trình mặt cầu.

a) X2 +y2 +z2 + 2mx + 4my-8mz+28m -7 = 0.

b ) X2 + y 2 + z 2 + 2 (m - l ) x - 2 ( m + l ) y - (2 m - 1 ) 2 + 4 m 2 + 1 0 = 0 '

c) 2x2 + 2y2 - 2(m + l)z2 - 4mx + 6mz + 2m -1 = 0.

^ V án đ ề 2

Lập phương trình mặt cầu bằng cách xác đinh tâm và bán kính của nó

I. PHƯƠNG PHÁP

■ Dựa vào giả thiết bài toán tìm toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu từ đó ápđụng định lí sau để suy ra phương trình mặt cầu.

23

4



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




24/194

■ Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt cầu S(I; R) với tâm I(a; b; c) và bánkính R có phương trình là: (x - a)2 + (y -b )2 + (z - c)2 = R2.

II. v í DỤ

Lập phương trìiih mặt cầu (S) biết:a) (S) có tâm là 1(1; 3; 6) và đi qua .điểm A(3; 2; 8).

b) (S) có tâm nẳm trên mặt cầu (S’): (x - l)2 + (y - 2)2 + Z = 13 và đi qua bađiếm M(0; 0; 1), N(l; 0; 0) và P(ơ; 1; 0).

IA = Ậ x A -X j)2 +(yA - ỵj)2 + (zA-Z j)2 = 4 l 2 + \2+22 =3.

Vậy (S): (x - 1)2 + (y - 3)2 + (z - 6)2 = 9.

b) Gọi J(a; b; c) là tâm của (S), Ta có:

Vì J G (S’) nên (a - l)2 + (a -2 )2 + a2 = 13 3a2 - 5 a - 8 = 0

_ ^ 1U 8a = -1 hay a = —.3

Khi a = -1 thì J (- l; -1 ; -1) và R = v l2 +12+22 = Vó nênmặt cầu có phươngtrình (S): (x + l)2 + (y + l)2 + (z + l)2 = 6.

Khi a = —ứù J(— —) và R = +(”~) = V5T nên mặt cầu có

phương trình (S): (x- —)2 + (y - —)2 + (z- —) = 51.

III. BÀI TẬP

1. Lập phương trình mặt cầu (S) ừong các trường hợp sau:

a) (S) cỏ tâm 1(5; -4; 3) và bán kính R = 2.

gìM

a) Vì (S) có tâm I và đi qua A nên (S) có bán kính là:

JA2 = JB2 = JC2


25/194

b) (S) có tâm 1(3; 4; 12) và đi qua gốc toạ độ.c) (S) qua A(2; 3; -4) và có tâm 1(1; -2; 3).d) (S) qua ba điểm A(l; 2; 4); B(l; -3; -1); C(2; 2; -3) và có tâm nằm trên

(Oxy).

,2. Cho hình tứ diện đều ABCD eó A(l; 4; 5), B(-3; -2; 4) và tâm đường trònngoại tiếp tam giác BCD lầ 1(2; 3; 5). Hãy lập phương trình mặt cầu ngoại tiếpcủa tứ diện ABCD.

3. Cho tứ diện SABC có SA vuông.góc với (ABC), tam giác ABC vuông tại B, biết toạ độ các điểm S(2; 4; 7) và C(-3; 2; 5). Hãy viết phương trình mặt cầu(S) ngoại tiếp tứ diện.

4. Cho hình chóp đều SABCĐ có tất cà các cạnh bằng nhau. Đáy ỉà hình vuông -ABCD có tâm là 1(3; ~A\ 6) và độ dài cạnh AB = 5. Hãy viết phương trình mặtcầu ngoại tiếp hình chóp.

^ V á n ă ê 3

Lập phương trình mặt cầu đĩ qua bốn điểm không đầng phẳng

I. PHƯƠNG PHÁP

■ Phương trình mặt cầu (S): X2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.

■ (S) qua bổn điểm A, B, c, D nên ta có hệ phương trình:

4 + Y 2a + A ~ 2 a x A - 2 b? A - 2 c2 A + đ = 0

Xg + y | + Z g - 2 a x B - 2 b y B “ 2 c zfi + d = 0

] G) x ị + y ị +Zq -2 ax c -2 by c -2c zc + đ = 0

X p + y ^ + z ị - 2 a x D - 2 b y D - 2 c z D + d = 0.

■Giải hệ (1) ta được a, b, c5d. Từ đó suy ra phương trình của mặt cầu (S).

II. CÁC VÍ DỤ^ấdụl. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD trong đó

A(l; 0; 2); B(—2; 1; 0), C(0; -3; 4) và D(l; 2; 5).

Qiải

> Phương ữinh mặt cầu (S): X2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.

25



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




26/194

> (S) qua bốn điểm A, B, c, D nên ta có hệ phương trình:

l2 +02 +22-2 a -0 b -4 c + d = 0

22+ l2 + 02 + 4 a -2 b -0 c+ d = 0

02 + 32 + 42-0 a + 6b -8c+ d = 0

l2 + 22 + 52 - 2 a - 4 b “ 10c + d = 0

60

-2 a -Ob -4 c+ d = ~5

4a - 2b - Oc + d = -5

Oa + 6b -8c + d = “25

-2a - 4b -1 Oc+d = -30

-2a -Ob -4 c + d = -5

- 6 a + 2 b - 4 c - 0

- 2a - 6 b + 4c = 20

4b + 6c = 25

a = — 23

5 J _ Ỉ35 b = -7T => d = —

23 23

c = -18546

/CX .2 2 _2 120 10 185 135Vậy (S): X + y + z H—“ •X———y — —-Z +-— = 0.23 23 23 23

z Viết phuong trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(-2; 3; 3), B(—1; 1; 2),C(4; 2; 2) và có tâm thuộc (Oyz).


27/194

2. Lập phương trinh mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) (S) qua 3 điểm A(1; 3; 2), B(3; 4; 4), C(-3; 2; 0) và có tâm nằm trên (Qxy). b) (S) qua 2 điểm A(l ; 3; 1), B(-2; -2; 4) và có tâm nằm trên trục Ox.

3. Cho A(l; 0; 1), B (-l; 1; 2), C (-l; 1; 0) và D(2; -1; -2).

a) Chứng minh Ạ, B, c, D là bốn đỉnh của tứ diện. b) Tính đường cao của ABCD kẻ từ D.

c) Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB và CD.d) Tính thê tích tử diện AJBCD và độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A.e) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

ĩ̂> Vấn đ ể 4

Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với một mặt phẳng, một đường thẳng

I. PHƯƠNG PHÁP

Xét mặt cầu (S) tâm I và bán kính R.

■ (S) tiếp xúc với (Oxy) R = |z ịỊ.

■ (S) tiếp xúc với (Oyz) o R = jxj|.

■ (S) tiếp xúc với (Ozx) -»■ R = ỊyjỊ.

■ (S) t iế p x ú c với b a m ặ t toạ đ ộ v à đ i q u a A th ỉ XAXJ > 0, y Ay {> 0 v à ZAZJ > 0.

° (S) tiếp xúc với mặt phẳng (a) đ(I, (a)) = R.

■ (S) tìểp xúc trục đường thẳng A o đ(I, A) = R.

II. CÁC VÍ DỤ

Vỉấụ 1. Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với các mặt phẳng toạđộva(S)

a) đi qua điểm A(l; -3; 2).

b) tiếp xúc (Oxy) tại B(2; 2; 0).

a) (S) có tâm I(a; b; c), tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ và qua A có XA = 1 > 0,

Ọiải

27



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




28/194

Dó đó (S): (x - a)2 + (y + a)2 + (z - a)2 = a2.

Mà (S) qua A nên ta có: (1 - a)2 + (-3 + a)2 + (2 - a)2 = a2

a2-6 a + 7 = 0a = 3± V2 .

Vậy (S): (x - 3 - V2 )2 + (y.+ 3 +>/2 )2 + (z - 3 - y Ị Ĩ )2 = (3 +SỈ2 Ý

h o ặ c (S): (x - 3 + V 2 ) 2 + ( y + 3 - V 2 ) 2 + ( z - 3 + V 2 ) 2 = ( 3 - 4 Ĩ ) 2.

b) (S) tiếp xúc (Oxy) tại B(2; 2; 0) nên (S) có tâm 1(2; 2; c).

Mặt khác (S) tiếp xúc với các mặt phang toạ độ nên

R = Ịxjị = |yr| = |Zj| |c| = 2 = R c = 2 = R hay R = 2 = -c.

Vậy (S): (x - 2)2 + (y - 2)2 + (z - 2)2 = 4

hoặc (S): (x - 2)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2 = 4.

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt càu (S) tâm A(1; -2; -4) và tiếp xúc với đườngthẳng BC trong đỏ B(2; 3; 4) và C(3; 5; 7).

Gọi H(x; y; z) là tiếp điểm của (S) và BC.

Ta cỏ: BC = (1; 2; 3);

BH = (x - 2; y - 3; z - 4);

AH = (x - 1; ỵ + 2; 2 + 4).

H, B, c thẳng hảng và AH ± BC

X “ 2 = k

y + 2 = 2k

z -4 = 3k

l( x -l) + 2(y + 2)+3(z + 4) = 0

Ị b H = kBC

[AHBC = 0

x = k + 2

y = 2k -2

z = 3k+4

l(k +1) + 2(2k) + 3(3k+4.+ 5) = 0

14k = 28

X = k + 2

y = 2 k-2

z = 3k + 4

k = 2

X = 4

y = 2

z = 10.

28



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




29/194

Suy raH(4; 2; 10).

Ta có: R2 = AH2 = (4 - l)2 + (2 + 2)z + (10 + 4)2 = 25 + 196 = 221. .

Vậy (S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z + 4)2 - 221,

III. BÀI TẬP

1. Lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng:

a) (S) qua A(1; -1; 4) và tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ. b) (S) qua B(1; 3; 9) và tiếp xúc với (Oxy) tại M(1; 4; 0).

2. Lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng:

a) (S) tiếp xúc trục Ox và có tâm là 1(3; -4; 2). b) (S) qua A(1; 2; 2), B(-2; 1; 3), C(3; 1; 2) và tiếp xúc Oy.

c) (S) qua A(4; 1; 6), tiếp xúc với trực Ox tại điểm M(4; 0; 0) và tiếp xúc trụcOy tại điểm N(0; 4; 0).

3. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(0; 0; 3), B(l; 1; 5), C(-3; 0; 0) vàD(0;-4; 0).

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, c, D là bổn đinh của một tứ diện b) Viết phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phang (BCD).

Tìm toạ độ tiếp điểm.

4. Trong không gian Oxyz cho bổn điểm A(l; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6) và

D(2;4;8).a) Chửng minh A, B, c, D là bốn đỉnh của một tứ diện. Tính thể tích của tứ

diện ABCD. b) Tính độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ D.c) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định toạ độ

tâm I và bán kính của (S).d) Viết phương trình mặt cầu (S’) tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc Oz tại c và

đi qua A.

29



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




30/194

§ 1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

A. TÓM TÁT GIÁO KHOA

ĩ. Phương trình mặt phẳng

■Vectơ n^O được gọi là vectơ pháp tuyến (vtpt) của mặt phẳng (a) nếu nónằm trên đường thẳng vuông góc với ( a ) .

Chú ý:

■ Nếu n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) tíứ k.n cũng ỉà vectơ pháptuyến của mặt p h ẳ n g ( a ) .

■ Một mặt phang hoàn toàn được xác địĩửi nếu biết một diem và một vectơ p h á p tu y ê n c ủ a n ó .

■ Mặt phẳng (ạ) qua M^xQ;y0;z0) nhận n=(A;B;C) làm vectơ pháptu y ế n c ỏ p h ư ơ n g t ì n h là:

A (x -x0)+ B (y-y 0)+C (z-z0) = 0 .

■ Phương trình tổng quát của mặt phang (a) có pháp vectơ n = (A; B; c ) là:

Ax + By + Cz + D = 0 với A^ + B2+C2 >0.

II. Các trường hợp riêng

« Cho mặt phẳng (a ) : Ax + By + Cz + D = 0. Ta có:

a) (a) qua o D = 0.

b) (a) song song hay chứa trục Ox A = 0.

c) (a) song song hay trùng với (Oxy) o A = B = 0.

30



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




31/194

Ghi chú: Nếu mặt phẳng (a) cắt ba trục toạ độ tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0),C(0; 0; c) ữù phương trình (a) là:

X y z ,

a b c

Phương trình này được gọi là phương trình mặt phang theo đoạn chắn.

III. VỊ trí tương đối giữa hai mặt phẳng

■ Cho hai mặt phẳng (a): Ax + By+Cz+D = 0

vả (P):A,x + B,y+C 'z + D, = 0.

a) (a ) , (Ị3) cắt rihau A : B : c 5*A’: B’: C’

b) (a), (P) song song

A B c D

(với A’, B’, c%D’ 5*0).

c) ( a ) , (P) trùng nhau — = — = “ = —K B A' B' C' D'

EL PHUOME PHÁP GIẢI TDÁlNi

^ Ván đ ẻ 1Viết phương trình mặt phang (a) đi qua điểm À và có vectơ pháp

tuyến n hay vuông góc với đường thẳng d

I. PHƯƠNG PHÁP

■ Chọn vectơ pháp tuyến (vtpt) của mặt phẳng (a) là n = (A; B;C) (nếu (a)

vuông góc với d thì n là vectơ chỉ phương a của đường thẳng d);

quaA(x0;y0;Z0)Phương trình mặt phẳng (a)

A (* -x 0) + B (y -y 0) + C (z-z0) = 0.

CÓdạng:nhận n = (A; B; c ) làm vtpt

31



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




32/194

II. CÁC v í DỤ

Ví ấụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua A(3; -2; 5) và có vectơ pháp

tuyến là n = (4;-3; 2 ).

Vì (a) qua A(3; -2; 5) và nhận n = (4;-3;2) làm vectơ pháp tuyến nên

phương trình của mặt phang (a) có dạng:

(a); 4 (x -3 )- 3 (y + 2) + 2(z -5 ) = 0 4x-3y + 2z -28 = 0.

ấụ 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(l; 3; -4)và B( -1; 2; 2).

Mặt phăng trung trực (a) của đoạn AB đi qua I và nhận AB làm vectơ pháptuyến nên phương trình của (a) có dạng:

Ví dụ 3. Viết phương trình mặt phẳng (oi,) qua M(2; - 5; 3) và vuông góc vớiđường thẳíig OM

Ta có: OM = (2;-5;3). Mặt phẳng (a) đi qua M(2; -5; 3) và nhận n = OM

là m v e c tơ p h á p tu yế n => ( a ) : 2 ( x - 2 ) - 5 ( y + 5 ) + 3 ( z - 3 ) = 0

2x-5 y + 3z -38 = 0.

III. BÀI TẬP1. Viết phương trình mặt phẳng (a) biết:

a) (a) đi qua A(4; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến là n = (3;-4 ;l ).

b) P(2; - ĩ ; -2) là hình chiểu của gốc tcạ độ lêri ( a ) .

giải

giải

32



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




33/194

2. Viết phương trình mặt phẳng (a) biết:

a) (a) qua M(l; 4; 3) và vuông góc với Oy.

b) (ạ) qua M(2; 0; 1) và vuông góc với AB vói A(0; 2; -3), B(l; -4; 1).

3. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(- 1; 1; 2); B(3; -1; 0); G(2; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC.

4. Viết phương trình mặt phang trung trực của đòạn ẤB với:

a) A(1; -4; 2) và B( 7; 1; -5). b) A(-3; 2; 1) và B(9; 4; 3).


a) (a) chứa điểm A(2; 1; - 1) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểmB(—1; 0; 4) và G(0; -2; -1).

b ) ( a ) c h ứ a đ iể m M ( l ; 6; - 2 ) v à v u ô n g g ó c v ớ i đ ư ờ n g th ẳ n g d đ i q u a haiđiểm A(2; - 5; 6) và B ( -1; - 3; 2).

c) (a) chứa điểm M(2; - 3; 1 ) vả vuông góc với đường thẳng d đi qua haiđiểm A(3; - 4; 5) và B(- 1; 2; 6).

^ Vấn đề 2

Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua ba điểm A, B, c khôĩỉg

thẳng hàng

I. PHƯƠNG PHẤP

■ Xác định vectơ pháp tuyến của mặt. phẳng (a) là n = AB, AC ==(a;b; c).

Viết phương trình mặt phẳng (a) biết (a ) đi qua ba điểm A(l; Ị; 1), B(2; 4; 5) và

■ Mặt phẳng (a)

có phương trình như sau: a (x -x Qj+ b ^y -y 0] + c^z-ZQ] = 0.

II. VÍ DỤ

C(4; 1; 2).

■̂"ư-PPTDTKỈ 33



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




34/194

giải

Ta có: ĂB = (1;3;4),

Ăc = (3;0;l),

Ịa B,Ãc ] = (3;11;-9).

Mặt phẳng (ABC)quaA(l; 1; 1)

nhận n = AB, AC j = (3; 11; -9) làm vtpt

=>. phương trình (a) có dạng:

3 ( x - l ) + l l ( y - l ) - 9 ( z - l ) = 0 c > 3 x + l l y - 9 z - 5 = 0 .

ra. BÀI TẬP


a) (oc) đi qua ba điểm A(1; - 1; 2), B(0; 3; 0) và C(2; Ị; 0).

b) (a) đi qua ba điểm A(2; 0; 3), B(4; - 3; 2) và C(0; 2; 5).

c) (a) đi qua ba điểm A(2; 1; 3), B (-ỉ; -2; 4) và C(4; 2; 1).


a) (a) đi qua ba điểm A(1; 1; - 1), B( - 2; - 2; 2) và C(1; - 1; 2).

b) (a) đi qua ba điểm A(3; 4; ỉ), B (-l; - 2; 5) và C(1; 7; 1).

c) (a) đi qua ba điểm A(l; ~ 2; 4), B(3; 2; -1) và C(-2; 1; -3).

3. Cho tứ diện ABCD với A(-7; 9; 1), B(2; -3; 2), C(5; 0; 4) và D(6; 2; 5). GọiG là trọng tâm của tứ diện và I là điểm cách đều các đỉnh. Lập phương trìnhmặt phẳng qua ba điểm B, G, I.

4. Gọi I, J, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 3; -5) trên cácmặt phẳng (xOy), (yOz), (xOz). Tìm phương trinh của mặt phẳng (UK).

34



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




35/194

^ Ván đê 3

Viết phương, trình mặt phậng (a) đỉ qua điểm A và đường thẳng d không chứa điểm A

I. PHƯƠNG PHÁP

■Giả sử đường thẳng đ đi qua B và có vectơ chỉ phưcmg là a .

■ Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) là n = AB, a = (rij; n2;n3).

II. VÍ DỤ

Viết phương trình mặt phang đi qua Ẹ(- 4; 3; - 2 ) và chứa trục y’Oy.

Ta có: OE = (-4 ;3 ;-2 ), j = (0;l;0)=> [oE,j] =(2 ;0 ; -4) .

Mặt phẳng (a) đi qua E(- 4; 3; -2 ) và chứá trục Oy

=> (a) là mặt phẳng qua E và có vectơ pháp tuyến là £oE, j j = (2; 0; -4)

=> phương trình có dạng:(x+4) + 0 (y -3 )-2 (z + 2) = 0 -« -x -2 z = 0.

III. BÀI TẬP

1. Viết phương trình mặt phẳng

a) Đi qua E(1; - 3; 2) và chứa trục z’Oz. b) Chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2).

c) Chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; -3).

Ịnhận n = Ịn1;n2;n3j làmvtpt

n1(x - x 0) + n2( y -y 0) + n3( z -z 0) = 0.

nên phương trình có dạng:

35



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




36/194

^ V ấ n đ ẻ 4

Viếỉ phương trình mặt phẳng (a) đỉ qua hai điểm A, B và song song vói đường thẳng d không chứa điểm A và B

I. PHƯƠNG PHÁP■ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là a .

nên phương trình eó dạng: a (x -x 0) + b (y -y 0) + c Ịz -z 0 ) = 0.

ĨI.VÍDỤ

Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm E(l; 3; - 5), F(- 2; - 1; 1) và .song song với trục x’Ox.

Ta có: EF = (-3;-4;6); T=(1;0;0)=> [ e FJ] = (0;6;4).

Mặt phẳng (a) đi qua hai điểm E(l; 3; -5); F(-2; -1; 1) và song song với trụcx’Qx nên (a) qua E và nhận £e f JJ ==(0; 6; 4) = 2(0; 3; 2) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình (a) cỏ dạng:

III. BÀI TẬP

1. Cho tứ diện ABCD với các đỉnh A(5; 1; 3), B(l; 6; 2), C(5; 0; 4) và D(4; 0; 6).

a) Tìm phương trình mặt phẳng (ABC). b) Tìm phương trình của mặt phang qua AB và song song với CD.


a) (a) đi qua hai điểm A(4; -1; 1), B(3; 1; -1) và song song vói trục Ox .

Ọiảì

0 (x -l)+ 3 (y -3) + 2( z+ 5 ) = 0 3y+2z + l - 0 .

36



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




37/194

b) (a) đí qua hai điểm C(3; -2; 4), D(1; 3; 6) và song song với trục Oy.

c) (a) đi qua hai điểm E(-2; 3; -4), F(3; 1; -ố) và song song với trạc Oz.

3. Cho tứ diện ABCD có A(3; 1; 5), B(2; 6; I), C(4; 0; 5) và D(6; 0; 4).

a) Viết phương trình các mặt phẳng (ACD) và (BCD). b) Viết phương trình mặt phẳng (a) qua AB và song song với CD.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trọng tâm G của tứ điện và nhận Glàm hình chiếu c ủ a A trên (P).

^ Ván đề 5

Viết phướng trình mặt phang (a) đi qua hai điểm A, B và vuông góc vói mặt phang (P)

I. PHƯƠNG PHÁP

■Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n'p .

■ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) là n = Ị^AB,ripj = (a; b; c) (vĩ

(


38/194

Mặt phẳng (a) đi qua hai điểm M(3; -2 ; 5) và N(l; -1 ; 3) và vuông góc vói

mặt phẳng (p)

m ặ t p h ẳ n g ( a )

quaM (3;-2; 5)

nhận n =Ị^MN,iip = (“4; 2; 5) làm vtpt

=> phương trình (và vuông góc với (Q) :2 x-3y~z + 6 = 0.

^ Ván đê. 6

Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng không song song (P), (Q)

I. PHƯƠNG PHÁP

■ Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) có vector pháp tuyến lần lượt là lip và nọ .

■ Chọn vectơ pháp tuyển của mặt phẳng (a ) là n = ̂ np,ngj = (A;B;C) (vì

(a) J- (P ), (a) -L (Q)). ' .

38



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




39/194

[quaMÍx ;y ;z )■M ặtphăng (a) J J ụ

Inhận n = (A; B; c) làm vtpt

nên phương trình có dạng: A^x-XQ^ + B^y-y gj + C^z-ZQ^-O.

II. VÍ DỤ

Viết phưcmg trình mặt phẳng (a) biết (a) qua M(3; -1; -5) và vuông góc với

hai mặt phẳng (P ):3x-2 y + 2z + 7 = 0, (Q ):5x-4 y + 3z+l = 0.

Qiầi

Ta có: (P ):3x-2 y + 2z:f7 = 0^>(P) nhận np =(3;” 2;2) làmvtpt;

(Q ):5x-4 y+3z+l = 0=^(Q) nhận nọ =(5;—4;3) làmvtpt.

Ta có: l^ipjiiQ J = (2;l; -4). Vì (a) vuông góc vái hai mặt phẳng(p) và (Q)

nên (a) nhận ĩĩ = Ịjip>nQỊ= (2 ;l ;-4) lảm vtpt. Ngoài ra, (a) qua M nên

phương trinh mặt phảng (a) có dạng:

2(x-3) + (y + l)-4 (z -5 )-0 O ’2x + y-4z-15 = 0 .

III. BÀI TẬP


a) (a) qua M(1 ; 0; -2) và vuông góc với hai mặt phẳng:

(P):2x + y - z - 2 = 0, (Q ):x -y -z -3 = 0.

b) (a) qua M(-2; 3; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng:

(P):3x + 2 y -2 -l = 05 (Q ):2x-5 y+ 4z -7 = 0,

c) (a) qua M(1; -2; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng:

(P ):2 y -z- 3 = 0, (Q):x-3y+ z+5 = 0.

2. Viết phương tiỉnh mặt phẳng (a) biết:

a ) ( ° 0 qua- M ( 2 ; - 4 ; 5 ) v à v u ô n g g ó c v ớ i h a i m ặ t p h ẳ n g :

(p ):x -2 y+ 3z -l = 0, (Q):3x + y -2 z + 5 -0 .

; 39



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




40/194

b) (a) qua E(-4; 1; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng:

(p) :2x-3 y + 5z-4 = 0, (Q ): x + 4 y-2 z + 3 = 0.

Mặt phẳng (a)

^ Vấn đe 7

Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và song song với mặt phăng (Ị3)

I. PHƯƠNG PHÁP

" Giả sử mặt phăng (p) có vectơ pháp tuyên là n = (A; B; c ) .

■ Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) là n (vì (a) //(p)).

quaM(x0;y0;20) nhận n = (A;B;C) Iàmvtpt

nên có phương trình là: A^x-XQ^+B^y-yQ^ + C^z-Z gj^O.

II. CẢC VÍ DỤ

lẫd ụ 1. Viết phương trình mặt phẳng qua M(1; 3; 0) và song song với

( p ) : 2 x - y + 3z + 10 = 0.

g m

(p ): 2x - y + 3z + 10 = 0=3> (p) nhận ĩip = (2;-l;3) làm vtpt.

Vì (a) song song với (p)nên (a) nhận lip =(2; -l;3) làm vtpt.

íquaM(l;3;0)Mặt phăng (a) < , - —

Ịnhận n = rip = (2; “ 1; 3) làm vtpt

=> phương trình (a) có dạng: 2 (x - 1 ) - (y -3 )+ 3 (z -0 ) = 0

2x-y + 3z + l = 0.

'iẫ ẩụ 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(4; -3; 2) và song songvới mặt phẳng (Oxy).

40



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




41/194

Ợiài

Phươngtrìnhmặtphẳng (Oxy) làz = 0 => (Oxy) nhận k = (0;0;l) làmvtpt

Vì (a) song song với (Oxy)nên (a). cũng nhận k = (0;0;1) làmvtpt.

=> phương trình (a) có dạng: 0 (x -4 )-0 (y -3 )+ (z -2 ) = 0 Z - 2 = 0.

III. BÀI TẬP

1. Lập phương trình các mặt phẳng qua M(2; 7; 4) và song song với các mặt

p h ẳ n g to ạ đ ộ .

2. Viết ptiưcmg trình mặt phẳng

' a) Đi quá A(1; 2; 3) và song song với ( a ) : X - 4y + z + 12 = 0. .

b) Đi qua B(1; -2; 3) và song song với (Ị3): X- 3y + 2z + 13 = 0.

c) Đi qua C(1; 0; 5) và song song với (y): 2x - y + z = 0.

3. Viết phương trình mặt phẳng '

a) Đi qua điểm M(-2; 1; 3) và song song với (P): 2x + 5y - 3z + 7 = 0.

b) Đi qua điểm N(-2; .4; -1) và song song với (Q) :3x -2 y~ z + 6 = 0.

^ Ván ăé 8

Viếỉ phương trình mặt phẳng (a) theo đoạn chắn

I. PHƯƠNG PHÁP

■ Phưcmg ữình mặt phẳng (a) cắt ba trục toạ độ tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0),C(0; 0; c) với abc * 0 có dạng: •

n h ậ n n = k = ( 0 ; 0 ; 1) l à m v t p t

- + Ị + - = 1.a b c

X y z

41



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




42/194

II. CÁC v í DỤ

Ví ẩụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (a) cắt ba trục toạ độ tại A(2; 0; 0),B(0;-3;0)vàC(0;0;ố).

giải

Phưcmg trình mặt phẳng(a) cắt ba trục toạ độ tại A(2; 0; 0), B(0; -3 ; 0) vàC(0; 0; 6) là:

/ A x y z 1( a ) : —+ “ + —= l .2 - 3 6

T4 dụ 2. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(l; 2; 3) và cắt t i a Ox,Oy, Oz lần lượt tại A, B, c sao cho:

a) Thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

b) Tổng OA + OB + o c nhỏ nhất.

g iãGọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) là ba điểm thuộc ba tia Ox, Oy, Oz (với a,

b, c > 0). Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chấn là:

ị + £ + i - i . a )a b c

Vì (P) qua M (l; 2; 3) —+—+—= l . (2)a b c

a)Tacó: VQABC = 1 o A30bc =^abc.

' ’ ' l 2 3Ap dung bât đãng thức Cô-si cho ba sô dương — ta đươc:

a b c

l 2 3 l~6 w r r — +—+—> = > l> 3 /-~ =>abc>l8.9 => VnApr >27.a b c Vabc Vabc

Dấu xảy ra

1 - 2-2a b c . 1 2 3 1

o - = - = - = f - o a = 3,b = 6,c = 9.1 2 3 , a b c 3.a b c '

v «y VOABC min = 2 7 ~ ( p) : f + f = !•

42



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




43/194

b) Ta có: OA + OB + o c = a + b + c. Áp dụng bất đẳng thức B.c.s cho ba

'4 1 Vb 4 ?cặp Số

_ L J L _ L.Vã Vb Vc

, ta được:

í-]= .Vã+ - i .V b + - i .y fc W a vb V c 7

;4 Ỉ ) IVbJ. [ ự ĩ

ịl + ̂ + J ĩ Ỵ /c

X ” V? “ v ĩ Vb Vc ^

1 2 3 ,- + — + — = 1

„a b c

a=1+V2 -f -\/3b=yỈ2.{ì+yỈ2 + S )

c = 7 3 (1+ 7 2 + 7 3 ).

Vậy (OA + OB + oc ) . = Ịl + V2 + Vsj và phương trình mặt phẳng (P)

tương ứng là:

(P):X

y z-------- — ---------- Ị-------------- í ---------------1---------- ----------------- — \ + & + S y/ỉỊl + yíĩ + ylỉ) V 3 ( l+ ^ + V3)= 1.

III. BÀI TẬP

1. Cho điểm M(30; 15; ố).

a) Viểt phương trình mặt phẳng (a) qua các hình chiếu của M trên các trục toạ độ.

b) Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên mặt phẳng ( a ) .

2. Viết phương tành mặt phẳng (a) cắt ba trạc toạ độ tại A(-3; 0; 0), B(0; 4; 0)

và C(0; 0; -2).

3. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm E(3; 2; 4) và chắn trãi ba tiaOx, Oy, Oz ba đoạn thẳng bàng nhau.

43



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




44/194

4. Viết phương trình mặt phẳng (a)

a) Đi qua M(2; 3; 5) và chắn trên tia Oy một đoạn bằng hai lần các đoạn chắntrên hai tia Ox, Oz.

b) Đi qua M(2; 3; 5) và chắn trên ba tia Ox, Oy, Oz ba đoạn thẳng tạo thànhmột cấp số nhân có công bội bàng 3.

5. Cho hai điểm M(-4; -9; 12) và A(2; 0; 0).

a) Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua hai điểm M, A và cật tia Oy, Ozlần lượt tại B, c sao cho OB = o c + 1.

b) Viết phương trìĩih mặt phẳng (P) đi qua M và cắt tía đối Ox, Oy, Oz lần4 1 1

lượt tại N, p, Q sao cho OQ = ON + OP và = —■ •OQ OP OR

c) Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M(2; -1; 4) và cắt ba trục Ox,Oy, Oz lần lượt tại p, Q, R sao cho OR = 20P = 20Q.

d) Viểt phương trình mặt phẳng (a) đi qua M(l ; 2; 3) và cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lượt tại A, B, G sao cho tam giác ABC đều.

^ Vấn đẻ 9

Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

I. PHƯƠNG PHÁP

Cho hai mặt phẳng (a) và (p): (ct): Ax + By + Cz + D = 0(P): A'x + B 'y+C ’z-I-D' = 0.

a) ( a ) , (P) cắt nhau A : B :c * A ': B': C';

b) (a ), (P) song song

\ ^ ro\ A _■B '_ c _ Dc ) ( a ) , (B ) t r ù n g n h a u — = — = — = —-

K a A' B' G' D\

(với A’, B’, c \ D’ 5*0).

II. VÍ DỤ

Cho hai mặt phẳng: -

( a ) : 2x - my + 10z + m '+ 1= 0 và (P): X- 2y+ (3m + 1)2 - 10 = 0.

44



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




45/194

Tim m để:

a) ( a ) , (P) song song.

b) (a ) , (P) trùng nhau.

c) (a) J (P) cắt nhau.

g iãa) (a) , (p) song song.

Khi m = — => (a) không song song (p) => loại m = —

— = 2

2( Mr t nS ' Z ~m 10 m+1 _ 10(ct)/ / (B)—= — ——= 2 » m e 0 .w v ; 1 -2 3 m + 1 1 0 Ị 3 m + 1

. -10Vậy (a) và (P) không song song.

b) (a) và (Ị3) không trùng nhau (dựa ừên nhận xét ờ câu a).

c) (a) và (P) cắt nhau.

Ta có: (a) nhận n =(2;-m;10) làm vtpt;

(p) nhận rip = (l;-2;3m + l) iàm vtpt.

Vi (a) và (P) cắt nhau na và rip không cùng phương £na ,

Tacó: Ịn ,rip j = (-3m2 -m + 20; 8-6m ; -4 + m j.

í-3m 2 -m + 20 = 0 V ì Ị^n , n p j = ồ < = > < |8 -6 m = 0 o m e 0 .

ị - 4 + m = 0

Vậy Ị̂ n , ĩip * 0, Vm € R . Do đó (a) luôn cắt (P), Vm e R .



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




46/194

III. BÀI TẬP

1 . x ẻ t v ị t rí t ư ợ n g đ ố i c ủ a h a i m ặ t p h ẳ n g s a u :

a) (a ):x + 2y -z+ 5 = 0 và (p):2 x+ 3 y-7 z-4 = 0.

b) (a ) :x -2 y + z + 3 = 0 và (p ) :2 x -y + 4 z -2 = 0.

c) (a) :x + y + z - l = 0 và (Ị3):2x + 2y,+ 2z+3 = 0.

đ) (a ):3 x -2 y -3 z + 5 = 0 và (p ):9 x -ố y -9 z + 15 = 0.

2. Xác định các giá trị củã m, n để các cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau:

a) 2x + my + 3z - 5 = 0 và nx - ốy - ốz - 2 = 0. b) 3x - 5y + mz - 3 - 0 và 2x + ny - 3z + 1= 0.c) mx + 3y - 2z - 1= 0 và 2x - 5y - nz = 0.

3. Xác định giá trị của m để các cặp mặt phẳng sau đây vuông góc với nhau:a) 3x - 5y + mz - 3 = 0 và X+ 3y + 2z+5 = 0. b) 5x + y - 3z - 2 = 0 và 2x + my - 3z + 1= 0.c) 7x + 2y - 9 = 0 và mx Ỷ y - 3z - 1= 0.

4. Hai mặt phẳng (P) và (Q) làn lượt cắt ba trục toạ độ tại A(4; 0; 0), B(0; -2; 0),C(0; 0; 2) và E(2; 0; 0), F(0; -4; 0), G(0; 0; -2),'

a) Tìm phương trình của hai mặt phẳng (P), (Q). b) Chứng minh (P) và (Q) vuông góc với nhau.

§2. KHOẢNG CÁCH VÀ GỐC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

A. TÓM TẮT GIÁO KHOA

ĩ. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

* Cho mặt phẩng (a) :Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M. Khoảng cách từ Mđên (a) là:

|^ M +ByM+CzM+DlVa 2+B2+C2

46



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




47/194

II. Góc giữa hai mặt phẳng

■ Cho hai mặt phẳng (a ): Ax + By + Cz+D = 0, (P):A,X+-B'y+C,2 + D, = 0

có vectơ phảp tuyến lần lượt là na =(A;B;C) và np =(A ';B ,;C '). Gọi cp là

góc giữa (a) và (P) (o° <


48/194

b) (P) song song vói mặt phẳng (R): X+ 2y - 2z+5 = 0 và cách điểm B(2; -1; 4)một khoảng bang 4.

c) (P) cách mặt phẳng (S): 3 x -y + 2z-3 = 0 một khoảng bằng V ũ .

• Q iM

a) (Q ): 2x - 4y- z + 4 = 0 => (Q) nhận nọ = (2 ;-4;- l) làm vtpt:

Vì (P) song song với (Q) nên (P) nhận nọ = (2 ;-4;-l) làm vtpt.

íquaA(l;'2;-3)Mặt phang (p) ị —•

1nhận n = ĨỈQ = (2; -4;-1) làm vtpt

=> phương tành (p) có dạng: 2 (x ^ l) -4 (y -2 ) - (z + 3 ) = 0

2 x -4 y -z + 3 = 0.

Khoảng cách giữa (P) và (Q) là:

d ( ( P M Q ) ) = d ( M P ) ) = Ế ^ ± Ì = | .V4+16+1 21

b) (R): X+ 2y - 2z + 5 = 0 => (R) nhận nR = (1; 2; -2) làm vtpt.

Vì (P) // (R) nên (P) nhận nR = (l;2;-2) làm vtpt => phương trình mặt phẳng

(P) có dạng: X+ 2y - 2z + D = 0.

Khoảng cách từ B(2; -1; 4) đến (P) là: d(B,(P)) =Vl+4 + 4

[D = 20Vì d ( B , (P ) ) M o r "

Ị_D = -4. -

Vậy cỏ hai mặt phẳng (P) tìioả đề bài là:

(pi ):x + 2y-2 z + 20 = 0 và (P2):x + 2 y -2 z -4 = 0.

c) (S): 3x - y + 2z-3 = 0 => (S) nhận ns - (3;—1; 2) lảm vtpt(P) cách mặt phẳng (S) một khoảng bằng Vĩ4 nên (P) // (S)

=> (P) nhận ns = (3;—1; 2) làm vtpt

=> phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 3x - y + 2z + Đ = 0.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




49/194

Gọi M(x; y; z) là một điểm bất kì của (P). Khoảng cách từ M(x; y; z) đến (?), ^ Ỉ3 x-y + 2z-3!

là: d(M, (S)) = ‘ r = = 1V9+1+4

Vì d(M, (S)) = yịĩÃ- 3x —y + 2z + ll = 0

3 x -y + 2z-17 = 0.

Vậy có hai mặt phẳng (P) thoảđềbài là ( P j) :3 x -y + 2z + ll = 0

và (p2):3x -y + 2 z- 1 7 = 0.

III. BÀI TẬP

1. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, o c đôi một vuông góc, OA = a,OB = b, o c = c. Tính độ dài đường cao tứ diện kẻ từ o.

2. Tìm phương trinh của mặt phẳng (P):

a) Qua A(3; 1; -2) và song song với mặt phẳng (Q): 6x-2y+3z + 12 = 0.Tỉnh khoáng cách giữa (P) và. (Q).

b) Song song với mặt phẳng (R): 2x-4y + 4z + 3.= 0 và cách điểm B(2; -3; 4)một khoảng bằng 3.

c) Cách mặt phẳng (S): 4x + 3y - 2z+5 = 0 một khoảng bằng V29 .

3. Viết phương trình mặt phang song song với (p ) : 4x+3y -1 2z -!-1 = 0 và tiếp

xúc với mặt cầu (S): X2 + y2 .+ z2 - 2x - 4y - 6z - 2 = 0.

4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2 x - 2 y - z - 4 = 0và mặt cầu (S): X2 + y2 + z2 - 2x - 4y - ốz - 11 =0. Chứng minh rằng: mặt

phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó (Đe thi TSĐH, khối A, năm 2009).

5. Trong không gian vói hệ toạ độ Oxyz> cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(l; 2; 1),

B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi quaA, B sao cho khoảng cách từ c đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) {Đề thi TSĐH, khối B, nă

Documents

GIẢI TOÁN 12 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - TRẦN ĐỨC HUYÊN