Phương pháp tọa độ trong không gian

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚCTỔ TOÁN - TIN

CHUYÊN ĐỀPHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘTRONG KHÔNG GIAN

Trần Anh Tuấn

Vĩnh Phúc, năm 2009-2010

Mục lục1 Vectơ trong không gian 4

1.1 Tâm tỉ cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Các vectơ đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Toạ độ của vectơ và điểm 52.1 Toạ độ của vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Toạ độ của điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ 63.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 Biểu thức toạ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Tích có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.3 ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Phương trình tổng quát 9

5 Phương trình tham số 9

6 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 11

7 Chùm mặt phẳng 11

8 Khoảng cách 12

9 Phương trình tổng quát 14

10 Phương trình tham số và phương trình chính tắc 14

11 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 1611.1 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.2 Hai đường thẳng đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.3 Hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

12 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 18

13 Khoảng cách 2213.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 22

13.1.1 Cách xác định khoảng cách từ A đến d . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.1.2 Công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

13.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.2.1 Cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . . 2313.2.2 Công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2

14 Một số vấn đề về điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 2514.1 Hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . 2514.2 Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 2514.3 Hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . 27

3

Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn

1 Vectơ trong không gianKhái niệm vectơ và các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàngiống như trong mặt phẳng. Vì vậy, các phép toán vectơ trong không gian cũng có cáctính chất như trong mặt phẳng.

1.1 Tâm tỉ cựCho n điểm A1, A2, . . . , An và n số a1, a2, . . . , an sao cho a = a1 + a2 + · · · + an 6= 0. Khiđó tồn tại duy nhất điểm G sao cho

a1

−−→GA1 + a2

−−→GA2 + · · · + an

−−→GAn =

−→0 . (*)

Thật vậy, lấy một điểm O cố định ta có

(∗) ⇔ a1(−−→OA1 −

−→OG) + a2(

−−→OA2 −

−→OG) + · · · + an(

−−→OAn −−→

OG) =−→0

⇔ (a1 + a2 + · · ·+ an)−→OG = a1

−−→OA1 + a2

−−→OA2 + · · ·+ an

−−→OAn

⇔ −→OG =

1

a(a1

−−→OA1 + a2

−−→OA2 + · · ·+ an

−−→OAn).

Điểm G được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A1, A2, . . . , An gắn với hệ số a1, a2, . . . , an. Đặcbiệt, khi a1 = a2 = · · · = an = 1, tồn tại duy nhất điểm G sao cho

−−→GA1+

−−→GA2+· · ·+−−→

GAn =−→0 và G được gọi là trọng tâm của hệ điểm A1, A2, . . . , An.

Ví dụ 1. Trong một tứ diện, ba đoạn thẳng nối các trung điểm của ba cặp cạnh đối diệnđồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn. Điểm đồng quy đó được gọi là trọng tâm của tứdiện.

a) Chứng minh rằng G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi

−→GA +

−−→GB +

−→GC +

−−→GD =

−→0 .

b) Cho tứ diện ABCD và một số dương k. Tìm quỹ tích các điểm M thoả mãn

|−−→MA +−−→MB +

−−→MC +

−−→MD| = k.

1.2 Các vectơ đồng phẳngĐịnh nghĩa. Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng cùng songsong với một mặt phẳng.Định lí 1. Cho ba vectơ −→a ,

−→b và −→c , trong đó −→a và

−→b không cùng phương. Ta có ba

vectơ −→a ,−→b ,−→c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại k và l sao cho −→c = k−→a + l

−→b .

Định lí 2. Nếu ba vectơ −→a ,−→b và −→c không đồng phẳng thì với mọi vectơ −→v , tồn tại duy

nhất bộ ba số k, l, m sao cho −→v = k−→a + l−→b + m−→c .

Hệ quả. Nếu ba vectơ −→a ,−→b và −→c không đồng phẳng thì

k−→a + l−→b + m−→c =

−→0 ⇔ k = l = m = 0.

Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 4


Chú ý. i) A, B, C thẳng hàng ⇔ −→AB và

−→AC cùng phương ⇔ ∃k :

−→AB = k

−→AC .

B nằm giữa A và C ⇔ ∃k ∈ [0; 1] :−→AB = k

−→AC.

ii) A, B, C, D đồng phẳng ⇔ −→AB,

−→AC,

−−→AD đồng phẳng.

Ví dụ 2. Cho góc tam diện Oxyz. Xét các đường phân giác trong và phân giác ngoài củaba góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng

a) Ba đường phân giác ngoài nằm trên một mặt phẳng;

b) Hai đường phân giác trong và một đường phân giác ngoài nằm trên một mặt phẳng.

Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′. Hai điểm M và N lần lượt nằm trênhai cạnh B′C ′ và CD sao cho B′M = CN . Chứng minh rằng

a) AC ′ ⊥ A′B;

b) AM ⊥ BN .

Bài tậpBài 1. Tìm quỹ tích các điểm M trong không gian sao cho

k1MA2

1+ k2MA2

2+ · · ·+ knMA2

n= k

với k1, k2, . . . , kn và k là những số cho trước.

Bài 2. Cho hai vectơ−→AB = −→u và

−−→CD = −→v . Gọi C ′ và D′ là hình chiếu của C và D trên

AB. Vectơ−→v′ =

−−→C ′D′ được gọi là hình hciếu của vectơ −→v trên đường thẳng AB. Chứng

minh rằng −→u .−→v = −→u .−→v′ .

Bài 3. Cho M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ diện ABCD. LấyP trên BC sao cho BP = kPC (k cho trước). Tìm Q trên cạnh AD sao cho M, N, P, Q

đồng phẳng.

Bài 4. Cho hình chóp SABC có SA = a, SB = b, SC = c, ASB = α, BSC = β, CSA = γ

và G là trọng tâm của ∆ABC. Tính SG.Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm củacác cạnh AB, B′C ′, DD′.

a) Chứng minh rằng A′C ⊥ (MNP );

b) Tìm cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng MP và AC ′.

Bài 6. Cho I là trung điểm của đường cao AH của tứ diện đều ABCD, K là hình chiếucủa I trên AD và G là trọng tâm của ∆ABC. Chứng minh rằng G, I và K thẳng hàng.

2 Toạ độ của vectơ và điểm

Trong không gian, cho ba trục x′Ox, y′Oy, z′Oz đôi một vuông góc với nhau và−→i ,

−→j ,

−→k

là các vectơ đơn vị tương ứng trên mỗi trục. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ toạ độDescartes (Đề - các) vuông góc Oxyz hay hệ toạ độ Oxyz. Điểm O được gọi là gốc toạđộ; các trục Ox, Oy, Oz lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung và trục cao; các mặtphẳng Oxy, Oyz, Ozx đôi một vuông góc được gọi là các mặt phẳng toạ độ.



2.1 Toạ độ của vectơ

Với mọi vectơ −→v , tồn tại duy nhất bộ ba số (x; y; z) sao cho −→v = x−→i + y

−→j + z

−→k . Bộ ba

số (x; y; z) được gọi là toạ độ của −→v , kí hiệu là −→v (x; y; z) hay −→v = (x; y; z).Cho hai vectơ −→a (x1; y1; z1) và

−→b (x2; y2; z2). Ta có:

♥ −→a ±−→b = (x1 ± x2; y1 ± y2; z1 ± z2);

♥ k−→a = (kx1; ky1; kz1), k ∈ R.

Chú ý.

♥ −→a =−→b ⇔ x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2.

♥ −→0 = (0; 0; 0).

♥ −→a và−→b cùng phương ⇔ ∃k : x1 = kx2, y1 = ky2, z1 = kz2

⇔∣

∣

∣

∣

y1 z1

y2 z2

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

z1 x1

z2 x2

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

x1 y1

x2 y2

∣

∣

∣

∣

= 0.

2.2 Toạ độ của điểm

Với một điểm M trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của vectơ−−→OM cũng được gọi là toạ độ của

điểm M . Như vậy, nếu−−→OM = x

−→i + y

−→j + z

−→k hay

−−→OM = (x; y; z) thì bộ ba số (x; y; z)

được gọi là toạ độ của điểm M , kí hiệu là M(x; y; z) hay M = (x; y; z).Cho A = (xA; yA; zA) và B = (xB ; yB; zB). Ta có:

♥ −→AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA);

♥ −−→MA = k

−−→MB ⇔

xM =xA − kxB

1 − k,

yM =yA − kyB

1 − k,

zM =zA − kzB

1 − k

(k 6= 1).

Đặc biệt, khi k = −1 ta có: M là trung điểm của AB ⇔

xM =xA + xB

2,

yM =yA + yB

2,

zM =zA + zB

2.

3 Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ −→a = (x1; y1; z1) và−→b = (x2; y2; z2).



3.1 Tích vô hướng3.1.1 Biểu thức toạ độ

−→a −→b = x1x2 + y1y2 + z1z2.

3.1.2 Ứng dụng

♥ |−→a | =√−→a 2 =

√

x2

1+ y2

1+ z2

1.

♥ cos(−→a ,−→b ) =

−→a .−→b

|−→a | .∣

∣

∣

−→b

∣

∣

∣

=x1x2 + y1y2 + z1z2

√

x2

1+ y2

1+ z2

1

√

x2

2+ y2

2+ z2

2

.

Hệ quả. −→a ⊥ −→b ⇔ −→a .

−→b = 0 ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.

♥ Nếu A = (xA; yA; zA) và B = (xB; yB; zB) thì

AB =∣

∣

∣

−→AB

∣

∣

∣=

√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2.

Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ cạnh a. Các điểm P và Q được xác địnhbởi

−→AP = −−−→

AD′ và−−→C ′Q = −−−→

C ′D.

a) Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm của BB′.

b) Tính độ dài đoạn PQ.

3.2 Tích có hướng3.2.1 Định nghĩa

Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ −→a = (x1; y1; z1) và−→b = (x2; y2; z2) là vectơ

[−→a ,−→b ] = −→a ∧ −→

b =

(∣

∣

∣

∣

y1 z1

y2 z2

∣

∣

∣

∣

;

∣

∣

∣

∣

z1 x1

z2 x2

∣

∣

∣

∣

;

∣

∣

∣

∣

x1 y1

x2 y2

∣

∣

∣

∣

)

= (y1z2 − y2z1; z1x2 − z2x1; x1y2 − x2y1).

3.2.2 Tính chất

♥ −→a và−→b cùng phương ⇔ [−→a ,

−→b ] =

−→0 .

♥ [−→a ,−→b ] ⊥ −→a , [−→a ,

−→b ] ⊥ −→

b .

♥∣

∣

∣[−→a ,

−→b ]

∣

∣

∣= |−→a | .

∣

∣

∣

−→b

∣

∣

∣. sin(−→a ,

−→b ).

♥ [−→a ,−→b ] = −[

−→b ,−→a ].

♥ [−→a +−→b ,−→c ] = [−→a ,−→c ] + [

−→b ,−→c ]; [−→a ,

−→b + −→c ] = [−→a ,

−→b ] + [−→a ,−→c ].

♥ [k−→a ,−→b ] = [−→a , k

−→b ] = k[−→a ,

−→b ] (k ∈ R).



3.2.3 ứng dụng

♥ Hình bình hành ABCD có diện tích SABCD =∣

∣

∣[−→AB,

−−→AD]

∣

∣

∣.

♥ Tam giác ABC có diện tích SABC =1

2

∣

∣

∣[−→AB,

−→AC]

∣

∣

∣.

♥ Ba vectơ −→a ,−→b và −→c đồng phẳng ⇔ [−→a ,

−→b ].−→c = 0.

♥ Hình hộp ABCD.A′B′C ′D′ có thể tích VABCD.A′B′C′D′ =∣

∣

∣[−→AB,

−−→AD].

−−→AA′

∣

∣

∣.

♥ Tứ diện ABCD có thể tích VABCD =1

6

∣

∣

∣[−→AB,

−→AC].

−−→AD

∣

∣

∣.

Ví dụ 5. Cho ba điểm A(1; 3;−2), B(5;−3; 7) và C(−1; 0; 1).

a) Chứng minh A, B và C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tính diện tích và độ dài đường cao kẻ từ A của ∆ABC.

Bài tập

Bài 7. Cho hình chóp SABC với đáy ABC là một tam giác vuông ở C, BC = a, AC =b, SA = h và SA ⊥ (ABC). Gọi M và N là trung điểm của các cạnh AC và SB.

a) Tính độ dài đoạn MN .

b) Tìm hệ thức giữa a, b và h để MN vuông góc với AC và SB.

Bài 8. Cho ba điểm A(0; 4; 1), B(5;−10; 3) và C(−1; 2; 3).

a) Chứng minh A, B và C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Xác định điểm D để tứ giác ABCD là một hình bình hành.

c) Tính chu vi và diện tích ∆ABC.

d) Tính độ dài đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác trong kẻ từ A của∆ABC.

Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A′B′C ′D′ với A(−1; 1; 2), B(1; 0; 1), D(−1; 1; 0) vàA′(2;−1;−2).

a) Tính thể tích hình hộp đã cho.

b) Tính độ dài đường cao AH của hình hộp đó.

Bài 10. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(−2; 1;−1).

a) Chứng minh A, B, C và D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.

c) Tính thể tích và độ dài đường cao kẻ từ A của tứ diện ABCD.

apter Mặt phẳng trong không gian



4 Phương trình tổng quátMặt phẳng đi qua điểm M(x0; y0; z0) nhận −→n (A; B; C) 6= −→

0 làm vectơ pháp tuyến cóphương trình là

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.

Mặt phẳng trong không gian Oxyz có phương trình tổng quát là

Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 6= 0).

Mặt phẳng này nhận −→n (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến.Một mặt phẳng cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)với abc 6= 0 khi và chỉ khi nó có phương trình theo đoạn chắn là

x

a+

y

b+

z

c= 1.

Ví dụ 1. Cho điểm M trong góc tam diện vuông Oxyz. Xác định mặt phẳng qua M cắtgóc tam diện theo một tứ diện có thể tích nhỏ nhất.

Hướng dẫn. Ta coi góc tam diện vuông Oxyz là một hệ toạ độ Descartes vuông góc. Giảsử M có toạ độ M(x0; y0; z0). Xét mặt phẳng α qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C

với OA = a, OB = b, OC = c...

5 Phương trình tham sốCặp (−→u ,−→v ) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng α nếu chúng không cùngphương và các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trên α.Mặt phẳng α đi qua điểm M(x0; y0; z0) nhận −→u (a1; b1; c1) và −→v (a2; b2; c2) làm cặp vectơchỉ phương có phương trình tham số là

x = x0 + a1t1 + a2t2,

y = y0 + b1t1 + b2t2,

z = z0 + c1t1 + c2t2

(t1, t2 ∈ R).

Khi đó α nhận −→n = [−→u ,−→v ] =

(∣

∣

∣

∣

b1 c1

b2 c2

∣

∣

∣

∣

;

∣

∣

∣

∣

c1 a1

c2 a2

∣

∣

∣

∣

;

∣

∣

∣

∣

a1 b1

a2 b2

∣

∣

∣

∣

)

làm vectơ pháp tuyến nên có

phương trình tổng quát là∣

∣

∣

∣

b1 c1

b2 c2

∣

∣

∣

∣

(x − x0) +

∣

∣

∣

∣

c1 a1

c2 a2

∣

∣

∣

∣

(y − y0) +

∣

∣

∣

∣

a1 b1

a2 b2

∣

∣

∣

∣

(z − z0) = 0.

Chú ý. Phương trình mặt phẳng α hoàn toàn được xác định nếu biết:

(i) M(x0; y0; z0) ∈ α và vectơ pháp tuyến −→n (A; B; C).

α : A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.



(ii) M(x0; y0; z0) ∈ α và cặp vectơ chỉ phương −→u (a1; b1; c1),−→v (a2; b2; c2).

α :

∣

∣

∣

∣

b1 c1

b2 c2

∣

∣

∣

∣

(x − x0) +

∣

∣

∣

∣

c1 a1

c2 a2

∣

∣

∣

∣

(y − y0) +

∣

∣

∣

∣

a1 b1

a2 b2

∣

∣

∣

∣

(z − z0) = 0.

(iii) A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2) ∈ α và −→u (a; b; c) ‖ α. Khi đó α đi qua A(x1; y1; z1) và nhận−→u (a; b; c),

−→AB(x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1) làm cặp vectơ chỉ phương.

(iv) A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2), C(x3; y3; z3) ∈ α. Khi đó α đi qua A(x1; y1; z1) và nhận−→AB,

−→AC làm cặp vectơ chỉ phương.

Chuyển phương trình tổng quát của mặt phẳng sang phương trìnhtham sốGiả sử mặt phẳng α có phương trình tổng quát là

Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 6= 0).

♥ Cách 1: Xác định ba điểm A, B, C ∈ α rồi sử dụng chú ý (iv).

♥ Cách 2: Đặt x = f(t1), y = g(t2) rồi từ phương trình tổng quát của α rút raz = h(t1, t2) (Chọn 2 toạ độ và chọn cách đặt một cách thích hợp).

Chuyển phương trình tham số của mặt phẳng sang phương trìnhtổng quátGiả sử mặt phẳng α có phương trình tham số là

x = x0 + a1t1 + a2t2,

y = y0 + b1t1 + b2t2,

z = z0 + c1t1 + c2t2

(t1, t2 ∈ R).

♥ Cách 1: Khử các tham số t1 và t2 từ các phương trình trên.

♥ Cách 2: Mặt phẳng α đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có cặp vectơ chỉphương −→u (a1; b1; c1),

−→v (a2; b2; c2) nên có vectơ pháp tuyến −→n = [−→u ,−→v ] =(

∣

∣

∣

∣

b1 c1

b2 c2

∣

∣

∣

∣

;

∣

∣

∣

∣

c1 a1

c2 a2

∣

∣

∣

∣

;

∣

∣

∣

∣

a1 b1

a2 b2

∣

∣

∣

∣

)

, và do đó có phương trình tổng quát là

∣

∣

∣

∣

b1 c1

b2 c2

∣

∣

∣

∣

(x − x0) +

∣

∣

∣

∣

c1 a1

c2 a2

∣

∣

∣

∣

(y − y0) +

∣

∣

∣

∣

a1 b1

a2 b2

∣

∣

∣

∣

(z − z0) = 0.

Ví dụ 2. Cho A(1; 3; 2) và B(3;−1; 4).

a) Viết phương trình mặt phẳng trung trực α của AB.

b) Viết phương trình mặt phẳng qua A, vuông góc với α và vuông góc với mặt phẳng(Oyz).

c) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với α.



6 Vị trí tương đối của hai mặt phẳngCho hai mặt phẳng

α1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

α2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0

với các vectơ pháp tuyến tương ứng là −→n1(A1; B1; C1),−→n2(A2; B2; C2). Khi đó ta có:

♥ Góc giữa hai mặt phẳng α1 và α2 được tính theo công thức

cos(α1, α2) = | cos(−→n1,−→n2)| =

|−→n1

−→n2||−→n1||−→n2|

=|A1A2 + B1B2 + C1C2|

√

A2

1+ B2

1+ C2

1

√

A2

2+ B2

2+ C2

2

.

♥ α1 ‖ α2 ⇔{−→n1 = k−→n2,

D1 6= kD2

⇔ A1

A2

=B1

B2

=C1

C2

6= D1

D2

.

♥ α1 ≡ α2 ⇔{−→n1 = k−→n2,

D1 = kD2

⇔ A1

A2

=B1

B2

=C1

C2

=D1

D2

.

♥ α1 cắt α2 ⇔ −→n1 và −→n2 không cùng phương ⇔ A1 : B1 : C1 6= A2 : B2 : C2.

♥ α1 ⊥ α2 ⇔ −→n1 ⊥ −→n2 ⇔ −→n1

−→n2 = 0 ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

Ví dụ 3. Cho hai mặt phẳng có phương trình 3x−my + 2z + m− 6 = 0 và (5m + 1)x−2y + (m + 3)z − 10 = 0. Tìm m để hai mặt phẳng đó:

a) Song song với nhau;

b) Trùng nhau;

c) Cắt nhau;

d) Vuông góc với nhau.

7 Chùm mặt phẳngCho hai mặt phẳng α1 và α2 cắt nhau theo giao tuyến d. Tập hợp các mặt phẳng đi quađường thẳng d được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi α1 và α2 hay chùm mặt phẳngxác định bởi đường thẳng d.Nếu α1 và α2 lần lượt có phương trình

α1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

α2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0

thì mỗi mặt phẳng β của chùm xác định bởi α1 và α2 đều có phương trình dạng

m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (m2 + n2 6= 0).



Nếu β 6≡ α1 thì có thể viết phương trình của β dưới dạng

m(A1x + B1y + C1z + D1) + (A2x + B2y + C2z + D2) = 0.

Nếu β 6≡ α2 thì có thể viết phương trình của β dưới dạng

(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0.

Ví dụ 4. Cho hai mặt phẳng α1 : x + 5y + z − 1 = 0 và α2 : 2x − y + 3z + 2 = 0.

a) Chứng minh rằng α1 cắt α2 theo giao tuyến d.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(3; 1; 2) và d.

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và song song với mặt phẳng x−6y+2z+15 = 0.

d) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Oxy).

8 Khoảng cáchKhoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = 0 đượctính theo công thức

d(M, α) =|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√

A2 + B2 + C2.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kìtrên một mặt phẳng đến mặt phẳng còn lại. Từ đó ta có khoảng cách giữa hai mặt phẳngα1 : Ax + By + Cz + D1 = 0 và α2 : Ax + By + Cz + D2 = 0 là

d(α1, α2) =|D1 − D2|√

A2 + B2 + C2.

Quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng α1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 vàα2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 là tập các điểm M(x; y; z) thoả mãn

|A1x + B1y + C1z + D1|√

A2

1+ B2

1+ C2

1

=|A2x + B2y + C2z + D2|

√

A2

2+ B2

2+ C2

2

⇔A1x + B1y + C1z + D1√

A2

1+ B2

1+ C2

1

= ±A2x + B2y + C2z + D2√

A2

2+ B2

2+ C2

2

Nếu α1 cắt α2 thì quỹ tích là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và đó là hai mặt phângiác của các góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng α1 và α2.Nếu α1 ‖ α2 thì α1 và α2 lần lượt có phương trình dạng Ax + By + Cz + D1 = 0 và

Ax + By + Cz + D2 = 0. Khi đó quỹ tích là mặt phẳng Ax + By + Cz +D1 + D2

2= 0.

Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và đường cao kẻ từ S

bằng h. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI) với I là trung điểm của cạnh SC.



Hướng dẫn. Từ giả thiết ta có đáy ABCD là một hình vuông; chân đường cao kẻ từ

S là tâm O của đáy và OA = OB = OC = OD =a√

2

2, OS = h. Vì vậy, ta có thể

chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho O(0; 0; 0), A(a√

2

2; 0; 0), B(0;

a√

2

2; 0) và S(0; 0; h). Khi đó

có C(−a√

2

2; 0; 0) và I(−a

√2

4; 0;

h

2). Tiếp theo, viết phương trình mặt phẳng (ABI) ta sẽ

tính được khoảng cách từ S đến nó.

Bài tập

Bài 1. Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) và D(4; 0; 6).

a) Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (BCD), (CDA) và (DAB).

b) Tính độ dài các đường cao của tứ diện.

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD).

d) Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và chắn trên ba trục toạ độ các đoạn thẳngcó độ dài bằng nhau.

e) Tìm tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh A, B và C.

f) Viết phương trình mặt phẳng α đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.

g) Viết phương trình mặt phẳng β đi qua cạnh AD và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

h) Viết phương trình mặt phẳng đi qua E(1; 1; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng α, β.

Bài 2. Xác định các giá trị của a và b để ba mặt phẳng sau cùng đi qua một đường thẳng

x − 7y + 3z − 3 = 0,

2x + 9y − z − 5 = 0,

4x − ay + 5z + b = 0.

Bài 3. Viết phương trình các mặt phẳng

a) Đi qua điểm M(1; 8; 3) và trục Ox;

b) Đi qua trục Ox và vuông góc với mặt phẳng 7x − 4y + 8z − 9 = 0;

c) Đi qua hai điểm A(3; 0; 0) và B(0; 1; 0) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc bằng300.

Bài 4. Cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Xác định toạ độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (ABC) và tính OH .



c) Giả sử a, b, c thay đổi thoả mãn a2 + b2 + c2 = k2 không đổi. Hỏi khi nào diện tích∆ABC đạt giá trị lớn nhất? Chứng minh rằng khi đó OH cũng lớn nhất.

Bài 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác đều OAB cạnh a nằm trongmặt phẳng (Oxy) có AB ‖ Oy và A thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng (Oxy).Xét điểm S(0; 0;

a

3).

a) Xác định toạ độ các điểm A, B và trung điểm E của OA. Viết phương trình mặtphẳng α đi qua SE và song song Ox.

b) Tính khoảng cách từ O đến α. Từ đó suy ra khoảng cách giữa SE và Ox.

Bài 6. Cho tứ diện ABCD có A(2; 3; 2), B(6;−1;−2), C(−1;−4; 3) và D(1; 6;−5).

a) Chứng minh đường thẳng AB thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn CD.

b) Tìm điểm M trên đường thẳng CD sao cho chu vi ∆MAB nhỏ nhất.

Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0) vàA′(0; 0; b) (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm của cạnh CC ′.

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA′M theo a và b.

b) Xác định tỉ sốa

bđể hai mặt phẳng (A′BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

apter Đường thẳng trong không gian

9 Phương trình tổng quátMột đường thẳng d trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng α1 vàα2 nào đó nên d có phương trình tổng quát dạng

d :

{

A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (α1),

A2x + B2y + C2z + D2 = 0 (α2)

với A1 + B1 + C1 6= 0, A2 + B2 + C2 6= 0 và A1 : B1 : C1 6= A2 : B2 : C2.Nhận xét. Phương trình tổng quát của một đường thẳng có thể có nhiều cách biểu thịkhác nhau.

10 Phương trình tham số và phương trình chính tắcĐường thẳng đi qua điểm M(x0; y0; z0) và nhận −→u (a; b; c) 6= −→

0 làm vectơ chỉ phương có

♥ phương trình tham số là

x = x0 + at,

y = y0 + bt,

z = z0 + ct

(t ∈ R);



♥ phương trình chính tắc làx − x0

a=

y − y0

b=

z − z0

c

(Quy ước: Nếu mẫu số bằng không thì tử số cũng bằng không).

Chuyển phương trình tổng quát của đường thẳng sang phương trình tham số và phươngtrình chính tắcGiả sử đường thẳng d có phương trình tổng quát là

{

A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

♥ Cách 1: Hai mặt phẳng xác định d lần lượt nhận −→n1(A1; B1; C1) và −→n2(A2; B2; C2)làm vectơ pháp tuyến nên d nhận −→u = [−→n1,

−→n2] làm vectơ chỉ phương. Xác định mộtđiểm M ∈ d (thông thường, cho x hoặc y hoặc z bằng 0) ta được phương trình thamsố và phương trình chính tắc của d.

♥ Cách 2: Xác định hai điểm A, B ∈ d ta được d là đường thẳng đi qua A và nhận−→AB làm vectơ chỉ phương.

♥ Cách 3 (Chỉ dùng khi chuyển sang phương trình tham số): Đặt x = f(t) rồi từphương trình tổng quát của d rút ra y = g(t) và z = h(t) (Chọn toạ độ và cách đặtmột cách thích hợp).

Ví dụ 1. Cho đường thẳng d có phương trình{

2x + 3y + 5z − 1 = 0,

2x + y − z − 3 = 0.

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d.

Chuyển phương trình tham số (phương trình chính tắc) của đườngthẳng sang phương trình tổng quátGiả sử đường thẳng d có phương trình tham số:

x = x0 + at (1),

y = y0 + bt (2),

z = z0 + ct (3).

(I)

hoặc phương trình chính tắc:x − x0

a=

y − y0

b=

z − z0

c. (II)

Khi đó, từ (1) và (2) của (I) hoặc từ đẳng thức thứ nhất của (II) suy ra A1x+B1y+D1 = 0.Từ (2) và (3) của (I) hoặc từ đẳng thức thứ hai của (II) suy ra B2y + C2z + D2 = 0. Tađược phương trình tổng quát của d là

{

A1x + B1y + D1 = 0,

B2y + C2z + D2 = 0.



11 Vị trí tương đối của hai đường thẳngCho hai đường thẳng

d1 :x − x1

a1

=y − y1

b1

=z − z1

c1

,

d2 :x − x2

a2

=y − y2

b2

=z − z2

c2

lần lượt đi qua các điểm M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) và nhận −→u1(a1; b1; c1), −→u2(a2; b2; c2)làm vectơ chỉ phương.

11.1 Góc giữa hai đường thẳngGóc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được tính theo công thức

cos(d1, d2) = | cos(−→u1,−→u2)| =

|−→u1.−→u2|

|−→u1||−→u2|=

|a1a2 + b1b2 + c1c2|√

a2

1+ b2

1+ c2

1

√

a2

2+ b2

2+ c2

2

.

Hệ quả. d1 ⊥ d2 ⇔ −→u1 ⊥ −→u2 ⇔ −→u1

−→u2 = 0 ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0.

11.2 Hai đường thẳng đồng phẳng

d1 và d2 đồng phẳng ⇔ −→u1,−→u2 và

−−−−→M1M2 đồng phẳng ⇔ [−→u1,

−→u2].−−−−→M1M2 = 0.

♥ d1 ‖ d2 ⇔{−→u1 và −→u2 cùng phương,

M1 6∈ d2.

♥ d1 ≡ d2 ⇔{−→u1 và −→u2 cùng phương,

M1 ∈ d2.

♥ d1 cắt d2 ⇔{

d1 và d2 đồng phẳng,−→u1 và −→u2 không cùng phương

⇔{

[−→u1,−→u2] 6=

−→0 ,

[−→u1,−→u2].

−−−−→M1M2 = 0.

Bài toán 1. Cho hai đường thẳng phân biệt d1 và d2 đồng phẳng. Viết phương trình mặtphẳng α chứa d1 và d2.

Phương pháp chung

♥ Cách 1: Mặt phẳng α thuộc chùm mặt phẳng xác định bởi d1. Chọn điểm A ∈ d2

mà A 6∈ d1. Từ A ∈ α ta xác định được phương trình của α.

♥ Cách 2: Giả sử d1 và d2 lần lượt nhận −→u1 và vtu2 làm vectơ chỉ phương.Nếu d1 và d2 cắt nhau ở I thì α là mặt phẳng đi qua I và nhận −→n = [−→u1,

−→u2] làmvectơ pháp tuyến.Nếu d1 ‖ d2, lấy M1 ∈ d1 và M2 ∈ d2 thì α là mặt phẳng đi qua M1 và nhận−→n = [−→u1,

−−−−→M1M2] làm vectơ pháp tuyến.



Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng

d1 :x − 1

−2=

y + 2

1=

z − 4

3; d2 :

x = −1 + t,

y = −t,

z = −2 + 3t

(t ∈ R).

a) Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau. Xác định toạ độ giao điểm của chúng.

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2.

11.3 Hai đường thẳng chéo nhau

d1 và d2 chéo nhau ⇔ −→u1,−→u2 và

−−−−→M1M2 không đồng phẳng ⇔ [−→u1,

−→u2].−−−−→M1M2 6= 0.

Bài toán 2. Cho hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau. Viết phương trình đường vuông gócchung của d1 và d2.

Phương pháp chungGiả sử d1 và d2 lần lượt đi qua M1, M2 và nhận −→u1,

−→u2 làm vectơ chỉ phương.

♥ Cách 1: Gọi ∆ là đường vuông góc chung của d1 và d2 thì ∆ nhận −→u = [−→u1,−→u2] làm

vectơ chỉ phương.Gọi α1 là mặt phẳng đi qua ∆ và d1 thì α1 đi qua M1 và nhận −→n1 = [−→u ,−→u1] làmvectơ pháp tuyến nên ta xác định được phương trình của α1.Gọi α2 là mặt phẳng đi qua ∆ và d2 thì α2 đi qua M2 và nhận −→n2 = [−→u ,−→u2] làmvectơ pháp tuyến nên ta xác định được phương trình của α2.Từ đó ta có phương trình ∆, giao tuyến của hai mặt phẳng α1 và α2.Chú ý. Có thể sử dụng "phương pháp chùm" để xác định phương trình các mặtphẳng α1 và α2.

♥ Cách 2: Gọi A1A2 là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (A1 ∈ d1, A2 ∈ d2) thì toạđộ của A1 và A2 tương ứng thoả mãn phương trình tham số của d1 và d2. Từ đó tacó toạ độ của

−−−→A1A2 (phụ thuộc hai tham số t1 và t2). Kết hợp với điều kiện

{−−−→A1A2.

−→u1 = 0,−−−→A1A2.

−→u2 = 0

ta xác định được toạ độ của A1 và A2.

Ví dụ 3. Chứng minh d1 và d2 chéo nhau và viết phương trình đường vuông góc chungcủa d1 và d2 trong các trường hợp sau:

a) d1 :

{

x + y + z − 3 = 0,

3x − y + z − 1 = 0;d2 :

{

4x + y − 3z − 1 = 0,

2y − 3z − 4 = 0.

b) d1 :

x = 1 + 2t,

y = 2 + t,

z = −3 + 3t;

d2 :

x = 2 + u,

y = −3 + 2u,

z = 1 + 3u

(t, u ∈ R).



12 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳngCho đường thẳng

d :x − x0

a=

y − y0

b=

z − z0

c

và mặt phẳngα : Ax + By + Cz + D = 0.

Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0; z0) và nhận −→u (a; b; c) làm vectơ chỉ phương, cònmặt phẳng α nhận −→n (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến. Ta có:

♥ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α được tính theo công thức

sin(d, α) = | cos(−→n ,−→u )| =|−→n −→u ||−→n ||−→u | =

|Aa + Bb + Cc|√A2 + B2 + C2

√a2 + b2 + c2

.

♥ d ‖ α ⇔{−→u ⊥ −→n ,

M 6∈ α⇔

{

Aa + Bb + Cc = 0,

Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0.

Chú ý. Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng α song song với nó bằngkhoảng cách từ một điểm bất kì trên d đến α:

d(d, α) = d(M, α) =|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√

A2 + B2 + C2.

♥ d ⊂ α ⇔{−→u ⊥ −→n ,

M ∈ α⇔

{

Aa + Bb + Cc = 0,

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.

♥ d cắt α ⇔ −→u 6⊥ −→n ⇔ Aa + Bb + Cc 6= 0.

♥ d ⊥ α ⇔ −→u và −→n cùng phương ⇔ a

A=

b

B=

c

C.

Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng

d :

{

x + 2y + z − 4 = 0,

x − y − 2z + 2 = 0

và tạo với đường thẳng ∆ :x − 2

2=

y − 3

1=

z + 5

−1một góc bằng 600.

Bài toán 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với hai đường thẳng d1

và d2 cho trước.


♥ Cách 1: Viết phương trình các mặt phẳng α1 qua A vuông góc với d1 và α2 qua A

vuông góc với d2 ta được đường thẳng cần tìm là giao tuyến của α1 và α2.



♥ Cách 2: Xác định các vectơ chỉ phương −→u1 và −→u2 của d1 và d2. Đường thẳng cần tìmđi qua A và nhận −→u = [−→u1,

−→u2] làm vectơ chỉ phương.

Chú ý. Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tổng quát thì sử dụng cách 1; nếu yêu cầuviết phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc thì sử dụng cách 2.

Ví dụ 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0; 1; 1) và vuông góc với haiđường thẳng

d1 :

{

x + y − z + 2 = 0,

2x + y − z + 3 = 0;d2 :

x − 1

8= y + 2 = z.

Bài toán 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt hai đường thẳng d1 và d2 chotrước.


♥ Cách 1: Viết phương trình các mặt phẳng α1 qua A chứa d1 và α2 qua A chứa d2.Nếu α1 ≡ α2 thì A, d1 và d2 đồng phẳng nên mọi đường thẳng qua A không songsong với d1 và d2 đều thoả mãn bài toán.Nếu α1 6= α2 thì α1 và α1 cắt nhau theo giao tuyến d. Khi đó, nếu d ‖ d1 hoặc d ‖ d2

thì bài toán vô nghiệm. Trong trường hợp còn lại, d chính là đường thẳng cần tìm.

♥ Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng α qua A chứa d1 rồi xác định giao điểm C

của d2 và α.Nếu d2 ‖ α thì bài toán vô nghiệm.Nếu d2 ⊂ α thì A, d1 và d2 đồng phẳng nên mọi đường thẳng qua A không song songvới d1 và d2 đều thoả mãn bài toán.Nếu d2 cắt α thì đường thẳng cần tìm đi qua A và C (Chú ý kiểm tra (AC) 6‖ d1).

♥ Cách 3: Giả sử qua A có đường thẳng d cắt d1 ở B và cắt d2 ở C. Khi đó toạ độ củaB và C tương ứng thoả mãn phương trình tham số của d1 và d2. Kết hợp với điềukiện A, B và C thẳng hàng ta được toạ độ của B và C. Từ đó suy ra phương trìnhđường thẳng d.

Chú ý. Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tổng quát thì sử dụng cách 1; nếu yêu cầuviết phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc thì sử dụng cách 2 hoặc cách 3.

Ví dụ 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(−4;−5; 3) và cắt hai đườngthẳng

d1 :

{

x + y + z + 2 = 0,

x + 3y − 3z + 16 = 0;d2 :

x − 2

2=

y + 1

3=

z − 1

−5.

Bài toán 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với đường thẳng d1 vàcắt đường thẳng d2 cho trước.




♥ Cách 1: Viết phương trình các mặt phẳng α1 qua A vuông góc với d1 và α2 qua A

chứa d2.Nếu α1 ≡ α2 thì mọi đường thẳng qua A không song song với d2 đều thoả mãn bàitoán.Nếu α1 6= α2 thì α1 và α1 cắt nhau theo giao tuyến d. Khi đó, nếu d ‖ d2 thì bàitoán vô nghiệm; nếu d 6‖ d2 thì d chính là đường thẳng cần tìm.

♥ Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng α qua A vuông góc với d1 rồi xác định giaođiểm B của d2 và α.Nếu d2 ‖ α thì bài toán vô nghiệm.Nếu d2 ⊂ α thì mọi đường thẳng qua A không song song với d2 đều thoả mãn bàitoán.Nếu d2 cắt α thì đường thẳng cần tìm đi qua A và B.

♥ Cách 3: Giả sử qua A có đường thẳng d vuông góc với d1 và cắt d2 ở B. Khi đó toạđộ của B thoả mãn phương trình tham số của d2. Kết hợp với điều kiện

−→AB.−→u1 = 0

(−→u1 là một vectơ chỉ phương của d1) ta được toạ độ của B. Từ đó suy ra phươngtrình đường thẳng d.

Chú ý. Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tổng quát thì sử dụng cách 1; nếu yêu cầuviết phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc thì sử dụng cách 2 hoặc cách 3.

Ví dụ 7. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 1; 1) vuông góc với đường thẳng d1

và cắt đường thẳng d2 biết:

d1 :

{

x + y + z − 3 = 0,

x − y − z − 1 = 0;d2 :

{

x − 2y − 2z + 9 = 0,

x − y − 3z + 10 = 0.

Bài tập

Bài 1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng:

a) Đi qua điểm A(2; 3;−5) và song song với đường thẳng{

2x − y + 3z + 1 = 0,

3x − y − z − 2 = 0.

b) Đi qua điểm B(1; 2; 3) và vuông góc với hai đường thẳng

d1 :

{

4x + y + z − 5 = 0,

2x + 2y − z − 1 = 0;d2 :

{

x − y + 4z + 10 = 0,

2x − 4y − z + 6 = 0.

c) Đi qua điểm C(1; 1;−2) song song với mặt phẳng x − y − z − 1 = 0 và vuông góc

với đường thẳngx + 1

2=

y − 1

1=

z − 2

3.



d) Đi qua điểm D(1; 1; 1) và cắt hai đường thẳng

d1 :

{

x + y + 2z = 0,

x − y + z + 1 = 0;d2 :

x = −2 + 2t,

y = −5t,

z = 2 + t

(t ∈ R).

e) Vuông góc với mặt phẳng x + y + z + 1 = 0 và cắt hai đường thẳng

d1 :x − 1

2=

y + 1

−1= z; d2 :

{

x − 2y + z − 4 = 0,

2x − y + 2z + 1 = 0.

f) Song song với đường thẳngx + 3

1=

y − 5

−2=

z + 2

4và cắt hai đường thẳng

d1 : x = y =z + 1

2; d2 :

{

3x − y + 1 = 0,

2x + z − 1 = 0.

g) Đi qua điểm G(−1; 2;−3) vuông góc với đường thẳngx − 8

6=

y − 3

−2=

z + 4

−3và cắt

đường thẳng{

x + y + z − 3 = 0,

x − 4y − z − 2 = 0.

h) Đi qua điểm H(3; 2; 1) vuông góc và cắt đường thẳngx

2=

y

4= z + 3.

i) Nằm trong mặt phẳng 2x + y + z − 2 = 0, vuông góc và cắt đường thẳng

x − 1

2=

y + 2

−3= z.

j) Nằm trong mặt phẳng x − y + 8z − 3 = 0 và cắt hai đường thẳng

d1 :x − 7

2=

y + 5

3=

z − 4

−5; d2 :

x = −2 − 3t,

y = 3 + t,

z = 4 + 2t.

Bài 2. Cho đường thẳng d :x − 1

−1=

y + 3

2=

z − 3

1và mặt phẳng α : 2x+y−2z+9 = 0.

a) Tìm điểm I trên d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng α bằng 2.

b) Xác định toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng α. Viết phương trìnhtham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng α, đi qua A và vuông góc với d.



Bài 3. Cho họ đường thẳng dm có phương trình{

x + 4mz − 3m = 0,

(1 − m)x − my = 0(m 6= 0).

a) Chứng minh rằng họ đường thẳng dm luôn đi qua một điểm cố định.

b) Chứng minh rằng họ đường thẳng dm luôn nằm một mặt phẳng α cố định.

c) Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx)và mặt phẳng α.

Bài 4. Cho hai điểm A(0; 0;−3), B(2; 0;−1) và mặt phẳng α : 3x − 8y + 7z − 1 = 0.

a) Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng α.

b) Tìm điểm C trên mặt phẳng α sao cho tam giác ABC đều.

Bài 5. Cho tứ diện OABC với O(0; 0; 0), A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1) và C(0; 5; 8).

a) Chứng minh rằng OA ⊥ BC.

b) Xác định toạ độ giao điểm I của đường thẳng OA và hình chiếu vuông góc của cạnhBC trên mặt phẳng (OAB).

c) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và OC. Tìm điểm M trên BC sao choPQ và IM cắt nhau.

Bài 6. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và phương trình hai trung tuyến là

x − 3

−2=

y − 6

2=

z − 1

1;

x − 4

1=

y − 2

−4=

z − 2

1

a) Viết phương trình chính tắc các cạnh của tam giác.

b) Viết phương trình chính tắc của đường phân giác trong góc A

Bài 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng α : 2x− y +2 = 0 và đườngthẳng

dm :

{

(2m + 1)x + (1 − m)y + m − 1 = 0,

mx + (2m + 1)z + 4m + 2 = 0.

Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng α.

13 Khoảng cách

13.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳngCho một điểm A và đường thẳng d đi qua M và nhận −→u làm vectơ chỉ phương.



13.1.1 Cách xác định khoảng cách từ A đến d

♥ Gọi α là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d thì α nhận −→u làm vectơ pháptuyến nên ta có phương trình của α.

♥ Xác định toạ độ giao điểm H của d và α. Khi đó H là hình chiếu của A trên d nênd(A, d) = AH .

13.1.2 Công thức

d(A, d) =|[−−→MA,−→u ]|

−→u .

Ví dụ 8. Cho điểm A(1; 2; 1) và đường thẳng d :x

3=

y − 1

4= z + 3.

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng d.

b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.

13.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳngKhoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bấtkì trên một đường thẳng đến đường thẳng còn lại.Xét hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 lần lượt đi qua các điểm M1, M2 và nhận−→u1,

−→u2 làm vectơ chỉ phương.

13.2.1 Cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

♥ Viết phương trình mặt phẳng α đi qua d2 và song song với d1: Dùng "phương phápchùm" hoặc sử dụng α đi qua M2 và nhận −→n = [−→u1,

−→u2] làm vectơ pháp tuyến.

♥ Khoảng cách giữa d1 và d2 bằng khoảng cách giữa d1 và α, do đó bằng khoảng cáchtừ một điểm bất kì trên d1 (chẳng hạn M1) đến α.

13.2.2 Công thức

d(d1, d2) =|[−→u1,

−→u2].−−−−→M1M2|

|[−→u1,−→u2]|

.

Ví dụ 9. Cho tứ diện ABCD với A(−2; 4; 2), B(−2; 0; 2), C(−5; 0; 2) và D(−2; 1; 1). Tínhkhoảng cách giữa hai cạnh AB và CD.

Bài tậpBài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có AB = AA′ = a và AD = 2a.

a) Tính khoảng cách giữa AD′ và B′C.



b) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỉ sốAM

MD= 3. Tính khoảng cách từ M

đến mặt phẳng (AB′C).

c) Tính thể tích tứ diện AB′D′C.

Bài 9. Cho họ mặt phẳng αm : 2x + y + z − 1 + m(x + y + z + 1) = 0.

a) Chứng minh rằng họ mặt phẳng αm luôn đi qua một đường thẳng d cố định.

b) Tìm m để mặt phẳng αm vuông góc với mặt phẳng α0.

c) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d.

Bài 10. Cho hai đường thẳng

d1 :

x = 5 + 2t,

y = 1 − t,

z = 5 − t;

d2 :

x = 3 + 2u,

y = −3 − u,

z = 1 − u

(t, u ∈ R).

a) Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2.

c) Tính khoảng cách giữa d1 và d2.


d1 :

{

x + 2y − z + 2 = 0,

x − y + z − 1 = 0;d2 :

{

x − 3y + z − 5 = 0,

3x + y − z + 3 = 0.

a) Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2.

b) Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2.


d1 :

{

x − mz − m = 0,

y − z + 1 = 0;d2 :

{

mx + 3y − 3 = 0,

x − 3z − 6 = 0.

a) Tìm m để d1 và d2 cắt nhau.

b) Với m = 2, viết phương trình mặt phẳng α chứa đường thẳng d2 và song song vớiđường thẳng d1. Tính khoảng cách giữa d1 và d2 khi m = 2.


d1 :

x = 2 + t,

y = 1 − t,

z = 2t

(t ∈ R); d2 :

{

x + y + 2z − 5 = 0,

x − y + 2z + 1 = 0.



a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

b) Viết phương trình các mặt phẳng α1 chứa d1 và α2 chứa d2 sao cho α1 ‖ α2.

c) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.

d) Viết phương trình mặt phẳng cách đều d1 và d2.

Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi với AC cắt BD tại gốctoạ độ O, A(2; 0; 0), B(0; 1; 0) và S(0; 0; 2

√2). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM .

b) Đường thẳng SD cắt mặt phẳng (ABM) tại N . Tính thể tích khối chóp S.ABMN .

14 Một số vấn đề về điểm, đường thẳng và mặt phẳngtrong không gian

14.1 Hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳngBài toán 6. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳngα.

Phương pháp chungViết phương trình mặt phẳng β chứa d và vuông góc với α bằng "phương pháp chùm".

Hình chiếu vuông góc của d trên α chính là giao tuyến của α và β.

Ví dụ 10. Cho đường thẳng d :x − 2

2=

y + 1

3=

z − 1

5và mặt phẳng α : 2x+y+z−8 = 0.

a) Chứng minh rằng d cắt và không vuông góc với α. Xác định toạ độ giao điểm của d

và α.

b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên α.

14.2 Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳngBài toán 7. Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng α.

Phương pháp chungĐường thẳng d qua A vuông góc với α nhận vectơ pháp tuyến của α làm vectơ chỉ

phương nên ta có phương trình tham số của d. Hình chiếu vuông góc của điểm A trênmặt phẳng α chính là giao điểm H của d và α.

Bài toán 8. Xác định toạ độ điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng α.

Phương pháp chungXác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên α. Gọi A′ là điểm đối xứng của A

qua α thì H là trung điểm của AA′ nên xA′ = 2xH − xA, yA′ = 2yH − yA, zA′ = 2zH − zA.



Bài toán 9. Viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳngα.


♥ Cách 1: Lấy hai điểm phân biệt A, B ∈ d. Xác định toạ độ các điểm A′ và B′ đốixứng với A và B qua α. Khi đó d′ là đường thẳng đi qua A′ và B′.

♥ Cách 2: Lấy một điểm A ∈ d mà A 6∈ α. Xác định toạ độ điểm A′ đối xứng với A

qua α.Nếu d ‖ α thì d′ là đường thẳng đi qua A′ và song song với d.Nếu d cắt α tại I thì d′ là đường thẳng đi qua I và A′.

Ví dụ 11. Cho điểm A(2;−3;−1) và mặt phẳng α : 2x + y − z − 5 = 0.

a) Xác định toạ độ hình chiếu H của A trên α.

b) Xác định toạ độ điểm A′ đối xứng với A qua α.

c) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳngx − 4

1=

y − 5

4=

z − 5

3qua α.

Bài toán 10. Cho hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) và mặt phẳng α : Ax + By +Cz + D = 0. Tìm điểm M trên mặt phẳng α sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Phương pháp chungTrước hết, xác định vị trí tương đối của hai điểm A và B đối với mặt phẳng α bằng

cách thay toạ độ của chúng vào phương trình của α:

α(A) = AxA + ByA + CzA + D,

α(B) = AxB + ByB + CzB + D.

Nếu α(A).α(B) < 0 thì A và B khác phía đối với α, tức là đoạn [AB] cắt mặt phẳng α.Khi đó MA + MB ≥ AB. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M = [AB] ∩ α. Trong trườnghợp này, điểm M cần tìm là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng α.Nếu α(A).α(B) > 0 thì A và B cùng phía đối với α. Xác định điểm A′ đối xứng vớiA qua α ta có A′ và B khác phía đối với α nên đoạn [A′B] cắt mặt phẳng α. Khi đóMA + MB = MA′ + MB ≥ A′B. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M = [A′B] ∩ α. Trongtrường hợp này, điểm M cần tìm là giao điểm của đường thẳng A′B và mặt phẳng α.Chú ý. Phương pháp trên cũng được sử dụng để tìm điểm M trên mặt phẳng α sao cho|MA − MB| lớn nhất.

Ví dụ 12. Cho ba điểm A(2;−1; 0), B(2;−6; 3), C(4;−7; 4) và mặt phẳng α : x − 3y +2z − 19 = 0. Tìm điểm M trên mặt phẳng α sao cho:

a) MA + MB nhỏ nhất.

b) |MA − MB| lớn nhất.

c) MB + MC nhỏ nhất.



14.3 Hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳngBài toán 11. Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.

Phương pháp chungGiả sử đường thẳng d nhận −→u làm vectơ chỉ phương.

♥ Cách 1: Mặt phẳng α qua A vuông góc với d nhận −→u làm vectơ pháp tuyến nên tacó phương trình của α. Hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d chínhlà giao điểm H của d và α.

♥ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d thì toạ độ của H thoả mãn phươngtrình tham số của d. Kết hợp với điều kiện

−−→AH.−→u = 0 ta được toạ độ của H .

Bài toán 12. Xác định toạ độ điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d.

Phương pháp chungXác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên d. Gọi A′ là điểm đối xứng của A

qua d thì H là trung điểm của AA′ nên xA′ = 2xH − xA, yA′ = 2yH − yA, zA′ = 2zH − zA.

Bài toán 13. Cho hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) và đường thẳng d. Tìm điểm M

trên đường thẳng d sao cho MA + MB nhỏ nhất.


♥ Cách 1: Gọi H và K tương ứng là hình chiếu vuông góc của A và B trên d. Ta thấytập hợp các điểm A′ sao cho A′H = AH và A′H ⊥ d là đường tròn (C) tâm H bánkính AH trong mặt phẳng qua H vuông góc với d. Gọi β là mặt phẳng đi qua B

và chứa d thì β cắt (C) tại hai điểm A1 và A2 nằm về hai phía của đường thẳng d

trong mặt phẳng β. Vì vậy, ta có thể giả sử A1 và B khác phía đối với d, tức là đoạn[A1B] cắt đường thẳng d. Khi đó

MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B.

Dấu bằng xảy ra ⇔ M = [A1B] ∩ d ⇔ MH

MK= −A1H

BK= −AH

BK. Vậy MA + MB

nhỏ nhất khi và chỉ khi−−→MH = −AH

BK

−−→MK.

♥ Cách 2: Một điểm M bất kì trên d có toạ độ thoả mãn phương trình tham số của d,tức là phụ thuộc vào tham số t. Tính

MA + MB =√

(kt + a)2 + b2 +√

(kt + c)2 + d2 := f(t) (b, d > 0)

rồi sử dụng bất đẳng thức√

a2 + b2 +√

c2 + d2 ≥√

(a + c)2 + (b + d)2.



(Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khia

c=

b

d≥ 0) ta được

f(t) ≥√

(a − c)2 + (b + d)2. (*)

Bất đẳng thức (*) cũng có thể đạt được bằng cách xét −→u = (kt + a; b) và −→v =(−kt − c; d) ta có

f(t) = |−→u | + |−→v | ≥ |−→u + −→v | =√

(a − c)2 + (b + d)2.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi −→u và −→v cùng chiều, tức làkt + a

−kt − c=

b

d≥ 0.

Ví dụ 13. Cho hai điểm A(1; 1; 0), B(3;−1; 4) và đường thẳng

d :x + 1

1=

y − 1

−1=

z + 2

2.

Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Bài tập

Bài 15. Cho họ đường thẳng dm :

{

x − my + z − m = 0,

mx + y − mz − 1 = 0.

a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc d′

m của đường thẳng dm trên mặt phẳng(Oxy).

b) Chứng minh rằng d′

mluôn tiếp xúc với một đường tròn cố định trong mặt phẳng

(Oxy).

Bài 16. Cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0;−1; 3) và đường thẳng

d :

{

3x − 2y − 11 = 0,

y + 3z − 8 = 0.

a) Viết phương trình mặt phẳng α đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB.Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng α. Chứng minh rằng d ⊥ IK.

b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng

x + y − z + 1 = 0.


d1 :x − 5

2=

y − 2

1=

z − 6

3; d2 :

{

x − y − z + 5 = 0,

3x − 2y − z − 6 = 0.



a) Chứng minh rằng d1 và d2 cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặtphẳng đó.

b) Viết phương trình chính tắc của hình chiếu song song theo phương d1 của d2 trênmặt phẳng 3x − 2y − 2z − 1 = 0.

Bài 18. Cho đường thẳng d :x + 1

1=

y − 1

2=

z − 3

−2và mặt phẳng α : 2x−2y+z−3 = 0.

a) Xác định toạ độ giao điểm A của d và α. Tính góc giữa d và α.

b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên α.

c) Lấy B trên d sao cho AB = a cho trước. Xét tỉ sốAB + AM

BMvới M di động trên

mặt phẳng α. Chứng minh rằng tồn tại một vị trí của M để tỉ số đó đạt giá trị lớnnhất.

Bài 19. Cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) (a, b, c > 0). Dựng hình hộp chữnhật nhận O, A, B, C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó.

a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD).

b) Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của C trên mặt phẳng ABD. Tìm hệ thứcliên hệ giữa a, b và c để hình chiếu đó nằm trên mặt phẳng (Oxy).

Bài 20. Cho ba điểm A(3;−1;−2), B(4;−9; 9), C(1; 3; 0) và mặt phẳng α : x−2y−z−1 =0. Tìm điểm M trên α sao cho:


b) |MB − MC| lớn nhất.

c) |−−→MB +−−→MC| nhỏ nhất.


d1 :

{

x − 2y + z − 4 = 0,

x + 2y − 2z + 4 = 0;d2 :

x = 1 + t,

y = 2 + t,

z = 1 + 2t

(t ∈ R).

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song với d2.

b) Cho điểm M(2; 1; 4). Xác định toạ độ điểm H trên đường thẳng d2 sao cho đoạnMH có độ dài nhỏ nhất.

Bài 22. Cho mặt phẳng α : 2x − y − 2z + 1 = 0 và đường thẳng

d :

x = 1 + 2t,

y = 2 − t,

z = 3t.

(t ∈ R)



a) Tìm các điểm trên d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng α bằng 1.

b) Xác định toạ độ điểm đối xứng của điểm I(2;−1; 3) qua đường thẳng d.


d1 :

{

x − 3y − 3z − 4 = 0,

x − y + z = 0;d2 :

{

x − y + z + 5 = 0,

x − 2y − z + 4 = 0.

a) Chứng minh rằng d1 ‖ d2. Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2.

b) Xác định toạ độ điểm đối xứng của điểm M(−2; 3;−4) qua đường thẳng d1.


d1 :

{

x − y + z − 1 = 0,

x + 2y − z + 2 = 0;d2 :

x = t,

y = 1 + 2t,

z = 4 + 5t

(t ∈ R).

a) Xác định vị trí tương đối của d1 và d2.

b) Gọi B và C lần lượt là các điểm đối xứng của A(1; 0; 0) qua d1 và d2. Tính diện tíchtam giác ABC.

Bài 25. Cho điểm A(2;−1; 1) và đường thẳng d :

{

2x − y − z + 2 = 0,

x − y − z + 3 = 0.

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d.

b) Xác định toạ độ điểm đối xứng với điểm A qua d.

Bài 26. Cho hai điểm A(2; 3; 0), B(0;−√

2; 0) và đường thẳng

d :

{

x + y + z − 2 = 0,

x − y + z − 2 = 0.

a) Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên d. Tính khoảng cách từ A đến d.

b) Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Bài 27. Cho hai điểm A(a; 0; a), B(4a

3;−2a

3;−a

3) và đường thẳng

d :

x = t,

y = t,

z = a − t.

Tìm điểm M trên d sao cho:




b) |MA − MB| lớn nhất.

Bài 28. Cho hai điểm A(1; 2;−1), B(7;−2; 3) và đường thẳng

d :x + 1

3=

y − 2

−2=

z − 2

2.

a) Chứng minh rằng AB và d đồng phẳng.

b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.

c) Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.



Tài liệu[1] Nguyễn Hải Châu, Hướng dẫn ôn tập thi tốt nghiệp trung học phổ thông, Nhà XBGD,

Hà Nội, 2009.

[2] Trần Văn Hạo, Hình học 12, Nhà XBGD, Hà Nội, 2009.


Documents

Phương pháp tọa độ trong không gian