PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

http://dongphd.blogspot.com

Tích phân từng phần

Đạo hàm của một tích:

d dv duuv u v

dx dx dx

d uv u dv v du

d uv v du u dv

u dv d uv v du

u dv d uv v du

u dv d uv v du

u dv uv v du Đây là công thức tích phân từng phần.

u dv uv v du

Công thức tích phân từng phần dùng khi nào? Chọn u và dv ra sao?

u đạo hàm một lúc sẽ bằng 0 (hay gặp)

dv dễ tính tích phân.

Chọn u theo thứ tự sau: LoAcDaMuLu

Logarit, Luợng giác ngược, Đa thức, Mũ, Lượng giác

Ví dụ 1:

cos x x dxđa thức u x

du dx

cos dv x dx

sinv x

u dv uv v du LoAcDaMuLu

sin cosx x x C

u v v du

sin sin x x x dx

Ví dụ 2:

ln x dxlogarit lnu x

1du dx

x

dv dx

v x

u dv uv v du LoAcDaMuLu

lnx x x C

1ln x x x dx

x

u v v du

Đây vẫn là một tích nên ta tích phân từng phần một lần nữa.

Ví dụ 3:2 xx e dx

u dv uv v du LoAcDaMuLu

2u x xdv e dx

2 du x dx xv e u v v du

2 2 x xx e e x dx 2 2 x xx e xe dx u x xdv e dx

du dx xv e 2 2x x xx e xe e dx

2 2 2x x xx e xe e C

Ví dụ 4:

cos xe x dxLoAcDaMuLu

xu e sin dv x dx xdu e dx cosv x

u v v du sin sinx xe x x e dx

sin cos cos x x xe x e x x e dx

xu e cos dv x dx xdu e dx sinv x

sin cos cos x x xe x e x e x dx Biểu thức này… giống biểu thức ban đầu !!!

uv v du

Ví dụ 5:

cos xe x dxLoAcDaMuLu

u v v du

cos xe x dx 2 cos sin cosx x xe x dx e x e x

sin coscos

2

x xx e x e xe x dx C

sin sinx xe x x e dx xu e sin dv x dx

xdu e dx cosv x

xu e cos dv x dx xdu e dx sinv x

sin cos cos x x xe x e x e x dx

sin cos cos x x xe x e x x e dx

Ví dụ 6:

cos xe x dx u v v du

Điều này gọi là “quay đầu là bờ”.

Nó xảy ra khi cả hai nhân tử có tích phân và đạo hàm lặp lại sau một số bước.

cos xe x dx 2 cos sin cosx x xe x dx e x e x

sin coscos

2

x xx e x e xe x dx C

sin sinx xe x x e dx

sin cos cos x x xe x e x e x dx

sin cos cos x x xe x e x x e dx

Quy trình: Tích phân theo bảng

Tích phân theo bảng thường được dùng ở dạng:

f x g x dx

Trong đó: Đạo hàm bằng 0 sau một số bước.

Tích phân lặp lại.

2 xx e dx

2x

2x

2

0

xexexexe

2 xx e dx 2 xx e 2 xxe 2 xe C

So sánh cách làm này với cách làm khác:

f(x) và đạo hàm g(x) và tích phân

Ví dụ 3:2 xx e dx

u dv uv v du 2u x xdv e dx

2 du x dx xv e u v v du

2 2 x xx e e x dx 2 2 x xx e xe dx u x xdv e dx

du dx xv e 2 2x x xx e xe e dx

2 2 2x x xx e xe e C Nhanh hơn và dễ hơn!

3 sin x x dx3x

23x

6x

6

sin x

cos x

sin xcos x

0

sin x

3 cosx x 2 3 sinx x 6 cosx x 6sin x + C

http://dongphd.blogspot.com