Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
2005.
Relativitáselmélet
Giczi Ferenc
SZE, Fizika és Kémia Tanszék
Széchenyi
István
Egyetem
2
Milyen összefüggés van a fizikai törvények
között egymáshoz képest mozgó
vonatkoztatási rendszerekben?
inerciarendszerek
Relativitáselmélet
Speciális
relativitáselmélet
gyorsuló
rendszerek
Általános
relativitáselmélet
Széchenyi
István
Egyetem
3
Helymeghatározás
Az anyagi pont helyét
meghatározhatjuk pl.
úgy, hogy a választott
vonatkoztatási
rendszerhez rögzített
derékszögű koordináta-
rendszerben megadjuk a
pont x, y, z derékszögű
koordinátáit.
Relativitáselmélet
Széchenyi
István
Egyetem
4
Az anyagi pont mozgása
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Ezek a kinematikai mozgásegyenletek meghatározzák a
mozgó pont által leírt görbét, a pont pályáját.
Megjegyzés: A pont pályája lehet térgörbe, síkgörbe, vagy egyenes.
)t(zz
)t(yy
)t(xx
)t(r
Relativitáselmélet
Széchenyi
István
Egyetem
5
A relativitás elve a klasszikus mechanikában
Ha ugyanazt a testet két különböző, egymáshoz képest
mozgó vonatkoztatási rendszerből figyeljük meg, akkor a
mozgását jellemző adatok egy részét (pl. helyzetvektor,
sebesség, impulzus, energia) eltérőnek találjuk.
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
K1
z1 K2
y2
y1 x2
x1
z2
r1
r2
r21
Széchenyi
István
Egyetem
6
A relativitás elve a klasszikus mechanikában
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Az adatok közötti összefüggések (a fizikai törvények: pl.
Newton II. törvénye, Coulomb törvény, stb.) is
különbözőek lesznek a különböző koordináta
rendszerekben ?
Relativitáselmélet
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
K1
z1 K2
y2
y1 x2
x1
z2
r1
r2
r21
Kérdés:
Széchenyi
István
Egyetem
7
A vonatkoztatási rendszerek speciális fajtái
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Egy inerciarendszerhez képest állandó
sebességgel mozgó bármely másik rendszer is
inerciarendszer.
Relativitáselmélet
Inerciarendszerek (Newton I. törvénye)
Tapasztalat:
Széchenyi
István
Egyetem
8
A klasszikus mechanika relativitás elve
Különböző inerciarendszerekből nézve a mechanikai
jelenségek ugyanúgy zajlanak le. A különböző inerciarendszerekben a mechanika törvényei
azonos matematikai alakban érvényesek.
A bennük szereplő fizikai állandók numerikus értéke
ugyanaz .
Relativitáselmélet
Következmény:
Az inerciarendszerek között mechanikai kísérletekkel nem lehet
különbséget tenni. - Nincs olyan mechanikai kísérlet, amellyel
eldönthető lenne, hogy két inerciarendszer egymáshoz képest mozog.
(Nem lehet találni egy abszolút, kitüntetett inerciarendszert.)
Tapasztalat:
Széchenyi
István
Egyetem
9
Koordináta-transzformációk
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
A koordináta-transzformációk a test mozgását a K1
és K2 koordinátarendszerekben jellemző adatok
(helyzetvektor, sebesség, energia, stb.) között
teremtenek kapcsolatot.
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
K1
z1 K2
y2
y1 x2
x1
z2
r1
r2
r21
Széchenyi
István
Egyetem
10
A fizikai törvények koordináta-
transzformációkkal szembeni invarianciája
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
Módszer az ellenőrzésre
A K1 rendszerben felírt fizikai törvényben szereplő
mennyiségeket a transzformációs összefüggések
segítségével fejezzük ki a K2 rendszer megfelelő
mennyiségeivel. Így megkapjuk a kérdéses fizikai
mennyiségek közötti összefüggést a K2 rendszerben.
Ha a törvény matematikai alakját tekintve azonos a
két koordinátarendszerben, akkor azt mondjuk, hogy
a törvény invariáns az adott transzformációra.
Széchenyi
István
Egyetem
11
A fizikai törvények koordináta-
transzformációkkal szembeni invarianciája
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
Ha az adott transzformációval szemben az összes
fizikai törvény invariáns, akkor a transzformáció
összhangban van a relativitás elvével.
Ha a relativitás elvét, mint tapasztalati tényt
elfogadjuk, akkor csak a vele összhangban lévő
koordináta transzformációt használhatjuk.
Széchenyi
István
Egyetem
12
A klasszikus mechanika Galilei-
transzformációja
Relativitáselmélet
K1
z1 K2
y2
y1 x2
x1
z2
r1
r2
r21
r1=r2+r21
r2=r1-r21
Ha a K2 rendszer a K1-hez képest állandó v sebességgel mozog
(inerciarendszerek):
r21=vt+r0
r2(t)=r1(t)-vt-r0
Széchenyi
István
Egyetem
13
A klasszikus mechanika Galilei-
transzformációja
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Az idő a K2 és a K1 rendszerben azonosan telik.
r2(t)=r1(t)-vt-r0
x2(t)=x1(t)-vxt-x0
y2(t)=y1(t)-vyt-y0
z2(t)=z1(t)-vzt-z0
t2=t1=t FONTOS !
v2(t)=v1(t)-v
a2(t)=a1(t)
r2(t)=r1(t)-vt-r0
Széchenyi
István
Egyetem
14
A klasszikus mechanika Galilei-
transzformációja
Relativitáselmélet
A klasszikus
mechanika törvényei
invariánsak a Galilei-
transzformációval
szemben.
v2(t)=v1(t)-v
a2(t)=a1(t)
r2(t)=r1(t)-vt-r0
(Bebizonyítható)
Széchenyi
István
Egyetem
15
Az egymáshoz képest mozgó
inerciarendszerek speciális esete
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
x2(t)=x1(t)-vt
y2(t)=y1(t)
z2(t)=z1(t)
t2=t1
Koordináta transzformációk
K1 K2
z1 z2
x2
y2 y1
x1
v
Széchenyi
István
Egyetem
16
Az egymáshoz képest mozgó
inerciarendszerek speciális esete
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
v2x(t)=v1x(t)-v
v2y(t)=v1y(t)
v2z(t)=v1z(t)
Sebesség transzformációk
K1 K2
z1 z2
x2
y2 y1
x1
v
Széchenyi
István
Egyetem
17
Az egymáshoz képest mozgó
inerciarendszerek speciális esete
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
a2x(t)=a1x(t)
a2y(t)=a1y(t)
a2z(t)=a1z(t)
Gyorsulás transzformációk
K1 K2
z1 z2
x2
y2 y1
x1
v
Széchenyi
István
Egyetem
18
A Galilei transzformáció alkalmazása
Relativitáselmélet
Hogyan változik meg a hang terjedési sebessége, ha azt a
közeghez képest állandó sebességgel mozgó koordináta-
rendszerben mérjük?
A közeg és a hangforrás
is nyugszik K1-ben.
v2x=v1x-v
K1 K2
z1 z2
x2
y2 y1
x1
v
v1x
A forrástól távolodó megfigyelő kisebb, a közeledő
nagyobb hangsebességet észlel, mint a forráshoz
képest nyugvó megfigyelő.
Széchenyi
István
Egyetem
19
A Galilei transzformáció alkalmazása
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
A megfigyelőnek a hangot hordozó közeghez
viszonyított sebessége hangsebesség-mérésekkel
meghatározható.
v2vv
2
vvv
Később felhasználjuk a mérés elvét!
Széchenyi
István
Egyetem
20
A relativitás elve az elektrodinamikában
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
• A Maxwell-egyenletek a klasszikus fizikának ugyanolyan alapegyenletei, mint a Newton-törvények.
• Korábban feltételezték, hogy a Maxwell-egyenletek az éterhez rögzített koordinátarendszerben érvényesek.
• A fény nem más, mint egy olyan zavar, amely az éterben a rugalmas hullámokhoz hasonlóan terjed.
• A vákuumban terjedő fény sebességét az éterhez viszonyított sebességnek tekintették.
Széchenyi
István
Egyetem
21
Próbálkozások az éter létezésének
kimutatására
Relativitáselmélet
Ötlet:
Az éterhez képest mozgó Földön különböző irányok-ban meg kell mérni a fény terjedési sebességét. Ilyen mérésekkel meg lehetne határozni a Föld sebességét az éterhez képest. Ki lehet mutatni az éter létét.
Michelson-Morley kísérlet
(a hangterjedésre vonatkozó korábbi mérés analógiája alapján)
Széchenyi
István
Egyetem
22
Michelson-Morley kísérlet
Relativitáselmélet
Az interferenciaképben semmilyen változást nem tapasztaltak!
Az interferenciakép függ a két interferáló
fénynyaláb terjedési sebességétől.
Széchenyi
István
Egyetem
23
A fény terjedési sebessége egymáshoz
képest mozgó rendszerekben
Relativitáselmélet
A fény terjedési sebessége különböző inercia-rendszerekben ugyanaz az érték, nem függ a
rendszer mozgásállapotától.
A fény terjedésére nem alkalmazható a Galilei-transzformáció.
Tapasztalat:
Következtetés:
Széchenyi
István
Egyetem
24
Az elektrodinamika és a relativitás elve
Relativitáselmélet
A Maxwell-egyenletek nem invariánsak a Galilei-transzformációval szemben.
Lorentz-transzformáció
Milyen transzformációval szemben invariánsak a
Maxwell-egyenletek?
Tapasztalat:
Széchenyi
István
Egyetem
25
A Lorentz-transzformáció összefüggései
Relativitáselmélet
Az időt is transzformálni kell!
2
2
112
c
v1
vtxx
2
2
121
2
c
v1
xc
vt
t
12 yy 12 zz
Az idő nem azonosan telik a két
rendszerben!
Széchenyi
István
Egyetem
26
Az elektrodinamika és a relativitás elve
Relativitáselmélet
A mechanika törvényei nem invariánsak a Lorentz-transzformációval szemben.
Komoly elvi probléma!
Széchenyi
István
Egyetem
27
Egységes koordináta-transzformáció
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Elfogadjuk a Galilei-transzformációt, és a Maxwell-egyenleteket hibásnak minősítjük.
Elfogadjuk a Lorentz-transzformációt és a mechanika törvényeit úgy kell átalakítani, hogy
azok invariánsak legyenek.
A kísérletek megerősítették, hogy az
elektrodinamikában is érvényes a relativitás elve.
Követelmény:
Lorentz, Einstein, Poincaré:
Széchenyi
István
Egyetem
28
A speciális relativitáselmélet Einstein-féle
posztulátumai
Relativitáselmélet
• Minden fizikai folyamatra érvényes a relativitás elve.
• A vákuumban terjedő fény sebessége minden inerciarendszerben azonos, univerzális állandó.
• Levezethető belőlük a Lorentz-transzformáció.
• Elvégezhető a mechanika törvényeinek a
szükséges átalakítása.
Széchenyi
István
Egyetem
29
Relativitáselmélet
• Az étert nem tekinthetjük fényhordozó
közegnek.
• Az étert nem tekinthetjük kitüntetett
vonatkoztatási rendszernek.
Elveszítette értelmét, hogy az éter létét
feltételezzük.
Következmény:
Széchenyi
István
Egyetem
30
A Lorentz-transzformáció összefüggéseinek
vizsgálata
Relativitáselmélet
2
2
112
c
v1
vtxx
2
2
121
2
c
v1
xc
vt
t
12 yy 12 zz
Kis sebességekre visszakapjuk a
Galilei-transzformációt.
A mechanika klasszikus törvényeitől csak
akkor várható eltérés, ha a két vonatkoztatási
rendszer relatív sebessége összemérhető a
fénysebességgel.
Széchenyi
István
Egyetem
31
A Lorentz-transzformáció összefüggéseinek
vizsgálata
Relativitáselmélet
2
2
112
c
v1
vtxx
2
2
121
2
c
v1
xc
vt
t
12 yy 12 zz
A vákuumbeli fénysebesség a relativitáselmélet szerint
határsebesség szerepét játssza.
Széchenyi
István
Egyetem
32
A relativisztikus mechanika
alapjai
Relativitáselmélet
• Idő, időtartam, távolság – koncepcionális
változások.
• A mechanika törvényeinek átalakítása –
invariancia a Lorentz-transzformációval
szemben.
Széchenyi
István
Egyetem
33
A hely- és idő meghatározása
Relativitáselmélet
Minden vonatkoztatási
rendszerben ki kell
alakítani egy
megfelelően sűrű
koordináta és
időhálózatot.
A jelenségek leírásához szükség van a jelenségek helyének és időpontjának
megadására.
Széchenyi
István
Egyetem
34
Hely meghatározása a relativitáselméletben
fényjelekkel
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
ct2
1x1
Az origóból elindítunk egy fényjelet, a vizsgált pontban pedig elhelyezünk egy tükröt, amelyről a
fényjel visszaverődik az origóba.
Széchenyi
István
Egyetem
35
Az órák szinkronizálása fényjelekkel
Relativitáselmélet
t=0 időpillanatban az origóban egy fényjelet hozunk létre.
Az origótól l távolságra lévő pontba a fényjel t=l/c idő alatt ér. Az órát erre az időpontra kell beállítani és akkor indítani, amikor a fényjel odaér.
Széchenyi
István
Egyetem
36
Az időtartamok relativitása
Relativitáselmélet
Tegyük fel, hogy a K2 rendszerben azonos helyen lejátszódik két esemény.
I. esemény: pl. egy lámpa kigyullad
II. esemény: pl. egy lámpa kialszik
2
.I
2 x,t
2
.II
2 x,t
A két esemény között eltelt idő K2 rendszerben:
.I
2
.II
22 ttt
2
.I
2
.II
2 xxx
Széchenyi
István
Egyetem
37
Az időtartamok relativitása
Relativitáselmélet
A két esemény között eltelt idő K1 –ben:
.I
1
.II
11 ttt
2
2
22
.I
2.I
1
c
v1
xc
vt
t
2
2
22
.II
2.II
1
c
v1
xc
vt
t
2
2
2
2
2
.I
2
.II
21
c
v1
t
c
v1
ttt
Széchenyi
István
Egyetem
38
Mozgási és nyugalmi időtartam, idődilatáció
Relativitáselmélet
Két esemény között eltelt időtartamok is
különbözőek. 2
2
2
2
2
.I
2
.II
21
c
v1
t
c
v1
ttt
Mivel 1c
v1
2
2
ezért 21 tt
Az események helyéhez képest mozgó
megfigyelő az események között eltelt időt
hosszabbnak találja, mint az
eseményekhez képest nyugvó megfigyelő. 2
2
0
c
v1
TT
Széchenyi
István
Egyetem
39
Hogyan határozható meg egy rendszerhez
képest mozgó tárgynak a mozgásirányba
eső mérete?
Relativitáselmélet
A tér különböző pontjaiban található szinkronizált órák közül kiválasztunk kettőt, amelyek közül az egyik a tárgy egyik végének
elhaladását ugyanabban az időpillanatban jelzi, mint a másik a tárgy másik végének elhaladását.
A mozgó tárgy mozgásirányba eső hossza egyenlő a két óra távolságával.
Széchenyi
István
Egyetem
40
A távolságok relativitása
Relativitáselmélet
Számítsuk ki, hogy milyen eredményre vezet egy rúd hosszának mérése egymáshoz képest mozgó
inerciarendszerekben.
A rúd a K2-ben nyugszik.
v
2
k
22 xxx
Széchenyi
István
Egyetem
41
A távolságok relativitása
Relativitáselmélet
A K1 rendszerben a hosszt az egyidejű kezdő és végpont koordináták leolvasásával kapjuk.
v
1
k
11 xxx
v
1
k
1 tt
Széchenyi
István
Egyetem
42
A távolságok relativitása
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
v
1
k
11 xxx v
1
k
1 tt
2
2
k
1
k
1k
2
c
v1
vtxx
2
2
v
1
v
1v
2
c
v1
vtxx
2
2
1
2
2
v
1
k
1v
2
k
22
c
v1
x
c
v1
xxxxx
Széchenyi
István
Egyetem
43
A mozgási és nyugalmi hossz
Lorentz-kontrakció
Relativitáselmélet
2
2
1
2
2
v
1
k
1v
2
k
22
c
v1
x
c
v1
xxxxx
A hosszúság is koordinátarendszertől függő mennyiség.
2
2
0c
v1LL
A mozgó megfigyelő által mért hossz mindig kisebb, mint a nyugalmi hossz.
Széchenyi
István
Egyetem
44
Az idődilatáció és a Lorentz-kontrakció
kísérleti bizonyítéka
Relativitáselmélet
1. A müonok a felső légrétegben, kb. 4-5 km magasságban keletkeznek.
2. A müonok közel fénysebességgel haladnak, (v=0,99c).
3. A müonok átlagos élettartama laborban 2,2·10-6 s.
4. A müonok a keletkezésüktől az elbomlásig kb. 660 m utat tudnak megtenni.
5. A müonok elérik a földfelszínt.
Ellentmondás !
Széchenyi
István
Egyetem
45
Az idődilatáció és a Lorentz-kontrakció
kísérleti bizonyítéka
Relativitáselmélet
A müonok átlagos nyugalmi élettartama laboratóriumban mérve 2,2·10-6 s.
2
2
0
c
v1
TT
Magyarázat:
1. A müonok mozgási élettartama 15,6·10-6 s.
2. A befutott út a tapasztalattal egyezésben kb. 4,68 km.
Széchenyi
István
Egyetem
46
A sebesség-transzformáció
Relativitáselmélet
Galilei-transzformáció
v2x=v1x-v
K1 K2
z1 z2
x2
y2 y1
x1
v
v1x
Mivel a fénysebesség minden inerciarendszerben azonos, a
sebesség-transzformációnak alapvetően különbözni kell a
Galilei-féle sebesség-transzformációtól.
Széchenyi
István
Egyetem
47
A sebesség-transzformáció
Relativitáselmélet
Egy test v2x sebessége a K2 rendszerben:
2
2x2
t
xv
2
2
121
2
c
v1
xc
vt
t
2
2
112
c
v1
vtxx
Ahol
121
11x2
xc
vt
tvxv
Széchenyi
István
Egyetem
48
A sebesség-transzformáció
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
A számláló és a nevező
t1-gyel való osztása után:
1
12
1
1
x2
t
x
c
v1
vt
x
v
1
1x1
t
xv
Mivel
x12
x1x2
vc
v1
vvv
Kis sebességek esetén
visszaadja a Galilei-féle
sebesség-transzformáció
összefüggését.
Széchenyi
István
Egyetem
49
A relativitáselmélet következményei
Relativitáselmélet
Egy mozgó rendszerben ugyanazon a helyen, de
különböző időkben történő eseményeket a nyugvó
megfigyelő különböző helyeken történő eseményeknek
látja.
Széchenyi
István
Egyetem
50
A relativitáselmélet következményei
Relativitáselmélet
Egy mozgó rendszerben ugyanazon időben, de különböző
helyeken történő eseményeket a nyugvó megfigyelő
különböző időben történő eseményeknek látja.
Széchenyi
István
Egyetem
51
A relativitáselmélet következményeinek
szemléletes magyarázata (H. Minkowski)
Relativitáselmélet
Koordinátarendszer elforgatás a háromdimenziós
térben.
Széchenyi
István
Egyetem
52
• Fizikai értelemben vektornak nevezünk minden olyan
három komponenssel megadott mennyiséget,
amelynek komponensei a koordinátarendszer
elforgatásakor úgy transzformálódnak, mint a
helyzetvektor koordinátái.
• A skaláris mennyiségek értéke nem függ a
koordinátarendszer választástól.
A háromdimenziós tér
Relativitáselmélet
A háromdimenziós térben a vektor mintájául a
helyzetvektor szolgál.
22222222 szyxzyxs
Két pont távolságának négyzete invariáns a koordináta-
transzformációval szemben.
Széchenyi
István
Egyetem
53
A relativitáselmélet következményeinek
magyarázata
Relativitáselmélet
Egy mozgó rendszerben ugyanazon a helyen, de különböző
időkben történő eseményeket a nyugvó megfigyelő különböző
helyeken történő eseményeknek látja.
Széchenyi
István
Egyetem
54
A relativitáselmélet következményei
Relativitáselmélet
Egy mozgó rendszerben ugyanazon időben, de különböző
helyeken történő eseményeket a nyugvó megfigyelő
különböző időben történő eseményeknek látja.
Széchenyi
István
Egyetem
55
A négydimenziós téridő
Relativitáselmélet
A Lorentz-transzformáció a térkoordináták
mellett az időt is transzformálja.
• Ezért egy esemény koordinátáinak a téridőben
az (x, y, z, t) mennyiséget tekintjük.
• Egy esemény a négydimenziós téridőben egy
pontnak felel meg.
Az esemény koordinátáit megadó négydimenziós
mennyiség egy négydimenziós vektor,
NÉGYESVEKTOR
lesz.
Széchenyi
István
Egyetem
56
Állapotváltozás a négyestérben
Relativitáselmélet
Állandó sebességgel
mozgó test világvonala
egyenes.
Azok az események, amelyeknek a világvonala
párhuzamos az x tengellyel, azonos időben (de
különböző helyeken) zajlanak le.
Széchenyi
István
Egyetem
57
Négyes állapotvektor, invariáns intervallumnégyzet
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
22222 zyxtcs
• A négyes állapotvektor komponensei a Lorentz-
transzformációval transzformálódnak.
• Két esemény közötti „négydimenziós távolság”
négyzete legyen invariáns a Lorentz-
transzformációval szemben.
intervallumnégyzet vagy négyes-távolságnégyzet
invariáns a Lorentz-transzformációval szemben.
Bebizonyítható, hogy az (x1, y1, z1, t1) és az (x2, y2, z2, t2)
eseményekre felírt
Széchenyi
István
Egyetem
58
A négyestér tartományai
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx
Relativitáselmélet
),(3 tfz ),(2 tfy
),(1 tfx 22222 zyxtcs
Meghatározzuk, hogy milyen az előjele egy
vonatkoztatási esemény és a vizsgált tartományba eső
eseményt összekötő intervallumnégyzetnek.
0s2
AB
0s2
AB
0s2
AB
fényszerű
Széchenyi
István
Egyetem
59
Tömegpont mozgása a négyestérben
Relativitáselmélet
Még sohasem figyeltek meg
olyan részecskét, ami a
fény vákuumbeli
sebességénél gyorsabban
mozgott volna.
A tömegpontnak az időszerű téridő
tartományba eső világvonalat kell követnie.
Tömegpont világvonala
Széchenyi
István
Egyetem
60
Az egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó
rendszerek ábrázolása négyestérben
Relativitáselmélet
Az x’ tengely helyzetét úgy
kell megválasztani, hogy a
fény világvonala ugyanaz
maradjon, és érvényes
legyen rá az x’=ct’
összefüggés.
A t’ tengely helyzetének
meghatározása
Széchenyi
István
Egyetem
61
Az időszerű téridő tartomány
Relativitáselmélet
Ezekhez az eseményekhez lehet találni olyan, az
eredetihez képest állandó sebességgel mozgó
koordinátarendszert, amelyben az A és B esemény
azonos helyen vannak, csak az időpontjuk más.
0s2
AB
ct’
x’
Széchenyi
István
Egyetem
62
Az időszerű téridő tartomány
Relativitáselmélet
c
zyxtc
c
s2222
AB
Az események -val jelölt időbeli
szeparációját sajátidőnek vagy lokális
időnek nevezik.
INVARIÁNS MENNYISÉG !!!
2222
AB
2zyxtcsc
Széchenyi
István
Egyetem
63
A makroszkopikus sajátidő
Relativitáselmélet
c
dzdydxdtc
c
dsd
22222
Ha a tömegpont sebessége változik, a pillanatnyi
sebességének megfelelően mindig más és más
inerciarendszerben van nyugalomban.
B
Elemi sajátidő
Az elemi sajátidő is
invariáns.
Széchenyi
István
Egyetem
64
A makroszkopikus sajátidő
Relativitáselmélet
c
dzdydxdtc
c
dsd
22222
Elemi sajátidő
222
2 dt
dz
dt
dy
dt
dx
c
11dtd 2
2
pill
c
v1dtd
B
A
2
2
pill
c
)t(v1dt
Az invariáns
makroszkópikus sajátidőt
az elemi sajátidők
összegzésével kapjuk.
Széchenyi
István
Egyetem
65
A relativisztikus dinamika alapjai
Relativitáselmélet
2
2
pill
c
v1dtd
Jellemezzük az m0 nyugalmi tömegű tömegpont
mozgását egy új négyesvektorral:
dz dy, dx, ,cdt
d
m0 egy invariáns skalár d
m0
2
2
pill
z0
2
2
pill
y0
2
2
pill
x0
2
2
pill
0
c
v1
vm ,
c
v1
vm ,
c
v1
vm ,
c
v1
cm
Széchenyi
István
Egyetem
66
A relativisztikus impulzus és tömeg
Relativitáselmélet
2
2
pill
z0
2
2
pill
y0
2
2
pill
x0
2
2
pill
0
c
v1
vm ,
c
v1
vm ,
c
v1
vm ,
c
v1
cm
A fenti négyesvektor utolsó három komponense kis
sebességekre (vpill <<c) a közönséges
impulzusvektor három komponensét adja.
xx mvp yy mvp zz mvp
Széchenyi
István
Egyetem
67
A relativisztikus impulzus és tömeg
Relativitáselmélet
A fenti négyesvektor utolsó három komponense kis
sebességekre (vpill <<c) a közönséges
impulzusvektor három komponensét adja.
xx mvp yy mvp zz mvp
Ennek alapján:
2
2
0
c
v1
vmp
2
2
0
c
v1
mm
Relativisztikus tömegnövekedés
(több direkt kísérlet igazolta)
Széchenyi
István
Egyetem
68
A Lorentz-transzformációval szemben
invariáns mozgásegyenlet
Relativitáselmélet
2
2
0
c
v1
vm
dt
d
dt
)vm(d
dt
Kis sebességekre visszakapjuk a mozgásegyenlet
szokásos alakját.
Széchenyi
István
Egyetem
69
Az energia a relativitáselméletben
Relativitáselmélet
Mi lehet a szerepe?
2
2
pill
z0
2
2
pill
y0
2
2
pill
x0
2
2
pill
0
c
v1
vm ,
c
v1
vm ,
c
v1
vm ,
c
v1
cm
Széchenyi
István
Egyetem
70
Az energia a relativitáselméletben
Relativitáselmélet
A munkatétel értelmében:
m
2
1
2
2
2
1
12 Emv2
1mv
2
1rdFW
Ha a tömegpontnak
nincs helyzeti
energiája
EW12
Teljes energia változás
2
1
2
1
2
1
12 dp)p(vrddt
pdrdFW
Széchenyi
István
Egyetem
71
Az energia a relativitáselméletben
Relativitáselmélet
2
1
2
1
2
1
12 dp)p(vrddt
pdrdFW
2
2
0
c
v1
vmp
222
0 pcm
cp)p(v
2
1
22
0
2
2
22
012 pcmcpcmcW
Széchenyi
István
Egyetem
72
Az energia a relativitáselméletben
Relativitáselmélet
2
1
22
0
2
2
22
012 pcmcpcmcW
Ez azt jelenti, hogy ha nincs helyzeti
energia, akkor a munkatétel alapján az
energiának az alábbi kifejezés felel meg:
222
0 pcmc)p(E 2
2
2
0
c
v1
cm)v(E
Széchenyi
István
Egyetem
73
Az energia a relativitáselméletben
Relativitáselmélet
Egy rendszerben az energia és a tömeg
változása mindig együtt jár, egymással
arányosan történik.
2
2
2
0
c
v1
cm)v(E
2mcE
2mcE
2
11 cmE 2
22 cmE
Széchenyi
István
Egyetem
74
Az energia a relativitáselméletben
Relativitáselmélet
E(v) megváltozása a klasszikus mozgási
energia megváltozásával egyenlő.
2
2
2
0
c
v1
cm)v(E
esetén cv 2
0
2
0 vm2
1cm)v(E
Széchenyi
István
Egyetem
75
A nyugalmi energia és a tömeghiány
Relativitáselmélet
A relativitáselméletben a klasszikus mozgási
energiának megfelelő kifejezés:
2
0
2
0 vm2
1cm)v(E
2
0
2
m cmmcE 2
0m cmEE
2
00 cmE Nyugalmi energia
A tapasztalatok alapján a nyugalmi energia részben
vagy egészben át tud alakulni másfajta energiává.
Széchenyi
István
Egyetem
76
Ajánlott irodalom
Relativitáselmélet
Gamow – Cleveland: FIZIKA, Gondolat, Budapest, 1977.
Orear: MODERN FIZIKA, Műszaki Könyvkiadó,
Budapest, 1971.
Taylor – Wheeler: TÉRIDŐ – FIZIKA, Gondolat,
Budapest, 1974.
Norwood: SZÁZADUNK FIZIKÁJA, Műszaki
Könyvkiadó, Budapest, 1981.
Feynman: HAT MAJDNEM KÖNNYŰ ELŐADÁS, Akkord
Kiadó, 2004.
Holics: FIZIKA, Műszaki Kiadó, Budapest, 1992.