Gingl Zoltán, Szeged, 2019.

’20 jan. 1

’20 jan. 2

Az Ohm törvény, Kirchhoff törvények érvényesekAz alkatrészeken eső feszültség és áram pillanatnyi értéke nem

mindig arányosA kapcsolat továbbra is lineáris

’20 jan. 3

dt

tdILtU

dttIC

tU

tIRtU

)()(

)(1

)(

)()(

Feszültség – áram:

U(t)=RI(t)

előjelhelyes!

Feszültség polaritása?Áram iránya?Technikai áramirány:

pozitív töltések mozgási iránya

Voltmérő, árammérő mit mutat?

R

A

V

R

’20 jan. 4

Feszültség – áram:

U(t)=(1/C)I(t)dt

Másképp: dU(t)/dt=(1/C)∙I(t)

előjelhelyesség

Állandó feszültség esetén 0 áram (szakadás)Nem csak a pillanatnyi érték számít, hanem a múltbeli értékek is

(integrálás)Szinuszos áram esetén koszinuszos feszültség

’20 jan. 5

Feszültség – áram:

U(t)=LdI(t)/dt

előjelhelyesség

Állandó áram esetén 0 feszültség (rövidzár)Az áram változása számít, nem a pillanatnyi értékeKoszinuszos áram esetén szinuszos feszültség

’20 jan. 6

KONDENZÁTOR

dU/dt=(1/C)IDC: szakadásTöltéseket, energiát tárol

INDUKTIVITÁS

dI/dt=(1/L)UDC: rövidzárTehetetlenségszerű viselkedés

’20 jan. 7

DC: direct currentállandó áram, állandó feszültség

AC: alternating currentváltakozó áram, váltakozó feszültség

általánosabban: időfüggő áram és feszültség Ellenállások:

algebrai egyenletek DC és AC esetre isKondenzátorok, induktivitások:

differenciál-, integrálegyenletek

van azért megoldás – komplex számok

’20 jan. 8

’20 jan. 9

C

R Uki

Ube

dt

tdUCtI

tUtIRtU

tUtUtU

dttIC

U

ki

kibe

CRbe

C

)()(

)()()(

)()()(

)(1

I(t)

V

UR=R∙I(t)

V

A huroktörvény alkalmazható:A generátor feszültsége megegyezik az alkatrészeken eső feszültségek összegével

’20 jan. 10

C

R Uki

Ube

)()(1)(

)()(

)(

tUtUCRdt

tdU

tUdt

tdUCRtU

kibeki

kiki

be

’20 jan. 11

C

R Uki

Ube

dttUCR

tU

tUCRdt

tdU

beki

beki

)(1

)(

)(1)(

Szimuláció

’20 jan. 12

C

R

Uki

Ube

dttUCR

dttIC

tU

R

tUtI

tUtUtU

tUtUtU

kiC

ki

Ckibe

CRbe

)(1

)(1

)(

)()(

)()()(

)()()(

’20 jan. 13

C

R

Uki

Ube

dt

tUtUdCRtU

dt

tdU

dt

tdUCRtU

tUCRdt

tdU

dt

tdU

tUCR

tUtU

kibeki

kibeki

kikibe

kikibe

)()()(

)()()(

)(1)()(

)(1

)()(

’20 jan. 14

dt

tdUCRtU be

ki

)()( C

R

Uki

Ube

Szimuláció

Az általános megoldás bonyolultKitüntetett bemeneti jelek:

ugrásszerű változás

periodikus jelek, szinusz, négyszögjel

Ugrásfüggvény

áramkörök, műszerek bemenetén fontos

multiplexerek: több jel kapcsolása egy kimenetre

Periodikus

sin,cos: ezekből rakható össze sok más jel

’20 jan. 15

A megoldás elve:

A bemenő feszültséget állandónak tekintjük

A kezdeti feltétel: amikor a bemenő feszültség ugrik, akkor Uki(t=0)=Uki,0

’20 jan. 16

C

RUki

Ube

’20 jan. 17

C

RUki

Ube

CR

dt

UtU

tdU

CR

dt

UtU

tdU

dtUtUCR

tdU

UtUCRdt

tdU

beki

ki

beki

ki

bekiki

bekiki

)(

)(

)(

)(

)(1

)(

)(1)(

’20 jan. 18

C

RUki

Ube

bekibeki

beki

beki

beki

ki

UUCR

tUtU

UUconstt

constCR

tUtU

CR

dt

UtU

tdU

0,

0,

ln)(ln

)ln(::0

))(ln(

)(

)(

CR

t

bekibeki eUUUtU

0,)(

’20 jan. 19

C

RUki

Ube

t

beki

CR

t

beki

CR

t

bebeki

eUtU

RC

eUtU

eUUtU

1)(

1)(

)(

’20 jan. 20

CR

t

kiki eUtU

0,)(

Ha egy kondenzátor ellenálláson keresztül sül ki, azaz Ube = 0V:

CR

t

beki eUtU 1)(

Ha egy kondenzátor ellenálláson keresztül töltődik 0V-ról, azaz Uki,0 = 0V:

Az egyenlet megoldásánál azt feltételeztük csak, hogy

egy bizonyos időpillanatban ismerjük a kondenzátoron eső feszültséget

a sorba kötött ellenállás-kondenzátor páron állandó feszültség van

A bemeneti feszültségugrás ennek egy lehetséges esete csakMás esetekben is hasznos lehet, például

A kondenzátort kisütjük egy kapcsolóval, majd újra töltjük

Töltődés/kisülés közben mérjük a kimeneti feszültséget és ebből időállandót számolunk, amiből

R ismeretében C-t

C ismeretében R-t számolhatunk

’20 jan. 21

Tegyük fel, hogy a t1 időpontban ismerjük a kondenzátoron eső feszültséget, értéke UC,1

Megmérjük egy későbbi, t2 időpontbeli értékét, ami UC,2

’20 jan. 22

UC,1

UC,2

0V

t1

t2

Számítások:

’20 jan. 23

CR

tt

C

C

CR

tt

CCC

CR

tt

CC

eU

U

eUUtU

eUtU

12

12

1

1,

2,

1,2,2

1,

)(

)(

2,

1,

12

2,

1,

ln

12

C

C

CR

tt

C

C

U

U

ttCR

eU

U

Tegyük fel, hogy a t1 időpontban ismerjük a kondenzátoron eső feszültséget, értéke UC,1

Megmérjük egy későbbi, t2 időpontbeli értékét, ami UC,2

’20 jan. 24

URC

UC,2

UC,1t1

t2

Számítások

’20 jan. 25

CR

tt

RCC

RCC

CR

tt

RCCRCCC

CR

tt

RCCRCC

eUU

UU

eUUUUtU

eUUUtU

12

12

1

1,

2,

1,2,2

1,

)(

)(

RCC

RCC

CR

tt

RCC

RCC

UU

UU

ttCR

eUU

UU

2,

1,

12

2,

1,

ln

12

Oszcillátoroknál és on-off szabályozásnál is az alábbi az elv:

A bemeneti jelszint kétféle értékű lehet

Ha a kimenet eléri a felső küszöböt, a bemenet az alsó szintre vált

Ha a kimenet eléri az alsó küszöböt, a bemenet a felső szintre vált.

Speciális eset, ha a kisebb bemeneti szint 0.Legyen

Ube két értéke Ube,L és Ube,H

Uki értékei Uki,L és Uki,H

’20 jan. 26

’20 jan. 27

Ube,H

Uki,H

Uki,L

Ube,L

∆t1

∆t2

TÖLTÉSI SZAKASZ KISÜLÉSI SZAKASZ

’20 jan. 28

HbeHki

HbeLki

CR

t

HbeHki

HbeLki

UU

UUCRt

eUU

UU

,,

,,

1

,,

,,

ln

1

LbeLki

LbeHki

CR

t

LbeLki

LbeHki

UU

UUCRt

eUU

UU

,,

,,

2

,,

,,

ln

2

Ha Ube szinuszos, Uki is az

Kezdőfázis más

Amplitúdó más

’20 jan. 29

C

RUki

Ube

)sin()(

)sin()(

)()(1)(

,

,

tUtU

tUtU

tUtUCRdt

tdU

Akiki

Abebe

kibeki

’20 jan. 30

C

R Uki

Ube

)sin(1

)sin(1

)cos(

)cos()(

,,,

,

tUCR

tUCR

tU

tUdt

tdU

AkiAbeAki

Akiki

’20 jan. 31

)sin()cos(1

)cos()sin(1

)sin(1

)sin()sin()cos()cos(

)sin(1

)sin(1

)cos(

,,,

,,

,,,

tUCR

tUCR

tUCR

tUtU

tUCR

tUCR

tU

AkiAkiAbe

AkiAki

AkiAbeAki

’20 jan. 32

)cos(11

)sin()sin(

)sin(1

)cos()cos(

,,,

,,

AkiAbeAki

AkiAki

UCR

UCR

Ut

UCR

Ut

’20 jan. 33

CR

CR

UCR

U AkiAki

arctan

)tan(

)sin(1

)cos( ,,

’20 jan. 34

)sin()cos(

)cos()sin(

)cos(11

)sin(

,,

,,,

,,,

CRUU

UUCRU

UCR

UCR

U

AkiAbe

AkiAbeAki

AkiAbeAki

’20 jan. 35

22

2

,

,

2

,

,

1

1

1

1

tan1

1)cos(

)tan(1

)cos(

1

)sin()cos(

1

CRCR

CR

U

U

CRCRU

U

Abe

Aki

Abe

Aki

’20 jan. 36

Lineáris rendszer összegre a válasz a válaszok összege

Szinuszokra a válasz is szinusz (amplitúdó és fázis változhat)Szinuszok összegére is:

a válasz az egyes válaszok összegeHa a jel szinuszok összege:

elég a szinuszokra adott választ tudniAzaz: frekvenciatartományban szétválogathatók, külön kezelhetők a

jelek

’20 jan. 37

Az adó oldali különböző jelek összege:egyetlen jelet ad

Mert egyetlen jelet vihet a közeg (egy vezeték, wireless)

A vevő oldalon szétválogatható

rádióadók

távirányítók, mobiltávközlés

kábel-tv csatornák

DTMF

’20 jan. 38

’20 jan. 39

T

k

T

k

T

k

k

k

k

dttktxT

B

dttktxT

A

dttxT

A

tkBtkAAtx

0

0

0

0

0

0

1

0

1

00

sin)(2

cos)(2

)(1

sincos)(

’20 jan. 40

i

tkitkitk

tkitkitk

tkitktki

2

expexpsin

2

expexpcos

sincosexp

000

000

000

’20 jan. 41

k

k

k

k

kk

k

kk

k

kk

k

kk

k

k

k

k

tkiCtx

tkiiBA

tkiiBA

Atx

tkii

BAtki

i

BAAtx

i

tkitkiB

tkitkiAAtx

0

1

0

1

00

1

0

1

00

1

00

1

000

exp)(

exp2

exp2

)(

exp22

exp22

)(

2

expexp

2

expexp)(

’20 jan. 42

0,2

0,

0,2

0

khaiBA

khaA

khaiBA

C

kk

kk

k

dttkitxT

C

tkiCtx

T

k

k

k

0

0

0

exp)(1

exp)(

’20 jan. 43

kkk

k

kkk

k

kk

k

CiC

tiiCdt

tdx

tiCtx

k

exp)(

exp)(

0

’20 jan. 44

k

k

k

k

k

k

k

k

kk

k

Ci

C

tii

Cdttx

tiCtx

k

1

exp1

)(

exp)(

0

A jel sokszor nem periodikusEkkor a Fourier-sor nem használhatóMegoldás: diszkrét helyett folytonos összegzésFourier-sor: diszkrét frekvenciákFourier-transzformáció: folytonos frekvencia

’20 jan. 45

’20 jan. 46

dtftitxfX

dfftifXtx

vagy

dttitxX

dtiXtx

2exp)()(

2exp)()(

:

exp)(2

1)(

exp)()(

’20 jan. 47

)(1

)(

)(

)()(

Xi

dttx

Xidt

dx

Xtx

Differencálegyenletek algebrai egyenletekVáltóáramú körök is egyenáramúként kezelhetőkAz amplitúdóváltozás:

a Fourier-komponens nagyságaA fázistolás:

a Fourier-komponens fázisa

’20 jan. 48

’20 jan. 49

)()()(

)(

)(1

)()(1

)(

)()()()(

ILiUdt

tdILtU

ICi

UdttIC

tU

IRUtIRtU

LiX

CiX

L

C

)(

1)(Impedancia: U(ω)/I(ω)

• általánosított ellenállás• frekvenciafüggő

Kondenzátor és induktivitás is úgy kezelhető, mint az ellenállás, ha frekvenciatartományban írjuk le a jeleket

Kirchhoff-törvények, Thevenin-tétel, stbEredő impedancia – mint eredő ellenállás

’20 jan. 50

’20 jan. 51

RUki

Ube

RCiR

Ci

Ci

U

U

RX

X

U

U

XR

XUU

be

ki

C

C

be

ki

C

Cbeki

1

1

1

1

)(

)(

)(

)(

)()(

Ci

1

’20 jan. 52

R

Uki

Ube

RCi

RCi

RCi

R

U

U

RX

R

U

U

XR

RUU

be

ki

Cbe

ki

C

beki

11)(

)(

)(

)(

)()(

Ci

1

’20 jan. 53

LINEÁRISRENDSZER

X() Y()

)(

)()(

)()()(

X

YA

XAY

a számláló és nevező is i polinomja (mert a deriválás és integrálás: i hatványozása)

Ábrázolás: amplitúdó, fázisEgyszerűsített ábrázolás: Bode-diagram

’20 jan. 54

)/1()/1()/1(

)/1()/1()/1()(

21

210

pmpp

znzz

iii

iiiiAA

Két komplex polinom hányadosaAmplitúdó és fázis ábrázolása a frekvencia függvényébenA frekvencia logaritmikus léptékbenAz amplitúdó logaritmikus léptékben

dB skála

log-log skálán: a hatványfüggvény egyenesmeredekség: a hatványkitevő

dB skálán 20-al szorozva

’20 jan. 55

Mikor érdemes logaritmikus skálát használni?Kicsi amplitúdójú részek felnagyításaTeljesítmények aránya: P/P0

Logaritmikusan: log10(P/P0)dB skála: 10log10(P/P0)Amplitúdó: a teljesítmény az amplitúdó négyzetével arányos:10log10(P/P0)= 10log10(A2/A0

2)= 20log10(A/A0)dB skála: 20log10(A/A0)

’20 jan. 56

’20 jan. 57

)/1()/1()/1(

)/1()/1()/1()(

21

210

pmpp

znzz

iii

iiiiAA

1

2

1

1210 )/1()/1()/1()/1()( ppzz iiiiiAA

kk

k

khai

hai

/

1)/1(Az egyes tagok közelítése:

Logaritmikus tengelyeken így egyenesekkel közelíthető az átviteli függvény: Bode diagram

Legyen p1 < z1 < p2

’20 jan. 58

)/1()/1(

/1)(

21

1

pp

z

ii

iA

Ha < p1 < z1 < p2

’20 jan. 59

1)( A

A[dB]

lg ω

ωP1 ωZ1 ωP2

Ha p1 < < z1 < p2

’20 jan. 60

1/

1)(

piA

A[dB]

lg ω

ωP1 ωZ1 ωP2

Ha p1 < z1 < < p2

’20 jan. 61

1

1

1

1

/

/)(

z

p

p

z

i

iA

A[dB]

lg ω

ωP1 ωZ1 ωP2

Ha p1 < z1 < p2 <

’20 jan. 62

iii

iA

z

pp

pp

z 1

//

/)(

1

21

21

1

A[dB]

lg ω

ωP1 ωZ1 ωP2

1: =0i: =/2 (számlálóban van)1/i: =-/2 (nevezőben van)

’20 jan. 63

kk

k

khai

hai

/

1)/1(

’20 jan. 64

RUki

Ubepbe

ki

iRCiU

U

/1

1

1

1

)(

)(

Ci

1

0 dB, ha < p

-20 dB/dekád, ha > p

Ha = p

A(p) = 1/(1+i)

Erősítés: 1/ 2 ≈ -3dB

Fázis: -π/4

’20 jan. 65

pbe

ki

iRCiU

U

/1

1

1

1

)(

)(

’20 jan. 66

’20 jan. 67

R

Uki

Ube

p

p

be

ki

i

i

RCi

RCi

U

U

/1

/

1)(

)(

Ci

1

20 dB/dekád, ha < p

0 dB, ha > p

Ha = p

A(p) = i/(1+i)

Erősítés: 1/ 2 ≈ -3dB

Fázis: π/4

’20 jan. 68

p

p

be

ki

i

i

RCi

RCi

U

U

/1

/

1)(

)(

’20 jan. 69

’20 jan. 70

R1Uki

Ube Ci

1

R2

CRCRR

i

i

U

U

CRRi

CRi

U

U

CiRR

CiR

U

U

zp

p

z

be

ki

be

ki

be

ki

221

21

2

21

2

11

/1

/1

)(

)(

1

1

)(

)(

1

1

)(

)(

’20 jan. 71

p

z

be

ki

i

i

U

U

/1

/1

)(

)(

’20 jan. 72

’20 jan. 73

R1

Ube 1

1

Ci

2211

221

22

2

22

2

1

2211

2211

/1/1

/1/1

/1

/1

)(

)(

/1

/1

)(

)(

/1/1

/1/1

)(

)(

CiRCiR

CiRCi

CiR

Ci

U

U

CiR

Ci

U

U

CiRCiR

CiRCi

U

U

be

ki

ki

be

R2

Uki

2

1

Ci

U1

’20 jan. 74

R1

Ube 1

1

Ci

221122

2

11

1

1

1

1

1

/1

/1

/1

/1

)(

)(

CRiCRiCiR

Ci

CiR

Ci

U

U

be

ki

R2

Uki

2

1

Ci

I1 I2

Ha I1>>I2: (ha R1x1/iωC1 << R2+1/iωC2), elég:R1<<R2

’20 jan. 75

R1

Ube 1

1

Ci

2211

221

22

2

22

2

1

2211

2211

/1/1

/1/1

/1)(

)(

/1)(

)(

/1/1

/1/1

)(

)(

CiRCiR

CiRCi

CiR

R

U

U

CiR

R

U

U

CiRCiR

CiRCi

U

U

be

ki

ki

be

U1

R2

Uki

2

1

Ci

’20 jan. 76

22

22

1122

2

11

1

11

1

/1/1

/1

)(

)(

CRi

CRi

CRiCiR

R

CiR

Ci

U

U

be

ki

I1I2

R1

Ube 1

1

Ci

U1

R2

Uki

2

1

Ci

Ha I1>>I2: (ha R1x1/iωC1 << R2+1/iωC2), elég:R1<<R2

’20 jan. 77

R

Ube Ci

1

2222

2

311)(

)(

1

1

11

)(

)(

/1

//1

/1

/

/1/1

/1

)(

)(

CRRCi

RCi

RCiRCi

RCi

U

U

RCi

RCi

R

RCi

R

Ci

RCiRCi

R

U

U

CiR

CiRCiR

CiR

CiR

CiRCiR

CiR

U

U

be

ki

be

ki

be

ki

U1

R

Uki

Ci

1