Бодлого 151 - niislelmath.files.wordpress.com · олох ёстой тойргийн төв AB хэрчмийн дундажаас босгосон перпендикуляр

Бодлого №151

2S тойрог нь 2S тойргийн О төвийг дайрах ба түүнийг А баВ цэгт огтолно.А

цэгийг дайруулан 2S тойрогт шүргэгч татав. D цэг нь 1S тойргийн шүргэгчтэй огтлох хоёр дахь цэг юм.Тэгвэл AD AB= гэж батал.

Бодолт:

AOB AOD∆ = ∆ . .OA OB OD= = ( ), ,OA OB ба OD нэг тойргийн радиусууд−

хөвч ба шүргэгчийн хоорондох өнцгийн хоорондох теорем ёсоор

.ABO DAO байна∠ = ∠ Эндээс AD AB= мөрдөн гарна.

Бодлого №152

Хавтгай дээр l шулуун ба түүний нэг талд орших A ба B цэгүүд өгөгдөв.Тэгвэл l шулуун дээр орших M цэгийг :

1.M цэгээс A ба B цэгүүд хүртэлх зайнуудын нийлбэр нь хамгийн бага байх

2. A ба B цэгүүдээс N цэг хүртэлх зайнууд тэнцүү байхаар сонгон авав. AN BN= Тэгвэл A,B,M,N цэгүүд нэг тойрог дээр оршино гэж батал.

Бодолт: 1B цэг- l шулууныг дайрсан B цэгтэй тэгш хэмтэй цэг.M цэг 1AB ба l шулууны огтлолын цэг.Хэрэв X –M цэгээс ялгаатай, l шулууны дурын цэг.Иймд

1 1 1AX BX AX B X AB AM MB AM BM+ = + = + = +f

байна.Бодлогын нөхцөлөөс 1NA NB NB= = гэж мөрдөн гарна.Иймээс N төвтэй AN радиустай тойрог дээр 1,A B баB цэгүүд оршино .ANB

тойргийн төв өнцөг тул 12 .ANB AB B∠ = ∠ AMB

өнцөг нь 1BMB зөв гурвалжны гадаад өнцөг.Иймээс 12AMB AB B ANB∠ = ∠ = ∠ байна.Иймээс M,N,A ба цэгүүд нэг тойрог дээр оршино.

Бодлого№153

ABCDE гүдгэр таван өнцөгтийн хувьд ABC ADE∠ = ∠ ба AEC ADB∠ = ∠ тэнцэтгэл биелэх бол BAC DAE∠ = ∠ гэж батал.

Бодолт:

EC ба DB диогналиудын огтлолын цэгийг F гэе.E D цэгээс AF талд хэрчим татахад өнцөгүүд тэнцэнэ.Тэгвэл AEC ADB∠ = ∠ болно.Иймд A,E,D,F цэгүүд нэг тойрог дээр оршино.

0, 180AFE ADE ABC AFC ABC∠ = ∠ = ∠ ∠ + ∠ =.A,B,C ба F цэгүүд нэг тойрог дээр оршино гэдгээс CAB CFB EFD EAD∠ = ∠ = ∠ = ∠ гэдэг нь үнэн.

БОДЛОГО:№154

Гурван тойрог M гэсэн нэг ерөнхий цэгтэй.Хос хосоорсс харгалзан P,Q,R цэгүүдээр огтлолцоно.M цэг агуулаагүй PQ нум дээр орших тойргийн дурын A цэгийгдайруулан шулуун татахад хоёр тойргийг огтолсон цэг P,Q байна.Үлдсэн хоёр тойргийг B ба C цэгээр огтолно.Тэгвэл B, C ба R цэгүүд нэг шулуун дээр оршихыг батал.

БОДОЛТ:

BRMP,APMQ ба CQMR-багтсан дөрвөн өнцөгтүүд.Иймээс

0 0180 , , 180BRM BPM APM MRC AQM APM AQM∠ = − ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ + ∠ = .Тэгвэл0180BRM CRM∠ + ∠ = гэж мөрдөн гарна. Иймээс B,C ба R цэгүүд нэг шулуун

дээр оршино.

БОДЛОГО №155

Хурц өнцөгт ABC гурвалжны 060A∠ = . B ба C оройгоос буулгасан өндрүүдээр үүсгэгдсэн өнцгийн биссектрис нь багтаасан тойргийн төвийг дайрна гэдгийг батал.

БОДОЛТ:

Тодорхойлолт ёсоор AB ACf байна. 1 1BB баCC.H-өндрүүдийн огтлолцол,O-багтсан тойргийн төв.Иймд 0120COB CHB∠ = ∠ = байна. Харин C,H ,O ба B цэгүүд нэг тойрог дээр оршино. Иймээс

0 01

1 130 602 2

OHB OCB OBC BHC∠ = ∠ = ∠ = = = ∠g g

болно.

Тэгвэл 1BHC өнцгийн биссектрис HD болно.

БОДЛОГО №:156

ABC гурвалжинд A оройгоос AH өндөр ба BE биссектрис татав. Хэрэв0 045 45BEA бол EHC∠ = ∠ = гэж батал.

БОДОЛТ:

AC шулуунд E цэгийг дайруулан ED перпендикуляр татав. D цэг BC талыг огтолсон цэг.Тэгвэл

045 .BED Иймээс ABE DBE∠ = =V V байна. Учир нь ӨТӨ-ийн шинжээр тэнцэнэ.H,D,E ба A цэгүүд нэг тойрог дээр орших ба DE AE= гэдгээс

045EHC AHE ADF DAE∠ = ∠ = ∠ = ∠ = болж батлагдав.

БОДЛОГО:№157 Архимедийн бодлого:

Тойргийн AB нумд ( )AM MBf байхаар AMB тахир шугам багтав. Тэгвэл AB

хөвчийн дундаж K цэгээс KH босгоход AM хэрчмийг H цэгээр огтолно.Энэхүү ( )AB KH⊥ KH перпендикуляр нь AMB тахир шугамын

уртыг тэнцүү хэсэгт хуваана гэдгийг батал.Өөрөөр хэлбэл: AH HM MB= + байна

БОДОЛТ:

1-р арга: 1MB MB= байхаар AM хэрчмийн үргэлжлэл дээр M цэгийг тэмдэглэе.

KM шулуун 1BB хэрчмийг P цэгт огтолно.Тэгвэл

1

1

2 22 2

MB MA AKBBMB MAB MBA AK

KMA B MP

+∠ = ∠ + ∠ = = = =

= ∠ = ∠

KP шулуун адил хажуут 1BMB гурвалжны 1BMB өнцгийг хагаслан

хуваана.Тэгвэл KP нь 1BB хэрчим дэхь перпендикулярын дундаж болно.

1KB KB AK= = .Учир нь:

Адил хажуут 1AKB гурвалжны KH өндөр нь медиантай давхцана. Иймээс

1 1AH HB HM MB HM MB= = + = + гэдэг нь мөрдөн гарна.

2-р арга:

AM хэрчим дээр 2 2B цэгийг AB MB= байхаар тэмдэглэе.

( )2 . 2B цэг нь Aба H цэгийн хооронд оршино зураг −

Тойрог дээр орших A ба B цэгүүдийг KM хөвчийн нэг талд байхаар авъя. Тэгвэл AK=KB болно. Учир нь: 2KAB KBM=V V ( )2тал хоорондох ∠ =

2 2KB KM ба B KM адил хажуут гурвалжин= − .

2B KM −V ны өндөр KH нь медиантай

давхцана.Иймээс 2B M талын дундаж юм.

Эндээс 2 2AN AB B H HM MB= + = + гэж мөрдөн гарна.

3-р арга:

Зураг-3 дээр дүрсэлсэн тохиолдлыг авч үзье. KH цацраг нь тойргийг ,K цэгийг агуулсан AB нум дээр орших L цэгээр огтолно. Харин AM ба LB шулуунууд нь B цэгээр огтлолцоно. ( )AM LBI .

ALK ба BLK∠ ∠ -багтсан өнцгүүд тэнцүү.AKB нумын хагас дээр эдгээр цэгүүд байрлана.

1ALBV -ны өндөр LH нь түүний биссектрис

болно.Учир нь: 1ALBV -адил хажуут гурвалжин юм.Иймд

01 1 1180AH HB ба MBB MBL MAL MB B= ∠ = − ∠ = ∠ = ∠ болно. Иймээс 1MB B -

адил хажуут гурвалжин ба 1MB MB= байна.Эндээс

1 1AH HB HM MB HM MB= = + = + гарна. Эндээс үзэхэд дурын тохиолдолд биелнэ гэдэг нь батлагдав.


ABCD гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн дотор O цэгийг дайруулан ижил радиустай дөрвөн тойргийг ,тойрог бүр нь дөрвөн өнцөгтийн хөрш хоёр талыг шүргэж байхаар багтаав. ABCD дөрвөн өнцөгтийг багтаасан тойрог байгуулж болно гэдгийг батал.

БОДОЛТ:

Тойргийн төвүүдийг 1 1 1 1, , ,A B C D гэе.Эдгээр цэгүүд нь 1OA радиустай O төвтэй тойрог дээр оршино.ABCD дөрвөн өнцөгтийн талууд харгалзан дотор орших 1 1 1 1A B C D дөрвөн өнцөгтийн талуудтай параллель. Иймээс эдгээр дөрвөн өнцөгтийн өнцгүүд харгалзан тэнцүү байна.

1 1 1 1A B C D -багтсан дөрвөн өнцөгт.Багтсан дөрвөн өнцөгтийн эсрэг орших өнцөгүүдийн нийлбэр

0180 -тай тэнцүү гэсэн теорем ёсоор ABCD дөрвөн өнцөгтийн эсрэг орших өнцгүүдийн нийлбэр 0180 байна.Иймд ABCD дөрвөн өнцөгт багтсан гэдэг нь батлагдав.

БОДЛОГО №159

A цэгээс тойрогт AM ба AN гэсэн хоёр шүргэгч татав. M ба N нь шүргэлтийн цэг болно.Мөн A цэгээс огтлогч татав. Уг огтлогч нь тойргийг K ба L цэгт огтолно.

Тэгвэл LM LNMK NK

= гэдгийг батал

БОДОЛТ:

Хөвч ба шүргэгчийн теорем ёсоор:AMK KLM ALM∠ = ∠ = байна. Иймээс

AMK гурвалжин ALMгурвалжинтай төсөөтэй учир LM LNMK NK

= байна.Мөн үүний адилаар

LN ALNK AN

= болно.Эндээс AN=AM .

( ) Тэгвэл LM LNMK NK

= гэдэг нь батлагдав.


Өгсөн A цэгийг дайруулан өгсөн шулууныг B цэгээр шүргэсэн тойрог байгуул.

БОДОЛТ:

B цэгийг дайруулан өгсөн l шулуунд перпендикуляр байхаар m шулуун татъя. Хэрэв A цэг l шулуун ба m шулууны аль нь дээр ч оршихгүй бол олох ёстой тойргийн төв AB хэрчмийн дундажаас босгосон перпендикуляр ба m шулууны огтлолцлын цэг болно.Хэрэв A цэг l шулуун дээр орших ба B цэгтэй давхцахгүй бол бодлого бодох боломжгүй.Харин A цэг нь m шулуун дээр оршидог ба B цэгээс ялгаатай бол байгуулалт нь илэрхий байна.


Өгсөн ABC гурвалжны BP ба CT биссектрисүүд O цэгт огтлолцоно.Тэгвэл A, P, O ба T цэгүүд нэг тойрог дээр орших бол A өнцгийг ол.

БОДОЛТ: ( ) ( )0 0 0 01 1180 180 180 902 2

POT BOC B C A A∠ = ∠ = − ∠ + ∠ = − − ∠ = + ∠

APOT-багтсан дөрвөн өнцөгт гэдгээс: 0180A POT∠ + ∠ = байна.

0 0190 1802

A A∠ + + ∠ = гэж мөрдөн

гарна. 060A∠ = болж батлагдав.


ABCD багтсан дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. AB ба CD талуудын үргэлжлэл нь K цэгт огтлолцоно. ,AB CD K BC AD L= =I I бол BKC-өнцгийн биссектрис ба BLA өнцгийн биссектрис хоёрын хоорондох өнцөг 090 090 байна.

БОДОЛТ:

BKC өнцгийн биссектрис тойргийг P ба R цэгээр огтолно,харин BLA өнцгийн биссектрис Q ба Mцэгээр огтолно.Тэгвэл

,,

AM DQ MB QCDR CP AR BP эсвэл

∪ − ∪ = ∪ − ∪∪ − ∪ = ∪ − ∪

,AM QC BM DQAR CP DR BP

∪ + ∪ = ∪ + ∪∪ + ∪ = ∪ + ∪

болно. Сүүлийн

хоёр тэнцэтгэлээс гаргаж авч болно.

AR AM CP QC BM BP DR DQ∪ + ∪ + ∪ + ∪ = ∪ + ∪ + ∪ + ∪ .Эдгээрийн нийлбэр 0180 байна. PR ба MQ хөвчүүпийн хоорондох өнцөг 090 гэж мөрдөн гарна.


ABCD багтсан дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. ,AB CD K BC AD L= =I I бол BKC ба BLA биссектрисүүд харгалзан AC ба BD талын дундажийг дайрна гэж батал.

БОДОЛТ:

AC ба BD талын дундаж M ба N гэе. ∆ ACKба∆ DBK –ны хоёр өнцөг тэнцүү учир төсөөтэй. MK ба KN –медианууд.Иймээс

,MK AC AKM DKNKN BD

= ∠ = ∠ болно. AKD

өнцгийн биссектрис нь MNK өнцгийн биссектрис болно. Эндээс KMN гурвалжны

MN талыг MK ACKN DB

= харьцаагаар хуваана.

BLA өнцгийн биссектрисийн хувьд мөн адил . MN хэрчмийн тэр цэгийг хоёр биссектрис хоёулаа дайран гарна.

БОДОЛТ:№164

Өгөгдсөн тойргийн диаметр AB дээр C цэг оршино. YC XA⊥ байхаар AB диаметрийн хувьд тэгш хэмтэй X ба Y цэгийг тойрог дээр байгуул.

БОДОЛТ:

X ба Y цэгийг байгуулъя.Тэгвэл 090AXB∠ = болно. Иймээс XB YCP .AB диаметртэй XY хэрчмийн огтлолцсон цэгийг M гэе.Тэгш өнцөгт гурвалжин XMB нь YMC гурвалжинтай тэнцүү.( )катет ба хурц ийн шинжээр∠ −

БОДЛОГО№165

Өгсөн цэгээс тойрогт шүргэгч болон огтлогч татав. Шүргэлтийн цэг тойрог, шулууны огтлолын цэгүүд нь ямар нэг трапецийн оройнууд болно.Шүргэгчүүдийн хоорондох өнцөг 060 бол трапецийн сууриудын харьцааг ол.

БОДОЛТ:

AB DCP . SA ба SC-шүргэгчүүд, SBD -огтлогч , S-өгөгдсөн цэг. AB=x ,CD=y гэж тэмдэглэе. SBC ба SCD гурвалжнууд

төсөөөтэй гэдгээс BC SBDC CS

= мөрдөн гарна.

SBA ба SAD гурвалжнууд төсөөтэй гэдгээс

2

, .

, . .

AB SB байна CS AS гэдгээсAD ASAB BC эсвэл AB DC xy BC Эндээс BC xyAD DC

= =

= ⋅ = = =

Үүний адилаар ∠ 060BCD ADC∠ = ∠ = болно.

P цэг нь ABCD трапецийн CD суурь дээрх B цэгийн проекц .2

y xPC −= .BPC

гурвалжны хувьд 1 , , 1 02 2 2

xyy x x xPC BC эсвэл эсвэлy y

−= = + − =

.Энэ тэгшитгэлээс 3 52

xy

−= гэж гарна


Гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн диагналиуд нь харилцан перпендикуляр. Диагналиудын огтлолцлын цэг нь дөрвөн өнцөгтийн талууд дээрх дөрвөн проекц нэг тойрог дээр оршихыг батал.

БОДОЛТ:

O цэг нь ABCD дөрвөн өнцөгтийн AC ба BD диогналийн огтлолцлын цэг. AB,BC,CD ба AD талууд дээрх O цэгийн проекц M, N ,P, Q байна.Тэгвэл

090QMO QPO QAO QDO∠ + ∠ = ∠ + ∠ = болно.(OD диаметртэй тойрог дээр P ба Q цэг, AO диаметртэй тойрог дээр M ба Q цэг оршино гэдэг нь илэрхий ) Үүний нэгэн адилаар 090 .OMN OPN∠ + ∠ = Иймээс 0180QPN QMN∠ + ∠ = болно.

MNPQ-багтсан дөрвөн өнцөгт гэж батлагдав.


ABC зөв гурвалжны AC тал дээр E цэг оршино. K цэг нь AE хэрчмийн дундаж E цэгийг дайрсан шулуун AB шулуунтай перпенпикуляр байна.

Харин C цэгийг дайрсан шулуун нь BC шулуунтай перпендикуляр бөгөөд D цэгт огтлолцоно. Тэгвэл BKD гурвалжны өнцгүүдийг ол.

БОДОЛТ:

F цэг нь E цэгээс AB талд буулгасан перпендкулярын суурийн цэг. FK нь AFE тэгш өнцөгт гурвалжны медиан. Иймээс

060AKF ба FK BC∠ = P болно.BFKC адил хажуут трапец тойрогт багтана.D цэг энэ тойрогт харьяалагдана.

0

0

0 0 0

180 ,. 90

90 , 60 , 30

BFD BCDBD энэ тойргийн диаметр BCD гэдгээс

BKD BDK BCK KBD

∠ + ∠ =

− ∠ =

∠ = ∠ = ∠ = ∠ =болох нь үнэн.


ABC зөв гурвалжин. AC шулуунтай паралель ямар нэг шулуун нь AB ба BC шулууныг харгалзан M ба P цэгүүдэд огтлолцоно. D цэг нь PMB зөв гурвалжны төв болно. E цэг нь AP хэрчмийн дундаж бол DEC гурвалжны өнцгүүдийг ол.

БОДОЛТ:

I арга:

K цэг BC тал дээрх D цэгийн проекц, Q цэг нь AC тал дээрх B цэгийн проекц, CD диаметртэй тойрог дээр K, D, Q цэгүүд оршино.Тэгвэл

0 0 0

0 0 0 0

90 60 3090 90 60 30

EQD AQD AQEDKE DKC EKC ABC

∠ = ∠ − ∠ = − =

∠ = ∠ − ∠ = − ∠ = − =

DE хэрчим Q ба K цэгээс ижил өнцөгөөр харагдана.Тэгвэл K,D,E,Q цэгүүд энэ тойрог дээр оршино.Иймээс 0 090 , 30DEC DCE DQE∠ = ∠ = ∠ = болно

II арга:

1C цэг нь E цэгийн хувьд тэгш хэмтэй ,C-ийн эх дүр.

1

1 10

1

,

, 150

C DM CDPC M C P MP AC MP BC BP PCMD DP C MD CPD

== − = − = − =

= ∠ = ∠ =

V V

Иймээс 1C D CD∠ = . DE нь 1C DC - зөв гурвалжны медиан мөн түүний өндөр болно.K цэг BP хэрчмийн дундаж цэг. EK нь APB гурвалжны дундаж шугам. E ба K цэгүүд CD диаметртэй тойрог дээр оршино.

0 0 060 , 90 , 30EDC EKC DEC DCE∠ = ∠ = ∠ = ∠ =


Багтсан дөрвөн өнцөгтийн диагналиуд перпендикуляр бол талуудын дундажууд ба диагналиудын огтлолын цэгээс талууд руу буулгасан перпендикуляруудын сууриуд нь нэг тойрог дээр оршино гэдгийг батал.

БОДОЛТ:

E нь өгөгдсөн ABCD дөрвөн өнцөгтийн AC ба BD диогналийн огтлолын цэг. M нь CD тал дээр орших E цэгийн проекц байг.Тэгвэл,ME шулуун AB талтай огтлолцох цэг K нь AB талын дундаж цэг болно гэж баталъя. Үнэндээ:

0 090 90KEB DEM BDC BAC KBE∠ = ∠ = − ∠ = − ∠ = ∠ байна. Иймд BKEV нь адил хажуут,Мөн үүний адилаар KE=KB гэж баталбал K нь AB талын дундаж гэж гарна. Өгсөн дөрвөн өнцөгтийн талуудын дундажууд нь тэгш өнцөгтийн орой болно. ( )1204Бодлого №− − Энэхүү тэгш

өнцөгтийг тойрогт багтаая.Тэгвэл өгөгдсөн дөрвөн өнцөгтийн талуудтай энэхүү тойргийн огтлолцсон цэгүүдээс ,талуудын дунджуудаас ,энэ оройнууд ялгаатай,тойргийг дайрсан диаметр нь ( )ийн диогналь−W тэгш өнцгөөр харагдана.

Нөгөө талаас,өмнө нь баталсанаар өгөгдсөн дөрвөн өнцөгтийн талуудын дундажаас эсрэг орших талууд руу босгосон перпендикуляр нь диогналиудын огтлолцлын цэгийг дайрна.Эндээс өгөгдсөн дөрвөн өнцөгтийн талууд дээрх E цэгийн проекцууд нь бидний авч үзэж байгаа тэгш өнцөгтийг багтаасан тойрог дээр оршино гэж гарна.


Дурын гурвалжны хувьд багтаасан тойргийн диаметрийн проекц нь: 1.гурвалжны нэг талтай перпенпикуляр 2. Хоёр дахь талыг агуулсан 3.гурав дахь талтай тэнцүү гэдгийг батал.

БОДОЛТ:

DE нь ABC гурвалжны AC талд татсан перпендикуляр,багтаасан тойргийн диаметр болно. R нь энэ тойргийн диаметр, LK нь DE диаметрийн BC шулуун дээрх проекц болно. Тэгвэл

sin 2 sin 2 sinLK DE DEK R DEK R BCA AB= ∠ = ∠ = ∠ = байна.


Хэрэв тойрогт багтсан ABCD дөрвөн өнцөгтийн хувьд CD AD BC= + CD AD BC= + тэнцэтгэл биелдэг бол A ба B өнцгүүдийн биссектрисүүд CD тал дээр огтлолцоно гэж батал.

БОДОЛТ:

2 , 2A Bα β∠ = ∠ = гэж тэмдэглэе. ( ).гэеα βp CD хэрчим дээр CP хэрчмийг

( )CP BC= байхаар тасалж авъя. Тэгвэл DP=AD гэдгээс BCP ба APDV V -

адил хажуут. 0

0

180 2 ,180 2 ,

D PAD DPAC CBP CPB

β βα α

∠ = − ∠ = ∠ =

∠ = − ∠ = ∠ = болно. BAD

өнцгийн биссектрис нь AM байг. ( ) ( )M CD M AM CD∈ = I . Мөн түүнчлэн

MAD PADα β∠ = = ∠p байна. M цэг нь P ба D цэгийн хооронд оршино.

0180 2 , 2PMA PBAβ α β α∠ = − + ∠ = − учраас 0180PMA PBA∠ + ∠ = байна. Мөн P,M,A,B

цэгүүд нэг тойрог дээр оршино гэдэг нь PBM PAM β α∠ = ∠ = − гэсэн үг юм.

Эндээс 12

CBM CBP PBM CBAα β α β∠ = ∠ + ∠ = + − = = ∠ гэж гарна. Өөрөөр

хэлбэл: BM нь CBA өнцгийн биссектрис болно.


KL хэрчим нь ямар нэг тойргийн диаметр болно.Түүний K ба L –ийн төгсгөлүүдийг дайруулан KL шулууны нэг талд орших ,уг тойргийг харгалзан P ба Q цэгээр огтолж байхаар хоёр шулуун татав. Хэрэв 060PKL∠ = ба KP ба LQ шулуунуудын огтлолцлын цэг нь P ба Q цэгээс нэг зайнд орших бол тойргийн радиусыг ол.

БОДОЛТ:

KP LQ M=I байг.Тэгвэл M цэг тойрог дээр орших боломжгүй.

Хэрэв M цэг нь тойргийн дотор орших бол KM MP LM MQ=g g байх учир KM=ML байна.Энэ үед

KMLV нь адил талт болно.Түүний өндөр KQ нь медиан болно.Эндээс 2 2KL ML MQ= = = гэж гарах ба олох ёстой радиус нь 1 гэж гарна.


Дурын ABC гурвалжны хувьд BC талын дундаж цэг нь уг гурвалжны өндрүүдийн огтлолцлын цэг ба A оройн тойргийн төвийн хувьд тэгш хэмтэй орших цэгийг холбосон хэрчим дээр орших бөгөөд уг эрчмийг таллан хуваана гэдгийг батал.

БОДОЛТ:

1AA -багтаасан тойргийн диаметр байг.H- ABC гурвалжны

өндрүүдийн огтлолцлын цэг.Тэгвэл: 1 1,AC BH A B CHP P

болох учир 1HBAC дөрвөн өнцөгт нь ялгаатай болно.Эндээс BC диогналийн

дундаж цэг нь 1HA диогналь дээр орших ба түүнийг хагаслан хуваана


Өндрийн сууриуд,талуудын дундажууд ,орто төвөөс орой хүртэлх утгуудын дундажууд ( тойргийн 9 цэг ) бүгд тойрог дээр оршино гэж батал.

БОДОЛТ:

I арга:H- ABC гурвалжны өндрүүдийн огтлолын цэг буюу орто төв,. 1, 1, 1A B C нь BC, AC, AB талуудын дундаж цэг. 2, 2, 2A B C − өндрүүдийн

суурийн цэг.A,B,C,оройгоос буусан өндрүүд AH,BH,CH хэрчмүүдийн дундажийг харгалзан

3 3 3, ,A B C гэж тэмдэглэе.Тэгвэл 1 1C B нь 2AA хэрчмийн дундажид пердендикуляр байна.Иймээс 1 2 1 1 1 1C A B BAC C A B∠ = ∠ = ∠

байна.Эндээс үзвэл 2 1 1 1A A B C цэгүүд нэг тойрог дээр оршино.( 1 1 2 1C B нь A ба A цэгээс ижил

өнцөгөөр харагдана). Мөн 2 1 1 1, ,B A B C - цэгүүд нэг

тойрог дээр орших ба 2 1 1 1, , ,C A B C -цэгүүд ч мөн энэ тойрог дээр оршино. Үүний адилаар A

1 1 1 2 2 2, , , , ,A B C A B C - цэгүүд нэг тойрог дээр

оршино.Одоо 3 3 3, ,A B C -цэгүүдийг нэг тойрог дээр оршино гэдгийг баталъя.Үнэндээ (зураг-1)-аас харвал B ба C өнцөгүүд хурц өнцөг.

0 03 1 3 3 3 3180 180B A C BHC BAC B A C∠ = ∠ = − ∠ = − ∠

болно.

B-өнцөг мохоо бол 3 1 3 3 3 3B AC BHC BAC B A C∠ = ∠ = ∠ = ∠ байна.Нэг

тойрог дээр орших дурын 3 3 1 3, , ,A B A C цэгүүд олдоно. 1 1B ба C цэгийг үүний адилаар

олж болно.Эндээс тойргууд давхцах нь илэрхий юм.O цэг нь ABC –ыг багтаасан

тойргийн төв байна.Тэгвэл 1 312

OA AH HA= = ( бодлого-1257 ) . 01 2 3 1 390A A A A A∠ = -

тойргийн диаметр бөгөөд 9 цэгийн 2 нь юм. Q цэг - 1 3A A диаметрийн OH

хэрчимтэй огтлолцсон цэг. Q цэг - 1 3OA HA параллелограммын диогналь

1 3OH ба A A -ын огтлолцлын цэг. Q цэг- 1 3A A диогналь ба OH хэрчмийн дундажийн ерөнхий цэг.Үнэндээ OH хэрчмийн дундаж цэг бол тойргийн төв болох ба 9 цэгийн нэг.

II арга:

ABC гурвалжны өндрүүд 2 2 2,AA BB ба CC байг.(зураг-3 ).Тойрогт багтсан ABC гурвалжны талын хувьд орто төв H-аас тэгш хэмтэй хэд хэдэн цэг олдоно.

M A,HB ба HC хэрчмийн дундажийг 3 3 3,A B ба C

3 3 3,A B ба C цэгүүд дайрах ба 2 2 2A B CV багтаасан тойрог дээр оршино.Гомотетээр A,B ба C оройн цэгүүд хэвээр хадгалагдана.ABC гурвалжинд багтсан тойрог дээр 1 1 1,A B ба C 1 1 1,A B ба C цэгүүдорших ба ортр H-ийн хувьдтэгш хэмтэй цэгүүд болно.


ABC гурвалжинд AK биссектрис татав.ABK гурвалжинд багтсан тойргийн төв ба ABK гурвалжныг багтаасан тойргийн төвүүд давхцдаг бол ABC гурвалжны өндрүүдийг ол.

БОДОЛТ:

O тойргийн төв. F нь AK цацрагийн багтаасан тойрогтой огтлолцох цэг байг. Тэгвэл A цэгийг дайрсан AF ба AB цацрагууд диаметртэй адилхан өнцгүүд үүсгэнэ гэдгээс FAB гурвалжин адил хажуут болно.

( )0

0 0 0

, 4 , 90

180 2 90 90 ,

2 2 2

BAO гэвэл OAF BAC ACB AFB

AKC

ABC ABO BAO

α α α α

α α α

α

∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = −

∠ = − − − = −

∠ = ∠ = ∠ −

болох ба 090 4AKC ABC BAKα α− = ∠ = ∠ + ∠ = болж 018α = байна гэж мөрдөн гарна. .


Тойрогт багтсан ABC гурвалжны A өнцгийн биссектрис тойргийг K цэгт огтолно. AB талд буулгасан AK проекц нь AB ба AC талуудын нийлбэрийн хэгастай тэнцүү гэж батал.

БОДОЛТ:

,AC AB≥ байг. F-нь AB шулуун дээрх K цэгийн проекц . AP хэрчмийг AC цацраг дээр AB –тэй тэнцүү байхаар таслав.AC дээрх K цэгийн проекцийг 1K гэе.Эндээс CAK KAB∠ = ∠ ба APK ABK=V V болно. (ТӨТ-

ийн шинжээр) Иймд PK=KB=KC байна.Тэгвэл 1K цэг PC талын дугдаж болно.

1AK K AFK=V V гэдгээс 1AK AF= болно.Тэгвэл 1 2 2AC AP AC ABAK + +

= = болж

батлагдав.


Хоёр тойрог A ба B цэгт огтлолцжээ .I тойргийн K цэгээс A ба B цэгүүдийг дайруулан KA ба KB шулууныг татахад II тойргийг P ба Q цэгт огтолжээ. PQ хөвч I тойргийн KM диаметрт перпендикуляр гэдгийг батал.

БОДОЛТ:

KB цацрагийн үргэлжлэл дээр Q цэгийг авъя. I тойрогт KF шүргэгч татъя.Тэгвэл KF нь KM диаметрт перпендикуляр ба

AKF ABK APQ∠ = ∠ = ∠ байна. ИймдKF PQP болно.Эндээс KM диаметрт PQ шулуун перпендикуляр гэдэг нь үнэн.


Тойрогт ABC хурц өнцөгт гурвалжин багтжээ. A ба C цэгээс татсан шүргэгч нь B цэгээс татсан шүргэгчтэй харгалзан M ба N цэгт огтлолцоно. ABC гурвалжинд BP өндөр татав. MPN өнцгийн биссектрис нь BP болно гэдгийг батал.

БОДОЛТ:

, , ,AB c BC a BAC BCAα γ= = ∠ = ∠ = байг.Шүргэгч ба хөвчийн хоорондох өнцгийн теорем ёсоор ,BAM ABM ACB BCN CBN BACγ α∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = болно. Тэгвэл

, cos , cos , ,2 cos 2 cos

a cMAP NCP AP c CP a NC MAα γ α γα γ

∠ = + = ∠ = ⋅ = ⋅ = = болно.

Иймээс coscos

AP MACP NC

αγ

= = байна.α AMP гурвалжин CNP гурвалжинтай төсөөтэй

гэдгээс ,APM CPN MPB NPB∠ = ∠ ∠ = ∠ үнэн.


Хурц өнцөгт ABC гурвалжинд BD ба CE өндрүүд татав. B ба C оройгоос ED шулуунд BF ба CG өндөр татав. EF DG= батал.

БОДОЛТ:

D ба E цэгийг BC хэрчимтэй холбоход тэгш өнцөг үүснэ. Тэгвэл BC талын дундаж O төвтэй тойрог дээр B ,C,D, ба E цэгүүд оршино.H нь BC сууриас O цэгийг дайруулж DE талд оршихоор босгосон перпендикулярын цэг. Эндээс DH=HE(хөвч дэхь перпендикуляр нь түүнийг хагаслан хуваана) ба GH HF= байна.OH нь .BFGH трапецийн дундаж шугам . Эндээс EF=DG гэж гарна.


BC ба AD суурьтай ABCD трапецын AB ба CD талууд дээр K ба M цэгийг сонгон авчээ. BAM CDK=R R бол BMA CKD=R R болохыг батал.

БОДОЛТ:

A,K,M,D цэгүүд нэг тойрог дээр оршино.Иймээс 0 0180 , 180KMD KAD KBC KMC KBC∠ = − ∠ = ∠ ∠ + ∠ =

байна.K,B,C,M цэгүүд нэг тойрог дээр оршино гэдгээс

( )0180CKD CKM MKD CBM MAD

BAM MBA BMA∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ =

= − ∠ + ∠ = ∠ гэж

мөрдөн гарна.


Тойрог багтсан ABC гурвалжны A өнцгийн биссектрис тойргийг K цэгт огтолно. AB талд буулгасан AK -ийн проекц нь AB ба AC талуудын нийлбэрийн хагастай тэнцүү гэж батал.


Хоёр тойрог A ба B цэгт огтлолцжээ. I тойргийн K цэгээс A ба B цэгүүдийг дайруулан KA ба KB шулууныг татахад 2 тойргийг P ба Q цэгт огтолжээ. PQ хөвч I тойргийн KM диаметрт перпендикуляр гэдгийг батал.


Тойрогт ABC хурц өнцөгт гурвалжин багтжээ. A ба C цэгээс татсан шүргэгч нь B цэгээс татсан шүргэгчтэй харгалзан M ба N цэгт огтлолцоно. ABC гурвалжинд BP өндөр татав. MPN өнцгийн биссектрис нь BP болно гэдгийг батал.


Хурц өнцөгт ABC гурвалжинд BD ба CE өндрүүд татав. B ба C оройгоос ED шулуунд BF ба CG өндөр татав. EF DG= гэж батал.


BC ба AD суурьтай ABCD трапецын AB ба CD талууд дээр K ба M цэгийг сонгон авчээ. BAM CDK=R R бол BMA CKD=R R болохыг батал.

Documents

Бодлого 151 - niislelmath.files.wordpress.com · олох ёстой тойргийн төв AB хэрчмийн дундажаас босгосон перпендикуляр