Grado 9 El Numero e

Area: MATEMATICAS PERIODO: III

Docente: Luis Cuesta Grado: 9 A

Tema: Talleres Fecha: _______________.

9.3 EL NUMERO e Y LA FUNCIN f (x)=ex En la prctica, las funciones exponenciales se denominan FUNCIONES DE CRECIMIENTO ya que su uso ms extenso est en la descripcin de distintos tipos de fenmenos de crecimiento (o decrecimiento). Estas funciones se usan para describir entre otros fenmenos, como los siguientes: a) Crecimiento de poblaciones de personas. b) Crecimiento de poblaciones de bacterias. c) Disminucin en la temperatura de un cuerpo cuando se enfra. d) Aumento de dinero colocado a inters. e) Descenso de la presin atmosfrica cuando aumenta la altura. f) Desintegracin de sustancias radioactivas. Aunque las bases 2 y1 son tiles para comprender el concepto de funcin exponencial, en la 2

prctica la funcin exponencial de mayor aplicacin es aquella que tiene por base el nmero irracional e = 2.71828...; es decir, la funcin.- f(x) = ex, denominado FUNCIN EXPONENCIAL NATURAL. Puesto que 2 < e < 3, la grfica de f(x) = ex se encuentra entre las grficas de y = 2x y y = 3x:

Las calculadoras poseen la tecla ex que permite obtener valores de esta funcin. Por ejemplo, para calcular e-2, ingresamos -2 en la calculadora; luego, presionamos las teclas e x y = ; as. 2 e x y = 0,1353 Ejemplo 1: En un cierto cultivo bacteriano, el nmero de bacterias presentes a los t minutos se obtiene mediante el modelo exponencial de crecimiento: f(t) = A e0,04t (1) donde A es una constante. Si inicialmente hay 1500 bacterias presentes, cuntas habr despus de 1 hora? Solucin: Como inicialmente hay 1500 bacterias presentes en el cultivo, entonces f(0) = 1500. Por lo tanto: f (0) = A e0,0480) 1500 = A e0 A = 1500 Reemplazando este valor en la ecuacin (1) nos queda: f(t) = 1500e0,04t1




Como el tiempo t en la ecuacin (1) est dado en minutos y nos piden hallar el total de bacterias al cabo de 1 hora = 60 minutos, entonces debemos calcular f(60): f(60) = 1500e0,04(60) = e2,4 (Recordemos como calcular e2,4: 2,4 e x = ) f(60) = 1500(11.023) f(60) = 16.535 f(60) Por lo tanto, despus de 1 hora hay 16.535 bacterias en el cultivo. Ejemplo 2: Una sustancia radiactiva tiene inicialmente 500 gramos. Dicha sustancia se va desintegrando y en un instante determinado la cantidad de sustancia presente est dada por la ecuacin: f(t) = 500 e-ao5t, t est dado en horas. Cunta sustancia queda despus de 4 horas? Solucin: Al cabo de 4 horas, la sustancia que queda es: f(4) = 500 e'a5l4) = 500 e'a2 = 409,4 gramos

EJERCICIO 9.2 En los ejercicios 1. a 6., usa las leyes de los exponentes para hallar el valor numrico de cada una de las expresiones dadas:

1) 5 4)

( )2

2

2) 7 3 + 7 2

3) 3 2 6)

( )

1

35

2

91+ 2 32 2 2 5 27 En los ejercicios 7. a 12. dibujar a mano y usando DERIVE, la grfica de cada una de las funciones exponenciales dadas. 7) {(x, y) / y=5x} 8) {(x, y) / y=5-x} 9) {(x, y) / y=(1/5)x} 10) {(x, y) / y=3x/2} 11) {(x, y) / y=32-x} 12) {(x, y) / y=2x + 2-x}13) Si f(x) = 2X y g(x) = x2, ilustra las diferencias de los crecimientos de f y g, para x 0, dibujando las grficas de ambas funciones en el mismo plano coordenado. En los ejercicios 14. a 19., halla la solucin de cada una de las ecuaciones exponenciales dadas: 14)54x= 1252x-3 15) 49 x = 7 x 3 16) 9 x = 38 x 8 17)103x-6 = 0,000001 18)ex-1= e3 19)ex-1= 12 2

5)

272

2 125

2

En los ejercicios 20. a 23., halla la base a de una funcin exponencial f(x) = ax que pasa por el punto dado: 20 (3,216) 21)(-1, 5) 22(-l, e2) 23)(2, e)

En los ejercicios 24. a 31., utiliza una calculadora para hallar el valor de cada cantidad, con cuatro cifras decimales:

2




24)4

3

25)2 e 29) 5 + 5

26)8 30)53

7

27)6 31) e

2 e 0 , 64

28)e 0,02589

4

( )

32) Halla el rea de la regin sombreada de la figura siguiente:

33) Sea f la funcin definida por: f (n) = 1 + donde n es un entero positivo. Completa la tabla siguiente y verifica que f(n) toma valores prximos a e cuando n crece indefinidamente. n f(n) 1 2,0000000 10 2,5937425 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 34) El nmero de bacterias en un cultivo despus de t horas est dado por la ecuacin b(t) = 200 e-0,25t a) Cul es el nmero inicial de bacterias? b) Encuentra el nmero de bacterias en el cultivo despus de 20 horas. c) Completa la siguiente tabla: t 1 4 8 10 b(t) 35) El valor de un cierto objeto t aos despus de su compra es V(t) = k e-0,3t donde k es una constante. Si el objeto se compr hace 8 aos en $100.000, cul es su valor actual?

1 n

n

36) La presin atmosfrica P por pie cuadrado a una altura de h pies sobre el nivel del mar est dada por la ecuacin exponencial P(h) = k e-0,00003h, donde k es una constante. Si la presin atmosfrica al nivel del mar es 2.116 libras por pie cuadrado, determina la presin atmosfrica que acta sobre un3




avin que vuela a una altura de 10.000 pies. 37) Una obra de arte antigua fue comprada en 1922 por $200.000 y su valor se ha duplicado cada diez aos desde su compra. Se pide: a) Halla f(t), sabiendo que f(t) es el valor de la obra de arte t aos despus de su compra. b) Determina el valor de la obra de arte en 1982. 38) La eficiencia de un obrero comn de una cierta fbrica est dada por la funcin definida por f(t) = 100 - 60 e-0,2t, donde f indica el nmero de unidades de un producto que el obrero puede empacar por da despus de haber trabajado t meses. Se pide: a) Dibujar la grfica de f y observar su comportamiento cuando t crece sin limitacin. b) Determinar cuntas unidades puede completar un obrero principiante. c) Determinar cuntas unidades por da puede completar un trabajador con un ao de experiencia. d) Determinar cuntas unidades por da puede esperarse que produzca un obrero. 39) El nmero de bacterias de cierto cultivo aument de 500 a 1500 entre las 8 a.m. y las 10 a.m. Si t horas despus de las 8 a.m., el nmero de bacterias es b(t) = 500(3)t/2. Se pide: a) Calcular el nmero de bacterias presentes en el cultivo a las 9 a.m., a las 10 a.m. y a las 12 m. b) Dibujar la grfica de b.

DIVIRTETE MIENTRAS PIENSAS Si x es un nmero entre 0 y 1 (0 < x < 1), el menor de los siguientes nmeros es:a) 12x 25 b) 12x 27 c) 12 25x d) 13 27x e)12x

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