Area: MATEMATICAS Docente: Luis Cuesta Tema: Talleres PERIODO: III Grado: 9ºA Fecha: _______________.

Nombre: ________________________________________________ 9.1 HISTORIA DEL ALGEBRA (19): EVARISTE GALOIS

En álgebra, el concepto de grupo fue sin duda el que ejerció una fuerza de cohesión más importante, a la vez que era uno de los factores esenciales que promovieron la aparición y el rápido desarrollo de los conceptos abstractos. Ningún matemático en particular puede considerarse como el responsable del origen de la idea de grupo, pero la figura que se nos presenta inevitablemente como la más importante en este contexto es la del hombre que dio su nombre a este concepto, el joven Evariste Galois (1811 -1832), quien murió trágicamente antes de cumplir los 21 años.

Galois nació en las cercanías de París, en el pequeño poblado de Bourg -la Reine, donde su padre era alcalde. Sus padres tenían una sólida formación

cultural y Evariste aprendió de ellos a despreciar cualquier forma de tiranía. A los 12 años ingresó en el Liceo de Louis -Legrand de París, regentado por un director que más que un maestro era un carcelero. A los 13 años aburrido e incomprendido por sus profesores, asistió al curso regular de matemáticas. La espléndida Geometría de Legendre abrió su camino. Leyó el libro del comienzo hasta el fin con la misma facilidad que un muchacho lee un libro de aventuras. Era tal su capacidad matemática y su posición contestataria con respecto a sus maestros del liceo que uno de éstos afirmó: "la locura matemática domina a este muchacho. Pienso que sus padres debían dedicarle tan sólo a las matemáticas. Aquí está perdiendo el tiempo y todo lo que hace es atormentar a sus maestros y perturbarse".

A los 16 años comenzó su carrera de descubrimiento fundamentales. Presentó los exámenes de ingreso a la famosa École Polytechnique, lugar donde se habían formado tantos matemáticos famosos, pero fue rechazado debido a su falta de preparación sistemática. Se trataba sólo de su primero y amargo fracaso. Sin embargo, a los 17 años Galois desarrolló por escrito sus descubrimientos fundamentales en un artículo que entregó a Cauchy para que lo presentara a la Academia de Ciencias de París. Esta vez, Cauchy no sólo puso el artículo en algún lugar que luego no recordaba, como lo hizo antes con un importante trabajo de Abel, sino que ¡perdió el artículo! (se estaba haciendo un verdadero especialista en estas técnicas). Ahora Galois ya tenía motivos para odiar, no sólo a los profesores examinadores, sino también a los académicos.

A los 18 años dos hechos intensificaron su amargura y decepción: un segundo fracaso en su intento por ingresara la Polytechnique y el suicidio de su padre a causa de sentirse perseguido por intrigas clericales. Por fin.en 1830, a la edad de 19 años, Galois consigue entrar al fin al Poly y recopila una serie de investigaciones que entregó a Fouriec secretario de la Academia de Ciencias quien las llevó a su casa para leerlas en calma, pero desgraciadamente murió poco después y este segundo trabajo se perdió también irremediablemente.

En 1831 y 1832, completamente decepcionado, participa en actividades revolucionarias antimonárquicas, es encarcelado y absuelto. En mayo de 1832, fue retado a duelo a raíz de una pelea con una novia. Los días previos al duelo los dedicó Galois a escribir teorías matemáticas que aún estaban sólo en su cabeza, en una larga carta dirigida a su amigo Augusto Chevalier. La carta termina con estas palabras: "Después de esto habrá, espero, gente para la que será provechoso, descifrar todo este enredo. Te abrazo con efusión. Evaristo".A primera hora de la mañana del 30 de mayo de 1832, Galois se enfrentó a su adversario en duelo a

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Nombre: ________________________________________________ pistola. Recibió un disparo que le perforó los intestinos, murió horas después en el hospital local en brazos de un hermano. En 1846 se publicaron postumamente todos sus manuscritos gracias a la insisitencia de su hermano y de su amigo Augusto.

EJERCICIO 9.1Lee nuevamente el texto anterior y luego encierra en un círculo, la letra que corresponda a la

respuesta correcta:1. Caracteriza a Evariste Galois:

a. Su pasión por los duelos.b. Su perseverancia. c. El afán por alcanzar la gloria. d. El profundo conocimiento que tiene del ser humano.

2. Rodea la vida de este joven matemático:a. Un permanente rechazo por la sociedad de su época.b. Los traumas síquicos que le ocasionan las matemáticas.c. El asedio constante de las mujeres.d. La tragedia y el infortunio.

3. Evariste Galois provenía de:a. Padres de escasa formación humanística.b. Una rancia familia de la realeza parisina.c. Un hogar provinciano culto y de sólidos principios humanos.d. Una familia de políticos y matemáticos.

4. El tema central más exacto del fragmento es:a. La relación cronológica de los eventos familiares y académicos en la vida de Evariste Galois.b. Los descubrimientos matemáticos de Galois.c. Las causas de la muerte de un gran matemático.d. Observaciones y comentarios de un hombre de ciencia.

5. De la lectura del fragmento anterior se puede inferir que:a. La práctica de la matemática exige una renuncia a la vida afectiva.b. La ciencia y la locura "caminan de la mano".c. Galois fue uno de esos genios persistentes que no retrocedían ante las dificultades.d. La soberbia y el orgullo acabaron con un hombre de letras.

9.2 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

PRIMERA EXPERIENCIA: Observemos las ecuaciones que nos muestran las listas A y B y escribamos las diferencias y similitudes entre ellas:

Columna A Columna B

y = x2 y = 2x

y = x-5

y = ( 15 )x

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Nombre: ________________________________________________

y = x2/3 y = ( 23 )x

y = x4 y = 4x

Un análisis detenido de las dos columnas nos permite identificar estas similitudes:a) El lado izquierdo de cada igualdad es el mismo: y.b) En ambas columnas, el lado derecho de cada igualdad está escrito en forma de potencia.

Así mismo, podemos detectar la siguiente diferencia fundamental: mientras en la columna A, la basede la potencia es x y el exponente es un número racional; en la columna B, la base es un númeroracional positivo y el exponente es la incógnita x.

Por esta razón, las ecuaciones de la columna B se denominan ECUACIONES EXPONENCIALES.

SEGUNDA EXPERIENCIA Un científico desea estudiar cómo varía el número de bacterias

presente en un cultivo, al cabo de cierto tiempo. Un científico descubre que, mientras las condiciones sean

favorables, el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique no depende del momento en que se empieza el experimento; además, el número de bacterias se triplica diariamente.

Un día cualquiera, el científico se dio cuenta que el cultivo tenía 500 bacterias. ¿Cuál es el número de bacterias presente en el cultivo al cabo de t días?

Para resolver el problema, el científico razonó así:El día que comenzó la observación…….. 500 bacteriasUn día después…………………………… (3) * (500 bacterias)Dos días después………………………… (3)*((3)*(500 bacterias)) = (32)*(500 bacterias)Tres días después………………………… 3*(32*500 bacterias) = (33)*(500 bacterias) : :t días después………………………………3*(3t-1*500) = (3t)*(500 bacterias)

Por lo tanto, después de t días, el número B de bacterias presentes en el cultivo puede calcularse mediante la ecuación: B = 500 * 3t

Como vemos, en esta ecuación la incógnita t aparece como EXPONENTE. Por esta razón, se denomina ECUACIÓN EXPONENCIAL.

APRENDAMOS: DEFINICIÓN DE ECUACIÓN EXPONENCIALUna ecuación en la cual la incógnita aparece como exponente se denomina ECUACIÓN EXPONENCIAL.APRENDAMOS: Las calculadoras científicas poseen la tecla yx con la cual podemos calcular el valor de cantidades como 41,3''5; así: ingresamos la base

(41,3), oprimimos la tecla yx, ingresamos el exponente (1,5), oprimimos la tecla

= y leemos en pantalla 265,4147641; es decir, para calcular 41, 31,5 = 265,4147641 Procedemos

así: 41,3 yx 1,5 = 265,4147641.

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Nombre: ________________________________________________ TERCERA EXPERIENCIAConsideramos ahora la ecuación exponencial y = 2x.En la unidad seis estudiamos que si x es un número racional, entonces existe un resultado para 2X

por ejemplo:

Si x = -2, entonces y = 2-2 =

1

22 =

14

Si x = O, entonces y = 20 = 1

Si x =

32 , entonces y = 23/2 = √23=2√2≈¿ ¿2,82

Pero, si x es un número irracional como V2~, V3~ o n, entonces 2X no está definido (por ahora). La definición de 2X, cuando x es un número irracional requiere de conocimientos de cálculo que no están al alcance de este texto. Sin embargo, podemos tener una idea general bastante buena acerca de este concepto, estudiando la gráfica de la ecuación exponencial y = 2*. Elaboremos, pues, una tabla de valores y dibujemos la gráfica respectiva:

Notemos que los puntos parecen quedar sobre una curva "suave" y siempre que x tome valores racionales podremos comprobar que los puntos están sobre la curva. Sin embargo, si nuestra elección se restringe sólo a números racionales, entonces la gráfica de y = 2" nunca será la curva suave de la figura, sino que mostrará un número infinito de "huecos", correspondientes cada uno de ellos a un valor irracional de x. Por lo tanto, si queremos que la gráfica de esta ecuación no presente "huecos" (en el lenguaje matemático se dice que sea CONTINUA), supondremos que para cada valor de x real (racional o irracional), 2X

es la segunda componente del punto respectivo de la curva. Con esta condición, es claro que para cada x e R existe uno y sólo un número real y tal

que y = 2". Esto significa que la ecuación y = 2X define una función f = {(x, y) / y = 2X} cuyo dominio es el conjunto de los números reales. Esta función se denomina FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE 2.

En general:

APRENDAMOSDEFINICIÓN DE FUNCIÓN EXPONENCIAL: Sea a cualquier número real positivo diferente de 1 y x cualquier número real, entonces la función f definida

X 2x

-318

-214

-112

0 1

1 2

2 4

3 8

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Nombre: ________________________________________________ por la regla:f (x) = ax se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a.

1. Si a>1, la gráfica de cualquier función de la forma f(x) = ax se parece mucho a la gráfica de f(x) = 2x. Un estudio detenido de esta gráfica nos permite sacar algunas conclusiones importantes:

El rango de esta función es el conjunto R+ de los reales positivos; es decir, ax > 0 para todo x ∈R.

Si x = 0, entonces ax = 1: la gráfica corta al eje y en el punto (O, 1). Si x > 0 entonces ax > 1. Si x < 0 entonces 0 < ax < I. A medida que x crece, también ax crece; es decir, la función f(x) = ax es creciente cuando a >

1.2. Si O < a < 1, la gráfica de f(x) = ax tendrá una forma distinta. Por ejemplo, dibujemos la gráfica

X ( 12 )x

X

-3 ( 12 )−3

= 8

-2 ( 12 )−2

= 4

-1 ( 12 )−1

=2

0 ( 12 )0

=1

1 ( 12 )1

=12

2 ( 12 )2

=14

3 ( 12 )3

=18

• El rango de la función es el conjunto de los números reales positivos.• Si x = 0, entonces ax = 1• Si x > 0, entonces 0 < ax < 1• Si x < 0, entonces ax > 1• A medida que x crece, ax decrece; es decir, y = ax es decreciente cuando 0 < a < 1.

3. Cuando a = 1, la función {(x, y) / y = 1x = 1} no se considera como función exponencial y, enrealidad, es una función constante.4. La función exponencial es uno a uno. Esto significa que si trazamos una recta paralela a! eje x,y por encima de él, dicha recta corta a la curva exactamente en un punto:

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Nombre: ________________________________________________

Esto significa que: Si ax = ay entonces x = y5. Las leyes de los exponentes también se verifican cuando el exponente es un número irracional. En efecto:

a) am • an = am+n b) (am)n = amn c) am/an = am-n

d) (a•b)m = am • bm e) (a/b)m = am/bm

Ejemplo 1:

a )2√5⋅23=2√5+3 b )5√3 /5√2=5√3−√2 c ) [ (√7 )4 ]−p=(√7 )−4 p=7−2 pEjemplo 2: Resolvamos la ecuación 3X = 27Solución: 3X = 27………..ecuación dada Donde 3X = 33……….. ¿por qué? Donde x = 3………….. ya que si ax = ay entonces x = y

Ejemplo 3: La gráfica de cierta función exponencial contiene el punto (2,

19 ). ¿Cuál es la base de

esta función?Solución: Como la función es exponencial, sabemos que su ecuación tiene la forma f(x) = ax.

Además, sabemos que:

∴ f (2 )=a2=19

∴ a2=19

∴ (a2 )12=(19 )

12

∴ a=√19 =13

Luego, y = f(x) = ( 13 )

x

y = 4