Grado en IIAA y Grado en IHJAsignatura: Estadística Aplicada. Curso 2013-2014

FEBRERO 2014

NOMBRE:...................................................APELLIDOS:..................................................ESPECIALIDAD:.................................................................................................................

1. [0.5 puntos] Cierto establecimiento de un centro comercial está estudiando la relación existente entre elnúmero de clientes que diariamente entran en el mismo () y las ventas realizadas (, en cientos de euros).Para ello, durante 25 días seleccionados al azar de los últimos dos meses se han observado ambas variablesobteniendo la siguiente información muestral:P

= 3950P

2 = 659500P

= 2700P

2 = 306000P

· = 448000

A partir de estos datos se pide:

(a) Determinar la recta de regresión de mínimos cuadrados que permite explicar las ventas del comercioen función del número de clientes que entran en el mismo al día. Dar una medida de la bondad delajuste realizado.

(b) Si aumenta el número de clientes que diariamente entran en el establecimiento, ¿cual es el efecto enlas ventas realizadas? Justificar la respuesta en función del resultado obtenido.

2. [0.75 puntos] En una determinada cooperativa se comercializa la producción de brócoli de la zona.Teniendo en cuenta el ciclo de formación de la pella desde la siembra a la madurez, se dividen en lasvariedades temprana, intermedia y tardía. El 38% de la producción es de la variedad temprana y laproducción de la variedad tardía es un cuarto de la producción de la variedad intermedia. Por experienciasprevias, se sabe que la probabilidad de que en la variedad temprana aparezcan manchas en las hojas de laplanta es del 0.10 y la probabilidad de que en la variedad intermedia no aparezcan manchas en las hojasde la planta es del 85%. Además, se sabe que el 3.72% de la producción es de la variedad tardía y presentamanchas en las hojas de la planta. Se pide:

(a) Calcular la probabilidad de que elegida una planta de brócoli al azar no presente manchas en lashojas de la planta.

(b) Si una planta de brócoli presenta manchas en las hojas, determinar la probabilidad de que sea de lavariedad temprana o tardía.

(c) Determinar la probabilidad de que la planta de brócoli sea de la variedad temprana o tardía y nopresente manchas en las hojas.

3. [1 punto] El tiempo de vida de la batería de una cosechadora se comporta como una variable aleatoria con función de densidad:

() =

½(3− )22, si ∈ (0 3)0, en otro caso

donde x representa los años. Se pìde:

(a) Determinar el valor de para que () sea verdaderamente una función de densidad. (0.25 puntos)

(b) Determinar la función de distribución de la v.a. . (0.5 puntos)

(c) Determinar la probabilidad de que la batería dure al menos 2 años. (0.25 puntos)

1

4. [1.25 puntos] En una línea de producción, en ocasiones es necesario interrumpir el proceso productivodebido a fallos de la maquinaria, de los operarios, de la mataria prima, etc. Se sabe que el número deinterrupciones del proceso productivo que se da a lo largo de una semana (5 días) sigue una distribución dePoisson de media 4 y, por lo tanto, el tiempo (en días) entre interrupciones consecutivas es una exponencialde media igual a 1.25. Se pide:

(a) Probabilidad de que en una semana se produzca más de una interrupción del proceso productivo.(0.25 puntos)

(b) Calcular el número medio de interrupciones que se produce del proceso productivo a lo largo de unmes (4 semanas). (0.25 puntos)

(c) Probabilidad de que el tiempo entre dos interrupciones consecutivas sea mayor a 4 días. (0.25puntos)

(d) Si han pasado 2 días y el proceso no se ha interrumpido todavía, ¿cuál es la probabilidad de tenerque esperar al menos otros 2 días más para que se produzca la nueva parada del proceso productivo?(0.5 puntos)

5. [1.25 puntos] El diámetro del grano de maíz de cierta variedad se distribuye aleatoriamente con mediaigua a 9 mm. y con desviación típica igual a 1.2 mm.

(a) ¿Podrías dar una cota de la probabilidad de que el diámetro del grano de maíz no se encuentre en elintervalo [7.32,10.68]. Razonar la respuesta.(0.25 puntos)

(b) Supongamos a partir de ahora, que el diámetro del grano de maíz de esta variedad se distribuyesegún una variable aleatoria normal de media 9 mm. y de desviación típica 1.2 mm.

(b1) Determinar la probabilidad de que el grano de maíz de esta variedad pase a través de un tamizde malla cuyo diámetro es igual a 8.5 mm.(0.25 puntos)

(b2) Si por medio de dicho tamiz zarandeamos 2000 granos de maíz elegidos al azar, determinar laprobabilidad de que pasen a traves del tamiz al menos 650 granos.(0.5 puntos)

(b3) ¿Cuánto tiene que valer el diámetro de la malla del tamiz para que al menos retenga el 90% delos granos de esta variedad de maíz? (0.25 puntos)

6. [1.25 puntos] El espárrago es una planta perenne cuyo cultivo comercial puede tener una duración de15 años y su implantación es costosa. Dada la extensión del sistema radicular, la profundidad del sueloes fundamental, considerándose indispensable contar con un promedio superior a 80 cm. de sustratopermeable. Para validar la aptitud de cierto campo de cultivo, se realizan 32 determinaciones de laprofundidad del sustrato permeable (en cm.) en puntos tomados al azar de dicho campo obteniéndose unaprofundidad promedio del sustrato permeable en esas 32 observaciones del campo igual a 85.43 cm. De laexperiencia previa con este tipo de campos de cultivo, podemos asumir que la desviación típica asociadaa la variable "profundidad del sustrato permeable de dicho campo" es igual a = 105 cm. Se pide:

(a) Construir de manera detallada un intervalo de confianza al 99% para la profundidad promedio delsustrato permeable de dicho campo. Indicar todos los resultados teóricos necesarios para obtener elcitado intervalo. (0.5 ptos.)

(b) A partir de los datos muestrales, ¿podemos asumir al 99% que dicho campo es apto para el cultivo delespárrago, esto es, podemos concluir que la profundidad promedio del sustrato permeable de dichocampo es significativamente mayor a 80 cm.? Plantear y llevar a cabo el contraste adecuado pararesponder a esta pregunta. Calcular el − de la prueba.(0.5 ptos.)

(c) Determinar qué tamaño de la muestra será necesario utilizar si queremos estimar la profundidadpromedio del sustrato permeable de dicho campo con un error menor a 3 cm. y garantizando unaconfianza del 99%. (0.25 ptos.)

2

:rG B R eR \:) Z o ) '-1 4- J/.J. J

b+o..X

1\:::- 2.. S --e. ~qso ~q S"o2.."X~== )C.':: .:::- 1 'S\?- "-s - '-TOo .:::.2,..00 lo'82.j\.: - '1 = 2.5'

:: S'\Á . 6 r

)2 . ,-\~~q+O . bC'-i'S~X 1

I

l' x 9;> Au '"" e...u.--'w...'f\ \..o..~ v ~~ So: o- CI.- Y'L \A. ~c\..i.. e..u.~ ~ F" \1 uc.. 1 Q

:r \A

Y' llE ):::: O · 31? P ·2':'

~ fC~"' )= el

-.... fC.T~\-=}=> _ ;-3 g -t ol + 1> h. \ =;>:#'B - ...1- 02. (í - ~

s eX. = O ' b 2. ~ ot::.. 0.6.2. .1. =.- S

f c.. \E) =- Q . "?» '?

f' - '-'-'-~c.-~

~ ~

O . \L. '"'

l' \. l'\. "E) =. O · \ o MI:\.) ::::. O· ~cs ~

• f l

( 00 :. p I k1) __ A ( ) o u \J \ n... / .J - f (U.. .:;:.. A-O . \'-\9G -::.. o·a s -, l

::.O - o3~~ o . Ot-'-\~+ O.031-2=- o . \~q,b

4

O ' 3'81l O· \0 + O · \2.l..C>40 0 '30 o . o~¡ -tC> . o3~2. _-t) . \'-\9.6

- !:l . SOoQ'f J (e) :.. f [ (re; UTA) n 11 J =- r& € nn) \) lT-A níl:) J =

r~ () ié) + 1" l TA()re) = f.-lé) f ( re:. I Té) + rlTM f( rt/rA), = 'O . ~ '8.". O . q O -t- O. I-z..'-\ • o · '1-0 -=... O. 3'-1'2.. + O. ()? 6 ~ ~

= O . ~-z.~~ 1 • • \ _L \..0... 'bo..~J c.....-¡: ::. ) \ ~ c.\e. CQ..\).l. ,0 "'" d,.o

t\\ 3 -~f2. ~2. I X é ('O I~)P / - \ ,):::: )(~ -b )f.~ T 9 )C.7t l"') = "

°t

(o..) -.:

A J ~ c. x) d x -=- K jCx'1 -[, "~ +'1 x" )el x - ~ o 5

6 -IS+lo

lO - .l..)0

~\ \H.. \0 t = !~ 1

b X 9 { o-~~ ~ X_\4____ _3 ..... x1..) ,

t----------------~ (b).:. ->J X &~I F (XI= P()C,,-X 1 - J)< ~({;) d.~

-~

'X

¡:: l)(' ) -=:. T. ) (1::; '1 - b 1::;:' ;- '1 t 'Z-) .1 \;- =: 'O

- }L ~ T i~ IX J 7f'2.. V 7-0

= ~(gl s

x- -

x ~ 3

o, 0

S-J)i. ~

~ - F t 2) : (?)~ p( y:~ 2) -- A - P (~L. '"2)

S . 2~ 3

... 3 2~) \0:::. A. - - (~- 7g'\

'Z.

2- ~ e/2 '2. ~-3 - -7~7) -.~

8\"7S

\0 'S- .h -g l .2 (

\-:¡- 0 099 21: bY - 1¡O .;;..-- - /J - - - g\ - 8\ 81 '\ U-"ca.'(W)rD.~

f ·Y · Ñ 1'.e \6 :::::- "\)

... T -a í'I ........... ro ) . f2JcJ c'-l -' I "- u..-'

,.

- -

I I 6/Á~I (cv : -p()\ > A) =- P ( 1: ~ 2.) =- A - P lX-~ ~ ) ;::.

I -:::. l~ _ ( ~o -r::L!..e-'i ) :::. A - s e - ~ = o~ q o i'i 1 o ~ ~l

~

(J) p [ q «lII) (l CT ?. 2.}J~ p\ T --fCT> '2- )

p (T3 4) ft - PC.T< ~)

A - P(T~2.)

3 ·2e - - 3 · , T \ - k. - Q.. :::.e

8

p. s..:...

EI.$)/ =--9 Y1'\ m .

~.x-:

(? 2.)_" y = N~ c\.a. y.-eu......> T""- 1" cu... ~ / A.A-\-ro-", e. ~ ~\ -\ d) -= \) .qo?

-01- 9 ) . 2

-

10

P· 6'::' '1- -=- ?~ p~c~~ b ~ Óo.- d...i.. c\....c e Clo...l..u.r ...... t::; \)C)-?

'" ~ "3 2. ......... X = '&s. '13. )

x- ~ W-, J ' ~) ~p~ccu.~o

- -... -I ~¿. =

::. y . '1-9

01.= o . o t.1.

Dl ::::- o . o ..1..

~I

2- .0¡3

i!:-GC>-

'O . q" :=. '2. . '3.3

&5 .'1 '3 - gQ ~o::::. - -

ID . S} n¿. ~ ...........o.\o1.tL F'" u,A-J....'o ..." "'r.-\;.'C!A~-

"l: OCf'\, e.>-):, E" I ¡;¿ ~l o

~p - \.)~ = r ( > .:1. . '13 ) =

c::s>l-