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Captulo 3: Aplicaciones de la derivada

3.1 Extremos absolutos y puntos crticos2

Captulo 3:APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizs una de las ms importantes es la de conseguir los valores mximos y mnimos de una funcin. Tambin la derivada es una herramienta muy til para graficar funciones. Estos sern dos de los temas que trataremos en este captulo.

Extremos absolutos y puntos crticos

Un problema de mucho inters es buscar la mejor alternativa frente a muchas posibilidades de decisin. En trminos matemticos, muchas veces este planteamiento se traduce en buscar el mximo o el mnimo de una funcin y donde se alcanza este mximo o mnimo. Cuando la funcin es cuadrtica se pueden determinar estos valores buscando el vrtice de la grfica de este tipo de funcin. Para funciones ms generales, la derivada puede ayudar a resolver este problema. Recordemos primero la definicin de valor mximo y mnimo.

Definicin.- Sea f una funcin definida en un intervalo I y c un punto en I.f (c) es el valor mximo absoluto de f en I sif (c) es el valor mnimo absoluto de f en I si

f (c) f (c) f (x) para todo x en I.f (x) para todo x en I.

Sif (c) es el valor mximo de f en I entonces sedice que f alcanza su valor mximo en x= c.En la figura, el punto (c, f (c)) es el punto msalto de la grfica de la funcin en I= (a, b) .

Los mximos o mnimos absolutos de una funcin son llamados extremos absolutos. La palabra absoluto suele ser omitida.

Observaciones:

Una funcin puede alcanzar un valor mnimo ms de una vez.

Similarmente puede alcanzar ms deuna vez un valor mximo.

Hay funciones tales que en un intervalo tienen un mximo pero no tienen mnimo, otras no alcanzan ninguno de los dos extremos o alcanzan ambos. Abajo se muestran algunas posibilidades.

El siguiente teorema establece un resultado para la ltima situacin: si la funcin es continua y el intervalo es cerrado entonces se puede asegurar la existencia de ambos extremos.

Teorema.- Sea f una funcin continua en un intervalo cerrado [a,b] entonces falcanza un mximo y un mnimo absoluto en [a,b].

Observacin.- El Teorema da una garanta para que existan ambos extremos. Sin embargo algunas de lascondiciones pudiesen no satisfacerse y alcanzarse ambos.

EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES

En la figura observamos la grfica de unafuncin f tal que f (e) es el valor mximo absolutode f. El valor f (c) no es el mximo absoluto, sinembargo podemos apreciar un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c) es el valor mximo absoluto de la funcin en ese intervalo. Este valores un valor caracterstico de la funcin y nosreferiremos a l como un valor mximo relativo o local de la funcin. De manera similar hablaremosde un valor mnimo relativo f (d ) si este valor esel mnimo que tiene f (x) para x cercanos a d. Acontinuacin damos la definicin formal.

Definicin.-Una funcin f tiene un mximo relativo (o local) en c si existe un intervalo abierto I en el

dominio de f que contiene a c tal que f (c) es el valor mximo absoluto en el intervalo.Una funcin f tiene un mnimo relativo (o local) en c si existe un intervalo abierto I en el

dominio de f que contiene a c tal que f (c) es el valor mnimo absoluto en el intervalo.

Hablaremos de extremos relativos para referirnos conjuntamente a los mximos y mnimos relativos. Una de las importancias de los extremos relativos es que nos ayudar a localizar los extremos absolutos de una funcin. Por ejemplo, en el caso de una funcin continua definida en un intervalo cerrado, si el mximo absoluto no se alcanza en un extremo del intervalo entonces ese mximo ocurre en un extremo relativo. El problema que trataremos, en lo que sigue, es centrar la bsqueda de los puntos x donde se alcanzan los extremos relativos. Los extremos relativos son fciles de localizar a travs de la derivada.

De una manera grfica podemos decir que los mximos relativos son la cimas de la grfica y los mnimos relativos son los valles.3.1 Extremos absolutos y puntos crticos4

Captulo 3: Aplicaciones de la derivada5

La peculiaridad de estos puntos, por ejemplo las cimas, es que son:1.- Cimas suaves, sin picos. En este caso la recta tangente es horizontal o2.- Cima en forma de pico o angulosa, en este caso no hay derivada en ese punto.

Observaciones.-1.-Conviene resaltar que de acuerdo a la definicin dada, si una funcin definida en un intervalo [a,b] alcanza un mximo o mnimo absoluto en uno de los extremos del intervalo, entonces ah no hay mximo o mnimo relativo pues para ello debera estar definida la funcin en un intervalo abierto conteniendo el extremo y no lo est.2.- Si un valor extremo de f en un intervalo cerrado [a,b] no se alcanza ni en a ni en b, entonces esevalor extremo absoluto es tambin relativo.

Los valores de x donde la derivada vale 0 o no existe la derivada sern los nicos candidatos donde se pueden presentar extremos relativos. Damos un nombre especial a estos valores.

Definicin.- Sea c un punto en el dominio de f . Si f (c) 0 o f (c) no est definida entonces cse denomina un nmero o valor crtico y (c, f (c)) un punto crtico.

El siguiente Teorema es dado sin demostracin.

Teorema.- Si f alcanza un extremo relativo en c entonces c es un valor crtico.

Observacin.- En un punto crtico puede haber o no un extremo relativo.

Remarcamos que el Teorema no dice que si un punto es crtico entonces hay un mximo o mnimo relativo en ese punto. Pero si que los puntos crticos son los nicos candidatos a mximos o mnimos relativos.

Ejemplo 1.- Encontrar los puntos crticos de la funcin f (x) x 3 x 1 .Solucin:Observe que el dominio de la funcin son todos los reales.La derivada est dada por

f (x) 3 x 1 x3 3 (x 1)2 4x 33 3 (x 1) 2 P. Observe como la derivada se llev a la forma. SeQplantea ahora donde la derivada se hace 0 o no est definida.f (x) 0

4x 303 3 (x 1)2

4x 3 0

x 3 / 4

Esto ocurre slo cuando el numerador es 0, es decirf (x) no existe slo cuando el denominador es 0, entonces planteamos

3 3 (x 1)2 0

(x 1)2 / 3 0(x 1)2 / 3 3 / 2 (0)3 / 2

(x 1) 0

x 1 . Pasa el 3 dividiendo

Se eleva ambos miembros a la 3/2.

As los nicos puntos crticos de la funcin son (3 / 4, f (3 / 4))y (1, f (1)) , ms

explcitamente son (3 ,3 3 1 ) y (1,0) .444

Ejemplo 2.- Encontrar los puntos crticos de la funcin f (x) x 2 e2 x .Solucin:Observe que el dominio de la funcin son todos los reales.La derivada est dada porf (x) 2xe2 x 2x 2 e2 x .La derivada f est definida en todos los reales. Por consiguiente los nicos valores crticos son donde la derivada se hace cero.

Se plantea f (x) 0

2xe2 x 2x 2 e2 x 0

2xe2 x (1 x) 0 Esta ecuacin se resuelve por factorizacin, se saca 2xe 2 x de factor comn Planteamos tantas ecuaciones como factores

2x 0 e2 x 0 1 x 0 La segunda ecuacin no tiene solucin.

As x=0 y x=-1 son los nicos valores crticos y los puntos crticos son (0, f (0)) y (1, e 2 ) .3.1 Extremos absolutos y puntos crticos6


EXTREMOS ABSOLUTOS EN INTERVALOS CERRADOS

Volviendo al tema de conseguir extremos absolutos de funciones continuas en un intervalo cerrado, debemos recordar que hay garanta de la existencia de ambos extremos alcanzndose o bien en los extremos del intervalo o bien donde se alcanza los extremos relativos dentro del intervalo. Pero como los extremos relativos son puntos crticos entonces ampliaremos nuestro radio de bsqueda a los extremos del intervalo y a los valores crticos: slo en estos puntos se alcanza el valor mximo y el valor mnimo de la funcin. Para localizarlo slo tenemos que evaluar la funcin en estos candidatos y el valor mximo de la evaluacin de la f ser el valor mximo de la funcin, similar anlisis se hace con el mnimo. A continuacin establecemos esta estrategia por pasos.

Estrategia para encontrar los extremos absolutos de una funcin continua en un intervalo cerrado [a,b]:Paso 1.- Encontrar los valores crticos de f en [a,b].Paso 2.- Evaluar f en los valores crticos y en los extremos del intervalo: a y b.Paso 3.- El valor evaluado ms grande es el mximo y el menor el mnimo.

Ejemplo 3.- Encontrar los extremos absolutos de la funcin [2,2] . f (x) x3 3x 2 9x en el intervaloSolucin:Como la funcin es continua (por ser polinomio) y el intervalo es cerrado seguimos los pasos dados arriba.Paso 1.- Primero se calcula los valores crticos. Como la funcin es derivable en su dominio,slo planteamos f (x) 0 para encontrar los valores crticos.f (x) 3x 2 6x 9 0 . Las soluciones de esta ecuacin cuadrtica son x 1 y x 3 . Descartamos la segunda por no estar en el intervalo [2,2] .

Paso 2.-Evaluamos f en los extremos del intervalo y en el valor crtico x 1 .

f (2) (2)3 3(2)2 9(2) 8 12 18 2

f (1) (1)3 3(1)2 9(1) 1 3 9 5

f (2) (2)3 3(2)2 9(2) 8 12 18 22

Paso 3.- f (2) 22 es el valor mnimo.f (1) 5 es el valor mximo.

Ejemplo 4.- Encontrar los extremos absolutos de f (x) 3 x 2 4 en el intervalo [3,1] .Solucin: Como la funcin es continua (por ser composicin de continuas) y el intervalo es cerrado seguimos los pasos dados arriba.

Paso 1.- Primero se calcula los valores crticos. La derivada es f (x) 2x

3 3 (x 2 4) 2Debemos plantear donde crticos. f (x) 0 o donde f (x) no existe a fin de encontrar los valoresf (x) 0

2x03 3 (x 2 4) 2

2x 0

ocurre slo cuando el numerador es 0, es decir

x 0f (x) no existe slo cuando el denominador es 0, esto es 3 3 (x 2 4) 2 0

(x 2 4) 2 / 3 0 ,Se eleva ambos miembros a la 3/2.(x 2 4) 2 / 3 3 / 2 (0)3 / 2

(x 2 4) 0

x 2 4

x 4x 2Se descarta el valor crtico x 2 por estar fuera del intervalo [3,1] .

Paso 2.-Evaluamos f en los extremos del intervalo y en los valores crticosf (3) 3 (3) 2 4 3 5 1.71

f (2) 3 (2) 2 4 0

f (0) 3 02 4 3 4 1.58

f (1) 3 12 4 3 3 1.44 . x 2 y x 0 .

Paso 3.- f (0) 3 4 es el valor mnimo de la funcin.f (3) 3 5 es el valor mximo.

Ejercicio de desarrollo.- Encuentre los extremos absolutos de y x 4 2x 2 en [1/2,3].

APLICACIONES

En muchos problemas de la vida real y de economa se quiere conseguir el valor mximo o mnimo de una cantidad que depende de la variable independiente la cual tiene restringido sus valores a un intervalo cerrado.

Ejemplo 5.- Una fbrica que elabora un producto tiene una capacidad de produccin de 3.000 unidades al mes. La funcin de utilidad por producir y vender q unidades mensuales est dada porU (q) 100.000 60.000q 985q 2 1 q 3 .3Encuentre el nivel de produccin que maximiza la utilidad mensual.Solucin: Tenemos que conseguir donde se alcanza el mximo absoluto de la funcin U en el intervalo 0,3000.Como U es una funcin continua por ser un polinomio y queremos conseguir el mximo en un intervalo cerrado podemos aplicar el algoritmo de bsqueda dado en esta seccin.

Paso 1.- Primero se calcula los valores crticos. Como la funcin tiene derivada en todaspartes slo planteamos U (q) 0 para encontrar los valores crticos.U (q) 60.000 1970q q 2 0 . Las soluciones de esta ecuacin cuadrtica sonq 2.000 , descartamos la primera por no estar en el intervalo [0,3.000] . q 30 y3.1 Extremos absolutos y puntos crticos8


Paso 2.- Evaluamos U en los extremos del intervalo y en el valor crtico q 2.000 .U (0) 100.000 60.000 0 985 02 1 03 100.0003U (2.000) 100.000 60.000 2000 98520002 1 20003 =4.179.700.000/33U (3.000) 100.000 60.000 3000 98530002 1 30003 =44.900.000.3

Paso 3.- U (2.000) 4.179.700.0003 es el valor mximo.En conclusin el nivel de produccin en que la utilidad es mxima es 2.000.

EJERCICIOS 3.1Para las siguientes funciones:Demuestre que su derivada es la dada.Determine los valores crticos de la funcin.

1.1) f (x) x 2 (x 3)4 f (x) 6x(x 1)(x 3)3 ; 1.2)

f (x) (x 2 1)ex f (x) (x 1)2 ex ;

1.3) f (x) x3 6x 2 9x f (x) 3(x 1)(x 3) ; 1.4) f (x) x(1 x)2 5 f (x) 5 7x;5(1 x)3 5

1.5) f (x) 4x 4 2x 2 f (x) 4x(4x 2 1) ;1.6) f (x) e x ex f (x) e 2 x 1;e x

1.7) f (x) x 2 1x 2 1 f (x) 4x(x 2 1) 2 ;1.8) f (x) 1 1xx 2 f (x) 2 x ;x3

1.9) f (x) x (x 1) f (x) 3x 1 en [0, ) ;2 x1.10) f (x) x 2 ln x f (x) x(2 ln x 1) en (0, ) .

Encuentre los extremos absolutos de las funciones dadas en el intervalo indicado:

2.1) y x 2 2x 3 en [0,3];2.2) y x 2 2x 4 en [2,4];2.3) y 3x x3 en [-3,0];2.4) y 3x x3 en [-3,3];

42.5) y x 2x3 4x 2 en [-3,0];2.6) 4y x 2x3 4x 2 en [-3,3];

2.7) 2y 2 x 4 3 en [-8,8];2.8) 2y x 4 8x 2 en [1,5];

2.9) y x3 x en [1,5];2.10) y 22 x 2 , en [-1,2];

2.11) y x1 x 2 , en [-1,2];2.12) y x3 27x en [-4,0];2.13) y e 2 x x , en [-2,2];2.14) y ln x x , en [e-1,2].

Usando la grfica de la funcin, determine a) los valores crticos y explique la naturaleza de cada valor crtico; b) los extremos absolutos y relativos de la funcin y donde se alcanzan.

PROBLEMASUna fbrica que elabora un producto tiene una capacidad de produccin de 120 unidades diarias. La funcin de costo promedio est dada por

C(q) 100 30q 75.000 / q .Encuentre el nivel de produccin que minimiza el costo promedio. Respuesta: 120 unidades.p 2El ingreso que puede obtener un barbero a la semana est dado por I (q) 25 p

, donde p es 2el precio del corte. Encuentre el precio que debe fijar a fin de obtener el mximo ingreso, a) si el corte no puede tener un precio mayor a 20UM; b) si el corte puede tener un precio mayor a 20UM. Respuesta: a) 20UM; b) 25UM.

Respuestas:1.1) x=-3, 0, -1 ; 1.2) x=1; 1.3) x=1, 3; 1.4) x=5/7, 1; 1.5) x=-1/2, 1/2, 0; 1.6) x=0; 1.7) x=0 ;1.8) x=2; 1.9) x=1/3; 1.10) x=1/ e .2.1)2.2) f (3) 6 Mximo absoluto;f (2) 4 Mximo absoluto; f (1) 2 Mnimo absoluto;f (4) 4 Mnimo absoluto;2.3)2.4) f (3) 18 Mximo absoluto;f (3) 18 Mximo absoluto; f (1) 2 Mnimo absoluto;f (3) 18 Mnimo absoluto;2.5)2.6) f (3) 117 / 2 Mximo absoluto;f (3) 117 / 2 Mximo absoluto; f (1) 3 / 2 Mnimo absoluto;f (3) 99 / 2 Mnimo absoluto;2.7) f (0) 2 Mnimo absoluto; f (8) f (8) 18 Mximo absoluto;2.8)2.9) f (5) 425 Mximo absoluto;f (5) 130 Mximo absoluto; f (2) 16 Mnimo absoluto;f (1) 4 Mnimo absoluto;

2.10) f (0) 1 Mximo absoluto; f (2) 13 Mnimo absoluto;

2.11) f (1) 12 Mximo absoluto; f (1) 12 Mnimo absoluto;2.12) f (0) 0 , Mnimo absoluto; f (3) 3 6 Mximo absoluto;

2.13) f (ln 2 / 2) 1 1 ln 2 Mnimo absoluto; f (2) e 4 2 Mximo absoluto;22

2.14) f (1) 1 Mximo absoluto; f (1) 1 1 1,367 Mnimo absoluto.ee3.1) a) Valores crticos 1 y 3. En x=1 la derivada no est definida, en x=3 la derivada es cero.3.1 Extremos absolutos y puntos crticos10


b) Valor mximo absoluto y relativo =5 y se alcanza en x=1. Valor mnimo absoluto y relativo =-1 y se alcanza en x=3.

a) Valores crticos 0, 1 y 2. En x=1 la derivada no est definida, en x=0 y x=2 la derivada es cero.

b) Valor mximo relativo =5 y se alcanza en x=0. Valor mnimo absoluto y relativo =1 y se alcanza en x=2. La funcin no tiene mximo absoluto.

a) Valores crticos -3/2, 0 y 2. En todos estos valores la derivada es cero. b) Valor mximo absoluto y relativo =4 y se alcanza en x=2. Valor mnimo relativo =-2 y se alcanza en x=3/2. La funcin no tiene mnimo absoluto.

Monotona. Criterio de la primera derivada

En esta seccin usaremos la derivada de la funcin para determinar donde la funcin crece o decrece. Recordemos que los extremos relativos se presentan en los puntos crticos. Tambin en esta seccin veremos como usar el signo de la primera derivada para clasificar los puntos crticos como mximos o mnimos relativos o ninguno. Antes debemos dar la definicin de funciones crecientes y decrecientes en un intervalo I.

Definicin.-Una funcin f se dice estrictamente creciente en un intervalo I si para cualesquiera x1 , x2 en I,

donde x1 x2 entonces f (x1 ) f (x2 ) .Una funcin f se dice estrictamente decreciente en un intervalo I si para cualesquiera

x1 , x2en I, donde x1 x2 entonces f (x1 ) f (x2 ) .

Observaciones:La palabra estrictamente se suele omitir.Si se cumple que x1 x2 entonces

f (x1 ) f (x2 ) , diremos que la funcin es no decreciente.Una funcin es creciente si la grfica de f asciende de izquierda a derecha. Esto ocurre con las rectas con pendientes positivas.

Similarmente una funcin decreciente tiene una grfica que desciende de izquierda a derecha como ocurre con las rectas de pendientes negativas.

Observe en el dibujo que en las zonas donde las pendientes de las rectas tangentes son negativas la funcin decrece y donde las pendientes de las rectas tangentes son positivas la funcin crece.

Recordando que la pendiente de la recta tangente a la grfica en un punto de una funcin diferenciable es la derivada en ese punto podemos entonces admitir el siguiente Teorema sin demostracin.

Teorema.- Sea f una funcin diferenciable en (a, b) y continua en [a, b]SiSi

f (x) 0f (x) 0 para todo x en (a, b) entonces f es creciente en [a, b] . para todo x en (a, b) entonces f es decreciente en [a, b] .

As que se debe detectar los posibles xs donde ocurren cambios de signo en la primera derivada. Ellos son los nmeros crticos y los puntos donde la propia funcin no est definida.

Observacin.- Si f es una funcin continua entonces en los intervalos definidos por dos nmeros crticos consecutivos el signo de la primera derivada es el mismo. As que para determinar el signo dela primera derivada en un intervalo delimitado por estos puntos es suficiente tomar un punto x p deprueba dentro del intervalo y evaluarlo en la primera derivada, el signo del intervalo ser el signo def (x p ) .

Ejemplo 1.- Encontrar los intervalos donde f (x) x3 3x 2 9x es creciente y decrecienteSolucin: Observe que la funcin es continua por ser un polinomio.Primero se calcula la primera derivada a fin de determinar los puntos crticosf (x) 3x 2 3 2x 9 3(x 2 2x 3) = 3(x 3)(x 1) . Los puntos crticos en este caso son donde la primera derivada se anula:

3(x 3)(x 1) 0 .

(x 3) 0 (x 1) 0Estos son los nmeros x 1 y x 3 .

Estos dos puntos dividen la recta real en tres intervalos: (,1), (1,3) y (3, ) . En cada uno de estos intervalos tomamos valores de prueba y evaluamos la primera derivada all:En (,1) tomamos como valor de prueba x p -2.

f (2) 3 (5)(1) 15 . Entoncesf (x) 0 y por consiguiente la funcin f es creciente en (,1) .

En

(1,3) tomamos como valor de prueba x p 0. f (0) 3 (3)(1) 9 . Entoncesf (x) 0 y por consiguiente la funcin f es decreciente en (1,3) .

En (3, ) tomamos como valor de prueba x p 4.

f (4) 3 (1)(5) 15 . Entoncesf (x) 0 y por consiguiente la funcin f es creciente en (3, ) .Siempre es conveniente resumir esta informacin en la recta real como ilustra el siguiente diagrama:3.2 Monotona. Criterio de la primera de la primera derivada12


Comentario: Observe que en el ejemplo pasado la funcin crece a la izquierda de -1 y luego decrece. Al intentar de representar geomtricamente esta situacin nos damos cuenta que la funcin alcanza un mximo relativo en x=-1.

El comportamiento del signo de la primera derivada en torno al nmero crtico c permite clasificarlos. Esto se conocer como el criterio de la primera derivada

Criterio de la primera derivada para clasificar puntos crticos.Seaf una funcin continua en un intervalo I= (a, b) y derivable en el intervalo exceptoposiblemente en c, un nmero crtico, donde a c b .1.- Si la primera derivada cambia de positiva a negativa al pasar por c entonces f alcanza un mximo relativo en x=c.2.-Si la primera derivada cambia de negativa a positiva al pasar por c entonces f alcanza un mnimorelativo en x=c.3.- Si el signo de la primera derivada no cambia al pasar por c entonces: fNO TIENE EXTREMOS en c.

Los siguientes pasos, para clasificar todos los puntos crticos, pueden resultarle al estudiante ms visuales:

Pasos recomendados para clasificar puntos crticos de acuerdo al criterio de la primera derivada1.- Colocar en la recta real todos los puntos crticos de la funcin, junto con los puntos donde la funcin es discontinua (estos ltimos no son puntos crticos, pero si pueden ser puntos donde puede cambiar el signo de la primera derivada.)2.- Dentro de cada intervalo limitado por estos puntos escogemos valores de prueba que evaluamos en la primera derivada.Si la primera derivada es positiva entonces la funcin es creciente en ese intervalo, anotamos Si es negativa entonces la funcin es decreciente en ese intervalo y anotamos3.- Se concluyea.- Si la funcin crece a la izquierda de un punto crtico c y luego decrece entonces en c se alcanza un mximo relativo de f.b.- Si la funcin decrece a la izquierda de un punto crtico c y luego crece entonces en c se alcanza un mnimo relativo de f.c.- Si no hay cambio de monotona en c entonces c no es un extremo relativo de f.

Ejemplo 2.- Determine los puntos crticos de la funcin x 3 1f (x) y clasifique cada punto crticox 2como un mximo relativo o un mnimo relativo o ninguno de los dos, usando el criterio de la primera derivada.

Solucin: Para derivar reescribimos la funcin como f (x) x3 1 x x 2 .(Tambin se puede usar la regla del cociente)f (x) 1 2x 3 x 2x 2Pf (x) 1 2x 3 2 Observe como se escribi f (x) en la formaQ a fin dex 3x 3 localizar ms rpidamente los nmeros crticos.

Para buscar puntos crticos se plantea:f (x) 0x3 2 0 , cuya nica solucin es La derivada no est definida en

x 3 2 .

x 0 (tampoco la funcin), este punto hay que colocarlotambin en la recta real como delimitador de los posibles intervalos donde pueda cambiar el signo laprimera derivada. x 0 es un nmero tal que la funcin no est definida all, lo marcamos con unagujero en la recta real para recordarnos que no tiene sentido clasificarlo como mximo o mnimo pues ni siquiera la funcin est definida all.

Estos dos puntos dividen la recta real en tresintervalos: (,0), (0, 3 2 ) y (3 2, ) . En losdos ltimos tomaremos valores de prueba donde evaluaremos la primera derivada all: Recuerde que queremos clasificar a x 3 2 .

En

(0, 3 2 ) tomamos como valor de prueba x 1. f (1) 3f (1) (1) 2 1 . Entonces

p

f (x) 0 y por consiguiente la funcin f es decreciente en

(0, 3 2 ) .3 (1)3En

(3 2, ) tomamos como valor de prueba x 2. f (2) (2) 2 3 0 . Entonces

p(2)34f (x) 0 en el resto del intervalo y por consiguiente la funcin f es creciente en (3 2, ) .No hace falta analizar el intervalo ,0, ya que no tiene sentido clasificar x=0.

Aplicando el criterio de la primera derivada se puede concluir que el punto (3 2, f (3 2 )) mnimo relativo.

es unRecuerde que en 0 la funcin no est definida, sin embargo este valor delimita los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ejercicio de desarrollo: Para la funcin f (x) x 3 3x determine a) donde est creciendo odecreciendo; b) la posicin de los mximos y mnimos relativos.3.2 Monotona. Criterio de la primera de la primera derivada14


Con la ayuda de la informacin que aporta la primera derivada ms los anlisis de intersecciones y simetras se puede hacer un bosquejo de la grfica de la funcin. Veamos el siguiente ejemplo.Ejemplo 3.- Determine cundo la funcin f (x) x 2 (x 2)2 est creciendo o decreciendo; la posicin de los mximos y mnimos relativos; intersecciones con los ejes que pueden conseguirse con mtodos analticos de resolucin de ecuaciones conocidos. Bosqueje la grfica de la funcin.Solucin:Primero: Se calcula la primera derivada, se suele expresar en forma factorizada a fin de conseguir rpidamente los puntos crticos.

f (x) 2x(x 2) 2 x 2 2 (x 2) 2x(x 2)[(x 2) x] . Se sac factor comn 2x(x 2)

f (x) 2x(x 2)(2x 2) .

Segundo: Se calcula los valores crticos. Como la funcin es un polinomio los nicos posibles nmeros crticos son donde la primera derivada es 0.2x(x 2)(2x 2) 0El conjunto solucin est dado por las soluciones de:2x 0 , (x 2) 0y (2x 2) 0Las cuales son: x 0 , 2 y 1. (Recuerde que un producto es cero si al menos uno de los factores es cero).

Tercero: Colocamos los puntos crticos en la recta real y tomamos valores de prueba dentro de los intervalos delimitados por ello. (En este caso la funcin est definida en todo R).

En (,2) . tomamos como valor de prueba

x p -3, al evaluar en la primera derivada quedaf (3) 0 . Entonces f (x) 0 en (,2) y por consiguiente la funcin f es decrecienteen (,2) . (Comentario.- Puede evitarse la cuenta exacta de f (3) , lo que interesa es susigno, vemos que al evaluar en la expresin factorizada f (3) 23(3 2)232hay exactamente tres factores negativos por consiguiente el producto es negativo.

En

(2,1) , tomamos como valor de prueba x p -1.5, al evaluar en la primera derivada sepuede chequear fcilmente que f (1.5) 0 . Entonces consiguiente la funcin f es creciente en este intervalo. f (x) 0 en (2,1) y por

En

(1,0) , tomamos como valor de prueba x p -0.5 y evaluamos en la primera derivada:f (0.5) 0 . Entonces f (x) 0 en este intervalo y por consiguiente la funcin f esdecreciente en (1,0) .

En

(0, ) . f (2) 0 . Entonces f (x) 0 en el resto del intervalo y por consiguiente lafuncin f es creciente en (0, ) .

Esta informacin es colocada en el siguiente diagrama donde adems podemos clasificar los extremos relativos. Debajo se ha colocado el plano cartesiano donde se realizar la grfica, el eje de las x est cuadrado con la recta real que contiene la informacin de la primera derivada. Esto es, el eje x del plano cartesiano y la recta real estn en correspondencia.

Es conveniente evaluar la funcin en los valores crticosf (2) 0; f (1) 1; f (0) 0 .Se colocan estos puntos junto con otros caractersticos en una tabla de valores.

xy=f(x)Ptos. caractersticos-20Pto. crtico, corte-11Pto. crtico00Pto. crtico, corte

El primer punto y tercero coinciden en este caso con las intersecciones. Observe que en esta grfica no hay simetras.

Estos puntos se grafican en el plano cartesiano, luego las flechas que indican crecimiento o decrecimiento se trasladan antes y despus de estos puntos, estas flechas indicarn como es la funcin antes y despus de los puntos caractersticos.

Un trazo suave que una estos puntos y siga la informacin del crecimiento obtenida permitir obtener rpidamente un bosquejo de la grfica.

2Ejercicio de desarrollo: Determine cundo la funcin f (x) x 4 (1 x ) est creciendo o6decreciendo; la posicin de los mximos y mnimos relativos. Trace la grfica.

EJERCICIOS 3.2Dada la grfica de la funcin, estime los intervalos de crecimiento, decrecimiento, donde se alcanza los mximos y mnimos relativos. Estime adems los puntos de cortes con los ejes y el dominio de la funcin.

3.2 Monotona. Criterio de la primera de la primera derivada16


Determine los puntos crticos de las funciones dadas y clasifique cada punto crtico como un mximo relativo o un mnimo relativo o ninguno de los dos, usando el criterio de la primera derivada.

2.1) y x 2 6x 10 ;2.2) y 2x3 6x 2 ;2.3) y x 6 2x3 ; 2.4) y x 4 4x 2 ;2.5) y x 2 ;2.6)x y x x 1 ;2.7) y 3 x (x 1) ; 2.8) y ln x x ;2.9) y x 4 (x 1)3 ;2.10) y (x 2 1)e2 x .

Determine cundo las funciones estn creciendo o decreciendo y determine la posicin de los mximos y mnimos relativos. No trace la grfica.

3.1) y x 2 x 7 ;3.2)4 y x 2 3x 4 ;3.3) y 2x x 2 ;

3.4) y x2 2x3 2x 2 ;3.5) y 2 x 2 2x3 ;3.6) y x 4 2x 2 ;

3.7) y (1 x)4 (x 4)5 ;3.8) y 3 x (1 x) ;3.9) y 2 x ;2x

3.10) y 3x 1 ;3.11) y ex (2 x) ;3.12) y ln x x ;

3.13) y x e x ;3.14) y x1/ 3 (2 x)4 .Determine cundo las funciones dadas estn creciendo o decreciendo; la posicin de los mximos y mnimos relativos; intersecciones con los ejes que pueden conseguirse con mtodos analticos de resolucin de ecuaciones conocidos. Trace la grfica.

4.1)

4.4) y x 2 6x 10 ;4.2)y 2x3 6x 2 ;4.5) y x 2 6x 10 ;4.3)y x 4 2x3 ;4.6)x 2x3 y x 3x 2 ;y 2 x 2 6x3 ;

4.7) y x 4 2x ;4.8) y 2 2x 323 ;4.9) y (2 x)4 :4.10) y 3 x 2 (x 1) ;4.11) y x 1(x 1) ;4.12) y (x 2)3 (x 4)5 ;

4.13)

4.16) y x 4 (2 x)3 ;4.14)y ex (2 x) ;4.17) y xe x ;4.15)y x 4 / 3 (2 x)3 . y x 4 e2 x ;

5) Para las siguientes funciones determine la posicin de los mximos y mnimos relativos.5.1) f (x) x 2 (x 3)4 ;5.2) f (x) (x 2 1)ex ;5.3) f (x) x3 6x 2 9x ;5.4) f (x) x(1 x)2 5 ;5.5) f (x) 4x 4 2x 2 ;5.6) f (x) e x ex ;2

5.7) f (x) x 1 ;5.8) f (x) 1 1 ;5.9) f (x) x (x 1) en [0, ) ;

5.10) x 2 1f (x) x 2 ln x en (0, ) . xx 2

Respuestas: 1.1) 1,14,5decrece; 1,4crece; Mnimo relativo (y absoluto) -1 y se alcanza en x=1. Mximo relativo (y absoluto) 5 y se alcanza en x=4; Cortes con el eje x en x=0.5 y en x=1.4. Cortes con el eje y en y=0.5; Dominio f =[-1,5]; 1.2) ,02, decrece; 0,2crece; Mnimo

relativo 1 y se alcanza en x =0. Mximo relativo 3 y se alcanza en x=2; Cortes con el eje x en x=4. Cortes con el eje y en y=1; Dominio f =R.; 1.3) 3,11,1decrece; 4,31, crece;Mnimo relativo (y absoluto) -2 y se alcanza en x =1. Mximo relativo 4 y se alcanza en x=-3; Cortes con el eje x en x=-1 y en x=2.5. Cortes con el eje y en y=-1; Dominio f = [4, ) .

2.1) Mnimo relativo 1 en x=3; 2.2) Mximo relativo 0 en x=0; Mnimo relativo -8 en x=2 2.3) Mnimo relativo -1 en x=1, en x=0 no hay extremo; 2.4) Mximo relativo 0 en x=0; Mnimo relativo -4 en x= 2 y en22.5) Mnimo relativo 4 / 2 en x= 2 ; mximo relativo 4 / 2 en

x= 2 ; 2.6) Mnimo relativo 1 2 -4 en x= 1 2.7) Mnimo relativo 3 0.25 (0.25 1) en x=-3330.25; en x=0 no hay extremos. 2.8) Mximo relativo -1 en x=1; 2.9) Mximo relativo 0 en x=0, mnimo relativo -(2/7)4 (3/7)3 en x=2/7. En x=1 no hay extremos. 2.10) No hay extremos relativos.3.1) (-,1/2) decrece; (1/2,) crece; 3.2) (,3 2) crece; (3 2, ) decrece; 3.3) (-,1) crece;(1,) decrece; 3.4)(0,1/3) crece; 3.6) (,0) (1,2) decrece; (0,1) (2, ) crece; 3.5) (,0) (1/ 3, ) decrece,(,1) (0,1) decrece; (1,0) (1, ) crece; 3.7) (-11/9,1) decrece,(,4) (4,11/ 9) 1, crece; 3.8) (,0) (0,1/ 4) crece; (1/ 4, ) decrece; 3.9)

(, 2 ) 2, crece; ( 2,0) (0, 2 ) decrece; 3.10) (,1) (1, ) crece3.11) (-,3) decrece, (3,) crece; 3.12) (0,1) crece; (1, ) decrece;3.13)(-,1) crece, (1,)decrece.5.1) Mnimo relativo en x=-3 y 0; Mximo relativo en x=-1 ; 5.2) x=1 punto crtico, pero no es extremo; 5.3) Mximo relativo en x=1; Mnimo relativo en x=3; 5.4) Mximo relativo en x=5/7; minimo relativo en x=1;5.5) Mnimo relativo en x=-1/2 y 1/2, mximo relativo en x=0; 5.6) minmo relativo en x=0; 5.7) Mnimo relativo en x=0 ; 5.8) Mximo relativo en x=2; 5.9) Mnimo

relativo en x=1/3; 5.10) Mnimo relativo en x=1/ e .3.2 Monotona. Criterio de la primera de la primera derivada18


Concavidad

Hemos visto como la primera derivada nos da informacin del comportamiento de las grficas de funciones, ms especficamente cuando la curva crece y decrece y donde se localizan sus mximos y mnimos relativos.

La segunda derivada tambin aporta informacin sobre la grfica, ella dir cuando la grfica se curva hacia abajo y cuando hacia arriba. En el primer caso se hablar de concavidad hacia abajo y en el segundo concavidad hacia arriba.En la figura estn las grficas de dos funciones crecientes con distinto tipo de concavidad.

La figura de abajo permite apreciar las relaciones entre las tangentes a una curva y la concavidad.

Tendremos las siguientes conexiones entre las rectas tangentes y concavidad:1.- Si la grfica es cncava hacia abajo entonces las tangentes estn por encima de la curva alrededor del punto de tangencia. Por otro lado si la grfica es cncava hacia arriba, las tangentes estn por abajo de la grfica de la funcin en una vecindad del punto de tangencia.2.- Si la grfica es cncava hacia abajo las pendientes de las rectas tangentes decrecen cuando xcrece. Similarmente si una grfica es cncava hacia arriba las pendientes crecen.

Recordemos que la pendiente de la recta tangente a la grfica de f en x0 es la derivada en x0 .As que el concepto de concavidad est ligado al crecimiento de la primera derivada. Damos entonces la siguiente definicin de concavidad.

Definicin.- Sea f derivable en un intervalo abierto I.Se dice que f es cncava hacia abajo en I si f es decreciente en ese intervalo.Se dice que f es cncava hacia arriba en I si f es creciente en ese intervalo.

Diremos que la grfica de una funcin es cncava hacia arriba en un intervalo I, si la funcin lo es en ese intervalo.Ya sabemos que para ver crecimiento de una funcin en un intervalo se examina el signo de su derivada. En este caso se quiere analizar el crecimiento de f , as que la derivada de ella, que es lasegunda derivada f , es la que tenemos que examinarle el signo. El siguiente criterio ser til para buscar intervalos de concavidad.3.3 Concavidad20


Criterio de concavidad.- Sea f dos veces derivable en un intervalo abierto I.SiSi

f (x) 0 para todo x en ese intervalo entonces f es cncava hacia abajo en If (x) 0 para todo x en ese intervalo entonces f es cncava hacia arriba en I.

Para determinar los intervalos de concavidad de una funcin, es decir encontrar los intervalos donde la grfica de la funcin es cncava hacia arriba y los intervalos donde es cncava hacia abajo seguiremos los siguientes pasos.

Pasos recomendados para conseguir intervalos de concavidad.Paso 1.- Determinar los x donde propia funcin no est definida). f (x) 0 o f (x) no est definida (incluye los puntos donde laPaso 2.- Colocar en la recta real los x donde f (x) 0 o f (x) no est definida.Paso 3.- Dentro de cada intervalo limitado por estos puntos escogemos valores de prueba que evaluamos en la segunda derivada.Si la segunda derivada es positiva en el valor de prueba entonces la funcin es cncava hacia arriba en ese intervalo.Si la segunda derivada es negativa en el valor de prueba entonces la funcin es cncava hacia abajo en ese intervalo.

Ejemplo 1.-Determinelos intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo de la funcinf (x) x6 10x 4 4x 1 .Solucin: Calculamos la segunda derivada

f (x) 6x5 40x3 4

f (x) 30x 4 120x 2

f (x) 30x 2 (x 2 4) La expresamos factorizada a fin de encontrar la solucin de la ecuacin que plantearemos.Paso 1.- Buscamos los candidatos a cambios de inflexin. Planteamos donde la segunda derivada es 0

f (x) 30x 2 (x 2 4) 0

Las soluciones son cuando x2 0 y (x 2 4) 0 . As x 0,2 , son los nicos puntos candidatosdonde pueden ocurrir cambios de concavidad.

Paso 2.- Procedemos a colocarlos en la recta real y a tomar valores de prueba en los intervalos delimitados por ellos para evaluarlos en la segunda derivada.Paso 3.-

En

(,2) , se toma como valor de prueba x p 3 , al evaluar obtenemos f (3) 0 .Entonces f (x) 0 y por consiguiente la funcin f es cncava hacia arriba en (,2) .

En

(2,0) , se toma como valor de prueba x p 1, al evaluar obtenemos f (1) 0 .Entonces f (x) 0 en (-2,0) y por consiguiente f es cncava hacia abajo en (2,0) .

En

(0,2) , se toma como valor de prueba x p 1, al evaluar obtenemos f (1) 0 . Entoncesf (x) 0 en (0,2) y por consiguiente la funcin f es cncava hacia abajo en (0,2) .

En (2, ) , se toma como valor de prueba

x p 3 , al evaluar obtenemos f (3) 0 . Entoncesf (x) 0 y por consiguiente la funcin f es cncava hacia arriba en (2, ) . Estos resultados los representamos grficamente en el siguiente diagrama

En conclusin la funcin es cncava hacia arriba en en (2,0) (0,2) . (,2) (2, ) y cncava hacia abajo

En este ejemplo hubo un cambio de concavidad en x 2 y en x 2. Adems en estospuntos la funcin es continua. Estos son puntos sobre la grfica de la funcin donde se produce el cambio de una curvatura hacia arriba a una hacia abajo. Estos son puntos caractersticos de la grfica de una funcin por lo cual merece un nombre especial.

Definicin.- Un punto x0 , f x0 de la grfica de f se llama un punto de inflexin si f escontinua y cambia de concavidad en dicho punto.

En el ejemplo anterior no hay punto de inflexin en x 0 , an cuando era un candidato paraser punto de inflexin, pues no ocurre un cambio de concavidad.

Los puntos donde f (x) 0 o donde la segunda derivada no est definida son candidatosa puntos de inflexin. No necesariamente son puntos de inflexin, as como ocurri en x 0 delejemplo anterior. En el siguiente ejemplo mostraremos una situacin donde en un punto hay cambio de concavidad pero no se llamar de inflexin pues la grfica se corta en ese punto, valga la redundancia: la grfica no se flexiona para cambia de concavidad sino que se corta.

Ejemplo 2.- Determine los intervalos en que la funcin f (x) x 2 1 es cncava hacia arriba y enxlos que es cncava hacia abajo. Encontrar todos los puntos de inflexin.Solucin: Calculamos la segunda derivadaf (x) 2x x 2

3f (x) 2 2x 3 2( x 1) .x3 Esta ltima manera de expresar la segunda derivada nos permitir conseguir los puntos donde ella es 0.

Paso 1.- Buscamos los candidatos a cambios de inflexin:

Puntos donde la segunda derivada se hace 0.

2( x 3 1)0x3Una fraccin es cero slo si su numerador es cero. As la segunda derivada es cero si 2(x3 1) 0x3 1

As, en este caso el punto donde la segunda derivada se hace cero es x 1 .

Puntos donde la segunda derivada no existe.

En este caso es donde el denominador se hace 0, esto es x3 0 , es decir x 0 .

Paso 2.- En x=0 la funcin no est definida, as que lo representaremos en la recta real con uncrculo agujereado, como ya se ha hecho anteriormente.

Colocamos tambin x 1 en la recta real.3.3 Concavidad22


Paso 3.- Tomamos valores de prueba en los intervalos delimitados por ellos, para evaluarlos en la segunda derivadaEn

(,1) , tomamos x p 2 . f (2) 0 . Entonces f (x) 0 y por consiguiente lafuncin f es cncava hacia arriba en (,1) .

En

(1,0) tomamos x p 0.5 . f (0.5) 0 . Entonces f (x) 0 y por consiguiente lafuncin f es cncava hacia abajo en (1,0) .

En (0, ) tomamos x p 1. f (1) 0 . Entonces f (x) 0 y por consiguiente la funcinf es cncava hacia arriba en (0, ) .

En

x0 1 hay un cambio de concavidad y la funcin es continua, por lo tanto el punto(1, f (1)) (1,0) es un punto de inflexin.

Sin embargo, en x=0 an cuando hay cambio de concavidad no es punto de inflexin porque la funcin no es continua all.

Ejercicio de desarrollo: Determine los intervalos de concavidad y los valores de x en que se4

presentan los puntos de inflexin de y x 3 . No trace la grfica.x

EJERCICIOS 3.3Determine los intervalos de concavidad y los valores de x en que se presentan los puntos de inflexin de las funciones dadas abajo. No trace la grfica

2

1.1) y x 2 x 6 ;1.2) y x3 3x 4 ;1.3) y 1 6x 2 x3 ;

1.4) 4y x 2x3 3x2 4x 5 ;1.5) y x 4 2x 2 ;1.6) y 2 x 2x3

;21.7) y 2 x ;1.8) y 2 x 2

;1.9) 2y 3 ;x

1.10) y 3 x x

(1 x) ;1.11) y (1 x 2 )4 ;1.12) y x 1x ;

1.13) y ln x x e x;1.14) y ex (2 x) .

A partir de la grfica de la funcin estime: a) Intervalos de concavidad; b) Puntos de inflexin. c)

Intervalos donde f x0 .

Respuestas: 1.1) Cncava hacia arriba en (-,) ;1.2) R; 1.3) Cncava hacia arriba en (-,2);Cncava hacia abajo en (2,) ; 1.4) (,1) (1, ) concavidad hacia arriba 1.5) Cncava hacia

arriba en (, 1/ 3 )U ( 1/ 3, ); Cncava hacia abajo en ( 1/ 3, 1/ 3) ; 1.6) Cncava haciaarriba en (,1/ 6) ; cncava hacia abajo en (1/ 6, ); ; 1.7) Cncava hacia abajo en (-,0);Cncava hacia arriba en (0,); 1.8) ) Cncava hacia abajo en (-,0); Cncava hacia arriba en (0,);1.9) Cncava hacia arriba en (-,1); Cncava hacia abajo en (1,); 1.10) Cncava hacia arribaen (1/ 2,0) ;cncava hacia abajo en (,1/ 2) (0, ) ;1.11)Cncava hacia arriba en(, 1/ 7 )U ( 1/ 7, ); Cncava hacia abajo en ( 1/ 7 , 1/ 7 ) ; 1.12) Cncava hacia arriba en(,1) ; cncava hacia abajo en (1, ) ; 1.13) Cncava hacia abajo en (0,); 1.14) Cncava haciaarriba en (4, ) ; cncava hacia abajo en (,4) .a) Cncava hacia arriba en (2, ); Cncava hacia abajo en (,2) ; b) Punto de inflexin en x=2;

c) (,1) 3, .a) Cncava hacia abajo en (,1) 1, ; b) No hay; c) 1,3a) Cncava hacia arriba en

(4,2) 0, ; Cncava hacia abajo en (2,0) ; b) Punto deinflexin en x=-2; c) (3,0) 0, .3.4 Criterio de la Segunda derivada24


Criterio de la segunda derivada

Otra de las aplicaciones de la segunda derivada es para clasificar los puntos crticos donde laprimera derivada se anula. La idea es muy grfica: si c es un punto donde f (c) 0 y f es cncavahacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c entonces f (c) es un mximo relativo, pero encambio si es cncava hacia arriba entonces se alcanza un mnimo relativo en c.

La relacin entre concavidad y segunda derivada nos permite visualizar el siguiente criterio usado para clasificar puntos crticos.

Criterio de la segunda derivada.- Sea f una funcin tal que definida en c. f (c) 0 y con segunda derivadaSiSi

f (c) 0 entoncesf (c) 0 entonces f (c) es un mximo relativo de f.f (c) es un mnimo relativo de f.

Observaciones:1.- El criterio no es concluyente en el caso en que f (c) 0 ycriterio de la primera derivada. f (c) 0 . Se deber entonces usar el2.- El criterio no puede usarse en el caso que la segunda derivada no exista en c.3.- Una de las bondades de este criterio es que permite clasificar los puntos crticos con slo evaluar la funcin segunda derivada en los nmeros crticos, a diferencia del criterio de la primera derivada que se deba evaluar la primera derivada a la izquierda y derecha del punto crtico y entre los puntos crticos vecinos.

Ejemplo 1.- Hallar todos los extremos relativos de las siguientes funciones. Si es posible, use elcriterio de la segunda derivada: a) f (x) x 4 4x 3 2 ; b) g(x) x 6 6x 4 ; c) Solucin: f (x) 3 (x 1)4 .a) f (x) x 4 4x3 2 .Primero obtenemos la primera derivada a fin de conseguir los valores crticos de f f (x) 4x3 4 3x 2

Los puntos crticos estn dados en este caso por la solucin de4x3 4 3x 2 0 f (x) 0 . Esto esLa solucin se obtiene factorizando e igualando cada factor a cero.4x 2 (x 3) 0 x 0 x 3 .Estos son los nicos puntos crticos.Clasificamos los puntos crticos, para ello se intenta primero el criterio de la segunda derivada.

Calculemos entonces la segunda derivada y la evaluamos en estos puntos:f (x) 12x 2 24x 12x(x 2) .Para

x 3 tenemosque f (3) 12 3(3 2) 0 ( ).Porlotantoelpunto(3, f (3)) (3,25) es un mnimo relativo.Para x 0 tenemos que

f (0) 12 0(0 2) 0 . El criterio no es concluyente. Se debeusar el criterio de la primera derivada para clasificar este nmero crtico. La primeraderivada est dada por f (x) 4x 2 (x 3) . (En general colocamos en la recta real losnmeros crticos vecinos al valor crtico a clasificar, en este caso 3).

Usamos -1 y 1 como valores de prueba en losintervalos para los intervalos ,0respectivamente.f (1) 4(1)2 ((1) 3) 0f (1) 4 12 (1 3) 0 y 0,

As que tanto a la derecha (pero antes que 3) como a la izquierda de 0 la primera derivada es negativa.

En conclusin: en x=0 no se alcanza ni un mximo ni un mnimo relativo.

g(x) x 6 6x 4Primero obtenemos la primera derivada a fin de conseguir los valores crticos.

g (x) 6x5 6 4x3 6x3 (x 2 4) .Para conseguir los puntos crticos solo planteamos f x0 , pues es un polinomio. Estaecuacin es 6x3 (x 2 4) 0 , la cual es equivalente a6x 3 0 (x 2 4) 0y sus soluciones x 0 y x 2 son los nicos valores crticos.Clasificamos los valores crticos, se intenta primero clasificar usando el criterio de la segunda derivada.

g (x) 6 5x 4 6 12x 2g (x) 6x 2 (5x 2 12) . Se reescribe de manera factorizada a fin de evaluar ms rpido

Para

x 2 tenemos que f (2) 6 4(5 4 12) 0 ( concavidad hacia arriba). Por lo tantoen x=2 ocurre un mnimo relativo. (Este valor mnimo relativo es f (2) 32 ).Para

x 2 tenemos que g (2) 6 4(5 4 12) 0 ( ). Por lo tanto el punto(2, g(2)) (2,32) es un punto mnimo relativoPara

x 0 tenemos que g (0) 6 0 (0 2) 0 . El criterio de la segunda derivada no esconcluyente. Se debe usar el criterio de la primera derivada para clasificar este valor crtico.La primera derivada est dada por g (x) 6x 2 (x 2 4) colocamos en la recta real losnmeros crticos vecinos al valor crtico a clasificar, en este caso -2 y 2.

En el intervalo 2,0 la primera derivada espositiva y en el intervalo 0,2 la primera derivadaes negativa. En conclusin: por el criterio de la primera derivada,0, g(0)0,0esun mximorelativo.3.4 Criterio de la Segunda derivada26


c) f (x) 3 (x 1)4Primero obtenemos la primera derivada a fin de conseguir los valores crticos de f.

La primera derivada est dada por f (x) 4 (x 1)1/ 3 , est definida en todo R.3El valor crtico lo obtenemos entonces al plantear slo la ecuacin f (x) 0 , esta es4 (x 1)1/ 3 0 , cuya solucin,3Se clasifica el valor crtico Al calcular la segunda derivada

x 1 , es el nico valor crtico .f (x) 4 (x 1)2 / 3 9 49(x 1)2 / 3nos damos cuenta que no est definida en el valor crtico -1 (Recuerde que la divisin entre 0 no est definida). As que no podemos usar el criterio de la segunda derivada.Para clasificar este punto crtico debemos entonces usar el criterio de la primera derivada.

Al tomar valores de prueba en los intervalos de prueba podemos concluir que:Si x 1 entonces f (x) 0Si x 1 entonces f (x) 0

En conclusin: La funcin alcanzaun mnimo relativo en x=-1. Este valor mximo esf (1) 3 (1 1) 4 0 .

Para funciones continuas, vimos anteriormente un procedimiento de bsqueda de extremos absolutos en intervalos cerrados. Ahora damos otro criterio para algunas situaciones que se presentan.

CRITERIO DE LA DERIVADA PARA EXTREMOS ABSOLUTOS.- Si en un intervalocualquiera hay un solo extremo relativo entonces l necesariamente es absoluto en ese intervalo.

Comentarios.-

1.- En el ejemplo anterior, como la funcin

f (x) 3 (x 1)4tiene un nico extremo relativo en x=-1 entonces podemos concluir que el mximo absoluto de est funcin se alcanza all.

2.- Recuerde que tiene que haber un nico extremo relativo para poder hacer esta aseveracin. Al lado mostramos la grfica de una funcin con un nico mximo relativo y sin embargo no es absoluto. La funcin tiene un mnimo relativo (otro extremo relativo).

3.- Todo lo dicho lo podemos aplicar para mnimos.

Ejemplo 2.- Determine los extremos relativos de y x 4 4x . Use primero el criterio de la segundaderivada, si no se puede entonces emplee el criterio de la primera derivada. Vea si puede usar el criterio de la derivada para concluir si hay un extremo absoluto.Solucin:Primero obtenemos la primera derivada a fin de conseguir los valores crticos de f

y4x3 4 La derivada est definida en R.Se determinan los valores crticos planteando solo4x3 4 0 f (x) 0La nica solucin de esta ecuacin, x=1 es el nico valor crtico de f.

Se clasifica el valor crtico, se intenta primero clasificar usando el criterio de la segunda derivada.

y12x 2y(1) 12 12 12 0 ( )De aqu concluimos, por el criterio de la segunda derivada, que en x=1 se alcanza un mximo relativo. Como (1, f (1)) (1,3) es el nico extremo relativo en (, ) y como f es continuaentonces l es el mnimo absoluto de la funcin en toda la recta real.

Ejercicio de desarrollo.- Hallar todos los extremos relativos de la funcin es posible, use el criterio de la segunda derivada. f (x) x5 10x3 2 . Si

EJERCICIOS 3.41) Determine los extremos relativos de las siguientes funciones. Use primero el criterio de la segunda derivada, si no se puede usar emplee el criterio de la primera. Vea si puede usar el criterio de la derivada para concluir si hay un extremo absoluto.1.1) y x5 1 ;1.2) y x 8x 2 ;1.3) y x3 x 2 1 ;31.4) y x 4 x 2 ;1.5) y x3 3x 2 3x 2 ; 1.6) y x3 x 2 3x 2 ;1.7) y (x 2 4x 20)4 ;1.8) y x3 x ;1.9) y 5x5 4x ;

1.10) y x 1 ;1.11)x y x x 2 / 3 .

Respuestas: 1.1) Valor crtico x=0, no se alcanza ni un mximo ni un mnimo relativo (el criterio de la segunda derivada no se puede usar); 1.2) En x=1/16 hay un mximo relativo y absoluto.1.3) En x=0 hay un mximo relativo. En x=2/3 hay un mnimo relativo. 1.4) En x=0 hay un mnimorelativo y absoluto. 1.5) Valor crtico x=1, por el criterio de la primera derivada no se alcanza ni un mximo ni un mnimo relativo (el criterio de la segunda derivada no se puede usar); 1.6) En x=3 hay un mnimo relativo. En x=-1 hay un mximo relativo; 1.7) En x=-2 hay un mnimo relativo, absoluto tambin. (Es ms rpido concluir por el criterio de la primera derivada). 1.8) No hay extremos; 1.9)En x 25 hay un mximo relativo. En x 2 hay un mnimo relativo; 51.10) En x=-1 hay un mximo relativo. En x=1 hay un mnimo relativo; 1.11) En x=0 hay un mximo

relativo. En x= 8 hay un mnimo relativo.273.5 Optimizacin28


Optimizacin

Una gran variedad de problemas requieren buscar un valor que haga mnima o mxima una cantidad. Esta cantidad puede venir dada en una frmula, en otras ocasiones deberemos conseguir la frmula. Veamos el siguiente problema donde est dada la frmula.

Ejemplo 1.- Se desea instalar un observatorio entre las ciudades X y Y cuya distancia entre ellas es 40km. La ciudad X tiene 8 veces ms iluminacin que la ciudad Y, esto se ve reflejado en el siguiente modelo que describe I la luminosidad de un punto situado a x km. de X.

I (x) 8k x 2 k,

(40 x)2donde k es una constante positiva.

Encuentre la mejor ubicacin lumnica del observatorio, esto es donde la luminosidad sea mnima.

Solucin:An cuando en el problema no se dice nada acerca de los valores posibles de x, es claro que debe estar en el intervalo (0,40).Una vez que tenemos claro el intervalo donde se va a buscar el mnimo pasamos a derivar para luego conseguir los puntos crticosI (x) (8kx2 )(k(40 x)2 )

I (x) 16kx3 2k (40 x)3Planteamos I (x) 0 a fin de conseguir los puntos crticos16kx3 2k (40 x)3 0Resolvemos observando que cada la variable slo est en factores elevados a la -3.

16kx 3 2k (40 x)3

8x 3 (40 x) 3

3 8x 3 3 (40 x)3

2x 1 (40 x)12(40 x) x x 803

x 80 / 3 es el nico valor crtico dentro del intervalo. Para clasificarlo usamos el criterio de la segunda derivada. Es fcil verificar que la segunda derivada esta dada por:

I (x) 48kx 4 6k (40 x)4 , cuando evaluamos esta derivada en x 80 / 3 , obtenemos queI (80 ) 0 ,tambin se puede confirmar por ser la suma de dos cantidades positivas.3Por tanto, en este punto se alcanza la mnima luminosidad. Remarcamos que ste es el mnimo absoluto pues hay un solo extremo relativo en el intervalo cerrado.En definitiva hay que ubicar el observatorio a 80 km. de la ciudad X.3

Los problemas de la vida real no se presentan tan explcitos como el problema de arriba. En los que siguen por lo menos se plantea el problema. El lector deber entender que una de las cuestiones que quedar en l es identificar diversos problemas de optimizacin que diariamente puede formular, y probablemente resolver con estas tcnicas.

Estos pasos debern ser tomados en cuenta a fin de resolver problemas de mximos y mnimos1.- Leer el problema hasta comprenderlo, este atento que cantidad se pide optimizar.2.- Realice uno varios dibujos de la situacin que muestre como se relacionan los elementos que varan. Escoja nombres a las variables de inters. Si hay varias variables involucradas, vea como se relacionan. Formule una ecuacin que plantee las relaciones entre las variables. Esta ecuacin se suele llamar de ligadura (porque establece la relacin entre las variables), otros autores la llaman de restriccin.3.-Exprese la cantidad que se quiere optimizar como funcin de una de las variables. Si necesit dos o ms variables, despeje las dems variables en trminos de una sola, usando la ecuacin de ligadura (o restriccin) y sustityala en la funcin a optimizar. Determine el dominio de la funcin resultante de acuerdo a la naturaleza del problema.4.- Determine los mximos o mnimos de la funcin a optimizar por algunos de los mtodos aprendidos, recuerde siempre garantizar que es absoluto.5.- Responda con palabras cada pregunta del problema.

Terminologa.- La funcin a optimizar se la conoce en la literatura como la funcin objetivo.

Ejemplo 2.- Se desea cercar un terreno donde uno de sus lados colinda con un ro, este lado no se piensa cercar. Se dispone de 1200 metros lineales de cerca. Cmo deben ser las dimensiones del terreno a fin de maximizar el rea a cercar?

Solucin:Son muchas las posibilidades de cercar este terreno con 1200 metros de cerca, por ejemplo algunas de ellas son como se muestra abajo

Pero se quiere conseguir la que tiene rea mxima. Observe que el rea est dada por

A x y

La cantidad A a maximizar depende de dos variables, debemos expresarla en trminos de una sola de estas variables. Para ello se debe establecer una ecuacin que de la relacin entre x y y para luego despejar una de ellas y sustituirla en A.La relacin entre x y y est dada por la restriccin de la cantidad de cerca a utilizar. Estarelacin viene dada por

x x y 1200 .2x y 1200 .Despejamos y3.5 Optimizacin30


y 1200 2x

Se sustituye y en el rea, a fin de expresar A como funcin de xA(x) x (1200 2x) .Conviene observa que el Dom A (0,600)

Esta funcin la podemos reescribir comoA(x) 1200x 2x 2

Derivamos a fin de obtener los nmeros crticos

A(x) 1200 4x

1200 4x 0

x 300 Buscamos los puntos crticosPara clasificar este nmero crtico calculamos la segunda derivada: A(x) 4 . Al evaluarlaen 300 obtenemos que A(300) 4 0 , por tanto all se alcanza un mximo relativo, al tener unnico extremo relativo en el intervalo (0,600) entonces l debe ser absoluto.

En conclusin: Las dimensiones del terreno deben ser 600 en el lado que corre paralelo al ro y 300 por los otros dos lados.

Ejemplo 3.- Se estima que en un terreno si se plantan 200 matas de aguacates, la produccin estimada ser de 300 Kg. por rbol y que por cada rbol que se deje de plantar la produccin aumentar en 3 Kg. por rbol. Cul es el nmero de rboles que debe plantarse en el terreno a fin de obtener la mxima cosecha posible en el terreno? Cul es este valor mximo?Solucin:La variable que puede ser usada para modelar este problema esx= Nmero de rboles que se dejan de plantar As queNmeros de rboles a plantar= 200 x yLa produccin estimada por rbol est dada porP= Produccin por rbol 300 3xDe esta maneraLa produccin total=( nmero de rboles a plantar) x ( produccin por rbol) P(x) (200 x) (300 3x)Es claro que 0 x 200 . Como deseamos obtener el mximo de la produccin derivamos a fin deconseguir los puntos crticos. Primero reescribimos la funcin:

P(x) 6000 300x 3x 2 .Se deriva

P(x) 300 6x

300 6x 0

x 50 . Buscamos los valores crticos Resolvemos la ecuacinComo estamos buscando el mximo en un intervalo cerrado y P es una funcin continua, evaluamos Pen 50 y en los extremos del intervalo cerrado.

P(0) 60000

P(50) 67500

P(200) 0El mximo rendimiento es 67.500Kg. y se alcanza cuando se dejan de plantar 50 rboles. Esto escuando se plantan 200 50 150 rboles.

Comentario.- En este problema tambin se pudo establecer la conclusin del mximo absoluto usando el criterio de la derivada para funciones con un nico extremo relativo.

Ejemplo 4.- Se cuenta con 1.500UM para construir un tanque de agua para riego que tendr forma cilndrica. Se estima que la construccin de los laterales costar 2UM el m2 y el de fondo 1UM.Cules deben ser las dimensiones del tanque de mayor capacidad que se puede construir con estos recursos? Asuma que el tanque no tiene tapa.

Solucin: Es claro que se pide el tanque con mximo volumen.

Distintos tipos de tanques pueden ser construidos con 1.500UM.

Las variables apropiadas son, sin duda, h, la altura, y r el radio del cilindro.

Recordemos que el volumen de un cilindro est dado por rea de la base por la altura. En frmulas esto esV r 2 hComo se puede observar la funcin que se quiere maximizar depende de dos variables. Entonces debemos buscar una relacin entre r y h dada por una ecuacin.La relacin entre las variables estar dada por la restriccin que se debe gastar 15.000UM. Formulamos verbalmente la ecuacin de restriccin:

Ecuacin de restriccin: Costo total del tanque=15.000. Vamos a expresar el costo total en trminos de las variables:

donde Costo total=costo de la base+costo de los lateralesCosto de la base= 1xArea de la baseyCosto de los laterales= 2xArea de los laterales

Costo de la base= r 2De esta manera yCosto de los laterales= 2 (2r h)

Costo total= r 2 4rh

Sustituyendo esta expresin en la ecuacin de restriccin obtenemos

r 2 4rh 1.500

sta es la ecuacin de restriccin o de ligadura. De ella despejamos una de las variables para sustituirla en la funcin a maximizar. Resulta aqu conveniente despejar h.3.5 Optimizacin32


1.500 r 2h 4 r

h 375 r .r4

Al sustituirla en la funcin a maximizar queda

V (r) r 2 ( 375 r )

V (r) 375r r4

r 3.4Ahora V qued expresada como funcin de r . Es claro que el dominio analtico de esta funcines R. Sin embargo el dominio dado por la naturaleza del problema es (0, buscaremos el mximo absoluto.Determinemos los puntos crticos de V:

3r 2V 375 ) y es aqu donde4

2375 3r 04

r 1500 12.61m.3Tenemos que clasificar este valor crtico, se usar el criterio de la segunda derivada.

Es fcil de chequear que V r 6r , al evaluar en el valor crtico da V ( 1500 ) 0, ,3por tanto por el criterio de la segunda derivada en este valor se alcanza un mximo relativo y como hay un nico extremo relativo en el intervalo (0, ) , aqu se alcanza el absoluto. Sustituyendo

r 12.61m. en h 375 r , obtenemos que h 6.31m .r4

En conclusin: El tanque debe tener una altura h 6.31m y el radio debe ser r 12.61m.

EJERCICIOS 3.5El porcentaje de sobrevivencia de un cierto tipo de larvas a una temperatura constante T(grados Celsius) al cabo de una semana es modelado por la frmula P(T)=-1.42T2+68T-746 para 20 T 30 . Halle las temperaturas a las cuales sobrevive el mayor y el menor porcentaje de larvas. Respuesta: en 23.94C sobrevive el mayor porcentaje y en 30 el menor.La velocidad de la sangre que est a r centmetros del eje central de una arteria de radio R es S (r) c(R 2 r 2 ) , donde c es una constante positiva. Dnde es mayor la velocidad de la sangre? Respuesta: En el eje central de la arteria.La reaccin del cuerpo a los medicamentos con frecuencia est dada por una ecuacin de la forma

R(d ) d 2 ( c d ) donde d es la dosis y c es la dosis mxima que puede administrarse. La razn de23cambio de R(d ) respecto ad se denomina sensibilidad. Halle el valor de d para el cul lasensibilidad es mxima. Respuesta: En c, la dosis mxima.

De acuerdo con cierto modelo logstico, la poblacin mundial t aos despus de 1960 ser

aproximadamente P(t) 401 12e006t . Cundo crecer ms rpidamente la poblacin?

Respuesta: ln120.06 aos despus de 1960.Un fabricante est diseando una caja de base cuadrada sin tapa, que debe tener un volumen de 120 cm3. Qu dimensiones debe tener la caja para que requiera un mnimo de material?

Respuesta : 23 30cm x 23 30cm x 3 30cm .

Un fabricante est diseando una caja de base cuadrada de120 cm3. de capacidad Qu dimensiones debe tener la caja para que la suma de las longitudes sea mnima?

Respuesta: 23 15cm x 23 15cm x 23 15cm .

Se est diseando un embalse de base cuadrada con capacidad para 120.000 m3. El costo del material de la base cuadrada es 2UM el m2 y el material lateral tiene un costo de 1UM el m2 Cules son las dimensiones del embalse con mnimo costo?

Respuesta: Cada lado de la base debe medir 200metros y la altura 50metros

El material de fondo de una cava de base cuadrada cuesta el triple por metro cuadrado de lo que cuesta el material de las caras y la tapa. Encuentre las dimensiones de la cava con mxima capacidad que se puede construir si la cantidad total de dinero disponible para el material es de 12UM y el metro cuadrado de material para el fondo cuesta 0.60 UM.

Respuesta: Cada lado de la base debe medir 5m. y la altura 2 5m.

Una ventana termina en una semicircunferencia como muestra el dibujo. Hallar las dimensiones de la ventana que tenga rea mxima si slo se dispone de 16 mts. lineales de hierro para formar el marco. Respuesta. Base y dimetro de la semicircunferencia:

16base, la altura del rectngulo es4 16.4

x

y

Se quiere cercar 1000m2 divididos en tres lotes iguales, como muestra el dibujo. Si el metro de cerca interior cuesta 2UM el metro lineal y el metro de la exterior cuesta 3UM el metro. Cules son las dimensiones de los lotes

que produce la cerca ms econmica? Respuesta x 10 6m. y 1006 6 m.

Una lata cilndrica sin tapa debe tener un volumen K. Demuestre que si se usa la cantidad mnima de material, entonces el radio y la altura sern iguales a

K /1 / 3 .Ayuda: Volumen del cilindro = r2h ; rea de la superficie= 2r h r 2 .

Se requiere fabricar una lata cilndrica disponiendo para ello de K cm2 de material. Demuestre que

el radio y la altura de la lata con volumen mximo son iguales a K /3.(Ayuda: Volumen del cilindro = r2h ;rea de la superficie con fondo y sin tapa = 2r h r 2 )3.5 Optimizacin34


En una hectrea se estima que con una siembra de 50 matas de aguacates la produccin al cabo de unos aos ser de 300 Kg. por rbol y por cada rbol adicional que se siembre la produccin bajar en un estimado de 3 Kg. por rbol. Cuntos rboles deber plantar el agricultor para maximizar la produccin? Respuesta 75 rbolesSe va a tender un cable desde una planta elctrica ubicada a un lado de un ro de 800metros de ancho hasta una industria que se encuentra al otro lado, 2000 metros ro arriba de la planta. El costo de tender el cable por debajo del agua es 5000UM por kilmetro y sobre tierra es de 3000UM por kilmetro. El cable seguir la orilla del ro a partir de la planta una distancia de x kilmetros y luego cruzar diagonalmente el ro en lnea recta directamente hasta la industria. Determine el valor de x que minimiza el costo total. Respuesta.- 1400

Repita el ejercicio anterior cuando el precio sobre tierra es 4.800UM. Respuesta.- x=0. Se tiende slo el cable subterrneo directamente de la planta a la industria.Un envase cilndrico debe contener 200cc de jugo. El costo de un cm2 de material de las bases, es

decir la parte superior e inferior del envase, es el doble que la de los laterales. Cules son las.100dimensiones del envase menos costoso? Respuesta r 3 2

Se quiere construir una caja abierta utilizando una pieza cuadrada de cartn de 30cm. de lado, cortando un cuadro en cada una de las 4 esquinas y doblando hacia arriba los lados. a) Cmo debemos cortar para obtener la caja mximo volumen? b) Cul es ese volumen? Respuesta: a) Hay que cortar cuadro de 5cm de lado; b) 2000 cm3.

Se est diseando una lata cilndrica con tapa y fondo la cual debe tener una capacidad de 64cc.

Cules son las dimensiones de la lata que utiliza la mnima cantidad de material?

(Respuesta r = 2.16 cm. y h = 4.36 cm. r 2 3 4 ; h 64.r 2La alcalda de un municipio exige que el retiro de frente sea de al menos 7 metros, 5 metros al menos de fondo y de cada lado exista un retiro de al menos 4 metros. Entre todos los terrenos de forma rectangular con 600 metros cuadrados de rea cules son las dimensiones del terreno que tiene mayor rea para construir? Respuesta: Fondo 30metros y frente 20metros.Un agricultor puede vender el saco de apio a 30UM el primero de septiembre, el precio del apio empieza a disminuir a una tasa aproximada de 0.5 UM por semana. Para la fecha del 1 de septiembre l tiene 120 sacos y estima que su cosecha aumentar en tres sacos por semana. Cundo le convendr vender su cosecha? Respuesta: dentro de 10 semanas.

MS PROBLEMASLa concentracin de agua en el suelo ha sido modelada para cierta regin mediante la frmula

2c 1 ex . Determine la profundidad donde c crece ms rpido. Respuesta: x 2 .2El tamao N de una cosecha depende del nivel de nitrgeno de acuerdo al siguiente modelo

T (N ) 2N4 N 2 . Calcule el nivel de nitrgeno en que se maximiza la produccin. Respuesta: N=1.Un modelo para la velocidad de crecimiento de una poblacin est dada por el siguiente

3 / 2v(N ) N 1 N , donde N es el tamao de la poblacin. Calcule el tamao de la poblacin100 donde la velocidad de crecimiento es mxima.Un agricultor estima que si planta 120 rboles de aguacates en un terreno, la produccin esperada al cabo de unos aos por rbol ser 475 Kg. y esta disminuir en 5 Kg. por rbol, por cada rbol adicional plantado en el terreno. Cuntos rboles debera plantar el cultivador para maximizar la produccin total? Respuesta: 154 rbolesSe piensa establecer una fbrica de refresco para abastecer a tres ciudades ubicadas a los largo de

una carretera recta. Las ubicaciones de las tres ciudades estn representadas en el diagrama:

Dnde se deber establecer la fbrica a fin de que la suma de los cuadrados de las distancias de las ciudades a la fbrica sea mnima? (Ayuda: Asuma que el punto ptimo est entre B y C). Respuesta: En la ciudad B.Resuelva el problema anterior con las siguientes distancias entre ciudades

Respuesta: A 10 Km. de distancia de B en la va a C3.6 Optimizacin en economa36


Optimizacin en economa

Hay una gran variedad de problemas en administracin y economa donde se emplea la derivada para encontrar mximos y mnimos. Particularmente a una empresa le interesa el nivel de produccin donde se alcanza la mxima utilidad o el mximo ingreso o a un fabricante le interesara saber el nivel de produccin es que su costo promedio por unidad es mnimo. Adems de estos problemas en esta seccin estudiaremos en detalle el problema de control de inventario. Empezaremos esta seccin con problemas sobre costos.

Ejemplo 1.- El costo total de producir q unidades de un artculo est dado por

c(q) 5000 4q 1 q 2 . a) Cuntas unidades deber producirse a fin de obtener el mnimo costo 2promedio por unidad? b) Cul es ese mnimo costo promedio?Solucin: Primero debemos obtener el costo promedio. Este se calcula dividiendo el costo total entreq

c (q) 5000 4q 1 q 22

5000

4

1 q .qq2Ahora se calcula la primera deriva de c .c (q) 5000q 1 4 1 q 5000 q 2 1 .2 2Planteamos c (q) 0 para encontrar los valores crticos.5000 q 2 1 02Esta ecuacin la resolvemos despejando q 2 .q 2 10.000q 100 .

Alternativamente pudimos resolver la ecuacin reescribiendo el lado izquierdo como una suma de fracciones, la cual sumamos y planteamos la ecuacin numerador igual a cero.Eliminamos la solucin negativa pues carece de sentido.

Tenemos que clasificar q 100 que esel nico valor crtico en el intervalo [0, ) .Usaremos el criterio de la segunda derivada

c (q) 10000 q 3 , al evaluar tenemos

c (100) 10000 11003 0 .Entonces en q 100 entonces podemos concluir: se alcanza un mnimo relativo y como hay un nico extremo relativoCuando se producen 100 unidades tendremos el costo promedio mnimo.El mnimo costo promedio es

2

c (100) c(100) 5000 4 100 (100) / 2 5000 400 5000 104 UM.100 100 100

Ejemplo 2.- El costo total de producir q unidades de un artculo est dado por

c(q) 1000 300q 1 q 2 . Si la ecuacin de demanda est dada por20 p 200 0.1q . a) Cuntasunidades deber producirse a fin de obtener la mxima utilidad? b) Cul es el precio en que se tiene la mxima utilidad? c) Cul es la utilidad mxima posible? d) Si el gobierno impone un impuesto de 10UM por unidad Cul es el nuevo nivel de produccin que maximiza la utilidad?

Solucin: Primero se debe conseguir la funcin utilidad U I CEn este caso, como I pq (400 0.1q)q 400q 0.1q 2 , tenemos

U q(400q 0.1q 2 ) (1000 300q 1 q 2 )20U q400q 0.1q 2 1000 300q 1 q 220U q 3 q 2 100q 100020Derivamos

U q 6 q 10020Se plantea U 0 para conseguir los puntos crticos:

3 q 100 010

q 1000 / 3Se tiene un nico punto crtico. Se usa el criterio de la segunda derivada para clasificar el posible extremo.U q310Como U es siempre negativa, as lo es en el nmero crtico. Por tanto enmximo relativo y por existir un nico extremo, ste es absoluto. q 1000 / 3 se alcanza un

Se sustituye en la ecuacin de demanda para obtener el precio de venta mximo.

p 400 0.1(1000 / 3)p 1100 / 3 367 UM.

Se consigue el valor mximo de la funcin utilidad.

U q 3 q 2 100q 1000202U 1000 3 1000 1001000 100 49.700 / 3UM 16.567UM .3 20 3 3

Al imponer un impuesto de 10 UM por unidad los costos totales aumentan en 10q . La nueva funcin de costos est dada por

ci (q) 1000 310q

y la funcin de utilidad queda 1 q 220U i q

DerivamosiU q 3 q 2 90q 100020

6 q 9020Se plantea

U i0 para conseguir los puntos crticos:3 q 90 010q 300 .3.6 Optimizacin en economa38


De nuevo, se tiene un nico punto crtico y U i q0.1 , se concluye de manera similar quearriba: En q 900 se alcanza un mximo de la funcin utilidad con impuesto. Para obtener el precioen que se alcanza la mxima utilidad se sustituye enp 400 0.1(300)p 370y para la utilidad mxima se sustituye en la funcin utilidad con impuestoU i q 3 q 2 90q 10020U i 300 3 (300) 2 90(300) 100 13.400UM20Ahora la utilidad mxima es de 13.400UM. Observe que el nuevo precio es de 370 UM.

Ejemplo 3.- Un gimnasio tiene la cuota mensual en 100UM. A ese precio se inscriben mensualmente un promedio de 550 clientes. Se quiere subir los precios y se estima que por cada aumento de 2UM se pierden 5 clientes Qu precio se deber fijar a fin de que el gimnasio obtenga el mximo ingreso? Solucin:En este caso el ingreso viene dado porIngreso= (Nmero de clientes)x(cuota mensual)Definimos comox Nmero de aumentos de 2 UM.Es claro que x tiene que ser mayor o igual a cero. Con esta definicin tenemos: Cuota mensual=100 2xNmero de clientes= 550 5x

Note que el nmero de clientes dado por esta frmula es una cantidad no negativa si x 110Sustituyendo en la funcin ingreso obtenemosI x(550 5x)(100 2x)

I x55000 500x 1100x 10x 2I x10(5500 60x x 2 ) , donde x [0,110]

sta es la funcin a maximizar. A fin de determinar donde se alcanza el mximo se deriva la funcin ingreso y se iguala a 0I 10(60 2x) 0La solucin de esta ecuacin, x 30 , es el nico valor crtico de la funcin ingreso.Una manera de determinar el mximo absoluto en crtico y en los extremos del intervalo:I (0) 55000I (30) 64000I (110) 0 [0,110] es evaluar la funcin de ingreso en el valorEntonces el mximo del ingreso ocurre en x 30 y es de 64000UM. Recuerde que x es elnmero de incrementos de 2UM y la cuota mensual donde se alcanza el mximo ingreso est dada por Cuota mensual=100 2(30) 160Con esta cuota se tendr queNmero de clientes= 550 5(30) 400 .

Comentario.- El problema tambin se poda resolver estableciendo como variables p y q. Si se procede de esta manera entonces hay que establecer una ecuacin que relacione estas variables. Observe que la relacin entre p y q es lineal.

CONTROL DE INVENTARIOSUna aplicacin importante de la teora de optimizacin dada en la administracin y economa es el problema de control de inventarios. En trminos de negocios este problema lo podemos plantear de la siguiente manera: Se tiene una demanda fija de k unidades de un producto al ao, la cual es vendida de una manera uniforme a lo largo del ao. El negocio enfrenta dos costos: los costos de almacenamientos y los costos de envo. Si el tamao del pedido es grande el costo de almacenamiento as lo ser, pero se incurrir en menos costos de envo. Por otra parte, si el tamao del pedido es pequeo se tendrn que hacer muchos pedidos al ao incurriendo en costos de envo elevados. En la produccin de una industria se tienen problemas con planteamientos similares: una fbrica que necesita alguna materia prima, donde estn presentes estos dos costos. Tambin una industria que produce los productos en apenas unas horas, pero que el costo de almacenamiento es elevado y presenta por otro lado un costo en cada proceso de produccin.

Ejemplo 3.- Una tipografa utiliza 6.000 resmas de pliego de papelal ao. El costo de envo de pedido es de 30UM. independientemente de la cantidad de resmas pedidas. La resma se compra a 10,5UM la unidad. Suponga que cada pedido llega justo cuando se ha acabado el inventario del anterior pedido. El costo de almacenamiento es de 1UM por resma al ao y las resmas son utilizadas de manera uniforme a lo largo del ao. Determinar el tamao del lote que minimiza el costo total. Solucin: Sea x =nmero de resmas de papel en cada pedido.En este problema de control de inventarios se han hecho las suposiciones:La utilizacin de resmas por parte de la tipografa se hace de manera uniforme.Justo cuando se acaba el pedido anterior llega el siguiente.

Estas dos suposiciones llevan a intuir que en el almacn existe en promedio x / 2 resmas de papel alao. Por ejemplo si se hacen 2 pedidos al ao. Cada pedido es de 3.000 resmas. El da que llega un pedido hay 3.000 resmas de papel, justo llegan cuando se acaban las anteriores y el ltimo da hay 0 resmas. En promedio hay 1.500 resmas en el almacn en cada periodo y durante el ao. Esta cuenta intuitiva puede ser demostrada de manera formal usando la teora de integracin.Tenemos entonces que:

= 1x2

Si el tamao del pedido es x entonces el nmero de pedidos es

6.000 . Podemos entonces obtenerx

Finalmente = 6.000 30x

= x 180.000 6.000x10.52xSi denotamos por C(x) el costo total cuando los pedidos son de x resmas entonces tenemos:3.6 Optimizacin en economa40


C(x) x 180.000 63.000 .2xDebemos entonces encontrar el mnimo absoluto de C(x) en (0,6000]Buscamos primero los puntos crticos dentro del intervalo, para ello derivamos y planteamos donde la derivada se anula:1 180.000 02x 2Las soluciones de esta ecuacin son x 600 . Slo tomamos la solucin positiva. Paraclasificar usamos el criterio de la segunda derivadaC (x) 360.000x3C(600) 360.000 0 .6003As en x=600 se alcanza un mnimo relativo y por existir un nico extremo en el intervalo este mnimo es absoluto. En conclusin se deben pedir lotes de 600 resmas.

EJERCICIOS 3.6La ecuacin de demanda de un producto es mximo ingreso? Respuesta: p=8 UM.

p 12 0.01q 2 . Cul es el precio en que se obtiene elLa funcin de demanda para un determinado artculo es

p 20eq /10 . a) Encuentre el valor de p enque el ingreso es mximo para 0 q 20 . b) Encuentre el valor de p en que el ingreso es mximopara 0 q 5 . Respuesta: a) p=20/e; b) p=20/e UM.La ecuacin de demanda de un determinado artculo es

p 200 2q

y la funcin de costo esc 200 4q . En qu nivel de produccin se maximizar la utilidad? Cul es la utilidad mxima?Respuesta : q=49 unidades; Umax=4602 UM.La ecuacin de demanda de un determinado artculo es

p 150q y la funcin de costo total esc 200 25q . Cul es el precio que dar la utilidad mxima? Cul es la utilidad mxima?Respuesta: p=50UM; q=9; 25 UM es la utilidad mxima).El costo unitario de un producto es 3 UM y la ecuacin de demanda es

p 200 3q . Cul es elprecio que dar la utilidad mxima? Cul es la utilidad mxima? Demuestre que el mximo ocurre cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal. Respuesta: p=101,5 UM.; Umax=3234 UM.La ecuacin de demanda de un determinado artculo es

p 8000 y la funcin de costo promedioqes c 50 100 . a) Cul es el precio y el nivel de produccin que dar la utilidad mxima? b)qDemuestre que en este nivel el ingreso marginal es igual al costo marginal. Respuesta: q=64.000Se ha determinado que la funcin de costo promedio para un determinado artculo es

c q 32 400 . a) Cul es el nivel de produccin que minimiza el costo promedio si la empresa noqpuede fabricar ms de 30 artculos? b) Cul es el nivel de produccin que minimiza el costo promedio por unidad si la empresa no puede fabricar ms de 15 artculos?Respuesta: a) q=20; b) q=15 unidades**8) La funcin de costos totales de un fabricante es c 0.04q 2 4q 100 . a) Cul es el nivel deproduccin para el cul el costo promedio es mnimo? b) Cul es el nivel de produccin para el cul el costo marginal es mnimo? Respuesta: a) q=50; b) q=0.

9) Los costos totales fijos de una empresa son 1000UM, el costo variable por unidad es de 5UM y la

ecuacin de demanda es p 40 . a) Cul es el nivel de produccin que maximiza la utilidad? Culqes el precio que hay que fijar para que la utilidad sea mxima? b) Si el gobierno fija un impuesto de 3UM por unidad, cul ser ahora el precio que maximiza la utilidad? Compare precios ptimos, produccin y utilidad con y sin impuesto. Respuestas: a) q=16; p=10; b) q=25/4 unidades; p=16 UM.*10) Un editor sabe que tiene una venta de 5.000 ejemplares de un libro si lo vende a 25UM. El estima que por cada UM que aumente deja de vender 25 ejemplares. Si la funcin de costos totales por editar q libros es c(q)=-0.001q2+2q+20.000. Cul es el precio que maximizar la utilidad?Respuesta: 110.64 UMUn hotel de 100 habitaciones dobles cobra 80UM por noche, con este precio normalmente se alquila 40 habitaciones. La gerencia estima que por cada 5 UM de rebaja conseguir alquilar 4 habitaciones ms. Cul es el precio que maximizar el ingreso? Respuesta: p=65 UM.Si la funcin de utilidad de un producto est dada por u 1 q 3 2.5q 2 500q 5000

3Determine el nivel de produccin en que la utilidad es mxima considerando. a) Que la empresa no puede producir ms de 50 artculos. b) Que la empresa no puede producir ms de 20 artculos. Respuesta: a) q=25 UM, b) q=20 unidades.Si una compaa gasta x UM en publicidad, el nmero de artculos que vender est dado por

q 400 x1 x . Sin incurrir en los gastos de publicidad, la compaa tiene unos beneficios de 100UMpor artculo. Determine el valor de q y el gasto en publicidad que maximiza la utilidad.Respuesta: 199 UM.Una concesionaria de carros vende 5000 vehculos al ao y los pide a la fbrica en lotes de tamao

q. Cada pedido cuesta 250 UM y el costo de almacenaje cuesta 50 UM. por auto, independientemente del tiempo en que estar en el almacn. Determine el tamao ptimo del lote, (esto es, el que minimiza la suma de los costos de almacenamiento y pedido).El costo de producir un artculo es 150+t UM, donde t es el impuesto por unidad producida. La

ecuacin de demanda del artculo esta dada por p=300-3q. a) Diga en trminos de t, el nivel de produccin que maximiza las utilidades de la empresa. Cul es la mxima utilidad? b) Si t=30, cul es el nivel de produccin que maximiza la utilidad y cul es esas utilidad?. Repita con t=60.c) Determine el impuesto por unidad t que debe imponerse para obtener una mxima recaudacin.

Respuestas: 150 t ; b) 20; 15 unidades; c) 75 UM.6El ingreso total por producir q artculos est dado por

I (q) 4375q 25q 2 y su funcin de costoes C(q) 100 55q q 2 . a) Cul es el nivel de produccin en que se produce la mxima utilidad sila fabrica tiene una capacidad para elaborar 100 artculos? b) Cul es el nivel de produccin en que se produce la mxima utilidad si la fabrica tiene una capacidad hasta elaborar 80 artculos?Respuestas: a) 90; b) 80 unidades.

La ecuacin de demanda paraq unidades de un producto est dada por

p 40q y el costo

promedio es C (q) 100 5 . a) Cul es el nivel de produccin que maximiza la utilidad? Cul es elqprecio que hay que fijar para que la utilidad sea mxima? b) El gobierno decide dar un subsidio de 1UM por unidad, cul ser ahora el precio que maximiza la utilidad? Compare precios ptimos, produccin y utilidad con y sin subsidio. d) Cunto le cuesta al estado este subsidio?Respuestas: a) q=16 p=10 U=80; b) q=25; p=8; U=25; d) 25UM.Un museo cobra la admisin a grupos de acuerdo a la siguiente poltica. Para los grupos con 40 o menos personas el precio es de 50UM por persona, pero por cada persona adicional el precio por persona disminuir en 1UM (por ejemplo si el grupo es de 42 personas el precio para cada una es de

3.6 Optimizacin en economa

42

Captulo 3: Aplicaciones de la derivada

43

48UM). a) Exprese el ingreso del museo en funcin del tamao del grupo. b) Cul es el tamao del grupo para el cul el museo obtiene el mximo ingreso? Respuesta: b) 45 personas.Un museo cobra la admisin a grupos de acuerdo a la siguiente poltica. Para los grupos con 40 o

menos personas el precio es de 50UM por persona, y el ticket de las personas por encima de 40 disminuirn en 1 UM por cada persona por encima de 40. (Es decir si el tamao del grupo es 42 entonces las primeras 40 tickets costarn 50 y los tickets 41 y 42 costarn 48) a) Cul es el tamao del grupo para el cual el museo obtiene el mximo ingreso? b) Cul es ese ingreso?Respuestas: 25 personas, I=2625UM..Una ferretera tiene una demanda promedio de 400 cajas de bombillos tubulares tipo X al ao. El costo de envo desde la fbrica es de 50UM independientemente de la cantidad de cajas pedidas hasta un mximo de 400 cajas. El costo de adquisicin de cada caja es de 100UM y el costo de almacenamiento es de 8UM por caja por ao. Suponga que las cajas son vendidas de manera constante durante el ao y cada pedido llega justo cuando se acabo el anterior, determine el tamao del lote que minimiza los costos totales. Respuesta: 80 cajas.

Grficas de funciones polinmicas

Las funciones polinmicas son las ms sencillas de graficar pues son pocos los elementos a tomar en cuenta. El dominio de la funcin son todos los reales, podemos tomar en cuenta la simetra, ella es fcil de determinarla (si todos los exponentes son pares la funcin es par, si todos los exponentes son impares la funcin es impar, si no ocurre ninguna de las situaciones anteriores entonces la funcin no es par ni impar).

Para graficar este tipo de funcin se suele realizar los siguientes pasos:1.- Calcular puntos crticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento.2.- Determinar intervalos de concavidad y puntos de inflexin.3.-Calcular algunos puntos de la grfica de inters. Suelen ser los puntos crticos, puntos de inflexin, interseccin con el eje y e intersecciones con el eje x si resulta fcil de calcular. Graficar estos puntos y luego unirlos de acuerdo a la informacin aportada por 1 y 2.Se recomienda que la informacin aportada por los numerales 1 y 2 colocarlos en la recta realque est alineada con el eje x del plano sobre el que vamos hacer la grafica.

Ejemplo 1.- Bosqueje la grfica de

Solucin: y x34 3x .1.- Se determina puntos crticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos. Para ello calculamos la primera derivada:2y3x 34Determinamos los puntos crticos al solucionar:23x4

3 0x 2 son los puntos crticos de y. Los colocamos en la recta real y evaluamos la primera derivada en

valores de prueba tomados de los intervalos delimitados por estos puntos crticos a fin de estudiar la monotona de la funcin.

La informacin de los intervalos de crecimiento y decrecimiento es colocada en la recta real alineada con el eje x del plano donde se trazar la grfica de la funcin

2.- Se determina intervalos de concavidad y puntos de inflexin.

La segunda derivada est dada por y3x . El nico punto candidato a cambio de concavidad es 2x=0. Lo colocamos en la recta real y evaluamos la segunda derivada en valores de prueba tomados en los intervalos (,0) y (0, ) para examinar el signo de la segunda derivada en estos intervalos.

3.- Calculamos las intersecciones con los ejes coordenados y hacemos una tabla de valores donde estn los puntos crticos y los puntos de inflexin junto con las intersecciones con los ejes.Recuerde que para encontrar interseccin con el eje x planteamos3 y 0 . Esto esy x4 3x 0 ,cuyas soluciones son x 0, 12 . As los cortes son (0,0) , ( 12,0) y (12,0)Con el eje y debemos plantear x 0 .

3y(0) 04

3 0 0

xy= f (x)Puntos caractersticos-2-4Pto. critico24Pto.. critico

0

0Pto. de inflexin. Corte con los ejes120Cortes con el eje x

Ahora hacemos la tabla de valores. Llevamos la informacin de los intervalos de monotona y concavidad cuadrados con los ejes coordenados del plano y graficamos los puntos dados en la tabla. Las flechas indican la monotona de la funcin y como tienen que llegar a los puntos graficados. Siempre es conveniente dibujar la grfica cerca del punto de inflexin como una recta (con pendiente aproximadamente la derivada evaluada en ese punto). En el resto de la grfica se sigue la informacin de concavidad y se une los puntos con un trazo suave.

3.7 Grfica de funciones polinmicas44


Ejercicio de desarrollo Trazar la grfica de y x 4 4x 2 3 .

EJERCICIOS 3.7

Rellene la informacin sobre cada una de las grficas de las siguientes funciones. Represente los puntos de la tabla de valores en el plano. Si es extremo relativo, desplace las flechas que corresponda a monotona antes y despus del punto, si es punto de inflexin coloque una recta con la inclinacin dada por la derivada en ese punto. Por ltimo grafique.

4

1.1) y x 2 x6 ; 1.2) y 6x(x 1) 2 1 .

En cada uno de los siguientes ejercicios, dibuje una funcin continua f en el intervalo en el intervalo indicado [0,5] que satisfaga las condiciones dadas.

2.1) f (0) 2; f (3) 0; f (5) 3f (x) 0 en (0,3) ;f (x) 0 en (0,4) ; f (x) 0 en (3,5) ;f (x) 0 en (4,5) .

2.2) f (0) 16; f (2) 4; f (1) f (4) 0f (x) 0 en (2,4) ;f (x) 0 en (3,5) ; f (x) 0 en (0,2) (4,5);f (x) 0 en (0,3) .

Para cada una de las siguientes funciones determine: dominio, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos, puntos de inflexin, simetras y aquellas intersecciones que puedan obtenerse convenientemente. Bosqueje la grfica.

4

3.1) y x 2 2x 1 ;3.2) y x2 2x3 2x2 ;3.3) y x 4 2x3 1 ;3.4)

3.7) y 3x 2 x3 ;3.5)y (1 2x 2 )4 ;3.8) y x 4 2x 2 ;3.6)y x 4 2x3 ;3.9) y 3x5 5x3 ;y (1 x)4 (x 2)3 .

Las siguientes grficas son las grficas de las funciones derivadas

f (x) de f (x) . Describa,para cada una de ellas, la funcin dada en cada una. y f (x) y bosqueje una grfica posible de f (x) con la condicin

Respuestas:

3.7 Grfica de funciones polinmicas46


Grficas de funciones racionales

Las funciones racionales son de la forma:f (x) p(x) ,q(x)donde p(x) y q(x) son funciones polinmicas. Recuerde que el dominio de este tipo de funcin es

Dom f x tales que q(x) 0.Es decir son todos los x donde el denominador no se anula. Recordamos que los c donde el denominador se anula definen los candidatos x=c a ser asntotas verticales.

Para graficarlas se suele seguir los siguientes pasos:1.- Calcular el dominio de la funcin.2.- Hallar la primera derivada para luego calcular puntos crticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos. Se recomienda llevar esta informacin a la recta real colocada encima del plano cartesiano donde se realizar la grfica y alineada con el eje x de este plano.3.- Calcular la segunda derivada para luego determinar intervalos de concavidad y puntos de inflexin. Se recomienda llevar esta informacin a otra recta real cuadrada con la recta real del crecimiento y con el eje x del plano donde se realizar la grfica.4.- Determinar las asntotas verticales. Determinar las asntotas en infinito: horizontales y oblicuas.Dibujar las asntotas con un trazo punteado en el plano donde se bosquejar la grfica de la funcin.5.- Calcular algunos puntos de inters de la grfica, llevndolos a una tabla de valores. Esto son los puntos crticos, puntos de inflexin, interseccin con el eje y e intersecciones con el eje x si resultafcil de calcular. (Recuerde, por ejemplo, que el valor crtico, x0 , debe ser evaluado en la propiafuncin para obtener el punto crtico x0 , f x0 el cual es un punto de la grfica de f). Graficar estospuntos, (se recomienda trazar tenuemente las flechas de crecimiento y decrecimiento antes y despus de estos puntos caracterstico). Puede ser de gran ayuda dibujar un trozo de grfica en la zona donde la grfica se acerca a la asntota y luego unir los puntos caractersticos junto con los pequeos trazos de la grfica de acuerdo a la informacin aportada por los puntos anteriores.

Insistimos en recomendar que los puntos de la grfica obtenidos por los numerales 2 y 3 se coloquen en rectas reales alineadas con el eje x del plano sobre el que vamos hacer la grfica, p

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