2. GRAFICI FUNKCIJE DIREKTNE I OBRNUTE

PROPORCIONALNOSTI. LINEARNA FUNKCIJA

2.1. Pravougli koordinatni sistem u ravni. Koordinate tačke.

Poznat nam je postupak kako se svakoj tački prave pridružuje tačno jedanrealan broj pri čemu svakom realnom broju odgovara tačno jedna tačka. Takvupravu nazivamo brojna prava ili brojna osa.Neka se u jednoj ravni nalaze dvije brojne ose koje se sijeku u tački O i kojezaklapaju pravi ugao (Sl.2.1.).

Sl.2.1. Brojne prave OB i OC nazivamo koordinatne ose !

2

Označimo ove ose sa Ox i Oy (Sl.2-1). Tako smo došli do pravouglog Dekartovogkoordinatnog sistema u ravni. Prave Ox i Oy nazivamo koordinatne ose. Tačku Onazivamo koordinatni početak. Uzmimo proizvoljnu tačku A u ravnikoordinatnog sistema, pa odredimo njene projekcije na koordinatne ose paralelnotim osama. Tako ćemo dobiti tačke B i C od kojih je B na x-osi, a C na y-osi. Timtačkama, redom, odgovaraju realni brojevi x i y koje nazivamo koordinate tačke

M u posmatranom koordinatnom sistemu i to x nazivamo njenom apscisom, a yordinatom. Da tačka A ima koordinate x i y to označavamo ovako A(x, y). Kakoje A proizvoljna tačka ravni, to svakoj tački ravni odgovaraju dva realna broja,dvije njene koordinate u odnosu na neki koordinatni sistem. I obrnuto, ako uzmemoma koji uređen par realnih brojeva, na jedinstven način u koordinatnom sistemumožemo odrediti tačku koja odgovara tom paru brojeva.Na našoj slici tačka je A(4, 3). Vidimo da tačka A ima prvu koordinatu 4, kojunazivamo apscisa tačke A, i drugu koordinatu 3, koju nazivamo ordinata tačke A.

Rene Dekart (lat. Renatus des Cartes, fr. René Descartes) jefrancuski matematičar, filozof i naučnik.Svojim djelom Geometrija (La geometrie) postavio je osnovedanašnjoj analitičkoj geometriji kojom je povezao geometriju saalgebrom.

Rođen je 31. marta 1596. godine u La Eju (La Haue, danas LaHaue Descartes) u Francuskoj. Obrazovanje je stekao u Anjonuupisavši Jezuitsku školu u La Flešu (La Fleche). Tu je proveoosam godina učeći logiku, matematiku i tradicionalnu

Aristotelovu filozofiju.U školi je Dekart shvatio koliko on u stvari malo zna. Jedini predmet kojim je biozadovoljan bila je matematika. Ovo saznanje ne samo što je uticalo na njegov načinrazmišljanja, već i na njegov cjelokupni rad.Po završetku škole preselio se u Pariz. Diplomirao je prava 1616. godine. Živio je, radio iučio u mnogim zemljama Europe, jer je mnogo putovao. Dekart se vremenom umorio odčestih putovanja i odlučio da se skrasi. Izabrao je Holandiju. Nakon dvadesetak godinaživota i rada u Holandiji, pozvan je od švedske kraljice Kristine na dvor u Štokholm. Tu jeproveo posljednje godine života. Umro je 11. februara 1650. godine od zapaljenja pluća, upedeset i četvrtoj godini.

Najpoznatija Dekartova djela:

Geometrija (La Geometrie);Svijet (Le Monde, ou Traité de la Lumiere);Rasprava o metodi (Discours de la method pour bien conduire sa raison et chercher laverite dans les sciences);Dioptrija (La Dioptrique), Meteori (Les Meteores);Meditacije o prvoj filozofiji (Meditationes de prima philosophia, 1641)

3

Dekartov pravougli koordinatni system je ravan u kojoj se nalazi podijelio na četiridijela. Te dijelove nazivamo kvadranti (Sl.2.2.).

Sl.2.2. U drugom kvadrantu je apscisa negativna, a u četvrtom je negativna ordinata!

2.2. Rastojanje između dvije tačke. Koordinate središta duži.

Neka su date tačke A(x1, y1) i B(x2, y2) (Sl.2.3). Odredimo rastojanjeovih tačaka, odnosno odredimo dužinu duži AB.Prema Sl.2.2. zaključujemo da vrijedi:

AC = A1B1 = OB1 – OA1 = x2 – x1BC = BB1 – CB1 = y2 – y1 .

Primjenom Pitagorine teoreme na trougao ABC, dobije se:

AB2 = AC2 + BC2 , AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

( ) ( )2

12

2

12 yyxxABd −+−== .

4

Sl.2.3. Udaljenost tačaka A i B računamo koristeći Pitagorinu teoremu!

Primjer 1: Odrediti rastojanje tačaka A( – 2, 7) i B(4, –1).

Rješenje: ( ) ( )2

12

2

12 yyxxABd −+−== =

= ( ) ( ) 106436712422

=+=−−++ .

Primjer 2: Date su koordinate vrhova trokuta ABC i to: A(– 4, –3), B(8, 2) iC(5, 6). Odrediti obim ovog trokuta.

Rješenje:

( ) ( ) ( ) ( ) 251443248222

12

2

12 +=+++=−+−= yyxxAB = 13.

( ) ( ) ( ) ( ) 516926852222

=+=−+−=−+−= BCBC yyxxBC .

( ) ( ) ( ) ( ) 29818136452222

=+=+++=−+−= ACAC yyxxAC .

O = AB + BC + AC = 13 + 5 + )22(929 += .

5

Odredimo, sada, tačku M(xM, yM) koja je središte duži AB (Sl.2.4.).Posmatrajmo date tačkeA(x1, y1) i B(x2, y2) injihovo središteM(xM, yM). Uočimotrouglove AMD i BMC.Ova dva trougla supodudarna, jer supravougli sa jednakimoštrim uglovima ijednakim hipotenuzama.Kako jeAD = xM – x1,MC = x2 – xM ,DM = yM – y1,CB = y2 – yM ,AM = MB, to je:

Sl.2.4. Tačka M je središte duži AB !

AD = MC � xM – x1 = x2 – xM � 2xM = x1+ x2 �2

21 xxxM

+=

DM = CB � yM – y1= y2 – yM � 2yM = y1+ y2 �2

21 yyyM

+= .

Dobili smo da tačka M ima sljedeće koordinate:

++

2,

2

2121 yyxxM .

Primjer: Odrediti dužine težišnica trokuta ABC ako njegovi vrhovi imajukoordinate : A(– 3, –1), B(6, –2), (7, 3).

Rješenje: Odredimo, prvo, koordinate središta stranica datog trokuta. Neka je A1

središte stranice BC ( skiciraj sliku u Dekartovom pravouglom koordinatnomsistemu!). Tada za koordinate tačke A1 vrijedi:

=

+−+=

++

2

1,

2

13

2

32,

2

76

2,

2111 AA

yyxxA CBCB .

Za težišnicu ta = AA1 vrijedi:

6

( ) ( )22

22

1 12

13

2

1311

++

+=−+−== AAAAa yyxxAAt

4

370

4

9

4

361

2

3

2

19

2

21

2

6132222

=+=

+

=

++

+=

= 62,92

370≈ .

Odredimo, na analogan način, koordinate tačke B1 koja je središte stranice AC:

( )1,22

31,

2

73

2,

2111 BB

yyxxB CACA =

+−+−=

++.

Za težišnicu tb = BB1 vrijedi:

( ) ( ) ( ) ( )2222

1 216211

++−=−+−== BBBBb yyxxBBt

( ) 52591634 22==+=+−= .

Na analogan način se dobije tačka

2

3- ,

2

3C1 i treća težišnica tc = 11,7

2

202≈ .

Pitanja za ponavljanje:1. Kako izgleda Dekartov pravougli koordinatni sistem?Skiciraj!2. Koju tačku nazivamo koordinatni početak?3. Šta nazivamo koordinatnim osama ?4. Koju osu nazivamo apscisna osa?5. Šta je osa ordinata?6. Koje brojeve nazivamo koordinate tačke?7. Kako nazivamo koordinate tačke?8. Na koliko dijelova je ravan podijeljena Dekartovim pravouglim

koordinatnim sistemom? Kako nazivamo te dijelove?9. U kojem kvadrantu svaka tačka ima obje koordinate pozitivne?10. U kojem kvadrantu su obje koordinate svake tačke negativne?11. U kojim kvadrantima svaka tačka ima pozitivnu apscisu?12. U kojim kvadrantima svaka tačka ima negativnu ordinatu?13. Kako računamo udaljenost između dviju tačaka?14. Kako određujemo koordinate središta duži čiji krajevi su dati svojim

koordinatama?

7

Zadaci za vježbu i utvrđivanje:

2.1. Predstavi u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu tačke:a) A(2, 5) b) B(4, – 3) c) C(–3, 4)

2.2. Predstavi u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu tačke:a) M(–2, 5) b) N(–4, – 3) c) P(–1, 2)

2.3. Odredi apscisu date tačke:a) P(–5, 11) b) A(22, –4) c) B(–14, 8)

2.4. Odredi ordinatu date tačke:a) Q(13, 21) b) B(2, –14) c) M(10, –7)

2.5. Odredi koordinate tačaka koje su simetrične s obzirom na y–osu tačkama:a) A(–3, 6) b) N( 5, – 2) c) P(–2, –4)

2.6. Odredi koordinate tačaka koje su simetrične s obzirom na x–osu tačkama:a) A(4, –2) b) D( 1, – 5) c) E( 2, –4)

2.7. Konstruiraj (konstruiši) trokut ako su dati njegovi vrhovi:a) A(– 1, 2), B(4, –2), C(5, 3) b) A(–2, –1), B(2, 0), C(0, 4)

2.8. Konstruiraj (konstruiši) kvadrat ako su dati njegova tri vrha:a) A(– 1, 0), B(2, 0), C(2, 3) b) A(2, –2), B(5, 1), C(–1, 1)

2.9. Konstruiraj (konstruiši) pravougaonik ako su dati njegovi vrhovi:a) A(–3, –1), B(4, –1), C(4, 2), D(–3, 2)b) A(–2, 1), B(3, 1), C(3, 3), D(–2, 3)

2.10. Date su koordinate tačaka A i B. Odrediti dužinu duži AB:a) A(–3, –1), B(9, 4) b) A(3, –2), B(–3, 6)

2.11. Date su koordinate tačaka M i N. Odrediti dužinu duži MN:a) M(–3, 1), N(1, –2) b) M(–4, 8), N(12, –4)

2.12. Izračunati obim trokuta ABC ako su poznate koordinate njegovih vrhova:

a) A(–5, 4), B(1, –4), C(7, 4) b) A(–2, 0),

2

15,2B , C(2, 3)

2.13. Odrediti koordinate središta duži ako su date koordinate njenih krajeva:a) A(–5, –1), B(7, 5) b) A(6, –3), B(4, 9)

2.14. Izračunati dužine težišnica trokuta ABC ako su poznate koordinate vrhova:a) A(–7, 0), B(5, 4), C(–1, –4) b) A(3, 0), B(6, 7), C(8, –1)

8

2.3. Pojam funkcije sa skupa A u skup B

U školskom predmetu Matematika često pominjemo funkciju. Uprethodnim razredima funkcija je više puta obrađivana.

Šta moramo imati da bi govorili o jednoj funkciji? Šta je funkcija sa skupaA u skup B?

Posljednje pitanje nas usmjerava prema skupovima A i B. I zaista uvijekkada govorimo o funkciji moramo imati dva skupa ( koji mogu biti i međusobnojednaki). Ako izuzmemo dva skupa, šta nam je još potrebno poznavati da bi imalifunkciju? Kada su data dva skupa ( A i B) mi moramo znati kako se svakom

elementu skupa A pridružuje jedan ( bolje reći tačno jedan, znači ne dva ili više )elemenat skupa B. Kada ovo imamo mi smatramo da nam je poznata jedna funkcijasa skupa A u skup B.

Posmatrajmo skupove A = {a, b, c, d} i B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} zadanenjihovim Venovim dijagramima Sl.2.5.

Sl.2.5. Svakom elementu skupa A pridružen je tačno jedan elemenat skupa B !

Neka je elementu a∈A pridružen elemenat 1∈B. Ovo možemo pisati ovako:

Neka, dalje, vrijedi:

9

Navedenim pridruživanjem su određeni parovi (a, 1), (b, 2), (c, 5), (d, 4).Skupom f = {(a, 1), (b, 2), (c, 5), (d, 4)} potpuno je određeno pravilo po kome sesvakom elementu iz skupa A pridružuje tačno jedan elemenat skupa B.

Skupovima A i B i pravilom f potpuno je određena jedna funkcija sa skupaA u skup B. Znači, funkcija je određena sa dva skupa i jednim pravilom po komese elementima iz prvog skupa pridružuju elementi iz drugog.

Posmatranu funkciju možemo označiti ovako:

Skup A se naziva i oblast definisanosti ( ili domen) funkcije.Skup elemenata iz B koji su pridruženi elementima skupa A nazivamo

oblast vrijednosti funkcije ( ili kodomen). Kodomen je podskup skupa B.U našem primjeru kodomen je skup B' = {1, 2, 4, 5}.

Kako funkciju zadajemo?

Poznato je da mi od prvog razreda proučavamo skupove brojeva ( od skupaN do skupa R), i zato ćemo prilikom proučavanja funkcije pod skupovima A i Bpodrazumijevati neki od tih skupova ili njihovih dijelova (podskupova). Prizadavanju funkcije potrebno je naznačiti o kojim skupovima se radi i preciznoodrediti pravilo pridruživanja. To možemo zadati na više načina kao što su:

- shemom ( kao na Sl.2.5.)- tabelom- dijagramom- formulom.

Mi ćemo pravilo pridruživanja najčešće zadavati formulom.Kada su poznati skupovi A i B mi često funkciju zadajemo samo formulom.

Primjer 1: Neka je data funkcija f : N → N zadana formulomf(n) = 3n+2. Koji elementi su pridruženi prirodnim brojevima 1, 3 i 7?

Rješenje: f (1) = 3⋅1 + 2 = 3 + 2 = 5f (3) = 3⋅3 + 2 = 9 + 2 = 11

10

f (7) = 3⋅7 + 2 = 21 + 2 = 23.Odgovor: Datim brojevima su, redom, pridruženi brojevi 5, 11 i 23.

Primjer 2: U sljedećoj tabeli dati su podaci o temperaturi zraka tokom jednogzimskog dana:

Sat 7 8 9 10 11 12 13 15Temperatura – 4 – 1 0 3 5 8 12 14

Navedenom tabelom određena je jedna funkcija sa skupa A u B.

Odrediti skupove A i B.

Rješenje: Skup A ima elemente koje pronalazimo u prvom redu tabele, a skup Bse sastoji od brojeva iz drugog reda u tabeli:

A = { 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15 }, B = { –4, –1, 0, 3, 5, 8, 12, 14 }.

2.4. Grafik funkcije direktne proporcionalnosti y = kx.

Posmatrajmo funkciju f : R →→→→ R zadanu formulom

y = f ( x ) = ax, (a∈R ).

Takve su slijedeće funkcije: y = x, y = 2x, y = 5x, y = 0,5 x

y = – x, y = –2x, xy4

1−= .

Svaka od ovih funkcija svakom elementu iz skupa R (svakom realnombroju) pridružuje tačno jedan realan broj. Tako, na primjer, funkcija zadana say = 2x brojevima 1, 3, 4, 5 redom, pridružuje brojeve 2, 6, 8, 10.

Svaka funkcija se može predstaviti grafički u pravouglom koordinatnomsistemu. Na x–osi se predstavljaju elementi prvog skupa ( skupa A), a na y–osipredstavljaju se elementi drugog skupa ( skupa B).

Predstavimo u istom koordinatnom sistemu funkcije

11

y = x, y = 2x, y = 5x, y = 0,5 x

Odaberimo nekoliko vrijednosti promjenljive x (x je realan broj!) i odredimoodgovarajuće vrijednosti promjenljive y ( to su oni realni brojevi koji su pridruženiizabranim vrijednostima za x). Sve izabrane vrijednosti i njima odgovarajućerealne brojeve unesimo u slijedeću tabelu ( izabrane vrijednosti za x upisane su uprvi red tabele) :

x – 4 –2 0 1 2 3 4y = x – 4 –2 0 1 2 3 4y = 2x – 8 –4 0 2 4 6 8y = 5x – 20 –10 0 5 10 15 20y = 0,5x – 2 –1 0 0,5 1 1,5 2

Sada nacrtajmo pravougli koordinatni sistem i u njega ucrtajmo tačke kojeodgovaraju parovima (x, y) : x je izabrana vrijednost iz skupa realnih brojeva, a yje odgovarajući realan broj. Za funkciju y = 2x parovi su: (–4, –8), (–2, –4), (0, 0),(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8).

Pronađimo odgovarajuće parove za svaku od preostale tri funkcije iucrtajmo tačke u koordinatni sistem. Spajanjem odgovarajućih tačaka dobiju segrafici kao na Sl.2.6.

Sl.2.6. Sve prave s pozitivnim smjerom x – ose grade oštre uglove !

Šta zapažamo?

xy 2=xy 5=

xy2

1=

xy =

12

Svi grafici su prave!

Svi grafici prolaze koordinatnim početkom!

Svi grafici prolaze prvim i trećim kvadrantom!

Sve prave s pozitivnim smijerom x – ose grade oštre uglove!

Većoj vrijednosti parametra a odgovara veći nagibni ugao

prave prema pozitivnom smjeru x – ose .

Funkciju y = ax + b (u navedenim primjerima je b = 0) nazivamolinearna funkcija.

Neka su nam, sada, date funkcije

y = – x, y = –2x, xy4

1−= .

Na isti način kao i u prethodnom slučaju formirajmo tabelu.x – 4 –2 0 2 3 4

y = –x 4 2 0 –2 –3 –4y = –2x 8 4 0 –4 –6 –8

y = x4

1− 1

2

10 –

2

1

4

3− –1

xy −= xy 2−=

xy4

1−=

Sl.2.7. Sve prave s pozitivnim smjerom x – ose grade tupe uglove !

Šta možemo kazati o funkcijama čije grafike smo skicirali na prethodnoj slici?

13

Svi grafici su prave!

Svi grafici prolaze koordinatnim početkom!

Svi grafici prolaze drugim i četvrtim kvadrantom!

Sve prave s pozitivnim smijerom x – ose grade tupe uglove!

Većoj vrijednosti parametra a odgovara veći nagibni ugao

prave prema pozitivnom smjeru x – ose .

2.5. Linearna funkcija y = f(x) = kx + n, gdje su k, n ∈∈∈∈ R. Eksplicitni i

implicitni oblik

Posmatrajmo sada funkciju f : R →→→→ R zadanu formulom

y = f(x) = kx + n ,gdje su k i n ma koji realni brojevi (k ≠ 0).

Ovaj oblik zadavanja funkcije nazivamo eksplicitni oblik. Ako se funkcija zada uobliku F(x, y) = 0, tada kažemo da je zadana u implicitnom obliku.

Primjer 1: Datu funkciju y = 2x – 3 napisati u implicitnom obliku.

Rješenje: Funkcija je zadana u eksplicitnom obliku. Ako sve članove koji senalaze na desnoj strani u y = 2x – 3 premjestimo na lijevu stranu i izvršimosređivanje, dobije se jednačina kojom je naša linearna funkcija zadana uimplicitnom obliku:

y = 2x – 3 � y – 2x + 3 = 0 � 2x – y – 3 = 0.

Rezultat: Implicitni oblik date funkcije je : 2x – y – 3 = 0.

Primjer 2: Funkciju 2x – 3y + 6 = 0 transformisati u eksplicitni oblik.

Rješenje: Iz datog, implicitnog, oblika funkcija se transformiše u eksplicitni nasljedeći način:2x – 3y + 6 = 0 � – 3y = – 2x – 6 /·( – 1) � 3y = 2x + 6 /:3

� 23

2+⋅= xy .

2.6. Grafik linearne funkcije y = kx + n. Geometrijsko značenje

14

parametara k i n

Odaberimo, po želji, vrijednosti za parametre k i n, formirajmoodgovarajuću funkciju, napravimo tabelu i na osnovu dobijenih podataka nacrtajmografik funkcije!

Neka je k = 2 i n = –3 . Odgovarajuća funkcija je zadana sa y = 2x – 3.Formirajmo tabelu sa izabranim vrijednostima za x ( treba ih birati tako da nambude olakšano unošenje podataka u koordinatni sistem) i odgovarajućimvrijednostima za y:

x – 2 –1 0 1 2 3 4y = 2x–3 – 7 –5 –3 –1 1 3 5

Sl.2.8. Za crtanje grafika linearne funkcije dovoljno je imati dvije tačke !

Koje osobine ima funkcija zadana sa y = 2x – 3?

Grafik funkcije je prava.

0

)1,2(

)3,3(

)5,4(

)1,1( −

)3,0( −

)5,1( −−

32 −= xy

0,

2

3{osiynaodsjecak −

15

Grafik funkcije siječe x – osu u tački

0,

2

3, a y – osu u tački (0, – 3).

Odsječak na y – osi između koordinatnog početka i presječne tačke sagrafikom funkcije y = 2x – 3 ima dužinu 3 i nalazi se na negativnom dijelu ose.Ovo znači da parametar n za funkciju y = kx + n ima značenje odsječka kojigrafik funkcije odsijeca na y – osi.

Primjer: U istom koordinatnom sistemu nacrtati grafike funkcija

a) y = x, y = x + 5, y = x – 4, y = x – 5 .b) y = – 2x , y = –2x + 4, y = –2x – 4, y = –2x + 7 .

Posmatrajući dobijene grafike, šta zapažamo?

Rješenje: Koristeći tabelu sa odabranim brojevima nacrtaćemo tražene grafike(Sl.2.7. i Sl.2.8.).

x –3 0 3

y = x –3 0 3y = x – 5 –8 – 5 – 2y = x + 4 1 4 7y = x + 5 2 5 8y = – 2x 6 0 – 6

Y = – 2x – 4 2 – 4 – 10y = –2x + 5 11 5 – 1y = –2x + 7 13 7 1

Sl.2.9. Grafici svih funkcija su paralelne prave Sl.2.10. I sada su grafici paralelne prave

xy =

5+= xy

5−= xy

4−= xy

xy 2−=

42 −−= xy

42 +−= xy

72 +−= xy

16

Posmatrajući prave koje smo dobili kao grafike datih funkcija u ovom primjeru,uočavamo da su svi grafici funkcija koje imaju isti koeficijent k paralelnimeđusobno. Tako je u prvom slučaju k = 1 i imamo tri prave koje su paralelne spravom y = x. U drugom slučaju ( pod b)) koeficijent k = – 2, pa imamo novečetiri međusobno paralelne prave (Sl.2.9. i Sl.2.10.).

Koeficijent k određuje nagibni ugao prave (grafika linearne funkcije

y = kx +n) prema x – osi.

Pitanja za ponavljanje:1 . Kada kažemo da imamo funkciju sa skupa A u skup B?2. Šta je domena funkcije, a šta njena kodomena?3. Može li kodomena funkcije sa skupa A u skup B biti skup B?4. Šta je domena funkcije y = kx + n?5. Šta je kodomena funkcije y = kx + n?6. Kako se može zadati funkcija?7. Šta je linearna funkcija?8. Šta je grafik linearne funkcije?9. Kojom tačkom prolazi grafik funkcije y = kx za sve vrijednosti od k ?10. Šta je grafik funkcije y = kx ako je k = 0 ?11. Kakvo zančenje ima parametar n ?12. Šta je grafik funkcije y = kx + n ?13. Šta je grafik funkcije y = kx + n, ako je k = 0 ?14 Šta određuje koeficijent k kod funkcije y = kx + n ?

Zadaci za vježbu i utvrđivanje:

2.15. Data je funkcija f: R→ R, određena formulom f(x) = 5x. Odrediti:a) f(1) b) f(5) c) f(– 3)

2.16. Data je funkcija f(x) = – 4 x. Odrediti:

a)

2

1f b) f(–2) c) f(– 3)

2.17. Data je funkcija f: R→ R, određena formulom f(x) = 2x + 3. Odrediti:a) f(0) b) f(2) c) f(3)

2.18. Data je funkcija f(x) = 3x – 2 . Odrediti:

17

a) f(2) b) f(–1) c)

−

3

4f

2.19. Data je funkcija f(x) = 6x – 10 . Odrediti:a) f(1) b) f(f(1)) c) f(f(–1))

2.20. Data je funkcija f: N→ N, određena formulom f(n) = 3n – 2. Odrediti slikeprvih 10 prirodnih brojeva.

2.21. Ako je f(x) = 5x + 1, odrediti x tako da vrijedi:a) f(x) = 11 b) f(x) = 16 c) f(x) = –9

2.22. Dopuni date tabele:

a) x –2 6 15 b) x –4 0 53x –3 6 36 x+3 0 4 6

U istom pravouglom koordinatnom sistemu nacrtati grafik datih funkcija:2.23.a) y = x b) y = 2x c) y = 5x2.24.a) y = – x b) y = –2x c) y = –3x

2.25.a) y = x2

1− b) y = x

5

4c) y = x

4

5−

2.26.a) y = x + 3 b) y = x – 3 c) y = 2x + 52.27.a) y = –3x + 1 b) y = –3x – 1 c) y = –2x + 5

2.28.a) y = 3 b) y = –2 c) y =2

3

2.29.a) x = 3 b) x = –5 c) x =4

5−

2.30. Napisati jednačinu prave koja prolazi datom tačkom A i koordinatnim početkom:a) A(2, 10) b) A(–2, –6) c) A(–3, 15)

Odrediti vrijednost koeficijenta a tako da grafik funkcije zadane sa y = axprolazi datom tačkom A:

2.31.a) A(4, 0) b) A(–1, –5) c) A(3, –12)

2.32.a) A(–3, 2) b)

5,

2

1B c)

−

6

5,

3

4C

2.33. Ispitaj da li tačka A(–1, 2) pripada grafiku funkcije određene sa y = 3x + 5.2.34. Ispitaj da li tačka A(2, 5) pripada grafiku funkcije određene sa y = –x + 8.2.35. Ispitaj da li tačka A(3, 8) pripada grafiku funkcije određene sa y = 6x – 10.

18

2.36. Koja od tačaka A(2, 3), B(2, 1), C(3, 4) pripada grafiku funkcije y = 3x – 5?2.37. Nacrtaj grafik funkcije y = – 2x + 5 i utvrdi koja od tačaka A(0, 3), B(0, 5) i

C(2, 3) pripada dobijenoj pravoj.2.38. Kolika mora biti vrijednost od y da bi tačka M(6, y) pripadala grafiku

funkcije y = 2x – 1 ?2.39. Tačka A(1, 7) pripada grafiku funkcije y = 3x + 2a. Nacrtati grafik funkcije.

2.40. Data je funkcija f(x) = x – 6m. Odrediti vrijednost parametra m tako da budef(3) = – 9, a zatim nacrtati grafik date funkcije.

2.41. Funkcija f : R→ R određena je formulom f(x) = 2x + n. Odrediti n tako dagrafik funkcije prolazi datom tačkom:a) A(2, 6) b) M( –3, 5) c) C (1, – 3)

2.42. Napisati jednačinu prave koja prolazi datom tačkom A i na y–osi odsijecadati odsječak n:a) A(1, 5), n = 3 b) A(–2, 3), n = 6 c) A(11, 10), n = –1

2.43. Napisati jednačinu prave koja prolazi datom tačkom B i na x–osi odsijecadati odsječak m:a) B(3, –5), m = 2 b) B(–1, –2), m = –4 c) B(6, 4), m = 3

2.44. Odredi vrijednost parametra m tako da grafik funkcije zadane formulomy = (2m – 1)x + 3m – 15 prolazi koordinatnim početkom.

2.45. Formulom y = (1 – a)x + 5 zadana je linearna funkcija. Odreditivrijednost parametra a ako se zna da tačka S(3, 2) pripada grafiku funkcije.

2.46. Odredi parametar a tako da tačka A(2, 4) pripada grafiku funkcijef(x) = 3x – a .

2.47. Izračunati površinu pravouglog trougla određenog datom pravom ikoordinatnim osama:

a) y = x – 3 b) y = –2x – 10c) y = 2x – 4 d) y = –4x – 4

2.48. Odrediti obim pravouglog trougla određenog datom pravom ikoordinatnim osama:

a) 34

3−= xy b) 5

12

5+= xy

c) 2021

20+−= xy d) 10

12

5−−= xy

19

2.7. Nule linearne funkcije x →→→→ kx + n ( R→→→→ R)

Kada funkcija y = 2x – 3 ima vrijednost nula?

y = 0 => 2x – 3 = 0 => 2x = 3 =>2

3=x .

Vidimo da je vrijednost funkcije y = 2x – 3 jednaka nuli za2

3=x . Znači,

ako je2

3=x , tada je y = 0. Ovu vrijednost za x nazivamo nula funkcije.

Nula funkcije je ona vrijednost promjenljive x za koju je vrijednost

promjenljive y jednaka nuli.

Nula funkcije y = 2x – 3 je2

3=x .

Ako posmatramo Sl.2.8. uočavamo da je nula funkcije apscisa one tačke u

kojoj grafik funkcije presijeca x – osu. Ovaj zaključak vrijedi u općem slučaju.

Primjer: Odrediti nulu funkcije y = 3x + 5.

Rješenje: y = 0 => 3x + 5 = 0 => 3x = – 5 =>3

5−=x .

Nula date funkcije je3

5−=x .

Odrediti nulu funkcije zadane sa y = ax + b.

Nula funkcije zadane sa y = ax + b jea

bx −= , a ≠ 0. ( Provjeri rezultat!)

Pitanja za ponavljanje:1. Šta je nula funkcije?

20

2. Koju vrijednost promjenljive x nazivamo nula funkcije y = kx + n?3. Koliko funkcija y = kx + n ima nula?4. Kada funkcija y = kx + n nema ni jednu nulu?

Zadaci za vježbu i utvrđivanje:

Odrediti nulu date funkcije:2.49.a) y = 7x b) y = 12 x c) y = 33 x2.50.a) y = – 4x b) y = – 5x c) y = – 18 x2.51.a) y = x + 2 b) y = x – 8 c) y = – x + 32.52.a) y = 4x + 12 b) y = 2x – 18 c) y = – 8x + 32

2.53.a) y = 43

2+x b) y =

3

11

5

4+− x c)

9

5

4

3−= xy

2.54.a) x + y = 3 b) 3x + 7y = 12 c) 5x – 4y = 15

2.55. Funkcija f : Z→ Z zadana je formulom f(x) = x – 2. Odrediti nulu funkcije.

2.56. Funkcija f : R→ R zadana je formulom f(x) = 2x – b. Odrediti b tako da jex = 2 nula funkcije.

2.57. Odredi vrijednost parametra m tako da funkcija y = (3m + 1)x – 7m + 8ima nulu x = 1.

2.58. Za koju vrijednost parametra k funkcija (k – 1)x + 3y – 5 = 0 ima nulu x = 4?

2.8. Tok linearne funkcije y = kx + n

Posmatrajmo funkciju y = 2x sa skupa R u R. Uzmimo dva ma koja realnabroja x1 i x2 , pretpostavimo da je x1 < x2 ( ovo znači da je x2 – x1 > 0) iodredimo njima pridružene realne brojeve y1 i y2 :

y1 = 2x1 i y2 = 2x2 .Vrijedi:

y2 – y1 = 2x2 – 2x1 = 2( x2 – x1 ) > 0 .Otuda je

y2 – y1 > 0 => y2 > y1 .

Znači da vrijedi: x1 < x2 => y1 < y2 .

21

Iz navedenog zaključujemo da posmatrana funkcija većem realnom brojupridružuje veći broj. Za ovakvu funkciju mi kažemo da je rastuća funkcija ilijednostavno, da raste.

Sve četiri funkcije čiji grafici su predstavljeni na Sl.2.6. su rastuće.

Posmatrajmo sada funkciju y = – 2x . Uzmimo dva ma koja realna brojax1 i x2 , pretpostavimo da je x1 < x2 ( i sada je x2 – x1 > 0) i odredimo njimapridružene realne brojeve y1 i y2 :

y1 = –2x1 i y2 = –2x2 .Vrijedi:

y2 – y1 = –2x2 – (– 2x1) = –2 ( x2 – x1 ) < 0 .Otuda je

y2 – y1 < 0 => y2 < y1 .

Dakle, vrijedi: x1 < x2 => y1 > y2 .

Iz navedenog zaključujemo da posmatrana funkcija većem realnom brojupridružuje manji broj. Za ovakvu funkciju mi kažemo da je opadajuća funkcija ilijednostavno, da opada.

Sve funkcije čiji grafici su predstavljeni na Sl.2.7. su opadajuće.

Provjerimo kada je funkcija y = kx + n rastuća, a kada opadajuća.Uzmimo dva ma koja realna broja x1 i x2 , pretpostavimo da je x1 < x2 ( i sada jex2 – x1> 0) i odredimo njima pridružene realne brojeve y1 i y2 :

y1 = kx1 + n i y2 = kx2 + n.Vrijedi:

y2 – y1 = ( kx2 + n) – ( kx1+ n ) = kx2 + n – kx1 – n == kx2 – kx1 = k ( x2 – x1) .

Faktor ( x2 – x1) je po pretpostavci pozitivan broj, pa znak proizvoda k ( x2 – x1)zavisi od toga kakav znak ima broj k. Ako je k > 0, tada je i proizvodk( x2 – x1) > 0, a u slučaju da je k < 0, tada je proizvod k( x2 – x1) < 0.Otuda vrijedi:

22

α

52 += xy

β

52 +−= xy

x2 > x1 => y2 > y1 ako je k > 0, kada je funkcija y = kx +n rastuća .x2 > x1 => y2 < y1 ako je k < 0, kada je funkcija y = kx +n opadajuća.

Funkcija y = kx + n je rastuća ako je k > 0, i opadajuća uvijek

kada je k < 0.

Iz navedenog vidimo da na tok funkcije ne utiče parametar n i da on zavisijedino od znaka koeficijenta k. Kratko rečeno, vrijedi, ako je kod linearne funkcijey = kx + n koeficijent k pozitivan funkcija je rastuća, a ako je k negativno,funkcija je opadajuća.

Šta možemo reći za tok linearne funkcije y = kx + n ako je k = 0?

Primjer: Odrediti grafike funkcija y = 2x + 5 i y = –2x + 5, a zatim uočiti uglovekoje grafici zaklapaju s pozitivnim smijerom x – ose.

Grafike datih funkcija dobijemo određivanjem njihovih tačaka ( najmanje po dvije).

x –2 0 1 2 3y = 2x + 5 1 5 7 9 11y = – 2x + 5 9 5 3 1 –1

a) b)

Sl.2.11. Ugao α je oštar, a ugao β je tup !

23

Ako je koeficijent k kod linearne funkcije y = kx + n pozitivan, onda

je ugao koji grafik ove funkcije zaklapa s pozitivnim smijerom x – ose oštar, i

funkcija raste.

Ako je koeficijent k kod linearne funkcije y = kx + n negativan, onda

je ugao koji grafik te funkcije zaklapa s pozitivnim smijerom x – ose tupi, i

funkcija opada.

Primjer: Neka je data funkcija y = 2x + 6. Predstaviti datu funkciju grafički,odrediti njenu nulu i ispitati tok. Koliki su odsječci koje grafik funkcije gradi nakoordinatnim osama?

Rješenje: Izborom vrijednosti za x i određivanjem vrijednosti za y formirajmotabelu:

x – 5 –4 – 3 – 2 0 1 2y = 2x + 6 – 4 – 2 0 2 6 8 10

Unesimo dobijene parove brojeva u koordinatni sistem:

24

Nula funkcije je: y = 0 => 2x + 6 = 0 => 2x = – 6 => x = – 3.Kako je k = 2 > 0, to je data funkcija rastuća. Isti zaključak se može izvestii direktno sa slike!Neposredno sa slike čitamo odsječke na koordinatnim osama: na y – osiodsječak je n = 6, a na x – osi odsječak je m = –3.

Pitanja za ponavljanje:1. Kada kažemo da je funkcija rastuća, a kada da je opadajuća?2 . Za kakve vrijednosti od a je funkcija y = ax + 5 rastuća?3. Kada je funkcija y = ax – b opadajuća, a kada rastuća?4 . Kada grafik funkcije y = kx + n s pozitivnim smijerom x – ose zaklapa oštar, a

kada tup ugao?

Zadaci za vježbu i utvrđivanje:

Odrediti interval u kojem data funkcija raste:2.59.a) y = x b) y = –2x c) y = 74x2.60.a) y = x + 4 b) y = x – 12 c) y = – 3x + 6

Odrediti interval u kojem data funkcija opada:2.61.a) y = –3x b) y = –2x c) y = 9x2.62.a) y = –x – 16 b) y = 7x + 4 c) y = –5x + 18

Za koje vrijednosti parametra m je data funkcija rastuća:2.63.a) y = mx b) y = (m + 2)x c) y = (2m – 11)x2.64.a) y = (m+3)x + 1 b) y = (m – 2)x + 3 c) y = (5 – m)x + 4

Za koje vrijednosti parametra k je data funkcija opadajuća:2.65.a) y = kx b) y = (k + 3)x c) y = (2k – 8)x2.66.a) y = (k–3)x – 5 b) y = (k – 2)x + k c) y = (6 – k)x + 3k

2.67. Funkcija f : R→ R određena je formulom f(x) = 2ax + 5. Odreditivrijednost parametra a tako da grafik funkcije bude prava koja je paralelna sdatom pravom:a) y = 6x + 7 b) y = 8x – 10 c) y = –12x + 18d) x + y – 3 = 0 e) 2x – y + 10 = 0 f) 3x + 2y – 1 = 0

25

2.68. Odredi vrijednost parametra a tako da grafici dviju datih funkcija buduparalelne prave: y = (a – 1)x + 15 , y = 4x + 33.

2.69. Odredi vrijednost parametra m tako da grafici datih funkcija buduparalelne prave: y = (a – 1)x + (a + 3) , y = (3a + 5)x + (a – 11) .

2.70. Odrediti jednačinu one prave koja je paralelna s pravom y = 3x + 11, i kojaprolazi tačkom M(4, 9).

2.71. Funkcija y = 2x + n siječe y–osu u tački B(0, 4). Odrediti nulu inacrtati njen grafik. U kojem intervalu data funkcija raste ?

2.9. Znak linearne funkcije y = ax + b

Prilikom ispitivanja funkcije često je potrebno utvrditi da li je i kadafunkcija pozitivna, a kada negativna. Drugim riječima, često je potrebno odreditiznak funkcije.

Pokažimo na primjerima kako se određuje znak linearne funkcije.

Primjer 1: Odrediti znak funkcije y = 3x – 15 :

Rješenje: Provjerimo, prvo, kada je data funkcija pozitivna:

y > 0 � 3x – 15 > 0 � 3x > 15 � x > 5.

Vidimo da je funkcija y = 3x – 15 pozitivna za sve vrijednosti promjenljive xkoje su veće od broja 5.

Odredimo, sada, interval u kojem je data funkcija negativna:

y < 0 � 3x – 15 < 0 � 3x < 15 � x < 5.

Vidimo da je data funkcija negativna u intervalu ( – ∞, 5).

26

Znak linearne ( i svake druge) funkcije veoma jednostavno se "čita" sa grafikafunkcije. Ako je nacrtan grafik funkcije, onda na onom dijelu x – ose iznad kogase nalazi dio grafika funkcije, ta funkcija je pozitivna. Na dijelu x – ose ispod

kojeg se nalazi dio grafika funkcije, funkcija je negativna. Ranije smo rekli da suna presjeku grafika funkcije i x – ose nule funkcije.

Primjer 2: Neka je data funkcija y = – 2x + 4. Predstaviti datu funkciju grafički,odrediti njenu nulu, ispitati tok i utvrditi kada je ta funkcija pozitivna, a kadanegativna. Koliki su odsječci koje grafik funkcije gradi na koordinatnim osama?

Rješenje: Izborom vrijednosti za x i određivanjem vrijednosti za y formirajmotabelu:

x –2 –1 0 1 2 3 4y = – 2x + 4 8 6 4 2 0 –2 –4

Koristeći podatke iz tabele nacrtajmo grafik funkcije:

Sl.2.13. Funkcija y = –2x + 4 je opadajuća ( k = – 2 < 0 )

0pozitivnafunkcijajeOvdje

negativnafunkcijajeOvdje

funkcijeje 2 nula

27

Neposredno gledajući grafik funkcije y = –2x + 4 zaključujemo:Nula funkcije je x = 2.Funkcija je opadajuća.U intervalu ( – ∞, 2) funkcija je pozitivna, a u intervalu (2, + ∞) funkcija jenegativna.Odsječak na y – osi je n = 4, a odsječak na x – osi je m = 2.

Pitanja za ponavljanje:1. Šta znači ispitati znak funkcije?2. Kako se znak funkcije "čita" sa njenog grafika?

Zadaci za vježbu i utvrđivanje:

Odrediti znak date funkcije:2.72.a) y = 3x b) y = 2x c) y = 10x2.73.a) y = – x b) y = –2x c) y = – 8x2.74.a) y = x + 5 b) y = x – 1 c) y = – x + 182.75.a) y = 2x – 8 b) y = – 6x + 12 c) y = 10x – 40

2.76. Tačka A(3, 0) pripada grafiku funkcije y = ax – 6. Odrediti parametar a,nacrtati grafik funkcije, a zatim odrediti u kojem intervalu je data funkcijanegativna.

28

2.10. Grafik funkcije obrnute proporcionalnostix

ky = .

Posmatrajmo funkcijux

ky = , gdje je k ma koji realan broj koji nije nula.

Za ovu funkciju mi kažemo da je funkcija obrnute proporcionalnosti. Drugimriječima, možemo kazati da su veličine x i y obrnuto proporcionalne.Za obrnuto proporcionalne veličine vrijedi: Koliko se puta prva veličina poveća,toliko puta se druga smanji, ili koliko puta se prva veličina smanji, toliko puta sedruga veličina poveća.

Proizvod obrnuto proporcionalnih veličina je konstantan. Tako je u našem slučajuxy = k. Ova konstanta k naziva se koeficijent obrnute proporcionalnosti.

Odredimo grafik funkcijex

y2

= . Odaberimo nekoliko realnoh vrijednosti za x i

odredimo odgovarajuće vrijednosti od y:

x 0,5 1 2 4 –1 –2 –4y 4 2 1 0,5 –2 –1 –0,5

Sl.2.14. Grafik obrnuto proporcionalne funkcijex

y2

= .

29

Pitanja za ponavljanje:1. Za kakve veličine kažemo da su obrnuto proporcionalne?2. Kada obrnuto proporcionalna funkcija raste?3. Odredi dvije obrnuto proporcionalnee veličine iz svoje okoline.

Zadaci za vježbu i utvrđivanje:

2.77. Koeficijent obrnute proporcionalnosti veličina y i x je 1. Ako je x = 3,koliko je y?

2.78. Data je funkcijax

xf3

)( = . Odrediti:

a) )1(f b) )3(−f c)

5

2f

2.79. Nacrtaj grafik date funkcije i odrediti gdje je rastuća ili opadajuća:

a)x

y1−

= . b)x

y4

= c)x

y2

−=

2.80. Odrediti broj m tako da grafik funkcijex

my = bude:

a) u prvom i trećem kvadrantu. b) u drugom i četvrtom kvadrantu.

2.81. Odrediti vrijednost koeficijenta k tako da grafik funkcijex

ky = prolazi

datom tačkom:a) M(3, 7) b) A(2, –3) c) B( –5, 16)

2.82. Odrediti koordinate tačke presjeka grafika datih funkcija:

a)x

y2

= i y = 2 b)x

y3

−= i y = – 3x.

2.83.* Ako jex

xf7

)( = , odrediti vrijednost argumenta x ako vrijedi

)5(3)3( +=+ xfxf .