GRAFIČKI PRIKAZ TRIGONOMETRIJSKIH

FUNKCIJA

IVA MATELJAK

LOVRO ŠVENDA

Uvod

3. razred srednje škole u prvom polugodištu, početkom studenog nalazi se unutar nastavne cjeline

Trigonometrijske funkcije

Potrebno predznanje

Kut Brojevna kružnica Definicija trigonometrijskih funkcija Određivanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija Određivanje vrijednosti kuta Osnovni trigonometrijski identiteti Svojstva trigonometrijskih funkcija Adicijski teoremi Trigonometrijske funkcije dvostrukog i polovičnog kuta Formule pretvorbe

Obrada novog gradiva

Graf funkcije je skup

U slučaju da je , graf funkcije sinus nazivamo sinusoida.

periodična funkcija sa temeljnim periodom

dovoljno nacrtati dio grafa za

RDf f :

fDxxfx :,

xxf sin

2P

2,0x

Postupak crtanja:

1. Na brojevnoj kružnici nacrtamo točke

2. Interval podijelimo na 16 jednakih dužina

.15,...,1,0,8

kkEAk

2,0

Graf funkcije kosinus je skup i naziva se

kosinusoida. analogno crtanju sinusoide formula redukcije kosinusoida je sinusoida translatirana za

ulijevo.

Rxxx :cos,

2sincos

xx

2

Graf funkcije tangens

ZkkRDxxx ,

2|:, tgtg

Graf funkcije kotangens

naziva se kotangensoida

analogno crtanju tangensoide formula redukcije

ZkkRDxxx ,|:ctg, ctg

2tg

2tgctg

xxx

Primjeri grafova:

1. Tip: Najveću ordinatu točke grafa nazivamo

amplituda. amplituda funkcije je 2 Amplituda funkcije je .

2. Tip: temeljni period funkcije .

xxf sin2

0,sin axaxf a

xxf 2sin

Temeljni period funkcije je .

3.Tip: Općenito graf funkcije

pomaknut za

Postupak za crtanje grafa funkcije

:

1. nultočka

2. horizontalni pravci i

0,sin bbxxfb

2

4sin

xxf

cxxf sin

c

cbxaxf sin

b

c

ay ay

3. Duljinu periodu podijelimo na 4 dijela

4. Val sinusoide je unutar P duljine c i –c.

5. Funkciji s negativnim predznakom, graf je centralno simetričan s obzirom na x-os

Primjer: Nacrtajte graf funkcije

bP

2

32sin

2

3)(

xxf

Primjer 1– sinusoida 1. način

Funkcija:

Crtanje:

jedna nultočka

period

jedan val je u intervalu

nultočke

ekstremi:

32sin

2

3)(

xxf

bP

26

b

c

6

7,

6

6

7,

6

4,

6

2

3

12

11

f2

3

12

5

f

3

2sin2

3)( xxf

Primjer 1– sinusoida 2. načinTransformacijom grafa funkcije

Nacrtamo kao prošlu sinusoisu, pa pomaknemo za 1 u negativnom smjeru y-osi:

12

3sin2)(

xxf

12

3sin2

xy

2

3sin2 xy

Primjer 2– sinusoida

Funkcija:

Crtanje:

jedna nultočka

period

jedan val je u intervalu

nultočke

ekstremi:

Primjer 3– kosinusoida

xxf 2cos2

3)(

42

b

c

bP

2

2

3,

2

4

5,

4

3,

4

2

3

2

f

2

3f

xxf 2cos2

3)(

Primjer 4 – zbroj xxxf cossin)(

4sin2cossin

4arctg

2Aa

:su gdje

sincos)sin(

22

xxxxf

A

Bc

B

bxBbxAcbxa

4sin2cossin

xxxxf

Primjer 5 – tangensoida

Funkcija:

Crtanje:

jedna nultočka

period

Asimptote su pravci:

nultočke

3

2tg2)(

xxf

bP

3

2

b

c

Ζ kkx ;6

Ζ kk ;3

2

3

2tg2)(

xxf

LITERATURA :

B. Pavković, D. Veljan, Elementarna matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 1995.

B. Dakić, N. Elezović, Matematika 3, udžbenik i zbirka zadataka za 3. razred gimnazije, Element, Zagreb, 2006.

I. Golac , Trigonometrija u nastavi matematike, diplomski rad, Zagreb, 1999