Gravitation et forces de marées - WordPress.com · 2017. 12. 13. · Newton Newton (1643-1727) a nalis e en premier les travaux sur la gravitation universelle. Voici ses conclusions

Gravitation et forces de marees

Club d’Astronomie de Louviers

13 decembre 2017

Club d’Astronomie de Louviers Gravitation et forces de marees

Newton

Newton (1643-1727) a finalise en premier les travaux sur la gravitationuniverselle. Voici ses conclusions :

Loi de gravitation universelle

Deux corps ponctuels de masses respectives MA et MB s’attirent avecdes forces de meme valeur mais vectoriellement opposees. Ces forcesont pour direction la droite passant par les centres de gravite des deuxcorps et ont pour intensite :

FA/B = FB/A = G× MA ×MB

d2


Newton

Imaginez une goutte d’un gramme d’eau a la surface de l’ocean ter-restre, juste sous la Lune. Cette goutte est plus proche de la Lune quele reste de la Terre ; elle est donc plus attiree par la Lune qu’un grammede Terre. Le niveau de l’ocean a donc tendance a s’elever a l’aplombde la Lune. Imaginez maintenant une autre goutte d’eau, toujours a lasurface de l’ocean mais du cote oppose a la Lune. Cette fois la goutteest plus eloignee de notre satellite que le reste de la Terre et elle estdonc moins attiree par la Lune. Elle a donc tendance a s’eloigner de laTerre, et le niveau des oceans monte egalement, par rapport a la Terre.Ainsi, l’attraction de la Lune sur l’ocean produit deux « renflements »,diametralement opposes. Comme notre Terre fait un tour par jour au-tour d’elle-meme, un point donne du globe voit passer un renflementdeux fois par jour soit une maree haute toutes les douze heures ... etquelques minutes.


Helas

Cette explication n’est pas suffisante. La maree devrait etre basse a peupres au lever et au coucher de la Lune et haute quand la Lune est hautedans le ciel, ou alors douze heures plus tard, a un moment ou on ne lavoit pas puisqu’elle est sous nos pieds !Helas, les observations les plus elementaires montrent que ce n’estpresque jamais ce qui se passe en realite !On etudiera, ici, la maree de facon statique. Il faut savoir que de nom-breux parametres influent sur la dynamique des marees pour complexi-fier le probleme exponentiellement.


Repere et forces

Nous ajouterons egalement l’effet du Soleil sur la maree et nous com-parerons l’influence de la Lune par rapport a l’influence du Soleil. Etpour cela, on va faire de la mecanique.La theorie n’est pas simple, donc nous allons deja simplifier le problemeen considerant deux astres. Un astre qui sera attire, au hasard, la Terreet un astre attirant, au hasard, la Lune.Nous allons avoir besoin aussi de Newton.Il a enonce trois lois qui sont :

Le principe d’inertie

Dans un referentiel galileen, si la somme des forces exterieures appli-quees a un systeme mecanique est nulle, alors son centre d’inertie G estau repos ou possede un mouvement rectiligne uniforme.

si∑−−→

Fext = ~0 alors−→VG = constante


Repere et forces

La RFD

Dans un referentiel galileen, la somme vectorielle des force exterieuresexercees sur un systeme ponctuel est egale a la derivee du vecteur quan-tite de mouvement de ce systeme par rapport au temps.

∑−−→Fext = d~p

dtou souvent

∑−−→Fext = m× ~a

Les actions reciproques

Soit A et B deux corps en interaction. Si un systeme A exerce une forcesur un systeme B, alors le systeme B exerce aussi sur le systeme A uneforce ayant meme droite de direction mais un sens oppose.

−−−−→FA→B = −−−−−→FB→A


Deux referentiels

Il faut savoir que si la Lune tourne autour de la Terre, la Terre tourneautour de la Lune. Tout depend bien sur du referentiel dans lequel onse place. Deux referentiels sont utiles : celui qui est centre au centrede masse du systeme Terre-Lune (a environ 5000 km du centre de laTerre) et dont les axes sont des directions fixes. Celui-ci est galileen(on suppose le systeme Terre-Lune isole), nous le noterons <. Dansce referentiel les centres de la Terre et de la Lune tournent autour ducentre Terre-Lune en gardant ces trois points alignes. Le deuxieme estle celebre referentiel geocentrique. Dans celui-ci, le centre de la Terreest immobile mais il faut rajouter des pseudo-forces, des forces d’inertieaux vraies forces. C’est dans ce referentiel que les force de marees sontressenties. Nous le noterons <G.


Digression


Deux systemes

D’ailleurs quand on dit que la trajectoire de la Terre est une ellipse,on parle du barycentre du couple Terre-Lune et non du centre de laTerre. Savez-vous quel est la trajectoire du centre de la Terre autourdu soleil ?


Deux systemes

Il y a ainsi une premiere facon de presenter la force de maree : laforce de maree correspond a l’ecart a la moyenne de l’attraction de laLune c’est-a-dire a l’ecart entre l’attraction de la Lune en un point etl’attraction moyenne sur la Terre .La deuxieme facon de voir la force de maree demande plus de connais-sances en mecanique mais elle explique pourquoi on retranche la valeurmoyenne de l’attraction lunaire. La force de maree correspond a l’effetde l’attraction de la Lune vue dans un referentiel geocentrique, c’est-a-dire a l’effet de l’attraction de la Lune en ajoutant la force apparented’entraınement liee au mouvement orbital de la Terre.La Terre a tendance a tomber sur la Lune mais, puisqu’elle possedeune vitesse orbitale, elle est en meme temps ecartee de la Lune, ce quifait qu’en terme de trajectoire elle ne tombe pas vraiment et decrit unecourbe quasi-circulaire. Puisque la Terre ne tombe pas sur la Lune onpeut dire qu’il existe une « force »qui contrebalance l’attraction lunaire.Cette force apparente est, comment on vient de le voir, liee au mou-vement : c’est l’opposee de l’acceleration de la Terre (multipliee par samasse) dans le referentiel galileen.


Deux systemes

Mettons cela en equation. Notons−→g0

L l’attraction moyenne de la Lunesur la Terre, MT la masse de la Terre et −→aT l’acceleration du centre Tde la Terre dans le referentiel galileen. Le principe fondamentale de ladynamique s’ecrit :

MT ·−→g0

L = MT · −→aT ou MT ·−→g0

L −MT · −→aT = −→0

On peut donc voir le mouvement comme un equilibre dans lequel leterme −MT · −→aT est une force apparente.Chacun a deja ressenti cette equivalence entre acceleration et force dansune voiture qui prend un virage : l’acceleration centripete de la voitureest ressentie comme une force centrifuge par le passager.Ce que l’on vient de dire pour la Terre est valable pour tout corps lieea la Terre. Une masse m situee en un point P subit une force due al’attraction de la Lune m · ~gL(P ) mais aussi une force d’entraınement−m · ~a(T ).


Deux systemes

La somme de ces deux forces s’appelle force de maree :

−→fm(P ) = m · ~gL(P )−m · ~a(T ) = m · ~gL(P )−m ·

−→g0

L

L’acceleration d’entraınement−→g0

L est uniforme, elle ne depend pas de

la position. Comme la Terre est pratiquement spherique−→g0

L moyen estegale a −→gL(T )Ainsi l’acceleration de maree est egale a :

−→g mL (P ) = ~gL(P )−−→gL(T )

On peut representer ces resultats sur des schemas.


Deux systemes


Ordre de grandeur

On peut calculer l’acceleration de maree d’un point situe au zenith dela Lune :~gm

L (P ) = ~gL(P )−−→gL(T )

~gmL (P ) = G ·ML

(d− r)2 −G ·ML

d2

~gmL (P ) = G ·ML × ( 1

(d− r)2 −1d2 )

~gmL (P ) = G ·ML × (d2 − (d− r)2

d2 · (d− r)2 )

~gmL (P ) = G ·ML × (d2 − (d2 − 2d · r + r2)

d2 · (d− r)2 )

~gmL (P ) = G ·ML × ( 2d · r − r2

d2 · (d− r)2 ) comme d >> r on simplifie

~gmL (P ) ≈ G ·ML × ( 2d · r

d2 · (d)2 )

~gmL (P ) ≈ G ·ML × (2 · r

d3 )


Ordre de grandeur

Dans notre cas l’acceleration de maree due a la Lune vaut ici :

gmL (P ) ≈ 6, 67.10−11 × 7, 3.1022 × ( 2× 6400.103

(384400.103)3 ) = 1, 1.10−6 SI

en suivant le meme calcul, on peut calculer celles dues au Soleil (5.10−7),a Venus (7.10−11), a Mars (1.10−12), a Jupiter (7.10−12).Le Soleil et la Lune sont les principaux responsables de nosmarees. La lune, 27 millions de fois plus legere que le Soleil a uneinfluence deux fois superieure a celle du Soleil sur les marees terrestres.


Pourquoi la maree ideale est semi-diurne ?

L’alternance de la Pleine Mer (PM) et de la Basse Mer (BM) deux foispar jour vient de la rotation de la Terre sur elle-meme et non de larotation de la Lune autour de la Terre.


Pourquoi la maree se decale-t-elle de 50mn par jour enmoyenne ?

En realite le cycle se repete toutes les 12h25mn creant un retard de50mn tous les jours car pendant que la Terre fait un tour sur elle-memela Lune tourne aussi un peu (de 1

28e de tour). La Lune se retrouve donc

exactement au dessus du meme point un peu plus tard soit en 24h50mn.


C’est quoi une maree semi-diurne a inegalite diurne ?

Oula ! ! ! ! C’est le genre de questions qui fait peur ! La reponse est pour-tant simple. Avec un schema, c’est limpide.


Mortes-eaux et vives-eaux, quesako ?

Toutes les semaines environ la maree alterne de forts coefficients (vive-eaux) et des faibles (morte-eaux). Cet effet est du a la combinaison desmarees lunaires et des marees solaires.Les marees solaires modulent les marees lunaires. Si les deux astres sontalignes (nouvelle et pleine Lune) avec la Terre, les effets s’ajoutent.On parle alors de syzygie ou de vives-eaux. Le marnage est fort.Si la Lune est en quadrature avec la Terre et le Soleil, les effets sesoustraient, le marnage est alors faible. Ce sont les mortes-eaux.

Combien de jours entre deux vives-eaux ?Club d’Astronomie de Louviers Gravitation et forces de marees

Une maree a Louviers ?

Cette question a un sens. Quand on parle de maree, on pense a la mer,l’ocean. En effet, la montee des eaux est quelque chose de visuel maisce n’est pas pour autant que l’on peut negliger la maree terrestre !La terre peut quand meme se soulever de 20 a 30 centimetres en moyenneau passage de la Lune. Donc la maree n’est pas seulement liee a l’eaucomme son nom ne l’indique pas.Selon un article de Sciences et Vie, ces marees seraient aussi misesen cause dans le declenchement de seisme sur Terre. Les probabilitesd’avoir un gros seismes seraient plus fortes en periode de pleine ounouvelle Lune. Des chercheurs ont decouvert, grace a un modele ditde « tremblements tectoniques profonds »et a l’etude statistique de di-zaines de milliers de seismes repertoriees dans des bases de donnees, quedans les zones de subduction, la contrainte mecanique exercee par l’ad-dition des forces gravitationnelles du Soleil et de la Lune etait a memede produire la « pichenette »en trop qui libererait toutes les autres ten-sions accumulees dans ces zones instables.


Et sur la Lune ?

Les forces de marees sont partout dans le systeme solaire, avec desincidences importantes sur certains phenomenes.Sur la Lune, en appliquant la formule que l’on a vu auparavant, l’acce-leration de maree est de 2,4.10−5 S.I soit plus de 20 fois celle existantsur Terre. La terre lunaire se souleve beaucoup plus que sur Terre, etnous donne un apercu de ce qui nous attend.

La Lune est en rotation synchrone autour de la Terre, sa periode derevolution autour de la Terre est egale a sa periode de rotation. Elle adonc une face cachee. Cette synchronisation s’est faite en quelquesmillions d’annees.

A cause des forces de marees, la periode de rotation de la Terre aug-mente de 1,6 ms par siecle. Ce n’est pas beaucoup apparemment maisdes scientifiques ont analyse des coraux fossilises datant de 400 mil-lions d’annees et dont les cercles de croissance journaliers permettentde compter les jours dans une annee. Ils ont montre que l’annee comp-tait 410 jours, soit une duree du jour de 21,5 heures.


Et donc ?

L’augmentation de la periode de rotation de la Terre entraıne une aug-mentation de la distance Terre-Lune. En effet, d’un point de vue energe-tique, la Terre, qui est freinee, perd de l’energie dans le systeme Terre-Lune. Si on suppose que celui-ci est ferme, c’est la Lune qui gagne del’energie, ce surplus fait qu’elle s’eloigne de la Terre a raison de 3,8 cmpar an. Les eclipses totales de Soleil ont une mort programmee. Profitezde la prochaine en Espagne en 2024 !Il y aura un moment ou la Terre sera synchrone avec la Lune. La Lunesera alors fixe dans le ciel et ne sera visible que d’un cote de la Terre.Selon des calculs, la Lune devrait se trouver alors 3 fois plus loin qu’al’heure actuelle. A ce moment-la, un jour terrestre,un jour lunaire, unmois lunaire vaudront 47 jours actuels. Il n’y aura alors plus de mareenon plus sur Terre.Rassurez-vous le Soleil nous aura englouti avant que cela seproduise.


Frequent ou non ?

Le phenomene de rotation synchrone est cependant tres courant dansl’Univers. Les satellites Io, Europe, Ganymede et Callisto presententtoujours la meme face a Jupiter, de meme que Titan et Japet a Saturne.C’est en fait le cas de la plupart des satellites du systeme solaire enversleur planete respective.Un cas encore plus interessant est celui du couple Pluton-Charon oules deux corps ont une masse du meme ordre de grandeur et sont enrotation synchrone l’un autour de l’autre comme s’ils etaient relies parune barre.On peut aussi evoquer deux cas particuliers interessants. Phobos, satel-lite de Mars, a une rotation synchrone mais plus rapide que la rotationde Mars, il se produit non pas un eloignement mais un rapprochementdu satellite de Mars jusqu’a la collision.La periode de revolution de Triton est plus grande que la periode derotation de Neptune. Cependant son mouvement est retrograde. Doncle ralentissement de la rotation de Neptune par Triton provoque lerapprochement de celui-ci. Il y a cependant une difference notable.


Frequent ou non ?

Les masses des deux astres sont tout autres que celles de Phobos etMars. Les forces de marees vont mettre de plus en plus a mal le satellite,jusqu’a atteindre la limite de Roche, du nom du francais EdouardRoche. Les forces de cohesion de Triton ne seront plus suffisantes pourle maintenir en un seul morceau. Il sera pulverise dans une centaine demillions d’annees comme le fut la comete Shoemaker-Levy 9 au passagede Jupiter en 1992.

En 1847 , Edouard Roche (1820-1883) montre qu’il existe une distancelimite en deca de laquelle aucun gros satellite ne peut se former, ou nepeut resister aux forces de gravitation differentielles, les effets de mareeetant superieurs aux forces d’attraction entre particules.

Seuls des anneaux ou des petits satellites (< 100 Km)peuvent s’y trouver.

Le calcul de la limite de Roche est fonction de la densite des corps enorbite.


Shoemaker-Levy


Exemple

Pour Saturne, la limite de Roche d’un corps glace de densite 1.4 est de1.95 Rayon de Saturne. Il est de 2.2 Rayons pour un corps de densite0.9 (Au niveau du satellite Pan, apres la division de Cassini)


Chauffage interne

On a vu que le renflement d’un satellite en rotation synchrone pointetoujours vers sa planete. Pour un satellite sur une orbite un peu pluselliptique, la distance a la planete varie et la direction du renflement sedeplace d’avant en arriere de facon periodique en fonction de la positionsur l’orbite. Le jeu d’interaction gravitationnelle entre la planete et leva-et-vient du renflement du satellite s’accompagne de friction et doncd’une production de chaleur.Ce processus est particulierement important dans le cas des satellitesgalileens de Jupiter, et en particulier du plus proche d’entre eux, Io.Io a a peu pres la meme taille que notre Lune, et orbite a peu pres ala meme distance de Jupiter que la Lune de la Terre. Mais il y a deuxdifferences de taille :- D’abord, Jupiter est 318 fois plus massive que la Terre.- Ensuite, Io, Europe et Ganymede sont en resonance orbitale : quandGanymede, plus lointaine fait une revolution autour de Jupiter, Europeen fait deux et Io quatre.


Chauffage interne

C’est ainsi qu’en 1979, S. Peale et P. Cassen, deux astronomes ameri-cains previrent que ce phenomene de resonance devait forcer l’excen-tricite de Io a etre non-nulle (e ≈ 0.004) et que les forces de mareede Jupiter devaient ainsi conduire a la dissipation d’une grande quan-tite d’energie. Quelques mois plus tard, la sonde Voyager arriva presde Jupiter et mis en evidence une activite volcanique intense. On saitmaintenant que Io est parmi toutes les planetes et leurs satellites duSysteme Solaire, celui dont l’activite volcanique est la plus intense etcela lui donne d’ailleurs des airs de pizza. Le meme phenomene permetprobablement aux interieurs des satellites Europe et Encelade de pro-duire suffisamment de chaleur pour permettre l’existence d’un oceansous-terrain.


Bibliographie

Merci au site de l’ENS Lyon, Sciences et vie, la ferme des etoiles,astronomes, l’ifremer.

Merci a Tristan Guillot, quasar95, Gerard Villemin.Merci de votre ecoute !


Documents

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