tmutat a GRETL konometriai szoftver hasznlathoz, konometriai pldkkal

Oktatsi segdlet

rta: Fldvri Pter Debreceni Egyetem Kzgazdasgtudomnyi Kar Gazdasgelemzs s zleti Informatika Tanszk

2007. jnius

Bevezets.................................................................................................................................... 3 I. Adatfjlok megnyitsa, mentse s konvertlsa............................................................... 4 I.1. Adatfjlok megnyitsa ..................................................................................................... 4 I.1.1. Pldafjlok megnyitsa............................................................................................. 4 I.1.2. j adatfjl ksztse .................................................................................................. 6 I.1.3. Adatfjlok exportlsa .............................................................................................. 8 I.1.4. Adatfjlok importlsa............................................................................................ 10 I.1.5. Adatfjlok mentse .................................................................................................. 11 I.1.6. Adatok importlsa kls adatbzisokbl .............................................................. 11 II. Vltozk talaktsa, ler statisztikk, s grafikonok a GRETL-ben ............................. 16 II.1. Vltozk talaktsa, s j vltozk ksztse .............................................................. 16 II.1.1. Beptett talaktsok ............................................................................................ 16 II.1.2. j vltoz ltrehozsa meglv vltozk felhasznlsval................................... 17 II.2. Ler statisztikk........................................................................................................... 18 II.2.1. A Descriptive statistics opci hasznlata.......................................................... 18 II.2.2. Az ikonnzet hasznlata......................................................................................... 19 II.2.3. A parancskonzol hasznlata .................................................................................. 21 II.3. A GRETL grafikus kpessgeinek hasznlata.............................................................. 24 II.3.1. A gyorsmenbl elrhet grafikonok..................................................................... 24 II.3.2. A Viewmenbl elrhet grafikonok ................................................................. 28 II.3.3. A regresszi kimenetrl elrhet grafikonok ....................................................... 32 II.3.4. A grafikonok tulajdonsgainak mdostsa .......................................................... 33 III. Alapvet, egyegyenletes regresszis technikk ........................................................... 35 III.1. Legkisebb Ngyzetek Mdszere (OLS) ...................................................................... 35 III.1.1. Nhny elzetes megjegyzs................................................................................. 35 III.1.2. Az OLS alkalmazsa............................................................................................. 35 III.1.3. Az eredmnyek interpretcija............................................................................. 37 III.1.4. A regresszis eredmnyeken vgezhet tesztek .................................................... 38 III.2. Regresszi a hiba heteroszkedaszticitsa s autkorrelcija esetn.......................... 47 III.2.1. Heteroszkedaszticits korrekcija a slyozott legkisebb ngyzetek mdszere (WLS) segtsgvel ........................................................................................................... 47 II.2.2. Autkorrelci korrekcija.................................................................................... 50 IV. Egyegyenletes idsoros technikk ............................................................................... 53 IV.1. Egysggyktesztek...................................................................................................... 53 IV.1.1. Stacionarits jelentsge...................................................................................... 53

BevezetsA GRETL (Gnu Regression, Econometrics and Time-series Library), egy C nyelven rt, nylt forrskd, felhasznlbart konometriai szoftver, amely ingyenesen letlthet a http://gretl.sourceforge.net/ cmen. A GRETL elnye, ingyenessge mellett, hogy folyamatos fejleszts alatt ll, s a fejlesztk a legjabb eljrsokat is igyekeznek integrlni. A GRETL-t klnsen alkalmass teszi az konometria tanulsra/tantsra, hogy letlthetek hozz olyan alapvet tanknyvek adatfjljai is, mint Greene (2003), Gujarati (2003), Wooldridge (2006), Stock s Watson (2006), Verbeek (2004) s Ramanathan (2003). 1 Ezenkvl a GRETL egyedlll mdon hozzfrst biztost szmos nagy adatbzishoz (Penn World Table, NBER, St. Louis Fed stb.) gy azok adatai kzvetlenl s gyorsan konvertlhatak a GRETL-be. Magyarorszgon a GRETL az Eviews mellett taln a legelterjedtebb konometriai szoftver 2 , amelyben leginkbb az jtszik szerepet, hogy a Ramanathan knyvhz a GRETL egy elavult verzijt is mellkelik. A GRETL azonban a sajt jogn is nagyszer eszkz: amennyiben az olvas beszerzi a legfrissebb verzit a fent emltett honlaprl, akkor egy korszer, egyszeren kezelhet s stabil konometriai szoftverhez jut, amely termszetesen mind az MS Windows, mind a Linux opercis rendszerek alatt futtathat. Ez az oktatsi segdlet a GRETL 1.6.5 hasznlatba vezet be, konometriai alkalmazsokon keresztl. A szoftver elzetes ismerett nem ignyli, de felttelezi, hogy az olvas rendelkezik azokkal a felhasznli ismeretekkel, amelyek a program teleptshez szksgesek, illetve mivel ez az tmutat nem konometria vagy statisztikai tanknyv az adott alkalmazs alapvet elmleti httervel is tisztban van. Mivel a GRETL rszletes kezelsi tmutatval van elltva, amely a Help menpontban elrhet, ebben az tmutatban nem trek ki minden krdsre inkbb a hivatalos tmutat kiegsztsre trekszem.

1 Greene, W. H., Econometric Analysis (5.kiads), Prentice Hall 2003 Gujarat, D. N., Basic Econometrics (4. kiads), McGraw.Hill, 2003 Wooldridge, J., Introductory Econometrics: A Modern Approach (3.kiads), Thomson, 2006 Stock J. H. s Watson, M. W., Introduction to Econometrics (2.kiads), Addison Wesley, 2006 Verbeek, M. , A Guide to Modern Econometrics (2. kiads), Wiley, 2004 Ramanathan, R., Bevezets az konometriba, alkalmazsokkal, Panem, 2003 2 Olyan statisztikai szoftvercsomagok, mint pldul az SPSS vagy a SAS, nem tekinthetek konometriai szoftvereknek, br korltozottan ilyen alkalmazsokra is megfelelnek.

I.

Adatfjlok megnyitsa, mentse s konvertlsa

I.1. Adatfjlok megnyitsa I.1.1. Pldafjlok megnyitsa A GRETL installlsa utn rdemes rgtn telepteni a honlaprl letlthet adatfjlokat tartalmaz csomagokat. Ezek exe kiterjeszts fjlok, amelyek teleptse a teleptsi knyvtr kijellse utn automatikusan zajlik le. A telept ltal felajnlott knyvtrt alapesetben nem szksges megvltoztatni.

A pldafjlokat a File menben rhetjk el:

Ahol, amennyiben mr teleptettk az sszes pldaadatot, a kvetkez menben vlaszthatjuk ki a megnyitand fjlt:

A men tetejn tallhat flekkel vlaszthatjuk ki, hogy melyik tanknyv adatfjljai jelenjenek meg az ablakban. Az Open funkcival a kijellt fjlt megnyithatjuk (a ketts kattints az egr bal gombjval ugyanezt eredmnyezi). Az Info gombbal informcikat rhetnk el a kijellt adatok forrsrl, illetve gyakran a vltozkrl s az alkalmazott mrtkegysgekrl.

I.1.2. j adatfjl ksztse A GRETL lehetsget ad arra, hogy sajt adatainkbl GRETL adatfjlt ksztsnk. Termszetesen mivel a GRETL nem tblzatkezel szoftver, erre alkalmasabb programokat is tallhatunk. Els lpsknt hasznljuk a File men New data set opcijt:

A kvetkez ablakban adjuk meg a megfigyelsek szmt (number of observations):

A kvetkez lpsben az adataink struktrjt kell meghatroznunk aszerint, hogy keresztmetszeti adatokrl, idsorrl, vagy panelrl van sz.

Keresztmetszeti adatok esetn a szoftver csupn a vlasztsunk megerstst kri, mieltt ltrehozza az j fjlt:

Amennyiben az adataink struktrjnl az idsort (time series) vlasztottuk, akkor meg kell adnunk a megfigyelsek gyakorisgt is:

Amely az vtizedenknti megfigyelsektl (decennial) az rnknti megfigyelsekig terjed (hourly). Amennyiben nem kvnjuk pontosan meghatrozni a gyakorisgokat, vagy pldul a lehetsgek kztt nem szerepl gyakorisgokat alkalmazunk (percenknt pl.) akkor az other opcival egyszer idindexet is hasznlhatunk. Panel esetn a megfigyelsek szmnl a panel dimenzijt (egyedszm x idszak, vagy NxT) kell megadnunk. Ezt kveten hatrozzuk meg a szoftvernek, az egynek szmt (N).

Ebbl a szoftver mr meg tudja hatrozni a panel tpust s megerstst kr:

Miutn megerstettk az adatfjl struktrjval kapcsolatos vlasztsunkat, a program felajnlja a lehetsget, hogy a GRETL sajt tblzatkezeljt hasznlva gpelhessk be az adatokat:

Ha ezt a lehetsget vlasztjuk, akkor meg kell adnunk az els vltoz nevt:

Ezutn megjelenik a GRETL egyszer tblzatkezelje, ahol bevihetjk az adatokat:

A tblzatkezel Variable menpontjban, az Add opcival jabb vltozkat adhatunk hozz a fjlhoz. I.1.3. Adatfjlok exportlsa A GRETL formtum adatainkat ms formtumokba is konvertlhatjuk. File men export data opcijval.

Amennyiben pldul ksbb Excelben szeretnnk trolni az adatokat, akkor a CSV fjlformtumot rdemes alkalmazni. A CSV kivlasztsa utn megadhatjuk, hogy az oszlopokat milyen karakter vlassza el, illetve, hogy a megfigyelsek indexeit kln oszlopknt exportljuk-e.

Ezutn kivlaszthatjuk, hogy mely vltozk kerljenek az jonnan ltrehozand fjlba:

Vgl elmenthetjk az adatokat. I.1.4. Adatfjlok importlsa A GRETL kpes szmos program formtumait beolvasni s GRETL formtumba konvertlni. Ehhez a File men open data opcijn bell vlasszuk ki az import data lehetsget.

Az tlagos felhasznl szempontjbl klnsen rtkes tulajdonsg, hogy a GRETL kpes kzvetlenl Excel munkalapokat vagy Eviews s Stata 3 adatfjlokat importlni.

3 Mindkett elterjedt konometriai szoftver.

I.1.5. Adatfjlok mentse Az adatfjlokat a File men Save as vagy Save opciival tudjuk elmenteni.

A standard format vlasztsa esetn az adatokat a GRETL sajt formtumban menthetjk el. Elszr azonban lehetsgnk van meghatrozni, hogy mely vltozkat mentse el a program:

I.1.6. Adatok importlsa kls adatbzisokbl Mint a bevezetben emltettem, a GRETL nagy elnye, hogy online adatbzisokbl kzvetlenl konvertlhatunk adatokat a sajt adatfjlunkba. Ez a tulajdonsga mg akkor is hasznoss teszi a GRETL-t, ha esetleg maghoz az elemzshez ms programot szeretnnk

alkalmazni. Termszetesen az online adatbzisok elrshez internet kapcsolattal kell rendelkeznnk.

Az online adatbzisokhoz a File menben a Databases/On database server opcival frhetnk hozz. A kvetkez ablakban az elrhet adatbzisok listja jelenik meg.

A kivlasztott adatbzis nevre kattintva, annak sttusza not installed-rl up to date-re vltozik a fenti listn, s egy ablakban megjelennek az adatbzisrl letlthet adatsorok elnevezsei s f adatai is:

Jelen pldban a St. Louis-i Fed monetris adatokat tartalmaz adatbzishoz krtnk hozzfrst. A listn tovbbhaladva lthatjuk, hogy az elrhet idsorok gyakorisga vltoz, vannak ves (A), negyedves (Q) s havi (M) bontsban elrhet adatok. A vgcl termszetesen az, hogy a sajt adatbzisunkba mr egysgesen kerljenek be az adatok. Ebben segt a GRETL aggregl funkcija, amelynek segtsgvel a havi adatokat negyedves vagy ves adatokk konvertljuk. Ha pldul most a reljvedelemrl (rel GDP), a pnzmennyisgrl (pl. M2) szeretnnk adatokhoz jutni, akkor rdemes a GDP-vel kezdeni, mert az ll a legaggregltabb formban rendelkezsre (negyedvi adat, mg a pnzmennyisgrl havi adataink vannak).

Ha a gdp96 idsort kijelljk, majd a jobb oldali egrgomb megnyomsa utn megjelen menben az import funkcit vlasztjuk, akkor a gdp96 idsor tkerl, negyedves bontsban, az aktulis (megnyitott) fjlunkba. Ha ppen nem volt fjl megnyitva, akkor a

GRETL automatikusan egy j fjlt kszt, s ebbe tlti be az adatbzisbl szrmaz adatokat. Ha rpillantunk az adatfjlunkra, az j idsort mr ott talljuk, elemzsre kszen.

A kvetkez lpsben a pnzmennyisg havi bontsban elrhet adatait importljuk. Ehhez az m2ns idsort hasznljuk:

Amennyiben ezt az idsort is importljuk, a GRETL felajnlja a vlasztst, hogy milyen mdszerrel aggreglja a havi adatokat negyedvess. Ezt a dntst az adatok ismeretben neknk kell meghozni:

Mivel a pnzmennyisg egy llapot (stock) vltoz, az tlagols (compact by averaging), vagy valamely kitntetett idpontbeli rtk alkalmazsa (end-of-period vagy start-ofperiod values) egyarnt megfelel, de leggyakrabban az tlagolst alkalmazzuk. Az aggreglsi technika kivlasztsa utn az adatfjlunkban mr csak negyedves adatok szerepelnek, 1967 els negyedvtl 2003 harmadik negyedvig bezrlag.

A GRETL aggregl kpessgvel sok munkt takarthat meg a felhasznlnak.

II.

Vltozk talaktsa, ler statisztikk, s grafikonok a GRETLben

II.1. Vltozk talaktsa, s j vltozk ksztse II.1.1. Beptett talaktsok A GRETL-ben a legalapvetbb adat-talaktsi mdszereket a menbl elrhetjk. Els lpsknt az talaktand vltozt az egr bal gombjval kijelljk (akr tbbet is, ehhez az egr bal gombjnak lenyomva kell tartanunk). A beptett talaktsokat s vltoz ksztsi lehetsgeket az Add menpontban rhetjk el:

A szoksos talaktsok (logaritmizls, differencils, ngyzetre emels) mellett j vltozkat is kszthetnk: az index vltoz az egyes megfigyelsek sorszmt tartalmazza, az idtrend pedig egy lineris idtrendet kszt. A random variable opcival vletlen vltozt krelhatunk, amely vlasztsunktl fggen szmos nevezetes eloszlst kvethet:

Ha pldul egy olyan vltozt szeretnnk kszteni,a melynek neve veletlen, tlaga 10 s szrsa 3, akkor azt a Normal lehetsg kivlasztsval a kvetkez mdon tehetjk meg:

Amennyiben az idsorunk gyakorisga miatt ez lehetsges, szezonlis dummy (binris vagy dichotm) vltozkat is kszthetnk a periodic dummy opcival. II.1.2. j vltoz ltrehozsa meglv vltozk felhasznlsval A Define new variable opcival sajt formulval hozhatunk ltre j vltozt a mr meglvkbl. A Squares of selected variables opci segtsgvel pldul kpesek vagyunk egy vltoz ngyzett felvenni j vltozknt, de pldul ugyanezen vltoz kbt mr csak a Define new variable opcival tudjuk kpezni:

A fenti pldban a PCED vltoz kbt, mint j vltozt vesszk fel az adataink kz. Ugyangy ezt a funkcit kell hasznlnunk kereszthats vltozk (kt vltoz szorzata) vagy reciprokvltozk ltrehozshoz. Amennyiben a (nem dichotm) fgg vltoznknak fels

Y korltja van (pldul 1), akkor alkalmazhatunk logit talaktst is, azaz Yi logit = ln i . 4 1 Yi Ezt a Define new variable funckival a kvetkez mdon llthatnnk el:

Dummy (binris) vltozkat a felttel megadsval, logikai mvelettel kszthetnk:

A fenti kifejezssel egy olyan D nev binris vltozt ksztnk, amely 1-es rtket vesz fel minden olyan esetben, amikor az Y vltoz rtke nullnl nagyobb, s nullt egybknt. II.2. Ler statisztikk II.2.1. A Descriptive statistics opci hasznlata A legegyszerbb mdszer adataink alapvet statisztikinak megjelentsre a Decriptive statistics opci. A vltoz kijellse utn, az egr jobb gombjra kattintva tbb lehetsg kzl vlaszthatunk:

A Descriptive Statistics funcki hasznlatval a kvetkez kimenethez jutunk:

4

Ilyen korltos vltoz lehet pldul egy orszg rszesedse a teljes magyar exportbl, ez nylvn sohasem lehet tbb mint 1 (100%).

A tblzatban szerepel a vltoz elnevezse (a jelen pldban IP), a megfigyelsek szma (696), a vltoz szmtani tlaga (mean), medinja, szlsrtkei, valamint szrsa (standard deviation), relatv szrsa (C.V. azaz Coefficient of Variance, ami a szrs s az tlag hnyadosa), ferdesge (Skewness), s lapultsga (Ex. Kurtosis). A View menpont Correlation matrix opcijval az ltalunk megjellt vltozk kztti lineris korrelcis egytthatkat jelenthetjk meg.

II.2.2. Az ikonnzet hasznlata A GRETL-ben rendelkezsre ll egy Icon view funkci is, amelyet a View menpontban rhetnk el.

Az ikonnzetben lehetsgnk van az sszes vltoznk ler statisztikit megtekinteni a Summary opcival:

A Correlations opcival a vltoznk kztti korrelcis tblt rhetjk el, hasonlan a fentebb bemutatott Correlation matrix opcihoz, amelyet a View menpont alatt rhetnk el.:

Az ikonnzet egyb lehetsgeivel ksbb foglalkozunk. II.2.3. A parancskonzol hasznlata Termszetesen a GRETL rendelkezik parancskonzollal is, ahol a klnbz utastsokat kzvetlenl adhatjuk meg a programnak. Az utastsokrl bvebb informci a GRETL kziknyvben (users guide) s az utastsok gyjtemnyben (command reference) rhet el, amelyeket a Help menpontbl elrhetnk.

Amennyiben pldul csak kt vltoznk kztt szeretnnk korrelcis egytthatt szmolni akkor azt a corr utastssal megtehetjk:

A fenti pldban az IP (industrial production index) s az Oil (oil-price shocks) vltozk kztti lineris korrelcis egytthatt szmoltuk ki. A konzolrl elrhet a GRETL minden funckcija. Pldul egy OLS regresszit az ipari kibocsts s az rsznvonal kztt a kvetkez utastssal hajthatnnk vgre: ols IP const CPI

A konzolon pontosan ugyanaz a kimenet jelenik meg, mintha a menbl indtottuk volna el a regresszit. A konzolon lehetsgnk van kihasznlni a GRETL mtrixalgebrai kpessgeit is. Pldul brmely vltoznkat definilhatjuk vektorknt (vagy tbb vltozt mtrixknt) s azokkal mveleteket vgezhetnk. Szemlltetsl, becsljk meg az elbbi egyenlet paramtereit mtrixalgebrai eszkzkkel! 1. Kpezzk az Y vektort a fgg vltozbl. matrix Y=IP 2. Kpezzk az X mtrixot a konstans tagbl (egysgvektor) s a CPI vltozbl! matrix X={const CPI}

3. Most becsljk meg az egytthatk beta vektort a tanknyvekbl ismert becslfggvnnyel: matrix beta=inv(XX)*(XY) 4. A beta utastssal nzzk meg a vektort:

Lthatjuk, hogy a mtrixalgebrai mvelettel valban a fentebb, az ols utastssal kapott egytthatkhoz jutottunk el. 5. A standard hiba vektornak kiszmtsa kiss bonyolultabb. Ehhez els lpsben vektorknt hozzuk ltre a maradkokat: matrix u=Y- X*beta 6. Majd a maradk ngyzetsszegt szmoljuk ki. scalar SSR=uu 7. A minta maradknak ngyzetsszegbl a hiba ngyzetsszegt gy becslhetjk meg, ha elosztjuk a regresszink szabadsgfokval, azaz a megfigyelsek szmnak s a megbecslt egytthatk szmnak klnbsgvel (ezt minden alapvet statisztikai tanknyv tartalmazza). scalar ESS=USS/(rows(X)-rows(beta)) 8. Ebbl kiszmolhatjuk az egytthatk varianciinak vektort: matrix V=ESS*inv(XX) 9. s vgl a V diagonlisnak ngyzetgykeit vve megkapjuk az egytthatk szrst is: matrix se=sqrt(diag(V))

Egy technikai jelleg megjegyzs: a fenti mdszerrel csak akkor jutunk eredmnyhez, ha az adataink kztt nincsenek hinyz megfigyelsek. Termszetesen a GRETL ols fggvnye automatikusan kezeli ezt a problmt.

II.3. A GRETL grafikus kpessgeinek hasznlata II.3.1. A gyorsmenbl elrhet grafikonok A GRETL az ugyancsak nylt forrskd gnuplot szoftvert hasznlja grafikonok ksztshez. Ezt a szoftvert a GRETL automatikusan telepti. A GRETL nhny alapvet grafikontpusa az egr jobb gombjval elhvhat gyorsmenbl elrhet. Ehhez elszr ki kell jellnnk egy vltozt, majd a gyorsmenben vlaszthatunk, az adataink struktrjnak megfelelen, a klnbz grafikonokbl.

A Time series plot a kijellt idsort az id fggvnyben brzolja:

A Frequency plot opcival az egyes megfigyelsek gyakorisgt brzolhatjuk, azaz hisztogrammot kszthetnk. Nagyszm megfigyels esetn nem felttlenl szeretnnk minden egyes megfigyelst brzolni, ezrt a GRETL felajnlja a lehetsget, hogy az egyes megfigyelseket csoportokba (bins) osztva brzolja. Ebbe a pldban elfogadjuk a program ltal javasolt 27 csoportot.

A Boxplot grafikon szintn a vltoz eloszlsrl ad informcit:

A grafikonon lthat doboz az als s a harmadik kvartilisek ltal hatrolt terletet adja meg, az egyenes pedig a medint jelli ki. A Correlogram opcival az idsorok elemzshez nlklzhetetlen korrelogramhoz juthatunk. Elszr ki kell vlasztanunk, hogy a korrelogram hny ksleltetettig szmolja ki az autokorrelci s a parcilis autokorrelci rtkeit.

A vlasztsunk megerstse utn megjelenik a korrelogram grafikusan s szvegesen is:

A szveges kimenet jelentsge abban ll, hogy gy hozzjuthatunk az eredmnyekhez akkor is ha valamilyen oknl fogva nem mkdnek a GRETL grafikus kpessgei a gpnkn. A korrelogram rtelmezshez szksges ismereteket brmilyen bevezet, idsorelemzssel foglalkoz tanknybl elsajtthatja az Olvas. Rviden: az ACF (Autocorrelation Function) egy vltoz s valamelyik ksleltetettje kztti korrelcis egytthatt adja meg. A jelen

pldban pldul ez az egytthat IPt s az IPt-2 esetben 0,9908. A PACF (Partial Autocorrelation Function) ettl annyiban tr el, hogy az alacsonyabb rend autkorrelcik hatst kivonja a magasabb rend autkorrelcik egytthatibl. gy pldul az ACF esetben azt ltjuk, hogy a jelenbeli megfigyels mg a 28-ik rend ksleltetettel is ers pozitv kapcsolatban van. PACF esetn ers pozitv kapcsolatot tallunk az els ksleltetettel (elsrend autkorrelci), de miutn ezt a hatst korrigltuk magasabb rend autkorrelcit nem tallunk. Ezek alapjn az IP idsort egy els rend autkorrelcival (AR(1)) tudnnk lerni, s az autkorrelci egytthatja olyan kzel van egyhez, hogy az idsorban egysggyk van (unit-root). A szveges kimeneten megtallhatjuk a Portmanteau-fle Q statisztikkat is, amelyek nullhipotzise, hogy az adott folyamat fehr zaj. Ezt a fenti pldban elvethetjk. A Spectrum opci segtsgvel a spektrumanalzishez szksges periodogramhoz s a Bartlet-fle ablakhoz jutunk.

A spektrumanalzis nem kpezi a bevezet statisztika kurzusok tananyagt, br azt gazdasgi idsorok elemzshez is hasznljk (pldul zleti ciklusok elemzshez). A spektrumanalzis

lnyege, hogy az idsort frekvencia-tartomny alap mdon elemezzk. Ehhez a Fourier ttelt hasznljuk fel, amely szerint brmilyen gyengn stacioner periodikus fggvnyt el lehet lltani egymstl fggetlen sinus s cosinus fggvnyek (azaz klnbz frekvencij ciklusok) slyozott sszegeknt. Ms szavakkal: az idsorunkban megfigyelhet ingadozsokat (a variancit) az egyes frekvencik szerint bontjuk fel alkotelemekre. Ezt az eljrst nevezzk spektrl- vagy spektrumelemzsnek. 5 A fenti brn, illetve a tblzatban megadott spektrlis srsgfggvny a legmagasabb rtket az idsorra leginkbb jellemz (az idsor variancijt legnagyobb mrtkben magyarzni kpes frekvencij ciklusnl) veszi fel (az IP idsort elbb differenciltam a stacionarits rdekben). A grafikon tetejn a frekvencikhoz tartoz idtvokat is megtalljuk. Az els dominns frekvencia az 1, ami az IP idsor alacsony frekvencij komponense. A msodik dominns frekvencia a 69, ami kb. 10 hnapos ciklusnak felel meg. II.3.2. A Viewmenbl elrhet grafikonok A View menben sszetettebb grafikonok ksztsre is lehetsgnk nylik. A Graph specified graphs opciban pontdiagramokat (X-Y scatter) s idsorokat is kszthetnk, tbb vltoz bevonsval.

Amennyiben pontdiagramot szeretnnk kszteni, akkor a meg kell adnunk hogy mely vltozk helyezkedjenek el az X s az Y tengelyen:

5

Krlbell ennyi szerepel errl a tmakrrl a Maddala-fle tanknyvben (Nemzeti Tanknyvkiad, 2004) is.

Jelen pldban az IP vltozt, mint a CPI fggvnyt brzoljuk. Az OK megnyomsa utn megkapjuk a pontdiagramot, amely a kt vltoz kztti kapcsolatot szemllteti:

A szoftver automatikusan egy lineris regresszit is futtat, amelynek eredmnyt (illesztett rtkeit) s az egyenletet a diagrammon meg is jelenti. Ez segthet eldntennk, hogy valban szerencss-e lineris kapcsolatot feltteleznnk a vltozink kztt. A grafikonra jobb egrgombbal kattintva elrhet gyorsmenben az OLS estimates opcival a grafikonon alkalmazott regresszi kimenett hagyomnyos regressziknt is megjelenthetjk.

Ehhez hasonl diagrammot kapunk ha az X-Y with impulses opcit vlasztjuk. Ez lnyegben egy tdiagram:

Az X-Y with factor separation opcival olyan grafikonhoz juthatunk, ami egy bizonyos minsgi kategria alapjn (ezt egy dummy vltozval ragadjuk meg) klnbsget tesz a megjelentett pontok kztt. Vegyk pldul a GRETL sajt pldafjlai kztt tallhat engin.gdt fjlt. Ebben a thai mrnkk fizetsre, s egyb jellemz adataikra vonatkoz megfigyelseket tallunk. Az egyik ilyen ismrv a megfigyelt mrnkk neme, amit a male dummy (dichotm) vltoz ragad meg. Ez 1 rtket vesz fel, ha a vlaszad frfi volt, s 0 rtket, ha n. brzoljuk grafikusan a kapcsolatot a munkatapasztalat (exper) s a br (wage) kztt s kezeljk kitntetett minsgi ismrvknt a vlaszad nemt (male)!

A megjelen grafikon egy egyszer pontdiagram lesz a wage s az exper vltozk kztt, azonban most azok a pontok, ahol frfiak voltak a vlaszadk pirossal, ahol pedig nk, ott kkkel vannak megjellve.

Azt figyelhetjk meg, hogy a kk pontok jellemzen az ugyanahhoz az exper rtkhez tartoz piros pontok alatt vannak, teht a ni mrnkk ugyanolyan tapasztalat mellett alacsonyabb fizetst kapnak. Nylvn annak eldntshez, hogy itt valban nemi diszkrimincirl van sz, ennl sszetettebb modell lenne szksges, a megfelel hipotzisvizsglatokkal (egy ktvltozs regresszi semmikppen sem alkalmas eszkz ilyen krdsek eldntsre). A Boxplots s a Notched boxplots opcikkal tbb vltoz dobozdiagrammjait jelenthetjk meg egyms mellett. Ezeket kln nem mutatom be. Vgl lehetsgnk van 3 vltoz kztti kapcsolat grafikus brzolsra is, a 3D Plot opci hasznlatval. A pldban a Green-fle pldafjlok kzl a 8_3-ast hasznlom, amely egy Cobb-Douglas tpus termelsi fggvny becslshez szksges adatokat tartalmazza. A kibocstst (q), mint a tkellomny (k) s a teljes tnyezhatkonysg index (A) fgggvnyeknt brzoljuk:

A kapott grafikonon lthat rcsos felleten helyezkednek el a megfigyelt kibocstsi adatok. A grafikont az egr bal gombjnak lenyomva tartsa mellett, az egr mozgatsval el is forgathatjuk. A grafikonrl leolvashatjuk, hogy a kibocsts mind k-ban, mind A-ban nvekszik. A Multiple graphs opcit bvebben nem trgyalom, itt egyszerre tbb grafikon (idsorok s pontdiagrammok) elksztsre van lehetsg, hasznlata a fentebb lertak ismeretben magtl rtetd. II.3.3. A regresszi kimenetrl elrhet grafikonok Miutn egy regresszit lefuttattunk a GRETL szoftverrel, lehetsgnk van specilis grafikonokat megjelenteni, amelyek a regresszink esetleges hibinak diagnosztizlsban, a

modellezs sikernek megtlsben lehetnek hasznosak. Ezekrl a kvetkez fejezetekben az egyes mdszerek trgyalsakor esik sz. II.3.4. A grafikonok tulajdonsgainak mdostsa A grafikonok mdostsra is lehetsgnk van. A grafikonon elrhet gyorsmenben (egr jobb gomb) vlasszuk az Edit lehetsget:

A megjelen ablakban elvgezhetjk a mdostsokat:

Az els lapon (Main) megadhatjuk a grafikon cmt, a bettpust, illetve mdosthatjuk a vonal sznt. Az (X-axis) s (Y-axis) lapokon megadhatjuk, vagy mdosthatjuk az egyes tengelyek feliratait, s bellthatjuk a tengelyen brzolt adatok als s fels korltait. Ezzel pldul egy szmunkra rdekes idszakra, vagy tartomnyra fkuszlhatjuk a grafikonunkat.

A Lines opcival a grafikonon megjelentett vonal tulajdonsgait mdosthatjuk. Nevet adhatunk neki (legend), meghatrozhatjuk a tpust (vonal, pontok, ezek kombincija, stb.), thelyezhetjk az y tengelyt a jobb oldalra, s megnvelhetjk a vonal vasatgsgt (line width):

A labels opcival feliratokat helyezhetnk el a grafikonon. A felirat helyt meghatrozhatjuk a kp koordinti segtsgvel is, de a legegyszerbb az egr ikon hasznlatval egyszeren kijellni, hogy hol jelenjen meg a felirat. Vgl az output to file lapon megadhatjuk, hogy a grafikont milyen formtumban mentse el a GRETL.

III.

Alapvet, egyegyenletes regresszis technikk

III.1. Legkisebb Ngyzetek Mdszere (OLS) III.1.1. Nhny elzetes megjegyzs Az Legkisebb Ngyzetek mdszert (tovbbiakban OLS) alkalmazst egy pldn keresztl ismerjk meg. A pldnkhoz a Stock s Watson (2nd ed.) fle pldafjlok kzl a Growth.gdt nevt hasznljuk fel. Az adataink keresztmetszetiek (cross-section), mivel 65 orszgot figyelnk meg ugyanabban az idpontban. A feladatunk, hogy meghatrozzuk, hogyan befolysoljk a gazdasgi nvekedst (growth) olyan tnyezk, mint a nyitottsg (tradeshare) 6 az emberi tke elltottsg (yearsschool) 7 , illetve a politikai instabilits amelyet a felkelsek s puccsok szmnak (rev_coups) s a politikai gyilkossgok szmnak (assassin) 1960 s 1995 kztti ves tlagval ragadunk meg. Mivel ez az tmutat a GRETL konometriai alkalmazsrl szl, gy elengedhetetlenl szlnom kell arrl, mi teszi a statisztikai elemzsnket konometria jellegv. Az konometriai elemzst, hacsak nem pusztn elrejelzsre (forecasting) trekednk, szilrd elmleti (kzgazdasgi) alapokon ll hipotzisekkel kezdjk. Az konometria clja nem az adatokban megtallhat informcik feltrsa, kinyerse (ez az adatbnyszat feladata), hanem a kzgazdasgi ismereteink bvtse, a modellek tesztelse az adatok szisztematikus, elmletileg megalapozott elemzse tjn. A trsadalomtudomnyokban oly fontos ok-okozati sszefggsek feltrst nem oldhatjuk meg pusztn statisztikai mdszerekkel: eredmnyeinknek interpretlhat tartalmat a httrben meghzd elmleti modell ad. Egy konometriai eszkzket alkalmaz szakcikk mindig hipotzisek tesztelsrl szl. A hipotzisnket pedig egy (akr verblis, akr formalizlt) modell alapjn, megfelel irodalmi hivatkozsokkal egytt kell megadnunk. Ha tbb hipotzist is tesztelni szndkozunk, sszefoglalhatjuk ezeket egy tblzatban. Ebben a konkrt pldban: Vltoz Nyitottsg (tradeshare) Iskolzottsg (yearsschool) Puccsok szma (rev_coups) Politikai gyilkossgok szma (assassin) Az egytthat felttelezett eljele + + -

A regresszinkat szoksos fggvnyszer formban is felrni (specifiklni): growthi = 0 + 1 tradesharei + 2 yearsschooli + 3 rev_coupsi + 4 assassin i + ui III.1.2. Az OLS alkalmazsa Az OLS eljrs Model menpontbl rhet el:

6 7

Az export s az import sszege a GDP arnyban. A lakossg tlagos iskolzottsga vekben (average years of schooling)

Ezutn adjuk meg a vltozkat:

Az OLS eljrsnl, de ltalban minden regresszinl rdemes a Robust standard errors opcit kijellni. Ekkor a jelentett standard hibk s t-statisztikk heteroszkedaszticits s (idsorok esetn) autokorrelci robosztusak lesznek. 8 Az OK gombra kattints utn megjelenik a kimenetnk, amely a ms statisztikai szoftvereknl mr megszokott konvencikat kveti.

8

Ezek a fogalmak brmilyen bevezet konometriai tanknyvben megtallhatak. A robosztus statisztikk lnyege, hogy ezek mg heteroszkedasztikus s autokorrellt maradkvltoz esetn is megbzhatak s hipotzisvizsglatra alkalmasak.

Az egyes egytthatk hipotzisvizsglathoz szksges t-statisztikkat s p rtkeket a megfelel egytthatval egy sorban tallhatjuk, a modell egsznek megtlshez szksges statisztikkat pedig a kimenet als rszn. III.1.3. Az eredmnyek interpretcija rtelmezzk a regresszink eredmnyeit! A modell illeszkedst az R2 statisztika segtsgvel jellemezhetjk, amely kb. 0,25. Ez azt jelenti, hogy a fgg vltoznk szrsngyzetnek hozzvetleg 25%-t magyarzta meg modellnk. Mieltt ebbl azt a kvetkeztetst vonnnk le, hogy modellnk teljessggel alkalmatlan brmilyen rtelmes elemezs vgrehajtsra, rdemes tudnunk, hogy a legtbb trsadalomtudomnyokban alkalmazott keresztmetszeti regresszi esetben az R2 igen alacsony, ltalban 0,6 alatti rtket vesz fel. Idsorok esetben, ahol a variancia (szrsngyzet) nagy rsze az adatokban jelenlv trendbl szrmazik, ugyanakkor igen magas rtkekkel tallkozunk (0,9 felett). nmagban teht az R2 statisztika nem elegend a modellnk megtlshez, klnbz modellek sszehasonltsra pedig vgkpp alkalmatlan. Az alacsony R2 ltalban azt tkrzi, hogy vannak olyan tnyezk, amelyek ugyan befolysoljk az egyes orszgok gazdasgi teljestmnyt, mgsem jelennek meg a modellnkben. Hogy ez gondot okoz-e az attl fgg, hogy milyen mdon rtelmezzk a regresszink egytthatit: az adott magyarz vltoz jvedelmi egyenltlensgre gyakorolt marginlis(vagy parcilis) hatsaknt (ceteris paribus, azaz minden ms tnyez rgztse mellett), vagy pedig olyan hatsknt, amely esetben a kihagyott vltozkat nem tekintjk rgztetnek (azaz az egytthat nem csak az adott vltoz hatst tartalmazza, hanem minden kihagyott, de a vltoznkkal korrell vltoz hatst is). Amennyiben az els mdon akarjuk eredmnyeinket interpretlni, a kihagyott vltoz (amelynek jelenltre az alacsony R2 is utalhat) torztst okoz (omitted variable bias). Ez all az egyetlen kivtel az az eset, ha a kihagyott vltozk fggetlenek (korrellatlanok) a modellben lv magyarz vltozkkal. Ezt mindig elmleti alapokon kell tisztznunk, de a legtbb esetben abbl indulhatunk ki, hogy a kihagyott vltozk sszefggnek a regresszorokkal. Ilyenkor vagy instrumentlis vltozk alkalmazsval prblkozunk, vagy knytelenek vagyunk elfogadni, hogy a kihagyott vltozk hatsa megjelenik az egytthatinkban. Jelen esetben nyilvnval, hogy gazdasgi nvekedst sokkal tbb vltoz befolysolja, mint amelyek explicit mdon megjelentek a modellnkben, s gy knytelenek vagyunk a msodik megkzeltst vlasztani, azaz az egytthatkat vatosan kell interpretlnunk (ld. albb).

A rvid elmleti kitr utn nzzk meg, hogy a fenti tblzatban szerepl hipotziseink kzl melyeket vethetjk el! Mindenekeltt azt kell megllaptanunk, hogy modellnkben csak kt egytthat klnbzik szignifiknsan nulltl: a tradeshare, s az yearsschool. Ezt a p-rtkek (0,001 s 0,008) valamint a sorok vgn megjelen csillagok (asterisk) 9 jelzik. A p-rtk az elsfaj hiba elkvetsnek valsznsgt adja meg, azaz annak eslyt, hogy a nullhipotzist hibsan vetjk el (elsfaj hiba). Ms szavakkal, a prtk az a szignifikanciaszint, amely mellett mg elvethetjk a nullhipotzist. Ez a nullhipotzis minden esetben az, hogy az adott egytthat nem klnbzik nulltl, azaz, lnyegtelen a fgg vltoz szempontjbl. A nyitottsg s az emberi tke elltottsg egyarnt a vrt, pozitv egytthatval br. Ezekben az esetekben teht a kezdeti hipotziseink ltszlag beigazoldtak. A politikai instabilits egytthati viszont lthatlag nem klnbznek nulltl, azaz jelen modellnk szerint lnyegtelenek. A kihagyott vltozk miatt azonban a fenti modell interpretcija nem ilyen egyszer: a lakossg tlagos iskolzottsgnak egytthatja pldul egsz biztosan sszefgg egyb orszgspecifikus tnyezkkel (pl. az infrastruktra s az intzmnyrendszer fejlettsge), amelyeket nem ragadtunk meg kln vltozval. A kvetkezmny az, hogy ebben az egytthatban ezeknek a tnyezknek is megjelenik a hatsa, azaz nem llthatjuk, hogy egy vvel magasabb iskolzottsg nmagban valban 0,22 szzalkponttal magasabb nvekedsi temhez vezet - a valdi hats ennl alacsonyabb. III.1.4. A regresszis eredmnyeken vgezhet tesztek A GaussMarkov ttel szerint az OLS csak akkor a leghatsosabb, torztatlan lineris becsls, ha nhny felttel teljesl. Ezek a kvetkezk: 1. A hibavltoz vrhat rtke zrus. 2. A hibavltoz variancija (azaz szrsngyzete) fggetlen a magyarz vltozktl (azaz homoszkedasztikus). 3. A hibavltoz klnbz megfigyelsekhez tartoz rtkei fggetlenek (nincs autokorrelci). 4. A magyarz vltozk exognek, azaz fggetlenek a hibavltoztl (nem hagytunk ki fontos vltozt, amely a regresszorainkkal korrell ld. II.1.3). 5. A magyarz vltozk kztt tilos a tkletes multikollinearits, azaz egyik sem llthat el a tbbi regresszor lineris kombincijaknt (az X mtrix oszlopai lineris fggetlenek). A fenti felttelek kzl az els mindig rvnyesl az OLS eljrs esetben, az tdik srlse esetn, pedig a regresszi nem tudnnk elvgezni (magas, de nem tkletes multikollinearits viszont ltezhet, s ez ellenrizhet is). A msodik s a harmadik felttel teljeslst kpesek vagyunk ellenrizni, mg az tdik felttel teljeslst elssorban elmleti alapokon ellenrizhetjk (br lteznek eljrsok az exogenits tesztelsre is). Homoszkedaszticits tesztelse Elsknt ellenrizzk, hogy a hibavltoznk homoszkedasztikus-e! Ezt ellenrizhetjk grafikusan is, br ez termszetesen nem helyettesti a formlis tesztet. A maradkvltoznk grafikonjt a regresszis kimenetnk Graphs menjben rhetjk el, ahol azt is meg kell adnunk, hogy a maradkot mely vltoz fggvnyben kvnjuk brzolni. Ha azt9

A hasonlsg nem vletlen, a rmaiak gall rmnek neve a csillag karakter francia nevbl (asterisque) ered.

felttelezzk, hogy a hiba variancija a lakossg tlagos iskolzottsgval fgg ssze, akkor a yearsschool vltozt jelljk ki:

Mg ha a fenti grafikon alapjn nem is lehet eldnteni, hogy az sszefggs az iskolzottsg s a modellnk maradknak szrsa kztt szignifikns-e, az ltszik, hogy a hiba szrdsa a vrhat rtke (azaz nulla) krl, nagyobb alacsonyabb yearsschool rtkeknl, mint magasabbaknl. Ez heteroszkedasztikus maradkra utal. Egyszerbben megfogalmazva: a modellnk jobban teljest (kisebb a hiba szrsa) olyan orszgoknl, ahol az emberi tke minsge jobb, azaz magasabb a lakossg tlagos iskolzottsgi szintje, mint a szegny s elmaradott orszgok esetben. A heteroszkedaszticits mgtt teht mindig tallhatunk elmletileg is rdekes s rtelmes magyarzatot. A heteroszkedaszticits ugyanis nem valamilyen hiba, hanem az adataink tulajdonsga. Ez a tulajdonsg kihatssal van az OLS

becslsnk hatsossgra, de alapveten nem hiteltelenti az elemzsnket s nem is katasztrfa. A formlis tesztet a Tests menben rhetjk el:

A GRETL alapesetben a White-fle heteroszkedaszticits tesztet vgzi el, azaz a hibavltoz ngyzett mint a magyarzvltozk, azok ngyzetei, s a klnbz magyarzvltozk szorzatainak fggvnyt modellezi le. Ezutn egyttes szignifikancia teszttel (LM teszt) hatrozza meg, hogy valban heteroszkedaszticitsrl beszlhetnk-e.

Az LM teszt p-rtke krlbell 0,821, azaz nem tudjuk elvetni a nullhipotzist miszerint a hibavltoznk homoszkedasztikus. Termszetesen, fggen attl, hogy mit feltteleznk a hibnk variancija s a magyarz vltozk kztti sszefggs fggvnyformjrl, msfle teszteket is alkalmazhatunk, ezeket azonban a GRETL automatikusan nem tudja elvgezni: a segdregresszikat magunknak kell lefuttatni az OLS eljrssal. Az ehhez szksges vltozkat (maradk, maradk ngyzete, becslt rtkek), a Save menpontban tudjuk felvenni az adataink kz.

Ha pldul azt felttelezzk, hogy a maradk szrsngyzete s magyarz vltozk kztti kapcsolatot egy exponencilis fggvny jobban megragadja, mint egy White-fle teszt kereszthatsokkal s ngyzetre emelt magyarz vltozkkal, akkor mentsk el a maradk ngyzett (Squared residuals), amely megjelenik a vltozink kztt. Vegyk logartimust, s becsljk meg a kvetkez regresszis egyenletet: ln ui2 = 0 + 1 tradesharei + 2 yearsschooli + 3 rev_coupsi + 4 assassin i + vi

Amennyiben a modell egyttesen szignifikns, azaz maradk ngyzetnek vrhat rtke fgg egy vagy tbb magyarz vltoztl, heteroszkedaszticitsrl beszlnk. Az egyttes szignifikancia vizsglathoz hasznlhatjuk az F-prbt: a regresszis kimenetnk szerint az Fstatisztika 2,045, ami alapjn 10%-os szignifikanciaszinten elvethetjk a homoszkedasztikus maradk nullhipotzist. Alternatvaknt az Lagrange-szorzs (LM) prbt is hasznlhatjuk (ld. pldul a Ramanathan-fle tanknyvet). A maradkvltoz autkorrelcijnak tesztelse A maradkvltoz autkorrelcijra vonatkoz feltevst szintn beptett teszttel ellenrizhetjk. Idsor esetben a regresszink kimenete automatikusan tartalmazni fogja a Durbin-Watson tesztstatisztikt. Mivel a fenti pldban keresztmetszeti adatokat hasznltunk, erre nincs lehetsg, de egy idsoros pldt vlasztva, ezt a funkcit is ttekinthetjk. Legyen a pldafjlunk a greene 5_1 jel a Greene-fle tanknyv adatfjljai kzl, amely az USA-ra

vonatkoz negyedves idsorokat tartalmaz. Becsljk meg az USA nominlis pnzmennyisgnek logaritmust (az M1 aggregtummal mrve l_M1) mint az rsznvonal (l_infl), a nominlis kamatlb (tbilrate), s a relkibocsts logaritmusnak (l_realgdp) fggvnyeknt! 10 A kvetkez eredmnyekhez jutunk:

A regresszi kimenetei kztt szerepl Durbin-Watson tesztstatisztika 0,135, ami pozitv elsrend autkorrelci jelenltre utal. A DW statisztika alatt a szoftver jelenti a maradk az elsrend autkorrelci egytthatjt is, ami rendkvl kzel esik egyhez. Termszetesen van md magasabb rend autkorrelci tesztelsre is a Test menpontban.

Itt megadhatjuk, hogy hanyad fok autkorrelci szeretnk tesztelni. Negyedves adatoknl legalbb megyerend autkorrelcit rdemes tesztelni (a szezonlis hatsok miatt):

Ez lnyegben a mennyisgi pnzelmlet alapegyenlete (a Fisher-egyenletben szerepl forgsi sebessget konstansnak tekintjk), amelyet a kamatlb bevonsval alkalmass tesznk a spekulcis pnztartsi motvum s a pnztarts alternatv kltsgnek megragadsra is.

10

A teszt kimenete minden lnyeges informcit tartalmaz: a Breusch-Godfrey teszt segdregresszijban a maradk mind a ngy ksleltetettjhez szignifikns egytthat tartozik, azaz magasabb rend autkorrelcit talltunk. Mivel a Durbin-Watson teszt csak elsrend autkorrelcit kpes kimutatni, a magasabb rend autkorrelltsgot mindig rdemes kln tesztelni. Az LM teszt szintn elveti azt a nullhipotzist, miszerint a maradkvltoz nem autokorrellt. A kimenet utols sorban szerepl Ljung-Box Qstatisztika nullhipotzise szerint a maradkvltoz fehr zajknt kezelhet. Ezt lthatan szintn elvethetjk. Ebben a konkrt esetben a magas elsrend autokorrelcis egytthat arra utal, hogy a regresszink maradkban egysggyk van, azaz nem stacioner. Kvetkezskppen, mg ha az egytthatk a vrtnak megfelelnek, a kapott eredmnyek nem hihetnk, valsznleg hamis regresszival van dolgunk (ld. tanknyv!). Ekkor rdemes az egysggyktl differencilssal megszabadulni. Strukturlis stabilits tesztelse Elfordulhat, hogy a modellnk egytthati idvel megvltoznak. Ennek sokfle oka lehet, pldul valamilyen kls hats (hbor, olajvlsg, technolgiai fejlds), vagy valamilyen intzmnyi, politikai vltozs (pldul a monetris politika vltozsa: mondjuk tmenet az rfolyamclrl az inflcis clkitzs rendszerre). Azaz: szmthatunk r, hogy modellnk szavatossga idvel lejr, egyenletnk egytthati igen ritkn maradnak stabilak hossztvon. A strukturlis stabilits tesztelsre tbb mdszer is rendelkezsnkre ll. Mindenekeltt az elbbi pldban bemutatott regresszit most differencilva futtatjuk le, azaz az egysggyk jelenltt korrigltuk. A regresszis kimenet a kvetkez:

Chow-teszt Az egyik legalapvetbb mdszer a Chow-teszt (amelynet Gregory Chow 1960-ban publiklt). A teszt lnyege, hogy a mintnkat kt rszre bontjuk, mindkettn elvgezzk a regresszit, majd sszehasonltjuk az eredeti regresszi s a rsz-regresszik maradk-ngyzetsszegt. A mdszerhez szksges, hogy elre ismerjk a strukturlis trs valszn idpontjt, ami egyben a mdszer gyengesge is. Jelen esetben felttelezhetjk, hogy a trspont valahol az 1980-es vekben volt, amikor jelents vltozsok trtntek mind a monetris, mind a fisklis politikban. Ha ezt tesszk fel, akkor a Chow tesztet a kvetkez mdon vgezhetjk el:

Ahol megadhatjuk a trspontot. Legyen ez most pldul 1980:1!

Jelen estben a Chow-teszt nem tudta elvetni a strukturlis stabilits hipotzist, azaz 1980 els negyedvben nem trtnt strukturlis trs. Az eredmny htterben az ll, hogy valjban a trs valdi idpontjt nem ismertk. Ha azonban a Chow tesztet tbb esztendre is elvgezhetnnk, akkor valsznleg megtallnk a most mg ismeretlen trspontot. Pontosan ezt a lehetsget knlja a QLR teszt: QLR teszt

A QLR teszt eredmnyeknt szveges kimenetknt megkapjuk azt az idpontot, amikor a Chow teszt statisztikja a legmagasabb rtket vette fel.

Ezek szerint a trs valsznleg 1985 els negyedvben kvetkezett be, s valban, a szakirodalom tanulmnyozs meg fog ersteni minket abban, hogy ebben az vben a

pnzllomny GDP-hez viszonytott arnya jelentsen megnvekedett. A grafikus kimenet a Chow tesztstatisztikkat az id fggvnyben brzolja:

A grafikon alapjn arra a kvetkeztetsre is juthatunk, hogy a trs 1983 folyamn mr megtrtnt (1985-t megelzen van egy cscs), s ha a Chow tesztet 1983 els negyedvre elvgezzk, ott valban 1% szignifikancia szinten el tudjuk vetni a strukturlis stabilits hipotzist. Kvetkeztetsnk szerint teht valamikor 1982 utn alapvet vltozs kvetkezett be a pnzkereslet sszeteviben (vagy ppen a monetris politikban) amely miatt ugyanazzal az egyenlettel nem modellezhetjk a pnzmennyisg 1983 eltti s utni alakulst. CUSUM s CUSUMSQ tesztek (CUSUM - cumulative sum - kumullt sszeg) Brown, Durbin s Evans 1975-s cikkkben javasoltk a CUSUM strukturlis stabilits tesztet. A mdszer lnyege ebben az esetben is az egyenletet tbb idszakra megbecsljk, majd a t-edik idpontra rvnyes maradkot a t-1-ik idszakig tart almintbl (teht a megfigyelseink a 0. idponttl t-1-ig) becslt egytthat felhasznlsval becsljk meg s standardizljuk. Ezeknek a rekurzv mdon kiszmolt standardizlt reziduumoknak a slyozott sszege adja az adott idszakra rvnyes tesztstatisztikt. Ha a kritikus rtket ez a statisztika abszolt rtkben meghaladja, akkor el kell vetnnk a strukturlis stabilits nullhipotzist. A teszt a menbl elrhet:

A tesztstatisztikk mind szvegesen, mind grafikusan megjelennek. A szveges kimenetben csillag jelli azokat az idpontokat, ahol a tesztstatisztika tlpte a 95%-os konfidencia intervallum hatrait (azaz 5%-os szingifikanciaszinten elvethetjk a strukturlis stabilits hipotzist).

A grafikon szerint a strukturlis trs 1980 utn kvetkezik be. III.2. Regresszi a hiba heteroszkedaszticitsa s autkorrelcija esetn III.2.1. Heteroszkedaszticits korrekcija a slyozott legkisebb ngyzetek mdszere (WLS) segtsgvel Ehhez a pldhoz hasznljuk a labour2.gdt adatfjlt, amelyet a Verbeek tanknyv pldaadatai kztt tallunk. Ez 569 belga vllalatrl tartalmaz megfigyelseket: clunk hogy a belga vllalati szektor munkaer kereslett modellezzk. Brmilyen bevezet kzgazdasgi tanknyv tartalmazza az ehhez szksges elmleti ismereteket: a vllalat profitmaximalizcis

problmjnak megoldsa szerint a relbr egyenl a munka hatrtermkvel. 11 Felttelezve egy kttnyezs termelsi fggvnyt (K tke, L munkaer), nyilvnval hogy a keresleti fggvnynkben a munkaer irnti kereslet a tkellomnytl, kibocststl (Y) s a brtl (w) fgg. Az adataink keresztmetszetiek, azaz a hibavltoz autkorrelltsga miatt nem kell aggdnunk, elegend a heteroszkedaszticits ellenrzse. Szintn a keresztmetszeti adatok miatt eltekinthetnk a technolgiai haladstl, hiszen azt most minden vllalatra azonosnak tehetjk fel (s minden megfigyels ugyanarra az idszakra vonatkozik). A hipotziseinket ismt tblzatban foglaljuk ssze: Vltoz Az egytthat felttelezett eljele + Tkellomny (capital) Munkabr (wage) + Hozzadott rtk (output) Elszr OLS eljrssal becsljk meg az egyenletet, hatvnyfggvnyt (log-log) felttelezve:

Mint megllapthatjuk, a tkellomny kivtelvel (amelyik nem szignifikns) minden egytthatnk eljele a vrakozsoknak megfelelen alakul. Most ellenrizzk a mr ismertetett mdon a maradkvltoz szrst, heteroszkedaszticitst keresve!

Ez persze megkveteli azt a felttelt, hogy a munkaer mennyisge befolysolja a hatrtermket, de a br nem hat a termelkenysgre. Ha ez msknt van, ld. hatkonysgi brek (efficiency wages), akkor a munkaerpiac mr nem felttlenl tart a teljes foglalkoztatottsg fel.

11

A White-fle heteroszkedaszticits teszt egyrtelmen (1%-os szignifikancia szinten) elutastja a nullhipotzist, azaz a hibnk heteroszkedasztikus. Kereshetnk intuitv magyarzatot erre a jelensgre: a teszt segd-regresszijnak kimenete szerint a munkaer kereslet szrsa pozitvan fgg a tkellomnytl: azaz minl tkeersebb (s nagyobb) egy vllalat, a modellnk annl kevsb pontosan kpes megbecslni a munkaer kereslett. A httrben rszben minden bizonnyal a szektorlis klnbsgek llnak (gpests foka), de az is valszn, hogy egy nagyobb vllalat a bevteleinek ingadozsait hosszabb ideig kpes elbocstsok nlkl elviselni, mint egy kisvllalat, amely knytelen sokkal rugalmasabban reaglni, s ahol a munkaer is kevsb szervezett. A segd regresszibl becslt rtkeket felhasznlva, azokbl slyokat kpezhetnk, amelyet az Other Linear Models menpontbl elrhet Weighted Least Squares opcival hasznlhatunk (a tmrl bvebben a Ramanathan knyvben lehet olvasni, de standard rai anyag).

A msik, gyorsabb s knyelmesebb, lehetsg, ha a WLS alatt tallhat Heteroskedasticity corrected opcit vlasztva az egsz eljrst a GRETL-lel vgezetjk el. Az egyetlen engedmny amit tennnk kell, hogy a heteroszkedaszticits fggvnyformjt nem hatrozhatjuk meg, a szoftver egy exponencilis, polinom fggvnyformt fog felttelezni. Ezzel az eljrssal a kvetkez eredmnyeket kapjuk:

Azaz, az OLS-szel ellenttben, most mindegyik egytthatt szignifiknsnak talltuk, br a tkellomny egytthatja olyan kicsi, hogy ugyan statisztikailag szignifikns az eredmny, kzgazdasgilag ez a hats elhanyagolhat. II.2.2. Autkorrelci korrekcija Ehhez a tmhoz ismt idsorra lesz szksgnk, teht trjnk vissza a greene 5_1 pldafjlhoz! Most egy egyszer modellt vizsgljunk, amelyben az rsznvonal (azaz egy nominlis vltoz) s a rgztett rakon vett kibocsts (egy relvltoz) kztti kapcsolatot vizsgljuk. Elszr futassuk le a regresszit OLS-szel!

Az eredmnyeink szerint az rsznvonal igenis magasabb relkibocstssal jr egytt. Elfogadjuk-e ezt az eredmnyt? Nem. Mint korbban volt rla sz, ez a hamis (spurious) regresszi esete, azaz kt egysggykt tartalmaz idsor kztt akkor is tallhatunk szignifikns kapcsolatot, ha azok valjban fggetlenek egymstl. Ilyenkor a vltozinkbl el kell tvoltanunk az egysggykt (differencilssal) s csak azutn vgezhetnk valid regresszianalzist rajtuk. A hamis regresszi egyik jele a maradkvltoz magas pozitv autkorrelcija, amit a nullhoz kzeli Durbin-Watsion statisztika is jelezni szokott. (Hvelykujjszably: ha a DW statisztikai kisebb, mint az R2, valsznleg hamis regresszival llunk szemben.) Vannak azonban olyan technikk is (jellemzen az egysggyk okozta problmk felvetse eltti vtizedekbl), amelyek kifejezetten a maradkvltoz autkorrelcijnak korrekcijt clozzk. Az els, taln legismertebb technika a Cochrane-Orcutt eljrs, amely egy kvzidifferencilson alapul, itercis technika. Tegyk fel, hogy a kvetkez egyenletben: yt = + xt + t A maradk els fokon autkorrellt: t = t 1 + vt ahol vt fehr zaj s az elsrend autkorrelcis egytthat, amelynek valdi rtkt azonban nem ismerjk pontosan. A kvzi-differencils a kvetkez mdon rhat fel: yt yt 1 = (1 ) + ( xt xt 1 ) + t Az els lpsben -t az OLS egyenlet maradkbl becsljk meg. Ezutn megbecsljk a kvzi differencilt regresszit, s az alapegyenletbe mr az ebbl kapott egytthatkat helyettestjk be. Ebbl ismt maradkot szmolunk, s meghatrozzuk az elsrend autkorrelcis egytthatt. Kvetkez lpsben ezzel az j egytthatval vgezzk el az

eljrst. Az ismtlseket (itercikat) addig folytatjuk, amg a becslt lpsrl-lpsre haladva mr nem vltozik tovbb lnyegesen. Ezt a kszbrtket mi magunk hatrozhatjuk meg.

A korrekci befejezse utn a kvetkez eredmnyekhez jutunk:

Lthatjuk, hogy a programnak 6 itercira volt szksge, hogy meghatrozza r rtkt. A fenti eredmnyek szerint, miutn a maradk elsrend autkorrelcijt korrigltuk (amelyet a jval magasabb DW statisztika is jelez), azt talljuk, hogy az rsznvonal egytthatja nem szignifikns. A msodik kzismert technikai Hildreth s Lu nevhez fzdik. Ez az eljrs klnbz r rtkek mellett (tetszlegesen kis lpsekben haladva) kiszmolja az eltrs ngyzetsszeget

t =2

T

2 t

. Azt a r rtket vlasztjuk, amely mellett ez minimlis. A Hildreth-Lu eljrs sokkal

szmts ignyesebb, mint a Cochrane-Orcutt, viszont globlis megoldst keres a r rtkre. Hildreth-Lu eljrssal a kvetkez eredmnyekre jutunk:

A GRETL grafikusan is megjelenti az eljrst: lthatjuk, hogy az eltrs-ngyzetsszeg folyamatosan cskken ahogy egyre magasabb elsrend autkorrelcis egytthatt feltteleznk. A minimumot 0,999-nl ri el, teht ezt a r rtket vlasztjuk.

A regresszi kimenete annyiban mdostja az Cochrane-Orchutt eljrsbl szrmaz eredmnyeinket, hogy most azt talljuk, hogy a magasabb rsznvonal ltalban alacsonyabb kibocstsi szinttel jrt egytt az USA-ban. Az autokorrelci korrekcija utn teht most is az eredeti OLS-szel becslt paramterektl gykeresen eltr eredmnyekre jutottunk. Az autokorrelci korrekcijra azonban a legszlesebb krben a Prais-Winsten (vagy YuleWalker)-fle becslsi technikt alkalmazzk. Ez az eljrs lnyegben a GLS egyik fajtja, azaz minden vltoznkat gy slyoz, hogy a felttelezett elsrend autkorrelcit korriglja. A slyok a r rtktl fggnek, s gy szintn egy iteratv eljrsrl van sz.

A Prais-Winsten regresszi esetben az talljuk, hogy a magasabb rsznvonal ltalban magasabb kibocstssal jrt egytt, de az egytthat kisebb, mint az OLS esetben. sszegzsl azt llapthatjuk meg, hogy a fentebb megismert eljrsok meglehetsen klnbz eredmnyekre vezethetnek. Valjban a korbban felvetett krdsre, azaz az rsznvonal s a relkibocsts kapcsolatra ezek alapjn nem lehet kvetkeztetni. Tovbbi htrny hogy ezek az eljrsok csak statikus modellek esetn hasznlhatak (a fgg vltoz ksleltetettje nem szerepel a jobb oldalon), s fel kell tteleznnk, hogy a maradkvltoznkban csak els rend autkorrelci van. Szintn rdemes azon is elgondolkodnunk, hogy az autkorrelci ltalban a rossz modellspecifikci jele, s ilyenkor nem a korrekci, hanem a korrekt modell megtallsa a megfelel megolds.

IV.IV.1. Egysggyktesztek

Egyegyenletes idsoros technikk

IV.1.1. Stacionarits jelentsge Egy idsor akkor stacioner szigor rtelemben, ha valsznsg-eloszlsa minden idpontban ugyanaz. A gyakorlatban a stacionarits gyenge defincijt (kovariancia stacionarits) alkalmazzuk, mivel ez knnyebben tesztelhet. Eszerint egy idsort akkor tekintnk gyenge rtelemben stacionernek, ha vrhat rtke (tlaga), s variancija idben nem vltozik (azaz nem fgg a megfigyels idpontjtl), s kt megfigyels kovariancija csak a kt megfigyels idbeli tvolsgtl, de nem azok idpontjtl fgg. Ez utbbi nyilvnvalan szksges felttele annak, hogy az adott idsorrl egy rtelmes/hasznlhat korrelogrammot tudjunk kszteni (lsd II.3.1). Definiljuk a kvetkez elsrend differenciaegyenletet: yt = + yt 1 + t Ha ||>1, a folyamat explozv. Ebben az esetben brmilyen kls hats (sokk vagy innovci) ri a rendszert annak hatsai idvel egyre nagyobbak lesznek; a rendszer teljesen instabil. Ha ||=1, a folyamatban egysggyk van. Ebben az esetben brmilyen kls hats (sokk vagy innovci) ri a rendszert annak hatsai idben llandak s megmaradnak; a rendszer szintn instabil.

Ha ||