Upload
others
View
23
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Grška matematika po Evklidu
Milan Hladnik
Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani
7. november 2012
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Arhimed (287-212 pnš.)
Slika: Arhimed iz Sirakuz
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Arhimedov pomen
Eden največjih matematikov vseh časov, Sirakužan, sinastronoma, ljubljenec kralja Hierona. Študiral v Aleksandriji(obdržal prijatelje Kanona, Dositeja in Eratostena, ki jim jepogosto pisal)
Mnogo legend (o izumljanju vojaških naprav, o vzvodih, skaterimi bi lahko spravil svet s tečajev, o Hieronovi kroni, ki nibila iz čistega zlata, o njegovi smrti pod mečem rimskegavojaka).
Moderne matematične razprave, v njih veliko originalnosti,računske spretnosti in rigoroznosti pri dokazovanju. Največjimatematični prispevek: začetki integralskega računa
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Arhimedovo delo
Ravninska geometrija:Merjenje kroga (klasična metoda računanja števila π zvčrtavanjem pravilnih večkotnikov)Kvadratura parabole (24 trditev o računanju ploščineparaboličnega odseka)Spirale (28 trditev o Arhimedovi spirali).
Prostorska geometrija:O krogli in valju (60 trditev v dveh knjigah, npr. o površinahin prostorninah)O stožčastih in kroglastih ploskvah (40 trditev o prostorninivrtenin)Papus pripisuje Arhimedu odkritje trinajstih polregularnih(arhimedskih) teles (prisekana kocka, kubooktaeder itd.)
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Arhimedovo delo - nadaljevanje
Aritmetika:Peščeni računar (v dveh knjigah, namenjenih Golonu,Hieronovemu sinu, predstavitev velikih števil, npr. zrn peskana Zemlji)V tej razpravi najdemo informacije, da je Aristarh (∼ 310do 230 pnš.) zagovarjal heliocentrični sistem in znamenitiproblem o govedu (problema bovinum)
Uporabna matematika:O ravninskem ravnovesju (25 trditev, računanje težišč likov,tudi paraboličnih odsekov)O plavajočih telesih (15 trditev z uprabo v hidrostatiki)Razprava O vzvodih, o kateri poroča Papus, je izgubljena.Teon pa citira še eno, (O zrcalih).
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Metoda izčrpavanja
A
B
C D
M
EN
L
Slika: Ploščina paraboličnega odseka z metodo izčrpavanja
Vsota ploščin trikotnikov CLA in CBE je enaka četrtini ploščinetrikotnika ABC. To je ponavljal in dobil
p(ABC)+14
p(ABC)+142
p(ABC)+ ... = p(ABC)(1+14
+142
+ ...)=43
p(ABC).
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Metoda ravnovesja
T N S
A B
C
x
Slika: Prostornina krogle z Arhimedovo metodo ravnovesja
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Arhimedova Metoda
Regiomontanus revidiral in natisnil 1540.Izgubljena
1906 našel v Carigradu Johan Ludvig Heiberg (1854-1928),danski filolog in zgodovinar matematikePalimpsest z nabožno vsebinoSpet izgubljena
29.oktobra 1998 se pojavi na dražbi agencije Christie, prodanaza 2 milijona dolarjev
Druge razprave na palimpsestu: O merjenju kroga, O krogli invalju, O spiralah, Stomachion
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Stomachion
Slika: Arhimedov StomahionSlika: Arhimedov Stomahion
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Eratosten (∼ 280-194 pnš.)
Slika: Eratosten
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Eratostenovo delo
Po rodu iz Kirene v Severni Afriki, živel v Atenah, Ptolemaj IIIpovabil za upravnika knjižnice v AleksandrijiAtlet, pesnik, astronom, geograf, zgodovinar, matematikRazgledan povsod, nikjer vrhunski (vzdevek beta)
Dela:- podvojitev kocke- praštevilsko sito- meritev obsega Zemlje
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
1 50
Slika: Eratostenova meritev obsega Zemlje
θ = 2π/50, l = 5000 stadijev, 1 stadij = 180 m, l = Rθ ,2πR = 50l = 4500 ·50 km
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Apolonij iz Perge (∼ 260-200 pnš.)
Slika: Apolonij iz Perge
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Apolonijevo delo
Študiral in živel v Aleksandriji, izurjen astronom in matematik,raziskovalec stožnic, po katerih je najbolj znan
Delo: Preseki stožcev v osmih knjigah, 400 trditev
Presegel Menajhma in Evklida, uvedel imena: elipsa, parabola,hiperbola, uvedel parameter p = polovica latus rectuma = b2/a(pri elipsi in hiperboli)
Vse tri postavimo s temenom v koordinatno izhodišče:- elipsa: y2 = 2px −px2/a (pomanjkljiva)- parabola: y2 = 2px (ravno pravšnja)- hiperbola: y2 = 2px +px2/a (presežna)
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Druga Apolonijeva dela
Poleg presekov stožcev še:- O proporcionalnih rezih (181 trditev)- O prostorskih prerezih (124 trditev)- O določanju prerezov (83 trditev)- O tangentah (124 trditev)- O vstavljanju (125 trditev)- O geometrijskem mestu (147 trditev)
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Apolonijevi krogi
(1) Gometrijsko mesto točk, katerih razdalji do dveh izbranihtočk sta v konstantnem razmerju(2) Geometrijsko mesto točk, iz katerih vidimo dve izbrani točkipod konstantnim kotom(3) Rešitev Apolonijevega problema: poiskati krog, ki se dotikatreh danih krogov
Slika: Osem rešitev Apolonijevega problema o krogu, ki se dotika trehkrogov
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Astronomi in geometri
Grški astronomi so izhajali iz kaldejske (babilonske) tradicije.Najpomembnejši je bil
Hiparh iz Nikeje (190-120 pnš.)
Izračun luninih men (na Rodosu), naklon ekliptike, katalogiziral850 zvezd stalnic, uvedel v grško matematiko delitev kroga na360 stopinjRazvil ravninsko in sferno trigonometrijo, sestavil tabele krožnihtetiv
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Hiparh iz Nikeje (190-120 pnš.)
Slika: Hiparh
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Menelaj iz Aleksandrije (190-120 pnš.)
Menelaj iz Aleksandrije (70-140 nš.)Avtor Sferike, znan po dvorazmerju pri transverzali trikotnika:(AN/NB)(BL/LC)(CM/MA) = −1
A B
C
N
L
M
Slika: Menelajev izrek
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Klavdij Ptolemaj iz Aleksandrije (90-168 nš.)
Sintaksis Matematica (Matematična Zbirka) ∼ 150 nš. jevplivno delo, temelječe na Hiparhovih razpravah.
Planisferij je prevedel naš Herman Koroški sredi 12. stoletja.
Almagest je vrhunsko astronomsko delo(megiste pomeni največje, po arabsko al-magest)Sestavlja ga 13 knjig (o astronomiji, v prvi knjigi osnove, tabeletetiv, Ptolemajev izrek o krožnem štirikotniku), v 3.,4.,5. knjigirazlaga geocentričnega sistema z epicikli, v 4. knjigi problem,kasneje imenovan problem Snella (1617) in Pothenota (1692),6. knjiga govori o elipsah, ostale o planetih.
Almagest je bila standardna astronomska knjiga vse doKopernika in Keplerja.
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Klavdij Ptolemaj - slika
Slika: Klavdij Ptolemaj
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Heron iz Aleksandrije (∼ 10-70 nš.)
Tehnik in izumitelj, profesor v Aleksandriji z enciklopedičnimznanjem, (študij v Grčiji in Egiptu).Dela iz matematike in fizike:- 14 razprav o praktični uporabi matematike in inženirstvu- izumi (sifon, parni stroj, vetrne piščali, vodna črpalka, siringa)- geometrična razprava Metrika v treh knjigah(merjenja likov, krožnih, eliptičnih, paraboličnih odsekov,površin valjev, stožcev in sfer, formula za ploščino trikotnika)- rekurzivna metoda za računanje kvadratnega korena)- delo iz mehanike Pneumatika (opis okrog sto mehanskihnaprav in igrač)- razprava iz optike Dioptra (optične naprave, antična oblikateodolita)- razprava o zrcalih Katoptrika
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Heronov portret
Slika: Heron
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Izpeljava Heronove formule
B C
A
D
E
F
G
I
aa
b
b g
g
J
H
r
r
r
a + b + g = p
BHC + b + g = p
CG AE=
Slika: Heronova izpeljava formule
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Razlaga izpeljava
(i) Včrtani krog s središčem I naj se dotika stranic v točkahD,E ,F (slika), na podaljšku BC odmerimo G, tako da boCG = AE in potegnemo pravokotnico IH na BI, ki preseka BC vtočki J in pravokotnico na BC iz C v točki H.(ii) Če je s = (a+b +c)/2, je p = rs = (BG)(ID).(iii) B, I,C,H ležijo na isti krožnici (s premerom BH), torej sekota CHB in BIC dopolnjujeta (sta suplementarna), pri čemer jekot CHB enak kotu EIA.(iv) Velja: BC/CG = BC/AE = CH/IE = CH/ID = CJ/JD.(v) Torej BG/CG = CD/JD.(vi)(BG)2/(CG)(BG) = (CD)(BD)/(JD)(BD) = (CD)(BD)/(ID)2.(vii) p = (BG)(ID) =
√
(BG)(CG)(BD)(CD) =√
s(s−a)(s−b)(s−c).
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Diofant iz Aleksandrije (∼ 200-284 nš.)
Slika: Diofant iz Aleksandrije
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Diofantovo delo
Tri razprave:- O poligonalnih številih- Porizmi- Aritmetika (v 13 knjigah, od katerih se jih je ohranilo 6)
Aritmetika je zahtevno analitično delo o algebrajski teoriji števil(okrog 130 različnih problemov o enačbah prve in drug stopnje,tudi eni kubični, in reševanje nedoločenih (danes imenovanihdiofantskih) enačb.
Zaslužen za uvedbo okrajšav za neznanke, potence,odštevanje, enakost in recipročnost (sinkoptična algebra).
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Diofantova Aritmetika
Najpomembnejše Diofantovo delo, 1500 let in več imelo izredenvpliv na razvoj matematike (Diofant - oče algebre).
Leta 1575 je grško besedilo Aritmetike objavil WilhelmHolzmann, profesor na univerzi v Heidelbergu (z grškimimenom Ksilander).
To besedilo je uporabil Bachet de Méziriac, ki je leta 1621izdal grški tekst skupaj z latinskim prevodom. V to knjgo je1637 Pierre de Fermat zapisal svojo slavno opombo na robu onezmožnosti rešitve enačbe xn +yn = zn v celih številih, če jen > 2.
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Méziriacova izdaja Aritmetike 1621
Slika: Méziriacov prevod Diofantove Aritmetike iz leta 1621
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Papus iz Aleksandrije (∼ 290-350)
Zadnji veliki grški matematik. Napisal dela:
Komentarji k Evklidovim Elementom in Podatkom ter kPtolemajevemu Almagestu in Planisferiju
Matematična zbirka, veliko delo, mešanica komentarjev,originalnih prispevkov in izboljšav različnih starejših tekstov. Odosmih knjig je izgubljena prva in del druge.
Nasploh je ta Zbirka zgodovinsko zelo verodostojna knjiga,zadnje veliko delo, nekakšen rekvijem grške matematike.
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Naslovna stran Zbirke
Slika: Naslovna stran Commandinovega latinskega prevodaPapusove Matematične zbirke, izdanega leta 1589
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Vsebina Zbirke
I. in II. knjiga: aritmetika (računanje z velikimi števili)III. knjiga: teorija sredin (npr. dvojna geometrijska sredina),neenakosti v trikotniku in včrtavanje pravilnih teles v krogloIV. knjiga: posplošitev Pitagorovega izreka ter lastnostiarbelosa, Arhimedove spirale, Nikomedove konhoide,Dinostratove kvadratrise z uporabo pri treh velikih problemihV. knjiga: izoperimetrija, maksimumi in minimumi (satovje)VI. knjiga: astronomska (nekakšen uvod v Almagest),prazačetki kartezičnih koordinat in projektivne geometrije,gorišča in direktrise stožnicVII. knjiga: originalni Papusovi prispevki (konstrukcija stožniceskozi pet danih točk, Papusov heksagonalni izrek, Guldinovipravili)VIII. knjiga: mehanika, konjugirani premeri elipse
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Posplošitev Pitagorovega izreka
B
C
A
ML
D
E
F
G
H
Slika: Papusova posplošitev Pitagorovega izreka
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Arbelos
A BC
D
S
T
( )a
A BC
D
( )b
Slika: Arbelos ali čevljarski nož
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Papusov heksagonalni izrek
Dve trojici kolinearnih točk A,B,C in a,b,c, presečiščaX = Ab∩aB, Y = Bc∩bC, Z = Ca∩cA tudi kolinearna
Slika: Papusov heksagonalni izrek
Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik
Prepisovalci in komentatorji
Teon iz Aleksandrije (∼ 335-405): komentarji k PtolemajevemAlmagestu, revizija Evklidovih ElementovHipatija (∼ 350-415): Teonova hči (matematika, medicina infilozofija), komentarji k Diofantovi Aritmetiki in ApolonijevimPresekom stožca. Prva znana ženska v matematiki.Proclus (412-485): neoplatonistični filozof in matematik, avtorKomentarjev k Evklidu in k Platonovi Republiki, v kateri so tudiza matematike zanimivi odstavki.Simplicij iz Kilikije (∼ 490 - 560): komentator Aristotela inEvklida. Predstavil Antifonov poskus kvadrature kroga,Hipokratove lune in Eudoksov model sončnega sistema skoncentričnimi sferami.Eutocij iz Askalona (∼ 480-540): Simplicijev sodobnik in jeznan po komentarjih k Arhimedovemu delu.