GRUP Zn*

Pergandaan dapat didefinisikan pada himpunan Zn = { 0, 1, 2,… ,n-1 } dari bilangan bulat modulo n.

Jika a, b dalam Zn maka pergandaan dari a b ( mod n ) adalah :

Gandakan bilangan bulat a dan b Ambil sisa pembagian dari ab dengan n yaitu r .

Berarti a b = r.

Mudah dibuktikan bahwa untuk n > 1 , Zn mengandung identitas pergandaan 1. Tetapi dalam Zn, invers terhadap pergandaan tidak selalu ada sehingga Zn bukanlah grup terhadap operasi pergandaan.

Untuk n 2 didefinisikan Zn* = { x dalam Zn | x mempunyai invers pergandaan

dalam Zn }.

Teorema V.1Untuk n 2 maka < Zn* , . > merupakan grup

abelian.

Contoh V.1Z2* = { x dalam Z2 | x mempunyai invers

pergandaan dalam Z2 } = { 1 }.

Berarti Z2* mempunyai order 1 dan elemen 1 dalam Z2* mempunyai order 1. Grup bagian dalam Z2* hanyalah Z2*.

Contoh V.2 Z3* = { x dalam Z3 | x mempunyai invers

pergandaan dalam Z3 } = { 1, 2 }.

Berarti Z3* mempunyai order 2 dan elemen 1 dalam Z3* mempunyai 1 karena (1) = { 1 }. Elemen 2 dalam mempunyai order 2 karena (2) = { 2k | k Z } = { 1, 2}.

Grup bagian dalam Z3* hanyalah {1} dan Z3*. Demikian juga karena ada elemen dalam yang mempunyai order 2 maka merupakan grup siklik.

Contoh V.4:Dapat dibuktikan bahwa Z8* = 1, 3, 5, 7

dan merupakan suatu grup abelian dengan orde 4 dan anggotanya memenuhi 11 = 32 = 52 = 72 = 1.

Oleh karena itu anggota-anggotanya mempunyai orde 1 atau 2 dan akibatnya Z8* tidak siklik.

Teorema V.2Anggota Zn* adalah anggota a dalam Zn

sehingga pembagi persekutuan terbesar dari a dan n adalah 1 atau d = FPB( a , n ) = 1.

Contoh V.5Jika p bilangan prima maka sebarang anggota

tidak nol dalam Zp akan prima relatif dengan p sehingga

Zp* = 1, 2, 3, ….., p-1 dan berarti orde dari Zp* adalah p-1.

Contoh V.6Z15* mengandung semua anggota a dalam Z15

sehingga a prima relatif dengan 15.Dalam hal ini Z15* = 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14

dan 9 Z15* karena (9,15) = 3.

LATIHANBerikan sifat-sifat dari Z4*.

Berikan sifat-sifat dari Z5*.

Berikan sifat-sifat dari Zp* dengan p bilangan prima.

Buktikan mengapa setiap Zn* dengan n 3 mempunyai orde genap.

Diketahui G grup dan a dalam G yang memenuhi a8 e dan a16 = e.

Tentukan orde a dan beri alasannya.Berikan contoh khusus dari grup G dan a dalam

G yang memenuhi a6 e dan a12 = e tetapi order dari a tidak sama dengan 12.

Berikan sifat dari yaitu Z6*, Z9* dan Z25*.

TERIMA

KASIH