UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA-SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA II 1

Tratamiento de ramas acopladas mutuamente ymatriz de admitancias de barra

Juan Carlos Maldonado (jmaldonadoc@est.ups.edu.ec)Luis Geovanny Pulla (lpulla@est.ups.edu.ec)

Luis Anibal Sanango (lsanango@est.ups.edu.ec)Juan Carlos Velecela(jvelecelac@est.ups.edu.ec)

Universidad Politécnica SalesianaSistemas Eléctricos de Potencia II

Abstract—This report details how to obtain the equationof admittance node and hence the coefficient matrix of theadmittance of node to two branches mutually coupled throughan impedance, it is shown that the development is based on thematrix block construction, which is obtained by combining thecurrents injected into the nodes and node voltages in matrixform. It also discloses how to obtain admittance matrix bar andso a comparison with the impedances in the matrix in order tounderstand their physical meaning

Index Terms—Acoplamiento, admitan-cia,impedancia,matriz,nodo,barra,corriente,voltaje

I. INTRODUCCIÓN

A ctualmente son las líneas de transmisión son quienesconectan un determinado sistema, población, central

eléctrica, usuarios libres etc.; en diferentes puntos del país ,los cuales pueden ser representados de dos maneras; medianteuna matriz de admitancias o una matriz de impedancias lascuales sirven de punto base para el cálculo de flujo de cargay de otros temas que se desarrollaran en el transcurso de lamateria, un tema importante en el modelo de admitancias ycálculo de redes son los que se detallan a continuación comoel tratamiento de redes acopladas mutuamente y matriz deadmitancias de barra.

II. OBJETIVO GENERAL

Conocer el desarrollo para el tratamiento de redes acopladasmutuamente y la obtención de la matriz de admitancia.

III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Comprender y analizar de qué manera se acoplan lasramas mediante una impedancia.

• Desarrollar un ejemplo para entender mejor la obtencióny uso de las ecuaciones estudiadas para el caso.

• Conocer de qué manera de obtiene la matriz de admitan-cia de barra.

IV. DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN

A. Ramas acopladas mutuamente en Y barra

El procedimiento se basa en la matriz de bloques de con-strucción se extiende ahora a dos ramas mutuamente acopladasque son parte de una red más grande pero que no están

inductivamente acopladas a ninguna otra rama, para explicarel procedimiento se analizará la figura 1 donde se puede verque la impedancia ZM acopla a las impedancias Za y Zb

conectadas respectivamente a los nodos m− n y p− q.

Figure 1. Dos ramas mutuamente acopladas,parámetros de impedancias [1]

Entonces los voltajes debidos a las corrientes Ia y Ib estándados por la ecuación matricial de impedancias (1), se tomaen cuenta que la impedancia mutua ZM se considera positivasi las corrientes entran a los terminales señalados con puntos.∣∣∣∣ Va

Vb

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ Za ZM

ZM Zb

∣∣∣∣ ∗ ∣∣∣∣ IaIb

∣∣∣∣ (1)

Se obtiene la matriz de admitancias al multiplicar laecuación (1) por la inversa de la matriz de impedanciaselemental.∣∣∣∣ Za ZM

ZM Zb

∣∣∣∣−1

=1

ZaZb − (ZM )2

∣∣∣∣ Zb −ZM

−ZM Za

∣∣∣∣∣∣∣∣ Za ZM

ZM Zb

∣∣∣∣−1

=

∣∣∣∣ Ya YM

YM Yb

∣∣∣∣∣∣∣∣ Ya YM

YM Yb

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣

Zb

ZaZb−Z2M

− ZM

ZaZb−Z2M

− ZM

ZaZb−Z2M

Za

ZaZb−Z2M

∣∣∣∣∣Ya que la matriz de admitancias es la inversa de la matriz

de impedancias nos resulta la siguiente ecuación matricial.∣∣∣∣ Va

Vb

∣∣∣∣ ∗ ∣∣∣∣ Ya YM

YM Yb

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ IaIb

∣∣∣∣ (2)

La figura 2 muestra las ramas mutuamente acopladas conlas admitancias correspondientes.

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Figure 2. Dos ramas mutuamente acopladas con las admitancias correspon-dientes [1]

Las ecuaciones de caídas de voltaje podemos representarlasen función del voltaje de cada barra con la siguiente matriz2x4 donde las siglas m,n, p, q indican el voltaje que por ahícircula.∣∣∣∣ Va

Vb

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ Vm− Vn

Vp− Vq

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣m n p q1 −1 0 00 0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Va

Vb

Vp

Vq

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ Va

Vb

∣∣∣∣ = A

∣∣∣∣∣∣∣∣Va

Vb

Vp

Vq

∣∣∣∣∣∣∣∣ (3)

La matriz 2x4 a la que llamaremos matriz A esta relacionadacon las admitancias, la primera fila de esta matriz esta asociadacon la admitancia de rama Ya y la segunda fila con laadmitancia Yb , los voltajes se miden con respecto a la red y lascorrientes de rama se relacionan con las corrientes inyectadaspor las ecuaciones de nodos.

Im = Ia In = −Ia

Ip = Ib Iq = −IbEstas cuatro corriente arregladas de forma matricial nos dan

como resultado la siguiente ecuación.∣∣∣∣∣∣∣∣ImInIpIq

∣∣∣∣∣∣∣∣ =mnpq

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0−1 00 10 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ IaIb

∣∣∣∣ = AT

∣∣∣∣ IaIb

∣∣∣∣ (4)

Si reemplazamos la ecuación (3) en (2) y se multiplicaambos lados por AT se obtiene la siguiente igualdad.

AT︸︷︷︸4x2

∣∣∣∣ Ya YM

YM Yb

∣∣∣∣ A︸︷︷︸2x4

∣∣∣∣∣∣∣∣Vm

Vn

Vp

Vq

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣ImInIpIq

∣∣∣∣∣∣∣∣Resolviendo la multiplcación de las tres primeras matrices

se obtiene las ecuaciones matriciales de admitancias de nodosde las ramas mutuamente acopladas.

mn

pq

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

m n | p qYa −Ya | YM −YM

−Ya Ya | −YM YM

−− −− | −− −−YM −YM | Yb −Yb

−YM YM | −Yb Yb

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Vm

Vn

−Vp

Vq

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ImIn−IpIq

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(5)

Las etiquetas m,n, p, q nos indican las filas y columnas dela matriz del sistema a la que pertenecen los elementos de laecuación (5) por ejemplo la cantidad que esta en la fila m yen la columna q es −Y , de esta manera se realiza para obtenertodos los elementos de la ecuación y así formar la matriz.

La ecuación 5 se puede formar de manera directa porinspección visual de las ecuaciones antes vistas, esto resultamas claro al escribir la matriz de coeficientes de formaalternativa como se muestra a continuación.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

m n | p qmn

∣∣∣∣ 1 −1−1 1

∣∣∣∣Ya | pq

∣∣∣∣ 1 −1−1 1

∣∣∣∣YM

−−−−−−−−−−m n

mn

∣∣∣∣ 1 −1−1 1

∣∣∣∣YM

.||

− − −−−−−−−p q

pq

∣∣∣∣ 1 −1−1 1

∣∣∣∣Yb

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣En la matriz de las admitancias de nodo de las 2 ecuaciones

anterioeres la suma de las columnas y filas es igual a cero yaque ninguno de los nodos se ah conciderado como nodo dereferencia en la red, en caso que uno de los nodos sea tomadocomo referencia, como por el ejemplo el nod n, Vn = 0 yno será necesario que aparezca una fila ni columna n en laecuación.

1) Ejemplo 1: Como se muestra en la figura 3, dos ramasque tienen impedancias iguales a j0.25 por unidad estánacopladas a través de una impedancia mutuaZM = j0.15por unidad. Encuentre la matriz de admitancias de nodo paralas ramas acopladas mutuamente y escriba las ecuaciones deadmitancias de nodo correspondiente.

Figure 3. Las dos ramas mutuamente acopladas del ejemplo 1 y sus a)impedancias elementales b) admitancias elementales en por unidad [1]

Primeramente la matriz de impedancia elemental para lasramas acopladas de la figura 3 a) se invierten como una únicaentidad para encontrar las admitancias elementales de la figura3 b). ∣∣∣∣ Za ZM

ZM Zb

∣∣∣∣−1

=

∣∣∣∣ Ya YM

YM Yb

∣∣∣∣∣∣∣∣ j0.25 j0.15j0.15 j0.25

∣∣∣∣−1

=

∣∣∣∣ Ya YM

YM Yb

∣∣∣∣∣∣∣∣ Ya YM

YM Yb

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ −j6.25 j3.25j3.25 j6.25

∣∣∣∣

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A continuación etiquetamos, las filas y columnas de lamatriz de bloques de construcción que multiplica a las ad-mitancias elementales entre los nodos 1 y 3, se debe etiquetarcomo 3 y 1 para concordar con la marca del punto en elnodo 3. Luego las filas y columnas de la matriz de 2x2 quemultiplica a las admitancias entre 2 y 3 se etiquetan como 3y 2 en el orden mostrado porque el nodo 3 es el que tienela marca. Para poder reemplazar en la ecuación que tiene lasetiquetas de m,n, p, yq, por las barras que se emplean en elejercicio planteado.

Pero como en el ejemplo 3 solamente hay tres nodos, lamatriz que se requiere es de 3x3 se encuentra al sumar lascolumnas y filas del nodo común 3, para así llegar a obtener.

Y3nodos =

Y11 Y12 Y13

Y21 Y22 Y23

Y31 Y32 Y33

∣∣∣∣∣∣−j6.2 j3.7 j6.2− j3.7j3.7 −j6.2 −j3.7 + j6.2

j6.2− j3.7 −j3.7 + j6.2 −j6.2 + j3.7 + j3.7− j6.2

∣∣∣∣∣∣Realizamos las operaciones correspondientes y obtenemos

la matriz con todos los coeficientes.∣∣∣∣∣∣−j6.25 j3.75 j2.5j3.75 −j6.75 j2.5j2.5 j2.5 −j5

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣V1

V2

V3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣I1I2I3

∣∣∣∣∣∣De esta expresión se determina que:• V1, V2y V3 son los voltajes de los nodos 1 2 y 3 medidos

con respecto a la referencia.• −I1, I2 y I3 son las corrientes externas que se inyectan

a los nodos respectivos.

B. Matriz de admitancia e impedancia de barra

Por definición tenemos que la matriz de impedancia en unabarra es igual a la matriz inversa de admitancia en esa barra,se indica a continuación con la formula.

Zbarra = Y −1barra

La forma estándar, para una cantidad diferente de nodoses de forma matricial que según el número de nodos existen,la matriz será del mismo tamaño al número de nodos n × n.La Zbarra es la llamada matriz de impedancias de barra desecuencia positiva Tanto la matriz de admitancia e impedanciason matrices simétricas.

Se compara las diferentes impedancias en la matriz con lasadmitancias de barra, para entender su significado físico, conlas ecuaciones del nodo expresadas en la forma.

I = Ybarra ∗ V

V = Zbarra ∗ I

Si tenemos la barra 2 de los tres nodos independientes.

I2 = Y21V1 + Y22V2 + Y23V3

Al aplicar un voltaje V2en la barra 2 y al cortocircuitar lasbarras 1 y 3 se reducirá V1 y V3 hasta 0. La admitancia depropia de esa barra es:

Y22 =I2V2|V1=V3=0 (6)

De esta manera se puede evaluar la admitancia propia de unabarra particular con solo cortocircuitar las barras al nodo dereferencia y al encontrar la relación de la corriente inyectadaen la barra.

Figure 4. Circuito para evaluar Y22,Y12,Y32

Se puede ilustrar la Ybarraque están fuera de la diagonal,al aplicar la ecuación,I = Ybarra × V en la barra del nodo 1. Obteniedo en este caso.

I1 = Y11V1 + Y12V2 + Y13V3

Si se cortocircuita las barras 1 y 2 al nodo de referenciaa excepción de las barra 2, y aplicando un V2a la barra 2obtenemos el término de la admitancia mutua.

Y12 =I1V2|V1=V3=0

Como se definió a I1 como la corriente que entra en lared, se utiliza el negativo de la corriente que deja en elnodo 1. Desde el punto de vista teórico al premultiplicar enambos lados de la ecuación I = Ybarra ∗ V,Zbarra = Y −1

barra

obtendremos:

I ∗ 1

Ybarra=

Ybarra

Ybarra∗ V

V = Zbarra ∗ I

Cuando manejamos V , Zbarra,I son vectores de columnade los voltajes de barra y de las corrientes que entran en lasbarras desde las fuentes de corriente, los voltajes de cada nodonos quedaría.

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V1 = Z11I1 + Z12I2 + Z13I3

V2 = Z21I1 + Z22I2 + Z23I3

V3 = Z31I1 + Z32I2 + Z33I3

Figure 5. Circuito para evaluar Z1, Z2, Z3

La impedancia en Z22 se determina poniendo en circuitoabierto las fuentes de corriente en las barras 1 y 3 e inyectandouna corriente I2en la barra dos de la ecuación de V2.

Z22 =V2

I2|I1=I3=0

Para evaluar las impedancias de transferencia si las fuentesde corriente se abren.

Z12 =V1

I2|I1=I3=0

Z32 =V3

I2|I1=I3=0

Mediante este sistema de puede evaluar las impedancias detransferencia del sistema.

V. CONCLUSIONES Y ANÁLISIS CRÍTICO

• Con la matriz de admitancias se pueden determinarparámetros del sistema como es la corriente que fluyea través de un componente de la red, también se puederelacionar con la caída de voltaje a través de la corrientede cada elemento mediante un parámetro de admitanciao impedancia

• Se puede decir que la utilización de la matriz de bloquesde contrucción resulta una herramienta muy eficiente yestratégica para obtener la representación de admitanciade nodo cuando hay dos redes acopladas ya que cadarama tendrá una matriz similar de acuerdo con los nodosde la red a los que la rama se conecta, por tal motivose recomienda su utilización para representar redes másgenerales como lo son las que se encuentran mutuamenteacopladas.

• Podemos observar que la admitancia mutua se evalúa contodas las barras menos una de las barras cortocircuitadasy que la impedancia de transferencia se evalúa con todasmenos con una de las fuentes en cortocircuito abierto.Mediante este método de cálculo se puede encontrartanto admitancias e impedancias del sistema siempre ycuando se tome en cuenta la relación Zbarra = Y

′1barra. Se

puede evaluar admitancias mutuas y propias del sistemacomo también las impedancias en el punto de operación,impedancias de transferencia del sistema.

• Para el cálculo de corrientes de falla subtransitorias parafallas trifásicas en un sistema de n barras se ignoran lasresistencias, admitancias en derivación y las cargas deimpedancias no giratorias así como las corrientes de cargaprefalla para simplificar el cálculo.

REFERENCES

[1. J.Grainger y W. Stevenson,(1985), Analisis de Sistemas de Potencia ,Cap 7 y 8]

[2. J. Duncan Glover y S. Sarma„ Analisis y Diseño de Sistemas de Potencia, Cap 7]

Juan Carlos Maldonado .Nació en la Ciudad deZarúma de la Provincia de el Oro, termino susestudios secundarios en la ciudad de Paccha en elColegio “Ángel Tinoco Ruíz” en la especializaciónde físico matemático, actualmente realiza sus estu-dios de tercer nivel en la Universidad PolitécnicaSalesiana de la ciudad de Cuenca en la carrera deIngeniería Eléctrica.

Luis Geovanny Pulla Sanchez Nació en Cuenca-Ecuador en 1993. Bachiller Técnico Industrial enInstalaciones, Equipos y Máquinas Eléctricas por laUnidad Educativa Técnico Salesiano en el año 2011.Actualmente, cursando el cuarto año de IngenieríaEléctrica en la Universidad Politécnica Salesiana.

Luis Anibal Sanango Tenelema Nació en Cañar-Cañar-Ecuador, el 28 de Mayo de 1994 recibio eltitulo de Bachiller Tecnico Electrico en el colegioNacional Tecnico Honorato Vasques de la ciudadde Cañar, actualmente estudiante de la IngenieriaElectrica en la Universidad Politécnica Salesiana

Juan Carlos Velecela .Nació en Azogues-Ecuador.Recibió el título de bachiller técnico industrial,especialización, instalaciones, equipos y maquinaseléctricas en el Instituto Tecnológico Superior “LuisRogerio González”. Actualmente cursando los es-tudios universitarios en la Universidad PolitécnicaSalesiana, la carrera de Ingeniería Eléctrica.