Grupos finitos p-locales e invariantes.

Antonio Dıaz Ramos

Universidad de Malaga

II Encuentro Conjunto RSME-SMMMalaga, 17-20 de enero de 2012

Sesion Especial: Topologıa Algebraica

Introduccion.

Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:

Grupo finito G

Espacio clasificador BG

p-completacion BG∧p

Introduccion.

Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:

Grupo finito G

Espacio clasificador BG

p-completacion BG∧p

Introduccion.

Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:

Grupo finito G

��

Espacio clasificador BG

p-completacion BG∧p

Introduccion.

Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:

Grupo finito G

��Espacio clasificador BG

p-completacion BG∧p

Introduccion.

Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:

Grupo finito G

��Espacio clasificador BG

p-completacion BG∧p

Espacio clasificador

Todo fibrado principal sobre G es pullbackdel fibrado universal sobre G :

G

G

��Y

��

EG

��Z BG

Introduccion.

Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:

Grupo finito G

��Espacio clasificador BG

p-completacion BG∧p

Espacio clasificador

Todo fibrado principal sobre G es pullbackdel fibrado universal sobre G :

G

G

��Y

��

EG

��Z // BG

Introduccion.

Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:

Grupo finito G

��Espacio clasificador BG

p-completacion BG∧p

Espacio clasificador

Todo fibrado principal sobre G es pullbackdel fibrado universal sobre G :

G= //

��

G

��Y

��

// EG

��Z // BG

Introduccion.

Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:

Grupo finito G

��Espacio clasificador BG

��

p-completacion BG∧p

Introduccion.

Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:

Grupo finito G

��Espacio clasificador BG

��p-completacion BG∧p

Introduccion.

Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:

Grupo finito G

��Espacio clasificador BG

��p-completacion BG∧p

Functor p-completacion

Es un functor Top·∧p→ Top.

Dadaf : X → Y tenemos que

f ∧p : X∧p → Y ∧p

es equivalencia homotopica si y solo si

f ∗ : H∗(Y ;Fp)→ H∗(X ;Fp)

es isomorfismo.

Introduccion.

Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:

Grupo finito G

��Espacio clasificador BG

��p-completacion BG∧p

Functor p-completacion

Es un functor Top·∧p→ Top. Dada

f : X → Y tenemos que

f ∧p : X∧p → Y ∧p

es equivalencia homotopica si y solo si

f ∗ : H∗(Y ;Fp)→ H∗(X ;Fp)

es isomorfismo.

Introduccion.

Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:

Grupo finito G

��Espacio clasificador BG

��p-completacion BG∧p

Functor p-completacion

Es un functor Top·∧p→ Top. Dada

f : X → Y tenemos que

f ∧p : X∧p → Y ∧p

es equivalencia homotopica si y solo si

f ∗ : H∗(Y ;Fp)→ H∗(X ;Fp)

es isomorfismo.

Introduccion.

Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:

Grupo finito G

��Espacio clasificador BG

��p-completacion BG∧p

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow

f : BS → X .

2. Fusion

F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador

BF∧p ' X .

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow

f : BS → X .

2. Fusion

F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador

BF∧p ' X .

La siguiente construccion es de Broto, Levi y Oliver, 2001.

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow

f : BS → X .

2. Fusion

F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador

BF∧p ' X .

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow

f : BS → X .

2. Fusion

F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador

BF∧p ' X .

El p-grupo P es ”p-subgrupo”de X si existe una aplicacionBP → X tal que su fibra homotopica F satisfaceMap∗(B(Z/p),F ) ' ∗.

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow

f : BS → X .

2. Fusion

F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador

BF∧p ' X .

El p-grupo P es ”p-subgrupo”de X si existe una aplicacionBP → X tal que su fibra homotopica F satisfaceMap∗(B(Z/p),F ) ' ∗. El ”p-subgrupo”S de X con f : BS → X esSylow de X si cualquier aplicacion BP → X con P un p-grupofactoriza a traves de f salvo homotopıa:

BP

""

// X

BS

f==

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .

2. Fusion

F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador

BF∧p ' X .

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .

2. Fusion

F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador

BF∧p ' X .

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .

2. Fusion

F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador

BF∧p ' X .

La fusion o conjugacion se codifica en la categorıa F con objetoslos subgrupos de S y morfismos HomF (P,Q) los homomorfismosϕ : P → Q tales que

BP

ϕ

��

// BSf // X

BQ // BS

f

>>

commuta salvo homotopıa.

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .

2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador

BF∧p ' X .

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .

2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador

BF∧p ' X .

F debe satisfacer varios axiomas tecnicos de Puig.

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .

2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador

BF∧p ' X .

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .

2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador BF∧p

BF∧p ' X .

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .

2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador BF∧p

BF∧p ' X .

La existencia y unicidad de espacio clasificador fue probadapor Chermak en 2011.

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .

2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador BF∧p ' X .

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .

2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador BF∧p ' X .

Para un p-grupo finito S hay una biyeccion

{Fusiones F sobre S} ↔ {Grupo finitos p-locales X con Sylow S}

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .

2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador BF∧p ' X .

G // BG∧p = X1,2,3 // F = FS(G )

El p-subgrupo S es Sylow de G y ademas

HomFS (G)(P,Q) = {ϕ : P → Q|ϕ = cx para algun x ∈ G}.

Hay grupos finitos p-locales X que no tienen el tipo dehomotopıa de BG∧p para ningun grupo finito G .

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .

2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador BF∧p ' X .

G // BG∧p = X1,2,3 // F = FS(G )

El p-subgrupo S es Sylow de G y ademas

HomFS (G)(P,Q) = {ϕ : P → Q|ϕ = cx para algun x ∈ G}.

Hay grupos finitos p-locales X que no tienen el tipo dehomotopıa de BG∧p para ningun grupo finito G .

¿Como reconocer un grupo finito p-local?

Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).

1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .

2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).

3. Espacio clasificador BF∧p ' X .

G // BG∧p = X1,2,3 // F = FS(G )

El p-subgrupo S es Sylow de G y ademas

HomFS (G)(P,Q) = {ϕ : P → Q|ϕ = cx para algun x ∈ G}.

Hay grupos finitos p-locales X que no tienen el tipo dehomotopıa de BG∧p para ningun grupo finito G .

Propiedades homotopicas.

1. Descomposicion homologica:

X ' hocolimO(Fc )B

con B(P) ' BP.

Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).

2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :

H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}

= H∗(S;Fp)F

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ H∗(S ;Fp)++

α∗

�� ϕ∗-- //

ψ∗

!!&&β∗

��

H∗(P;Fp)

H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)

Propiedades homotopicas.

1. Descomposicion homologica:

X ' hocolimO(Fc )B

con B(P) ' BP.

Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).

2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :

H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}

= H∗(S;Fp)F

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ H∗(S ;Fp)++

α∗

�� ϕ∗-- //

ψ∗

!!&&β∗

��

H∗(P;Fp)

H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)

Propiedades homotopicas.

1. Descomposicion homologica:

X ' hocolimO(Fc )B

con B(P) ' BP. Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P.

Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).

2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :

H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}

= H∗(S;Fp)F

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ H∗(S ;Fp)++

α∗

�� ϕ∗-- //

ψ∗

!!&&β∗

��

H∗(P;Fp)

H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)

Propiedades homotopicas.

1. Descomposicion homologica:

X ' hocolimO(Fc )B

con B(P) ' BP. Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).

2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :

H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}

= H∗(S;Fp)F

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ H∗(S ;Fp)++

α∗

�� ϕ∗-- //

ψ∗

!!&&β∗

��

H∗(P;Fp)

H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)

Propiedades homotopicas.

1. Descomposicion homologica:

X ' hocolimO(Fc )B

con B(P) ' BP. Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).

2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :

H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}

= H∗(S;Fp)F

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ H∗(S ;Fp)++

α∗

�� ϕ∗-- //

ψ∗

!!&&β∗

��

H∗(P;Fp)

H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)

Propiedades homotopicas.

1. Descomposicion homologica:

X ' hocolimO(Fc )B

con B(P) ' BP. Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).

2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :

H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}

= H∗(S;Fp)F

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__

H∗(S ;Fp)++

α∗

�� ϕ∗-- //

ψ∗

!!&&β∗

��

H∗(P;Fp)

H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)

Propiedades homotopicas.

1. Descomposicion homologica:

X ' hocolimO(Fc )B

con B(P) ' BP. Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).

2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :

H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}

= H∗(S;Fp)F

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ H∗(S ;Fp)++

α∗

�� ϕ∗-- //

ψ∗

!!&&β∗

��

H∗(P;Fp)

H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)

Propiedades homotopicas.

1. Descomposicion homologica:

X ' hocolimO(Fc )B

con B(P) ' BP. Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).

2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :

H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)} = H∗(S;Fp)F

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ H∗(S ;Fp)++

α∗

�� ϕ∗-- //

ψ∗

!!&&β∗

��

H∗(P;Fp)

H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)

Anillo de Burnside.

Para un grupo finito G su anillo de Burnside A(G ) es el grupo deGrothendieck de las clases de isomorfismo de G -conjuntos.

La sumaen A(G ) esta inducida por la union disjunta de X ,Y 7→ X t Y y elproducto por el producto con accion diagonal X ,Y 7→ X × Y .Si S y F son el Sylow y la fusion de un grupo finito p-local hay unfunctor A : F → Anillos:

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ A(S)++

A(α)

�� A(ϕ)++//

A(ψ)

��##A(β)

��

A(P)

A(R) A(Q)

Definimos el anillo de Burnside de X como

A(X ) = {z ∈ A(S)|A(ϕ)(z) = A(ιSP) ∀ ϕ ∈ HomF (P,S)} = A(S)F .

Anillo de Burnside.

Para un grupo finito G su anillo de Burnside A(G ) es el grupo deGrothendieck de las clases de isomorfismo de G -conjuntos.La sumaen A(G ) esta inducida por la union disjunta de X ,Y 7→ X t Y y elproducto por el producto con accion diagonal X ,Y 7→ X × Y .

Si S y F son el Sylow y la fusion de un grupo finito p-local hay unfunctor A : F → Anillos:

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ A(S)++

A(α)

�� A(ϕ)++//

A(ψ)

��##A(β)

��

A(P)

A(R) A(Q)

Definimos el anillo de Burnside de X como

A(X ) = {z ∈ A(S)|A(ϕ)(z) = A(ιSP) ∀ ϕ ∈ HomF (P,S)} = A(S)F .

Anillo de Burnside.

Para un grupo finito G su anillo de Burnside A(G ) es el grupo deGrothendieck de las clases de isomorfismo de G -conjuntos.La sumaen A(G ) esta inducida por la union disjunta de X ,Y 7→ X t Y y elproducto por el producto con accion diagonal X ,Y 7→ X × Y .Si S y F son el Sylow y la fusion de un grupo finito p-local hay unfunctor A : F → Anillos:

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ A(S)++

A(α)

�� A(ϕ)++//

A(ψ)

��##A(β)

��

A(P)

A(R) A(Q)

Definimos el anillo de Burnside de X como

A(X ) = {z ∈ A(S)|A(ϕ)(z) = A(ιSP) ∀ ϕ ∈ HomF (P,S)} = A(S)F .

Anillo de Burnside.

Para un grupo finito G su anillo de Burnside A(G ) es el grupo deGrothendieck de las clases de isomorfismo de G -conjuntos.La sumaen A(G ) esta inducida por la union disjunta de X ,Y 7→ X t Y y elproducto por el producto con accion diagonal X ,Y 7→ X × Y .Si S y F son el Sylow y la fusion de un grupo finito p-local hay unfunctor A : F → Anillos:

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__

A(S)++

A(α)

�� A(ϕ)++//

A(ψ)

��##A(β)

��

A(P)

A(R) A(Q)

Definimos el anillo de Burnside de X como

A(X ) = {z ∈ A(S)|A(ϕ)(z) = A(ιSP) ∀ ϕ ∈ HomF (P,S)} = A(S)F .

Anillo de Burnside.

Para un grupo finito G su anillo de Burnside A(G ) es el grupo deGrothendieck de las clases de isomorfismo de G -conjuntos.La sumaen A(G ) esta inducida por la union disjunta de X ,Y 7→ X t Y y elproducto por el producto con accion diagonal X ,Y 7→ X × Y .Si S y F son el Sylow y la fusion de un grupo finito p-local hay unfunctor A : F → Anillos:

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ A(S)++

A(α)

�� A(ϕ)++//

A(ψ)

��##A(β)

��

A(P)

A(R) A(Q)

Definimos el anillo de Burnside de X como

A(X ) = {z ∈ A(S)|A(ϕ)(z) = A(ιSP) ∀ ϕ ∈ HomF (P,S)} = A(S)F .

Anillo de Burnside.

Para un grupo finito G su anillo de Burnside A(G ) es el grupo deGrothendieck de las clases de isomorfismo de G -conjuntos.La sumaen A(G ) esta inducida por la union disjunta de X ,Y 7→ X t Y y elproducto por el producto con accion diagonal X ,Y 7→ X × Y .Si S y F son el Sylow y la fusion de un grupo finito p-local hay unfunctor A : F → Anillos:

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ A(S)++

A(α)

�� A(ϕ)++//

A(ψ)

��##A(β)

��

A(P)

A(R) A(Q)

Definimos el anillo de Burnside de X como

A(X ) = {z ∈ A(S)|A(ϕ)(z) = A(ιSP) ∀ ϕ ∈ HomF (P,S)} = A(S)F .

Conjetura de Segal.

Probada por Carlsson en 2006 establece un isomorfismo

A(G )∧I∼=→ π0(BG+) = {Σ∞BG+,S} = {Σ∞BG ∨ S,S}

donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos

A(G )ε // Z

que lleva un G -conjunto X a su cardinal |X |. La completacionA(G )∧I es el lımite inverso de

. . . // A(G )/I 3 // A(G )/I 2 // A(G )/I .

Conjetura de Segal.

Probada por Carlsson en 2006 establece un isomorfismo

A(G )∧I∼=→ π0(BG+) = {Σ∞BG+,S} = {Σ∞BG ∨ S,S}

donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos

A(G )ε // Z

que lleva un G -conjunto X a su cardinal |X |. La completacionA(G )∧I es el lımite inverso de

. . . // A(G )/I 3 // A(G )/I 2 // A(G )/I .

Conjetura de Segal.

Probada por Carlsson en 2006 establece un isomorfismo

A(G )∧I∼=→ π0(BG+) = {Σ∞BG+,S} = {Σ∞BG ∨ S,S}

donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos

A(G )ε // Z

que lleva un G -conjunto X a su cardinal |X |.

La completacionA(G )∧I es el lımite inverso de

. . . // A(G )/I 3 // A(G )/I 2 // A(G )/I .

Conjetura de Segal.

Probada por Carlsson en 2006 establece un isomorfismo

A(G )∧I∼=→ π0(BG+) = {Σ∞BG+,S} = {Σ∞BG ∨ S,S}

donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos

A(G )ε // Z

que lleva un G -conjunto X a su cardinal |X |. La completacionA(G )∧I es el lımite inverso de

. . . // A(G )/I 3 // A(G )/I 2 // A(G )/I .

Conjetura de Segal para grupos finitos p-locales.

En trabajo conjunto con A. Libman probamos que para un grupofinito p-local X con Sylow S y fusion F se tiene

A(X )∧I∼=→ π0(X+) = {Σ∞X+,S} = {Σ∞X ∨ S, S}

donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos

A(X )ε // Z

que lleva un S-conjunto X a su cardinal |X |.

Esquema de demostracion:

{Σ∞X+,S} = {Σ∞BS+,S}F = A(S)∧IF

= A(S)F∧I = A(X )∧I .

Conjetura de Segal para grupos finitos p-locales.

En trabajo conjunto con A. Libman probamos que para un grupofinito p-local X con Sylow S y fusion F se tiene

A(X )∧I∼=→ π0(X+) = {Σ∞X+, S} = {Σ∞X ∨ S, S}

donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos

A(X )ε // Z

que lleva un S-conjunto X a su cardinal |X |.

Esquema de demostracion:

{Σ∞X+,S} = {Σ∞BS+,S}F = A(S)∧IF

= A(S)F∧I = A(X )∧I .

Conjetura de Segal para grupos finitos p-locales.

En trabajo conjunto con A. Libman probamos que para un grupofinito p-local X con Sylow S y fusion F se tiene

A(X )∧I∼=→ π0(X+) = {Σ∞X+, S} = {Σ∞X ∨ S, S}

donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos

A(X )ε // Z

que lleva un S-conjunto X a su cardinal |X |.

Esquema de demostracion:

{Σ∞X+,S} = {Σ∞BS+,S}F = A(S)∧IF

= A(S)F∧I = A(X )∧I .

Conjetura de Segal para grupos finitos p-locales.

En trabajo conjunto con A. Libman probamos que para un grupofinito p-local X con Sylow S y fusion F se tiene

A(X )∧I∼=→ π0(X+) = {Σ∞X+, S} = {Σ∞X ∨ S, S}

donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos

A(X )ε // Z

que lleva un S-conjunto X a su cardinal |X |.

Esquema de demostracion:

{Σ∞X+,S} = {Σ∞BS+,S}F = A(S)∧IF

= A(S)F∧I = A(X )∧I .

Conjetura de Segal para grupos finitos p-locales.

En trabajo conjunto con A. Libman probamos que para un grupofinito p-local X con Sylow S y fusion F se tiene

A(X )∧I∼=→ π0(X+) = {Σ∞X+, S} = {Σ∞X ∨ S, S}

donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos

A(X )ε // Z

que lleva un S-conjunto X a su cardinal |X |.

Esquema de demostracion:

{Σ∞X+, S} = {Σ∞BS+,S}F = A(S)∧IF

= A(S)F∧I = A(X )∧I .

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Sea G un grupo finito , K E G y la extension

K → G → G/K .

La sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre asociada a estasucesion exacta corta para el ZG -modulo M tiene segunda paginaEp,q

2 = Hp(G/K ; Hq(K ; M)) con G/K actuando en Hq(K ; M) yconverge a Hp+q(G ; M).Si M es un Z(p)-modulo entonces un resultado clasico de Cartan yEilenberg afirma que

H∗(G ; M) = H∗(S ; M)FS (G).

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Sea G un grupo finito , K E G y la extension

K → G → G/K .

La sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre asociada a estasucesion exacta corta para el ZG -modulo M tiene segunda paginaEp,q

2 = Hp(G/K ; Hq(K ; M)) con G/K actuando en Hq(K ; M) yconverge a Hp+q(G ; M).

Si M es un Z(p)-modulo entonces un resultado clasico de Cartan yEilenberg afirma que

H∗(G ; M) = H∗(S ; M)FS (G).

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Sea G un grupo finito , K E G y la extension

K → G → G/K .

La sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre asociada a estasucesion exacta corta para el ZG -modulo M tiene segunda paginaEp,q

2 = Hp(G/K ; Hq(K ; M)) con G/K actuando en Hq(K ; M) yconverge a Hp+q(G ; M).Si M es un Z(p)-modulo entonces un resultado clasico de Cartan yEilenberg afirma que

H∗(G ; M) = H∗(S ; M)FS (G).

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Sea F un sistema de fusion con Sylow S .

Dado un subgrupofuertemente cerrado T de S tenemos un epimorfismo de sistemasde fusion F → F/T pero en general no hay un subsistema normalK de F que encaje en

→ F → F/T .

y enEp,q

2 = Hp(F/; Hq(; M))⇒ H∗(S ; M)F .

Si embargo podemos tomar invariantes

Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ H∗(S ; M)F .

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Sea F un sistema de fusion con Sylow S . Dado un subgrupofuertemente cerrado T de S tenemos un epimorfismo de sistemasde fusion F → F/T pero en general no hay un subsistema normalK de F que encaje en

K → F → F/T .

y enEp,q

2 = Hp(F/K; Hq(K; M))⇒ H∗(S ; M)F .

Si embargo podemos tomar invariantes

Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ H∗(S ; M)F .

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Sea F un sistema de fusion con Sylow S . Dado un subgrupofuertemente cerrado T de S tenemos un epimorfismo de sistemasde fusion F → F/T pero en general no hay un subsistema normalK de F que encaje en

?→ F → F/T .

y enEp,q

2 = Hp(F/?; Hq(?; M))⇒ H∗(S ; M)F .

Si embargo podemos tomar invariantes

Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ H∗(S ; M)F .

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Sea F un sistema de fusion con Sylow S . Dado un subgrupofuertemente cerrado T de S tenemos un epimorfismo de sistemasde fusion F → F/T pero en general no hay un subsistema normalK de F que encaje en

?→ F → F/T .

y enEp,q

2 = Hp(F/?; Hq(?; M))⇒ H∗(S ; M)F .

Si embargo podemos tomar invariantes

Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ H∗(S ; M)F .

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__

T → S → S/T

α

��P ∩ T → P → P/P ∩ T

ϕqq oo

R ∩ T → R → R/R ∩ T

UUβ

OO

Q ∩ T → Q → Q/Q ∩ T

ψ

lljj

Hp(S/T ;Hq(T ;M))⇒ H∗(S;M)

α∗

�� ϕ∗////

ψ∗

**++β∗

��

Hp(P/P ∩ T ;Hq(P ∩ T ;M))⇒ H∗(P;M)

Hp(R/R ∩ T ;Hq(R ∩ T ;M))⇒ H∗(R;M) Hp(Q/Q ∩ T ;Hq(Q ∩ T ;M))⇒ H∗(Q;M)

Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F = Hp+q(X ; M).

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ T → S → S/T

α

��P ∩ T → P → P/P ∩ T

ϕqq oo

R ∩ T → R → R/R ∩ T

UUβ

OO

Q ∩ T → Q → Q/Q ∩ T

ψ

lljj

Hp(S/T ;Hq(T ;M))⇒ H∗(S;M)

α∗

�� ϕ∗////

ψ∗

**++β∗

��

Hp(P/P ∩ T ;Hq(P ∩ T ;M))⇒ H∗(P;M)

Hp(R/R ∩ T ;Hq(R ∩ T ;M))⇒ H∗(R;M) Hp(Q/Q ∩ T ;Hq(Q ∩ T ;M))⇒ H∗(Q;M)

Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F = Hp+q(X ; M).

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

S::

α

��P

ϕvv oo

R

WW

β

OO

Q

ψ

gg__ T → S → S/T

α

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ϕqq oo

R ∩ T → R → R/R ∩ T

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ψ

lljj

Hp(S/T ;Hq(T ;M))⇒ H∗(S;M)

α∗

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Hp(P/P ∩ T ;Hq(P ∩ T ;M))⇒ H∗(P;M)

Hp(R/R ∩ T ;Hq(R ∩ T ;M))⇒ H∗(R;M) Hp(Q/Q ∩ T ;Hq(Q ∩ T ;M))⇒ H∗(Q;M)

Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F = Hp+q(X ; M).

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

S::

α

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ψ

gg__ T → S → S/T

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ψ

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Hp(S/T ;Hq(T ;M))⇒ H∗(S;M)

α∗

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ψ∗

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Hp(P/P ∩ T ;Hq(P ∩ T ;M))⇒ H∗(P;M)

Hp(R/R ∩ T ;Hq(R ∩ T ;M))⇒ H∗(R;M) Hp(Q/Q ∩ T ;Hq(Q ∩ T ;M))⇒ H∗(Q;M)

Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F = Hp+q(X ; M).

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Sea G grupo finito con Sylow S , K E G y F = FS(G ).

EntoncesT = K ∩ S es fuertemente cerrado en F . Para un Z(p)-modulo Mtenemos dos sucesiones espectrales:

Ep,q2 = Hp(G/K ; Hq(K ; M))⇒ Hp+q(G ; M)

y

Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F .

y por Cartan-Eilenberg las dos convergen a lo mismo

Hp+q(G ; M) = Hp+q(S ; M)F .

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Sea G grupo finito con Sylow S , K E G y F = FS(G ). EntoncesT = K ∩ S es fuertemente cerrado en F .

Para un Z(p)-modulo Mtenemos dos sucesiones espectrales:

Ep,q2 = Hp(G/K ; Hq(K ; M))⇒ Hp+q(G ; M)

y

Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F .

y por Cartan-Eilenberg las dos convergen a lo mismo

Hp+q(G ; M) = Hp+q(S ; M)F .

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Sea G grupo finito con Sylow S , K E G y F = FS(G ). EntoncesT = K ∩ S es fuertemente cerrado en F . Para un Z(p)-modulo Mtenemos dos sucesiones espectrales:

Ep,q2 = Hp(G/K ; Hq(K ; M))⇒ Hp+q(G ; M)

y

Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F .

y por Cartan-Eilenberg las dos convergen a lo mismo

Hp+q(G ; M) = Hp+q(S ; M)F .

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo

Sea G = S o (Z2 × Z2) con S = Zp × Zp y p impar.

El primer Z2

actua intercambiando los Zp’s y el segundo Z2 cambiando el signoen ambos Zp. Sea K = T o Z2 × 0 con T = 4 ≤ Zp × Zp.Tenemos K E G , T = S ∩K , G/K = Zp oZ2 y la sucesion exactacorta

T4→ S = Zp × Zp → S/T ∼= Zp.

Vamos a calcular

Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)

yHp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo

Sea G = S o (Z2 × Z2) con S = Zp × Zp y p impar. El primer Z2

actua intercambiando los Zp’s y el segundo Z2 cambiando el signoen ambos Zp.

Sea K = T o Z2 × 0 con T = 4 ≤ Zp × Zp.Tenemos K E G , T = S ∩K , G/K = Zp oZ2 y la sucesion exactacorta

T4→ S = Zp × Zp → S/T ∼= Zp.

Vamos a calcular

Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)

yHp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo

Sea G = S o (Z2 × Z2) con S = Zp × Zp y p impar. El primer Z2

actua intercambiando los Zp’s y el segundo Z2 cambiando el signoen ambos Zp. Sea K = T o Z2 × 0 con T = 4 ≤ Zp × Zp.

Tenemos K E G , T = S ∩K , G/K = Zp oZ2 y la sucesion exactacorta

T4→ S = Zp × Zp → S/T ∼= Zp.

Vamos a calcular

Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)

yHp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo

Sea G = S o (Z2 × Z2) con S = Zp × Zp y p impar. El primer Z2

actua intercambiando los Zp’s y el segundo Z2 cambiando el signoen ambos Zp. Sea K = T o Z2 × 0 con T = 4 ≤ Zp × Zp.Tenemos K E G , T = S ∩K , G/K = Zp oZ2 y la sucesion exactacorta

T4→ S = Zp × Zp → S/T ∼= Zp.

Vamos a calcular

Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)

yHp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo

Sea G = S o (Z2 × Z2) con S = Zp × Zp y p impar. El primer Z2

actua intercambiando los Zp’s y el segundo Z2 cambiando el signoen ambos Zp. Sea K = T o Z2 × 0 con T = 4 ≤ Zp × Zp.Tenemos K E G , T = S ∩K , G/K = Zp oZ2 y la sucesion exactacorta

T4→ S = Zp × Zp → S/T ∼= Zp.

Vamos a calcular

Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)

yHp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K).

H∗(T ;Fp) = Λ(x)⊗Fp[y ] con x en grado 1 e y = β(x) en grado 2.

Como K actua trivialmente en T , Hq(T ;FP)FT (K) = Fp < eq > y

H∗(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].

La accion de G/K en el cociente S/T ' Zp y en T es inversion.

Hp(Zp ;Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)

=

Fp , para p y q igual a 3, 4 mod 4,

Fp , para p y q igual a 1, 2 mod 4,

0, en otro caso.

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K).

H∗(T ;Fp) = Λ(x)⊗Fp[y ] con x en grado 1 e y = β(x) en grado 2.Como K actua trivialmente en T , Hq(T ;FP)FT (K) = Fp < eq > y

H∗(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].

La accion de G/K en el cociente S/T ' Zp y en T es inversion.

Hp(Zp ;Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)

=

Fp , para p y q igual a 3, 4 mod 4,

Fp , para p y q igual a 1, 2 mod 4,

0, en otro caso.

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K).

H∗(T ;Fp) = Λ(x)⊗Fp[y ] con x en grado 1 e y = β(x) en grado 2.Como K actua trivialmente en T , Hq(T ;FP)FT (K) = Fp < eq > y

H∗(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].

La accion de G/K en el cociente S/T ' Zp y en T es inversion.

Hp(Zp ;Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)

=

Fp , para p y q igual a 3, 4 mod 4,

Fp , para p y q igual a 1, 2 mod 4,

0, en otro caso.

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K).

H∗(T ;Fp) = Λ(x)⊗Fp[y ] con x en grado 1 e y = β(x) en grado 2.Como K actua trivialmente en T , Hq(T ;FP)FT (K) = Fp < eq > y

H∗(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].

La accion de G/K en el cociente S/T ' Zp y en T es inversion.

Hp(Zp ;Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)

=

Fp , para p y q igual a 3, 4 mod 4,

Fp , para p y q igual a 1, 2 mod 4,

0, en otro caso.

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).

Sea Hq(T ;Fp) = Fp < eq >.

La accion de S/T ∼= Zp en T estrivial y

H∗(Zp; Hq(T ;Fp)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].

La copia 0× Z2 de G invierte los generadores de T y S/T ∼= Zp.La copia Z2 × 0 de G actua trivialmente en T e invierte elgenerador de S/T ∼= Zp.

Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G) =

{ Fp, para p y q igual a 3, 4 mod 4,

0, en otro caso.

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).

Sea Hq(T ;Fp) = Fp < eq >. La accion de S/T ∼= Zp en T estrivial y

H∗(Zp; Hq(T ;Fp)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].

La copia 0× Z2 de G invierte los generadores de T y S/T ∼= Zp.La copia Z2 × 0 de G actua trivialmente en T e invierte elgenerador de S/T ∼= Zp.

Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G) =

{ Fp, para p y q igual a 3, 4 mod 4,

0, en otro caso.

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).

Sea Hq(T ;Fp) = Fp < eq >. La accion de S/T ∼= Zp en T estrivial y

H∗(Zp; Hq(T ;Fp)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].

La copia 0× Z2 de G invierte los generadores de T y S/T ∼= Zp.

La copia Z2 × 0 de G actua trivialmente en T e invierte elgenerador de S/T ∼= Zp.

Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G) =

{ Fp, para p y q igual a 3, 4 mod 4,

0, en otro caso.

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).

Sea Hq(T ;Fp) = Fp < eq >. La accion de S/T ∼= Zp en T estrivial y

H∗(Zp; Hq(T ;Fp)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].

La copia 0× Z2 de G invierte los generadores de T y S/T ∼= Zp.La copia Z2 × 0 de G actua trivialmente en T e invierte elgenerador de S/T ∼= Zp.

Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G) =

{ Fp, para p y q igual a 3, 4 mod 4,

0, en otro caso.

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).

Sea Hq(T ;Fp) = Fp < eq >. La accion de S/T ∼= Zp en T estrivial y

H∗(Zp; Hq(T ;Fp)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].

La copia 0× Z2 de G invierte los generadores de T y S/T ∼= Zp.La copia Z2 × 0 de G actua trivialmente en T e invierte elgenerador de S/T ∼= Zp.

Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G) =

{ Fp, para p y q igual a 3, 4 mod 4,

0, en otro caso.

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Las paginas E2 de la sucesion de Lyndon-Hochschild-Serre y de lasucesion espectral de los invariantes quedan:

• 0 0 • • 0 0 •

0 • • 0 0 • • 0

0 • • 0 0 • • 0

• 0 0 • • 0 0 •

• 0 0 • • 0 0 •

0 • • 0 0 • • 0

0 • • 0 0 • • 0

• 0 0 • • 0 0 •,

• 0 0 • • 0 0 •

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

• 0 0 • • 0 0 •

• 0 0 • • 0 0 •

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

• 0 0 • • 0 0 •,

donde • = Fp.

Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Las paginas E2 de la sucesion de Lyndon-Hochschild-Serre y de lasucesion espectral de los invariantes quedan:

• 0 0 • • 0 0 •

0 • • 0 0 • • 0

0 • • 0 0 • • 0

• 0 0 • • 0 0 •

• 0 0 • • 0 0 •

0 • • 0 0 • • 0

0 • • 0 0 • • 0

• 0 0 • • 0 0 •,

• 0 0 • • 0 0 •

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

• 0 0 • • 0 0 •

• 0 0 • • 0 0 •

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

• 0 0 • • 0 0 •,

donde • = Fp.