Guía 102: Racional-Mente

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CH-FyA-0518

Guía 102: Racional-Mente

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Guía

102 Meta 34

GRADO 11

GUÍA DEL ESTUDIANTE

RACIONAL-MENTE

TRIGONOMÉTRICA

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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 102

Aldair Andres Osorio Rico, I.E.D. Germán Vargas Cantillo

Astrid Maria Mejía Barrios, I.E.D. Germán Vargas Cantillo

Coordinación pedagógica

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

http://www.grupolema.org/

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno

GUÍA 102 GRADO

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ACTIVIDAD

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Guía

102 GRADO 11

RACIONAL-MENTE TRIGONOMÉTRICA

GRADO 11 - META 34 - PENSAMIENTO NUMÉRICO - VARIACIONAL

Guía 100

(Duración 13 h)

• Números reales (Representación en

la recta numérica.

• Relación de orden, operaciones entre

números reales.

• Intervalos.

• Inecuaciones (desigualdades)

lineales de una incógnita.

Guía 101

(Duración 13 h)

• Funciones a trozos

• Funciones inversas

• Dominio y rango de una función

inversa

Guía 102

(Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1

• Funciones racionales.

• Asíntotas de una función.

ACTIVIDAD 2

• Familias de funciones

trigonométricas.

• Funciones trigonométricas

inversas.

• Ecuaciones trigonométricas

sencillas.

• Asíntotas de funciones

trigonométricas

META DE APRENDIZAJE N. 34: Analizo y resuelvo problemas en contextos en los que se estudian ingresos,

utilidades según costo de producción, velocidad media, interés compuesto, crecimiento poblacional, tasa de natalidad

y mortalidad, entre otros. Represento estas situaciones con funciones (polinómicas, racionales, trigonométricas;

funciones a trozos), identifico rangos de variación y procesos de aproximación sucesiva en algunos intervalos, para ver

cómo varía la función cuando la variable se aproxima tanto como se quiera a un punto dado o a infinito. Con gráficas,

tablas numéricas y software o applets de GeoGebra, analizar y visualizo intuitivamente límites de funciones (cuyo valor

es un número o infinito).

PREGUNTAS ESENCIALES:

Actividad 1:

● ¿Cómo es el análisis de situaciones económicas y sociales desde tu conocimiento matemático?

● ¿De qué manera influye la matemática para resolver situaciones de mi entorno?

● ¿Por qué es importante el análisis del mundo que nos rodea desde una perspectiva matemática?

Actividad 2:

● ¿En qué situación de la vida cotidiana podemos evidenciar las funciones trigonométricas? ● ¿Qué relación existe entre el seno y el coseno de un mismo ángulo?


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ACTIVIDAD

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EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE

Actividad 1:

● Analizo algebraicamente funciones racionales y encuentra su dominio y sus asíntotas.

● Uso tablas para analizar cómo se comporta el valor de una función cerca de un valor de x dado, al acercarme a

él (por izquierda o derecha) y decido si hay una tendencia a infinito (asíntota).

● Analizo una gráfica e identifico visualmente dónde puede tener una asíntota, describo verbalmente los valores

que toma “x” e “y” y luego verifico mis hipótesis con análisis algebraicos.

Actividad 2:

● Gráfico familias de funciones trigonométricas de la forma f(x)=a·sen(bx)+c y f(x)=a·cos(bx)+c para modelar

fenómenos periódicos identificando periodo, frecuencia y amplitud.

● Reconozco y predice el efecto que tiene en las gráficas cambiar estos parámetros en las funciones.

● Gráfico las funciones trigonométricas inversas arcsen, arcocos, arcotan y restringe el dominio para poderlas

definir.

● Soluciono ecuaciones trigonométricas sencillas en un intervalo usando calculadora, software, o el círculo

unitario.


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ACTIVIDAD

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ACTIVIDAD 1: RACIONAL-MENTE

Aprendamos a reconocer los casos de factorización y cuándo aplicarlos, así mismo, reconoceremos cuando

un número de la forma a/b (racional), con a y b números enteros, se indetermina.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

Los números racionales son aquellos que pueden representarse como cociente de dos números enteros. Es

decir, los podemos representar mediante una fracción a/b, donde a y b son números enteros y además b

es distinto de cero. Por ejemplo:

a) 𝟑/𝟓 = 𝟎. 𝟔 c) 𝟐/𝟑 = 𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔. .. e)𝟖/𝟒 = 𝟐 g) 𝟏/𝟐 = 𝟎. 𝟓

b) 𝟒/𝟗 = 𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒. .. d) 𝟑/𝟐 = 𝟏. 𝟓 f) 𝟏/𝟑 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. .. h) 𝟗/𝟑 = 𝟑

Así mismo sucede para los polinomios, se pueden establecer fracciones P/Q, donde P y Q son polinomios

de grado n y m respectivamente y además Q es distinto de cero. Por ejemplo:

En este sentido, también será muy importante

recordar el grado de un polinomio de una variable,

este está determinado por el máximo exponente de

la variable, Por ejemplo en el polinomio representado

en la imagen el máximo exponente de la variable x es

5, por ende este polinomio es de grado 5.

Al hablar de polinomios, existe una temática que es

muy importante tener en cuenta “la factorización de


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ACTIVIDAD

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polinomios”, ya que estas nos será muy útil. a continuación recordaremos que es una factorización y veremos

algunos casos.

Factorización y productos notables:

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática

en factores (que puede ser un número o una suma). Existen métodos de factorización para algunos casos

especiales, que son:

Ejemplos:


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y por último recordaremos cómo resolver ecuaciones cuadráticas (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +

𝑐) por fórmula general, que nos sirve para hallar las raíces de la ecuación

(saber que valores de 𝑥 hacen que la ecuación toma el valor de 0):

Por ejemplo: Dada la ecuación 3𝑥2 + 4𝑥 − 2 encontrar los valores de x donde la ecuación se hace 0,

entonces tenemos que 𝑎 = 3, 𝑏 = 4 𝑦 𝑐 = −2,reemplazando estos valores en nuestra ecuación nos queda lo

siguiente:

Por lo tanto la ecuación se hace 0 cuando 𝑥 toma los valores aproximados a 0.387 y -1.720.

Práctica

1. Resuelva las siguientes fracciones:

a) 28/9 = e) 1/4 =

b) 15/0 = f)21/3 =

c) 4/7 = g) 2/0 =

d) 0/15 = h) 0/4 =

3. Determine el grado de los siguientes polinomios:

a) 4𝑥3 + 5𝑥2 − 2𝑥 − 7 b) 𝑥4 + 3𝑥2 + 2

2. Factorice los siguientes polinomios:

a) 𝑥2 − 16 b) 𝑦2 − 6𝑦 + 9

4. Dados los polinomios P:4𝑥3 + 5𝑥2 − 2𝑥 − 7 y

Q: 𝑥4 + 3𝑥2 + 2, determinar:

a) P/Q b) Q/P

5. Hallar las raíces de la ecuación −2𝑥2 + 3𝑥 + 1, por medio de la fórmula general de la ecuación

cuadrática.


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ACTIVIDAD

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Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.

B) Conceptos

Exploración: Línea de montaje

En una empresa se hacen montajes en cadena. El

número de montajes realizados por un

trabajador sin experiencia depende de los días

de entrenamiento según la función.

a) ¿Cuántos montajes realiza en el primer día? ¿Y el décimo?

b) Representa la función sabiendo que el periodo de

entrenamiento es de un mes.

c) ¿Qué ocurriría con el número de montajes si el entrenamiento fuera mucho más largo?

Analizando la situación vemos que la función M(t) está presentada en fracción de polinomios, esto se conoce

como función racional, donde t representa los días de entrenamiento y M(t) el número de montajes que

realiza el trabajador con respecto a t. Luego de analizar la situación vamos a solucionar los ítems

propuestos:

a) Para saber cuantos montajes realiza el primer día debemos reemplazar la variable t por el valor de 1 y

en el decimo dia reemplazamos t por el valor de 10, de la siguiente forma:

Esto quiere decir que en el primer día puede realizar 6 montajes y en el décimo día puede realizar

aproximadamente 21 montajes

b) Para representar una función podemos hacerlo de manera tabular (tabla de valores) y de manera gráfica,

como lo mostramos a continuación:

Como nos piden que representemos la función sabiendo que el periodo de entrenamiento fue de un mes,

o sea 30 días, nuestra tabla abarcara valores arbitrarios desde 0 a 30.


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Y para conocer los valores de M(t) reemplazamos cada uno de los valores de t en la función, de la siguiente

forma:

Analógicamente hallamos los demás valores.

Luego graficamos la función para el intervalo [0,

30].

c) Si consideramos un entrenamiento mucho

más largo debemos dar valores muy grandes

a 𝑡, valores que tiendan al infinito, y

observaremos cómo se comporta la función:

En la anterior tabla vemos que la variable 𝑡 tomo valores desde 10 hasta 10000000 y observamos que

𝑀(𝑡) se acercaba cada vez más a 30, esto significa que por mucho entrenamiento que se realice el número

máximo de montajes que se puede realizar en un día es 30.


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Esto nos está generando, gráficamente, una asíntota horizontal en 𝑀(𝑡) = 30. Lo que en geometría se

define como línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca progresivamente a una curva sin

llegar nunca a encontrarla.

Esta asíntota también se pudo haber encontrado de otra forma observando el grado de los polinomios

y vemos que el polinomio que se encuentra en el numerador “30t” es de grado 1 y el polinomio que se

encuentra en el denominador “t+4” también es de grado 1, entonces se procede a calcular la división

entre los coeficientes de la variable con mayor exponente (en este caso la variable t

con exponente 1) de la forma que

Lo cual tiene el mismo significado que por mucho entrenamiento que se

realice el número máximo de montajes que se puede realizar en un día es 30.

Responde:

a) ¿Qué significado podemos encontrarle a la asíntota horizontal que nos presenta la situación en su

gráfica?

b) ¿Podremos encontrar otras asíntotas en las gráficas de este tipo de funciones? Si podemos

encontrar más asíntotas ¿De qué forma podríamos encontrarlas?


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c) ¿En qué situaciones de la cotidianidad crees que puedes encontrar el concepto de la asíntota y de

qué otra forma podrías llamarla?

Mini-explicaciones: Funciones Racionales

Funciones

racionales

● (Conceptos)

● (Dominio y

Rango)

● (Gráficas y

Asíntotas)

una función racional, es una función de la forma:

Donde 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son funciones polinomiales, con 𝑄(𝑥) ≠ 0. Si bien las funciones

racionales están formadas por funciones polinomiales, sus gráficas son muy distintas.

Dominio de una función racional:

Las funciones racionales existen para todo R (números reales), excepto para los

valores que hacen que el denominador sea igual a 0 [𝑄(𝑥) = 0], expresado de la

siguiente forma:

Nota: en algunos casos es indispensable utilizar los casos de factorización para hallar

los valores donde el denominador se hace 0.

Ejemplos:

Calcular el dominio de las siguientes funciones

Soluciones:

a) Para calcular el dominio de la función f(x) debemos encontrar los valores en donde

el denominador de la función es igual a 0, para esto igualamos el denominador a 0 y

despejamos la variable x de la ecuación resultante, de la siguiente forma:

Esto quiere decir que no puede tomar el valor de 2, por lo tanto, su dominio quedaría

establecido así:


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b) Del mismo modo para calcular el dominio de la función g(x) debemos encontrar los

valores en donde el denominador de la función es igual a 0, para esto igualamos el

denominador a 0 y despejamos la variable x de la ecuación resultante, de la siguiente

forma:

Finalmente expresamos el dominio de la siguiente forma:

Rango de una función racional:

Para hallar el rango de la función racional se despeja la variable “x” en

función de “y” y se hace el mismo procedimiento que para hallar el

dominio. Luego f(x) debe ser diferente de 0, o sea, f(x) ≠ 0. para ilustrar

el procedimiento retomamos los ejemplos anteriores:

a)

Lo primero que haremos es colocar la función en términos de 𝑦

Luego despejamos la variable 𝑥


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de igual forma que procedimos con el dominio, buscaremos el valor que hace que el

denominador sea igual a 0, por lo tanto, 𝑦 − 1 = 0, al despejar 𝑦, resulta que 𝑦 = 1 , por

ende, el rango de nuestra función es:

b)

Procedemos de la misma forma que en el ejercicio a), colocamos la ecuación en

términos de 𝑦

Y despejamos la variable 𝑥

Si comparamos con la ecuación cuadrática tenemos que:

Reemplazamos los valores de a, b y c en la ecuación y obtenemos que


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Como nos interesa saber qué valores de 𝑦 hacen que el denominador sea igual a 0,

entonces de forma directa igualamos 2𝑦 = 0, despejamos la variable "𝑦" y obtenemos

que 𝑦 = 0,por lo tanto el rango de esta función es

Asíntotas de una función racional:

Las funciones racionales presentan tres tipos de asíntotas en sus graficas, estan

pueden ser oblicuas, verticales u horizontales, depende de la función.

Asíntotas verticales: Estas asíntotas se pueden calcular de la siguiente forma:

1. Simplificamos 𝑓(𝑥) factorizando 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) y eliminando las raíces comunes.

2. Las raíces del denominador son las asíntotas verticales de 𝑓(𝑥), con lo que las

buscamos haciendo Q(x) = 0.

Asíntotas Horizontales: Para calcular estas asíntotas debemos distinguir entre dos

casos:

Caso 1: Si𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥),entonces 𝑦 = 0 es asíntota horizontal.

Caso 2: Si 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥),entonces el cociente entre los términos de mayor

grado del numerador y del denominador es la asíntota horizontal.

Caso 3: Si 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) > 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥), entonces la función no posee asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas: se producen asíntotas oblicuas siempre que grado 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) −

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥) = 1. Si es así, realizaremos la división de 𝑃(𝑥) entre 𝑄(𝑥): El cociente de la

misma, en la forma 𝑚𝑥 + 𝑛, es la asíntota oblicua.

Ejemplos: Hallar las asíntotas de los ejemplos a y b y su respectiva gráfica.

a)


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Primero buscamos si tiene asíntotas verticales, para eso simplificamos factorizando,

pero como la expresión ya está simplificada, basta con buscar donde el denominador se

hace 0, este valor ya lo hemos calculado

anteriormente en el dominio de f(x),

entonces el denominador se hace 0 en

x=2, por lo tanto es una asíntota

vertical.

Ahora buscamos si tiene asíntota horizontal, para ello probaremos cual de los dos

casos se cumple comparando los grados de los polinomios del numerador y el

denominador


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Como sus grados son iguales entonces hallamos la asíntota por medio del caso 2,

calculamos el cociente entre los términos de mayor grado del numerador y del

denominador, en este caso el término de mayor exponente tanto en el denominador

como el numerador es 𝑥 y su coeficiente es 1, entonces tenemos que:

por último verificamos si tiene asíntotas oblicuas, restando los grados de los

polinomios, si el resultado es 1, entonces 𝑓(𝑥)posee asíntota oblicua

Finalmente procedemos a graficar nuestra función, dando valores arbitrarios a la

variable x y ordenado los resultados en una tabla de valores:

En esta gráfica observamos que los valores se acercan a las asíntotas, tanto por la

izquierda como por la derecha, pero jamás las tocan. Las asíntotas se trazan en los

valores donde la función se indetermina (IND)


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De la misma forma buscamos las asíntotas del ejemplo b)

Buscamos primero sus asíntotas verticales, encontrando los valores donde su

denominador se hace 0, o sea 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0, como es una ecuación cuadrática posee

dos asíntotas verticales, estos valores ya los obtuvimos cuando hallamos el dominio de

g(x), son 𝑥1 = 2 y 𝑥2 = 5, por lo tanto

Ahora buscamos las asíntotas horizontales comparando los grados de los polinomios del

denominador y del numerador

vemos que 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥),entonces 𝑦 = 0 es asíntota horizontal, visto en el

caso 1, por lo tanto


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Antes de terminar de graficar comprobamos si tiene asíntotas oblicuas, para esto

verificamos que 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) − 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑄(𝑥) = 1, tenemos que 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) = 1y

𝑒𝑙 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑄(𝑥) = 2, entonces 1 − 2 ≠ 1, por lo tanto no tiene asíntota oblicua.

Finalmente graficamos nuestra función 𝑔(𝑥)

En la gráfica observamos claramente las asíntotas


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Tú turno: Para esta tarea van a reunirse con un compañero (par 1) para realizar la

actividad propuestas, luego luego uno de los integrantes se intercambia con otro

de otra pareja (Par 2) para revisar y corregir lo que se realizó con la primera

pareja.

Accidente en la industria petrolera

La función:

Representa el porcentaje del petróleo que permanece en el mar, después de ocurrir un derrame en un buque

cisterna transportador de este hidrocarburo y de efectuarse durante 4 meses las tareas de recuperación

y limpieza por parte de la empresa responsable, transcurrido ese tiempo el proceso continúa de manera

natural.

a) ¿Qué tipo de función es 𝑃(𝑥) y qué representa de acuerdo al problema?

b) ¿Qué porcentaje de residuo de petróleo queda al concluir el cuarto mes de limpieza?

c) ¿Al cabo de un año podrá disminuir al 100% los contaminantes?

d) ¿Cuál es el máximo porcentaje de limpieza que se puede obtener de acuerdo con este modelo?

C) Resuelve y practica

1. Determinar los dominios de las siguientes funciones:

2. Una empresa de servicio público quema carbón para generar electricidad. El coste (en

dólares) de quitar en porcentaje de las chimeneas contaminantes es dado por la expresión

Para 𝑥 mayor o igual que cero y menor que 100 (0 ≤ 𝑥 < 100) . Eres un miembro de un estado

considerando una ley que requeriría que esas empresas de servicios públicos eliminasen el 90% de la

contaminación que proviene de sus chimeneas. La ley actual requiere una extracción de un 85% ¿Qué

coste adicional requeriría para la empresa de servicio público la puesta en marcha de la nueva ley?

(Grafique la función usando GeoGebra)


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3. Graficar las siguientes funciones racionales, hallando las asíntotas que se puedan presentar

(Escriba las ecuaciones de las asíntotas), puede usar GeoGebra:

4. Se administra un medicamento a un paciente, y se vigila la

concentración de dicho medicamento en la sangre. En el tiempo 𝑡 ≥ 0 (en horas

desde que se aplicó el medicamento), la concentración (en mg/L), está dada por:

Teniendo

en cuenta el gráfico:

Indicar:

a) ¿Qué ocurre con la concentración después de

muchas horas?

b) ¿Cuánto tarda la concentración en llegar a

2mg/L?

5. A partir de la gráfica hallar las asíntotas que

posee, el dominio y el rango.


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GoConqr

Ingrese al siguiente link y practique con las preguntas que le aparecen, luego debe mostrar la nota que obtuvo a su

profesor

https://www.goconqr.com/es/quiz/7793428/funciones-racionales

(Opcional por parte del docente)

Ingrese al siguiente link y practique con las preguntas que le aparecen, luego debe mostrar la nota que obtuvo a su

profesor

https://quizizz.com/admin/quiz/5e66f1eb10bf64001b1fb134/prueba-corta-funciones-racionales-11mo

(Opcional por parte del docente)

Tema: Funciones Racionales

(Observa los videos propuestos en los siguientes enlaces)

los enlaces que verás a continuación pueden ser de gran ayuda al momento de estudiar la temática de funciones

racionales y desarrollar las actividades y tareas propuestas

https://es.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:rational (Unidad: Funciones racionales)

https://www.youtube.com/watch?v=KnQDII6zSHY (Función racional: ejercicios Resueltos)

https://www.youtube.com/watch?v=KnQDII6zSHY (Función racional - Introducción)

https://www.youtube.com/watch?v=NrLG3AQ7ydk (Función racional - Gráficas)

https://www.youtube.com/watch?v=JkcxHrF5zyg Función racional - Aplicaciones)

https://www.goconqr.com/es/quiz/7793428/funciones-racionales

https://quizizz.com/admin/quiz/5e66f1eb10bf64001b1fb134/prueba-corta-funciones-racionales-11mo

https://es.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:rational

https://www.youtube.com/watch?v=KnQDII6zSHY


https://www.youtube.com/watch?v=NrLG3AQ7ydk

https://www.youtube.com/watch?v=JkcxHrF5zyg




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3:D) Resumen



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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪

Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien

pero quiero

más práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien el

tema

1. Analizo algebraicamente funciones racionales y encuentra

su dominio y sus asíntotas.

2. Uso tablas para analizar cómo se comporta el valor de una

función cerca de un valor de x dado, al acercarme a él (por

izquierda o derecha) y decido si hay una tendencia a

infinito (asíntota).

3. Analizo una gráfica e identifica visualmente dónde puede

tener una asíntota, describo verbalmente los valores que

toma “x” e “y” y luego verifico mis hipótesis con análisis

algebraicos.

ii) Preguntas de comprensión

1. El rango de la función

es:

2. Qué tipo de asíntotas se

pueden presentar en las

funciones racionales:

a) Asíntotas verticales

b) Asíntotas oblicuas

c) Asíntotas horizontales

d) Todas las anteriores

3. Considere la función

¿Cuál es el dominio de la función?

4. Una función racional es

aquella en cuya expresión

analítica la variable

independiente aparece debajo

del símbolo de la raíz.

Verdadero [ ] Falso[ ]

5. Si el grado del polinomio que

se encuentra el numerador es

menor que el grado del polinomio

que se encuentra en el

denominador, entonces podemos

encontrar una asíntota

_______________ en su

gráfica.

6. Dada la función

El dominio y rango de f(x) es:

iii) Resuelvo un problema: En una granja hay comida para alimentar 1000 pollos durante 40 días.

Calcule la función que da el número de días en función del número de pollos.


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ACTIVIDAD 2: TRIGONOMÉTRICA - MENTE

Aprendamos a graficar funciones trigonométricas y sus inversas, conociendo sus elementos: dominio, rango,

amplitud, periodo, asíntotas, según la función. También, ecuaciones trigonométricas sencillas.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

1. Las razones trigonométricas de un ángulo a se obtienen a partir del cociente o razón entre las

longitudes de los lados a, b, c de un triángulo rectángulo.

2.

3. Una identidad es una expresión que es cierta para todos los valores reales. Una identidad

trigonométrica es una identidad que involucra las funciones trigonométricas.

EJEMPLOS:

Determine si las siguientes expresiones son identidades:

a) X2 > 0

Observe que, aunque para muchos números esta aseveración es cierta, si x = 0, la expresión no es cierta,

esta expresión no es una identidad.

b) sen (-X) = -sen X


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Porque para cualquier ángulo X, se tiene que sen (-x) = -sen (X). Por lo tanto esta expresión es una

identidad (trigonométrica).

c) (-X2) = X2

Esto siempre es cierto. Por lo tanto, es una identidad.

4. Una función es inyectiva cuando cada elemento

del conjunto de llegada (Y), tiene como mucho

un elemento del conjunto de partida (X) al que

corresponde. De manera gráfica, para que una

función sea inyectiva trazamos una recta

horizontal, y si toca a la gráfica en un solo

punto, es inyectiva.

Práctica

1. Encuentra el valor de las razones trigonométricas para el ángulo indicado en cada triángulo:

2. Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura con un cable que parte de la parte superior del

mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 30º. Calcular el precio del cable si cada metro

cuesta $1.200

3. Desde un supermercado se observa el ático de un rascacielos de 527 metros de altura bajo un ángulo

de 42°. Calcular la distancia que hay desde el supermercado hasta la puerta del rascacielos.

4. Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su altura?


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Verifique las siguientes identidades:

Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.

B) Conceptos

Exploración: temporalidad del empleo.

Un economista dedicado a asesorar a empresas le indica a un gerente que la demanda del empleo es

temporal, y expresando la misma en miles de solicitudes de trabajo por mes en su consultora, la misma se

puede modelizar por la función: f (t) = 4,3 sen (0,8t + 1,5) + 7,3

El jefe pregunta acerca de la temporalidad en la presentación de solicitudes de empleo, a lo que la

economista responde que teniendo en cuenta la gráfica presentada se debe calcular la amplitud sacando el

promedio de la diferencia entre los valores máximos y mínimos. Observemos que el valor máximo

corresponde a 11,8 y el valor mínimo es 3,2. Se procede de la siguiente manera:


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Esto indica que el tiempo en el que se hacen solicitudes de empleo es igual a 4,3.

El desplazamiento vertical (el incremento o disminución de los valores de la función en la

representación tabular) de la función temporalidad en la presentación de solicitudes de

empleo se obtiene del promedio de la suma entre el valor máximo y el valor mínimo, de la

siguiente manera:

Se pretende determinar cuáles son los meses en los que llegan el mayor número de solicitudes de empleos

temporales, para lo cual se hace el siguiente procedimiento. o sea, cada 8 meses

aproximadamente, de enero a agosto, lo que podemos confirmar en la gráfica si observamos la longitud de

cada ciclo, o distancia de un

máximo al siguiente.

2. Graficando con

tabulación.

3. Sobre funciones inversas.

En el siguiente triángulo, ¿cuál es la medida del ángulo L?

Lo que sabemos: con respecto al ángulo L, sabemos las longitudes de los lados

opuesto y adyacente, así que podemos escribir:

Pero esto no nos ayuda a determinar la medida del ángulo L. ¡Estamos atorados!

Qué necesitamos: nuevas herramientas matemáticas para resolver problemas

como este. Nuestros viejos amigos seno, coseno y tangente no dan el ancho. Estos

toman ángulos y regresan razones de lados, pero necesitamos lo opuesto.

¡Necesitamos las funciones trigonométricas inversas!

Ahora miramos un caso de ecuaciones trigonométricas.

Resolvamos la siguiente ecuación trigonométrica

4 sen x - 3cos x = 0


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ACTIVIDAD

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● Solución:

Sumando 3cos x en ambos lados (lo que indebidamente se dice que el 3 cos x pasa al

otro lado a restar), la ecuación queda en la forma m sen x = n cos x. Haciéndolo:

4 sen x = 3 cos x

En este caso, m = 4 y n = 3. Se obtiene:

Sustituyendo por la tangente, recordemos que tangente es igual a

tan x = 0,75

Aplicando la función inversa:

x = arctan 0,75 también se puede escribir tan–1

= 0,75 Para hallar el inverso de la función tangente se

introduce en la calculadora SHIFT tan 0,75

Recuerda que al utilizar la calculadora en modo "degree (DEG)" el resultado que se obtiene será la medida

del ángulo en el sistema sexagesimal, en cambio en el modo "radián (RAD)" el resultado que se obtiene

será la medida del ángulo medido en el sistema radial.

La cual tiene dos soluciones, una en el primer cuadrante y la otra en el tercero, ya que allí la tangente es

positiva:

Primer cuadrante: 36,87

Tercer cuadrante: 180 + 36,87 = 216,87

MINI-EXPLICACIÓN: FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.

Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonométricas

(seno, coseno y tangente).

Las razones trigonométricas no son funciones biyectivas (1-a-1), por lo que no son invertibles. Para

que lo sean, es necesario restringir su dominio y así poder hallar la función inversa.


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ACTIVIDAD

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Las funciones trigonométricas inversas son:

Arcoseno

Arcocoseno

Arcotangente

ASÍNTOTA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las asíntotas de una gráfica son las líneas rectas que continuamente se acercan a la gráfica de cierta

función sin que la toque.

Las funciones seno y coseno no tienen asíntotas de ningún tipo. Pero las funciones que se forman a

partir de estas (tangente, cotangente, cosecante y secante) tienen asíntotas verticales cuando se

anula el denominador.

Recuerda que:

f(x)= senx/cosx; f(x) = cscx= 1/senx; f(x)= sec x= 1/cosx;

cot x = cosx /senx

● ¿Qué ángulo/s t verifican que sen t = 0,7?

Para contestar esta pregunta observemos la circunferencia trigonométrica unidad y recordemos la

representación del seno de un ángulo. Debemos encontrar el ángulo cuyo "arco" se corresponde con el

segmento que representa el seno del mismo. En este caso existen dos ángulos t1 y t2 que verifican:

sen t1 = 0,7 y sen t2 = 0,7

¿Son los únicos ángulos?

La respuesta es no, sólo debemos recordar que la función seno es periódica (de período 2p).

Entonces:


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ACTIVIDAD

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sen (t1 + 2kp) = 0,7 y sen (t2 + 2kp) = 0,7 con k un número entero

¿Cómo encontramos t tal que sen t = 0,7? Necesitamos encontrar una

nueva función

que permita "volver" o invertir lo que realiza la función seno, esto es:

La función que "deshace" o invierte el resultado obtenido por el cálculo del seno y que

permite resolver la igualdad sen-1 (0,7) = t es la función arco seno.

● ¿Qué ángulo t verifican que sen t = 0,7?

Utilizando la calculadora obtenemos:

arc sen 0,7 = 44,42º o bien t = 44º 25’37”

Recordar que al utilizar la calculadora en modo "degree (DEG)" el resultado que se obtiene será la

medida del ángulo en el sistema sexagesimal, en cambio en el modo "radián (RAD)" el resultado que se

obtiene será la medida del ángulo medido en el sistema radial.

En el sistema radial arc sen 0,7 es t = 0,775 rad

MINI-EXPLICACIÓN: FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene expresiones trigonométricas y se resuelven

usando técnicas similares a las usadas en ecuaciones algebraicas, por lo que las soluciones

representaran ángulos.

Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones trigonométricas:

2 sen (x) = 1


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ACTIVIDAD

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8cos (π3 x) =5

tan 2 (2 x − 1) = 0

Si la medida de los grados no está especificada, entonces se trabajará en radianes.

Resolviendo Ecuaciones Trigonométricas

Resolveremos las ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0, 2 π ) y también de forma general.

● Ejemplo 1

Encontrar la solución de la ecuación, sen (x) = 1 2

En el intervalo [0, 2π).

En todos los números reales

Solución:

Si sen (x) = 1 2 entonces el ángulo de referencia para x es x = π 6, que se encuentra en el cuadrante I; si consideramos

otra solución de la ecuación vemos que x = π − π 6 = 5 π 6, ubicada en el cuadrante II, es otra solución en el intervalo [0,

2 π), a continuación, se muestra gráficamente.

Paso 1 - Ejemplo: Niveles del agua

La siguiente tabla muestra la variación del nivel del agua en una bahía, en un

periodo de 24 horas. Encontremos un modelo que describa la variación del

nivel del agua en función del número de horas transcurridas desde las 6:00

a.m.

Podemos observar que en la gráfica los puntos se ajustan a una curva que corresponde a la función coseno

transformada.


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ACTIVIDAD

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Por lo tanto, obtendremos la función correspondiente si partimos de: y = cos(x)

¿qué nos indica que debemos usar la función coseno? Aunque también es válido usar la función seno, la

forma que sigue el trazo a través de los puntos nos induce a inclinarnos a utilizar la función coseno.

¿Cuál es la amplitud?

En la gráfica podemos ver que el valor máximo es 9 y el mínimo -3. Por tanto:

¿Cómo calculamos el periodo?

En la gráfica vemos que un periodo completo de la

función coseno está entre los puntos (2,9) y (14,9).

Por tanto:

periodo = 14 - 2 = 12

En el paso 1 decidimos que partiremos de la función

coseno, pues es la que mejor se ajusta a los datos que

tenemos.

y = cos(x)

● Realizar el cambio de periodo de la función y = cos(x) ⇒ y = cos(x) con periodo 12, tal como

identificamos en el paso 1.

● Realizar el cambio de amplitud de la función y = cos(kx) y = 6 cos(kx) con amplitud 6, la cual

identificamos en el paso 1.

● Efectuar, de ser necesario, la traslación horizontal y la traslación vertical, para que la gráfica del

modelo corresponda a los datos del problema.

En el paso 2 determinamos que el periodo de la función que buscamos es 12.

Si cambiamos la entrada de x a kx, el periodo cambia.


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ACTIVIDAD

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0 < k x < 2π 0 k < k x k < 2π k 0 < x < 2π k

Conociendo el periodo, podemos encontrar el valor de k,

pues, como sabemos:

2 π k = periodo

En consecuencia:

2 π k = 12

De donde:

k = 2 π 12 = π 6

En el paso 2 determinamos que la amplitud es 6. Entonces la función base debe tener amplitud 6.

cos π6 x ⇒ 6 cos π6 x

Conclusión: Ya tenemos una gráfica con el periodo y la

amplitud correspondientes a nuestros datos. Ahora,

debemos simplemente trasladar la gráfica para que coincida

con los datos.

Paso 2A - Completa este ejemplo: Población

de Especies Depredadoras

Cuando dos especies interactúan en una relación depredador / presa, las poblaciones de ambas especies

tienden a variar en forma sinusoidal. Es un estudio en una localidad habitada por búhos cuyo principal

alimento son ratones de campo, se registró la población promedio anual de búhos durante 13 años como se

muestra en la siguiente tabla:


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ACTIVIDAD

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a) Grafica e identifica amplitud y periodo.

Partiremos de la función seno, pues es la que mejor se ajusta a los datos que tenemos.

y = sen(x)

b) Realizar el cambio de periodo de la función y = sen(x) ⇒ y = sen(x) con periodo 12.

c) Realizar el cambio de amplitud de la función y = sen(kx) y = 30 sen(kx) con amplitud 23.

d) Efectuar, de ser necesario, la traslación horizontal y la traslación vertical, para que la gráfica

del modelo corresponda a los datos del problema.

Paso 2B - Completa este ejemplo:

Podemos observar que en la gráfica los puntos se ajustan a una curva que corresponde a la función seno

transformada.

Por lo tanto, obtendremos la

función correspondiente si

partimos de:

y = sen(x)

Nota: Aunque también es válido usar la función coseno, la forma

que sigue el trazo a través de los puntos nos induce a

inclinarnos a utilizar la función seno.


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ACTIVIDAD

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● Amplitud

En la gráfica podemos ver que el valor máximo es 80 y el mínimo 20. Por tanto: amplitud = 1 2 ( 80 - 20 ) =

30

● Periodo

En la gráfica vemos que un periodo completo de la función

seno está entre los puntos (1,50) y (17,50). Por tanto:

periodo = 17 - 1 = 16

b) Determinamos que el periodo de la función que buscamos

es 16.

Si cambiamos la entrada de x a kx, el periodo cambia.

0 < k x < 2π 0 k < kx k < 2π k 0 < x < 2π k

Determinamos que la amplitud es 30. Entonces la función

base debe tener amplitud 30.

sen π6 x ⇒ 30 sen π8 x


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ACTIVIDAD

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37

Paso 3 tu turno: Descubriendo leyes trigonométricas.

De las siguientes 4 afirmaciones, 2 son falsas y 2 son verdaderas. Detecta

cuáles son las afirmaciones falsas, y encuentra unas secuencias que sean

evidencia de la falsedad de la afirmación. Después, verifica con tus compañeros

y con tu profesor.

Afirmación #1: Podemos usar algunas de las funciones trigonométricas para

modelar movimientos periódicos como el del péndulo.

Afirmación #2: El rango de la función seno y coseno es distinto, ya que coseno se corre 90 grados.

Afirmación #3: Tan-1 () = ()

Afirmación #4: La solución de la ecuación trigonométrica 10 sen 4x - 5 cos 4x = 0 es

x1 = 3.641 y x2 = 51.641


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ACTIVIDAD

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C) Resuelve y practica

Exploración: Movimiento armónico simple

Si un cuerpo está vibrando verticalmente, la función f (t) que mide (en cm) la distancia dirigida del cuerpo

desde su posición central, que consideramos el origen, después de t segundos, siempre que el sentido

positivo sea considerado hacia arriba es:

f(t)=8cos((π t)/3)

Determina:

La amplitud y el periodo.

2. Graficar e identificar el periodo de la función y = 2senx

3. Graficar y = 2sec x.

4. Restringe el dominio y grafica la función y =sen(x)

5.Cuando un cuerpo que se encuentra en equilibrio cuelga de tres cuerdas como se muestra en la figura, la

tensión que hace cada una de las cuerdas amarradas al techo viene definida por la

fórmula , donde w representa el peso del cuerpo y θ el ángulo de la

cuerda con el techo.

Encuentra el ángulo con el que se deben colocar las cadenas que van a sostener una

lámpara de 250N de peso, si las cadenas resisten 150N.

6. La noria de una feria es una de las atracciones más concurridas. Nos eleva a una

altura que nos permite ver la ciudad desde arriba.

Una de las norias más grandes del mundo es el London Eye (http://www.londoneye.com/es/), situada en el

centro de la ciudad. Su altura de 135m ofrece una panorámica impresionante.

¿Nos subimos? Vamos a dibujar una gráfica que describe la altura a la que se encuentra nuestra cabina

desde el instante en que comienza nuestro viaje:


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ACTIVIDAD

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a) Dibuja la gráfica uniendo mediante una curva los puntos rojos. Al hacerlo, ¿has levantado el lápiz del

papel? ¿Qué puedes decir, por tanto, de esta función?

b) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa a nuestra cabina? ¿Cuántas vueltas hay reflejadas en

la gráfica? ¿Podríamos seguir dibujándola?

c) Consulta que es una función periódica ¿Crees que esta lo es? ¿Por qué? ¿Cuál será el periodo?

d) ¿En qué momentos del viaje estamos en lo más alto? ¿Cuántos máximos ves en la función y en qué

puntos? ¿Hay algún mínimo? ¿Son relativos o absolutos? ¿Crees que hay más? Si el viaje se alarga, ¿en

qué instante se alcanzaría el 4º máximo? ¿Y el 4º mínimo?

e) Dibuja ahora sobre los mismos ejes la gráfica que corresponde a la cabina que se encuentra en la parte

más alta en el momento inicial. ¿Qué conclusiones puedes obtener comparando las dos gráficas?

f) Habrás observado que la gráfica sólo aparece en el primer cuadrante* ¿Tendría sentido que apareciera

parte de la curva en el 2º cuadrante? ¿Cómo se explicaría esa situación? ¿Y en el 3º y 4º cuadrantes?

g) Si la noria no parase de girar, ¿cuál sería el dominio de esta función? (Justifica tu respuesta).


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D) Resumen


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ACTIVIDAD

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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo

los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien

pero quiero

más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien

el tema

Grafico familias de

funciones

trigonométricas de

la forma

f(x)=a·sen(bx)+c y

f(x)=a·cos(bx)+c

para modelar

fenómenos

periódicos

identificando

periodo, frecuencia

y amplitud.

Reconozco y

predigo el efecto

que tiene en las

gráficas cambiar

estos parámetros

en las funciones.

Gráfico las

funciones

trigonométricas

inversas arcsen,

arcocos, arcotan y

restringe el dominio

para poderlas

definir.

ii) Preguntas de comprensión

1) A cuál de las siguientes funciones

corresponde la gráfica. Justifica tu

elección.

2) . Resuelve la siguiente ecuación

trigonométrica

5sen x + 11 cos x = 0

3) Restringe el dominio de la función y= tan

(x), luego grafica su inversa.

(Verifica las respuestas con tu profesor)


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ACTIVIDAD

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Soluciono

ecuaciones

trigonométricas

sencillas en un

intervalo usando

calculadora,

software, o el

círculo unitario.

iii) Resuelvo un problema

Un resorte suspendido en el techo, oscila verticalmente. La siguiente tabla muestra la altura de una

partícula en el resorte, por segundo a partir de iniciado el movimiento:

Halla el periodo, la amplitud y luego, grafica

Realizar el cambio de periodo de la función y = cos(x) ⇒ y = cos(x) con periodo 8,

Realizar el cambio de amplitud de la función y = cos(kx) y = 5 cos(kx) con amplitud 5 ,

Efectuar, de ser necesario, la traslación horizontal y la traslación vertical, para que la gráfica del modelo

corresponda a los datos del problema.

Documents

Guía 102: Racional-Mente