Güven Aralıkları

Prof.Dr. Suat ŞAHİNLER 1

Güven Aralıkları


Güven aralıkları

İstatistiksel tahminin iki tipi vardır. Bunlar; 1. Nokta tahmini 2. Aralık tahmini Örneğin; tıp fakültesine kayıtlı bir öğrencinin not ortalamasını tahmin

etmek istediğimizde bu tahmini ya bir tek sayı, 75 veya not ortalamasını da içerisine alan bir aralık olarak 70 ile 80 arası şeklinde belirleyebiliriz.

Bu örnekteki birinci tahmin nokta tahmini olup sayı doğrusu üzerinde bir noktayı gösterir. İkinci verilen tahmin ise bir aralık tahmini olup sayı doğrusu üzerindeki iki nokta arasındaki bir aralığı gösterir.

İstatistikler parametrelerin tahminleri olarak düşünülür. Örneğin,

örnek ortalaması , Populasyon ortalaması ‘nün ve örnek varyansı S2’de populasyon varyansı ‘nin nokta tahminini vermesi gibi.

x 2


Nokta tahminlerinde aranan dört önemli özellik vardır. Bunlar;

Sapmasızlık,

Kararlılık,

Etkinlik

Yeterlilik

Örneğin bir istatistiğin beklenen değeri, tahmin için kullanıldığı parametreye

eşit ise bu istatistik sapmasızdır. Bu anlamda ve

olduğundan örnek ortalaması ve örnek varyansı sapmasız birer istatistiktirler.

Bir örnekten hesaplanan istatistik, parametreyi nokta şeklinde tahmin

etmesine karşın aynısı olduğu söylenemez. Daha açık bir ifadeyle,

istatistikler her örnek için farklı değer alması sebebiyle değişkendirler.

Yani, eğer olarak bulunmuş ise parametre değeri mutlaka

olacağı düşünülmemelidir. Onun için gibi parametrelerin önce

nokta tahminleri yapılır, sonrada bu noktalar etrafında belli bir güvenirlilikle

parametreyi kuşatan bir aralık teşkiline çalışılır. Örneğin belki de 70 ile

80 arasında bulunabilir. Eğer ortaya atılan bu gibi aralıklar belirli bir olasılık

temeline dayandırılırsa o zaman parametre değerlerinin buldukları yerler veya

bunların alabilecekleri gerçek değerler daha büyük bir güvenle belirlenebilir.

)(xE 22)( SE

75x 75p,,, 2

Güven aralıkları


Belirli bir olasılık dahilinde parametre değerleri genel olarak;

Güven aralıkları

dc

ba

2

1)(

1)(

2 dcP

baP

şeklinde tanımlanan sınırlar içerisinde yer aldığı düşünülebilir. gibi bir olasılık

düzeyi için yukarıdaki eşitlikler;

şeklinde tanımlanabilir. Bu bağıntılarda eşitsizliğin solunda yer alan a ve c gibi

değişkenler alt güven sınırları, eşitsizliğin sağında yer alan b ve d gibi

değişkenler üst güven sınırları, (1-)’ya da güven katsayısı denir. Ayrıca a ve

b veya c ve d değişkenleri arasında kalan mesafeye de güven aralığı denir.


Varyansı (2) Bilinen Normal Dağılışın Ortalaması İçin Güven Sınırları

)/,(~ 2 nNx

x

2/)( 2/ ZZP

Güven aralıkları

nZx /*2/

Ortalaması ve varyansı 2 olan normal bir populasyondan çekilen n birimlik

bir örneğin ortalaması , yine normal dağılış gösterir (Merkezi limit teoremi),

fakat ortalaması ve varyansı 2/n dir.

Bu durumda, istenen bir %100(1-) güven derecesi ile, için güven aralığı;

şeklinde tanımlanabilir. Burada; Z/2; normal olasılık dağılışında

koşulunu sağlayan Z değeridir.

veya

1)]/*()/*[( 2/2/ nZxnZxP


Örnek: Toplumda 15-34 yaş grubu bireylerde Sistolik Kan Basıncı (SKB) ortalama 120 mm/Hg ve varyansı 100 olduğu bilinmektedir. Bu populasyondan 25 kişilik bir örnek alındığında populasyon ortalaması için,

a) %90 güven katsayısıyla, b) %95 güven katsayısıyla, c) %99 güven katsayısıyla güven sınırlarını bulunuz ve yorumlayınız. Çözüm; a) (1-)=0.90 olduğuna göre =0.10 olur. Bu durumda /2=0.05 olacaktır.

Güven aralıkları

ifadesinde Z/2=Z0.05=1.645, /√n= 10/√25=2 olur. Bu durumda %90’lık

güven sınırları

nZx /*2/

29.3120

2*645.1120

/*2/

nZx


Veya

Güven aralıkları

Aynı koşullar altında alınan 100 örnekten bulunan güven aralıklarının 90

tanesi parametre değerini içinde bulundurması beklenir. Diğer bir ifade ile

ortalama SKB değerinin %90 güvenle 116.71 ile 123.29 arasında

bulunabileceği söylenebilir.

90.0)29.12371.116(

10.01)]2*645.1120()2*645.1120[(

1)]/*()/*[( 2/2/

P

P

nZxnZxP


b) %95 güven katsayısıyla, Çözüm; b) (1-)=0.95 olduğuna göre =0.05 olur. Bu durumda /2=0.025 olacaktır.

Güven aralıkları

ifadesinde Z/2=Z0.025=1.96, /√n= 10/√25=2 olur. Bu durumda %95’lik

güven sınırları

nZx /*2/

92.3120

2*96.1120

/*2/

nZx


Veya

Güven aralıkları





95.0)92.12308.116(

05.01)]2*96.1120()2*96.1120[(

1)]/*()/*[( 2/2/

P

P

nZxnZxP


b) %99 güven katsayısıyla, Çözüm; b) (1-)=0.99 olduğuna göre =0.01 olur. Bu durumda /2=0.005 olacaktır.

Güven aralıkları

ifadesinde Z/2=Z0.005=2.617, /√n= 10/√25=2 olur. Bu durumda %99’luk

güven sınırları

nZx /*2/

234.5120

2*617.2120

/*2/

nZx


veya

Güven aralıkları





99.0)234.125766.114(

01.01)]2*617.2120()2*617.2120[(

1)]/*()/*[( 2/2/

P

P

nZxnZxP


Varyansı (2) Bilinmeyen Normal Dağılışın Ortalaması İçin Güven Sınırları

Güven aralıkları

nsZx /*2/

Eğer normal dağılışın varyansı 2 bilinmiyorsa, bunun tahmini değeri örnekten

hesaplanarak kullanılır ve hangi dağılışa ait cetvel değerinin kullanılacağına

karar vermek için örnek genişliğine göre iki durum söz konusudur;

a) Eğer n≥30 ise yine Z dağılışına ait tablo kullanılır.

Bu durumda, istenen bir %100(1-) güven derecesi ile, için güven aralığı;

şeklinde tanımlanabilir.

b) Eğer n<30 ise Z yerine t tablosundan n-1 serbestlik dereceli tn-1,/2 değeri

kullanılır. Bu durumda, istenen bir %100(1-) güven derecesi ile, için güven

aralığı;

nstx n /*2/,1

veya

1)]/*()/*[( 2/2/ nsZxnsZxP

1)]/*()/*[( 2/,12/,1 nstxnstxP nn

veya


Örnek: Bir tansiyon ilacının verildiği 10 hastanın kan pıhtılaşma zamanları (dk) aşağıdaki gibi bulunmuştur. 8.5, 10.2, 9.6, 14.5, 10.1, 7.3, 11.0, 12.2, 11.0, 15.0 Buna göre populasyon ortalaması için, %95 güven katsayısıyla güven sınırlarını bulunuz ve yorumlayınız. Çözüm; (1-)=0.95 olduğuna göre =0.05 olur. Bu durumda /2=0.025 olacaktır. Populasyon varyansı bilinmiyor ve n<30 olduğuna göre, güven aralığı için

Güven aralıkları

ifadesi kullanılacaktır. Bu ifade de tn-1,/2= t10-1,0.05/2= t9,0.025=2.262,

s/√10= 2.43/√10=0.77 olur.

nstx n /*2/,1

89.5110

10/4.10984.1249

1

/)( 2

1 1

22

2

n

nxx

s

n

i

n

i

ii


Güven aralıkları

Bu durumda %95’lik güven sınırları

74.194.10

77.0*262.294.10

/*2/,1

nstx n

Aynı koşullar altında alınan 100 örnekten bulunan güven aralıklarının 95 tanesi

parametre değerini içinde bulundurması beklenir. Diğer bir ifade ile ortalama

Kan pıhtılaşma süresinin %95 güvenle 9.2 ile 12.68 arasında bulunabileceği

söylenebilir.

Veya,

95.0)68.122.9(

05.01)]77.0*262.294.10()77.0*262.294.10[(

1)]/*()/*[( 2/,12/,1

P

P

nstxnstxP nn


Oran İçin Güven Sınırları

Güven aralıkları

npq

Zp *ˆ2/

Binom dağılışının parametresi p’nin istenen bir %100(1-) güven derecesi ile

güven aralığı;

Burada, n: deneme sayısı, p: istenen olayın olasılığı, q: istenmeyen olayın olasılığını, olup, istenen olayın meydana gelme olasılığını göstermektedir. Z/2; /2 önem seviyesindeki Z tablosu değeridir. Varyans bilinmiyorsa büyük bir örnekten

,/ˆ nnp A

Veya,

1)](*ˆ()(*ˆ[( 2/2/ npq

Zppn

pqZpP

npppV /))ˆ1(ˆ()ˆ(

ile hesaplanmalıdır.


Örnek:Bir hastanenin göz polikliniğine bir haftada gelen 150 hastanın 45’inde bir göz kusuruna rastlanmıştır. p’nin göz kusuru olma olasılığını gösterdiğini varsayarak p için, %95 güven katsayısıyla güven sınırlarını bulunuz ve yorumlayınız. Çözüm; (1-)=0.95 olduğuna göre =0.01 olur. Bu durumda /2=0.025 olacaktır. Populasyon varyansı bilinmiyor ve n>30 olduğundan güven sınırları hesabında

Güven aralıkları

ifadesi kullanılacaktır. Bu ifade de Z/2= Z0.025=1.96 ve

olur. Bu durumda güven sınırları;

n

ppZp

)ˆ1(ˆ*ˆ

2/

3.0150/45/ˆ nnp A

0733.03.0

0374.0*96.13.0

150

)3.01(3.0*96.13.0

)ˆ1(ˆ*ˆ

2/

n

ppZp


veya

Güven aralıkları

95.0)3733.02266.0(

01.01)]150

)3.01(3.0*96.13.0()

150

)3.01(3.0*96.13.0[(

1)])ˆ1(ˆ

*ˆ())ˆ1(ˆ

*ˆ[( 2/2/

pP

pP

n

ppZpp

n

ppZpP

olur. Aynı koşullar altında alınan 100 örnekten bulunan güven aralıklarının 95


ortalama göz kusuru olma oranı %95 güvenle 0.2266 ile 0.3733 arasında


Documents

Güven Aralıkları