GEOMETRA

267

Nace Isaac Newton enLincolnshire, Inglaterra.

Virrey del Per Jos de Armendriz,marqus de Castelfuerte.

1687

1643

1706

1676

1704

Virrey del Per, Melchor de Navarra yRocafull, quien fortific Lima y Trujillopara defenderlos de los piratas.

PublicaArithmeticauniversalis.

Virrey del Per, Miguel Nuez deSanabria (oidor decano de la RealAudiencia de Lima).

La Royal Society reconstruye con xito elexperimento de Newton (composicin de laluz y los colores) en su propia sede.

Publica Philosophiaenatural i s pr inc ip iamathematica.

Publica Enumeracin de lascurvas de tercer orden.

Publica ptica.

Virrey del Per,Baltasar de la CuevaHenrquez.

Vi rrey del Per,Pedro lvarez deToledo y Leiva.

1727

Fallece IsaacNewton.

ACTUALIZACIN DOCENTE 2010

268

Slidos Geomtricos IPoliedros y Poliedros

Regulares

Slido GeomtricoEs aquella porcin del espacio separadodel espacio inmediato por un conjuntode puntos que conforman la superficiedel slido.Un slido de acuerdo a su superficiepuede ser: poliedro (pirmide, prisma,etc.) o cuerpo redondo (esfera, cilindro,etc.).

Cuerpo redondo(Esfera)

Poliedro(Pirmide)

PoliedroEs aquel slido geomtrico cuyasuperficie est formada por cuatroo ms regiones poligonales planas alas cuales se les denomina caras delpoliedro.Al lado comn de dos caras sele denomina arista y al punto deconcurrencia de las aristas, vrtice delpoliedro.

DIAGONAL DEL POLIEDROEs el segmento cuyos extremos son dosvrtices ubicados en caras distintas.

* Los poliedros se nombran de acuerdoa su nmero de caras y pueden ser:

- Tetraedro ......... (4 caras)- Pentaedro ......... (5 caras)- Hexaedro ......... (6 caras)

Tipos de Poliedros

Teorema de Euler1. En todo poliedro, el nmero de

caras ms el nmero de vrticeses igual al nmero de aristasaumentado en dos.

C: Nmero de caras.V: Nmero de vrtices.A: Nmero de aristas.

Poliedros convexos

Poliedros no convexos

C+V=A+2

2. En todo poliedro, la suma de lasmedidas de los ngulos internos detodas las caras es igual a 360 porel nmero de vrtices disminuidoen dos.

Scaras: Suma de medidas de losngulos internos de todas lascaras.

V: Nmero de vrtices.

S caras=360(v-2)

3. Para calcular el nmero de artistasde un poliedro, usaremos lasiguiente frmula:

Donde:a : Cantidad de caras de m lados.b : Cantidad de caras de n lados.c : Cantidad de caras de p lados.. . .. . .. . .

N. de Aristas= a.m+b.n+c.p+...2

Diagonal delPoliedro

Aristas

VrticeCaras

GEOMETRA

269

1. Tetraedro regular:

POLIEDROS REGULARES

Son aquellos poliedros cuyas caras sonpolgonos regulares. Solamente existen5 poliedros regulares y son:

Poliedro formado por cuatro tringulosequilteros.

a

Forma de cara(Tringuloequiltero)

4

4

6

a a

a

2. Hexaedro regular o cubo:Poliedro formado por seis cuadrados.

a

3. Octaedro regular:Poliedro formado por ocho tringulosequilteros.

8

6

12

a a

a

a

a

4. Dodecaedro regular:Poliedro formado por doce pentgonosregulares.

a

a

5. Icosaedro regular:Poliedro formado por veinte tringulosequilteros.

20

12

30

a a

a

a

a

. Tetraedro regular:

P R O P I E DA D E S D E LO SPOLIEDROS REGULARES

a

Baricentro de la base

a

aa

h

h=a 63

V= a3 212

A=a2 3

h: alturaA: reaV: volumen

Forma de cara(cuadrado)

6

8

12

a aa

a

Nmero de carasC

Nmero devrtices

V

Nmero de aristasA

12

20

30

a

a

a

aaForma de cara

(Pentgono regular)

Nmero de carasC

Nmero devrtices

V

Nmero de aristasA

Nmero de carasC

Nmero devrtices

V

Nmero de aristasA

Forma de cara(Tringuloequiltero)

Nmero de carasC

Nmero devrtices

V

Nmero de aristasA

Forma de cara(Tringuloequiltero)

Nmero de carasC

Nmero devrtices

V

Nmero de aristasA

ACTUALIZACIN DOCENTE 2010

270

Nivel I

1) Un poliedro est formado por12 tringulos y 8 cuadrilteros,entonces el nmero de aristas y elnmero de vrtices del poliedroes:

a) 24 y 18 d) 34 y 16b) 26 y 18 e) 48 y 24c) 32 y 14

Calcula el nmero de aristas yvrtices que tiene un poliedro queest formado por 6 tringulos, 8cuadrilteros y 10 pentgonos.

. Octaedro regular:

d: diagonal delslido

A: reaV: volumen

a

aa a

a

d

V= a3 23

d=a 2

A=2a2 3

. Hexaedro regular (cubo):

d: diagonal delcubo

A: reaV: volumen

d=a 3

A=6a2

da

a

a

a

a

V=a3

POLIEDROS CONJUGADOSSon conjugados aquellos poliedrosregulares en los que el nmero de carasde uno, es igual al nmero de vrticesdel otro (uniendo los centros de lascaras de uno, se obtiene el otro). As,por ejemplo, el conjugado del hexaedroes el octaedro.

Resolucin:

C=6+8+10=24

A=

A=50

Teorema de Euler: C+V=A+2

24+V=50+2V=28

(6x3)+(8x4)+(10x5)2

La superficie de un cubo es T,entonces la diagonal de dicho cuboes igual.

Resolucin:

Da

aa

D=a 3= 3a2 ............. (1)

Dato: 6a2=T 3a2=

En (1): D= =

T2

T2

2T2

El volumen del octaedro que seobtiene al unir los centros de lascaras contiguas de un cubo de ladoL es:

Resolucin:

F

DB

E

ChL

hA

L2

L2

ABCD es cuadrado

BA= ; h=

V=

V= .

V=

L2

L 22

2(SABCD.h)3

23

L2

L 22( )

2

L36

Resolucin:

2

O

A

C

B

H

NM

2

2

2

3

3

En AOC: OH=2 3ABC: BH=2 3HOB: ON=NH; OM=MB

x= (Teorema puntos medios)

\ x= 3

BH2

En un tetraedro regular O-ABC dearista 4 u, calcula la distancia entrelos puntos medios de OB y OH (Hpunto medio de AC).

GEOMETRA

271

2) Un poliedro est formadopor 2K pentgonos, 4Kcuadrilteros y 6K tringulos.Calcula K si el nmero devrtices es 62.

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

3) La suma entre el nmero decaras, vrtices y aristas de unpoliedro convexo es 98. Calculael nmero de caras, sabiendo quela suma de los ngulos internosde todas sus caras es igual a7200.

a) 28 b) 30 c) 24d) 22 e) 32

4) Halla el rea y la diagonal de uncubo, sabiendo que la suma detodas sus aristas es 60 u.

a) 300 y 10 3 d) 384 y 8 3b) 150 y 5 3 e) 600 y 10 3c) 216 y 6 3

5) El volumen de un cubo equivalea K veces el cubo de lo quemide su diagonal. Calcula K.

a) 3 b) 3/3 c) 3/6d) 3/9 e) 3

6) Calcula el volumen de untetraedro regular en el cual laaltura de una de sus caras mide

3u.

a) 2/3u3 b) 2 2/3u3 c)8 2/3u3

d)6 2/3u3 e) N.A.

7) El rea total de un octaedroregular es 18 3u 2. Halla lalongitud de su diagonal.

a) 2 u b) 3 u c) 2 3 ud) 3 2 u e) 2 2 u

8) La arista de un cubo mide 2u.Calcula la distancia desde unvrtice hacia el centro de la caraopuesta.

a) 3 u b) 5 u c) 6 ud) 2 3 u e) 2 2 u

9) Calcula el volumen del octaedroregular que se forma al unirlos centros de las caras de unhexaedro regular de arista 6m.

a) 36m3 b) 72m3 c) 216m3

d) 36 2m3 e) 72 2m3

10) Halla la altura de un tetraedroregular cuya rea total es 6 3u2.

a) 1 u b) 2 u c) 3 ud) 4 u e) 6 u

11) En el cubo mostrado, O es elcentro de la cara EFGH. Calculael rea del tringulo AOC.

a) 80 2u2 b) 10 2u2 c) 50 2u2

d) 20 2u2 e) 25 2u2

12) En un cubo, la distancia desde unvrtice a la diagonal del mismomide 6. Halla el volumen y elrea del slido.

a) 8 y 24 d) 2 2 y 12b) 27 y 54 e) 3 3 y 18c) 64 y 96

13) La arista de un tetraedro regularmide a. Un plano pasa por unaarista y el punto medio de laarista opuesta. Calcula el reade la seccin determinada.

a) a2 2 b) a2 2/2 c) a2 2/4d) a2 3/2 e) N.A.

14) La altura de un tetraedro regularmide 6. Calcula el rea de lasuperficie total de su respectivopoliedro conjugado.

a) 3m2 b) 2 3m2 c) 3m2

d) 6m2 e) 3 3m2

15) Calcula el nmero de diagonalesde un poliedro que est formadopor 6 tringulos, 8 cuadrilterosy 4 pentgonos.

a) 36 b) 66 c) 100d) 106 e) 126

Nivel II

16) Cuntas caras tiene aquelpoliedro que tiene 20 aristas y12 vrtices?

a) 5 b) 10 c) 15d) 12 e) 20

17) Halla la diferencia entre elnmero de aristas y vrtices deun icosaedro.

a) 16 b) 17 c) 18d) 20 e) 24

18) Un poliedro est formado por 8tringulos y x cuadrilteros.Halla x si el nmero de aristases 28.

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 20

B

A E

H

GC

F

O10 u

D

ACTUALIZACIN DOCENTE 2010

272

Nivel III

19) Halla el ngulo formado porlas diagonales de dos carascontiguas de un cubo si ambasdiagonales parten del mismovrtice.

a) 30 b) 60 c) 45d) 15 e) 75

20) El rea total de un tetraedroregular es 9 3 u2. Calcula elvolumen de dicho tetraedro.

a) 9 2/2 u3 d) 9 2/4 u3

b) 7 2/2 u3 e) 9 2/5 u3

c) 8 2/3 u3

21) Halla la relacin en la que seencuentran las reas totalesde un tetraedro regular y unoctaedro regular si la aristadel primero es el doble delsegundo.

a) 1:2 b) 2:1 c) 3:2d) 3:1 e) 4:1

22) Calcula el volumen del cubo siel rea sombreada es 2 2 u2.

a) 2 u3 b) 2 u3 c) 2 2 u3

d) 4 u3 e) 4 2 u3

23) El rea de una cara de untetraedro regular es de 40 cm2.Cul es el rea del polgonoque se obtiene al unir los puntosmedios de tres aristas que partende un mismo vrtice?

a) 20 cm2 b) 10 cm2 c) 5 cm2

d) 2,5 cm2 e) 12 cm2

24) Calcula el volumen de unoctaedro regular cuya rea esigual al rea de un cubo de aristaigual a 4 3 cm.

a) 2 cm3 d) 6 cm3

b) 3 cm3 e) 12 cm3

c) 5 cm3

25) Calcula el volumen de untetraedro regular cuya altura esigual a la arista de un cubo cuyovolumen es igual a 144 m3.

a) 9 3 m3 d) 18 6 m3

b) 12 3 cm3 e) 12 6 m3

c) 18 3 m3

26) Calcula la relacin entre losvolmenes de un cubo y untetraedro regular inscrito en l.

a) 2 b) 4 c) 5d) 3/2 e) 3

27) Calcula la distancia entre loscentros de dos caras de untetraedro regular cuya aristamide a.

a) a/2 b) a/6 c) 2a/3d) a/3 e) 2a/5

28) Calcula el volumen del slidoque se forma al unir los centrosde las caras de un cubo cuyaarista es igual a 2 cm.

a) 2/2 cm3 d) 3 cm3

b) 2/3 cm3 e) 6 2 cm3

c) 8 cm3

29) Se dan un octaedro regular y untetraedro regular, donde la aristadel segundo es el triple de la aristadel primero. Halla la relacin dereas de estos slidos.

a) 2/7 b) 2/11 c) 3/8d) 2/9 e) 4/9

30) Si la diagonal de un octaedroregular mide 3 2u, calcula suvolumen.

a) 4,5 2 u3 d) 9 2 u3

b) 6 2 u3 e) 12 u3

c) 3 6 u3

31) Halla el volumen del tetraedroregular cuya altura mide h.

a) 9h3 2/8 d) 3h3 3/8b) h3 3/8 e) 3h3 3/4c) 3h3 2/5

32) En un cubo de 4cm de aristase une el punto medio de unaarista con los extremos de laarista diametralmente opuesta.Halla el permetro del tringuloformado.

a) 16 cm d) (5 6+1)cmb) (2 3+1)cm e) (2 5+4) cmc) 4( 2+2)cm

33) Calcula el nmero de caras quetiene el poliedro mostrado.

a) 8 b) 6 c) 4d) 12 e) 16

34) Calcula el nmero de caras quetiene el poliedro mostrado.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

GEOMETRA

273

35) La figura muestra un cubo en lacual se pide el ngulo que formanlos segmentos alabeados BE yCF.

a) 30 b) 45 c) 60d) 120 e) 90

A

E H

G

CB

D

F

36) Un poliedro est formado por 10pentgonos, 15 cuadrilteros y20 tringulos. Cuntas aristasy cuantos vrtices tiene?

a) 85 y 42 d) 170 y 56b) 105 y 40 e) 190 y 62c) 150 y 38

37) En un poliedro la suma delnmero de caras, vrtices yaristas es 32. Calcula el nmerode aristas.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

38) Calcula el nmero de vrtices deun poliedro en el cual el nmerode aristas es el doble del nmerode caras, adems el nmero dearistas excede al nmero devrtices en 8.

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

39) El volumen de un hexaedroregular es igual a su diagonal alcubo dividido entre:

a) 2 2 b) 3 2 c) 2 3d) 3 3 e) 3

40) La distancia entre los centrosde dos caras contiguas de unoctaedro regular es de 4m.Calcula su volumen.

a) 216 m3 b) 244 m3 c) 250 m3

d) 270 m3 e) 288 m3

41) Si se unen los baricentros de lascaras de un octaedro regular dearista 6 cm, se forma un slidode volumen:

a) 16 cm3 d) 16 3 cm3

b) 8 cm3 e) 16 2 cm3

c) 8 2 cm3

42) En la figura se pide la aristadel cubo, sabiendo que el reasombreada es 3 3 m2.

a) 2 m b) 3 m c) 1 md) 2 m e) 3 m

43) En el cubo de arista a,GP=PQ=QD. Halla el rea dela regin sombreada.

a) a2 2/4 d) 3a2 2/4b) 2a2 e) 3a2

c) 2a2 2/3

44) En un tetraedro regular, ladistancia entre dos aristas quese cruzan es 3 2. Calcula lalongitud de la arista del poliedroconjugado del tetraedro.

a) 1 b) 4 c) 2d) 3,5 e) 3

46) Calcula el rea de la proyeccinde un tetraedro regular, cuyaarista mide 2m, sobre un planoperpendicular a una arista.

a) 2 m2 b) 3 m2 c) 2 m2

d) 3 m2 e) 4 m2

45) E n un o c t a ed ro r eg u la rP-ABCD-Q, M es punto mediode PC, tal que AM=2 5 cm.Calcula su volumen.

a) 64 cm3 d) 32 3cm3

b) 72 cm3 e) 64 2/3 cm3

c) 80 cm3

47) En el octaedro mostrado, calculala distancia de G a ABCD siAG=3 2 y G es baricentro dela cara OCD.

a) 1 b) 3 c) 2d) 5 e) 6

48) En la figura se muestra untetraedro regular de arista 4cm.Calcula el rea de la reginsombreada.

a) 2 b) 6 c) 4 3d) 4 e) 3/4

O

A

C

BH

M

E

A D

C

GF

H

QB

P

A

O

DCB