GUIA DE EJERCICIOS Unidad I: Expresiones algebraicas Universidad Metropolitana Elementos de Matemtica 2 UNIVERSIDAD METROPOLITANA ELEMENTOS DE MATEMTICA 2 (FGPMM02) 1 GUIA DE EJERCICIOS Unidad I: Expresiones algebraicas Parte I. Productos notables. Definicin. Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y que se obtienen con un simple desarrollo, sin necesidad de efectuar el producto. Cuadrado de un binomio. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x y)2 =x2 2xy + y2 Cubo de un binomio. (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 Producto de la suma y la diferencia de dos trminos. (x + y)(x y) = x2 y2 Producto de binomios con un trmino comn. (x + a)(x + b) = x2 +(a+b)x + ab

Ejemplo 1.Desarrollar (xa+1 4xa-2)2

(xa+1 4xa-2)2 = (xa+1)2 - 2 xa+1. 4xa-2 + (4xa-2)2 = x2a + 2 8x2a 1 +16x2a -4 Ejemplo 2. Desarrollar(3a3 - 7xy4)3 (3a3 - 7xy4)3 = (3 a3)3 - 3(3 a3)2(7xy4) + 3(3 a3)(7xy4)2 - (7xy4)3 = 27a9 189a6xy4 + 441a3x2y8 343x3y12

Ejemplo 3. Desarrollar(5a + 9)(5a - 6) (5a + 9)(5a - 6) = (5a)2 +(9-6)(5a) - 9(6) = 25a2 + 15a - 54 Ejemplo 4. Desarrollar(2x + 5)(2x - 5) (2x + 5)(2x - 5) = (2x)2 -52 = 4x2 -25. UNIVERSIDAD METROPOLITANA ELEMENTOS DE MATEMTICA 2 (FGPMM02) 2 Ejemplo 5.Decida si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta. a)Al desarrollar el producto notable(8x3ym+1 7x2y4)2la expresin que se obtiene es64x9y2m+2 + 112x5ym+5 + 49 x4 y8. Respuesta: Al aplicar la regla del cuadrado de un binomio se obtiene: (8x3ym+1)2 -28x3ym+1 .7x2y4 + (7x2y4)2 = 64x6y2m+2 - 112x5ym+5 + 49 x4 y8 Por lo tanto, la proposicin es falsa, ya que el resultado obtenido no corresponde con la expresin dada. b)La expresin Y6x2m+2- 64corresponde al desarrollo del producto notable (y3xm+1 + 8) (y3xm+1 - 8). Respuesta: Sisedesarrollaelproducto(y3xm+1+8)(y3xm+1-8)aplicandolareglacorrespondiente se obtiene: (y3xm+1)2(8)2=y6 x2m+264.Seconcluyequelaafirmacines verdadera, ya que coincide con la expresin planteada. Precaucin!!! (x + y)2 x2 + y2. Paradartecuentabastaconsiderar(oasignar?)dosvalorescualesquieraxyy,por ejemplo, x = 6yy = 3, al sustituir estos nmeros en las expresiones situadas a cada lado de la igualdad se obtiene (6 + 3)2 = 92 = 81 62 + 32 = 36 + 9 =45 81 45. Recuerda que(x + y)2 = x2 + 2xy + y2. UNIVERSIDAD METROPOLITANA ELEMENTOS DE MATEMTICA 2 (FGPMM02) 3 Ejercicio1.Desarrollarlossiguientesproductosnotablesaplicandolaregla correspondiente: 1.(x + 5)2R:x2 + 10x + 25 2.(7a + b)2 R: 49a2 +14ab + b2 3.(4ab2 + 6xy3)2 R: 16a2b4 48ab2xy3 + 36x2y6

4.(xa+1 + yb-2)2 R: x2a+2 + 2 xa+1 yb-2 + y2b-4 5.(8 - a)2 R: 64 16 + a2 6.(3x4 -5y2)2 R: 9x8 30 x4 y2 + 25y4 7.(xa+1 - 4xa-2)2R: x2a+2 8x2a-1 + 16x2a-4 8.(5a + 10b)(5a - 10b) R: 25a2 100b2 9.(7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3) R:49x4 144y6 10. (x + 4)3 R:x3 + 12x2 + 48x + 64 11. (5x + 2y)3 R:125x3 + 150x2y + 60xy2 + 8y3 12. (2x2y + 4m)3 R: 8x6y3 +48x4y2m+96xym2 +64m3 13. ( x45- 31)2 R:1625x2 - 1210x + 91 14. (54a2m-1+23b)2 R:2516a4m-2 + 512a2m-1b + 49b2 15. (67x3 - 23)(67x3 + 23) R: 3649x6 - 49 16. (x + 5)(x + 3) R: x2 + 8x + 15 17. (a + 9)(a - 6) R: a2 + 3a - 54 18. (y - 12)(y - 7) R: y2 19y + 84 19. (4x3 + 15)(4x3 + 5) R:16x6 + 80x3 + 75 20. (5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14) R:25y2a+2 50ya+1 - 56 UNIVERSIDAD METROPOLITANA ELEMENTOS DE MATEMTICA 2 (FGPMM02) 4 Ejercicio 2. Decida si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta. a)Al desarrollar el producto notable(9x4y3m+1 5x3y2) (9x4y3m+1 +5x3y2) usandolareglacorrespondiente,laexpresinqueseobtienees: 81x16y9m+2 - 25 x9y4. b)La expresin8x6y3 +48x4y2m - 96xym2 + 64m3 corresponde al desarrollo del producto notable(2x2y - 4m)3. c)El polinomio que se obtiene al desarrollar el producto notable (4ab2 + 6xy3)2 es de grado 8. UNIVERSIDAD METROPOLITANA ELEMENTOS DE MATEMTICA 2 (FGPMM02) 5 Parte II. Factorizacin de expresiones algebraicas. Definiciones:Factorizacin: Es el proceso de encontrar los polinomios cuyo producto es igual a un polinomio dado. Polinomio primo: Es un polinomio que no puede escribirse como el producto de dos polinomios con coeficientes enteros. Polinomio factorizado por completo (factorizado al mximo): Es un polinomio que est escrito como producto de polinomios primos. Factorizacindelmximofactorcomn(llamadoenocasionessacarfactor comn):consisteenbuscarunmonomioqueseaelmximofactorcomnde todos los trminos del polinomio. Por ejemplo:( ) 3 2 6 6 18 12 362 3 2+ = + x x x x x x ( ) s r s r rs rs s r s r 3 2 17 51 17 342 2 3 2 3 3 4+ = + -Factorizacin por agrupacin: se puede realizar cuando el polinomio tiene ms de tres trminos. Por ejemplo:( ) ( ) ( )( ) 6 6 6 6 + + = + + + = + + + a y x y x y x a y x ay ax( ) ( ) ( )( )2 3 2 3 2 3 2 3 2 3k n p m k n p k n m pk pn mk mn + = + + = +-Factorizacindetrinomios:Setratadeunpolinomiodeltipoc bx ax + +2 donde a, b y c nmeros reales.Existendiferentesformasderealizarsufactorizacin.Porejemploelpolinomio 6 11 42+ x xse puede factorizar con el empleo de diferentes mtodos, entre ellos: Mtodo1:serealizaelproductodelcoeficientedeltrminocuadrticoconel trminoindependiente( ) 24 6 4 = ysebuscandosnmeroscuyamultiplicacin seaelproductoanterioryquesumadosalgebraicamentedencomoresultadoel coeficientequeacompaaaltrminodegradouno( ) 11 3 8 = .Luegoel trinomio se escribe como un polinomio de cuatro trminos y se realiza factorizacin por agrupacin para obtener la factorizacin final del polinomio dado: ( ) ( ) ( )( ) 2 3 4 2 3 2 4 6 3 8 4 6 11 42 2 = = + = + x x x x x x x x x x . Mtodo2:semultiplicaydivideelpolinomioporelcoeficientedeltrmino cuadrtico, se hace un cambio de variable y se reescribe el polinomio en trminos del cambio de variable: ( ) ( )( ) y xy y x xx x =+ =+ = + 4 ,424 11424 4 11 46 11 42 22donde. Luegosefactorizaelpolinomioutilizandodosnmeroscuyoproductoseael trminoindependienteyquesumadosalgebraicamentedencomoresultadoel coeficientequeacompaaaltrminodegradouno,enestecasosetiene UNIVERSIDAD METROPOLITANA ELEMENTOS DE MATEMTICA 2 (FGPMM02) 6 ( ) ( ) 11 3 8 24 3 8 = = y ,resultando: ( )( )43 8424 112 =+ y y y y,se devuelve el cambio de variable y se divide el producto para obtener los polinomios primos para la factorizacin completa: ( )( ) ( )( )( )( ) 3 4 243 4 8 443 8 = = x xx x y y -Factorizacin de trinomios cuadrados perfectos Se factoriza de modo de obtener el cuadrado de un binomio.As, los polinomios( )( ) ( )2 2 22 y x y x y x y xy x + = + + = + +( )( ) ( )2 2 22 y x y x y x y xy x = = + Por ejemplo: ( )( ) ( )2 2 25 4 5 4 5 4 25 40 16 q p q p q p q pq p + = + + = + +( )( ) ( )2 2 24 13 4 13 4 13 16 104 169 y x y x y x y xy x = = + Factorizacin de binomios Diferencia de cuadrados: ( )( ) y x y x y x + = 2 2

Ejemplos: ( ) ( ) ( )( ) y x y x y x y x 7 4 7 4 7 4 49 162 2 2 2 + = = ( ) ( ) ( )( ) y x y x y x y x 3 5 3 5 3 5 9 252 2 222 2 4 + = = Diferencia de cubos: ( )( )2 2 3 3y xy x y x y x + + = Ejemplos: ( ) ( ) ( )( )2 2 3 3 3 325 20 16 5 4 5 4 125 64 y xy x y x y x y x + + = = ( ) ( ) ( )( )2 3 3 39 6 4 3 2 3 2 27 8 y y y y y + + = = Suma de cubos:( )( )2 2 3 3y xy x y x y x + + = +-Ejemplos: ( ) ( ) ( )( ) 16 20 25 4 5 4 5 64 1252 3 3 3+ + = + = + x x x x x( ) ( ) ( )( )2 2 3 3 3 336 72 144 6 12 6 12 216 1718 y xy x y x y x y x + + = + = + UNIVERSIDAD METROPOLITANA ELEMENTOS DE MATEMTICA 2 (FGPMM02) 7 Ejemplo. Decida si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta. a)Si se factoriza al mximo el polinomio 2x2m + 7xm2 +3m3 resulta la expresin m(2x + 3m)(x + m). Respuesta: Parafactorizaralmximoelpolinomio2x2m +7xm2+3m3seobservaqueel monomio m representa el mximo factor comn de cada uno de los trminos que lo conforman: m(2x2 +7xm + 3m2) y a continuacin se procede a factorizar el polinomio (2x2 +7xm + 3m2),obtenindose: m ||.|

\| + +2) 3 7 2 ( 22 2m xm x = m||.|

\| + +2) 6 ) 2 ( 7 ) 2 (2 2m x m x = m |.|

\| + +2) 2 )( 6 2 ( m x m x

m|.|

\| + +2)) 2 )( 3 ( 2 m x m x=m(x+3m)(2x+m).Porlotanto,laproposicines falsa. b)Uno de los factores del polinomio3 10 82 x xes ( ) 3 2 + x . Respuesta:La factorizacin de3 10 82 x xes ( )( ) 3 2 1 4 + x x . Por lo tanto, la proposicin es falsa, ya que, en el resultado obtenido, ninguno de los dos factores es igual a( ) 3 2 + x . c)(6y2x2 7)( 6y2x2 + 7) representa la factorizacin del polinomio 36y4x4 49. Respuesta: 36y4x449=(6y2x2)2(7)2factorizandolaexpresinanteriormedianteel mtodo de diferencia de dos cuadrados se obtiene:(6y2x2)2(7)2=(6y2x27)(6y2x2+7).Seconcluyequelaproposicines verdadera. Ejercicio1.Decidasilasproposicionessiguientessonverdaderasofalsas. Justifique su respuesta. a)La factorizacin del polinomio 2a2x 5a2y +15by 6bx es (2x -5y)(a2 + 3b). b)Uno de los factores del polinomio m2 + 6m + 9 p2 es (m + 3 p). c)La factorizacin del polinomio 8m3 -27n3 es (2m 3n)(8m2 -12mn + 9n2). UNIVERSIDAD METROPOLITANA ELEMENTOS DE MATEMTICA 2 (FGPMM02) 8 Ejercicio 2. Factorice al mximo las siguientes expresiones algebraicas: 1. 2 28 16 y x xy + + R:(4+xy)2

2. 2 2 24 4 z xyz y x + + R:(xy + 2z)2 3.( ) ( )2216 24 9 w v w v u u + + + +R:(3u + 4(v+w))2 4.25 40 162 4+ x x R:(4x2 5)2 5.625 252 xR:25 (x-5)(x+5) 6.81 164 4 x yR:(4y2x2 9) (4y2x2 + 9) 7.( ) ( )3 32 2 y x y x +R:2y (12x2 + y2) 8.( ) ( )3 32 2 y x y x + +R:4x (3y2+4x2) 9.2 2 42 x xR:2(x-1)(2x+1) 10.12 5 22 x x R: (x-4)(2x+3)11. 8x2 2xy y2R: (2x-y)(4x+y) 12. 27y 88x3 3 R: (2x - 32y)( 4x2+3xy+9y 42 ) 13. 16x2 + 8xy + y2 R: (4x+y)2 14. x2y + 6xy2 + 9y3R:y (x+3y)2 15. 5px qx + qy 5pyR: (x-y)(5p-q) 16.qy2 qx2 5py2 + 5px2R: (q-5p)(y-x)(y+x) 17.x3 + xy2 x2y y3 R: (x-y)(x2 + y2) 18. 94x2 - 169y4R:(32x -43y2 ) (32x +43y2 ) 19. m3 + 6m2 + 9m R: m(m+3)2 20. mx3 + nx3 + my3 + ny3R: (x+y)(x2 xy + y2)(m+n) Resuelva los ejercicios 7.6del libro MILLER, pgina 379 UNIVERSIDAD METROPOLITANA ELEMENTOS DE MATEMTICA 2 (FGPMM02) 9 Parte III. Simplificacin de fracciones algebraicas. Definicin1.Unafraccinalgebraicaeselcocientededosexpresiones algebraicas. Ejemplos:3213 2aa a + ,4 3 3 33 236 244y x y xy x y2213 4xx x +.

Definicin 2. Simplificar una fraccin algebraica es el procedimiento que permite convertirla en una expresin equivalente que est reducida a su mnima expresin. Ejemplo 1. Simplificar al mximo las siguientes fracciones algebraicas:a) 4 3 3 33 236 244y x y xy x b) 1111111++x xxx x c) 4 7 28 21 23 23 42222222 ||.|

\| ++ + +x xx xx xx xx xx x Respuestas. a)4 3 3 33 236 244y x y xy x = ) 3 2 ( 1243 33 2y y xy x = ) 3 2 ( 31y x b)1111111++x xxx x= ) 1 )( 1 () 1 ( ) 1 () 1 )( 1 () 1 ( 1+ ++ +x xx x xx xx x= 11 12+ ++ +x x xx x =122+ x

c) 4 7 28 21 23 23 42222222 ||.|

\| ++ + +x xx xx xx xx xx x =) 2 )( 4 (4 7 21 2) 1 )( 3 () 1 )( 3 () 2 (22+ ++ ++x xx xx xx xx xx x UNIVERSIDAD METROPOLITANA ELEMENTOS DE MATEMTICA 2 (FGPMM02) 10 Para factorizar el polinomio4 7 22 x xprocedemos de la manera siguiente: 4 7 22 x x= 2) 4 7 2 ( 22 x x = 2) 8 ) 2 ( 7 ) 2 (2 x x = 2) 1 2 )( 8 2 ( + x x = 2)) 1 2 )( 4 ( 2 + x x = )) 1 2 )( 4 ( + x x En forma anloga factorizamos el polinomio 1 22 x x 1 22 x x= 2) 1 2 ( 22 x x =22 ) 2 ( ) 2 (2 x x = 2) 1 2 )( 2 2 ( + x x= 2)) 1 2 )( 1 ( 2 + x x =)) 1 2 )( 1 ( + x x Finalmente se procede a simplificar la expresin ) 2 )( 4 (4 7 21 2) 1 )( 3 () 1 )( 3 () 2 (22+ ++ ++x xx xx xx xx xx x =) 2 )( 4 () 1 2 )( 4 () 1 2 )( 1 () 1 )( 3 () 1 )( 3 () 2 (+ + + ++ ++x xx xx xx xx xx x =1 + xx . Ejemplo 2.Decida si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta. a)El resultado de simplificar la expresin algebraica x x xx xx x xxx xx x6 598 12 43 14 89 49 63 10 82 322 3222+ ++ ||.|

\|+ ++ +

esunafraccinquetienepor numerador un polinomio de segundo grado. Respuesta: La factorizacin de los polinomios del numerador y denominador de la expresin dada es: ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 2 33 2 3 23 2 1 43 2 3 23 33 2 1 4+ + ||.|

\|+ ++ + + +x x xx xx x xx xx xx x UNIVERSIDAD METROPOLITANA ELEMENTOS DE MATEMTICA 2 (FGPMM02) 11 y al factorizarla y simplificarla se tiene: ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 323 2 3 22 33 2 1 43 2 3 23 33 2 1 4++= + +||.|

\|+ ++ + + +xxx xx x xx x xx xx xx x Por lo tanto, la proposicin es falsa, ya que en el resultado obtenido el polinomio del numerador es de grado uno. b)Alsustituir3 = x enlaexpresinsimplificadadelitemanterior,elresultado que se obtiene es un nmero entero. Respuesta:Al sustituir3 = xen 32++xx seobtiene 65 . Porlotanto,laproposicinesfalsa,yaquealdividirelnumeradorentreel denominador,elresultadoobtenidoesunaexpresindecimal(noesunnmero entero). c)El resultado de simplificar la expresin algebraica 4 3 3 33 236 244y x y xy x es una fraccin cuyo numerador es un polinomio primo. Respuesta: Alsustituirelpolinomio24x3y3-36x3y3porsuexpresinfactorizadaseobtiene( ) y yy x3 2 12x43 33 2,yalsimplificarquedalafraccin ) y 3 2 ( x 31cuyo denominador no es polinomio primo porque puede escribirse como el producto de dos polinomios con coeficientes enteros. Por lo tanto, la proposicin es falsa. UNIVERSIDAD METROPOLITANA ELEMENTOS DE MATEMTICA 2 (FGPMM02) 12 Ejercicio 1. Simplifique al mximo las siguientes fracciones algebraicas: 1. 4 3 3 33 236 244y x y xy x

R: ) y 3 2 ( x 31 2. a a aa a10 8 2252 33 + R:) 1 a ( 25 a 3. x x xy x xy63 15 183 3 2 22 3 + + R:) 7 x 3 ( x 31 y+ 4. xy x y xa ax+ 223 39R:y x) 3 x ( a+ 5.3213 2aa a + R:2a a 13 a 2+ ++ 6. xaaxxa+1R:ax a 7.1111111++x xxx x R:1 x22+ 8. 21662121+ + xxxx R:2 x5 x+ 9. ||.|

\| + ||.|

\|++yxy xxy1212 2 R:2 2y x) y x ( y++ 10. 6 566 53 42222+ ++ ++ x xx xx xx x R:2 x1 x+ 11. 5 44 52622 3 422 3 ++ + + x xx x xx xx x xR:) 1 x )( 4 x ( x) 5 x )( 3 x ( x2+ ++ 12. 6418 6 264 32 4322 32 3 4+ ++ +xxx x xx x x R:16 x 4 x) 1 x ( x 22+ + UNIVERSIDAD METROPOLITANA ELEMENTOS DE MATEMTICA 2 (FGPMM02) 13 13. 1 21112223+ ++ +y yy yyy R:1 y + 14. 110 34 43 22222+ + + +xx xx xx xR: ) 1 x )( 2 x () 5 x )( 3 x (+ + + 15. 6 566 53 42222+ ++ ++ x xx xx xx x R:2 x1 x++ 16. 710 75 67 8222 + ++ + xx xx xx x R: 5 x) 2 x )( 5 x ( + + 17. 2 2 23 31122 + + |.|

\|++a aa aaaaaR: ) 1 a ( a) 1 a )( 2 a (+ + 18. 524 52056491222222+ ||.|

\| + xx xx xx xxx xR: 7 x1 19. ||.|

\|||.|

\|+++12 3 24 2 12 6 6 31aa aaa aaaR: 2 a1 a+ 20.4 12 93 14 82 39 12 46 13 63 10 8222222+ ++ +||.|

\|++ ++ + x xx xx xx xx xx xR: x3 x 2 Ejercicio 2.Decida si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta. a)El resultado de simplificar la expresin algebraica 4 924 58 24 8 33 322 32222 + ||.|

\|+ + ++ +xx x xx xx xx xx x esunafraccinquetienepor denominador un polinomio de primer grado. b)Alsustituir4 = x enlasimplificacindelaexpresin 21662121+ + xxxx,el resultado que se obtiene es un nmero entero. c)El resultado de simplificar la expresin algebraica 2 2 23 31122 + + |.|

\|++a aa aaaaa es una fraccin cuyo numerador es un polinomio primo.