INTRODUCCIN

Todos los objetos creados por el hombre, desde un simple alfiler hasta la ms compleja maquinaria, planta industrial, obra civil, etc,

son concebidos inicialmente en forma mental, y antes de su fabricacin deben ser descritos con toda precisin para resolver con exactitud cualquier problema relacionado con su forma, tamao y

funcionalidad. En respuesta a esta necesidad surge la Geometra Descriptiva, la cual se encarga de definir correctamente las tcnicas de la representacin plana (proyeccin) de los objetos tridimensionales antes despus de su existencia real.

De manera que estudiar Geometra Descriptiva es estudiar el mundo que nos rodea, es describir la forma de: tornillos, resortes,

engranajes; relojes; sillas; mesas; televisores; carros; casas; urbanizaciones, carreteras, represas, planetas, galaxias, en fin, todos los objetos fsicos que nos rodean pueden ser concebidos por el

hombre mediante representaciones planas de los mismos, y es la Geometra Descriptiva la que define las reglas que rigen la elaboracin de estas proyecciones.

BREVE RESEA HISTRICA

Aunque los hombres no han podido ponerse de acuerdo para llegar a un lenguaje mundial de palabras y frases, ha existido un lenguaje realmente universal desde los tiempos mas remotos: el lenguaje

grfico. La idea de comunicar los pensamientos de una persona a otra por medio de figuras existi desde la antigedad. Esto se evidencia en las figuras sobre pieles, piedras, paredes de cavernas, etc. hechas

por los hombres primitivos para registrar sus ideas.

En cuanto a la escritura, los registros mas antiguos son figuras como

lo prueban los jeroglficos egipcios. Mas adelante, estas figuras fueron simplificadas y transformadas en los smbolos abstractos que dieron origen a la escritura actual, la cual tiene por lo tanto su fundamento

en el dibujo.

A manera de ejemplo se muestra en la figura como a partir de los

jeroglficos egipcios: Aleph (buey) y Nahas (serpiente), pueden haber evolucionado los caracteres latinos (A y N) respectivamente.

En trminos generales la representacin grfica se desarroll bsicamente en dos direcciones distintas: a) la artstica y b) la

tcnica. Con respecto a la representacin artstica puede researse que en la antigedad prcticamente todo el mundo era iletrado, no exista la imprenta, por lo tanto no haba peridicos ni libros, y los

pocos que haba eran manuscritos realizados en papiro o pergamino y no eran asequibles al pblico. En general la gente aprenda escuchando, mirando esculturas, dibujos, cuadros, expuestos en

lugares pblicos. El artista no era simplemente un artista, era tambin un maestro, un filsofo, un medio de expresin y comunicacin. En cuanto a la representacin tcnica, se desarroll desde los comienzos de la historia registrada ante la necesidad de

representar los objetos diseados para su posterior construccin o fabricacin. En efecto, de las ruinas de antiguos edificios, acueductos, puentes, y otras estructuras de buena construccin se deduce que no

pudieron haberse levantado sin la previa elaboracin de dibujos cuidadosamente preparados que sirvieran de gua a sus constructores. En una breve cronologa pueden citarse como aspectos

mas determinantes los siguientes:

El dibujo tcnico mas antiguo que se conoce es un grabado realizado

sobre una loseta de piedra que representa el diseo en planta de una fortaleza, realizado alrededor del ao 4000 a.C. por el Ingeniero caldeo Gudea.

En el ao 30 a.C., el Arquitecto romano Vitruvius escribi un tratado sobre Arquitectura.

Se atribuye, a principios de siglo quince, a los Arquitectos italianos Alberti, Brunelleschi y otros el desarrollo de la teora de las proyecciones de objetos sobre planos imaginarios de proyeccin

(proyeccin en vistas).

Remontndonos a tiempos mas recientes Leonardo da Vinci usaba

dibujos para transmitir a los dems sus ideas y diseos de construcciones mecnicas y aunque no est muy claro que haya hecho dibujos en los que aparecieran vistas ortogrficas es muy

probable que los hubiera hecho. De hecho, el tratado de Leonardo da Vinci sobre pintura, publicado en 1651, se considera como el primer

libro impreso sobre la teora de dibujo de proyecciones; pero esta enfocado a la perspectiva, no a la proyeccin ortogrfica.

En cuanto a la geometra (parte de la matemtica que se ocupa de las propiedades, medidas y relaciones entre puntos, lneas, ngulos, superficies y cuerpos), tuvo su origen en Egipto hacia el ao 1700

a.C., y su desarrollo se debi a la necesidad prctica de la medicin de terrenos. Hacia el ao 600 a.C. Tales de Mileto la introdujo en Grecia y fund la escuela jnica. Su discpulo Pitgoras fund la escuela pitagrica que dio gran avance a la geometra demostrando,

entre otros su famoso teorema para los tringulos rectngulos (a2+b2=h2). Otros personajes destacados en este campo fueron: Zenn, Hippias, Platn, Hipcrates, Eudoxio, Arqumides, etc.

Posteriormente, en el siglo tres a.C., Euclides, en su obra "Elementos", culmina una prolongada evolucin de las ideas y

establece de forma sistemtica los fundamentos de la geometra elemental. Durante la edad media se observ poco avance en el campo de la geometra, contrariamente al desarrollo extraordinario

que se observ en la edad moderna, en la cual Desargues estableci los fundamentos de la geometra proyectiva y Monge los de la geometra descriptiva, la cual es la gramtica del lenguaje grfico.

Con respecto a la geometra descriptiva sus comienzos estn asociados en los problemas que se encontraron en el diseo de edificios y fortificaciones militares en Francia en el siglo dieciocho. Se

considera a Gaspar Monge (1746-1818), ya citado, como el "inventor" de la geometra descriptiva, aunque precedieron a sus esfuerzos varias publicaciones sobre estereotoma (arte y tcnica de

tallar la madera o piedra con fines constructivos), arquitectura, y perspectiva donde ya se aplicaban muchos de los conceptos de la geometra descriptiva. Fue a finales del siglo dieciocho cuando

Monge, siendo profesor de la Escuela Tecnolgica de Francia, desarroll los principios de la proyeccin que constituyen la base del dibujo tcnico de hoy en da. Pronto se reconoci que estos principios

de la geometra descriptiva tenan gran importancia militar y se oblig a Monge a mantenerlos en secreto hasta 1795, ao a partir del cual se convirtieron en parte importante de la educacin tcnica en Francia y Alemania. Posteriormente en los Estados Unidos. Su libro La

Gomtrie Descriptive, se considera aun como el primer texto para exponer los principios bsicos del dibujo de proyectistas.

Los principios de Monge llegaron a los Estados Unidos en 1816 y los trajo el Sr. Claude Crozet, profesor de la Academia Militar de West Point. El profesor Crozet publico en 1821 el primer texto en ingls

sobre geometra descriptiva. En los aos siguientes se convirtieron

estos principios en parte regular del plan de estudios de los primeros aos de ingeniera en el Instituto Politcnico Rensselaer, en la

Universidad de Harvard, en la Universidad de Yale, y en otras, convirtindose de esta forma hoy en da la geometra descriptiva en materia de estudio en los primeros aos de las carreras de Ingeniera

y Arquitectura en la gran mayora de las universidades del mundo.

BREVE RESEA HISTRICA

Aunque los hombres no han podido ponerse de acuerdo para llegar a

un lenguaje mundial de palabras y frases, ha existido un lenguaje realmente universal desde los tiempos mas remotos: el lenguaje grfico. La idea de comunicar los pensamientos de una persona a otra por medio de figuras existi desde la antigedad. Esto se evidencia

en las figuras sobre pieles, piedras, paredes de cavernas, etc. hechas por los hombres primitivos para registrar sus ideas.

En cuanto a la escritura, los registros mas antiguos son figuras como lo prueban los jeroglficos egipcios. Mas adelante, estas figuras fueron simplificadas y transformadas en los smbolos abstractos que dieron

origen a la escritura actual, la cual tiene por lo tanto su fundamento en el dibujo.

A manera de ejemplo se muestra en la figura como a partir de los jeroglficos egipcios: Aleph (buey) y Nahas (serpiente), pueden haber evolucionado los caracteres latinos (A y N) respectivamente.

En trminos generales la representacin grfica se desarroll bsicamente en dos direcciones distintas: a) la artstica y b) la tcnica. Con respecto a la representacin artstica puede researse

que en la antigedad prcticamente todo el mundo era iletrado, no exista la imprenta, por lo tanto no haba peridicos ni libros, y los pocos que haba eran manuscritos realizados en papiro o pergamino y

no eran asequibles al pblico. En general la gente aprenda escuchando, mirando esculturas, dibujos, cuadros, expuestos en lugares pblicos. El artista no era simplemente un artista, era

tambin un maestro, un filsofo, un medio de expresin y comunicacin. En cuanto a la representacin tcnica, se desarroll

desde los comienzos de la historia registrada ante la necesidad de representar los objetos diseados para su posterior construccin o fabricacin. En efecto, de las ruinas de antiguos edificios, acueductos,

puentes, y otras estructuras de buena construccin se deduce que no pudieron haberse levantado sin la previa elaboracin de dibujos cuidadosamente preparados que sirvieran de gua a sus

constructores. En una breve cronologa pueden citarse como aspectos ms determinantes los siguientes:

El dibujo tcnico mas antiguo que se conoce es un grabado realizado

sobre una loseta de piedra que representa el diseo en planta de una fortaleza, realizado alrededor del ao 4000 a.C. por el Ingeniero caldeo Gudea.

En el ao 30 a.C., el Arquitecto romano Vitruvius escribi un tratado sobre Arquitectura.

Se atribuye, a principios de siglo quince, a los Arquitectos italianos Alberti, Brunelleschi y otros el desarrollo de la teora de las

proyecciones de objetos sobre planos imaginarios de proyeccin (proyeccin en vistas).

Remontndonos a tiempos mas recientes Leonardo da Vinci usaba dibujos para transmitir a los dems sus ideas y diseos de construcciones mecnicas y aunque no est muy claro que haya hecho dibujos en los que aparecieran vistas ortogrficas es muy

probable que los hubiera hecho. De hecho, el tratado de Leonardo da Vinci sobre pintura, publicado en 1651, se considera como el primer libro impreso sobre la teora de dibujo de proyecciones; pero esta

enfocado a la perspectiva, no a la proyeccin ortogrfica.

En cuanto a la geometra (parte de la matemtica que se ocupa de

las propiedades, medidas y relaciones entre puntos, lneas, ngulos, superficies y cuerpos), tuvo su origen en Egipto hacia el ao 1700 a.C., y su desarrollo se debi a la necesidad prctica de la medicin

de terrenos. Hacia el ao 600 a.C. Tales de Mileto la introdujo en Grecia y fund la escuela jnica. Su discpulo Pitgoras fund la escuela pitagrica que dio gran avance a la geometra demostrando, entre otros su famoso teorema para los tringulos rectngulos

(a2+b2=h2). Otros personajes destacados en este campo fueron: Zenn, Hippias, Platn, Hipcrates, Eudoxio, Arqumides, etc.

Posteriormente, en el siglo tres a.C., Euclides, en su obra "Elementos", culmina una prolongada evolucin de las ideas y establece de forma sistemtica los fundamentos de la geometra

elemental. Durante la edad media se observ poco avance en el

campo de la geometra, contrariamente al desarrollo extraordinario que se observ en la edad moderna, en la cual Desargues estableci

los fundamentos de la geometra proyectiva y Monge los de la geometra descriptiva, la cual es la gramtica del lenguaje grfico.

Con respecto a la geometra descriptiva sus comienzos estn asociados en los problemas que se encontraron en el diseo de edificios y fortificaciones militares en Francia en el siglo dieciocho. Se

considera a Gaspar Monge (1746-1818), ya citado, como el "inventor" de la geometra descriptiva, aunque precedieron a sus esfuerzos varias publicaciones sobre estereotoma (arte y tcnica de tallar la madera o piedra con fines constructivos), arquitectura, y

perspectiva donde ya se aplicaban muchos de los conceptos de la geometra descriptiva. Fue a finales del siglo dieciocho cuando Monge, siendo profesor de la Escuela Tecnolgica de Francia,

desarroll los principios de la proyeccin que constituyen la base del dibujo tcnico de hoy en da. Pronto se reconoci que estos principios de la geometra descriptiva tenan gran importancia militar y se oblig

a Monge a mantenerlos en secreto hasta 1795, ao a partir del cual se convirtieron en parte importante de la educacin tcnica en Francia y Alemania. Posteriormente en los Estados Unidos. Su libro La

Geometra Descriptive, se considera aun como el primer texto para exponer los principios bsicos del dibujo de proyectistas.

Los principios de Monge llegaron a los Estados Unidos en 1816 y los

trajo el Sr. Claude Crozet, profesor de la Academia Militar de West Point. El profesor Crozet publico en 1821 el primer texto en ingls sobre geometra descriptiva. En los aos siguientes se convirtieron

estos principios en parte regular del plan de estudios de los primeros aos de ingeniera en el Instituto Politcnico Rensselaer, en la Universidad de Harvard, en la Universidad de Yale, y en otras,

convirtindose de esta forma hoy en da la geometra descriptiva en materia de estudio en los primeros aos de las carreras de Ingeniera y Arquitectura en la gran mayora de las universidades del mundo.

Captulo 1

CONCEPTOS BSICOS

Cualquier objeto puede sintetizarse mediante sus elementos

geomtricos ms simples: puntos, lneas, superficies, ngulos, etc. Es por lo tanto necesario que el estudiante de Geometra Descriptiva domine y exprese estos conceptos en forma correcta, razn por la

cual se inicia la presente obra con este tema, en el cual se describen en forma simple los conceptos geomtricos bsicos de mayor uso en el estudio de la Geometra Descriptiva.

Adems, pensando en la ejercitacin prctica del estudiante en la resolucin de problemas de Geometra Descriptiva, se incluyen en

este punto las nociones bsicas de trazado y manejo de escuadras y comps, finalizando con una breve descripcin del concepto de escala.

Se supone que todo el contenido antes descrito es del conocimiento previo del estudiante de Geometra Descriptiva, razn por la cual se presenta este captulo en forma concisa y con carcter principalmente

informativo.

CONCEPTOS GEOMTRICOS

Punto

Es la representacin de una posicin fija del espacio. No es un objeto

fsico, por lo tanto carece de forma y dimensiones.

Algunas formas de representar un punto

Lnea

Es una sucesin infinita de puntos.

Las lneas se clasifican bsicamente en:

recta, poligonal,

curva.

Tipos de lnea

Recta

Lnea de direccin constante. Una recta puede ser definida por dos

puntos a los que une recorriendo su menor distancia.

Partes de una Recta:

semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos,

segmento: porcin de una recta comprendida entre dos de sus puntos.

Partes de una recta

Posicin Relativa entre dos Rectas

Segn la posicin relativa en que se encuentren dos rectas, se definen como:

rectas que se cortan: si tienen un punto en comn. En este caso estn contenidas en un plano,

rectas paralelas: si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En este caso estn contenidas en un plano,

rectas que se cruzan: si no se cortan ni son paralelas. En este caso no estn contenidas en un plano

posicin relativa entre dos rectas

Poligonal

Lnea formada por segmentos rectos consecutivos no alineados. Se clasifican en:

poligonal abierta: si el primer y ltimo segmentos no estn unidos,

poligonal cerrada: si cada segmento esta unido a otros dos.

Poligonal

Curva

Lnea del plano o del espacio que no tiene segmentos rectos. Las curvas se clasifican en:

Cnica

Curva que se genera al seccionar un cono recto de revolucin con un plano. La cnicas son cuatro y su formacin depende de la relacin

entre los ngulos ( : ngulo que forma el plano seccionante ( ) con el plano

base del cono) y ( : ngulo que forman las generatrices del cono con el plano

base del mismo) como se describe a continuacin:

circunferencia: se forma cuando el plano seccionante ( ) es

paralelo al plano base del cono, por lo tanto =00,

elipse: se forma cuando < ,

parbola: se forma cuando ,

hiprbola: se forma cuando ,

cnica

El estudio de las cnicas es de gran importancia en los campos de la ptica, astronoma, fsica, biologa, informtica e ingeniera, entre

otras, ya que son la base del diseo de lentes, espejos, y superficies elpticas, circulares parablicas e hiperblicas; componentes esenciales de: microscopios, telescopios, radares, antenas

parablicas, teodolitos, distancimetros y muchos otros instrumentos de gran uso en estas ciencias.

Curva Matemtica, Fsica, Estadstica, etc.

Estas curvas son generadas por ecuaciones propias de cada una de estas ciencias y su estudio es de gran utilidad en la solucin de problemas relacionados con las mismas.

Curva trigonomtrica

Espiral de Arqumides

Curva del plano, generada por un punto (P) que se mueve con velocidad lineal constante (v), a lo largo de una recta (a); mientras esta gira, con velocidad angular uniforme ( ), alrededor de un punto

fijo contenido en ella.

espiral de Arqumides

Involuta (Envolvente)

Curva del plano, generada por un punto fijo (P) de un hilo, mientras este se desenrolla a partir de un segmento, polgono regular

circunferencia.

La involuta de un crculo se utiliza en la construccin de los dientes

de engranajes.

involuta o envolvente

Cicloide

Curva del plano, generada por un punto fijo (P) de una circunferencia, que ruede sin deslizarse a lo largo de una recta (a).

Las cicloides tienen aplicacin en la construccin de los dientes de engranajes.

Cicloide

Catenaria

Curva plana que forma, por la accin de su propio peso, un hilo,

completamente homogneo, flexible e inextensible, cuando se fijan dos de sus puntos.

La catenaria, tiene gran aplicacin en el diseo de lneas de telefrico,

lneas elctricas y puentes colgantes, entre otros, ya que los cables, al ser suspendidos, generan este tipo de curvas y su estudio, permite determinar los esfuerzos a que sern sometidos, por la accin de su

propio peso y dems fuerzas que pudieran estar aplicadas sobre ellos.

Catenaria

Hlice

Curva del espacio, generada por un punto (P), de una recta (a); la cual se desplaza, con velocidad constante (v) y a su vez rota, con velocidad constante ( ), sobre otra recta (e), con la que se corta. Las

hlices se clasifican en:

hlice cilndrica. Si el punto (P) que la genera, es un punto fijo de la recta (a),

hlice cnica. Si el punto (P) que la genera, se mueve, con velocidad lineal constante (vo), a lo largo de la recta (a).

Entre otras aplicaciones, las hlices se utilizan en ingeniera

mecnica, para el diseo de roscas de tornillos y tornillos sin fin y en ingeniera civil y arquitectura en el diseo de escaleras en espiral (escaleras de caracol).

Hlice

ngulo

Porcin de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen comn.

Clasificacin de los ngulos, segn su

Medida Angular

Segn su medida angular en grados sexagesimales (un grado sexagesimal es la 90

a. parte del ngulo recto), un ngulo se define como:

ngulos Consecutivos

Son dos ngulos ubicados uno a continuacin del otro. Se denominan:

ngulos complementarios: si suman 900,

ngulos suplementarios: si suman 1800.

ngulos consecutivos

ngulos Opuestos y ngulos Adyacentes

Dos rectas que se cortan definen cuatro ngulos, los cuales, tomados en pares se definen como:

ngulos opuestos: si no poseen ninguna semirrecta comn. En este caso sus medidas angulares son iguales,

ngulos adyacentes: si poseen una semirrecta comn. En este caso son ngulos suplementarios.

ngulos opuestos y ngulos adyacentes

ngulos Alternos y ngulos Correspondientes

Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, se forman ocho ngulos, los cuales, considerados en pares de igual medida

angular, se denominan:

ngulos alternos, clasificados a su vez en: o ngulos alternos internos, o ngulos alternos externos,

ngulos correspondientes.

ngulos alternos

ngulos correspondientes

Polgono

Figura geomtrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se corta a si misma.

Clasificacin de los Polgonos

Los polgonos se clasifican bsicamente en:

polgonos regulares

polgonos irregulares

Polgono Regular

Polgono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vrtices estn circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en:

tringulo equiltero: polgono regular de 3 lados, cuadrado: polgono regular de 4 lados, pentgono regular: polgono regular de 5, hexgono regular: polgono regular de 6 lados, heptgono regular: polgono regular de 7 lados, octgono regular: polgono regular de 8 lados,... y as

sucesivamente.

Polgono regular

Polgono Irregular

Polgono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vrtices no estn contenidos en una circunferencia. De acuerdo al nmero de sus lados, se denominan:

tringulo: polgono de 3 lados, cuadriltero: polgono de 4 lados, pentgono: polgono de 5 lados, hexgono: polgono de 6 lados, heptgono: polgono de 7 lados, octgono: polgono de 8 lados,... y as sucesivamente.

Polgono irregular

Tringulo

Polgono de tres lados. De acuerdo a la magnitud de sus ngulos, los tringulos se clasifican en:

tringulo issceles: 2 ngulos iguales, tringulo escaleno: 3 ngulos diferentes, tringulo rectngulo: 1 ngulo recto, tringulo obtusngulo: 1 ngulo obtuso,

tringulo acutngulo: 3 ngulos agudos.

Tringulo: polgono de 3 lados

Cuadriltero

Polgono de 4 lados. Se clasifican en:

paralelogramo: cuadriltero en el que los lados opuestos son paralelos, se denominan a su vez:

o rectngulo: paralelogramo en el cual los cuatro ngulos son rectos, pero los lados adyacentes no son de igual longitud,

o rombo: paralelogramo que no tiene ngulos rectos, pero sus lados son de igual longitud,

o romboide: paralelogramo que no tiene ngulos rectos y sus lados adyacentes no son de igual longitud,

trapecio: cuadriltero que tiene solo dos lados paralelos, se definen a su vez como:

o trapecio rectngulo: trapecio que tiene dos ngulos rectos,

o trapecio issceles: trapecio en el que sus lados no paralelos son de igual longitud,

trapezoide: cuadriltero que no tiene lados paralelos.

Cuadriltero: polgono de 4 lados

Superficie

Configuracin geomtrica que posee solo dos dimensiones.

Superficie

Clasificacin de las Superficies

Entre las superficies principales se pueden mencionar:

crculo superficie reglada

superficie de curvatura doble

Crculo

Superficie plana limitada por una circunferencia.

Circunferencia, crculo y sus partes

Superficie reglada

Superficie generada por el movimiento de una recta, denominada generatriz, mantenindose en contacto con otra u otras lneas, denominadas directrices, cumpliendo adems en su desplazamiento

ciertas condiciones particulares.

Superficie reglada

Entre las superficies regladas se pueden mencionar:

plano, superficies de curvatura simple,

superficies alabeadas.

Plano

Superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), que se mantiene en contacto con una directriz (d) recta, siendo paralelas todas las posiciones de la generatriz.

Plano

Superficie de curvatura simple

Superficie reglada en la cual cada dos posiciones adyacentes de la generatriz (g) son coplanares (son paralelas o se cortan).

Las superficies de curvatura simple son superficies desarrollables, es decir, pueden extenderse sobre un plano. Ejemplos de estas

superficies son:

superficie cilndrica: superficie generada por el movimiento de una generatriz (g) que se mantiene en contacto con una

directriz (d) curva, siendo adems paralelas todas las posiciones de la generatriz; se clasifican en:

o superficie cilndrica de revolucin: superficie cilndrica en la cual todas las posiciones de la generatriz (g) equidistan de un eje (e), paralelo a ella,

o superficie cilndrica de no revolucin: superficie cilndrica en la cual no es posible definir un eje (e) que

equidiste de todas las posiciones de la generatriz (g), superficie cnica: superficie reglada generada por el

movimiento de una generatriz (g), mantenindose en contacto con una directriz (d) curva, teniendo, todas las posiciones de la

generatriz (g), un punto comn (V), denominado vrtice; se clasifican en:

o superficie cnica de revolucin: superficie cnica en la cual, todas las posiciones de la generatriz (g), forman el mismo ngulo con un eje (e), que pasa por el vrtice (V),

o superficie cnica de n revolucin: superficie cnica en la cual no es posible definir un eje (e), que forme el mismo ngulo con todas las posiciones de la generatriz.

Superficie de curvatura simple

Superficie alabeada

Es una superficie reglada n desarrollable, es decir, en la cual, dos posiciones sucesivas de la generatriz no son coplanares. Entre este

tipo de superficies, se puede citar:

cilindroide: la generatriz (g) se desplaza mantenindose paralela a un plano director ( ) y apoyada sobre dos directrices

(d1 y d2) curvas, conoide: la generatriz (g) se desplaza mantenindose paralela

a un plano director ( ) y apoyada sobre dos directrices, siendo una de ellas recta (d1) y la otra curva (d2).

Superficie doblemente reglada: Superficie alabeada en la cual por cada uno de sus puntos pasan dos generatrices (g1 y g2). Entre ellas se pueden citar:

o paraboloide hiperblico: la generatriz (g) se desplaza mantenindose paralela a un plano director ( ) y apoyada

sobre dos directrices rectas (d1 y d2) que se cruzan, o hiperboloide de revolucin: la generatriz (g) se apoya

sobre dos directrices (d1 y d2) circulares, paralelas, y se mueve manteniendo constante el ngulo ( ) que forma

ellas.

Superficie de curvatura doble

Son superficies generadas por el movimiento de una generatriz (g) curva. Estas superficies no contienen lneas rectas y por lo tanto no son desarrollables. Entre ellas son muy conocidas las cudricas, las

cuales son superficies generadas por la rotacin de una curva cnica alrededor de uno de sus ejes. Las cudricas son:

esfera: la generatriz (g) es una circunferencia, elipsoide: la generatriz (g) es una elipse, paraboloide: la generatriz (g) es una parbola,

hiperboloide: La generatriz (g) es una hiprbola.

Superficie de curvatura doble

Slido

Espacio limitado por superficies.

Clasificacin de los Slidos

Los slidos se clasifican bsicamente en:

poliedros cuerpos redondos

Poliedro y cuerpo redondo

Poliedro

Slido limitado por superficies planas (polgonos). Sus partes se

denominan:

caras: polgonos que limitan al poliedro, aristas: lados de las caras del poliedro,

vrtices: puntos donde concurren varias aristas.

Clasificacin de los Poliedros

Los poliedros se clasifican bsicamente en:

poliedros regulares

poliedros irregulares

Poliedro Regular

Poliedro cuyas caras son polgonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vrtices

estn contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan:

tetraedro regular: poliedro regular definido por 4 tringulos equilteros iguales,

hexaedro regular (cubo): poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales,

octaedro regular: poliedro regular definido por 8 tringulos equilteros iguales,

dodecaedro regular: poliedro regular definido por 12 pentgonos regulares iguales,

icosaedro regular: poliedro regular definido por 20 tringulos equilteros iguales.

poliedros regulares

Poliedro Irregular

Poliedro definido por polgonos que no son todos iguales.

Clasificacin de los Poliedros Irregulares

Los poliedros irregulares se clasifican bsicamente en:

tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro, pirmide

prisma

Denominacin de los poliedros irregulares, segn el nmero de sus caras

Pirmide

Poliedro definido por un polgono base y cuyas caras laterales son tringulos que poseen un vrtice comn (V), denominado vrtice de la pirmide, que no est contenido en el plano base. La recta que pasa por el vrtice de la pirmide y el centro geomtrico de la base

se denomina eje de la pirmide (e). Las pirmides se clasifican en:

pirmide recta: el eje es perpendicular al polgono base, pirmide oblicua: el eje no es perpendicular al polgono base, pirmide regular: la base es un polgono regular,

o pirmide regular recta: la base es un polgono regular y el eje es perpendicular al polgono base.

o pirmide regular oblicua: la base es un polgono regular y el eje no es perpendicular al polgono base.

Pirmides

Prisma

Poliedro definido por dos polgonos iguales y paralelos (bases) y cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que une los centros geomtricos de las bases se denomina eje del

prisma (e). Los prismas se clasifican en:

prisma recto: el eje es perpendicular a los polgonos base, prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los polgonos

base,

prisma regular: las bases son polgonos regulares, o prisma regular recto: las bases son polgonos regulares

y el eje es perpendicular a los polgonos base.

o prisma regular oblicuo: las bases son polgonos regulares y el eje no es perpendicular a los polgonos base.

paraleleppedo: prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuos

Prismas

Cuerpo Redondo

Slido que contiene superficies curvas.

Clasificacin de los Cuerpos Redondos

Los cuerpos redondos se clasifican bsicamente en:

cilindro cono

slido de revolucin

Cilindro

Cuerpo redondo limitado por una superficie cilndrica y dos bases planas paralelas. La recta que pasa por los centros geomtricos de las bases se denomina eje del cilindro (e), y es paralela a la generatriz (g) de la superficie cilndrica. Los cilindros pueden ser:

cilindro recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases, cilindro oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases, cilindro de revolucin: si est limitado por una superficie

cilndrica de revolucin. Pueden a su vez ser: o cilindro de revolucin recto: si el eje (e), es

perpendicular a las bases, o cilindro de revolucin oblicuo: si el eje (e), no es

perpendicular a las bases.

Cilindro

Cono

Cuerpo redondo limitado por una superficie cnica y por una base plana. La recta que pasa por el vrtice (V), de la superficie cnica y el centro geomtrico de la base se denomina eje del cono (e). Los conos

pueden ser:

cono recto: si el eje (e), es perpendicular a la base, cono oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base, cono de revolucin: si est limitado por una superficie cnica

de revolucin. Pueden a su vez ser: o cono de revolucin recto: si el eje (e), es perpendicular

a la base,

o cono de revolucin oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base.

Cono

Slido de revolucin

Cuerpo redondo limitado por una generatriz (g) curva, que rota

alrededor de un eje (e). Entre ellos se pueden mencionar:

slidos limitados por superficies cuadricas: o esfera: la generatriz es una circunferencia, o elipsoide: la generatriz es una elipse, o paraboloide: la generatriz es una parbola, o hiperboloide: la generatriz es una hiprbola,

toro (anillo). Su superficie la genera una circunferencia una elipse, que gira alrededor de un eje (e), coplanar con ella, y

situado fuera de ella.

Slidos de revolucin

TRAZADO

Tipos de Trazado

El Juego de Escuadras

Un juego de escuadras se compone de una escuadra y un cartabn. Siendo la hipotenusa de la escuadra de igual longitud que el cateto

mayor del cartabn.

Juego de escuadras

Trazado de Rectas con las

Escuadras

trazado de rectas paralelas

trazado de rectas perpendiculares

trazado de rectas a 150

trazado de rectas a 300

trazado de rectas a 450

trazado de rectas a 600

trazado de rectas a 750

Determinacin del Punto Medio

de un Segmento

Para determinar el punto medio del segmento (A-B):

trace dos arcos de igual radio, uno con centro en (A) y otro en

(B), trace la recta (r) definida por los puntos de corte de ambos

arcos,

la recta (r) es perpendicular al segmento (A-B) y lo corta en el punto medio (M) buscado.

Determinacin del punto medio de un segmento

Divisin de un Segmento en

(n) Partes Iguales

ejemplo: divisin de un segmento en 5 partes iguales

Trazado de una Recta

Tangente a una Circunferencia

por un punto (T) de ella

por un punto (A) externo a ella

Dibujo de un Tringulo

Equiltero

conocido un vrtice (A) y su centro geomtrico (O)

conocido un lado (A-B) \ utilizando comps

Dibujo de un Cuadrado

conocido un vrtice (A) y su centro geomtrico (O)

conocido un lado (A-B)

Dibujo de un Pentgono

Regular

Conocido un vrtice (A) y su centro geomtrico (O)

Conocido un lado (A-B)

Dibujo de un Hexgono

Regular

conocido un vrtice (A) y su centro geomtrico (O)

conocido un lado (A-B)

Dibujo de un Heptgono

Regular

conocido un vrtice (A) y su centro geomtrico (O)

conocido un lado (A-B)

Dibujo de un Octgono Regular

conocido un vrtice (A) y su centro geomtrico (O)

conocido un lado (A-B)

Mtodos Generales de Trazado

de Polgonos Regulares de Cualquier Nmero de Lados

A continuacin se describen algunos mtodos generales de trazado de

polgonos regulares segn se conozca:

un vrtice del polgono regular y la circunferencia que lo circunscribe

un lado del polgono regular

Trazado de un Polgono Regular de

Cualquier Nmero de Lados, Conocido un Vrtice y la Circunferencia que lo

Circunscribe

ejemplo: dibujo de un hexgono regular, conocido un vrtice (A) y su centro geomtrico

(O): n=6

3600/6=600

ejemplo: dibujo de un hexgono regular, conocido un vrtice (A) y su centro geomtrico

(O): n=6

Trazado de un Polgono Regular de

Cualquier Nmero de Lados, Conocido un Lado

ejemplo: dibujo de un hexgono regular, conocido un lado (A-B):

n=6 1800/6=300

ESCALA

Es la proporcin de aumento o disminucin que existe entre las

dimensiones reales y las dimensiones representadas de un objeto. En efecto, para representar un objeto de grandes dimensiones, deben dividirse todas sus medidas por un factor mayor que uno, en este

caso denominado escala de reduccin; y para representar objetos de pequeas dimensiones, todas sus medidas se multiplican por un

factor mayor que uno, denominado escala de ampliacin. La escala a utilizar se determina entonces en funcin de las medidas del objeto y las medidas del papel en el cual ser representado. El dibujo hecho a escala mantendr de esta forma todas las proporciones del objeto

representado, y mostrar una imagen de la apariencia real del mismo. Finalmente, deben indicarse sobre el dibujo las dimensiones del objeto real, y la escala en que ha sido elaborado.

A manera de ejemplo se presenta la ilustracin comparativa de un cuadrado de 2 cms. de lado dibujado en sus dimensiones reales (escala natural escala 1/1); multiplicando sus medidas por dos

(escala 2/1); y dividiendo sus medidas por (dos a escala 1/2).

Cuadrado dibujado a 3 escalas diferentes

Factores de Escalas de Reduccin y Ampliacin

escalas de reduccin

escal factor de longitud de

escalas de ampliacin

escal factor de longitud de

a reduccin representacin de 1 metro

1/1 1/1,25 1/2 1/2,5 1/5 1/7,5 1/10

1 1,25

2 2,5 5

7,5 10

100 cms. 80 cms. 50 cms. 40 cms. 20 cms.

13,33 cms. 10 cms

a aumento representacin de 1 cm.

1/1 1,33/1 2/1 4/1 5/1 8/1 10/1

1 1,33

2 4 5 8

10

1 cms. 1,33 cms.

2 cms. 4 cms. 5 cms. 8 cms.

10 cms.

Escalas

Para evitar la realizacin de multiplicaciones divisiones en la elaboracin de un dibujo a escala, se trabaja con reglas graduadas denominadas escalas, las cuales son construidas en base a los factores de reduccin ampliacin de las respectivas escalas.

Escalas

Escalmetro

Es una regla o juego de reglas que contiene simultneamente varias escalas diferentes.

Son muy comunes los escalmetros triangulares que contienen seis escalas.

Escalmetro

Captulo 2

SISTEMAS DE PROYECCIN

En este captulo se hace una breve descripcin de los sistemas de

proyeccin mas utilizados en Ingeniera y Arquitectura, describiendo el

fundamento bsico de la ejecucin de proyecciones en estos sistemas.

El objetivo principal del captulo es que el estudiante conozca estos sistemas

de proyeccin, y sepa identificar cuando un objeto esta representado en

cada uno de ellos. Al igual que el captulo anterior, el carcter del presente

capitulo es bsicamente informativo por lo tanto se presentan las

caractersticas mas esenciales de estos sistemas de proyeccin sin entrar en

descripciones profundas de sus mtodos de trabajo.

SISTEMA DE PROYECCIN

Un sistema de proyeccin es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyeccin de un objeto sobre una superficie. Como puede

observarse en la fig.1, en todo sistema de proyeccin intervienen cuatro elementos, denominados:

a) Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano, superficie, slido, etc; en fin cualquier elemento geomtrico objeto en s.

b) Punto de observacin. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera del espacio.

c) Superficie de proyeccin. Es la superficie sobre la cual se proyectar el objeto. Generalmente es un plano; aunque tambin puede ser una superficie esfrica, cilndrica,

cnica, etc.

d) Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto de observacin.

fig.1.\ Sistema de proyeccin

La proyeccin (P') de cualquier punto (P) del objeto se obtiene interceptando su proyectante con el plano de proyeccin.

PROYECCIN CILNDRICA

Se obtiene cuando el punto de observacin se encuentra a una distancia tan grande del objeto,

que permita considerar que las proyectantes son paralelas al interceptarse con el plano de

proyeccin (fig.2). Los principales tipos de proyeccin cilndrica son:

fig.2.\ Proyeccin cilndrica

1) Proyeccin ortogonal. Tambin denominada proyeccin ortogrfica. Se obtiene cuando las proyectantes son perpendiculares al plano de proyeccin. La proyeccin

ortogonal es muy utilizada en el diseo de piezas mecnicas y maquinarias\ fig.2a.

Los principales tipos de proyeccin ortogonal son:

i) Proyeccin en vistas mltiples. Cada vista es una proyeccin ortogrfica. Para

obtener una vista se coloca el plano de proyeccin preferentemente paralelo a una de

las caras principales del objeto\ fig.3.

fig.3.\ Vista ortogrfica

Los objetos se representan generalmente en tres vistas ortogrficas. Los mtodos

utilizados para determinar estas vistas son:

A) Proyeccin en el sptimo triedro (sptimo octante). Usado en los Estados Unidos y Canad.\ fig.4.

fig.4.\ Proyeccin en vistas mltiples en el sptimo triedro

B) Proyeccin en el primer triedro (primer octante). Usado en todo el mundo, excepto en los Estados Unidos y Canad.\ fig.5.

fig.5.\ Proyeccin en vistas mltiples en el primer triedro

ii) Proyeccin acotada. Es una proyeccin ortogonal sobre la que se acotan en cada punto, lnea, u objeto representado la altura (cota) del mismo con respecto a

cualquier plano de referencia que sea paralelo al plano de proyeccin\ fig.6. La

proyeccin acotada es muy prctica cuando es necesario representar grficamente

objetos irregulares; razn por la cual se usa frecuentemente para el diseo de

techos de viviendas; construccin de puentes, represas, acueductos, gasoductos,

carreteras, determinacin de reas de parcelas, trazado de linderos, y dibujos

topogrficos de plantas y perfiles de terrenos, entre otros.

fig.6.\ Proyeccin acotada

iii) Proyeccin axonomtrica. Se obtiene cuando el plano de proyeccin no es paralelo a ninguno de los tres ejes principales del objeto\ fig.7.

fig.7.\ Proyeccin axonomtrica

La proyeccin axonomtrica, dependiendo de los ngulos que forman entre s los ejes axonomtricos (proyecciones de los ejes principales del objeto), se denomina:

A) Proyeccin isomtrica. Se obtiene cuando los tres ngulos que forman los ejes axonomtricos son iguales. Al representar objetos en proyeccin isomtrica se

mide en una misma escala sobre los tres ejes isomtricos.\ fig.8

fig.8.\ Proyeccin isomtrica

B) Proyeccin dimtrica. Se obtiene cuando solo dos de los tres ngulos que forman los ejes axonomtricos son iguales. Al representar un objeto en proyeccin

dimtrica debe medirse en dos de los ejes axonomtricos con una misma escala y

con una escala diferente en el tercer eje axonomtrico. La forma grfica de

determinar la relacin entre las escalas sobre los tres ejes axonomtricos para

cualquier distribucin de los mismos, se muestra en la fig.10. No obstante, en la

fig.9, se muestran tres distribuciones muy usadas de ejes dimtricos con sus

respectivas escalas, estas proporciones difieren muy poco de los valores tericos

reales, los cuales de ser usados dificultaran grandemente la ejecucin de la

dimetra.

fig.9.\ Proyecciones dimtricas

C) Proyeccin trimtrica. Se obtiene cuando los tres ngulos que forman los ejes axonomtricos son diferentes. En la proyeccin trimtrica cada eje axonomtrico

posee su propia escala diferente a la de los otros dos.\ fig.10

fig.10.\ Proyeccin trimtrica

2) Proyeccin oblicua. Se obtiene cuando las proyectantes no son perpendiculares al plano de proyeccin (fig.2b). Preferentemente al dibujar en proyeccin oblicua se coloca

el plano de proyeccin paralelo a una de las caras principales del objeto; ya que de esta

forma dicha cara se proyectar en verdadero tamao\ fig.11.

fig.11.\ Proyeccin oblicua

Al definir una proyeccin oblicua el eje recedente (eje de profundidad del objeto) se puede

proyectar formando cualquier ngulo ( o) con respecto a los otros dos; e independientemente de

este ngulo ( o), la profundidad del objeto se puede proyectar tambin en cualquier longitud

(tericamente hasta una longitud infinita). Por lo tanto, al dibujar en proyeccin oblicua, se traza

el eje recedente a cualquier ngulo, y se miden las profundidades sobre el en cualquier escala\

fig.12.

fig.12.\ Proyeccin oblicua

Sin embargo, la escala a utilizar para el eje recedente debe elegirse en forma intuitiva, en

funcin del ngulo en que se dibuje, de modo que la representacin del objeto muestre

una apreciacin real de su forma y proporciones. Entre las proyecciones oblicuas mas

utilizadas se pueden mencionar:

i) Proyeccin caballera Se origin en el dibujo de las fortificaciones medievales.\ fig.13

fig.13.\ Proyeccin caballera

ii) Proyeccin de gabinete Recibe este nombre debido a que se us grandemente en la industria del mueble.\ fig.14

fig.14.\ Proyeccin de gabinete

iii) Proyeccin oblicua area. Es una proyeccin oblicua realizada sobre un dibujo en planta de una edificacin, urbanismo, etc. con la finalidad de apreciar su forma

tridimensional\ fig.15.

fig.15.\ Proyeccin oblicua area

PROYECCIN CNICA Denominada tambin perspectiva. Se obtiene cuando el punto de observacin y el objeto se encuentran relativamente cercanos\ fig.16.

fig.16.\ Proyeccin cnica

Geomtricamente, una fotografa es una perspectiva; razn por la cual la proyeccin cnica

sobrepasa en excelencia a los dems sistemas de proyeccin por ser la que mas se acerca a la

vista real obtenida por el observador.

El dibujo en perspectiva es muy utilizado en el diseo arquitectnico, civil, industrial,

publicitario, etc. Las perspectivas pueden ser:

1) Perspectiva de un punto de fuga. Se obtiene cuando el plano de proyeccin es paralelo a una de las caras principales del objeto (el plano de proyeccin es paralelo a

dos de los tres ejes principales del objeto)\ fig.17.

fig.17.\ Perspectiva de un punto fuga

2) Perspectiva de dos puntos de fuga. Se obtiene cuando el plano de proyeccin es paralelo a solamente uno de los tres ejes principales del objeto\ fig.18.

fig.18.\ Perspectiva de dos puntos de fuga

3) Perspectiva de tres puntos de fuga. Se obtiene cuando ninguno de los tres ejes principales del objeto es paralelo al plano de proyeccin\ fig.19.

fig.19.\ Perspectiva de tres puntos de fuga

Las perspectivas de uno, dos, y tres puntos de fuga, pueden dibujarse en forma sencilla a

partir de las proyecciones en vistas mltiples, como se muestra en las fig.20; fig.21; y fig.22,

respectivamente.

fig.20.\ Dibujo de una perspectiva de un punto de fuga

fig.21.\ Dibujo de una perspectiva de dos puntos de fuga

fig.22.\ Dibujo de una perspectiva de tres puntos de fuga

Captulo 3 PROYECCIN DIDRICA

Se inicia en este captulo el estudio del sistema de Proyeccin Didrica, tambin denominado sistema de Doble Proyeccin Ortogonal, Comenzando con la descripcin de este sistema de proyeccin, que se basa en definir la proyeccin ortogonal de los objetos, en forma simultnea, sobre dos planos principales de

proyeccin, perpendiculares entre s. De esta forma se obtienen dos proyecciones ortogonales del objeto e estudio, por medio de las cuales se puede concebir la forma tridimensional del mismo.

Una vez que el estudiante comprenda los fundamentos del sistema de doble proyeccin didrica, ser capaz de representar objetos, y podr

resolver cualquier problema relacionado con la forma tridimensional de los mismos, sin necesidad de elaborar complicadas perspectivas o representaciones en otros sistemas de proyeccin mas laboriosos.

SISTEMA DE PROYECCIN DIDRICA

El sistema de proyeccin didrica se compone bsicamente de dos

planos de proyeccin, perpendiculares entre s, denominados: planos principales de proyeccin; y en forma particular: plano vertical de proyeccin (PV) y plano horizontal de proyeccin (PH). Los

componentes principales del sistema de proyeccin didrica son:

PV (plano vertical de proyeccin), PH (plano horizontal de proyeccin): forma 900 con el PV, LT (lnea de tierra): es la interseccin entre los planos vertical

y horizontal de proyeccin, O (origen): punto comn a los tres ejes de coordenadas, a

partir del cual se miden las coordenadas de los puntos, X (eje de coordenadas x): eje sobre el cual se miden las

coordenadas (x) de los puntos; coincide con la lnea de tierra,

Y (eje de coordenadas y): eje sobre el cual se miden las coordenadas (y) de los puntos,

Z (eje de coordenadas z): eje sobre el cual se miden las coordenadas (z) de los puntos,

diedro (cuadrante): cada una de las 4 porciones en que dividen a todo el espacio los planos principales de proyeccin. Se denominan:

o I C (primer cuadrante): porcin del espacio comprendida por encima del PH y por delante del PV,

o II C (segundo cuadrante): porcin del espacio comprendida por encima del PH y por detrs del PV,

o III C (tercer cuadrante): porcin del espacio comprendida por debajo del PH y por detrs del PV,

o IV C (cuarto cuadrante): porcin del espacio comprendida por debajo del PH y por delante del PV.

Plano Lateral

Es un plano auxiliar de proyeccin que esta definido por los ejes de coordenadas (Y) y (Z). Sobre este plano, cuando sea necesario, se proyectan ortogonalmente los objetos, denominndose estas

proyecciones: proyecciones laterales.

Dibujo en Proyeccin Didrica

la proyeccin didrica se obtiene rotando el plano horizontal de

proyeccin alrededor de la lnea de tierra, hasta hacerlo coincidir con el plano vertical de proyeccin, como lo muestra las figuras (1 a 4). En la figura (5) se muestra el mismo esquema en proyeccin frontal.

Y finalmente, la figura (6), muestra el esquema de trabajo en proyeccin didrica; este se obtiene sustituyendo los ejes de coordenadas por una recta horizontal (lnea de tierra, eje (X)), en la

cual se seala el origen con un pequeo segmento vertical que la corta. Es muy importante tener presente que en la representacin definitiva figura (6), los ejes de coordenadas y el origen no dejan de existir; si

no que han sido substrados de la representacin, por lo tanto, aunque no se vean dibujados o falten sus nomenclaturas, ellos existen en las posiciones que indica la figura (5).

Dibujo en proyeccin didrica

PROYECCIN DIDRICA DE

PUNTOS

Proyeccin Didrica de un Punto

Se denomina as a la representacin de las proyecciones ortogonales

de un punto, sobre los planos vertical y horizontal de proyeccin en forma simultnea.

los puntos se denominan con letras maysculas (A,B,C,...Z) o con

nmeros (1,2,3...).

Coordenadas de un Punto

Son las distancias expresadas en milmetros, que al medirse sobre los ejes de coordenadas, a partir del origen, permiten definir con exactitud la ubicacin de un punto en el espacio. En proyeccin

didrica, las coordenadas se denominan:

X: distancia al plano lateral,

Y: vuelo alejamiento, Z: cota altura.

Las coordenadas de un punto se expresan siempre en orden y separadas por punto y coma (;). Por ejemplo, la notacin A (50; 70;

60), identifica a un punto (A) con las siguientes coordenadas:

AX: distancia del punto (A) al plano lateral: 50 mms, AY: vuelo del punto (A): 70 mms,

AZ: cota del punto (A): 60 mms.

Las coordenadas de un punto, tambin representan las distancias desde el punto a los planos principales de proyeccin y al plano

lateral. El punto A (50; 70; 60), ya mencionado, se encuentra a distancias de:

50 mms. del plano lateral, 70 mms. del plano vertical de proyeccin,

60 mms. del plano horizontal de proyeccin.

En la figura (1) se muestra un esquema en perspectiva de la

proyeccin didrica de este punto (A), y en la figura (2), la proyeccin didrica propiamente dicha del mismo. Las coordenadas no se acotan, de forma que la representacin definitiva, en

proyeccin didrica, es la mostrada en la figura (3).

Posiciones Particulares de un

Punto

Dependiendo de la posicin que ocupe un punto con respecto al

origen, sus coordenadas pueden tener signo positivo negativo, o un valor de cero. De manera que observando estos valores se puede

conocer si el punto est ubicado en:

un cuadrante, un plano principal de proyeccin, el plano lateral, el orgen,

un eje de coordenadas.

Punto Ubicado en un Cuadrante

Punto Ubicado en un Plano

Principal de Proyeccin:

Punto en el Plano Lateral:

Punto en el Origen:

Punto en un Eje de

Coordenadas:

Punto en un Eje (x):

Punto en un Eje (y):

Punto en un Eje (z):

Proyeccin Lateral de un Punto

Se llama as a la proyeccin ortogonal de un punto sobre el plano lateral.

En este sistema de proyeccin, el punto de observacin se encuentra a una distancia infinita del plano lateral, en direccin del eje (X), el cual se proyecta en su totalidad en el punto de origen (O).

El punto de observacin, puede tambin ubicarse en sentido opuesto al eje (X), resultando en este caso, la proyeccin lateral, como se

muestra:

En el sistema de proyeccin lateral, los planos vertical (PV) y horizontal (PH) de proyeccin, se encuentran totalmente proyectados sobre los ejes (Z) e (Y) respectivamente, los cuales se observan

cortndose a 900.

Representacin de Puntos en

Proyeccin Lateral

En la figura (a) se representan las proyecciones laterales de los puntos (A,B,C y D), ubicados en los cuadrantes (I; II; III y IV), respectivamente, y en la figura (b) se representan las proyecciones

laterales de los mismos puntos, cambiando el sentido del eje (Y).

Obtencin de la Proyeccin

Lateral de un Punto a partir de

su Proyeccin Didrica

Generalmente la proyeccin lateral de un punto se obtiene a partir de su proyeccin didrica.

Para determinar la proyeccin lateral (A l) de un punto (A), a partir de sus proyecciones vertical (Av) y horizontal (Ah) figura (a), se sigue el procedimiento siguiente:

se definen los ejes de proyeccin, figura (b): o eje (Z): perpendicular a la lnea de tierra, y por cualquier

punto (O) de ella, o eje (Y): coincide con la lnea de tierra, y se dirige hacia la

derecha izquierda (en el ejemplo hacia la derecha),

se trasladan la cota (AZ) y el vuelo (AY) del punto (A) hacia el eje (Z), figura (c),

Se rota, mediante un arco con centro en el punto (O) y recorriendo un cuadrante par (en el ejemplo el IV C), el vuelo (AY) del punto (A),

desde el eje (Z) hasta el eje (Y), figura (d); y se define la proyeccin lateral (Al) del punto (A) por medio de rectas paralelas a los ejes (Z e Y).

Ejemplo 1: definir las proyecciones laterales de los puntos (A;B;C; y D), figura (a).

Solucin: en la figura (b), se muestra como obtener las proyecciones laterales de estos puntos; ubicando el eje (Z) a igual distancia al plano lateral que el punto (B), y dirigiendo el eje (Y) hacia la derecha.

Puede observarse en la figura (b), que los arcos han sdo trazados recorriendo slo los cuadrantes pares (II C IV C). La razn de esto es mantener el signo del vuelo de los respectivos puntos en ambos sistemas, ubicando sus proyecciones laterales en el cuadrante

correcto.

Ejemplo 2: definir la proyeccin lateral del tringulo de vrtices (A;B;C), figura (a).

Solucin: figura (b).

Posicin Relativa entre dos

Puntos

En la figura (a), se sealan los nombres dados a los sentidos de avance de cada uno de los ejes de coordenadas. En base a estos sentidos, se puede expresar, en forma relativa, la posicin de un

punto con respecto a otro.

Ejemplo terico: expresar la posicin relativa entre los puntos (A y B).

Solucin: la posicin relativa entre los puntos (A y B) puede expresarse, entre otras, de las siguientes maneras:

el punto (A) se encuentra a la izquierda (tiene menos distancia

al plano lateral); por debajo (tiene menos cota); y por delante (tiene mayor vuelo) del punto (B).

el punto (B) se encuentra a la derecha (tiene mas distancia al

plano lateral); mas alto (tiene mayor cota); y por detrs (tiene menor vuelo) del punto (A).

En resumen:

comparando las distancias al plano lateral de dos puntos, puede decirse cual de ellos est a la izquierda a la derecha del otro,

comparando los vuelos de dos puntos, se define cual de ellos est por delante por detrs del otro

y, comparando las cotas de dos puntos, puede determinarse cual de ellos est por encima o por debajo del otro.

Ejemplo prctico: definir las proyecciones de los puntos:

A ( 45; -20; 05) B ( ?; 25; ?) A 10 mms del plano lateral; y 5 mms por encima

de (A);

C ( ?; ?; ?) 15 mms a la derecha de (B); 30 mms delante de (A); y 15 mms por encima del plano horizontal de proyeccin;

D ( 60; ?; ?) En el IV cuadrante; a 15 mms del plano horizontal

de proyeccin; y a 20 mms del plano vertical de proyeccin; E ( ?; ?; ?) Contenido en el plano vertical de proyeccin; 25

mms a la izquierda de (D); y 15 mms debajo del plano

horizontal de proyeccin; F ( ?; ?; ?) En el eje (Z); y 35 mms por debajo de (C); G ( 65; ?; ?) 05 mms delante de (A); y 30 mms mas alto que

(D);

H ( ?; 10; 20) En el plano lateral; I ( ?; ?; ?) En la lnea de tierra y a 15 mms del origen.

Solucin:

PROYECCIN DIDRICA DE

RECTAS

Proyeccin Didrica de una Recta

Las rectas se designan con letras minsculas (a; b; c;...).

Una recta (r) puede ser definida por medio de dos puntos (A y B)

Proyeccin didrica de una recta

Punto Contenido en una Recta

Si un punto (P) esta contenido en una recta (r), entonces las proyecciones vertical (Pv) y horizontal (Ph) del punto estn contenidas

en las proyecciones vertical (rv) y horizontal (rh) de la recta, respectivamente.

punto contenido en una recta

De esta forma, es posible determinar las proyecciones de un punto conocida una sola de sus tres coordenadas, si se establece que esta

contenido en una recta dada

ubicacin de un punto (A) en una recta (r)

Trazas de una Recta

Son los puntos donde la recta se intercepta con los planos principales de proyeccin; se denominan:

traza vertical: punto donde la recta se intercepta con el plano vertical de proyeccin. Generalmente se designa con la

letra (V).

traza horizontal: punto donde la recta se intercepta con el plano horizontal de proyeccin. Generalmente se designa con la

letra (H).

Trazas de una recta

Determinacin de las Trazas de una Recta

Las trazas de una recta se determinan, en doble proyeccin ortogonal, interceptando sus proyecciones con la lnea de tierra

Determinacin de las trazas de una recta

Visibilidad en Rectas

Debido a que los planos principales de proyeccin tapan a los objetos contenidos en los cuadrantes dos, tres y cuatro, solamente pueden

ser visibles al observador los elementos geomtricos que se encuentren en el primer cuadrante, como puede observarse en la figura.

Las partes invisibles se representan, en proyeccin didrica con lneas

de contorno invisible; aunque tambin es frecuente, en el desarrollo de problemas en proyeccin didrica, representarlas con lneas de procedimiento.

Cuadrantes que Atraviesa una

Recta

Considerando la extensin infinita de una recta, ella puede:

mantenerse en un cuadrante atravesar dos cuadrantes

atravesar tres cuadrantes

Recta que se Mantiene en un Cuadrante

Si una recta es paralela a la lnea de tierra, se mantiene en un cuadrante. En este caso la recta no posee trazas.

Recta que se Atraviesa dos Cuadrantes

Si una recta es paralela a uno solo de los planos principales de

proyeccin, o se corta con la lnea de tierra (sin estar contenida en un plano principal de proyeccin), entonces atraviesa dos cuadrantes; en este caso la recta tiene una sola traza.

Recta que se Atraviesa tres Cuadrantes

Si una recta no es paralela a ninguno de los planos principales de proyeccin, ni se corta con la lnea de tierra, entonces atraviesa tres cuadrantes. En este caso la recta tiene dos trazas.

Determinacin de los Cuadrantes que Atraviesa una

Recta

Las trazas de una recta son tambin los puntos donde la recta cambia de cuadrante, por lo tanto, para determinar que cuadrantes atraviesa

una recta (r), figura (a), puede seguirse el siguiente procedimiento:

se definen las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la recta (r) y se acotan las dos semirrectas y el segmento en que la misma

queda dividida, figura (b), se ubican tres puntos (1; 2 y 3) arbitrarios, cada uno de ellos

situado en una de estas tres partes de la recta, figura (c),

se determina en que cuadrante se encuentra ubicado cada uno de los puntos anteriores, los cuales se corresponden al cuadrante en que se encuentra la parte de la recta que lo

contiene, figura (d).

Determinacin de los cuadrantes que atraviesa una recta

Tringulos de Rebatimiento

Son dos tringulos rectngulos por medio de los cuales puede determinarse la longitud de un segmento de recta y los ngulos que

este forma con los planos principales de proyeccin. Se denominan:

tringulo de rebatimiento horizontal y

tringulo de rebatimiento vertical.

Tringulo de Rebatimiento

Horizontal-Diferencia de Cota

entre dos Puntos

La diferencia de cota ( ZA-B) entre dos puntos (A y B) es,

matemticamente, el valor absoluto de la resta de las cotas de ambos puntos ( Z

A-B = |AZ-BZ|). Grficamente, se determina trazando, por

uno de los puntos (A), una recta (a) perpendicular al plano horizontal de proyeccin, y por el otro (B), una recta (b) paralela al mismo

plano, que se corte con la primera. Estas dos rectas, son en consecuencia perpendiculares y junto con la proyeccin real de la recta (r) forman un tringulo rectngulo denominado: tringulo de

rebatimiento horizontal.

La nomenclatura utilizada en las figuras representa:

ZA-B : Diferencia de cota entre los puntos (A y B).

YA-B : Diferencia de vuelo entre los puntos (A y B).

: ngulo que forma el segmento (A-B) (la recta (r)) con el plano horizontal de proyeccin.

: ngulo que forma el segmento (A-B) (la recta (r)) con el plano vertical de proyeccin. Ar : Proyeccin rebatida del punto (A). Br : Proyeccin rebatida del punto (B). dA-B : Longitud real (verdadero tamao) del segmento (A-B) (distancia

entre los puntos (A y B).

El tringulo de rebatimiento horizontal de un segmento (A-B) generalmente se dibuja, en doble proyeccin ortogonal, sobre la proyeccin horizontal (Ah-Bh) del mismo.

Tringulo de Rebatimiento Vertical-Diferencia de Vuelo

entre dos Puntos

La diferencia de vuelo ( YA-B) entre dos puntos (A y B) es,

matemticamente, el valor absoluto de la resta de los vuelos de

ambos puntos ( YA-B = |AY-BY|). Grficamente, se determina

trazando, por uno de los puntos (B), una recta (b) perpendicular al plano vertical de proyeccin, y por el otro (A), una recta (a) paralela

al mismo plano, que se corte con la primera. Estas dos rectas, son en consecuencia perpendiculares y junto con la proyeccin real de la recta (r) forman un tringulo rectngulo denominado: tringulo de

rebatimiento vertical.

La nomenclatura utilizada en las figuras representa:

ZA-B : Diferencia de cota entre los puntos (A y B).

YA-B : Diferencia de vuelo entre los puntos (A y B). : ngulo que forma el segmento (A-B) (la recta (r)) con el plano

horizontal de proyeccin. : ngulo que forma el segmento (A-B) (la recta (r)) con el plano

vertical de proyeccin. Ar : Proyeccin rebatida del punto (A). Br : Proyeccin rebatida del punto (B).

dA-B : Longitud real (verdadero tamao) del segmento (A-B) (distancia

entre los puntos (A y B).

El tringulo de rebatimiento vertical de un segmento (A-B) generalmente se dibuja, en doble proyeccin ortogonal, sobre la

proyeccin vertical (Av-Bv) del mismo.

Arcocapaz

Se denomina arcocapaz a la construccin geomtrica de los tringulos de rebatimiento de un segmento (A-B), unidos por sus hipotenusas, y

circunscritos en una circunferencia; cuyo dimetro es igual al verdadero tamao (dA-B) del mismo. En la figura (a), se muestra el dibujo de los tringulos de rebatimiento del segmento (A-B) y en la figura (b) la construccin del

arcocapaz del mismo segmento.

Medicin de Distancias en Rectas

Como ya se explico, la longitud real (dA-B) de un segmento (A-B) es deformada cuando este es proyectado ortogonalmente, razn por la

cual, en doble proyeccin ortogonal la longitud real (dA-B) de un segmento (A-B), debe medirse en la hipotenusa de uno de sus tringulos de rebatimiento.

De igual forma, para ubicar a un punto (2) a una distancia (d1-2) determinada de otro punto (1) dado, debe tambin dibujarse un

tringulo de rebatimiento de la recta como se indica en la figura.

Rectas en Posiciones

Particulares

Si una recta es paralela a uno de los planos principales de proyeccin, se proyecta sobre el en verdadero tamao, y por lo tanto no es necesario dibujar los tringulos de rebatimiento para medir distancias

sobre ella, o determinar los ngulos que forma con los planos principales de proyeccin. Por lo tanto el conocimiento de este tipo de rectas permite resolver ciertos problemas con mayor rapidez. Las posiciones particulares que puede adoptar una recta son:

recta horizontal, recta contenida en el plano horizontal de proyeccin, recta frontal, recta contenida en el plano vertical de proyeccin, recta paralela a la linea de tierra, recta contenida en la linea de tierra, recta vertical, recta de punta,

recta de perfil.

Recta Horizontal

Es una recta paralela al plano horizontal de proyeccin; por lo tanto,

se proyecta sobre este plano en verdadero tamao; su proyeccin vertical es paralela a la lnea de tierra, por que todos sus puntos tienen igual cota (Z=cte.), y por lo tanto forma un ngulo de cero grados con el plano horizontal de proyeccin ( =00).

Recta Contenida en el Plano

Horizontal de Proyeccin

Es un caso particular del anterior. Su proyeccin vertical coincide con la lnea de tierra, por que todos sus puntos tienen cota igual a cero (Z=0).

Recta Frontal

Es una recta paralela al plano vertical de proyeccin; por lo tanto, se proyecta sobre este plano en verdadero tamao; su proyeccin horizontal es paralela a la lnea de tierra, por que todos sus puntos tienen igual vuelo (Y=cte.), y por lo tanto forma un ngulo de cero

grados con el plano vertical de proyeccin ( =00).

Recta Contenida en el Plano

Vertical de Proyeccin

Es un caso particular del anterior. Su proyeccin horizontal coincide con la lnea de tierra, por que todos sus puntos tienen vuelo igual a cero (Y=0)

Recta Paralela a la Lnea de

Tierra

Es una recta paralela simultneamente a los planos vertical y horizontal de proyeccin; por lo tanto, es una recta horizontal y frontal, y en consecuencia tiene las propiedades de ambas; es decir,

su cota es constante (Z=cte) y su vuelo tambin (Y=cte). Sus proyecciones horizontal y vertical son paralelas a lnea de tierra; estn en verdadero tamao; y forman ngulos de cero grados con los

planos vertical y horizontal de proyeccin ( = =00).

Recta Contenida en la Lnea de

Tierra

Es un caso particular del anterior. Sus proyecciones estn contenidas en lnea de tierra.

Recta Vertical

Es una recta perpendicular al plano horizontal de proyeccin; por lo

tanto, su proyeccin horizontal es un punto, y su proyeccin vertical se observa en verdadero tamao y perpendicular a lnea de tierra; forma ngulos de noventa grados con el plano horizontal de

proyeccin ( o=900) y cero grados con el plano vertical de proyeccin ( o=00).

Recta de Punta

Es una recta perpendicular al plano vertical de proyeccin; por lo

tanto, su proyeccin vertical es un punto, y su proyeccin horizontal se observa en verdadero tamao y perpendicular a lnea de tierra; forma ngulos de cero grados con el plano horizontal de proyeccin

( o=00) y noventa grados con el plano vertical de proyeccin ( o=900).

Recta de Perfil

Es una recta perpendicular a la lnea de tierra (paralela al plano

lateral); sus proyecciones son perpendiculares a lnea de tierra. Su verdadero tamao, as como los ngulos que forma con los planos principales de proyeccin, pueden determinarse en una proyeccin

lateral de la misma.

Construccin de Rectas

La posicin relativa entre los elementos que forman los tringulos de rebatimiento de una recta no vara; por ejemplo: el cateto ( Z) es siempre opuesto al ngulo ( ) y perpendicular al cateto (rh).

Por lo tanto es posible definir las proyecciones incompletas de una recta, si se conoce:

la proyeccin vertical (rv) de la recta (r) y el ngulo (

o) que

forma con el plano vertical de proyeccin,

la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r) y ngulo (

o) que

forma con el plano horizontal de proyeccin,

la proyeccin vertical (rv) de la recta (r) y el ngulo (

o) que

forma con el plano horizontal de proyeccin,

la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r) y el ngulo (

o)

forma con el plano vertical de proyeccin,

la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r) y el verdadero

tamao (dA-B) de un segmento, la proyeccin vertical (r

v) de la recta (r), y el verdadero

tamao (dA-B) de un segmento, el verdadero tamao (dA-B) de un segmento (a-b), y los

ngulos (o) y (

o) que forma con los los planos principales de

proyeccin.

Se Conoce la Proyeccin

Vertical (rv) de la Recta (r) y el ngulo ( o) que Forma con el

Plano Vertical de Proyeccin

Ejemplo: definir la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r) que contiene al segmento (A-B) que forma el ngulo ( o) con el plano

vertical de proyeccin; estando (B) por detrs de (A), figura (a).

Solucin: la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r), puede definirse dibujando el tringulo de rebatimiento vertical del segmento (A-B) a partir de su proyeccin vertical, figura (b)

Se Conoce la Proyeccin

Horizontal (rh) de la Recta (r) y el ngulo ( ) que Forma con el

Plano Horizontal de Proyeccin

Ejemplo: definir la proyeccin vertical del segmento (A-B) que forma el ngulo ( ) con el plano horizontal de proyeccin; estando (B) por

debajo de (A), figura (a).

Solucin: la proyeccin vertical del segmento (A-B) puede definirse dibujando el tringulo de rebatimiento horizontal del mismo a partir

de su proyeccin horizontal, figura (b).

Se Conoce la Proyeccin

Vertical (rv) de la Recta (r) y el ngulo ( ) que Forma con el

Plano Horizontal de

Proyeccin.

Ejemplo: definir la proyeccin horizontal del segmento (A-B) que baja hacia adelante formando el ngulo ( ) con el plano horizontal de proyeccin, figura (a).

Solucin: la proyeccin horizontal del segmento (A-B) puede definirse determinando la diferencia de cota ( Z

A-B) del mismo, y dibujando, a partir de ella, su tringulo de rebatimiento horizontal,

figura (b).

Si se vara el valor del ngulo ( ) dado, puede ser que la solucin sea:

una recta frontal figura (a) el ejercicio no tiene solucin, figura (b).

Se Conoce la Proyeccin

Horizontal (rh) de la Recta (r) y

el ngulo ( ) Forma con el

Plano Vertical de Proyeccin

Ejemplo: definir la proyeccin vertical del segmento (A-B) que sube hacia atrs formando el ngulo ( ) con el plano vertical de

proyeccin, figura (a).

Solucin: la proyeccin vertical del segmento (A-B) puede definirse determinando la diferencia de vuelo ( Y

A-B) del mismo, y dibujando a

partir de ella, su tringulo de rebatimiento vertical, figura (b).

Si se vara el valor del ngulo ( ) dado, puede ser que la solucin sea:

una recta horizontal, figura (a) el ejercicio no tiene solucin, figura (b).

Se Conoce la Proyeccin

Horizontal (rh) de la Recta (r) y el Verdadero Tamao (dA-B) de

un Segmento.

Ejemplo: definir la proyeccin vertical del segmento (A-B), de longitud (dA-B), sabiendo que baja hacia la derecha, figura (a).

Solucin: la proyeccin vertical del segmento (A-B) puede definirse dibujando el tringulo de rebatimiento horizontal del mismo a partir

de su proyeccin horizontal, figura (b).

Si se vara el valor del verdadero tamao (dA-B) del segmento dado, puede ser que la solucin sea:

una recta horizontal, figura (a) el ejercicio no tiene solucin, figura (b).

Se Conoce la Proyeccin Vertical (rv) de la Recta (r), y

el Verdadero Tamao (dA-B) de

un Segmento.

Ejemplo: definir la proyeccin horizontal del segmento (A-B), de longitud (dA-B), sabiendo que sube hacia atrs, figura (a).

Solucin: la proyeccin horizontal del segmento (A-B) puede definirse dibujando el tringulo de rebatimiento vertical del mismo a partir de su proyeccin vertical, figura (b).

Si se vara el valor del verdadero tamao (dA-B) del segmento dado, puede ser que la solucin sea:

una recta frontal, figura (a) el ejercicio no tiene solucin, figura (b).

Se Conoce el Verdadero

Tamao (dA-B) de un Segmento y los ngulos ( ) y ( ) que

Forma con los los Planos

Principales de Proyeccin

Ejemplo: definir las proyecciones del segmento (A-B), de longitud (dA-B), sabiendo que baja hacia atrs, formando los ngulos ( ) y ( ) con los planos horizontal y vertical de proyeccin

respectivamente, ((B) a la derecha y por debajo de (A)), figura (a).

Solucin: las proyecciones horizontal y vertical pueden dibujarse construyendo, generalmente aparte, el arcocapaz del segmento (A-B)

dado, en base a una circunferencia cuyo dimetro sea el verdadero tamao (dA-B) del mismo, figura (b).

Este tipo de ejercicio tiene solucin cuando la suma de los ngulos ( ) y ( ) es inferior a 900 ( +

Si la suma de los ngulos ( ) y ( ) es mayor que 900 ( + >900),

el ejercicio no tiene solucin.

PROYECCIN DIDRICA DE

PLANOS

Para designar los planos se utilizan letras minsculas del alfabeto griego

(Fig.1).

Fig.1.\ Alfabeto griego

Formas de definir un plano

UN PLANO ( ) PUEDE DEFINIRSE POR MEDIO DE:

a) Tres puntos (A; B; y C)\ Fig.2.

Fig.2.\ Plano ( ) definido por tres puntos (A; B; y C)

b) Una recta (a) y un punto (P)\ Fig.3.

Fig.3.\ Plano ( ) definido por una recta (a) y un punto (P)

c) Dos rectas (a y b) que se cortan\ Fig.4.

Fig.4.\ Plano ( ) definido por dos rectas (a y b) que se cortan

d) Dos rectas (a y b) paralelas\ Fig.5.

Fig.5.\ Plano ( ) definido por dos rectas (a y b) paralelas

Dos rectas que se cruzan no definen un plano\ Fig.6.

Fig.6.\ Dos rectas (a y b) que se cruzan no definen un plano

Un plano, inicialmente definido por tres puntos (Fig.7a), puede posteriormente ser definido por: una recta (a) y un punto (A) (Fig.7b1); dos rectas (a y b) que se cortan (Fig.7b2); o dos rectas (a y b) paralelas (Fig.7b3).

Fig.7.\ Cambio de la definicin original de un plano

Teoremas de Planos a) Si dos puntos (A y B) pertenecen a un plano ( ), la recta (r) que los une tambin pertenece

a l\ Fig.8a.

Fig.8.\ Teoremas de planos

b) Todas la rectas coplanares se cortan entre si; excepto si son paralelas\ Fig.8b.

Estos dos teoremas son de gran aplicacin en la resolucin de problemas de geometra

descriptiva relacionados con la proyeccin de planos.

Recta que Pertenece a un

Plano

Se puede determinar la pertenencia o n de una recta (r) a un plano ( ), por medio de la verificacin del cumplimiento de los dos teoremas de planos mencionados en el punto anterior.

Ejemplo: Definir la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r), sabiendo que esta contenida en el

plano ( ) definido por:

a) Tres puntos (A; B y C)\ Fig.9a1.

Solucin\ Fig.9a2.

1) Se definen las proyecciones de la recta (a) por medio de los puntos (A y C).

2) Se definen las proyecciones de la recta (b) por medio de los puntos (B y C).

Las rectas (a y b) estn contenidas en el plano ( ), por que los puntos (A; B; y C)

que las definen son puntos ese plano.

3) Se definen las proyecciones de los puntos (1 y 2) de corte de la recta (r) con las rectas (a y b) respectivamente.

Las rectas (a; b; y r) se cortan por que todas pertenecen a un mismo plano ( ).

4) La proyeccin horizontal (rh) de la recta (r) queda definida por las proyecciones horizontales (1h y 2h) de los puntos (1 y 2).

Fig.9.\ Recta que pertenece a un plano

b) Una recta (a) y un punto (A)\ Fig.9b1.

Solucin\ Fig.9b2.

1) Se definen las proyecciones del punto de corte ( ) entre las rectas (a y r).

2) Se definen las proyecciones de un punto (1) cualquiera de la recta (a).

3) Se definen las proyecciones de la recta (b), que contiene a los puntos (A y 1).

4) Se definen las proyecciones del punto de corte (2) entre las rectas (b y r).

5) La proyeccin horizontal (rh) de la recta (r) queda definida por las proyecciones

horizontales (2h e h) de los puntos (2 e ).

c) Dos rectas (a y b) que se cortan\ Fig.9c1.

Solucin\ Fig.9c2.

1) Se definen las proyecciones de los puntos (1 y 2) de corte de la recta (r) con las rectas (a y b) respectivamente.

2) La proyeccin horizontal (rh) de la recta (r) queda definida por las proyecciones horizontales (1h y 2h) de los puntos (1 y 2).

d) Dos rectas (a y b) paralelas\ Fig.9d1.

Solucin\ Fig.9d2.

Se procede de igual forma que el caso anterior.

Punto que Pertenece a un

Plano

Ejemplo:\ Fig.10. Definir la proyeccin horizontal (Ph) del punto (P) sabiendo que est

contenido en el plano ( ) definido por:

a) Tres puntos (A; B y C)\ Fig.10a1.

b) Una recta (a) y un punto (A)\ Fig.10b1.

c) Dos rectas (a y b) que se cortan\ Fig.10c1.

d) Dos rectas (a y b) paralelas\ Fig.10d1.

Fig.10.\ Punto que pertenece a un plano

Solucin:\ Fig.10a2; Fig.10b2; Fig.10c2 y Fig.10d2, respectivamente.

Para definir la proyeccin horizontal (Ph) del punto (P), en todos los casos, se aplica el siguiente procedimiento:

a) Se define la proyeccin vertical (mv) de una recta (m) cualquiera que contenga al punto (P).

b) Se define la proyeccin horizontal (mh) de la recta (m) hacindola pertenecer al plano ( ).

c) Se define la proyeccin horizontal (Ph) del punto (P), sobre la proyeccin horizontal (m h) de la recta (m).

Trazas de un Plano

Son las rectas donde el plano se intercepta con los planos principales de proyeccin. Se

denominan\ Fig.11:

Fig.11.\ Trazas de un plano

a) Traza vertical de un plano. Es la interseccin (f) del plano ( ) con el plano vertical de proyeccin\Fig.11a.

b) Traza horizontal de un plano. Es la interseccin (h) del plano ( ) con el plano horizontal de proyeccin\ Fig.11b.

Las trazas (f y h) de un plano ( ) se cortan en la lnea de tierra (excepto si el plano ( ) es paralelo a ella).

DETERMINACIN DE LAS TRAZAS DE UN PLANO

Si una recta (r) est contenida en un plano ( ); las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la recta

(r), estn contenidas en las trazas vertical (f) y horizontal (h) del plano ( ), respectivamente (fig.12). Adems, como ya se mencion, las trazas de un plano se cortan en la lnea de tierra

(Excepto si el plano es paralelo a ella).

fig.12.\ Trazas de una recta (r) contenida en un plano ( )

Por lo tanto, pueden definirse las trazas de un plano ( ), definiendo previamente las trazas de dos rectas (a y b) contenidas en el, como se muestra en los ejemplos (a) y (b) de la fig.13.

fig.13.\ Determinacin de las trazas de un plano\ ejemplos

PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DEFINIDO POR

TRAZAS

En la figura siguiente, se ilustra como hacer pertenecer un punto (P) a un plano ( ) definido por trazas (f y h)\ (fig.a), utilizando para ello:

una recta: (r) cualquiera (fig.b1); una recta (f1) frontal (fig.b2); una recta (h1) horizontal (fig.b3).

Punto contenido en un plano definido por trazas

Rectas Caractersticas de un

Plano

Se llaman rectas caractersticas de un plano ( ) a las rectas del plano que son paralelas a uno de

los planos principales de proyeccin. Se denominan\ fig.14:

a) Rectas caractersticas frontales de un plano. Son las rectas (f1) del plano ( ) paralelas al plano vertical de proyeccin; en consecuencia son paralelas a la traza vertical (f)

del plano \ fig.14a.

fig.14.\ Rectas caractersticas de un plano

Todas las rectas frontales (f; f1; f2; ...) de un plano ( ) son paralelas entre s\ fig.15.

fig.15.\ Paralelismo entre rectas caractersticas frontales

b) Rectas caractersticas horizontales de un plano. Son las rectas (h1) del plano ( ) paralelas al plano horizontal de proyeccin; en consecuencia son paralelas a la traza

horizontal (h) del plano ( )\ fig.14b.

Todas las rectas horizontales (h; h1; h2; ...) de un plano ( ) son paralelas entre s\ fig.16.

fig.16.\ Paralelismo entre rectas caractersticas horizontales

Un plano ( ) puede ser definido por dos rectas caractersticas (f1 y h1), como se muestra en la

fig.17a. Y las trazas (f y h) de este plano ( ), pueden determinarse a partir de sus rectas

caractersticas (f1 y h1), como se muestra en la fig.17b.

fig.17.\ Plano ( ) definido por rectas (f1 y h1) caractersticas

PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DEFINIDO POR

RECTAS CARACTERSTICAS

En la fig.18, se ilustra como hacer pertenecer un punto (P) a un plano ( ) definido por rectas caractersticas (f y h) (fig.18a); utilizando para ello:

una recta: (r) cualquiera (fig.18b1); una recta (f1) frontal (fig.18b2); una recta (h1) horizontal (fig.18b3).

fig.18.\ Punto que pertenece a un plano definido por rectas caractersticas

Notacin Convenida de Planos

Definidos por Trazas

Una forma convencional de designar, en doble proyeccin ortogonal, a un plano ( ), definido

por sus trazas (f y h), consiste en cambiar su nomenclatura terica, mostrada en la fig.20a, por la nomenclatura convencional mostrada en la fig.20b.

fig.20.\ Notacin terica y convencional de un plano ( )

En la fig.21, se muestra la comparacin entre la notacin terica (fig.21a) y la notacin

convencional (fig.21b) usadas en la representacin de los planos ( y ), pudindose apreciar en la misma, la conveniencia de utilizar esta ltima, la cual ser usada en adelante.

fig.21.\ Notacin terica y convencional

de los planos ( y )

Planos en Posiciones

Particulares

Los planos, al igual que las rectas, pueden ocupar ciertas posiciones particulares con respecto a

los planos principales de proyeccin. El estudio de estas posiciones es muy importante; ya que

poseen propiedades proyectivas propias que permiten simplificar la resolucin de problemas

relacionados con este tipo de planos.

En las fig.22 a fig.24, se muestran estas posiciones particulares. Los puntos (A; B; y C)

representados en cada caso estn contenidos en el plano ( ) mostrado, y se indican adems los

ngulos ( y 0) que el plano ( ) forma en cada caso con los planos horizontal y vertical de proyeccin respectivamente. A continuacin, se hace una breve descripcin de estas posiciones

particulares:

a) Plano frontal. Es un plano paralelo al plano vertical de proyeccin; por lo tanto todos sus puntos tienen el mismo vuelo. Su traza horizontal, sobre la cual se proyecta horizontalmente

todo el plano, es paralela a la lnea de tierra. El plano se proyecta verticalmente en verdadero

tamao\ fig.22a.

b) Plano horizontal. Es un plano paralelo al plano horizontal de proyeccin; por lo tanto todos sus puntos tienen la misma cota. Su traza vertical, sobre la cual se proyecta

verticalmente todo el plano es paralela a la lnea de tierra. El plano se proyecta

horizontalmente en verdadero tamao\ fig.22b.

c) Plano vertical. Es un plano perpendicular al plano horizontal de proyeccin; por lo tanto su traza vertical es perpendicular a la lnea de tierra, todo el plano se proyecta

horizontalmente sobre su traza horizontal\ fig.22c.

fig.22.\ Planos en posiciones particulares

d) Plano de punta. Es un plano perpendicular al plano vertical de proyeccin; por lo tanto su traza horizontal es perpendicular a la lnea de tierra, todo el plano se proyecta

verticalmente sobre su traza vertical\ fig.22d.

e) Plano de perfil. Es un plano perpendicular a la lnea de tierra; por lo tanto es paralelo al plano lateral y en consecuencia todos sus puntos tienen igual distancia a este p lano. Sus

trazas horizontal y vertical son perpendiculares a la lnea de tierra, y todo el plano se

proyecta horizontal y verticalmente sobre ellas. El plano se proyecta lateralmente en

verdadero tamao, por eso es frecuente en estos planos determinar su proyeccin lateral\

fig.22e.

f) Plano paralelo a la lnea de tierra. Sus trazas son paralelas a la lnea de tierra\ fig.22f.

g) Plano que pasa por la lnea de tierra. Sus trazas se encuentran en la lnea de tierra, la cual es una recta del plano\ fig.23. Todas las rectas contenidas en estos planos se cortan con

la lnea de tierra (excepto si son paralelas a ella). Existen adems dos planos muy

particulares de este tipo denominados:

fig.23.\ Plano que pasa por la la lnea de tierra

1) Primer bisector. Es un plano que pasa por la lnea de tierra y forma 450 con el plano

horizontal de proyeccin, dividiendo en partes iguales a los cuadrantes uno ( C) y tres

( C). Las proyecciones de cualquier figura geomtrica contenida en el primer bisector son simtricas; debido a que para todos sus puntos: la cota, es igual al vuelo\ fig.24a.

fig.24.\ Planos bisectores

2) Segundo bisector. Es un plano que pasa por la lnea de tierra y forma 450 con el

plano horizontal de proyeccin. Dividiendo en partes iguales a los cuadrantes dos ( C) y cuatro (IV C). Las proyecciones de cualquier figura geomtrica contenida en el segundo

bisector son coincidentes; debido a que para todos sus puntos: la cota y el vuelo son

iguales en magnitud pero diferentes en signo\ fig.24b.